高考数学高中数学知识点不等式小题练习

第4讲基本不等式及其应用知识梳理1、基本不等式如果00a b >>，，那么2a b +≤，当且仅当a b =时，等号成立．其中，2a b+叫作a b ，a b ，的几何平均数．即正数a b ，的算术平均数不小于它们的几何平均数．基本不等式1：若a b ∈，R ，则222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号；基本不等式2：若a b ∈，R +，则2a b+≥a b +≥），当且仅当a b =时取等号．注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致．【解题方法总结】1、几个重要的不等式（1）()()()2000,0.a a R a a a R ≥∈≥≥≥∈（2）基本不等式：如果,a b R +∈，则2a b+≥“a b =”时取“”）．特例：10,2;2a ba a ab a>+≥+≥（,a b 同号）．（3）其他变形：①()2222a b a b++≥（沟通两和a b +与两平方和22a b +的不等关系式）②222a b ab +≤（沟通两积ab 与两平方和22a b +的不等关系式）③22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭（沟通两积ab 与两和a b +的不等关系式）④重要不等式串：)2,112a ba b R a b++≤≤≤∈+即调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值（注意等号成立的条件）．2、均值定理已知,x y R +∈．（1）如果x y S +=（定值），则2224x y S xy +⎛⎫≤=⎪⎝⎭（当且仅当“x y =”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”．（2）如果xy P =（定值），则x y +≥=“x y =”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”．3、常见求最值模型模型一：0,0)n mx m n x +≥>>，当且仅当x =模型二：()(0,0)n nmx m x a ma ma m n x a x a+=-++≥+>>--，当且仅当x a -=模型三：210,0)x a c c ax bx c ax b x=≤>>++++，当且仅当x =时等号成立；模型四：22()1())(0,0,0)24mx n mx mx n mx n nx n mx m n x m m m m-+--=≤⋅=>><<（，当且仅当2nx m=时等号成立．必考题型全归纳题型一：基本不等式及其应用【解题方法总结】熟记基本不等式成立的条件，合理选择基本不等式的形式解题，要注意对不等式等号是否成立进行验证．例1．（2024·辽宁·校联考二模）数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形ABC 中，点O 为斜边AB 的中点，点D 为斜边AB 上异于顶点的一个动点，设AD a =，BD b =，用该图形能证明的不等式为（）．A ．)0,02a ba b +≥>>B ．)20,0aba b a b≤>>+C ．)0,02a b a b +≤>>D ．)220,0a b a b +≥>>【答案】C【解析】由图知：1,2222a b a b a b OC AB OD OB BD b ++-===-=-=，在Rt OCD △中，CD =所以OC OD ≤，即)0,02a ba b +>>，故选：C例2．（2024·全国·高三专题练习）已知x ，y 都是正数，且x y ≠，则下列选项不恒成立的是（）A ．2x y+B ．2x y y x+>C ．2xyx y<+D ．12xy xy +>【答案】D【解析】x ，y 都是正数，由基本不等式，2x y+≥2y xx y+≥，2xy x y =+当x y =时等号成立，而题中x y ≠，因此等号都取不到，所以ABC 三个不等式恒成立；12xy xy +≥中当且仅当1xy =时取等号，如1,22x y ==即可取等号，D 中不等式不恒成立．故选：D ．例3．（2024·江苏·高三专题练习）下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）①已知0ab ≠，求ab ba+的最小值；解答过程：2a b b a +≥=；②求函数2y 2y =≥；③设1x >，求21y x x =+-的最小值；解答过程：21y x x =+≥-当且仅当21x x =-即2x =时等号成立，把2x =代入4．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】A【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当0ab <，a bb a与均为负值，此时2a b a b b a b a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--+-≤-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当a bb a=，即0a b =<时等号成立，故①的用法有误，故①错误；对②：2y ≥，1=时取等号，2≥，则等号取不到，故②的用法有误；对③：1x >，10x ->，2211111y x x x x =+=-++≥--，当且仅当1x -=，即1x =+时取等号，故③的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：A .题型二：直接法求最值【解题方法总结】直接利用基本不等式求解，注意取等条件．例4．（2024·河北·高三学业考试）若x ，y +∈R ，且23x y +=，则xy 的最大值为______．【答案】98【解析】由题知，x ，y +∈R ，且23x y +=因为2x y +≥所以3≥所以98xy ≥，即98xy ≤，当且仅当2x y =，即33,24x y ==时，取等号，故答案为：98例5．（2024·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）若a ，0b >，且3ab a b =++，则ab 的最小值是____________．【答案】9【解析】因为3a b ab +=-≥a b =时，等号成立），所以230-≥，所以1)0-+≥3≥，所以9ab ≥，所以ab 的最小值为9.故答案为：9例6．（2024·天津南开·统考一模）已知实数0,0,1a b a b >>+=，则22a b +的最小值为___________.【答案】【解析】∵0a >，0b >，1a b +=，∴22a b+≥==22a b =即12a b ==时取等号.故答案为：题型三：常规凑配法求最值【解题方法总结】1、通过添项、拆项、变系数等方法凑成和为定值或积为定值的形式．2、注意验证取得条件．例7．（2024·全国·高三专题练习）若2x >-，则()12f x x x =++的最小值为___________.【答案】0【解析】由2x >-，得12002x x +>>+，，所以11()222022f x x x x x =+=++-≥=++，当且仅当122x x +=+即=1x -时等号成立.故答案为：0例8．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，则4221x x ++的最小值为__________.【答案】3【解析】442211132121x x x x +=++-≥-=++，当且仅当212x +=，即12x =时，等号成立.故答案为：3.例9．（2024·全国·高三专题练习）若1x >，则2221x x x ++-的最小值为______【答案】4+/4+【解析】由1x >，则10x ->.因为()()22221415x x x x ++=-+-+，所以()22251411x x x x x ++=-++--44≥=+，当且仅当511x x -=-，即1x =+时等号成立，故2221x x x ++-的最小值为4.故答案为：4.例10．（2024·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）若关于x 的不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则1241b cb ++-的最小值为_________．【答案】8【解析】因为不等式20(1)x bx c b ++≥>的解集为R ，则22Δ404b bc c =-≤⇒≥，因为1b >，所以10b ->，∴2212421(1)4(1)4111b c b b b b b b b ++++-+-+≥=---4(1)4481b b =-++≥+=-．当且仅当411b b -=-，即3b =时，取到等号．故答案为：8题型四：消参法求最值【解题方法总结】消参法就是对应不等式中的两元问题，用一个参数表示另一个参数，再利用基本不等式进行求解．解题过程中要注意“一正，二定，三相等”这三个条件缺一不可！例11．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b 满足220ab a +-=，则4a b +的最小值是（）A ．2B ．2C ．2D ．6【答案】B【解析】由220ab a +-=，得22a b =+，所以()a b b b b b +=+=++-=++884222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即,a b ==222取等号.故选：B.例12．（2024·全国·高三专题练习）若,x y R +∈，23()()-=x y xy ，则11x y+的最小值为___________.【答案】2【解析】因为23()()-=x y xy 且,x y R +∈，则两边同除以2()xy ，得211()xy y x-=，又因为224(111111()44xy y y x xy xy x -+=+=+≥=，当且仅当14xy xy =，即22x y ==211x y+≥.故答案为:2例13．（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，满足2220x xy +-=，则2x y +的最小值是______．.