中考数学全效复习：专题提升(13) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明

专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连结OD.(1)求证：△ADO∽△ACB；(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.图Z13－22．[德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－33．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－44．[广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－55．[株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．图Z13－66．如图Z13－7，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连结AC，BC，PB∶PC＝1∶2.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由．图Z13－77．[枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．图Z13－88．[聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．图Z13－9【中考预测】[黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.图Z13－10附录：专题提升(十三) 以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上的一点，AC 切半圆于点E ，BC ⊥AC 于点C ，交半圆于点F .已知AC ＝12，BC ＝9，求AO 的长．图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE ，设⊙O 的半径是R ，则OE ＝OB ＝R . 在Rt △ACB 中，由勾股定理，得 AB ＝AC 2＋BC 2＝15.∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ，∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458，∴AO ＝AB －OB ＝15－R ＝758.【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长． 【中考变形】1．如图Z13－2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连结OD . (1)求证：△ADO ∽△ACB ；(2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ，图Z13－2∴∠C＝∠ADO＝90°，∵∠A＝∠A，∴△ADO∽△ACB；(2)由(1)知，△ADO∽△ACB.∴ADAC＝ODBC，∴AD·BC＝AC·OD，∵OD＝1，∴AC＝AD·BC.2．[2017·德州]如图Z13－3，已知Rt△ABC，∠C＝90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若AE∶EB＝1∶2，BC＝6，求AE的长．图Z13－3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结OE，EC，∵AC是⊙O的直径，∴∠AEC＝∠BEC＝90°，∵D为BC的中点，∴ED＝DC＝BD，∴∠1＝∠2，∵OE＝OC，∴∠3＝∠4，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠4，即∠OED＝∠ACB，∵∠ACB＝90°，∴∠OED＝90°，∴DE是⊙O的切线；(2)由(1)知∠BEC＝90°，∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B＝∠B，∠BEC＝∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴BEBC＝BCBA，∴BC2＝BE·BA，∵AE∶EB＝1∶2，设AE＝x，则BE＝2x，BA＝3x，∵BC＝6，∴62＝2x·3x，解得x＝6，即AE＝ 6.3．如图Z13－4，已知AB是⊙O的直径，BC⊥AB，连结OC，弦AD∥OC，直线CD交BA的延长线于点E.(1)求证：直线CD是⊙O的切线；(2)若DE＝2BC，求AD∶OC的值．图Z13－4 中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.∵AD∥OC，∴∠DAO＝∠COB，∠ADO＝∠COD.∵OA＝OD，∴∠DAO＝∠ADO，∴∠COD＝∠COB.又∵CO＝CO，OD＝OB，∴△COD≌△COB(SAS)，∴∠CDO＝∠CBO＝90°，即OD⊥CD.又∵点D在⊙O上，∴直线CD是⊙O的切线；(2)由(1)知，△COD≌△COB，∴CD＝CB.∵DE＝2BC，∴DE＝2CD.∵AD∥OC，∴△EDA∽△ECO，∴ADOC＝DECE＝DEDE＋CD＝23.4．[2016·广东]如图Z13－5，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，∠ABC ＝30°.过点B作⊙O的切线BD，与CA的延长线交于点D，与半径AO的延长线交于点E.过点A作⊙O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.(1)求证：△ACF∽△DAE；(2)若S△AOC＝34，求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是⊙O的切线．图Z13－5 中考变形4答图解：(1)证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，又∵∠ABC＝30°，∴∠ACB＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，即∠OAC＝∠AOC＝60°，∵AF为⊙O的切线，∴∠OAF＝90°，∴∠CAF＝∠AFC＝30°，∵DE为⊙O的切线，∴∠DBC＝∠OBE＝90°，∴∠D＝∠DEA＝30°，∴∠D＝∠CAF，∠DEA＝∠AFC，∴△ACF∽△DAE；(2)∵△AOC为等边三角形，∴S△AOC＝34OA2＝34，∴OA＝1，BC＝2，OB＝1，又∵∠D＝∠BEO＝30°，∴BD＝23，BE＝3，∴DE＝33；(3)证明：如答图，过点O作OM⊥EF于点M，∵OA＝OB，∠OAF＝∠OBE＝90°，∠BOE＝∠AOF，∴△OAF≌△OBE(SAS)，∴OE＝OF，∵∠EOF＝120°，∴∠OEM＝∠OFM＝30°，∴∠OEB＝∠OEM＝30°，即OE平分∠BEF，又∵∠OBE＝∠OME＝90°，∴OM＝OB，∴EF为⊙O的切线．