历届中考真题(锐角三角函数)

光明中学九年级（1）班开展数学实践活动，小李沿着东西方向的公路以50 m/min 的速度向 正东方向行走，在A 处测得建筑物C 在北偏东60°方向上，20min 后他走到B 处，测得建筑 物C 在北偏西45°方向上，求建筑物C 到公路AB 的距离．（已知3 1.732≈）如图，在菱形A B C D 中，D E A B ⊥，3cos 5A =，2BE =，求tan DB E ∠。

在东西方向的海岸线l 上有一长为1km 的码头MN （如图），在码头西端M 的正西19.5km 处 有一观察站A ．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A 的北偏西30°，且与A 相距40km 的B 处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A 的北偏东60°，且与A 相距83km 的C 处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那 么轮船能否正好行至码头MN 靠岸？请说明理由．NM 东北BCAl如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD ．小明在山 坡的坡脚A 处测得宣传牌底部D 的仰角为60°，沿山坡向上走到B 处测得宣传牌顶部C 的 仰角为45°．已知山坡AB 的坡度i ＝1:3，AB ＝10米，AE ＝15米，求这块宣传牌CD 的 高度．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：2≈1.414，3≈1.732）北北 ABC60°45°某公园有一滑梯，横截面如图薪示，AB 表示楼梯，BC 表示平台，CD 表示滑道．若点E ，F 均在线段AD 上，四边形BCEF 是矩形，且sin ∠BAF=23，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：(1) ∠D 的度数；(2)线段AE的长．如图，大海中有A 和B 两个岛屿，为测量它们之间的距离，在海岸线PQ 上点E 处测得 ∠AEP ＝74°，∠BEQ ＝30°；在点F 处测得∠AFP ＝60°，∠BF Q ＝60°，EF ＝1km ． （1）判断AB 、AE 的数量关系，并说明理由；（2）求两个岛屿A 和B 之间的距离（结果精确到0.1km ）．（参考数据：3≈1.73，sin74°≈，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC 为10m ，测角仪的高度 CD 为1.5m ，测得树顶A 的仰角为33°．求树的高度AB ．（参考数据：sin 33°≈0.54，cos 33°≈0.84，tan 33°≈0.65）ABE F Q P庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度3i，山坡长为240米，南坡1∶的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）小明在楼上点A处观察旗杆BC，测得旗杆顶部B的仰角为30°，测得旗杆底部C的俯角为60°，已知点A距地面的高AD为12m．求旗杆的高度．图1为平地上一幢建筑物与铁塔图，图2为其示意图．建筑物AB与铁塔CD都垂直于地面，BD=30m，在A点测得D点的俯角为45°，测得C点的仰角为60°．求铁塔CD的高度．P ABQ24.5°49°41°北 东南 西如图，自来水厂A 和村庄B 在小河l 的两侧，现要在A ，B 间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A ，B 间的距离．一小船在点P 处测得A 在正北方向，B 位于南偏东24.5°方向，前行1200m ，到达点Q 处，测得A 位于北偏东49°方向，B 位于南偏西41°方向．（1）线段BQ 与PQ 是否相等？请说明理由； （2）求A ，B 间的距离．（参考数据cos41°＝0.75）如图，某数学课外活动小组测量电视塔AB 的高度，他们借助一个高度为30m 的建筑物CD进行测量，在点C 处塔顶B 的仰角为45°，在点E 处测得B 的仰角为37°（B 、D 、E 三点在一条直线上）．求电视塔的高度h ．（参考数据：sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75）如图，小明在大楼30米高（即PH ＝30米）的窗口P 处进行观测，测得山坡上A 处的俯角为 15°，山脚B 处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i （即tan ∠ABC ）为1：3，点P 、H 、 B 、C 、A 在同一个平面上．点H 、B 、C 在同一条直线上，且PH ⊥HC ．(1)山坡坡角（即∠ABC ）的度数等于 度； (2)求A 、B 两点间的距离（结果精确到0.1 (2)米，参考数据：3≈1.732）．ABECDh 37°45°(第25题)如图，为了测量某建筑物CD 的高度，先在地面上用测角仪自A 处测得建筑物顶部的仰角是 30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m ，此时自B 处测得建筑物顶部的仰角是45 °．已知测角仪的高度是1.5m ，请你计算出该建筑物的高度．（取3＝1.732，结果精确到 1m ）一幢房屋的侧面外墙壁的形状如图所示，它由等腰三角形OCD 和矩形ABCD 组成，∠OCD=25°，外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹，其中一块的形状是四边形EFGH ，测得FG ∥EH ，GH=2.6m ，∠FGB=65°。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，△ABC 内接于⊙O ，2,BC AB AC ==，点D 为AC 上的动点，且10cos B =. (1)求AB 的长度；(2)在点D 运动的过程中，弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ，问AD•AE 的值是否变化？若不变，请求出AD•AE 的值；若变化，请说明理由.(3)在点D 的运动过程中，过A 点作AH ⊥BD ，求证：BH CD DH =+.【答案】(1) 10AB ；(2) 10AD AE ⋅=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，由垂径定理可得BF=1，再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长；（2）连接DG ，则可得AG 为⊙O 的直径，继而可证明△DAG ∽△FAE ，根据相似三角形的性质可得AD•AE=AF•AG ，连接BG ，求得AF=3，FG=13，继而即可求得AD•AE 的值； （3）连接CD ，延长BD 至点N ，使DN=CD ，连接AN ，通过证明△ADC ≌△ADN ，可得AC=AN ，继而可得AB=AN ，再根据AH ⊥BN ，即可证得BH=HD+CD. 【详解】（1)过A 作AF ⊥BC ，垂足为F ，交⊙O 于G ，∵AB=AC ，AF ⊥BC ，∴BF=CF=12BC=1， 在RtΔAFB 中，BF=1，∴AB=10cos 10BF B == （2）连接DG ，∵AF ⊥BC ，BF=CF ，∴AG 为⊙O 的直径，∴∠ADG=∠AFE=90°， 又∵∠DAG=∠FAE ，∴△DAG ∽△FAE ， ∴AD ：AF=AG ：AE ， ∴AD•AE=AF•AG ，连接BG ，则∠ABG=90°，∵BF ⊥AG ，∴BF 2=AF•FG ， ∵22AB BF -=3，∴FG=13，∴AD•AE=AF•AG=AF•（AF+FG）=3×10=10；3（3）连接CD，延长BD至点N，使DN=CD，连接AN，∵∠ADB=∠ACB=∠ABC，∠ADC+∠ABC=180°，∠ADN+∠ADB=180°，∴∠ADC=∠ADN，∵AD=AD，CD=ND，∴△ADC≌△ADN，∴AC=AN，∵AB=AC，∴AB=AN，∵AH⊥BN，∴BH=HN=HD+CD.【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等，综合性较强，正确添加辅助线是解题的关键.2．已知：如图，在四边形 ABCD 中， AB∥CD，∠ACB =90°， AB=10cm， BC=8cm， OD 垂直平分 A C．点 P 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 1cm/s；同时，点 Q 从点 D 出发，沿 DC 方向匀速运动，速度为 1cm/s；当一个点停止运动，另一个点也停止运动．过点P作 PE⊥AB，交 BC 于点 E，过点 Q 作 QF∥AC，分别交 AD， OD 于点 F， G．连接 OP，EG．设运动时间为 t ( s )（0＜t＜5），解答下列问题：（1）当 t 为何值时，点 E 在BAC 的平分线上？（2）设四边形 PEGO 的面积为 S(cm2) ，求 S 与 t 的函数关系式；（3）在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使四边形 PEGO 的面积最大？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；（4）连接 OE， OQ，在运动过程中，是否存在某一时刻 t ，使 OE⊥OQ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）4s t =；（2）PEGO S 四边形2315688t t =-++ ，(05)t <<；（3）52t =时，PEGO S 四边形取得最大值；（4）165t =时，OE OQ ⊥. 