【解析】由2220x xy +-=，得21222x x y x x -==-，(x ∈所以113222222x x x y x x x +=+-=+≥==当且仅当312x x =即3x =时等号成立，所以2x y +.题型五：双换元求最值【解题方法总结】若题目中含是求两个分式的最值问题，对于这类问题最常用的方法就是双换元，分布运用两个分式的分母为两个参数，转化为这两个参数的不等关系．1、代换变量，统一变量再处理．2、注意验证取得条件．例14．（2024·浙江省江山中学高三期中）设0a >，0b >，若221a b +=，2ab -的最大值为（）A．3B．C．1+D．2【答案】D【解析】解：法一：（基本不等式）设c b =-2ab -=)a b ac -=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ-+≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.例15．（2024·天津南开·一模）若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a ba b c+++的最小值为______．【答案】2+【解析】由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-，设2,,(0,0)c m c n m n -==>>，则2m n +=，故44242421122a b c a b c c c c c m n+-+=+=+-=+-+--422()1312m n n m m n m n +=⨯+-=++-≥，当且仅当222m n =，即42m n c =-==时取得等号，故4a ba b c+++的最小值为2+故答案为：2+例16．（2024·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，21a b +=，则11343a b a b+++取到最小值为________．【答案】35+．【解析】令2(34)(3)(3)(43)a b a b a b a b λμλμλμ+=+++=+++，∴1315{{43225λλμλμμ=+=⇒+==，∴111112312(3)34()[(34)(3)][]3433435555343a b a ba b a b a b a b a b a b a b a b+++=+⋅+++=++++++++3355+≥=，当且仅当21{2(3)34343a b a b a b a b a b+=++⋅++时，等号成立，即11343a b a b +++题型六：“1”的代换求最值【解题方法总结】1的代换就是指凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形．1、根据条件，凑出“1”，利用乘“1”法．2、注意验证取得条件．例17．（2024·安徽蚌埠·统考二模）若直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，则2a b +的最小值为______．【答案】7+7【解析】∵直线1(0,0)x ya b a b+=>>过点()23，，231a b∴+=．()232622777b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭b =，即2a =3b =时取等号．2a b ∴+的最小值为7+故答案为：7+例18．（2024·河北·高三校联考阶段练习）已知0,0,23a b a b >>+=，则4212b a b-+的最小值为__________.【答案】73【解析】0,0,23a b a b >>+= ，()4211111112471212122323233b a b a a b a b a b a b a b -+⎛⎫⎛⎫∴+=+=+++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当322a b ==时取等号，则4212b a b -+的最小值为73.故答案为：73例19．（2024·湖南衡阳·高三校考期中）已知13x >，2y >，且37x y +=，则11312x y +--的最小值为______.【答案】1【解析】因为37x y +=，所以3124x y -+-=，即312144x y --+=，因为13x >，2y >，所以3120,044x y -->>，1111312()(31231244x y x y x y --+=++----13111144(31)4(2)422x y y x -=++++---=，当且仅当314(31)4(22)y x x y ----=，即1,4x y ==时取等号.所以11312x y +--的最小值为1.故答案为：1例20．（2024·山东青岛·高三山东省青岛第五十八中学校考阶段练习）已知正实数,a b 满足4111a b b +=++，则2+a b 的最小值为___________.【答案】8【解析】因为4111a b b +=++，所以()()412111a b a b b a b b ⎛⎫⎡⎤+=++++- ⎪⎣⎦++⎝⎭()41411481b a ba b b ++=+-++≥+=++，当且仅当()411b a ba bb ++=++，即4,2a b ==时，取等号，所以2+a b 的最小值为8.故答案为：8.题型七：齐次化求最值【解题方法总结】齐次化就是含有多元的问题，通过分子、分母同时除以得到一个整体，然后转化为运用基本不等式进行求解．例21．（2024·全国·高三专题练习）已知正实数a ，b ，c ，3a b +=，则331ac c b ab c +++的最小值为_______________．【答案】2/2-+【解析】由正实数a ，b ，3a b +=，可得2()33a b +=，所以22()333333(111a b a ac c a c c b ab c b ab c ab c ++++=⨯++=⨯++++22423423()313331a ab b a bc cab c b a c +++=⨯+=⨯+++++而44333a b b a +≥=，当且仅当4a b b a =即24,33a b ==时取等号，故334233()2(1)213311ac c c c b ab c c c ++≥++=++-+++2≥，当且仅当32(1)1c c +=+时，即1c =时取等号，故答案为：2例22．（2024·全国·高三专题练习）已知a ，b 为正实数，且21a b +=，则22aa b+的最小值为______．【答案】6【解析】由已知条件得，2422446222a a b a b a a b a b a b +⎛⎫+=+=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当22b a a b =，即25a =，15b =时取等号．故答案为：6.例23．（2024·天津红桥·高三天津市复兴中学校考阶段练习）已知0,0x y >>，则222224xy xyx y x y +++的最大值是____________.【答案】3【解析】222222144xy xy x y x y x y x y y x y x+=+++++，设(0)x t t y=>，所以原式=322422223()2123(2)41441545t t t t t t t t t t t t t t t t+++=+==++++++++，令2(0),u t t u t=+>∴≥所以原式=2333311139u u u u =≤=++.(函数1y u u=+在)+∞上单调递增)故答案为：3题型八：利用基本不等式证明不等式【解题方法总结】类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明．例24．（2024·全国·高三专题练习）利用基本不等式证明：已知,,a b c 都是正数，求证：()()()8a b b c c a abc+++≥【解析】,,a b c都是正数，0a b ∴+≥>（当且仅当a b =时取等号）；0b c +≥>（当且仅当b c =时取等号）；0c a +≥>（当且仅当c a =时取等号）；()()()8a b b c c a abc ∴+++≥=（当且仅当a b c ==时取等号），即()()()8a b b c c a abc +++≥.例25．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知x ，y ，z 为正数，证明：(1)若2xyz =，则2221112x y z x y z ++++≤；(2)若229x y z ++=，则2229x y z ++≥．【解析】（1）因为2xyz =，所以2222y z yz x +=≤，同理可得2222x z y +≤，2222x y z +≤，所以222222222222y z x z x y x y z +++++≤++，故2221112x y z x y z ++++≤，当且仅当x y z ==时等号成立．（2）()()()2222222222112122299x y z x y z x y z ++=++++≥++，因为229x y z ++=，所以2229x y z ++≥，当且仅当2x y z ==时等号成立．例26．（2024·四川广安·高三校考开学考试）已知函数()21f x x x m =+++，若()3f x ≤的解集为[],1n ．(1)求实数m ，n 的值；(2)已知,a b 均为正数，且满足12202m a b++=，求证：22168a b +≥．【解析】（1）因为()3f x ≤的解集为[],1n ，所以(1)3f ≤，即3|1|3m ++≤，所以|1|0m +≤，又|1|0m +≥，所以10m +=，即1m =-.所以()|21||1|f x x x =++-，当12x <-时，()21133f x x x x =---+=-≤,得1x ≥-，则112x -≤<-，当112x -≤≤时，()21123f x x x x =+-+=+≤，得112x -≤≤，当1x >时，()2113f x x x x =++-=3≤，得1x ≤，不成立，综上所述：()3f x ≤的解集为[1,1]-，因为()3f x ≤的解集为[],1n ．所以1n =-.（2）由（1）知，1m =-，所以1222a b+=(0,0)a b >>，所以1222a b =+≥=，当且仅当12a =，2b =时，等号成立，所以1≥ab ，所以22168a b ab +≥=8≥，当且仅当12a =，2b =时，等号成立.