5．[2017·株洲]如图Z13－6，AB为⊙O的一条弦，点C为劣弧AB的中点，E 为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且BE＝EF，线段CE交弦AB 于点D.(1)求证：CE∥BF；(2)若BD＝2，且EA∶EB∶EC＝3∶1∶5，求△BCD的面积．图Z13－6 中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结AC，BE，作直线OC，∵BE ＝EF ，∴∠F ＝∠EBF ，∵∠AEB ＝∠EBF ＋∠F ，∴∠F ＝ 12∠AEB ，∵C 是AB ︵的中点，∴AC ︵＝BC ︵，∴∠AEC ＝∠BEC ，∵∠AEB ＝∠AEC ＋∠BEC ，∴∠AEC ＝12∠AEB ，∴∠AEC ＝∠F ，∴CE ∥BF ；(2)∵∠DAE ＝∠DCB ，∠AED ＝∠CEB ，∴△ADE ∽△CBE ，∴AD CB ＝AE CE ，即AD CB ＝35， ∵∠CBD ＝∠CEB ，∠BCD ＝∠ECB ，∴△CBE ∽△CDB ，∴BD CB ＝BE CE ，即2CB ＝15， ∴CB ＝25，∴AD ＝6，∴AB ＝8，∵点C 为劣弧AB 的中点，∴OC ⊥AB ，设垂足为G ，则AG ＝BG ＝12AB ＝4，∴CG ＝CB 2－BG 2＝2，∴S △BCD ＝12BD ·CG ＝12×2×2＝2.6．如图Z13－7，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AE 和过点C 的切线互相垂直，垂足为E ，AE 交⊙O 于点D ，直线EC 交AB 的延长线于点P ，连结AC ，BC ，PB ∶PC ＝1∶2.(1)求证：AC 平分∠BAD ；(2)探究线段PB ，AB 之间的数量关系，并说明理由．图Z13－7 中考变形6答图解：(1)证明：如答图，连结OC.∵PE是⊙O的切线，∴OC⊥PE，∵AE⊥PE，∴OC∥AE，∴∠DAC＝∠OCA，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∴∠DAC＝∠OAC，∴AC平分∠BAD；(2)线段PB，AB之间的数量关系为AB＝3PB.理由：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC，∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠P AC，∵∠P是公共角，∴△PCB∽△P AC，∴PCP A＝PBPC，∴PC2＝PB·P A，∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB，∴P A＝4PB，∴AB＝3PB.7．[2016·枣庄]如图Z13－8，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，P是⊙O外一点，连结P A，PB，AB，已知∠PBA＝∠C.(1)求证：PB是⊙O的切线；(2)连结OP，若OP∥BC，且OP＝8，⊙O的半径为22，求BC的长．图Z13－8中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结OB，∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∠C＋∠BAC＝90°.∵OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵∠PBA＝∠C，∴∠PBA＋∠OBA＝90°，即PB⊥OB.∴PB是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为22，∴OB＝22，AC＝42，∵OP∥BC，∴∠BOP＝∠OBC＝∠C，又∵∠ABC＝∠PBO＝90°，∴△ABC∽△PBO，∴BCBO＝ACPO，即BC22＝428，∴BC＝2.8．[2017·聊城]如图Z13－9，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC 的平分线交⊙O于点D，连结BD，CD，过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．图Z13－9中考变形8答图解：(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，如答图，连结OD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC，∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，∵PD∥BC，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC，∵∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC，∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD，∴△PBD∽△DCA；(3)∵△ABC为直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100，∴BC＝10，∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC，∵BC为⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，在Rt△DBC中，DB2＋DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，∴DC＝DB＝52，∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDAC，即PB＝DC·BDAC＝52×528＝254.【中考预测】[2017·黄冈模拟]如图Z13－10，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O于点E.证明：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.图Z13－10中考预测答图证明：(1)如答图，连结OC，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD＝90°.∴∠OCB＋∠DCF＝90°.∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B，∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；(2)∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠B，∵OD⊥BC，∴∠BFO＝∠OCD＝90°，∴△BOF∽△DOC，∴OCOF＝ODOB，即OAOF＝ODOA，∴OA2＝OD·OF.。

(1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求证：BD2＝AC·BF.