【解析】 【分析】（1）当点E 在∠BAC 的平分线上时，因为EP ⊥AB ，EC ⊥AC ，可得PE=EC ，由此构建方程即可解决问题．（2）根据S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ）构建函数关系式即可． （3）利用二次函数的性质解决问题即可．（4）证明∠EOC=∠QOG ，可得tan ∠EOC=tan ∠QOG ，推出EC GQOC OG=，由此构建方程即可解决问题． 【详解】（1）在Rt △ABC 中，∵∠ACB=90°，AB=10cm ，BC=8cm ，∴=6（cm ）， ∵OD 垂直平分线段AC ， ∴OC=OA=3（cm ），∠DOC=90°， ∵CD ∥AB ， ∴∠BAC=∠DCO ， ∵∠DOC=∠ACB ， ∴△DOC ∽△BCA ， ∴AC AB BCOC CD OD ==， ∴61083CD OD==， ∴CD=5（cm ），OD=4（cm ）， ∵PB=t ，PE ⊥AB ， 易知：PE=34t ，BE=54t ，当点E 在∠BAC 的平分线上时， ∵EP ⊥AB ，EC ⊥AC ， ∴PE=EC ，∴34t=8-54t ，∴t=4．∴当t 为4秒时，点E 在∠BAC 的平分线上． （2）如图，连接OE ，PC ．S 四边形OPEG =S △OEG +S △OPE =S △OEG +（S △OPC +S △PCE -S △OEC ） =1414153154338838252524524t t t t t ⎡⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯-⨯+⨯⨯-+⨯-⨯-⨯⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣ =281516(05)33t t t -++<<． （3）存在．∵28568(05)323S t t ⎛⎫=--+<< ⎪⎝⎭，∴t=52时，四边形OPEG 的面积最大，最大值为683．（4）存在．如图，连接OQ ． ∵OE ⊥OQ ，∴∠EOC+∠QOC=90°， ∵∠QOC+∠QOG=90°， ∴∠EOC=∠QOG ，∴tan ∠EOC=tan ∠QOG ， ∴EC GQOC OG=， ∴358544345t tt -=-， 整理得：5t 2-66t+160=0， 解得165t =或10（舍弃） ∴当165t =秒时，OE ⊥OQ ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，多边形的面积等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题.3．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB 与底板OA 所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．（1）求∠CAO＇的度数．（2）显示屏的顶部B＇比原来升高了多少？（3）如图4，垫入散热架后，要使显示屏O＇B＇与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O＇B＇应绕点O＇按顺时针方向旋转多少度？【答案】（1）∠CAO′=30°；（2）（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．【解析】试题分析：（1）通过解直角三角形即可得到结果；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，通过解直角三角形求得BD=OBsin∠BOD=24×=12，由C、O′、B′三点共线可得结果；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，求得∠EO′B′=∠FO′A=30°，既是显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．试题解析：（1）∵O′C⊥OA于C，OA=OB=24cm，∴sin∠CAO′=，∴∠CAO′=30°；（2）过点B作BD⊥AO交AO的延长线于D，∵sin∠BOD=，∴BD=OBsin∠BOD，∵∠AOB=120°，∴∠BOD=60°，∴BD=OBsin∠BOD=24×=12，∵O′C⊥OA，∠CAO′=30°，∴∠AO′C=60°，∵∠AO′B′=120°，∴∠AO′B′+∠AO′C=180°，∴O′B′+O′C﹣BD=24+12﹣12=36﹣12，∴显示屏的顶部B′比原来升高了（36﹣12）cm；（3）显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°，理由：∵显示屏O′B与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F=120°，∴∠FO′A=∠CAO′=30°，∵∠AO′B′=120°，∴∠EO′B′=∠FO′A=30°，∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°．考点：解直角三角形的应用；旋转的性质．4．如图，在⊙O的内接三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E.设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G.(1)求证：△PAC∽△PDF；(2)若AB＝5，，求PD的长；(3)在点P运动过程中，设＝x，tan∠AFD＝y，求y与x之间的函数关系式．(不要求写出x的取值范围)【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.【解析】试题分析：（1）应用圆周角定理证明∠APD＝∠FPC，得到∠APC＝∠FPD，又由∠PAC＝∠PDC，即可证明结论.（2）由AC=2BC，设，应用勾股定理即可求得BC，AC的长，则由AC=2BC得，由△ACE∽△ABC可求得AE，CE的长，由可知△APB是等腰直角三角形，从而可求得PA的长，由△AEF是等腰直角三角形求得EF=AE=4，从而求得DF的长，由（1）△PAC∽△PDF得，即可求得PD的长.（3）连接BP，BD，AD，根据圆的对称性，可得，由角的转换可得，由△AGP∽△DGB可得，由△AGD∽△PGB可得，两式相乘可得结果.试题解析：（1）由APCB内接于圆O，得∠FPC＝∠B，又∵∠B＝∠ACE＝90°－∠BCE，∠ACE＝∠APD，∴∠APD＝∠FPC.∴∠APD＋∠DPC＝∠FPC＋∠DPC，即∠APC＝∠FPD.又∵∠PAC＝∠PDC，∴△PAC∽△PDF.（2）连接BP，设，∵∠ACB=90°，AB=5，∴.∴.∵△ACE∽△ABC，∴，即. ∴.∵AB⊥CD，∴.如图，连接BP，∵，∴△APB是等腰直角三角形. ∴∠PAB＝45°，.∴△AEF是等腰直角三角形. ∴EF=AE=4. ∴DF=6.由（1）△PAC∽△PDF得，即.∴PD的长为.（3）如图，连接BP，BD，AD，∵AC=2BC，∴根据圆的对称性，得AD=2DB，即.∵AB⊥CD，BP⊥AE，∴∠ABP＝∠AFD.∵，∴.∵△AGP∽△DGB，∴.∵△AGD∽△PGB，∴.∴，即.∵，∴.∴与之间的函数关系式为.考点：1.单动点问题；2.圆周角定理；3.相似三角形的判定和性质；4.勾股定理；5.等腰直角三角形的判定和性质；6.垂径定理；7.锐角三角函数定义；8.由实际问题列函数关系式.5．如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，或【解析】（1）证明：∵四边形为正方形，∴∵三角板是等腰直角三角形，∴又三角板绕点逆时针旋转至的位置时，∴···························· 3分（2）存在.································· 4分∵∴过点与平行的直线有且只有一条，并与垂直，又当三角板绕点逆时针旋转一周时，则点在以为圆心，以为半径的圆上，························ 5分∴过点与垂直的直线必是圆的切线，又点是圆外一点，过点与圆相切的直线有且只有2条，不妨设为和此时，点分别在点和点，满足·························· 7分当切点在第二象限时，点在第一象限，在直角三角形中，∴∴∴点的横坐标为：点的纵坐标为：∴点的坐标为··························· 9分当切点在第一象限时，点在第四象限，同理可求：点的坐标为综上所述，三角板绕点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得此时点的坐标为或································ 11分（1）根据旋转的性质找到相等的线段，根据SAS定理证明；（2）由于△OEF是等腰Rt△，若OE∥CF，那么CF必与OF垂直；在旋转过程中，E、F的轨迹是以O为圆心，OE（或OF）长为半径的圆，若CF⊥OF，那么CF必为⊙O的切线，且切点为F；可过C作⊙O的切线，那么这两个切点都符合F点的要求，因此对应的E点也有两个；在Rt△OFC中，OF=2，OC=OA=4，可证得∠FCO=30°，即∠EOC=30°，已知了OE 的长，通过解直角三角形，不难得到E点的坐标，由此得解．6．在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝30°，点D是边BC上一点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°，得到线段AE，连接DE．（1）如图①，当点E落在边BA的延长线上时，∠EDC＝度（直接填空）；（2）如图②，当点E落在边AC上时，求证：BD＝12 EC；（3）当AB＝22，且点E到AC的距离等于3﹣1时，直接写出tan∠CAE的值．