题型九：利用基本不等式解决实际问题【解题方法总结】1、理解题意，设出变量，建立函数模型，把实际问题抽象为函数的最值问题．2、注意定义域，验证取得条件．3、注意实际问题隐藏的条件，比如整数，单位换算等．例27．（2024·全国·高三专题练习）首届世界低碳经济大会在南昌召开，本届大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下进行技术攻关，采取了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似的表示为21200800002y x x =-+，且处理每吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使单位不亏损？【解析】（1）由题意知，平均每吨二氧化碳的处理成本为1800002002002002y x x x =+-≥-=；当且仅当1800002x x=，即400x =时等号成立，故该当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低为200元.（2）不获利，设该单位每个月获利为S 元，则2211100100200800003008000022S x y x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭()21300350002x =---，因为[]400,600x ∈，则[]80000,40000S ∈--，故该当单位每月不获利，需要国家每个月至少补贴40000元才能不亏损.例28．（2024·贵州安顺·高一统考期末）某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本()f x （元）与月处理量x （吨）之间的函数关系可近似地表示为21()200800002f x x x =-+．(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低是多少元？(2)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【解析】（1）该单位每月的月处理成本：2211()20080000(200)6000022f x x x x =-+=-+，因100600x ≤≤，函数()f x 在区间[100,200]上单调递减，在区间(200,600]上单调递增，从而得当200x =时，函数()f x 取得最小值，即min ()(200)60000f x f ==.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.（2）由题意可知：21()20080000(100600)2f x x x x =-+≤≤，每吨二氧化碳的平均处理成本为：()800002002002002f x x xx =+-≥=当且仅当800002x x=，即400x =时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．例29．（2024·湖北孝感·高一统考开学考试）截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破44200000人.疫情严峻，请同学们利用数学模型解决生活中的实际问题.(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段.已知这种新药在注射停止后的血药含量()c t （单位：mg /L ）随着时间t （单位：h ）.的变化用指数模型()0ektc c t -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg /L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，求该新药对病人有疗效的时长大约为多少小时？（精确到0.01，参考数据：ln20.693≈，ln3 1.099≈）(2)为了抗击新冠，需要建造隔离房间.如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米(0)a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米.房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米.如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低？【解析】（1）由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 26.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．（2）由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504ay x x=⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08ay x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥768001200a x x =，即x =.故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.题型十：与a b +、平方和、ab 有关问题的最值【解题方法总结】利用基本不等式变形求解例30．（多选题）（2024·重庆·统考模拟预测）若实数a ，b 满足221a b ab +=+，则（）A ．1a b -≥-B ．a b -C ．13ab ≥-D ．13ab ≤【答案】BC【解析】221a b ab +=+ ,当0ab >时，222121a b ab ab ab ab +≥⇒+≥⇒≤，当且仅当1a b ==或1a b ==-时等号成立，得01ab <≤，当0ab <时，2212123a b ab ab ab ab +≥-⇒+≥-⇒≥-，当且仅当a b ==33a b =-=时等号成立，得103ab -≤<，当0ab =时，由221a b ab +=+可得0,1a b ==±或0,1b a ==±综合可得113ab -≤≤，故C 正确，D 错误；222221()11()b ab ab a b b a b b a a a +-=-⇒-=-⇒-=- ，当13ab ≥-时，22141()()33a b a b a b --≥-⇒-≤⇒≤-，故A 错误，B 正确；故选：BC.例31．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0,0a b >>，且11a b+=，则（）A ．1b a+的最小值为4B ．221a b +的最小值为14C ．ab 的最大值为14D ．12b a -1【答案】ACD【解析】11111124b b a ab a a b ab ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则A 正确；222211112224a a b b ⎛⎫++ ⎪⎛⎫≥≥= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，即22112a b +≥，当且仅当1ab =，即1,22a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取等号，则B 错误；221111124b a b b b b b b --⎛⎫===-+ ⎪⎝⎭，当112b =，即2b =时，max 14a b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则C正确；1111111222b b b a b b b --=-=+-≥-=，当且仅当12a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩时取等号，则D 正确.故选：ACD例32．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）已知0x >，0y >，且30x y xy +-+=，则下列说法正确的是（）A ．312xy <≤B ．6x y +≥C ．2218x y +≥D ．11103x y <+≤【答案】BC【解析】对于A：由3xy x y -=+≥，得3xy -≥x y =时，等号成立230-≥3≥，即9xy ≥，故A 不正确；对于B ：由232x y x y xy +⎛⎫++=≤ ⎪⎝⎭，得232x y x y +⎛⎫++ ⎪⎝⎭≤，当且仅当x y =时，等号成立即()()21240y x x y +-+-≥，解得6x y +≥，或2x y +≤-（舍去），故B 正确；对于C ：()()()()()2222222326x y x y xy x y x y x y x y +=+-=+-++=+-+-，令6t x y =+≥，()()22222261761718x y t t t +=--=----=≥，即2218x y +≥，故C 正确；对于D ，11331x y xy x y xy xy xy +-+===-，令9t xy =≥，113321193x y t +=--=≥，即1123x y +≥，故D 不正确，故选：BC ．例33．（多选题）（2024·全国·高三专题练习）设0a >，0b >，1a b +=，则下列结论正确的是（）A ．ab 的最大值为14B ．22a b +的最小值为12C ．41a b+的最小值为9D 【答案】ABC【解析】对于A ，因为0a >，0b >，1a b +=，则21()24a b ab +≤=，当且仅当12a b ==时取等号，故A 正确；对于B ，因为222(22a b a b ++≤，故2212a b +≥，当且仅当12a b ==时取等号，即22a b +的最小值12，故B 正确；对于C ，41414()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b =且1a b +=，即13b =，23a =时取等号，所以41a b+的最小值为9，故C 正确；对于D ，2111222+=++⨯=，≤12a b ==D 错误．故选：ABC.。