图 Z13－3
证明：(1)∵AC＝BC，CD 是圆的直径， ∴由圆的对称性可知：∠ACD＝∠BCD， ∴CD⊥AB，∵AB∥EF，∴∠CDF＝∠CGB＝90°， ∵OD 是圆的半径，∴EF 是⊙O 的切线； (2)∵∠BDF＋∠CDB＝∠CDB＋∠DCB＝90°， ∴∠BDF＝∠DCB，∴△BCD∽△BDF， ∴BBDF＝BBDC，∴BD2＝BC·BF， ∵BC＝AC，∴BD2＝AC·BF.
图 Z13－7
解：(1)如答图①，连结 BC，AC，AD， ∵CD⊥AB，AB 是直径， ∴A︵C＝A︵D，CE＝DE＝12CD＝3， ∴∠ACD＝∠ABC，且∠AEC＝∠CEB， ∴△ACE∽△CBE，∴ACEE＝CBEE，∴13＝B3E， ∴BE＝9，∴AB＝AE＋BE＝10， ∴⊙O 的半径为 5；
图 Z13－5
解：(1)证明：如答图，连结 OC. ∵PE 是⊙O 的切线，∴OC⊥PE， ∵AE⊥PE，∴OC∥AE， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴AC 平分∠BAD；
中考变形4答图
(2)线段 PB，AB 之间的数量关系为 AB＝3PB.理由： ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠ABC， ∵∠PCB＋∠OCB＝90°，∴∠PCB＝∠PAC， ∵∠P 是公共角，∴△PCB∽△PAC， ∴PPAC＝PPBC，∴PC2＝PB·PA， ∵PB∶PC＝1∶2，∴PC＝2PB， ∴PA＝4PB，∴AB＝3PB.
图 Z13－8
解：(1)如答图，连结 OC， ∵CD 与⊙O 相切于点 C，∴∠OCD＝90°. ∴∠OCB＋∠DCF＝90°. ∵∠D＋∠DCF＝90°，∴∠OCB＝∠D， ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠B， ∵∠B＝∠AEC，∴∠D＝∠AEC；

解：如答图；连结OE f 设OO 的半径是心则OE=OB = R.在R2ACB 中,由勾股定理z 得AB = -\]A C 2 + BC 2=\5.•.•AC 切半圆O 于点E , .••OE 丄AC ,. .ZOEA = 90°=ZC , :.OE\\BC ,••4AEOZACB t.0E AO R 15 3/曰门 45■ ：BC = AB 1 • 9= 15 z R = ~S •75:.AO = AB - OB=\5 - R = ~・【思想方法】 利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得 到相似三角形z 利用比例线段求40的长・【中考变形】1.如图 Z13-2,在 RtAACB 中,4C 边上的一点，以O 为圆心,相切于点D,连结OD(1)求证：AADO^AACB ：(2)若0O 的半径为1,求证：AC=AD BC.证明：(\y ：AB 是©O 的切线f ：.OD±AB 9 以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13-1, DB 为半圆的直径，A 为BD 延长线上的一点，AC 切半圆于点 £, BC 丄AC 于点C,交半圆于点F •已知AC=129 BC=9,求AO 的长.图Z13-1 经典母题答图图 Z13-2・・・zc 二 A ADO = 90° 厂・0 二 ZA z. .^ADO^^ACB ；.\AD BC = AC OD , \ OD = 1 , :.AC = AD BC.2. [2017•德州]如图Z13-3,已知RtAABC, ZC=90° , D 为BC 的中点,以 AC 为直径的OO 交AB 于点E.解：(1)证明：如答图z 连结OE , EC , . AC 是©O 的直径'：.^AEC = ZB EC = 90° , :D 为 BC 的中点 #・ ・ED = DC = BD t .*.Z1 = Z2 z•・ OE = OC t .\Z3 = Z4 #.-.zl + Z3= Z2+ Z4 ,即ZOED=ZACB ,. ZACB = 90° , :.AOED = 90° , :.DE 是G>O 的切线；(2)由⑴知ZBEC = 90° f•.在 RUBEC 与 R23CA 中，ZB 二 ZB , zBEC 二 ZBCA ,BE BC1BECZBCA ，••荒二丽 /:.BC 2= BE-BA , :AE : EB=\ : 2 ,i^AE = x t 贝！J BE = 2x , BA = 3x , (2)由(1)知;^ADO-^ACB.： AD ACOP Jc 1(1)求证：DE 是G»O 的切图Z13-3中考变形2答图.'BC = 6 f .\62 = 2X 3X ,解彳号 x 二 y[6 t 即 AE= &・3. 如图Z13-4,已知AB 是0O 的直径，BC 丄AB,连结0C,弓玄AD//OC,直 线CD 交84的延长线于点E.