【答案】（1）90；（2）详见解析；（3）633 tan EAC-∠=【解析】【分析】（1）利用三角形的外角的性质即可解决问题；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．只要证明△BAD≌△PAE（SAS），提出BD=PE，再证明EC=2PE即可；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，可得EP3，EH＝2PH＝2x，由此FH＝31，CF＝33，由△BAD≌△PAE，得BD＝EP3x，AE＝AD，在Rt△ABG中， AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，故AE2＝AD2＝AF2+EF2，由勾股定理得AF＝3tan∠EAF＝23tan∠EAC＝6-33【详解】（1）如图1中，∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠B＝∠BED＝45°，∴∠EDC＝90°，故答案为90；（2）如图2中，作PA⊥AB交BC于P，连接PE．∵∠DAE＝∠BAP＝90°，∴∠BAD＝∠PAE，∵∠B＝45°，∴∠B＝∠APB＝45°，∴AB＝AP，∵AD＝AE，∴△BAD≌△PAE（SAS），∴BD＝PE，∠APE＝∠B＝45°，∴∠EPD＝∠EPC＝90°，∵∠C＝30°，∴EC＝2PE＝2BD；（3）如图3，作EF⊥AC于F，延长FE交BC于H，作AG⊥BC于G，PA⊥AB交BC于P，连接PE．设PH＝x，在Rt△EPH中，∵∠EPH＝90°，∠EHP＝60°，∴EP＝3x，EH＝2PH＝2x，∴FH＝2x+3﹣1，CF＝3FH＝23x+3﹣3，∵△BAD≌△PAE，∴BD＝EP＝3x，AE＝AD，在Rt△ABG中，∵AB＝22，∴AG＝GB＝2，在Rt△AGC中，AC＝2AG＝4，∵AE2＝AD2＝AF2+EF2，∴22+（2﹣3x）2＝（3﹣1）2+（4﹣23x﹣3+3）2，整理得：9x2﹣12x＝0，解得x＝43（舍弃）或0∴PH＝0，此时E，P，H共点，∴AF＝1+3，∴tan∠EAF＝EFAF ＝3131-+＝2﹣3．根据对称性可知当点E在AC的上方时，同法可得tan∠EAC＝6-33 11．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．7．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得8．关于三角函数有如下的公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②tan（α+β）=③利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan（45°+60°）==﹣（2+）．根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．【答案】建筑物CD的高为84米．【解析】分析：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意易得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，∠ADE=60°，这样在Rt△ABC和在Rt△ADE中，结合题中所给关系式分别求出AB和AE的长，即可由CD=BE=AB-AE求得结果了.详解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，由题意可得∠ACB=75°，∠ABC=90°，DE=BC=42m，CD=BE，∠ADE=60°，∴在Rt△ABC和Rt△ADEAB=BC•tan75°=42tan75°=，AE=，∴CD=AB﹣AE=（米）.答：建筑物CD 的高为84米.睛：读懂题意，把已知量和未知量转化到Rt △ABC 和Rt △ADE 中，这样利用直角三角形中边角间的关系结合题目中所给的“两角和的三角形函数公式”即可使问题得到解决.9．如图，AB 为O 的直径，C 、D 为O 上异于A 、B 的两点，连接CD ，过点C 作CE DB ⊥，交CD 的延长线于点E ，垂足为点E ，直径AB 与CE 的延长线相交于点F .（1）连接AC 、AD ，求证：180DAC ACF ∠+∠=︒. （2）若2ABD BDC ∠=∠. ①求证：CF 是O 的切线.②当6BD =，3tan 4F =时，求CF 的长. 【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；② 203CF =. 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理证得∠ADB=90°，即AD ⊥BD ，由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ，根据平行线的性质即可证得结论；（2）①连接OC ．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1，由已知∠4=2∠1，得到∠4=∠3，则OC ∥DB ，再由CE ⊥DB ，得到OC ⊥CF ，根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线；②由CF ∥AD ，证出∠BAD=∠F ，得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34，求出AD=43BD=8，利用勾股定理求得AB=10，得出OB=OC=，5，再由tanF=OC CF =34，即可求出CF ． 【详解】 解：（1）AB 是O 的直径，且D 为O 上一点，90ADB ∴∠=︒， CE DB ⊥， 90DEC ∴∠=︒， //CF AD ∴，180DAC ACF ∴∠+∠=︒. （2）①如图，连接OC . OA OC =，12∴∠=∠. 312∠=∠+∠， 321∴∠=∠.42BDC ∠=∠，1BDC ∠=∠， 421∴∠=∠， 43∴∠=∠， //OC DB ∴. CE DB ⊥， OC CF ∴⊥.又OC 为O 的半径， CF ∴为O 的切线.②由（1）知//CF AD ，BAD F ∴∠=∠，3tan tan 4BAD F ∴∠==， 34BD AD ∴=. 6BD =483AD BD ∴==，226810AB ∴=+=，5OB OC ==. OC CF ⊥， 90OCF ∴∠=︒，3tan 4OC F CF ∴==，解得203CF =. 【点睛】本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果．10．已知Rt △ABC,∠A=90°,BC=10,以BC 为边向下作矩形BCDE,连AE 交BC 于F. (1)如图1,当AB=AC,且sin ∠BEF=35时，求BF CF 的值；(2)如图2,当tan ∠ABC=12时,过D 作DH ⊥AE 于H,求EH EA ⋅的值； (3)如图3,连AD 交BC 于G,当2FG BF CG =⋅时,求矩形BCDE 的面积【答案】(1)17；（2）80；（3）100. 【解析】 【分析】(1)过A 作AK ⊥BC 于K ,根据sin ∠BEF=35得出35FK AK =,设FK =3a ,AK =5a ，可求得BF =a ,故17BF CF =；（2）过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ，得△EGA ∽△EHD ，利用相似三角形的性质即可求出；（3）延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T ,根据相似三角形的性质可求出BE =ED ，故可求出矩形的面积. 【详解】解：(1)过A 作AK ⊥BC 于K , ∵sin ∠BEF ＝35,sin ∠FAK ＝35, ∴35FK AK =, 设FK =3a ,AK =5a , ∴AK =4a ,∵AB =AC ,∠BAC =90°, ∴BK =CK =4a ,∴BF =a , 又∵CF =7a , ∴17BF CF = (2)过A 作AK ⊥BC 于K ,延长AK 交ED 于G ,则AG ⊥ED ， ∵∠AGE =∠DHE =90°, ∴△EGA ∽△EHD , ∴EH EDEG EA=， ∴·EH EA EG ED ⋅=,其中EG =BK , ∵BC =10,tan ∠ABC ＝12， cos ∠ABC∴BA ＝BC · cos ∠ABCBK= BA·cos ∠ABC 8= ∴EG =8,另一方面：ED =BC =10, ∴EH ·EA =80(3)延长AB 、ED 交于K ,延长AC 、ED 交于T , ∵BC ∥KT , BF AF FG KE AE ED==， ∴BF KE FG DE =，同理：FG EDCG DT= ∵FG 2= BF ·CG ∴BF FGFG CG =， ∴ED 2= KE ·DT ∴KE EDDE DT= ， 又∵△KEB ∽△CDT ,∴KE CDBE DT=， ∴KE ·DT ＝BE 2， ∴BE 2＝ED 2 ∴ BE =ED∴1010100BCDE S =⨯=矩形【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.。

