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• 对于不等式 |ax＋b|＜c (c＞0)，乃基本不等式 的推广，应用整体思想，视ax＋b为一个整体， 可迅速地将原不等式转化为－c＜ax＋b＜c．
第2页，共12页。
• 例1 解不等式 |3x－4|≥x＋2 • 解绝对值不等式，重在去绝对值符号，回绕
此来展开思路，不难产生如下想法． • 思考一：讨论3x－4的符号去绝对值符号； • 思考二：讨论x＋2的符号； • 思考三：直接去绝对值符号． • 原不等式可化为 • 3x－4≤－(x＋2) 或 3x－4≥x＋2 • 解得 x≤1/2 或 x≥3．
• 解得 x＜－2 或 x＞3
• 因此 ∁U A＝{x | －2≤x≤3 }． • ∵ ∁U A∩B＝B，∴ B ∁U A • 当c≤0时，B＝，显然B是A的子集．
• 当c＞0时，由 |x＋1|＜c 得 －c＜x＋1＜c，故 －c－1＜x＜c－1．
∵AB，∴c－－c－1≤1≥3 －2
解得 c≤1． ∴ 0＜c≤1．
例 解关于x的不等式 a|x－1|＞2＋a
• 当a＜0时，x∈R． 当c≤0时，B＝ ，显然B是A的子集．
观察：|x－3|－|x＋1|＜1的点应位于点的右侧，故不等式的解集为 {x | x＞1/2}． 当a＝1时，y＝a，此时函数 y＝(1－a)x－a＝－1为常函数，
• 当a＝0时，x∈R且x≠0。 1) 函数y＝|x－3|－|x＋1|的值域为____．
Ⅲ)
x＞3 (x－3)－(x＋1)＜1
I）
的解集为空集；Ⅱ）的解为
1 2
＜x≤3；Ⅲ）的解为 x＞3
综上所述，原不等式的解集为{x | x＞12 }． 另解: 注意到式子|x－3|－|x＋1|表示数轴上坐标为x的一点到坐标 为3的点的距离与到坐标为－1的点的距离的差．

x2 x2
x 1 x 1
x 2 0时，即x 2时,
x 1 0时，即x 1时，
x 2 (x 2)
x 1 (x 1)
1、当x 2且x 1时，即x 1
2、当x 2且x 1时， 2 x 1 3、当x 2且x 1时，x 2
2
1
4、当x 2且x 1时，x
13
14
15
6
小结2 形如|ax+b|≤c, |ax+b|≥c型
不等式的解法:
ax b c c ax b c
ax b c ax b c或ax b c
7
8
9
10
[拓展]解不等式.
(1)1 2x 1 3
解：由原不等式得
2x 1 3 2x 1 1
得x
1 x 1或x
2
含绝对值的不等式的解法
1
1.理解绝对值的代数意义和几何意 义，掌握去绝对值的方法.
2.会求解以下类型的不等式： ax b c; ax b c
|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c
2
1.绝对值的代数意义:
x
x x
(x 0) (x 0)
2.绝对值的几何意义:
一个数的绝对值表示这个数在数轴上
0
(2) x 9 x 1
解：由原不等式得 x 9 2 x 12 解得x 5 x (5,)
1 0 1 2
解得 1 x 0或1 x 2 x (1,0) (1,2)
11
二、解不等式|x+2|+|x-1|≥5.
思考：解这个不等式的关键是什么？
如何去掉绝对值符号？
方法1、几何意义
记x对应的点为P