高中数学高考总复习：不等式巩固练习题（含答案解析）【巩固练习】1.（2016 黄浦区一模）已知x ∈R ，下列不等式中正确的是（ ） A ．＞B ．＞C ．＞D ．＞2．设集合等于则B A x x B x x A ,31|,21|⎭⎬⎫⎩⎨⎧->=⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛2131， B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⋃-，21)0,31(C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，3131D ．⎪⎭⎫⎝⎛∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-，，21313．关于x 的不等式22155(2)(2)22x x k k k k --+<-+的解集是 ( )A ．12x >B ．12x < C ．2x > D ．2x <4．下列各函数中，最小值为2的是 ( )A ．1y x x =+B ．1sin sin y x x =+，(0,)2x π∈C ．2y =D ．1y x =- 5．如果221x y +=,则34x y -的最大值是 ( ) A ．3 B ．51C ．4D ．5 6．已知函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(1,3)-和(1,1)两点，若01c <<,则a 的取值范围是 ( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．[)2,3D ．[]1,37. （2016 杭州模拟）已知变量x ，y 满足，则的取值范围是 ．8．若{}|3,,A x x a b ab a b R+==+=-∈，全集I R =，则IC A =___________。

9．若121log a x a -≤≤的解集是11[,]42,则a 的值为___________。

10．当02x π<<时，函数21cos 28sin ()sin 2x xf x x ++=的最小值是________。

11．设,x y R +∈ 且191x y+=,则x y +的最小值为________. 12．不等式组222232320x x x x x x ⎧-->--⎪⎨+-<⎪⎩的解集为__________________。

高一数学不等式练习题在高中数学的学习中，不等式是基础而重要的概念之一，它在解决实际问题中有着广泛的应用。

以下是一些高一数学不等式的练习题，供同学们练习和巩固知识。

练习题一：解绝对值不等式1. 解不等式 |x - 3| < 2。

2. 解不等式|x + 4| ≥ 5。

练习题二：解一元一次不等式3. 解不等式 3x - 5 > 10。

4. 解不等式 -2x + 1 ≤ -4。

练习题三：解一元二次不等式5. 解不等式 x^2 - 4x + 3 > 0。

6. 解不等式 2x^2 + 5x - 3 ≤ 0。

练习题四：解含有分式的不等式7. 解不等式 \(\frac{x - 1}{x + 2} > 0\)。

8. 解不等式 \(\frac{2x - 3}{x^2 - 1} < 0\)。

练习题五：解含有根式的不等式9. 解不等式 \(\sqrt{x} - 2 < 0\)。

10. 解不等式 \(\sqrt{2x + 3} ≥ x\)。

练习题六：解含有指数和对数的不等式11. 解不等式 \(2^x > 8\)。

12. 解不等式 \(\log_2(x - 1) < 1\)。

练习题七：解不等式组13. 解不等式组：\[\begin{cases}x + 2 > 0 \\3 - 2x ≥ 4\end{cases}\]14. 解不等式组：\[\begin{cases}3x - 1 < 5x + 2 \\x^2 - 4x + 4 ≤ 0\end{cases}\]练习题八：应用题15. 某工厂需要生产一批零件，每件零件的成本为 \(c\) 元，售价为\(s\) 元。

