专业实验报告
摆杆受力和力矩分析
θ
mg V
H θX V X H
图2 摆杆系统
摆杆水平方向受力为：H 摆杆竖直方向受力为：V 由摆杆力矩平衡得方程：
cos sin Hl Vl I φφθθπφθφ⎧-=⎪
=-⎨
⎪=-⎩
（1） 代入V 、H ，得到摆杆运动方程。
当0φ→时，cos 1θ=，sin φθ=-，线性化运动方程：
2()I ml mgl mlx θθ+-=
1.2 传递函数模型
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出，令，进行拉普拉斯变换得到
传递函数：
22
()()ml
G s ml I s mgl
=
+- （2） 倒立摆系统参数值：
M=1.096 % 小车质量 ，kg m=0.109 % 摆杆质量 ，kg
0.1β= % 小车摩擦系数
g=9.8 % 重力加速度，
l=0.25 % 摆杆转动轴心到杆质心的长度，m I= 0.0034 % 摆杆转动惯量，
以小车加速度为输入、摆杆角度为输出时，倒立摆系统的传递函数模型为：
2
0.02725
()0.01021250.26705
G s s =- （3） 1.3 倒立摆系统状态空间模型
以小车加速度为输入，摆杆角度、小车位移为输出，选取状态变量：
(,,,)x x x θθ= （4）
由2()I ml mgl mlx θθ+-=得出状态空间模型
001001000000001330
044x x x x x g g l
μθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣
⎦⎣⎦
（5） μθθθ'⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥
⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0001000001 x
x x y （6） 由倒立摆的参数计算出其状态空间模型表达式：
（7）
01
0000001000100
029.403x x x x x μθθθθ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥'==+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
（8）
00x μθθ⎤⎥
⎡⎤⎥'+⎢⎥⎥⎣⎦
⎥⎥⎦作用）增大，系统响应快，对提高稳态精度有益，但过大易作用）对改善动态性能和抑制超调有利，但过强，即校正装Ax B Cx μ
+= 1n x ⎥⎥⎥⎦，1n x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，11
11n n nn a A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ， 1n B b ⎥⎥
⎥⎦
，]n C c =。
第一步：计算受控系统能控性：1n rank A AB A B r -⎡⎤=⎣⎦n 为矩阵
的维数，若r=n ，则系统能控，能够进行极点配置。
第二步：受控系统中引入状态反馈向量K ，[]1
n K k k =。引入状态反
馈向量后系统特征多项式为：
1n n a s a -+
++ *
,n λ，则期望特征多项式为：
***
1111()()()n n n n n f x s s s b s b s b λλ--=--=++++ （12）
由*()()f s f s =求得矩阵K 。
二、实验装置、
倒立摆实验平台 台式电脑 电源及线缆 MATLAB 软件
三、实验过程
1、基于MATLAB 的SISO 平台的PID 控制器设计与调节
在MATLAB 中，提供了单输入单输出系统仿真的图形工具SISO Design Tool ，可方便的获得系统的根轨迹图和伯德图，以及添加零极点改善系统的性能。
1.1 PID 控制器设计界面
在MATLAB 命令窗口中输入“sisotool ”即可打开设计界面，如下图。
图3 SISOTOOL 界面
1.2 在MATLAB 命令窗口中输入被控对象的模型：
其M 文件为： clear all; clc;
num=[0.02725];
den=[ 0.0102125 0 -0.26705];
G=tf(num,den)
1.3 导入被控对象模型
在SISO界面中使用File→Import命令导入被控对象模型。如下图。
图4 PID控制器参数设计界面
1.4 PID控制器设计
使用SISO界面的添加零点和极点，使补偿器C为PID形式。
（13）
使用SISO界面的“Analysis”选项框中Response to Step Command 的命令即可查看被控对象阶跃响应曲线。通过调整SISO界面添加的零点，同时观察单位阶跃输入时的闭环响应曲线，寻找合适的P、I、D参数。设合适的补偿器下的根轨迹和参数以及响应曲线如图5和图6：
图5 根轨迹和波特图
图6 单位阶跃响应曲线
通过MATLAB的SISOTOOL工具箱进行PID控制参数设计，获得了一组单位阶跃响应的较好且能控制住倒立摆的参数，其参数如图7：
图7 PID控制器设计参数值
即对应的PID参数为：
K P=109.29
K I=218.58
K D=11.0164
1.5 倒立摆PID实物控制
1.5.1 打开直线一级倒立摆PID 控制界面
界面进入过程如下：MATLAB →Simulink工具箱→Googol Education Products→Inverted Pendulum →Linear Inverted Pendulum→Linear 1-Stage IP Experiment→PID Experiments→PID Control Demo。其界面如下：
图8 直线一级倒立摆MATLAB 实时控制界面