一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC上一点，点F在射线CM上,∠AEF=90°，AE=EF，过点F作射线BC的垂线，垂足为H，连接AC．(1) 试判断BE与FH的数量关系，并说明理由；(2) 求证：∠ACF=90°；(3) 连接AF，过A，E，F三点作圆，如图2. 若EC=4，∠CEF=15°，求的长.图1 图2【答案】（1）BE="FH" ；理由见解析（2）证明见解析（3）=2π【解析】试题分析：（1）由△ABE≌△EHF（SAS）即可得到BE=FH（2）由（1）可知AB=EH，而BC=AB，FH=EB，从而可知△FHC是等腰直角三角形，∠FCH 为45°，而∠ACB也为45°，从而可证明（3)由已知可知∠EAC=30°，AF是直径，设圆心为O，连接EO，过点E作EN⊥AC于点N，则可得△ECN为等腰直角三角形，从而可得EN的长，进而可得AE的长，得到半径，得到所对圆心角的度数，从而求得弧长试题解析：（1）BE=FH．理由如下：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90°，∵FH⊥BC ∴∠FHE=90°又∵∠AEF=90°∴∠AEB+∠HEF="90°" 且∠BAE+∠AEB=90°∴∠HEF=∠BAE ∴∠AEB=∠EFH 又∵AE=EF∴△ABE≌△EHF（SAS）∴BE=FH(2)∵△ABE≌△EHF∴BC=EH，BE=FH 又∵BE+EC=EC+CH ∴BE="CH"∴CH=FH∴∠FCH=45°，∴∠FCM=45°∵AC是正方形对角线，∴∠ACD=45°∴∠ACF=∠FCM +∠ACD =90°（3）∵AE=EF，∴△AEF是等腰直角三角形△AEF外接圆的圆心在斜边AF的中点上．设该中点为O．连结EO得∠AOE=90°过E 作EN ⊥AC 于点NRt △ENC 中，EC=4，∠ECA=45°，∴EN=NC=Rt △ENA 中，EN =又∵∠EAF=45° ∠CAF=∠CEF=15°（等弧对等角）∴∠EAC=30° ∴AE=Rt △AFE 中，AE== EF ，∴AF=8AE 所在的圆O 半径为4，其所对的圆心角为∠AOE=90° =2π·4·（90°÷360°）=2π考点：1、正方形；2、等腰直角三角形；3、圆周角定理；4、三角函数2．（本题满分14分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，弦//CD AB ，动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上，且DQ OP =，AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F （点F 与点C 、D 不重合），20AB =，4cos 5AOC ∠=．设OP x =，CPF ∆的面积为y ．（1）求证：AP OQ =；（2）求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域； （3）当OPE ∆是直角三角形时，求线段OP 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）236030050(10)13x x y x x -+=<<；（3）8OP =【解析】 【分析】（1）证明线段相等的方法之一是证明三角形全等，通过分析已知条件，OP DQ =，联结OD 后还有OA DO =，再结合要证明的结论AP OQ =，则可肯定需证明三角形全等，寻找已知对应边的夹角，即POA QDO ∠=∠即可；（2）根据PFC ∆∽PAO ∆，将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求；（3）分成三种情况讨论，充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及（1）（2）中已证的结论，注意要对不符合（2）中定义域的答案舍去． 【详解】（1）联结OD ，∵OC OD =， ∴OCD ODC ∠=∠， ∵//CD AB ， ∴OCD COA ∠=∠， ∴POA QDO ∠=∠． 在AOP ∆和ODQ ∆中，{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=， ∴AOP ∆≌ODQ ∆， ∴AP OQ =；（2）作PH OA ⊥，交OA 于H ， ∵4cos 5AOC ∠=， ∴4455OH OP x ==，35PH x =， ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=． ∵//CD AB ， ∴PFC ∆∽PAO ∆， ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==， ∴2360300x x y x-+=，当F 与点D 重合时，∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=， ∴101016x x =-，解得5013x =， ∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<； （3）①当90OPE ∠=时，90OPA ∠=，∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=； ②当90POE ∠=时，1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠，∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=， ∵501013OP <<， ∴72OP =（舍去）； ③当90PEO ∠=时，∵//CD AB ， ∴AOQ DQO ∠=∠， ∵AOP ∆≌ODQ ∆， ∴DQO APO ∠=∠， ∴AOQ APO ∠=∠，∴90AEO AOP ∠=∠=，此时弦CD 不存在，故这种情况不符合题意，舍去； 综上，线段OP 的长为8．3．如图，MN 为一电视塔，AB 是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N 与山坡的坡脚A 在同一水平线上，被一个人工湖隔开)，某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度．在坡脚A 处测得塔顶M 的仰角为45°；沿着山坡向上行走40m 到达C 处，此时测得塔顶M 的仰角为30°，请求出电视塔MN 的高度．(参考数据：2≈1.41，3≈1.73，结果保留整数)【答案】95m 【解析】【分析】过点C 作CE ⊥AN 于点E ， CF ⊥MN 于点F ．在△ACE 中，求AE ＝3m ，在RT △MFC 中，设MN ＝x m ，则AN ＝xm ．FC 3xm ，可得x ＋33 ( x －20)，解方程可得答案..【详解】解：过点C 作CE ⊥AN 于点E ， CF ⊥MN 于点F ． 在△ACE 中，AC ＝40m ，∠CAE ＝30° ∴CE ＝FN ＝20m ，AE ＝3设MN＝x m，则AN＝xm．FC＝3xm，在RT△MFC中MF＝MN－FN＝MN－CE＝x－20FC＝NE＝NA＋AE＝x＋203∵∠MCF＝30°∴FC＝3MF，即x＋203＝3 ( x－20)解得：x＝403 31＝60＋203≈95m答：电视塔MN的高度约为95m．【点睛】本题考核知识点：解直角三角形.解题关键点：熟记解直角三角形相关知识，包括含特殊角的直角三角形性质.4．如图1，以点M（－1，0）为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线y＝－x－与⊙M相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点F．（1）请直接写出OE、⊙M的半径r、CH的长；（2）如图2，弦HQ交x轴于点P，且DP:PH＝3:2，求cos∠QHC的值；（3）如图3，点K为线段EC上一动点（不与E、C重合），连接BK交⊙M于点T，弦AT 交x轴于点N．是否存在一个常数a，始终满足MN·MK＝a，如果存在，请求出a的值；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）；（3）a=4【解析】【分析】（1）在直线y＝－x－中，令y=0，可求得E的坐标，即可得到OE的长为5；连接MH，根据△EMH与△EFO相似即可求得半径为2；再由EC=MC=2，∠EHM=90°，可知CH 是RT△EHM斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出CH的长；（2）连接DQ、CQ．根据相似三角形的判定得到△CHP∽△QPD，从而求得DQ的长，在直角三角形CDQ中，即可求得∠D的余弦值，即为cos∠QHC的值；（3）连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，由圆周角定理可知，∠GTA=90°，∠3=∠4，故∠AKC=∠MAN，再由△AMK∽△NMA即可得出结论．【详解】（1）OE=5，r=2，CH=2（2）如图1，连接QC、QD，则∠CQD =90°，∠QHC =∠QDC，易知△CHP∽△DQP，故，得DQ=3，由于CD=4，；（3）如图2，连接AK，AM，延长AM，与圆交于点G，连接TG，则，由于，故，；而，故在和中，；故△AMK∽△NMA;即：故存在常数，始终满足常数a="4"解法二：连结BM，证明∽得5．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到万丰路（直线AO）的距离为120米的点P处．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为5秒且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（1）求A、B之间的路程；（2）请判断此车是否超过了万丰路每小时65千米的限制速度？请说明理由．（参考数≈≈）．23 1.73【答案】【小题1】73.2【小题2】超过限制速度．【解析】AB=-73.2 (米)．…6分解：（1）100(31)(2) 此车制速度v==18.3米/秒6．现有一个“Z“型的工件（工件厚度忽略不计），如图所示，其中AB为20cm，BC为60cm，∠ABC＝90，∠BCD＝60°，求该工件如图摆放时的高度（即A到CD的距离）．