若工厂希望每件零件的利润不低于 5 元，求 \(c\) 和\(s\) 之间的关系。

16. 某公司计划购买一批电脑，每台电脑的价格不超过 3000 元。

如果公司希望每台电脑的利润率不低于 20%，求电脑的最低进价。

2023年高考数学----不等式与不等式组之解不等式与解不等式组知识回顾与专项练习题（含答案解析）知识回顾1.解不等式：步骤：①去分母——左右两边同时乘以分母的最小公倍数。

②去括号——注意括号前面的符号确定是否变号。

③移项——把含有未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边。

注意移动的项必须变号。

④合并——按照合并同类项的方法合并。

⑤系数化为1——两边同时除以系数或乘上系数的倒数。

注意若系数为负数时，需要改变不等号的方向。

2.解不等式组：分别解出不等式组中的每一个不等式，然后求所有不等式的解集的公共部分。

专项练习题（含答案解析）1．（2022•沈阳）不等式2x+1＞3的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：不等式2x+1＞3的解集为：x＞1，故选：B．2．（2022•大连）不等式4x ＜3x +2的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞2D ．x ＜2【分析】根据不等式的计算方法计算即可．【解答】解：4x ＜3x +2，移项，得x ＜2．故选：D ．3．（2022•盘锦）不等式x x 237121−≤−的解集在数轴上表示为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】先求得不等式的解集为x ≤4，根据等号判定圆圈为实心，选择即可．【解答】解：∵不等式的解集为x ≤4，∴数轴表示为： ，故选C ．4.（2022•长春）不等式x +2＞3的解集是（ ）A ．.x ＜1B ．.x ＜5C ．x ＞1D ．.x ＞5【分析】利用不等式的性质，移项、合并同类项即可．【解答】解：x +2＞3，x ＞3﹣2，x ＞1．故选：C ．5．（2022•聊城）关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=−−=−k y x k y x 2322的解中x 与y 的和不小于5，则k 的取值范围为（ ）A ．k ≥8B ．k ＞8C ．k ≤8D ．k ＜8【分析】两个方程相减可得出x +y ＝k ﹣3，根据x +y ≥5列出关于k 的不等式，解之可得答案．【解答】解：把两个方程相减，可得x +y ＝k ﹣3，根据题意得：k ﹣3≥5，解得：k ≥8．所以k 的取值范围是k ≥8．故选：A ．6．（2022•遵义）关于x 的一元一次不等式x ﹣3≥0的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来，即可得出选项．【解答】解：x ﹣3≥0，x ≥3，在数轴上表示为：，故选：B ．16．（2022•广西）不等式2x ﹣4＜10的解集是（ ）A ．x ＜3B ．x ＜7C ．x ＞3D ．x ＞7【分析】根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集．【解答】解：2x﹣4＜10，移项，得：2x＜10+4，合并同类项，得：2x＜14，系数化为1，得：x＜7，故选：B．7．（2022•桂林）把不等式x﹣1＜2的解集在数轴上表示出来，正确的是（）A．B．C．D．【分析】先移项，合并同类项，把不等式的解集在数轴上表示出来即可．【解答】解：移项得，x＜1+2，得，x＜3．在数轴上表示为：故选：D．8．（2022•嘉兴）不等式3x+1＜2x的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据解不等式的方法可以解答本题．【解答】解：3x+1＜2x，移项，得：3x ﹣2x ＜﹣1，合并同类项，得：x ＜﹣1，其解集在数轴上表示如下：，故选：B ．9．（2022•株洲）不等式4x ﹣1＜0的解集是（ ）A ．x ＞4B ．x ＜4C ．x ＞41D ．x ＜41 【分析】根据解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1解不等式即可．【解答】解：∵4x ﹣1＜0，∴4x ＜1，∴x ＜．故选：D ．10.（2022•甘肃）不等式3x ﹣2＞4的解集是（ ）A ．x ＞﹣2B ．x ＜﹣2C ．x ＞2D ．x ＜2【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．【解答】解：3x ﹣2＞4，移项得：3x ＞4+2，合并同类项得：3x ＞6，系数化为1得：x ＞2．故选：C ．11．（2022•阜新）不等式组⎩⎨⎧−≤−−5.015.021＜x x 的解集，在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由﹣x ﹣1≤2，得：x ≥﹣3，由0.5x ﹣1＜0.5，得：x ＜3，则不等式组的解集为﹣3≤x ＜3，故选：A ．12.．（2022•衢州）不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧−+−1211223＞＜x x x 的解集是（ ） A ．x ＜3 B ．无解 C ．2＜x ＜4 D ．3＜x ＜4【分析】先解出每个不等式，再求公共解集即可．【解答】解：， 解不等式①得x ＜4，解不等式②得x ＞3，∴不等式组的解集为3＜x ＜4，故选：D ．13．（2022•潍坊）不等式组⎩⎨⎧−≥+0101＜x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式组，由①得：x ≥﹣1，由②得：x ＜1，∴不等式组的解集为﹣1≤x ＜1，表示在数轴上，如图所示：．故选：B ．14.．（2022•张家界）把不等式组⎩⎨⎧≤++4301x x ＞的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】先解出每个不等式，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：，由①得：x ＞﹣1，由②得：x ≤1，∴不等式组的解集为﹣1＜x ≤1，故选：D ．15.．（2022•福建）不等式组⎩⎨⎧≤−−0301x x ＞的解集是（ ） A ．x ＞1 B ．1＜x ＜3C ．1＜x ≤3D ．x ≤3 【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【解答】解：， 由①得：x ＞1，由②得：x ≤3，∴不等式组的解集为1＜x ≤3．故选：C ．16.．（2022•山西）不等式组⎩⎨⎧−≥+714312＜x x 的解集是（ ） A ．x ≥1 B ．x ＜2 C ．1≤x ＜2 D ．x ＜21 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式2x +1≥3，得：x ≥1，解不等式4x ﹣1＜7，得：x ＜2，则不等式组的解集为1≤x ＜2，故选：C ．17.．（2022•娄底）不等式组⎩⎨⎧−≥−2213＞x x 的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．【解答】解：，解①，得x ≤2，解②，得x ＞﹣1．所以原不等式组的解集为：﹣1＜x ≤2．故符合条件的选项是C ．故选：C ．18.．（2022•衡阳）不等式组⎩⎨⎧+≥+3212x x x ＜的解集在数轴上表示正确的是（） A ．B ．C ．D ．【分析】首先解每个不等式，然后把每个不等式的解集在数轴上表示即可．【解答】解：，解①得x ≥﹣1，解②得x ＜3．则表示为：故选：A ．19．（2022•滨州）把不等式组⎪⎩⎪⎨⎧−≥+−213123x x x x ＜中每个不等式的解集在一条数轴上表示出来，正确的为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在数轴上表示出每一个不等式的解集即可．【解答】解：解不等式x ﹣3＜2x ，得x ＞﹣3，解不等式，得x ≤5，故原不等式组的解集是﹣3＜x ≤5，其解集在数轴上表示如下：故选：C ．20．（2022•攀枝花）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的解．则称该一元一次方程为该一元一次不等式组的关联方程．若方程31x ﹣1＝0是关于x 的不等式组⎩⎨⎧−≤−0222＜x n n x 的关联方程，则n 的取值范围是 ．【分析】先解方程x ﹣1＝0得x ＝3，再利用新定义得到，然后解n 的不等式组即可．【解答】解：解方程x ﹣1＝0得x ＝3，∵x ＝3为不等式组的解，∴，解得1≤n ＜3，即n 的取值范围为：1≤n ＜3，故答案为：1≤n ＜3．21．（2022•绵阳）已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧−−++≥+x x m x x 2335232＜无解，则m 1的取值范围是 ．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到并结合不等式组的解集可得答案．【解答】解：解不等式2x +3≥x +m ，得：x ≥m ﹣3，解不等式﹣3＜2﹣x ，得：x ＜2，∵不等式组无解，∴m ﹣3≥2，∴m ≥5，∴0＜≤，故答案为：0＜≤．22．（2022•聊城）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧−−≤−x x x x 23126＞的解集是 ． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可．【解答】解：，解不等式①得：x ≤4，解不等式②得：x ＜﹣2；所以不等式组的解集为：x ＜﹣2． 23．（2022•绥化）不等式组⎩⎨⎧−m x x ＞＞063的解集为x ＞2，则m 的取值范围为 ． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大，结合不等式组的解集可得答案．【解答】解：由3x ﹣6＞0，得：x ＞2，∵不等式组的解集为x ＞2，∴m ≤2，故答案为：m ≤2．24.（2022•黑龙江）若关于x 的一元一次不等式组⎩⎨⎧−−0312＜＜a x x 的解集为x ＜2，则a 的取值范围是 ．【分析】不等式组整理后，根据已知解集，利用同小取小法则判断即可确定出a 的范围．【解答】解：不等式组整理得：，∵不等式组的解集为x ＜2，∴a ≥2．故答案为：a ≥2．25.．（2022•内蒙古）关于x 的不等式组⎩⎨⎧−−≥−0135＜x a x 无解，则a 的取值范围是 ． 【分析】先把a 当作已知条件求出各不等式的解集，再根据不等式组无解求出a 的取值范围即可．【解答】解：，由①得：x ≤2，由②得：x ＞a ，∵不等式组无解，∴a ≥2，故答案为：a ≥2． 26.．（2022•济宁）若关于x 的不等式组⎩⎨⎧−−5270＞＞x a x 仅有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．﹣4≤a ＜﹣2B ．﹣3＜a ≤﹣2C ．﹣3≤a ≤﹣2D ．﹣3≤a ＜﹣2【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，即可得出答案．【解答】解：解不等式x ﹣a ＞0得：x ＞a ，解不等式7﹣2x ＞5得：x ＜1，∵关于x 的不等式组仅有3个整数解，∴﹣3≤a ＜﹣2，27．（2022•邵阳）关于x 的不等式组()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−−−−2211213231a x x x ＜＞有且只有三个整数解，则a 的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分表示出不等式组的解集，根据解集有且只有三个整数解，确定出a 的范围即可．【解答】解：，由①得：x ＞1，由②得：x ＜a ，解得：1＜x ＜a ，∵不等式组有且仅有三个整数解，即2，3，4，∴4＜a ≤5，∴a 的最大值是5，故选：C ．28．（2022•青海）不等式组⎩⎨⎧−≥+36042＞x x 的所有整数解的和为 ． 【分析】先解不等式组，求出x 的范围，再求出满足条件的整数，相加即可得答案．【解答】解：，由①得：x ≥﹣2，由②得x ＜3，x 可取的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2；∴所有整数解的和为﹣2﹣1+0+1+2＝0，故答案为：0．29．（2022•大庆）满足不等式组⎩⎨⎧−≤−01052＞x x 的整数解是 ． 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x ≤2.5，解不等式②得：x ＞1，∴原不等式组的解集为：1＜x ≤2.5，∴该不等式组的整数解为：2，故答案为：2． 30．（2022•达州）关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+≤−+−12132x x a x ＜恰有3个整数解，则a 的取值范围是 ．【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a 的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a 的不等式，从而求出a 的范围．【解答】解：，解不等式①得：x ＞a ﹣2，解不等式②得：x ≤3，∴不等式组的解集为：a ﹣2＜x ≤3，∵恰有3个整数解，∴0≤a﹣2＜1，∴2≤a＜3，故答案为：2≤a＜3．本课结束。

