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2019~2020学年高二级12月月考学试题本试卷共4页，22小题， 满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内.2．选择题每小题选出★★答案★★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★★答案★★标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它★★答案★★；不能答在试卷上.3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，★★答案★★必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的★★答案★★，然后再写上新的★★答案★★；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的★★答案★★无效.4．考生必须保持答题卡的整洁.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A =｛x |x 2－2x ＞0｝，B =｛x |x ，则（ ） A. A ∩B =∅B. A ∪B =RC. B ⊆AD. A ⊆B【★★答案★★】B 【解析】 【分析】求出集合A ，观察两集合中的元素可判断出正确选项． 【详解】由题意(,0)(2,)A =-∞+∞，∴A ∪B =R ，故选：B.【点睛】本题考查集合的关系，考查并集概念，解题关键是确定集合的元素． 2. 已知a b R ∈、，且0ab ≠，则下列结论恒成立的是（ ）A. a b +≥B. 2a b ba+≥ C.2a bb a+≥ D.222a b ab +>【★★答案★★】C 【解析】 【分析】利用基本不等式的性质,逐一判断,即可求得★★答案★★.【详解】对于A ,没有给出a b R +∈、,因此a b +≥不一定成立,故A 错误; 对于B ,没有给出a b R +∈、,因此2a b ba+≥不一定成立,故B 错误;对于C ,若0a b >,则0ba>． a b a b b a b a ∴+=+2≥=,当且仅当a b =时取等号; 同理0ab<时也成立,故C 正确; 对于D ,因为222a b ab +≥,则222a b ab +>不一定成立,故D 错误. 综上可知:只有C 正确． 故选: C ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质,掌握基础知识是解题关键,考查了分析能力和计算能力,属于基础题.3. 已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，若336,12a S ==，则公差d 等于（ ） A. 1B.53C. 3D. 2【★★答案★★】D 【解析】 【分析】由已知条件建立方程即可求解.【详解】依题意，得：3131263312a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得：2d =.故选：D.【点睛】本题考查等差数列公差的求解，属于基础题.4. α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“//αβ”是“//m β”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【★★答案★★】A 【解析】 【分析】利用线面判定定理、面面平行的性质定理以及充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】,αβ表示两个不同平面，直线m 是α内一条直线， 若//αβ，则//m β，所以//αβ是//m β的充分条件；若//m β不能推出//αβ，故不是充分条件∴//αβ是//m β的充分不必要条件.故选：A【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的定义，考查了线面、面面之间的关系，属于基础题.5. 已知函数2()ln f x x x ax =++的单调递减区间为1(,1)2，则a 的值为（ ） A. (,3)-∞- B. 3-C. 3D. (,3)-∞【★★答案★★】B 【解析】 【分析】等价于不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，利用一元二次不等式的解集即得解.【详解】由题得1()20f x x a x '=++<的解集为1(,1)2， 所以不等式2210x ax ++<的解集为1(,1)2，所以11,322aa +=-∴=-故选：B【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6. 如图，在三棱锥OABC 中，,,OA OB OC ===a b c ，点M 在OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =（ ）A.211322--a b c B. 111222-++a b c C. 211322a b c -++ D.221332-+-a b c 【★★答案★★】C 【解析】MN1111132322MA AB BN OA OB OA BC OA OB OA OC OB =++=+-+=+-+- 211322OA OB OC =-++= 211322a b c -++,选B.7. 