（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.73）【答案】工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【解析】【分析】过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，由∠CQP＝∠AQB、∠CPQ＝∠B＝90°知∠A＝∠C ＝60°，在△ABQ中求得分别求得AQ、BQ的长，结合BC知CQ的长，在△CPQ中可得PQ，根据AP＝AQ+PQ得出答案．【详解】解：如图，过点A作AP⊥CD于点P，交BC于点Q，∵∠CQP＝∠AQB，∠CPQ＝∠B＝90°，∴∠A＝∠C＝60°，在△ABQ中，∵AQ＝（cm），BQ＝AB tan A＝20tan60°＝20（cm），∴CQ＝BC﹣BQ＝60﹣20（cm），在△CPQ中，∵PQ＝CQ sin C＝（60﹣20）sin60°＝30（﹣1）cm，∴AP＝AQ+PQ＝40+30（﹣1）≈61.9（cm），答：工件如图摆放时的高度约为61.9cm．【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义求得相关线段的长度是解题的关键．7．已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F，切点为G，连接AG交CD于K．（1）如图1，求证：KE＝GE；（2）如图2，连接CABG，若∠FGB＝12∠ACH，求证：CA∥FE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接CG交AB于点N，若sin E＝35，AK＝10，求CN的长．【答案】（1）证明见解析；（2）△EAD是等腰三角形．证明见解析；（32010 13【解析】试题分析：（1）连接OG，则由已知易得∠OGE=∠AHK=90°，由OG=OA可得∠AGO=∠OAG，从而可得∠KGE=∠AKH=∠EKG，这样即可得到KE=GE；（2）设∠FGB=α，由AB是直径可得∠AGB=90°，从而可得∠KGE=90°-α，结合GE=KE可得∠EKG=90°-α，这样在△GKE中可得∠E=2α，由∠FGB=12∠ACH可得∠ACH=2α，这样可得∠E=∠ACH，由此即可得到CA∥EF；（3）如下图2，作NP⊥AC于P，由（2）可知∠ACH=∠E，由此可得sinE=sin∠ACH=35AHAC，设AH=3a，可得AC=5a，CH=4a ，则tan ∠CAH=43CH AH =，由（2）中结论易得∠CAK=∠EGK=∠EKG=∠AKC ，从而可得CK=AC=5a ，由此可得HK=a ，tan ∠AKH=3AHHK=，AK=10a ，结合AK=10可得a=1，则AC=5；在四边形BGKH 中，由∠BHK=∠BKG=90°，可得∠ABG+∠HKG=180°，结合∠AKH+∠GKG=180°，∠ACG=∠ABG 可得∠ACG=∠AKH ， 在Rt △APN 中，由tan ∠CAH=43PN AP=，可设PN=12b ，AP=9b ，由tan ∠ACG=PN CP =tan ∠AKH=3可得CP=4b ，由此可得AC=AP+CP=13b =5，则可得b=513，由此即可在Rt △CPN 中由勾股定理解出CN 的长. 试题解析：（1）如图1，连接OG ．∵EF 切⊙O 于G ， ∴OG ⊥EF ，∴∠AGO+∠AGE=90°， ∵CD ⊥AB 于H ， ∴∠AHD=90°， ∴∠OAG=∠AKH=90°， ∵OA=OG ， ∴∠AGO=∠OAG ， ∴∠AGE=∠AKH ， ∵∠EKG=∠AKH ， ∴∠EKG=∠AGE ， ∴KE=GE ． （2）设∠FGB=α， ∵AB 是直径， ∴∠AGB=90°，∴∠AGE =∠EKG=90°﹣α， ∴∠E=180°﹣∠AGE ﹣∠EKG=2α，∵∠FGB=12∠ACH ， ∴∠ACH=2α， ∴∠ACH=∠E ，∴CA ∥FE ．（3）作NP ⊥AC 于P ． ∵∠ACH=∠E ， ∴sin ∠E=sin ∠ACH=35AH AC =，设AH=3a ，AC=5a ，则4a =，tan ∠CAH=43CH AH =， ∵CA ∥FE ， ∴∠CAK=∠AGE ， ∵∠AGE=∠AKH ， ∴∠CAK=∠AKH ，∴AC=CK=5a ，HK=CK ﹣CH=4a ，tan ∠AKH=AHHK=3，=， ∵∴=∴a=1．AC=5， ∵∠BHD=∠AGB=90°， ∴∠BHD+∠AGB=180°，在四边形BGKH 中，∠BHD+∠HKG+∠AGB+∠ABG=360°， ∴∠ABG+∠HKG=180°， ∵∠AKH+∠HKG=180°， ∴∠AKH=∠ABG ， ∵∠ACN=∠ABG ， ∴∠AKH=∠ACN ， ∴tan ∠AKH=tan ∠ACN=3， ∵NP ⊥AC 于P ， ∴∠APN=∠CPN=90°， 在Rt △APN 中，tan ∠CAH=43PN AP =，设PN=12b ，则AP=9b ， 在Rt △CPN 中，tan ∠ACN=PNCP=3， ∴CP=4b ， ∴AC=AP+CP=13b ， ∵AC=5， ∴13b=5， ∴b=513，∴=b8．如图，AB为⊙O的直径，P是BA延长线上一点，CG是⊙O的弦∠PCA＝∠ABC，CG⊥AB，垂足为D(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)求证：PA AD PC CD；(3)过点A作AE∥PC交⊙O于点E，交CD于点F，连接BE，若sin∠P＝35，CF＝5，求BE的长．【答案】（1）见解析；（2）BE=12．【解析】【分析】（1）连接OC，由PC切⊙O于点C，得到OC⊥PC，于是得到∠PCA+∠OCA=90°，由AB为⊙O的直径，得到∠ABC+∠OAC=90°，由于OC=OA，证得∠OCA=∠OAC，于是得到结论；（2）由AE∥PC，得到∠PCA=∠CAF根据垂径定理得到弧AC=弧AG，于是得到∠ACF=∠ABC，由于∠PCA=∠ABC，推出∠ACF=∠CAF，根据等腰三角形的性质得到CF=AF，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，求得FD=3，AD=4，CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，根据勾股定理得到方程r2=（r-4）2+82，解得r=10，得到AB=2r=20，由于AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，在R t△ABE中，由sin∠EAD=35，得到BEAB＝35，于是求得结论．【详解】（1）证明：连接OC，∵PC切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠PCO=90°，∴∠PCA+∠OCA=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ABC+∠OAC=90°，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠PCA=∠ABC；（2）解：∵AE∥PC，∴∠PCA=∠CAF，∵AB⊥CG，∴弧AC=弧AG，∴∠ACF=∠ABC，∵∠PCA=∠ABC，∴∠ACF=∠CAF，∴CF=AF，∵CF=5，∴AF=5，∵AE∥PC，∴∠FAD=∠P，∵sin∠P=35，∴sin∠FAD=35，在R t△AFD中，AF=5，sin∠FAD=35，∴FD=3，AD=4，∴CD=8，在R t△OCD中，设OC=r，∴r2=（r﹣4）2+82，∴r=10，∴AB=2r=20，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°，在R t△ABE中，∵sin∠EAD=35，∴35BEAB，∵AB=20，∴BE=12．【点睛】本题考查切线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，等腰三角形的性质，解题关键是连接OC构造直角三角形．9．已知Rt△ABC，∠BAC＝90°，点D是BC中点，AD＝AC，BC＝43，过A，D两点作⊙O，交AB于点E，（1）求弦AD的长；（2）如图1，当圆心O在AB上且点M是⊙O上一动点，连接DM交AB于点N，求当ON 等于多少时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形？（3）如图2，当圆心O不在AB上且动圆⊙O与DB相交于点Q时，过D作DH⊥AB（垂足为H）并交⊙O于点P，问：当⊙O变动时DP﹣DQ的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．【答案】（1）23（2）当ON等于13﹣1时，三点D、E、M组成的三角形是等腰三角形（3）不变，理由见解析【解析】【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到AD的长；（2）连DE、ME，易得当ED和EM为等腰三角形EDM的两腰，根据垂径定理得推论得OE⊥DM，易得到△ADC为等边三角形，得∠CAD=60°，则∠DAO=30°，∠DON=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得DN=1233；当MD=ME，DE为底边，作DH⊥AE，由于3∠DAE=30°，得到3，∠DEA=60°，DE=2，于是OE=DE=2，OH=1，又∠M=∠DAE=30°，MD=ME，得到∠MDE=75°，则∠ADM=90°-75°=15°，可得到∠DNO=45°，根据等腰直角三角形的性质得到； （3）连AP 、AQ ，DP ⊥AB ，得AC ∥DP ，则∠PDB=∠C=60°，再根据圆周角定理得∠PAQ=∠PDB ，∠AQC=∠P ，则∠PAQ=60°，∠CAQ=∠PAD ，易证得△AQC ≌△APD ，得到DP=CQ ，则DP-DQ=CQ-DQ=CD ，而△ADC 为等边三角形，DP-DQ 的值． 