高考数学一轮考点扫描专题35 基本不等式一、【知识精讲】 1.基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号.(3)其中a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数.2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小). (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).[微点提醒]1.b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号.2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22. 3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).二、【典例精练】考点一 利用基本不等式求最值 角度1 通过配凑法求最值 【例1－1】设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1aa －b 的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【答案】D 【解析】 a 2＋1ab ＋1aa －b ＝(a 2－ab )＋1a 2－ab ＋1ab＋ab ≥2a 2－ab ·1a 2－ab＋21ab×ab ＝4，当且仅当a 2－ab ＝1a 2－ab 且1ab＝ab ， 即a ＝2，b ＝22时取等号，故选D. 角度2 通过常数代换法求最值【例1－2】已知x >0，y >0，且x ＋2y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为________． 【答案】3＋2 2【解析】由x >0，y >0，x ＋2y ＝xy ，得2x ＋1y＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1y＝3＋2y x ＋xy ≥3＋2 2.当且仅当x ＝2y 时取等号．【解法小结】 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，主要有两种思路：(1)对条件使用基本不等式，建立所求目标函数的不等式求解.常用的方法有：折项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等.(2)条件变形，进行“1”的代换求目标函数最值. 考点二 基本不等式在实际问题中的应用【例2】 运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x ≤100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360升，司机的工资是每小时14元.(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值. 【解析】 (1)设所用时间为t ＝130x(h)，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50，100].所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝130×18x ＋2×130360x ，x ∈[50，100](或y ＝2 340x ＋1318x ，x ∈[50，100]).(2)y ＝130×18x ＋2×130360x ≥2610，当且仅当130×18x ＝2×130360x ，即x ＝1810时等号成立.故当x ＝1810千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为2610元. 【解法小结】 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值. 3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解. 考点三 基本不等式的综合应用【例3】 (1) (2017·山东高考)若直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)，则2a ＋b 的最小值为________． (2)(一题多解)(2018·江苏卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，∠ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交AC 于点D ，且BD ＝1，则4a ＋c 的最小值为________. 【答案】 (1)8 (2)9【解析】（1） ∵直线x a ＋y b＝1(a >0，b >0)过点(1,2)， ∴1a ＋2b＝1，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋4a b ＋b a≥4＋24a b ·ba＝8，当且仅当b a ＝4ab，即a ＝2，b ＝4时，等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8.(2)法一 依题意画出图形，如图所示.易知S △ABD ＋S △BCD ＝S △ABC ，即12c sin 60°＋12a sin 60°＝12ac sin 120°， ∴a ＋c ＝ac ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ，即a ＝32，c ＝3时取“＝”.法二 以B 为原点，BD 所在直线为x 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D (1，0)，∵AB ＝c ，BC ＝a ， ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c 2，32c ，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，－32a .∵A ，D ，C 三点共线，∴AD →∥DC →. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1－c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ＋32c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－1＝0，∴ac ＝a ＋c ，∴1a ＋1c＝1，∴4a ＋c ＝(4a ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c ＝5＋c a ＋4a c≥9，当且仅当c a ＝4a c ， 即a ＝32，c ＝3时取“＝”. 【解法小结】 基本不等式的应用非常广泛，它可以和数学的其他知识交汇考查，解决这类问题的策略是： 1.先根据所交汇的知识进行变形，通过换元、配凑、巧换“1”等手段把最值问题转化为用基本不等式求解，这是难点.2.要有利用基本不等式求最值的意识，善于把条件转化为能利用基本不等式的形式.3.检验等号是否成立，完成后续问题. 三、【名校新题】1.(2019·孝感调研)“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ∈R，故必要性不成立.2.(2019·玉溪一中月考)已知f (x )＝x 2－2x ＋1x ，则f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为( )A.12 B.43C.－1D.0【答案】D【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋1x ＝x ＋1x －2≥2－2＝0，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号.又1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3上的最小值为0.3.(2019·济南联考)若a >0，b >0且2a ＋b ＝4，则1ab的最小值为( )A.2B.12C.4D.14【答案B【解析】】因为a >0，b >0，故2a ＋b ≥22ab (当且仅当2a ＝b 时取等号). 又因为2a ＋b ＝4， ∴22ab ≤4⇒0<ab ≤2， ∴1ab ≥12，故1ab 的最小值为12(当且仅当a ＝1，b ＝2时等号成立). 4.(2019·长春质量监测)已知x >0，y >0，且4x ＋y ＝xy ，则x ＋y 的最小值为( ) A ．8 B ．9 C ．12 D ．16【答案】B【解析】 由4x ＋y ＝xy 得4y ＋1x＝1，则x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫4y ＋1x ＝4x y ＋yx ＋1＋4≥24＋5＝9，当且仅当4x y＝yx，即x ＝3，y ＝6时取“＝”，故选B. 5.(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则ac b2的最大值为( ) A ．8 B ．2 C ．18 D ．16【答案】 C【解析】 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac4a 2＋4ac ＋c2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·c a＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立．故选C. 6.(2019·太原模拟)若P 为圆x 2＋y 2＝1上的一个动点，且A (－1，0)，B (1，0)，则|PA |＋|PB |的最大值为( ) A.2 B.2 2C.4D.4 2【答案】B【解析】由题意知∠APB ＝90°，∴|PA |2＋|PB |2＝4，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫|PA |＋|PB |22≤|PA |2＋|PB |22＝2(当且仅当|PA |＝|PB |时取等号)， ∴|PA |＋|PB |≤22，∴|PA |＋|PB |的最大值为2 2.7.(2019·衡水中学质检)正数a ，b 满足1a ＋9b＝1，若不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A.[3，＋∞) B.(－∞，3] C.(－∞，6]D.[6，＋∞)【答案】D【解析】 因为a >0，b >0，1a ＋9b＝1，所以a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b≥16，当且仅当b a ＝9ab，即a ＝4，b ＝12时取等号. 依题意，16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立. 又x 2－4x －2＝(x －2)2－6，所以x 2－4x －2的最小值为－6，所以－6≥－m ，即m ≥6.8.(2019·山西模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8【答案】 B【解析】 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9，∴(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2≥9.∴a ≥4.故选B.9. (2019·厦门模拟)已知f (x )＝32x－(k ＋1)3x＋2，当x ∈R 时，f (x )恒为正值，则k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1)B.(－∞，22－1)C.(－1，22－1)D.(－22－1，22－1)【答案】B【解析】由f (x )>0得32x －(k ＋1)3x ＋2>0，解得k ＋1<3x＋23x .又3x ＋23x ≥22(当且仅当3x＝23x ，即x ＝log 3 2时，等号成立).所以k ＋1<22，即k <22－1.10.(2019·上海模拟)设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y ＝1，则xy 的最小值为( )A ．4B ．4 3C ．9D ．16【答案】 D 【解析】32＋x ＋32＋y＝1可化为xy ＝8＋x ＋y ，∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，故xy 的最小值为16.故选D.11.(2019·湖南师大附中模拟)已知△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1，若△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，则4a ＋b ＋a ＋bc 的最小值为( )A.2B.2＋ 2C.4D.2＋2 2【答案】D【解析】 因为△ABC 的面积为1，内切圆半径也为1， 所以12(a ＋b ＋c )×1＝1，所以a ＋b ＋c ＝2，所以4a ＋b ＋a ＋b c ＝2（a ＋b ＋c ）a ＋b ＋a ＋b c ＝2＋2c a ＋b ＋a ＋b c≥2＋22， 当且仅当a ＋b ＝2c ，即c ＝22－2时，等号成立， 所以4a ＋b ＋a ＋bc的最小值为2＋2 2. 12.(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( ) A ．[6，＋∞) B ．[10，＋∞) C ．[12，＋∞) D ．[16，＋∞)【答案】 D【解析】 ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D.13. (2019·合肥调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ＋1，y ≥2x －1，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝abx ＋y (a >0，b >0)的最大值为35，则a ＋b 的最小值为________. 【答案】8【解析】 可行域如图所示，当直线abx ＋y ＝z (a >0，b >0)过点B (2，3)时，z 取最大值2ab ＋3.于是有2ab ＋3＝35，ab ＝16.所以a ＋b ≥2ab ＝8，当且仅当a ＝b ＝4时等号成立， 所以(a ＋b )min ＝8.14. (2019·乐山一中月考)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________.【答案】92【解析】 y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )]≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92. 15.(2019·潍坊调研)函数y ＝a1－x(a >0，a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny －1＝0上，且m ，n为正数，则1m ＋1n的最小值为________.【答案】4【解析】∵曲线y ＝a 1－x恒过定点A ，x ＝1时，y ＝1，∴A (1，1).将A 点代入直线方程mx ＋ny －1＝0(m >0，n >0)， 可得m ＋n ＝1，∴1m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ·(m ＋n )＝2＋n m ＋mn≥2＋2n m ·mn＝4， 当且仅当n m ＝m n 且m ＋n ＝1(m >0，n >0)，即m ＝n ＝12时，取得等号.16.(2019·河南八校测评)已知等差数列{a n }中，a 3＝7，a 9＝19，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＋10a n ＋1的最小值为________. 【答案】3【解析】∵a 3＝7，a 9＝19， ∴d ＝a 9－a 39－3＝19－76＝2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝7＋2(n －3)＝2n ＋1， ∴S n ＝n （3＋2n ＋1）2＝n (n ＋2)，因此S n ＋10a n ＋1＝n （n ＋2）＋102n ＋2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤（n ＋1）＋9n ＋1≥12×2（n ＋1）·9n ＋1＝3， 当且仅当n ＝2时取等号.故S n ＋10a n ＋1的最小值为3. 17．(2019·孝感模拟)经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km/h)(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175x 2－130x ＋4 900，x ∈[50，80，12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？ 【解析】(1)当x ∈[50,80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9.当x ∈[80,120]时，函数y ＝12－x 60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km/h 时，可使得每小时耗油量最少． (2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x，①当x ∈[50,80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2 x ×4 900x－130＝16，当且仅当x ＝4 900x，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16；②当x ∈[80,120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x－2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km/h 时，总耗油量最少．18. (2019·西安模拟)某商人投资81万元建一间工作室，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把工作室出租，每年收入租金30万元．(1)若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后该商人为了投资其他项目，对该工作室有两种处理方案：①年平均利润最大时，以46万元出售该工作室；②纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室．问该商人会选择哪种方案？ 【解析】 (1)设第n 年获取利润为y 万元．n 年付出的装修费构成一个首项为1，公差为2的等差数列，n 年付出的装修费之和为n ×1＋n n －12×2＝n 2，又投资81万元，n 年共收入租金30n 万元， ∴利润y ＝30n －n 2－81(n ∈N *)．令y >0，即30n －n 2－81>0，∴n 2－30n ＋81<0， 解得3<n <27(n ∈N *)，∴从第4年开始获取纯利润． (2)方案①：年平均利润t ＝30n －81＋n2n＝30－81n－n ＝30－⎝ ⎛⎭⎪⎫81n ＋n ≤30－281n ·n ＝12(当且仅当81n＝n ，即 n ＝9时取等号)，∴年平均利润最大时，以46万元出售该工作室共获利润12×9＋46＝154(万元)． 方案②：纯利润总和y ＝30n －n 2－81＝－(n －15)2＋144(n ∈N *)， 当n ＝15时，纯利润总和最大，为144万元，∴纯利润总和最大时，以10万元出售该工作室共获利润144＋10＝154(万元)， 两种方案盈利相同，但方案①时间比较短，所以选择方案①.。