已知实数ln 22a =，22ln 2b =+，2(ln 2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. c a b << B. c b a << C. b a c << D. a c b <<【★★答案★★】A 【解析】 【分析】根据对数函数单调性确定0ln 21<<，即得b 范围，再根据指数函数单调性以及幂函数单调性确定a ， c 范围，最后根据范围可比较大小. 【详解】因为0ln 21<<所以2+2ln2＞2，因此1＜ln 22＜2， 0＜2(ln 2)＜1，∴c ＜a ＜b ．【点睛】本题考查利用对数函数单调性、指数函数单调性以及幂函数单调性比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.8. 已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，则其渐近线与圆()22214x a y a-+=的位置关系是（ ） A. 相交 B. 相切C. 相离D. 与a 的取值有关【★★答案★★】C 【解析】 【分析】求出渐近线方程，由圆心到渐近线的距离即可判断.【详解】因一条渐近线方程为0ay bx -=，又离心率为ca=a b =，所以渐近线方程为0y x -=，由2221()4x a y a -+=知圆心(,0)a ，半径12a ，圆心到直线的距离12d a ==>，所以直线与圆相离.故选：C.【点睛】本题考查由双曲线离心率求渐近线方程，考查直线与圆位置关系的判断，属于基础题.9. 设函数()sin cos 22f x x x x =-的图象为C ，下面结论中正确的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期是2π. B. 图象C 关于直线512x π=对称. C. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到. D. 图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向左平移6π个单位得到. 【★★答案★★】B【分析】将函数()f x 化简为()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的周期，对称性，以及图像平移即可判断.【详解】函数313()sin cos cos 2sin 2cos 2sin 22223f x x x x x x x π⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， A .其周期22T ππ==，因此A 不正确； B .把512x π=代入可得:55sin 2sin 1121232f ππππ⎛⎫⎛⎫=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此图象C 关于直线512x π=对称，因此B 正确； C .函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到2sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此C 不正确；D .函数()sin 2g x x =的图象向左平移6π个单位得到sin 2sin 263y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此D 不正确.故选：B .【点睛】本题主要考查的是正弦函数的图像和性质以及图像变换，熟练掌握正弦函数的图像和性质以及图像变换的知识是解决本题的关键，是中档题.10. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()'f x ，且函数()f x 在2x =-处取得极小值，则函数()y xf x '=的图象可能是（ ）A. B.C. D.【★★答案★★】C 【解析】 【分析】利用极限值的意义，可知函数()f x 在2x =-左侧附近为减函数，在2x =-右侧附近为增函数，从而可以判断()y xf x '=的值的正负，可以做出正确决定. 【详解】由题意可得，(2)0f '-=，当2x <-时，()0f x '<，则()0y xf x '=>，故排除B 、D ；当20x -<<时，()0f x '>，所以当()2,0x ∈-时，()0y xf x '=<，当0x >时，()0y xf x '=>，故排除A ， 故选：C.【点睛】本题主要考查了导函数与原函数图象间的关系，函数极值的意义及其与导数的关系，属于基础题.11. 如图所示是一个三棱锥的三视图，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）A.43π B.32C.556D.6π【★★答案★★】C 【解析】解：如图所示，该几何体为长宽高为2,1,1 的长方体中的三棱锥P ABC - ，结合三棱锥的几何特征可知，取,''AC A C 的中点,N M ，则球心位置为MN 的中点O ，半径为：225R OB ON BN ==+=， 此三棱锥的外接球的体积为35435V R ππ== . 本题选择C 选项.点睛：空间几何体的三视图是分别从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果．12. 已知()f x 、()g x 都是定义域为R 的连续函数.已知：()g x 满足：①当0x >时，()0g x '>恒成立；②R x ∀∈都有()()g x g x =-.