取3枚洁净无锈的铁钉，分别放入3支试管 中进行下面的实验
步骤一、 在试管1中加入少量的蒸馏水，使铁钉的一半浸没在水中 步骤二、 在试管2中注满迅速冷却的沸水塞紧橡皮塞 步骤三、 在试管3中加入少量干燥剂（生石灰或无水氯化钙,再放一团干 棉球，塞紧橡皮塞
一半在水中
一周后
全浸在水中
干燥空气中
铁钉浸没一半在水中： 铁在空气、水的界面处生锈 铁钉完全浸没在水中（上面还加植物油）： 铁未生锈 铁钉放在干燥的空气中（加干燥剂等）： 铁未生锈
b：形成保护层
– 刷油漆、涂油、烧制搪瓷（物理方法） – 电镀上一层耐腐蚀的金属（镀铬、锌、锡）、
c：改善腐蚀环境等
– 保持铁制品表面干燥和洁净
• 自行车的构件如支架、链条、钢圈等， 分别采取了什么防锈措施？
刷油漆
镀铬
涂油
一.防止金属的腐蚀 二.回收利用废旧金属
三.合理有效开采矿物 四.寻找金属的代用品
（C）若 ab 0,则 a b a b
（D）若 ab 0,则 a b a b
2. a, b是实数,则使 a 成b 立1的
充分不必要条件的是
(A) a b 1
(C)a 1
(B) a 1 且 b 1
2
2
(D)b 1
定理应用
a b ab a b
a b ab a b
化学方程式： Fe2O3+3CO 高温 2Fe+3CO2
3、设备：高炉
高炉炼铁图： 焦炭
铁矿石
石灰石
热空气 炉
渣
生铁
出
出口
口
有关杂质问题的计算
例 1000t含氧化铁80%的赤铁矿石，理论上可炼出纯铁的 质量是多少？

绝对值不等式 PPT 课件
本课程将帮助您理解什么是绝对值不等式，包括其概念和应用，以及如何解 决面临的挑战。让我们开始吧！一个数到0的距离。它代表一个数的 大小而不考虑其方向。
怎样计算绝对值？
若x≥0，则|x|=x；若x<0，则|x|=-x。
一元一次绝对值不等式
定义
3 应用题
将绝对值不等式运用到实际问题中的练习题，以提高解决实际问题的能力。
总结
绝对值不等式的重要性 解题技巧的总结
它们不仅在数学中发挥作用， 在许多应用中也有重要的作 用，包括经济学、工程学和 自然科学。
关键是找到问题的关键点， 确定不同的情况，并选择合 适的分类讨论法。
实战演练的重要性
在实际问题中应用所学知识， 结合分类讨论的练习，以提 高解决问题的能力。
解法
一元一次绝对值不等式是一个一元一次不等式， 消去绝对值符号并分类讨论目标数的正负情况。 其形式为 |ax+b|
一元二次绝对值不等式
定义
一元二次绝对值不等式是一个一元二次不 等式，其中包含绝对值符号
解法
消去绝对值符号并分类讨论目标数的正负 情况和式子的系数情况。
应用示例
1
例1 ：解一元一次绝对值不等式
选择合适的分类讨论法并找到不等关系的解集。
2
例2 ：解一元二次绝对值不等式
选择合适的分类讨论法并找到不等关系的解集。
3
例3 ：应用于线性规划问题
将线性规划问题的约束条件转化为绝对值不等式并进行求解。
练习题讲解
1 选择题
根据所给条件判断，选择正确的等式或不等式。
2 计算题
可以算出具体解的练习题，以巩固计算方法。

零点分段法
将数轴分为几个区间，分 别讨论每个区间内不等式 的解，最后取并集。
几何意义法
利用绝对值的几何意义， 将不等式问题转化为图形 问题，通过观察图形求解 。
代数法
通过代数运算和不等式性 质，去掉绝对值符号，转 化为普通的不等式问题。
含绝对值的不等式的应用
解决实际问题
数学建模中的应用
含绝对值的不等式在现实生活中有广 泛的应用，如距离问题、费用问题、 时间问题等。
通过使用绝对值不等式，我们可以将复杂的问题简化，从而 更快地找到解决方案。此外，绝对值不等式还可以帮助我们 证明一些数学定理和性质，进一步加深对数学的理解。
在物理中的应用
在物理学中，绝对值不等式也具有广泛的应用。例如，在解决力学、电磁学、热 学等方面的问题时，我们经常需要用到绝对值不等式来建立数学模型和进行数值 模拟。
绝对值不等式可以帮助我们理解物理现象的本质，预测物理系统的行为，并为实 验提供理论支持。此外，绝对值不等式还可以帮助我们优化物理实验的设计，提 高实验的精度和可靠性。
在经济中的应用
在经济学中，绝对值不等式也被广泛应用于各种问题中。 例如，在研究市场供需关系、投资组合优化、风险管理等 方面，绝对值不等式都发挥着重要的作用。
通过使用绝对值不等式，我们可以更好地理解市场的运行 规律，预测市场的变化趋势，并为决策提供科学依据。此 外，绝对值不等式还可以帮助我们评估投资风险和回报， 优化资产配置，提高投资效益。
05
总结与思考
对含绝对值不等式的总结
01
绝对值不等式的定义与性质
绝对值不等式是数学中一类重要的不等式，它涉及到绝对值的运算性质
。通过学习，我们掌握了绝对值不等式的定义、性质以及解法。