(1) 求证：直线CD 是0O 的切线；(2) 若 DE=2BC,求 AD : OC 的值.图Z13 -4中考变形3答图 解：(1)证明：如答图，连结DO.\ADWOC,:.ZDAO= ZCOB , AADO= ZCOD.•・ OA 二 OD f :.^DAO = ZADO z••上 COD= ZCOB.丈：CO = CO , OD = OB 「aCOD 呼COB(SAS) f :.ACDO= ZCBO = 90° ,即 OD 丄CD 又•・•点D 在0O±，二直线CD 是OO 的切线； (2)由(1)知 # “COD 弩COB r :.CD 二 CB.••DE = 2BC t :.DE = 2CD.9：AD//OC ,4. [2016•广东]如图Z13-5, OO 是ZVIBC 的外接圆，BC 是＜0O 的直径，Z ABC=30° •过点B 作。

专题提升(十三)以圆为背景的相似三角形的计算与证明(人教版九下P58复习题第8题)如图，CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为P，求证：PC2＝P A·PB.【思想方法】证明等积式的常用方法是把等积式转化为比例式，一般要证明比例式，就要证明三角形相似．证明圆中的相似三角形时，要充分运用切线的性质、圆周角定理及推论、垂径定理等知识点．1．[2019·宜宾]如图，线段AB经过⊙O的圆心O，交⊙O于A，C两点，BC＝1，AD 为⊙O的弦，连接BD，∠BAD＝∠ABD＝30°，连接DO并延长交⊙O于点E，连接BE交⊙O于点M.(1)求证：直线BD是⊙O的切线；(2)求⊙O的半径OD的长；(3)求线段BM的长．2．[2019·苏州节选]如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC 与AD，OD分别交于点E，F.求证：(1)DO∥AC；(2)DE·DA＝DC2.3．[2019·聊城]如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，作DO⊥AB于点O，延长BC，OD交于点F，过点C作⊙O的切线CE，交OF于点E.(1)求证：EC＝ED；(2)如果OA＝4，EF＝3，求弦AC的长．4．[2018·泸州]如图，已知AB，CD是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点P，⊙O的弦DE交AB于点F，且DF＝EF.(1)求证：CO2＝OF·OP；(2)连接EB，交CD于点G，过点G作GH⊥AB于点H，若PC＝42，PB＝4，求GH 的长．5．[2019·绵阳]如图，AB 是⊙O 的直径，点C 为BD ︵的中点，CF 为⊙O 的弦，且CF ⊥AB ，垂足为点E ，连接BD 交CF 于点G ，连接CD ，AD ，BF .(1)求证：△BFG ≌△CDG ； (2)若AD ＝BE ＝2，求BF 的长．6．[2019·黄石]如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在AB 的延长线上，C ，E 是⊙O 上的两点，CE ＝CB ，∠BCD ＝∠CAE ，延长AE 交BC 的延长线于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)求证：CE ＝CF ；(3)若BD ＝1，CD ＝2，求弦AC 的长．7．[2018·遂宁]如图，过⊙O 外一点P 作⊙O 的切线P A 切⊙O 于点A ，连接PO 并延长，与⊙O 交于C ，D 两点，M 是半圆CD 的中点，连接AM ，交CD 于点N ，连接AC ，CM .(1)求证：CM 2＝MN ·MA ；(2)若∠P ＝30°，PC ＝2，求CM 的长．8．[2019·泰州]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，D为弧AC的中点，过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E.(1)判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O的半径为5，AB＝8，求CE的长．如图，AB为⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，且OD⊥BC，垂足为F，OD交⊙O 于点E.求证：(1)∠D＝∠AEC；(2)OA2＝OD·OF.参考答案（完整答案和解析见PPT 课件之课时作业）【教材母题】 略【中考变形】 1.(1)略 (2)1 (3)3772．略 3.(1)略 (2)16554．(1)略 (2)425 5.(1)略 (2)2 36．(1)略 (2)略 (3)637．(1)略 (2)2 28．(1)DE 为⊙O 的切线，理由略． (2)254【中考预测】 略。