()f x 满足：①R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-；②当[1,1]x ∈-时，3()33f x x x =-.若关于x 的不等式223[()]()g f x g a a ≤-+对48[,]33x ∈恒成立，则a 的取值范围是（ ）A. RB. [1,)+∞C. [0,1]D.(,0][1,)-∞+∞【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据条件可知()g x 是偶函数，且在0,上单调递增，从而可将不等式转化为48[,]33x ∈时，2max |()|f x a a ≤-恒成立，根据条件求出函数()f x 在48[,]33上的表达式，进而求出最大值，从而解不等式即可.【详解】因为R x ∀∈都有()()g x g x =-，所以()g x 是偶函数， 又当0x >时，()0g x '>恒成立，所以()g x 在0,上单调递增，所以2[()](3g f x g a a ≤-+等价于2|()|f x a a ≤-只需2max |()|f x a a ≤-+，48[,]33x ∈. 因为R x ∀∈都有(1)(1)f x f x +=-，即()(2)f x f x =+，所以()f x 是周期函数，周期为2，当()1,3x ∈时，()21,1x -∈-，所以()()()3()23232f x f x x x =-=---，故48[,]33x ∈时，()()3()3232f x x x =---，求导得，()2()923f x x '=--，令()0f x '=，解得1482[,]333x =-∈，28233x =+>，当4,23x ⎛∈⎝⎭时，()0f x '>，此时()f x 单调递增；当823x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，此时()f x 单调递减，所以48[,]33x ∈时，3max()3232222333f x f ⎛⎛⎫⎛⎫==--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝---⎝⎭⎭=，所以23a a ≤-，又因为2211024a a a ⎛⎫-=-+-> ⎪⎝⎭，所以223a a a a -+=-+，则233a a ≤-+，解得1a ≥或0a ≤. 所以实数a 的取值范围是(,0][1,)-∞⋃+∞. 故选：D.【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性及周期性的应用，考查利用导数研究函数的单调性，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题为多选题，选错得0分，选不全得2分，选全对得5分.13. 已知向量,a b 的夹角为45︒ ，且1,2a b ==，则a b -=______．【★★答案★★】1 【解析】 【分析】 由2()a b a b -=-即可求出.【详解】222()212a b a b a b a b -=-=+-⋅=+-＝1.故★★答案★★为：1.【点睛】本题考查转化法求向量模，属于基础题.14. 椭圆C:22221x y a b+= (0)a b >>的离心率为12，焦距为2，则椭圆的短轴长为_____【★★答案★★】【解析】 【分析】由焦距可得c ，离心率得到a ，再根据222b a c =-可得★★答案★★.【详解】因为椭圆的离心率为12，焦距为2， 1c = 112c e a a ===，所以2a =， 由222413b a c =-=-=，得3b =，则椭圆的短轴长223b =， 故★★答案★★为：23.【点睛】本题考查了椭圆的简单几何性质，属于基础题.15. 若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ内是减函数，则实数a 的取值范围是_______.【★★答案★★】2a ≤ 【解析】 试题分析：()()2sin 2cos 4sin cos cos cos 4sin .,62f x x a x x x a x x x a x ππ⎛⎫=-+=-+=-+∈ ⎪⎝'⎭时，()f x 是减函数，又cos 0x >，∴由()0f x '≤得4sin 0,4sin x a a x -+≤∴≤在,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立，()min 4sin ,,262a x x a ππ⎛⎫⎛⎫∴≤∈∴≤⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 考点：1.三角函数的单调性；2.导数的应用．16. 设函数32()32f x x x x =-+，若 1x ，212()x x x <是函数()()g x f x x λ=-的两个极值点，现给出如下结论，正确的是______①122x x +=；②1λ>-；③当10λ-<<时，12()()f x f x >；④2()0g x >；⑤1()0g x > 【★★答案★★】①②③【解析】 【分析】先对函数()()g x f x x λ=-求导，得到2()362g x x x '=-+-λ，根据题中条件，得到1x ，212()x x x <即为方程23620x x -+-=λ的两根，根据韦达定理以及判别式即可判定①②正确；当10λ-<<时，设()0f x '=的两个根为,()m n m n <，y λ=与()y f x '=的交点横坐标为12,x x ，根据函数单调性，即可判定③正确；再由题意，得到121x x ，分别计算1()g x 和2()g x ，即可判定出④⑤都错.