【北京华图】2015 年国家公务员巧解三集合容斥原理问题

2017国家公务员考试：拉灯问题升级版之三
集合容斥原理型
2017国家公务员考试：拉灯问题升级版之三集合容斥原理型
拉灯问题升级版三集合容斥原理型
例：有1000盏亮着的灯，各有一个拉线开关控制着。

现按其顺序编号为1、2、3、4、5 1000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的电灯有多少盏?
A.468
B.499
C.501
D.532
【解析】
(1) 原来电灯亮着，拉一下，灭了;拉两下，亮着;拉三下，灭了。

因此，灯绳被拉动奇数次的灯灭了。

此题先求灭着的灯的数量，再求亮着的灯。

(2) 注意：此题目拉灯的方法不同前三个例题。

编号为2的倍数，3的倍数，5的倍数的灯依次拉。

可以据此，看做是三集合问题。

(3) 数据计算：能被2整除的有1000/2=500个，能被3整除的有1000/3=333个，能被5整除的有1000/5=200个;既能被2又能被3整除的有1000/6=166个;同理，能被2,5整除的有100个，能被3,5整除的有66个，能同时被2、3、5整除的有33个。

拉奇数次500+333+200-2(166+100+66)+4*33=501个，最开始为亮，奇数次为灭，则亮灯=1000-501=499个，选择B。

拉灯问题，题目本身看起来操作繁琐，但是其中蕴含的数学道理不难，熟练掌握此类型题目的解决思路，熟能生巧。

2015大学生村官行测备考指导：容斥原理解题技巧【导读】2015大学生村官行测备考指导：容斥原理解题技巧资料，供考生学习与参考，祝考试顺利。

大家可随时关注华图教育大学生村官考试网，我们将第一时间公布相关考试信息。

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一、两集合类型1.解题技巧题目中所涉及的事物属于两集合时，容斥原理适用于条件与问题都可以直接带入公式的题目，公式如下：A∪B=A+B-A∩B快速解题技巧：总数=两集合之和+两集合之外数-两集合公共数。

2.真题示例【例1】现有50名学生都做物理，化学实验，如果物理实验做正确的有40人，化学实验做正确的有31人，两种实验都错的有4人，则两种实验都做对有()A 27人B 25人C 19人D 10人【解析】B。

直接带入公式为：50=31+40+4-A∩B ，得 A∩B=25，所以答案为B。

二、三集合类型1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数3.真题示例【例 2】某高校对一些学生进行问卷调查。

在接受调查的学生中，准备参加会计师考试的有63人，准备参加英语六级考试的有89人，准备参加计算机考试的有47 人，三种考试都准备参加的有24人，准备只选择两种考试都参加的有46人，不参加任何一种考试的有15人。

问接受调查问卷的学生共有多少人?()A.120B.144C.177D.192【解析】A。

先画图，填充三个集合公共部分数字24，再推其他数字;根据每个区域含义应用公式得到：总数=各集合之和-两两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数国家公务员| 事业单位| 村官| 选调生| 教师招聘| 银行招聘| 信用社| 乡镇公务员| 省公务员|=63+89+47-{(x+24)+(z+24)+(y+24)｝+24+15=199-{(x+y+z)+24+24+24｝+24+15。

三集合容斥非标准公式原理容斥原理一直都是各省行测考试的重点，尤其是三集合容斥原理，屡出不穷。

这次，小编带领大家一起来好好的看看目前的有关三集合容斥原理的题型概况和通用思路。

三集合容斥原理按题型可以分为两种题型，一种为标准型公式，另一种为变异型公式，接下来，我们就着重看看三集合容斥原理的解题方法1.解题步骤涉及三个事件的集合，解题步骤分三步：①画文氏图;②弄清图形中每一部分所代表的含义，填充各部分的数字;③代入公式(A∪B∪C=A+B+C-A∩B-A∩C-B∩C+A∩B∩C)进行求解。

2.解题技巧三集合类型题的解题技巧主要包括一个计算公式和文氏图。

公式：总数=各集合数之和-两集合数之和+三集合公共数+三集合之外数【例1】（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（）人。

A.20B.18C.17D.15【解析】可以用上述公式，我们将数据逐个代入可得：28＋30＋42－8－10－5＋3＝100－x，其中x为我们要求的量，求得x＝20，答案选择A。