【详解】解：（1）∵∠BAC ＝90°，点D 是BC 中点，BC ＝ ∴AD ＝12BC ＝ （2）连DE 、ME ，如图，∵DM ＞DE ， 当ED 和EM 为等腰三角形EDM 的两腰， ∴OE ⊥DM ， 又∵AD ＝AC ，∴△ADC 为等边三角形， ∴∠CAD ＝60°， ∴∠DAO ＝30°， ∴∠DON ＝60°，在Rt △ADN 中，DN ＝12AD ，在Rt △ODN 中，ON DN ＝1， ∴当ON 等于1时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形； 当MD ＝ME ，DE 为底边，如图3，作DH ⊥AE ， ∵AD ＝∠DAE ＝30°，∴DH∠DEA ＝60°，DE ＝2， ∴△ODE 为等边三角形， ∴OE ＝DE ＝2，OH ＝1， ∵∠M ＝∠DAE ＝30°， 而MD ＝ME ， ∴∠MDE ＝75°，∴∠ADM ＝90°﹣75°＝15°， ∴∠DNO ＝45°，∴△NDH 为等腰直角三角形， ∴NH ＝DH∴ON ﹣1；综上所述，当ON 等于11时，三点D 、E 、M 组成的三角形是等腰三角形；（3）当⊙O 变动时DP ﹣DQ 的值不变，DP ﹣DQ ＝．理由如下：连AP、AQ，如图2，∵∠C＝∠CAD＝60°，而DP⊥AB，∴AC∥DP，∴∠PDB＝∠C＝60°，又∵∠PAQ＝∠PDB，∴∠PAQ＝60°，∴∠CAQ＝∠PAD，∵AC＝AD，∠AQC＝∠P，∴△AQC≌△APD，∴DP＝CQ，∴DP﹣DQ＝CQ﹣DQ＝CD＝23．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理：平分弧的直径垂直弧所对的弦；在同圆和等圆中，相等的弧所对的圆周角相等．也考查了等腰三角形的性质以及含30°的直角三角形三边的关系．10．如图，湿地景区岸边有三个观景台、、.已知米，米，点位于点的南偏西方向，点位于点的南偏东方向.(1)求的面积；(2)景区规划在线段的中点处修建一个湖心亭，并修建观景栈道.试求、间的距离.(结果精确到米)(参考数据：，，，，，，)【答案】（1）560000（2）565.6【解析】试题分析：（1）过点作交的延长线于点，，然后根据直角三角形的内角和求出∠CAE，再根据正弦的性质求出CE的长，从而得到△ABC的面积；（2）连接，过点作，垂足为点，则.然后根据中点的性质和余弦值求出BE、AE的长，再根据勾股定理求解即可.试题解析：(1)过点作交的延长线于点，在中，，所以米.所以(平方米).(2)连接，过点作，垂足为点，则.因为是中点，所以米，且为中点，米，所以米.所以米，由勾股定理得，米.答：、间的距离为米.考点：解直角三角形。

23锐角三角函数（共65题）一、单选题1．（2021·湖南中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．0(3)1π-= B ．1tan 302=︒ C 2=± D ．236a a a ⋅=2．（2021·福建中考真题）如图，某研究性学习小组为测量学校A 与河对岸工厂B 之间的距离，在学校附近选一点C ，利用测量仪器测得60,90,2km A C AC ∠=︒∠=︒=．据此，可求得学校与工厂之间的距离AB 等于（ ）A ．2km B ．3km C ． D ．4km3．（2021·浙江金华市·中考真题）如图是一架人字梯，已知2AB AC ==米，AC 与地面BC 的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC 为（ ）A ．4cos α米B ．4sin α米C ．4tan α米D ．4cos α米 4．（2021·湖北随州市·中考真题）如图，某梯子长10米，斜靠在竖直的墙面上，当梯子与水平地面所成角为α时，梯子顶端靠在墙面上的点A 处，底端落在水平地面的点B 处，现将梯子底端向墙面靠近，使梯子与地面所成角为β，已知3sin cos 5αβ==，则梯子顶端上升了（ ）A ．1米B ．1.5米C ．2米D ．2.5米5．（2021·湖南衡阳市·中考真题）如图是某商场营业大厅自动扶梯的示意图．自动扶梯AB 的倾斜角为37︒，大厅两层之间的距离BC 为6米，则自动扶梯AB 的长约为（sin370.6,cos370.8,tan370.75︒≈︒≈︒≈）（ ）．A ．7.5米B ．8米C ．9米D ．10米6．（2021·天津中考真题）tan 30︒的值等于（ ）A B C ．1 D ．27．（2021·湖南株洲市·中考真题）某限高曲臂道路闸口如图所示，AB 垂直地面1l 于点A ，BE 与水平线2l 的夹角为()090αα︒≤≤︒，12////EF l l ，若 1.4AB =米，2BE =米，车辆的高度为h （单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．①当90α=︒时，h 小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；①当45α=︒时，h 等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；①当60α=︒时，h 等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．则上述说法正确的个数为（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．（2021·重庆中考真题）如图，在建筑物AB 左侧距楼底B 点水平距离150米的C 处有一山坡，斜坡CD 的坡度（或坡比）为1:2.4i =，坡顶D 到BC 的垂直距离50DE =米（点A ，B ，C ，D ，E 在同一平面内），在点D 处测得建筑物顶A 点的仰角为50°，则建筑物AB 的高度约为（参考数据：sin 500.77︒≈；cos500.64︒≈；tan 50 1.19︒≈）A ．69.2米B ．73.1米C ．80.0米D ．85.7米9．（2021·浙江中考真题）如图，已知在矩形ABCD 中，1,AB BC ==，点P 是AD 边上的一个动点，连结BP ，点C 关于直线BP 的对称点为1C ，当点P 运动时，点1C 也随之运动．若点P 从点A 运动到点D ，则线段1CC 扫过的区域的面积是（ ）A ．πB ．4π+C ．2D ．2π10．（2021·浙江丽水市·中考真题）如图，AB 是O 的直径，弦CD OA ⊥于点E ，连结,OC OD ．若O 的半径为,m AOD α∠=∠，则下列结论一定成立的是（ ）A ．tan OE m α=⋅B ．2sin CD m α=⋅C ．cos AE m α=⋅D ．2sin COD S m α=⋅11．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在ABC 中，45,60,B C AD BC ∠=︒∠=︒⊥于点D ，BD =．若E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则EF 的长为（ ）A B C ．1 D 12．（2021·云南中考真题）在ABC 中，90ABC ∠=︒，若s n 3100,5i A A C ==，则AB 的长是（ ）A ．5003B ．5035C ．60D ．8013．（2021·山东泰安市·中考真题）如图，为了测量某建筑物BC 的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B 在同一水平线上的A 点出发，沿斜坡AD 行走130米至坡顶D 处，再从D 处沿水平方向继续前行若干米后至点E 处，在E点测得该建筑物顶端C 的仰角为60°，建筑物底端B 的俯角为45°，点A 、B 、C 、D 、E 在同一平面内，斜坡AD 的坡度1:2.4i =．根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC 的高度约为（ ） 1.732≈）A ．136.6米B ．86.7米C ．186.7米D ．86.6米14．（2021·江苏连云港市·中考真题）如图，ABC 中，BD AB ⊥，BD 、AC 相交于点D ，47AD AC =，2AB =，150ABC ∠=︒，则DBC △的面积是（ ）A ．14B ．14C ．7D ．715．（2021·浙江绍兴市·中考真题）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（ ）A ．32 B C D ．216．（2021·重庆中考真题）如图，相邻两个山坡上，分别有垂直于水平面的通信基站MA 和N D ．甲在山脚点C 处测得通信基站顶端M 的仰角为60°，测得点C 距离通信基站MA 的水平距离CB 为30m ；乙在另一座山脚点F 处测得点F 距离通信基站ND 的水平距离FE 为50m ，测得山坡DF 的坡度i =1：1.25．若58ND DE =，点C ，B ，E ，F 在同一水平线上，则两个通信基站顶端M 与顶端N 的高度差为（ ） 1.41 1.73≈≈）A ．9.0mB ．12.8mC ．13.1mD ．22.7m17．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，15AB =，20BC =，把边AB 沿对角线BD 平移，点'A ，'B 分别对应点A ，B ．给出下列结论：①顺次连接点'A ，'B ，C ，D 的图形是平行四边形；①点C 到它关于直线'AA 的对称点的距离为48；①''A C B C -的最大值为15；①''A C B C +的最小值为确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．（2021·浙江温州市·中考真题）图1是第七届国际数学教育大会（ICME ）的会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC ．若1AB BC ==．AOB α∠=，则2OC 的值为（ ）A ．211sin α+B ．2sin 1α+C ．211cos α+D ．2cos 1α+19．