【详解】由题意，323()2x g x x x x -+=-λ， 则2()362g x x x '=-+-λ，因为1x ，212()x x x <是函数()()g x f x x λ=-的两个极值点， 而一元二次方程23620x x -+-=λ最多有两个根， 因此1x ，212()x x x <即为方程23620x x -+-=λ的两根， 所以12623x x +==，且=3612(2)0λ∆-->，解得1λ>-；故①②正确； 当10λ-<<时，设()0f x '=的两个根为,()m n m n <，y λ=与()y f x '=的交点横坐标为12,x x ，则12m x x n <<<，所以()y f x =在12(,)x x 上单调递减，所以③正确； 又由1x ，2x 为方程23620x x -+-=λ的两根，则121x x ，所以()322221111111111111()32=(32)336g x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+--+-=-+-+⎣⎦λλ()211230x x =-+≥，故⑤错；同理2222()(23)g x x x =-+符号不确定，故④错.故★★答案★★为：①②③.【点睛】本题主要考查导数的应用，熟记导数的方法判定函数单调性，考点由函数的极值点求参数，属于常考题型.三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a =，△ABC 的外接圆半． （1）求角A 的值；（2）若1c b -=，求△ABC 的面积．【★★答案★★】（1）=3A π或2=3A π；（2）. 【解析】 【分析】 （1）由正弦定理2sin aR A=，结合已知条件即可求角A ；（2）根据（1）的结论，由余弦定理求出bc 的值，应用三角形面积公式即可求△ABC 的面积.【详解】(1)因为a =ABC 的外接圆半径R根据正弦定理2sin a R A =，得sin A=，所以sin A =，又0A π<<， 所以=3A π或2=3A π.(2)由1a c b =-=，当=3A π时，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得2221(1)2(1)cos 3b b b b π=++-+，即221()c b bc =-+，所以20bc =，所以1=sin 2ABCS bc A = 当2=3A π时，根据余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得22221(1)2(1)cos3b b b b π=++-+，即221()3c b bc =--，所以203bc =，所以1=sin 23ABCSbc A =. 【点睛】本题考查了正余弦定理，由正弦定理边角与外接圆半径的关系求角，以及利用余弦定理结合三角形面积公式求三角形面积，属于简单题.18. 设n S 是数列的前n 项和，已知13a =，()123n n a S n N ++=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令()21n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .【★★答案★★】（1）3nn a =；（2）()1133n n T n +=-+.【解析】 【分析】（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得123n n a S -=+，两式相减即得数列{}n a 的通项； （2）利用错位相减法求数列{}n b 的前n 项和n T .【详解】（1）当2n ≥时，由123n n a S +=+，得123n n a S -=+， 两式相减，得11222n n n n n a a S S a +--=-=，∴13n n a a +=，13n na a +=， 当1n =时，13a =，21239a S =+=，则213a a =. ∴数列{}n a 是以3为首项，3为公比的等比数列，∴3nn a =.（2）由（1）得()()21213nn n b n a n =-=-∴()22133353213n n T n =⨯+⨯+⨯++- ()23413133353213n n T n +=⨯+⨯+⨯++-错位相减得()231213232323213n n n T n +-=⨯+⨯+⨯++⨯--所以()119(13)23221313n n n T n -+--=+⨯---，所以()126223n n T n +-=---，∴()1133n n T n +=-+.【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查等比数列的通项和错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.19. 如图，四边形ABCD 为菱形，四边形ACFE 为平行四边形，设BD 与AC 相交于点G ，2AB BD ==，3AE =，EAD EAB ∠=∠.（1）证明：平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）若AE 与平面ABCD 所成角为60︒，求二面角B EF D --的余弦值.【★★答案★★】（1）见解析；（2）513． 