第二节基本不等式1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2.(1)基本不等式成立的条件：01a >0，b >0．(2)等号成立的条件：当且仅当02a ＝b 时，等号成立．(3)其中03a ＋b2叫做正数a ，b 的算术平均数，04ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 205≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋ab 06≥2(a ，b同号)．(3)(a ，b ∈R )．(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为09a ＝b ．3．利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当10x ＝y 时，和x ＋y 有最小值112P ．(简记：积定和最小)(2)已知x ，y 都是正数，如果和x ＋y 等于定值S ，那么当12x ＝y 时，积xy 有最大值1314S 2．(简记：和定积最大)注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．(2)形如y ＝x ＋ax (a >0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解．1．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致．2．若a >0，b >0，则21a ＋1b ≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时，等号成立．3．常见求最值的模型模型一：mx ＋nx≥2mn (m >0，n >0，x >0)，当且仅当x ＝nm时，等号成立；模型二：mx ＋n x －a ＝m (x －a )＋nx －a ＋ma ≥2mn ＋ma (m >0，n >0，x >a )，当且仅当x －a ＝n m时，等号成立；模型三：xax 2＋bx ＋c ＝1ax ＋b ＋c x ≤12ac ＋b(a >0，c >0，x >0)，当且仅当x ＝ca时，等号成立；模型四：x (n －mx )＝mx (n －mx )m ≤1m ·>0，n >0，0<x 当且仅当x ＝n 2m时，等号成立．4．三个正数的均值不等式：若a ，b ，c >0，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝x ＋1x 的最小值是2.()(2)|b a ＋a b |≥2.()(3)已知0<x <12，则x (1－2x )的最大值为18.()(4)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.()答案(1)×(2)√(3)√(4)×2．小题热身(1)设a ＞0，则9a ＋1a 的最小值为()A ．4B ．5C ．6D ．7答案C 解析9a ＋1a≥29a ·1a ＝6，当且仅当9a ＝1a ，即a ＝13时，等号成立．(2)矩形两边长分别为a ，b ，且a ＋2b ＝6，则矩形面积的最大值是()A ．4 B.92C.322D ．2答案B解析依题意，可得a ＞0，b ＞0，则6＝a ＋2b ≥2a ·2b ＝22·ab ，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以ab ≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.(3)(2024·河南郑州高三模拟)已知实数a >0，b >0，a ＋b ＝2，则1a ＋ab 的最小值为________．答案12＋2解析1a ＋a b ＝12×a ＋b a ＋a b ＝12＋b 2a ＋a b ≥12＋2b 2a ·a b ＝12＋2，当且仅当b 2a ＝ab，即a ＝22－2，b ＝4－22时，等号成立．(4)(人教A 必修第一册习题2.2T1(2)改编)函数y ＝x (3－2x )(0≤x ≤1)的最大值是________．答案98解析因为0≤x ≤1，所以3－2x ＞0，所以y ＝12·2x ·(3－2x )≤122x ＋(3－2x )22＝98，当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时取等号．(5)(人教A 必修第一册复习参考题2T5改编)已知a ，b >0，且ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值范围为________．答案[9，＋∞)解析因为a，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)．考点探究——提素养考点一利用基本不等式求最值(多考向探究)考向1配凑法求最值例1(1)(2024·福建福州四校高三期中联考)已知0<x<2，则y＝x4－x2的最大值为() A．2B．4C．5D．6答案A解析因为0<x<2，所以y＝x4－x2＝x2(4－x2)≤x2＋(4－x2)2＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝2时，等号成立，即y＝x4－x2的最大值为2.故选A.(2)函数y＝x2＋3x＋3x＋1(x<－1)的最大值为()A．3B．2C．1D．－1答案D解析y＝x2＋3x＋3x＋1＝(x＋1)2＋(x＋1)＋1x＋1＝－－(x＋1)＋1－(x＋1)＋1≤－1＝－1，当且仅当x＋1＝1x＋1＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D.【通性通法】配凑法求最值的关键点【巩固迁移】1．函数y ＝3x ()A ．8B ．7C ．6D ．5答案D解析因为x >13，所以3x －1>0，所以y ＝3x ＋43x －1＝(3x －1)＋43x －1＋1≥2(3x －1)·43x －1＋1＝5，当且仅当3x －1＝43x －1，即x ＝1时，等号成立，故函数y ＝3x 值为5.故选D.2．(2023·浙江杭州高三教学质量检测)已知a >1，b >1，且log 2a ＝log b 4，则ab 的最小值为()A ．4B ．8C ．16D ．32答案C解析∵log 2a ＝log b 4，∴12log 2a ＝log b 4，即log 2a ＝2log 24log 2b ，∴log 2a ·log 2b ＝4.∵a >1，b >1，∴log 2a >0，log 2b >0，∴log 2(ab )＝log 2a ＋log 2b ≥2log 2a ·log 2b ＝4，当且仅当log 2a ＝log 2b ＝2，即a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥24＝16，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，故ab 的最小值为16.故选C.考向2常数代换法求最值例2(1)已知0<x <1，则9x ＋161－x 的最小值为()A ．50B ．49C ．25D ．7答案B解析因为0<x <1，所以9x ＋161－x ＝(x ＋1－x )25＋9(1－x )x＋16x 1－x ≥25＋29(1－x )x ·16x 1－x ＝49，当且仅当9(1－x )x＝16x 1－x ，即x ＝37时，等号成立，所以9x ＋161－x 的最小值为49.故选B.(2)已知a >0，b >0，a ＋2b ＝3，则1a ＋1b 的最小值为()A.223B.233C ．1＋223D ．1＋233答案C解析因为a ＋2b ＝3，所以13a ＋23b ＝1，＋23b ＝13＋23＋a 3b ＋2b 3a≥1＋2a 3b ·2b3a＝1＋223，当且仅当a 3b ＝2b3a ，即a ＝3(2－1)，b ＝3(2－2)2时，等号成立．故选C.【通性通法】常数代换法求最值的基本步骤【巩固迁移】3．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＝9，则－1x －4y 的最大值是()A.6＋429B ．－6＋429C ．6＋42D ．－6－42答案B解析因为1x ＋4y ＝19x ＋y )＋y x ＋8x y＋6＋429，当且仅当y x ＝8xy ，即x ＝9(2－1)2，y ＝9(2－2)时，等号成立，所以－1x －4y ≤－6＋429.故选B.4．(2024·湖北荆门三校高三联考)已知实数a ，b 满足lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，则2a ＋b 的最小值是()A ．5B ．9C ．13D ．18答案B解析由lg a ＋lg b ＝lg (a ＋2b )，可得lg (ab )＝lg (a ＋2b )，所以ab ＝a ＋2b ，即2a ＋1b ＝1，且a >0，b >0，则2a ＋b ＝(2a ＋b 5＋2b a ＋2ab ≥5＋22b a ·2a b ＝9，当且仅当2b a ＝2ab，即a ＝b ＝3时，等号成立，所以2a ＋b 的最小值为9.故选B.考向3消元法、换元法求最值例3(1)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是()A.14B.45C.255D ．2答案B解析因为5x 2y 2＋y 4＝1，所以x 2＝1－y 45y 2，又x 2≥0，所以y 2∈(0，1]，所以x 2＋y 2＝y 2＋1－y 45y2＝4y 4＋15y 2＝y 2≥15×24y 2·1y 2＝45，当且仅当4y 2＝1y 2，即y 2＝12，x 2＝310时取等号，所以x 2＋y 2的最小值是45.故选B.(2)(2024·浙江嘉兴第一中学高三期中)若x >0，y >0，且1x ＋1＋1x ＋2y＝1，则2x ＋y 的最小值为()A ．2B ．23C.12＋3D ．4＋23答案C解析设x ＋1＝a ，x ＋2y ＝b ，则x ＝a －1，y ＝b －a ＋12，且a >0，b >0，则1a ＋1b ＝1，2x ＋y＝2(a －1)＋b －a ＋12＝3a ＋b 2－32，而3a ＋b ＝(3a ＋b 4＋3a b ＋ba ≥4＋23a b ·ba＝4＋23，当且仅当3a b ＝ba ，即a ＝3＋33，b ＝3＋1时，等号成立，则2x ＋y ≥4＋232－32＝12＋ 3.故选C.【通性通法】当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值．【巩固迁移】5．(2023·江苏南京高三调研)设a ≥0，b ≥0，且2a ＋b ＝1，则ab 的最小值为__________．答案解析因为2a ＋b ＝1，所以a ＝(b －1)24，所以a b ＝(b －1)24b＝b 4＋14b －12≥2b 4·14b－12＝0，当且仅当a ＝0，b ＝1时取等号．6．(2024·湖北襄阳五中高三质量检测)若正数a ，b 满足2a ＋b ＝1，则a 2－2a ＋b2－b的最小值是________．