（2021·四川南充市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，点E ，F分別在边AB ，BC 上，2AE BF ==，DEF 的周长为，则AD 的长为（ ）AB ．C 1D ．120．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，60D ∠=︒，2AB =，以B 为圆心、BC 长为半径画AC ，点P 为菱形内一点，连接PA ，PB ，PC ．当BPC △为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（ ）A ．2132π- B ．2132π- C ．2π D ．122π- 21．（2021·吉林长春市·中考真题）如图是净月潭国家森林公园一段索道的示意图．已知A 、B 两点间的距离为30米，A α∠=，则缆车从A 点到达B 点，上升的高度（BC 的长）为（ ）A ．30sin α米B ．30sin α米C ．30cos α米D ．30cos α米 22．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，AC 为矩形ABCD 的对角线，已知3AD =，4CD =．点P 沿折线C A D --以每秒1个单位长度的速度运动（运动到D 点停止），过点P 作PE BC ⊥于点E ，则CPE △的面积y 与点P 运动的路程x 间的函数图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．23．（2021·四川达州市·中考真题）在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22AOB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（ ）A ．()202020202,2-B ．()202120212,2C ．()202020202,2D ．()201120212,2-24．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，小明利用一个锐角是30的三角板测量操场旗杆的高度，已知他与旗杆之间的水平距离BC 为15m ，AB 为1.5m （即小明的眼睛与地面的距离），那么旗杆的高度是（ ）A ．3m2⎛⎫+ ⎪⎝⎭ B ． C ． D ．3m 2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 25．（2021·浙江台州市·中考真题）如图，将长、宽分别为12cm ，3cm 的长方形纸片分别沿AB ，AC 折叠，点M ，N 恰好重合于点P ．若①α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（ ）A ．（36-）cm 2 B ．（36-cm 2 C ．24 cm 2D ．36 cm 2 26．（2021·湖南怀化市·中考真题）如图，菱形ABCD 的四个顶点均在坐标轴上，对角线AC 、BD 交于原点O ，AE BC ⊥于E 点，交BD 于M 点，反比例函数0)y x =>的图象经过线段DC 的中点N ，若4BD =，则ME 的长为（ ）A ．53ME = B ．43=ME C ．1ME = D ．23ME = 27．（2021·湖北十堰市·中考真题）如图，ABC 内接于,120,,O BAC AB AC BD ∠=︒=是O 的直径，若3AD =，则BC =（ ）A．B ．C ．3D ．4二、填空题 28．（2021·江苏无锡市·中考真题）一条上山直道的坡度为1：7，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为________米．29．（2021·广东中考真题）如图，在ABCD 中，45,12,sin 5AD AB A ===．过点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，则sin BCE ∠=______．30．（2021·安徽中考真题）如图，圆O 的半径为1，ABC 内接于圆O ．若60A ∠=︒，75B ∠=︒，则AB =______．31．（2021·海南中考真题）如图，ABC 的顶点B C 、的坐标分别是(1,0)、，且90,30ABC A ∠=︒∠=︒，则顶点A 的坐标是_____．32．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，E 是BC 边上一点，90,30,AED EAD F ∠=︒∠=︒是AD 边的中点，4cm EF =，则BE =________cm ．33．（2021·四川广元市·中考真题）如图，在44⨯的正方形网格图中，已知点A 、B 、C 、D 、O 均在格点上，其中A 、B 、D 又在O 上，点E 是线段CD 与O 的交点．则BAE ∠的正切值为________．34．（2021·湖南中考真题）如图，在ABC 中，5AB =，4AC =，4sin 5A =，BD AC⊥交AC 于点D ．点P 为线段BD 上的动点，则35PC PB +的最小值为________．35．（2021·湖北武汉市·中考真题）如图，海中有一个小岛A ，一艘轮船由西向东航行，在B 点测得小岛A 在北偏东60︒方向上；航行12n mile 到达C 点，这时测得小岛A 在北偏东30方向上．小岛A 到航线BC 的距离是__________n mile 1.73≈，结果用四舍五入法精确到0.1）．36．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，为了测量“四川大渡河峡谷”石碑的高度，佳佳在点C 处测得石碑顶A 点的仰角为30，她朝石碑前行5米到达点D 处，又测得石顶A 点的仰角为60︒，那么石碑的高度AB 的长=________米．（结果保留根号）37．（2021·四川乐山市·中考真题）如图，已知点(4,3)A ，点B 为直线2y =-上的一动点，点()0,C n ，23n -<<，AC BC ⊥于点C ，连接AB ．若直线AB 与x 正半轴所夹的锐角为α，那么当sin α的值最大时，n 的值为________．38．（2021·浙江衢州市·中考真题）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =．（1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）39．（2021·浙江中考真题）如图，已知在Rt ABC 中，90,1,2ACB AC AB ∠=︒==，则sin B 的值是______．40．（2021·浙江宁波市·中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，BEC△与FEC 关于直线EC 对称，点B 的对称点F 在边AD 上，G 为CD 中点，连结BG 分别与,CE CF 交于M ，N 两点，若BM BE =，1MG =，则BN 的长为________，sin AFE ∠的值为__________．41．（2021·四川乐山市·中考真题）在Rt ABC 中，90C ∠=︒．有一个锐角为60︒，4AB =．若点P 在直线AB 上（不与点A 、B 重合），且30PCB ∠=︒，则CP 的长为________．42．（2021·湖北荆州市·中考真题）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB ，BC 可分别绕点A ，B 转动，测量知8cm BC =，16cm AB =．当AB ，BC 转动到60=︒∠BAE ，50ABC ∠=︒时，点C 到AE 的距离为_____________cm ．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin 700.94︒≈ 1.73≈）43．（2021·山西中考真题）太原地铁2号线是山西省第一条开通运营的地铁线路，于2020年12月26日开通．如图是该地铁某站扶梯的示意图，扶梯AB 的坡度5:12i =（i 为铅直高度与水平宽度的比）．王老师乘扶梯从扶梯底端A 以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为__________米．44．（2021·湖北宜昌市·中考真题）“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米．（圆周率用π表示）45．（2021·湖北黄冈市·中考真题）如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53︒，观测旗杆底部B的仰角为45︒，则建筑物BC 的高约为_____m（结果保留小数点后一位）．（参考数据sin530.80︒≈，︒≈，cos530.60 tan53 1.33︒≈）46．（2021·四川眉山市·中考真题）如图，在菱形ABCD 中，10AB AC ==，对角线AC 、BD 相交于点O ，点M 在线段AC 上，且3AM =，点P 为线段BD 上的一个动点，则12MP PB +的最小值是______．47．（2021·江苏苏州市·中考真题）如图，射线OM 、ON 互相垂直，8OA =，点B 位于射线OM 的上方，且在线段OA 的垂直平分线l 上，连接AB ，5AB =．将线段AB 绕点O 按逆时针方向旋转得到对应线段A B ''，若点B '恰好落在射线ON 上，则点A '到射线ON 的距离d ≈______．48．（2021·新疆中考真题）如图，已知正方形ABCD 边长为1，E 为AB 边上一点，以点D 为中心，将DAE △按逆时针方向旋转得DCF ，连接EF ，分別交BD ，CD 于点M ，N ．若25AE DN =，则sin EDM ∠=__________．49．（2021·四川达州市·中考真题）如图，在边长为6的等边ABC∆中，点E，F分别是边AC，BC上的动点，且AE CF=，连接BE，AF交于点P，连接CP，则CP的最小值为___________．