【解析】试题分析：（1）根（1）要证面面垂直，需要找线面垂直，本题中重点分析线段BD ，利用条件底面是菱形可得BD AC ⊥，通过全等可知ED EB =，从而BD EG ⊥，故BD 是平面ACFE 的垂线，从而得证；（2）涉及二面角的计算，一般需要建系设点，计算平面的法向量，利用二面角与法向量夹角之间的关系处理，需要注意建系时分析清楚哪三条线互相垂直． 试题解析：（1）证明：连接EG ， ∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=， 在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆， ∴ED EB =， ∴BD EG ⊥， ∵AC EG G ⋂=， ∴BD ⊥平面ACFE ， ∵BD ⊂平面ABCD ， ∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：过G 作EF 垂线，垂足为M ，连接,,MB MG MD ，易得EAC ∠为AE 与面ABCD 所成的角， ∴060EAC ∠=， ∵,EF GM EF BD ⊥⊥， ∴EF ⊥平面BDM ，∴DMB ∠为二面角B EF D --的平面角， 可求得313,2MG DM BM ===， DMB ∆中由余弦定理可得：5cos 13BMD ∠=， ∴二面角B EF D --的余弦值为513； 解法二：如图，在平面ABCD 内，过G 作AC 的垂线，交EF 于M 点，由（1）可知，平面ACFE ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴直线,,GM GA GB 两两互相垂直，分别GA GB GM 、、为,,x y z 轴建立空间直角坐标系G xyz -， 易得EAC ∠为AE 与平面ABCD 所成的角，∴060EAC ∠=，则()()333330,1,0,0,1,0,,22D B E F ⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()333323,0,0,,1,,,1,2222FE BE DE ⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 设平面BEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则·0n FE =且·0n BE =，∴0x =，且3302x y z -+= 取2z =，可得平面BEF 的一个法向量为()0,3,2n =， 同理可求得平面DEF 的一个法向量为()0,3,2m =-， ∴5cos ,13n m 〈〉=， ∴二面角B EF D --的余弦值为513．20. 某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量x （吨）与每吨产品的价格p （元/吨）之间的关系式为：21242005p x =-，且生产x 吨的成本为50000200R x =+（元）. （Ⅰ）写出月利润y (元)关于月生产量x （吨）的函数解析式；（Ⅱ）问该工厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？ 【★★答案★★】（Ⅰ）(3124000500000110105y x x x =-+-<<；（Ⅱ）每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）由题意可得月利润=y px R -,即可得解析式； （Ⅱ）通过求导，研究极值，即可得出最值，计算可得结果.【详解】解：（Ⅰ）每月生产x 吨产品时的利润为21(24200)(50000200)5y x x x =--+ 3124000500005x x =-+-，由0p >，可知0x <<所以(31240005000005y x x x =-+-<<. （Ⅱ）由23()2400005f x x '=-+=，解得12200,200x x ==-（舍去） 由()0f x '>，得0200x <<；由()0f x '<，得200x >；()y f x =在(0,200)递增，在(200,)+∞递减，故()y f x =在200x =取得极大值，也是最大值.最大值为：31(200)(200)240002005000031500005f =-+⨯-=（元）. 答：每月生产200吨产品时利润达到最大，最大利润为315万元.【点睛】此题考查实际问题的函数模型，运用导数求最值问题，属于较易题目.21. 在平面直角坐标系xOy 中，动点E 到定点(1,0)的距离与它到直线1x =-的距离相等． （1）求动点E 的轨迹C 的方程；（2）设动直线:l y kx b =+与曲线C 相切于点P ，与直线1x =-相交于点Q ． 证明：以PQ 为直径的圆恒过x 轴上某定点． 【★★答案★★】（1）24y x =；（2）(1,0)M 【解析】试题分析：（1）设出动点E 的坐标为(),x y ，然后直接利用抛物线的定义求得抛物线方程；（2）设出直线l 的方程为：y kx b =+（0k ≠），联立直线方程和抛物线方程化为关于y 的一元二次方程后由判别式等于0得到k 与b 的关系，求出Q 的坐标，求出切点坐标，再设出M 的坐标，然后由向量 ,MQ MP 的数量积为0证得★★答案★★，并求得M 的坐标． 试题解析：（1）解：设动点E 的坐标为(),x y ，由抛物线定义知，动点E 的轨迹是以()1,0为焦点，1x =-为准线的抛物线，所以动点E 的轨迹C 的方程为24y x =．（2）证明：由24y kx b y x=+⎧⎨=⎩，消去x 得：2440ky y b -+=． 