归纳升华 1．|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不 等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图象法和几何 法．分区间讨论法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图 象法直观，但只适用于数据较简单的情况． 2．几何法的关键是理解绝对值的几何意义．
类型3 绝对值不等式的综合应用(规范解答) [典例3] (本小题满分10分)设函数f(x)＝|x＋ a |－|x － 1－a|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥12的解集； (2)若对任意a∈[0，1]，不等式f(x)≥b的解集为空 集，求实数b的取值范围．
[规范解答]
(1)当a＝1时，f(x)≥
1 2
等价于|x＋1|－|x|
≥12.(1分)
①当x≤－1时，不等式化为－x－1＋x≥12，无解；
②当－1＜x＜0时，不等式化为x＋1＋x≥12，
解得－14≤x＜0；
③当x≥0时，不等式化为x＋1－x≥12，解得x≥0. (3分) 综上所述，不等式f(x)≥1的解集为－14，＋∞. (4分) (2)因为不等式f(x)≥b的解集为空集，所以b＞ [f(x)]max.(5分) 以下给出两种方法求f(x)的最大值．
法一：因为f(x)＝|x＋ a|－|x－ 1－a|(0≤a≤1)， 当x≤－ a时，f(x)＝－x－ a＋x－ 1－a＝－ a－ 1－a＜0. 当－ a＜x＜ 1－a时，f(x)＝x＋ a＋x－ 1－a＝ 2x＋ a－ 1－a≤2 1－a＋ a－ 1－a＝ a＋ 1－a. 当x≥ 1－a 时，f(x)＝x＋ a －x＋ 1－a ＝ a ＋ 1－a. 所以[f(x)]max＝ a＋ 1－a.(7分)
[典例 2] 设函数 f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|. (1)当 a＝1 时，求不等式 f(x)≥0 的解集； (2)若 f(x)≤1，求 a 的取值范围．

解 （1）这个不等式等价于 -5＜2x-3＜5,
-5+3＜2x-3+3＜5+3， -2＜2x＜8,
把x的系数化为1，得 -1＜x＜4,
因此，原不等式的解集为（-1,4).
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
（2）原不等式等价于
数学
基础模块（上册）
第二章 不等式
2.2.4 含有绝对值的不等式
人民教育出版社
第二章 不等式 2.2.4 含有绝对值的不等式
学习目标
知识目标 能力目标
理解含有绝对值的不等式概念及其解集的学习，掌握含有绝对值的不等式的 解题方法
学生运用分组探讨、合作学习，掌握含有绝对值的不等式的解题方法，提高 运用含有绝对值的不等式知识解决实际问题能力
一般地，一元二次不等式可以通过配方化为x2＞m2和 x2＜m2（m＞0）的形式，于是，我们可以将一元二次不等 式化为含有绝对值的不等式进行求解. 试一试
(1)x≤3;
(2) 2 x -1＞3
分析 将不等式化成x≤m或＞m的形式后求解．
解 （1）原不等式的解集为［-3,3]；
（2）这个不等式可化＞2，故其解集为
（- ,- 2)U(2,+ )。
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
2x-3≥5，
①
或
2x-3≤-5，
②
不等式①的解集为［4，+ )，不等式②的解集为（- ，-1].
因此，原不等式的解集为（- ，-1]∪［4，+ ).
探索研究 用配方法求解一元二次不等式.