三、解答题50．（2021·广东中考真题）如图，在Rt ABC中，90A∠=︒，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE AB=．（1）若1AE=，求ABD△的周长；（2）若13AD BD=，求tan ABC∠的值．51．（2021·内蒙古通辽市·中考真题）计算；101(3)2cos30|32π-⎛⎫+--︒+ ⎪⎝⎭ 52．（2021·湖南中考真题）“2021湖南红色文化旅游节——重走青年毛泽东游学社会调查之路”启动仪式于4月29日在安化县梅城镇举行．该镇南面山坡上有一座宝塔，一群爱好数学的学生在研学之余对该宝塔的高度进行了测量．如图所示，在山坡上的A 点测得塔底B 的仰角13BAC ∠=︒，塔顶D 的仰角38DAC ∠=︒，斜坡50AB =米，求宝塔BD 的高（精确到1米）（参考数据：sin130.22,cos130.97,tan130.23,sin380.62,cos380.79,tan380.78︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈︒≈）53．（2021·湖南中考真题）已知锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，边角总满足关系式：sin sin sin a b c A B C==．（1）如图1，若6,45,75a B C =∠=∠=︒︒，求b 的值；（2）某公园准备在园内一个锐角三角形水池ABC 中建一座小型景观桥CD （如图2所示），若,14CD AB AC ⊥=米，10AB =米，sin 14ACB ∠=，求景观桥CD 的长度． 54．（2021·湖南张家界市·中考真题）张家界大峡谷玻璃桥是我市又一闻名中外的五星景点．某校初三年级在一次研学活动中，数学研学小组设计以下方案测量桥的高度．如图，在桥面正下方的谷底选一观测点A ，观测到桥面B ，C 的仰角分别为30,60︒︒，测得BC 长为320米，求观测点A 到桥面BC 的距离．（结果保留整数，1.73≈）55．（2021·黑龙江绥化市·中考真题）一种可折叠的医疗器械放置在水平地面上，这种医疗器械的侧面结构如图实线所示，底座为ABC ，点B C D 、、在同一条直线上，测得90,60,32cm ACB ABC AB ∠=︒∠=︒=，75BDE ∠=︒，其中一段支撑杆84cm CD =，另一段支撑杆70cm DE =，求支撑杆上的点E 到水平地面的距离EF 是多少?（用四舍五入法对结果取整数，参考数据sin150.26,cos150.97,tan15 1.732︒≈︒≈︒≈≈）56．（2021·浙江宁波市·中考真题）我国纸伞的制作工艺十分巧妙．如图1，伞不管是张开还是收拢，伞柄AP 始终平分同一平面内两条伞骨所成的角BAC ∠，且AB AC =，从而保证伞圈D 能沿着伞柄滑动．如图2是伞完全收拢时伞骨的示意图，此时伞圈D已滑动到点D的位置，且A，B，D三点共线，40cmAD'=，B 为AD'中点，当140∠=︒时，伞完全张开．BAC（1）求AB的长．（2）当伞从完全张开到完全收拢，求伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离．（参考数︒≈︒≈︒≈）据：sin70094,cos700.34,tan70 2.7557．（2021·江西中考真题）图1是疫情期间测温员用“额温枪”对小红测温时的实景图，图2是其侧面示意图，其中枪柄BC与手臂MC始终在同一直线上，枪身BA 与额头保持垂直量得胳膊28cmMB=，肘关节M与枪身端点A之间的MN=，42cm水平宽度为25.3cm（即MP的长度），枪身8.5cmBA=．图1（1）求ABC ∠的度数；（2）测温时规定枪身端点A 与额头距离范围为3~5cm ．在图2中，若测得68.6BMN ∠=°，小红与测温员之间距离为50cm 问此时枪身端点A 与小红额头的距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位）（参考数据：sin 66.40.92︒≈，cos 66.40.40=°，sin 23.60.40︒≈1.414≈） 58．（2021·甘肃武威市·中考真题）如图1是平凉市地标建筑“大明宝塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明代平凉韩王府延恩寺的主体建筑．宝塔建造工艺精湛，与崆峒山的凌空塔遥相呼应，被誉为平凉古塔“双璧”．某数学兴趣小组开展了测量“大明宝塔的高度”的实践活动，具体过程如下：方案设计：如图2，宝塔CD 垂直于地面，在地面上选取,A B 两处分别测得CAD ∠和CBD ∠的度数（,,A D B 在同一条直线上）．数据收集：通过实地测量：地面上,A B 两点的距离为58m,42,58CAD CBD ∠=︒∠=︒．问题解决：求宝塔CD 的高度（结果保留一位小数）．参考数据：sin 420.67,cos420.74,tan 420.90︒≈︒=︒≈，sin580.85,cos580.53,tan58 1.60︒=︒=︒=．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．59．（2021·青海中考真题）如图1是某中学教学楼的推拉门，已知门的宽度2AD =米，且两扇门的大小相同（即AB CD =），将左边的门11ABB A 绕门轴1AA 向里面旋转35︒，将右边的门11CDD C 绕门轴1DD 向外面旋转45︒，其示意图如图2，求此时B 与C之间的距离（结果保留一位小数）．（参考数据sin 350.6︒≈，cos350.8︒≈ 1.4≈）．60．（2021·四川成都市·中考真题）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是我市积极落实节能环保的举措．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度．如图，已知测倾器的高度为1.6米，在测点A 处安置测倾器，测得点M 的仰角33MBC ∠=︒，在与点A 相距3.5米的测点D 处安置测倾器，测得点M 的仰角45MEC ∠=︒ （点A ，D 与N 在一条直线上），求电池板离地面的高度MN 的长．（结果精确到1米；参考数据：sin330.54,cos330.84,tan330.65︒≈︒≈︒≈）61．（2021·山东聊城市·中考真题）时代中学组织学生进行红色研学活动．学生到达爱国主义教育基地后，先从基地门口A 处向正南方向走300米到达革命纪念碑B 处，再从B 处向正东方向走到党史纪念馆C 处，然后从C 处向北偏西37°方向走200米到达人民英雄雕塑D处，最后从D处回到A处．已知人民英雄雕塑在基地门口的南偏东65°方向，求革命纪念碑与党史纪念馆之间的距离（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）62．（2021·四川广元市·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75︒，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45︒．已知操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为（1）求此时无人机的高度；（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：︒=+tan152tan752︒=计算结果保留根号）63．（2021·四川资阳市·中考真题）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020－2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为1:2.4i=的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45︒，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53︒（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：434︒≈︒≈︒≈）sin53,cos53,tan53553（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．64．（2021·江苏连云港市·中考真题）我市的前三岛是众多海钓人的梦想之地．小明的爸爸周末去前三岛钓鱼，将鱼竿AB摆成如图1所示．已知 4.8mAB=，鱼竿尾端A离岸边0.4m，即0.4mAD=．海面与地面AD平行且相距1.2m，即 1.2mDH=．（1）如图1，在无鱼上钩时，海面上方的鱼线BC与海面HC的夹角37∠=︒，BCH海面下方的鱼线CO与海面HC垂直，鱼竿AB与地面AD的夹角22∠=︒．求点BADO到岸边DH的距离；（2）如图2，在有鱼上钩时，鱼竿与地面的夹角53BAD ∠=︒，此时鱼线被拉直，鱼线 5.46m BO =，点O 恰好位于海面．求点O 到岸边DH 的距离．（参考数据：3sin 37cos535︒=︒≈，4cos37sin 535=︒︒≈，3tan 374︒≈，3sin 228︒≈，15cos2216︒≈，2tan 225︒≈）65．（2021·四川凉山彝族自治州·中考真题）王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45︒，再从C 点出发沿斜坡走米到达斜坡上D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30︒，若斜坡CF 的坡比为1:3i =（点E C H ，，在同一水平线上）．（1）求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；（2）求大树AB 的高度（结果保留根号）．。