【例2】（国家2015）某企业调查用户从网络获取信息的习惯，问卷回收率为90%。

调查对象中有179人使用搜索引擎获取信息，146人从官方网站获取信息，246人从社交网络获取信息，同时使用这三种方式的有115人，使用其中两种的有24人，另有52人这三种方式都不使用，问这次调查共发出了多少份问卷？（）A.310B.360C.390D.410【解析】由于题目中出现了“使用其中两种的有24人”，故我们要使用的就是三集合的变异型公式，如下列式：179＋146＋246－1×24－2×115＝x－52，此时，我们分析一下可以看出，我们所求的x为收回的问卷数量，而题目所求为发出的问卷，明显所求非所问，但是题目中有个条件为“问卷回收率为90%”，故我们将所求的x÷90%即所求的答案，通过列式可得x=369，故发出的问卷为369÷90%=410，故选D。

山西人事考试网山西公务员考试2016山西国考行测数量关系考点：容斥问题知识点储备山西人事考试网，为各位考生精心整理了山西公务员考试资料。

希望为迎战2015年山西公务员考试的各位考生提供帮助，祝各位考生在2015年山西省公务员考试中获得优异的成绩，取得自己理想的职位。

一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。

难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。

在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。

因此，这一题型还是需要重点关注。

二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。

三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。

例题2：某单位有青年员工85人，其中68人会骑自行车，62人会游泳，既不会骑车又不会游泳的有12人，则既会骑车又会游泳的有( )人。

A.57B.73C.130D.69解析：我们来用集合Ⅰ表示所有的青年员工，A表示会骑自行车的人，B表示会游泳的人，则A∩B表示既会骑车又会游泳的人，现在设A∩B=x，把题中的数据一一填到表格里面，可以得到：直接计算可以知道，68-x+x+62-x+12=85，因此x=57。

例题3：某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。

有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人?A.1人B.2人C.3人D.4人解析：三个集合的容斥原理问题。

2015国家公务员考试备考：两集合容斥问题【陕西华图】在2015国家公务员考试备考过程中，很多考生反映在国考行测的数量题中遇到了困难。

的确，数量关系类题目是考生们普遍的难点。

因此陕西华图近期总结了部分数量关系的答题技巧，希望有助于考生们的备考。

容斥原理是行测数学运算中一个常考的题型，出现的频率比较高，这部分题目难度适中，是得分的一个重点。

对于容斥原理我们解题的关键在于排除重复部分，可以利用公式法和图示法解答。

公式法：满足条件Ⅰ的个数+满足条件Ⅱ的个数-既满足Ⅰ又满足Ⅱ的个数=总数-两者都不满足的个数【例1】某班有56 名学生，在第一次测验中有24 人得满分，在第二次测验中有33 人得满分。

如果两次测验中都没有得满分的学生有14人，那么两次测验中都获得满分的人数是多少?（）A.13人B.14 人C.15 人D.16人解析：设两次测验中都获得满分的人数是X，代入公式得，24+33-X=56-14，解得X=15，答案选择C项。

对于这种“条件和提问”都可以直接代入公式的题目直接利用公式进行求解即可。

陕西公务员 | 事业单位招聘 | 大学生村官 | 卫生医疗 | 党政公选 | 军转干 | 政法干警考试图示法：【例2】工厂组织职工参加周末公益劳动，有80%的职工报名参加。

其中报名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2∶1，两天的活动都报名参加的人数为只报名参加周日活动的人数的50%。

问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的人数的：A.20%B.30%C.40%D.50%解析：不能直接代入公式求解的话就要考虑利用图示法求解。

设只参加周日活动的人数为X，那么两天活动都参加就是2X，参加周日活动的人数就是X+2X=3X，参加周六的人数就是6X，如图所示，只报名参加周日的有2X人，两天都报名的有X，只报名参加周六活动的有5X，所以是X+2X+5X=80%，X=10%，那么未报名的是1-80%=20%，只报名周六的是50%，所以是20%/50%=40%。

三集合容斥非标准公式原理宽容与排他性原则一直是省级考试的重点，尤其是三套排他性原则。

这次，陕西华图教育将带您深入了解有关三组包含和排除原则的当前问题和一般概念。

首先，我们应该有一个清晰的认识。

根据套数，测试中的容忍和排除原则可以分为两组排除原则和三组排除原则。

今天，我们关注三集排除原则。

其次，根据问题的类型，将三组包含和排除的原理分为两种，一种是标准公式，另一种是变式。

接下来，我们将重点介绍三集包含排除原理的标准公式。

设置I，II，III，并满足标准公式三组包含排除原理的标准公式为：Ⅰ+Ⅱ+Ⅲ-Ⅰ。

Ⅱ-Ⅰ。

Ⅲ-Ⅱ。

Ⅲ+Ⅰ。

Ⅱ。

Ⅲ=总数-都不满足通过观察公式，我们可以看到公式中有9个数量，并且该公式的适用前提是知道8来找到1，即在标题中，如果我们看到8个已知数量并且需要1个未知数量，我们需要使用此公式（注意：有时在标题中，我们还需要知道7才能找到1，其中三个不满意的数目可能为零）。