因为直线l 与抛物线相切，所以16160kb ∆=-=，即1b k=． 所以直线l 的方程为1y kx k=+． 令1x =-，得1y k k =-+．所以Q 11,k k ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭．设切点坐标()00,P x y ，则20044+0ky y k-=， 解得：212,P k k ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设(),0M m ， ()21211k MQ MP m m k k k ⎛⎫⎛⎫⋅=---+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 221=2m m m k -+--所以当22=010m m m ⎧+-⎨-=⎩，即10m MQ MP =⋅=时，，所以MQ MP ⊥所以以PQ 为直径的圆恒过x 轴上定点()1,0M ．22. 已知函数2()ln 2x f x x kx =+-，其中R k ∈.（Ⅰ）若曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，求实数k 的值； （Ⅱ）讨论函数()f x 的单调性；（III ）若()f x 存在极值，证明()y f x =有唯一零点0x .【★★答案★★】（Ⅰ）3k =；（Ⅱ）★★答案★★见解析；（III ）证明见解析. 【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数的几何意义求解出切线斜率，将切线与直线的平行关系转化为斜率的关系，从而求解出k 的值；（Ⅱ）对k 与2的关系作分类讨论，当k 2≤时借助基本不等式进行分析，当2k >时根据一元二次方程根的情况进行分析，由此得到()f x 的单调性；（III ）根据（Ⅱ）的结论得到k 的取值范围，分析()f x 在(]20,x 上的取值情况，再结合()2f k 的取值正负完成证明. 【详解】解：（Ⅰ）()1()0f x x k x x'=+->，∵曲线()y f x =在1x =处的切线与直线2x y +=平行，∴(1)1f '=-，即21k -=-，故3k =； （Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.当k 2≤时，1()20f x x k k k x '=+-≥=-≥恒成立，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；② 当2k >时，211()x kx f x x k x x-+'=+-=，令()0f x '=，得210x kx -+=.∵240k ∆=->，∴方程()0f x '=有两不等实根12,22k k x x +==. ∵120x x k +=>，1210x x =>，∴210x x >>.令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<.综上所述，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x 在0,2k ⎛ ⎪⎝⎭上单调递增，在⎝⎭上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. 另法（常规方法）：讨论24k ∆=-的符号.当240k ∆=-≤，即22k -≤≤时，210-+≥x kx 恒成立，则()0f x '≥，()f x 在(0,)+∞上递增；② 当240k ∆=->，即2k <-或2k >时，方程()0f x '=有两不等实根12,x x . （i ）当2k <-时，由12120,10x x k x x +=<=>知120x x <<，则12()()()0x x x x f x x--'=>恒成立，故()f x 在(0,)+∞上递增； （ii ）当2k >时，由12120,10x x k x x +=>=>知210x x >>，令()0f x '>，得10x x <<或2x x >；令()0f x '<，得12x x x <<.故()f x 在1(0,)x 、2(,)x +∞上递增，在12(,)x x 上递减.综上，当k 2≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当2k >时，()f x在0,2k ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在,22k k ⎛-+ ⎪⎝⎭上单调递减，在2k ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增. （III ）由（Ⅱ）知，当k 2≤时，()f x 无极值.当2k >时，由1012k x <==< 知：()f x 的极大值1111()ln ()02x f x x x k =+-<， ()f x 的极小值21()()0f x f x <<，故()f x 在2(0]x ,上无零点．∵224(2)ln(2)2ln(2)02k f k k k k =+-=>，又212k x k +<=<， （用极限,()x f x →+∞→+∞说明，也不扣分）故函数()f x 有唯一零点0x【点睛】本题考查函数与导数的综合应用，其中涉及到导数的几何意义、利用导数分析函数的单调性、利用导数分析函数的零点个数，考查学生利用导数解决问题的综合能力，难度较难.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