具体主题如下：（陕西2015）对100名旅游爱好者的调查发现，泰山28人，华山30人，黄山42人，黄山和黄山8人，泰山和黄山10人，华山和黄山5人，三人三个景点，而（）人们不喜欢三个景点中的任何一个。

A.20B.18C.17D.15E.14F.13G.12H.10解决方案：通过观察，我们发现了八个已知数量，并且我们还需要找到另一个未知数量。

因此，我们可以使用上述公式将数据一一替换为：28 + 30 + 42-8-10-5 + 3 = 100-x，其中x是我们需要的数量，x = 20，并且答案是接下来，让我们看一下三个集合变量的公式，如下图所示：从上面的公式可以看出，要使用变体公式，标题中必须只有两种情况，这与标准公式最大的不同（广东2015年）在一个乡镇举行了一场运动会，包括三项活动：长跑，跳远和短跑。

49人参加了长跑比赛，36人参加了跳远比赛，28人参加了短跑比赛，13人仅参加了两项赛事，9人参加了所有赛事。

那么，运动会的参加者总数为（）。

3个集合容斥问题集合容斥是组合数学中的一种计数原理，用于解决多个集合的交、并和补集等问题。

下面将介绍三个常见的集合容斥问题。

问题一：有一批苹果、梨子和香蕉，其中苹果有10个，梨子有8个，香蕉有12个。

问至少要选几个水果，才能确保选到至少一个种类的水果。

解答：首先，若只选择苹果和梨子，选取的最少个数为10+8=18个，但可能选不到香蕉。

同理，选择苹果和香蕉的最少个数为10+12=22个，选择梨子和香蕉的最少个数为8+12=20个。

但这样仍无法确保选到至少一种水果。

为了确保选到至少一种水果，需要使用集合容斥原理。

根据原理，至少要选取的水果个数等于所有单独选择每种水果数量之和减去同时选择两种水果的数量之和，再加上同时选择三种水果的数量。

设选取苹果的集合为A，选取梨子的集合为B，选取香蕉的集合为C。

根据集合容斥原理，至少要选取的水果个数为|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|。

根据已知条件，|A|=10，|B|=8，|C|=12，|A∩B|=|A∩C|=|B∩C|=0。

所以至少要选取的水果个数为10+8+12-0-0-0+0=30个。

因此，至少要选择30个水果才能确保选到至少一种水果。

问题二：某班级共有50人，其中有20人会唱歌，18人会跳舞，25人会画画。

问至少要选几个学生，才能确保选到至少一种才艺。

解答：同样地，若只选取会唱歌和会跳舞的学生，选取的最少个数为20+18=38个，但可能选不到会画画的学生。

同理，选择会唱歌和会画画的最少个数为20+25=45个，选择会跳舞和会画画的最少个数为18+25=43个。

为了确保选到至少一种才艺，需要使用集合容斥原理。

设选取会唱歌的学生的集合为A，选取会跳舞的学生的集合为B，选取会画画的学生的集合为C。

根据集合容斥原理，至少要选取的学生个数为|A∪B∪C|=|A|+|B|+|C|-|A∩B|-|A∩C|-|B∩C|+|A∩B∩C|。

行测高频考点技巧荟萃第6期：数量关系之容斥问题在公务员、政法干警、选调生等行测考试中会经常考察到容斥问题，所以考生一定要给予重视。

通常情况下容斥问题的解题思路都是比较清晰且简单的，只要经过一段时间的复习，解容斥问题的正确率一定会有所提高哦数量关系容斥问题知识点储备一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年国家公务员中都有出现。

难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。

在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。

因此，这一题型还是需要重点关注。

二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。

三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C一、考情分析容斥问题在最近几年的国家公务员考试中出现的频率逐渐增大，尤其是最近两年都有出现。

难度也逐渐增大，不再拘泥于最常规的两个集合和三个集合的考查方式。

在各省市的公务员考试中，容斥问题仍然出现活跃。

因此，这一题型还是需要重点关注。

二、基本概念涉及多个相互关联的集合，要求根据集合间的相互关系计算集合中元素个数的问题称为“容斥原理”问题。

三、技巧方法(一)公式法解两个集合容斥问题两个集合的容斥问题公式：A∪B=A+B-A∩B三个集合的容斥问题公式：A∪B∪C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C(二)文氏图法解两个集合容斥问题四、例题精讲例题1：某班有56人，每人至少参加一个兴趣小组，参加生物组的有46人，参加科技组的有28人，两组都参加的有多少人?A.10B.18C.24D.30解析：集合A={参加生物组的人｝、集合B={参加科技组的人｝，由A∪B=A+B-A∩B知两组都参加的有A∩B=46+28-56=18人。