答案223－12解析设u ＝2－2a ，v ＝2－b ，则a ＝2－u 2，b ＝2－v ，则u ＋v ＝3(u >0，v >0)，所以a 2－2a ＋b2－b＝1－12u u＋2－v v ＝1u ＋2v －32＝13(u ＋v 32＋v u ＋－32＋321＋223－32＝223－12，当且仅当v ＝6－32，u ＝32－3时，等号成立，所以a 2－2a ＋b 2－b 的最小值为223－12.考向4“和”“积”互化求最值例4(多选)设a >1，b >1，且ab －(a ＋b )＝1，那么()A ．a ＋b 有最小值22＋2B ．a ＋b 有最大值22－2C ．ab 有最大值3－22D ．ab 有最小值3＋22答案AD解析∵a >1，b >1，∴ab －1＝a ＋b ≥2ab ，当a ＝b 时取等号，即ab －2ab －1≥0，解得ab ≥2＋1，∴ab ≥(2＋1)2＝3＋22，∴ab 有最小值3＋2 2.又ab ，当a ＝b 时取等号，∴1＝ab －(a ＋b )－(a ＋b )，即(a ＋b )2－4(a ＋b )≥4，则[(a ＋b )－2]2≥8，解得a ＋b －2≥22，即a ＋b ≥22＋2，∴a ＋b 有最小值22＋2.故选AD.【通性通法】“和”“积”互化求最值的方法(1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值．(2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题．【巩固迁移】7．正实数x ，y 满足4x 2＋y 2＋xy ＝1，则xy 的最大值为________，2x ＋y 的最大值为________．答案152105解析∵1－xy ＝4x 2＋y 2≥4xy ，∴5xy ≤1，∴xy ≤15，当且仅当y ＝2x ，即x ＝1010，y ＝105时取等号．∵4x 2＋y 2＋xy ＝1，∴(2x ＋y )2－3xy ＝1，∴(2x ＋y )2－1＝3xy ＝32·2x ·y，即(2x ＋y )2－1≤38(2x ＋y )2，∴(2x ＋y )2≤85，∴2x ＋y ≤2105，当且仅当2x ＝y ，即x ＝1010，y＝105时取等号．考点二基本不等式的综合应用例5(2024·河南濮阳外国语学校模拟)若对任意正数x ，不等式2x 2＋4≤2a ＋1x恒成立，则实数a 的取值范围为()A ．[0，＋∞) B.－14，＋∞C.14，＋∞ D.12，＋∞答案B解析依题意得，当x >0时，2a ＋1≥2x x 2＋4＝2x ＋4x恒成立，又x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号，所以2x ＋4x 的最大值为12，所以2a ＋1≥12，解得实数a 的取值范围为－14，＋故选B.【通性通法】1．利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围．2．当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值．【巩固迁移】8．在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，若AC 边上的中线BD 的长为3，则△ABC 面积的最大值是()A ．6B ．12C ．18D ．24答案A解析设AB ＝AC ＝2m ，BC ＝2n ，因为∠ADB ＝π－∠CDB ，所以m 2＋9－4m 26m ＝－m 2＋9－4n 26m，整理得m 2＝9－2n 2.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12BC ＝12×2n ×4m 2－n 2＝3n 4－n 2＝3n 2(4－n 2)≤3×n 2＋4－n 22＝6，当且仅当n ＝2时，等号成立．故选A.考点三基本不等式的实际应用例6网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2022年10月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销量x (万件)与投入实体店体验安装的费用t (万元)之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元．答案37.5解析由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－16(3－x )＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元．【通性通法】利用基本不等式解决实际应用问题的技巧【巩固迁移】9．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5g 的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g ，则()A ．m >10B ．m ＝10C ．m <10D ．以上都有可能答案A解析由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a ，右臂长为b ，则a ≠b ，设先称得黄金为xg ，后称得黄金为y g ，则bx ＝5a ，ay ＝5b ，∴x ＝5a b ，y ＝5b a ，∴x ＋y ＝5a b ＋5ba＝5×2a b ·b a ＝10，当且仅当a b ＝ba，即a ＝b 时，等号成立，但a ≠b ，等号不成立，即x ＋y >10.因此顾客实际购得的黄金克数m >10.故选A.课时作业一、单项选择题1．当x ＜0时，函数y ＝x ＋4x ()A ．有最大值－4B ．有最小值－4C ．有最大值4D ．有最小值4答案A解析y ＝x ＋4x＝－(－x )－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立．故选A.2．(2023·陕西咸阳高三模拟)已知x >0，y >0，若2x ＋y ＝8xy ，则xy 的最小值是()A.18B.14C.24D.22答案A解析因为2x ＋y ≥22xy ，所以8xy ≥22xy ，解得xy ≥18，当且仅当2x ＝y ，即x ＝14，y ＝12时，等号成立．故选A.3．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 29＋y 24＝1的两个焦点，点M 在C 上，则|MF 1|·|MF 2|的最大值为()A ．13B ．12C ．9D ．6答案C解析由椭圆的定义可知，|MF 1|＋|MF 2|＝2a ＝6.由基本不等式可得|MF 1|·|MF 2|＝9，当且仅当|MF 1|＝|MF 2|＝3时，等号成立．故选C.4．(2024·浙江绍兴第一中学高三期中)已知直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆(x －1)2＋(y －2)2＝2024的圆心，则1a ＋1b 的最小值为()A ．3＋22B ．3－22C ．6D ．9答案A解析由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax ＋by －1＝0(ab >0)过圆的圆心，∴a ＋2b ＝1(ab >0)，∴1a ＋1b ＝(a ＋2b )＝3＋a b ＋2ba≥3＋2a b ·2b a＝3＋当且仅当a b ＝2ba，即a ＝2b ，∴1a ＋1b的最小值为3＋2 2.故选A.5．(2023·湖南五市十校联考)原油作为“工业血液”“黑色黄金”，其价格的波动牵动着整个化工产业甚至世界经济．小李在某段时间内共加油两次，这段时间燃油价格有升有降，现小李有两种加油方案：第一种方案是每次加油40升，第二种方案是每次加油200元，则下列说法正确的是()A ．第一种方案更划算B ．第二种方案更划算C ．两种方案一样D ．无法确定答案B解析设小李这两次加油的油价分别为x 元/升、y 元/升(x ≠y )，则第一种方案：两次加油的平均价格为40x ＋40y 80＝x ＋y 2>xy ，第二种方案：两次加油的平均价格为400200x ＋200y ＝2xyx ＋y <xy ，故无论油价如何起伏，第二种方案都比第一种方案更划算．故选B.6．(2023·浙江杭州调研)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为()A ．4 B.92C.2D ．22答案D 解析由m 2－amn ＋2n 2≥0得m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn＝m n ＋2n m 恒成立，因为m n ＋2nm≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2nm，即m ＝2n 时取等号，所以a ≤22，故实数a 的最大值为2 2.故选D.7．(2024·浙江名校协作体高三模拟)设x ，y 为正实数，若2x ＋y ＋2xy ＝54，则2x ＋y 的最小值是()A ．4B ．3C ．2D ．1答案D解析因为x ，y 为正实数，且54＝2x ＋y ＋2xy ＝(2x ＋1)(y ＋1)－1，令m ＝2x ＋1，n ＝y ＋1，则mn ＝94，所以2x ＋y ＝m ＋n －2≥2mn －2＝1，当且仅当m ＝n ，即y ＝12，x ＝14时取等号．故选D.8．(2024·湖北襄阳第四中学高三适应性考试)若a ，b ，c 均为正数，且满足a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，则2a ＋2b ＋3c 的最小值是()A ．2B ．1C.2D ．22答案A解析因为a 2＋2ab ＋3ac ＋6bc ＝1，所以a (a ＋2b )＋3c (a ＋2b )＝(a ＋2b )(a ＋3c )＝1，又a ，b ，c 均为正数，(a ＋2b )(a ＋3c )＝(2a ＋2b ＋3c )24，当且仅当a ＋2b ＝a ＋3c ＝1时取等号，所以(2a＋2b＋3c)24≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A.二、多项选择题9．下列四个函数中，最小值为2的是()A．y＝sin xxB．y＝ln x＋1ln x(x＞0，x≠1)C．y＝x2＋6 x2＋5D．y＝4x＋4－x 答案AD解析对于A，因为0＜x≤π2，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋1sin x≥2，当且仅当sin x＝1sin x，即sin x＝1时取等号，故y＝sin x x2，符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋1ln x为负值，无最小值，不符合题意；对于C，y＝x2＋6x2＋5＝x2＋5＋1x2＋5，设t＝x2＋5，则t≥5，则y≥5＋15＝655，其最小值不是2，不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋14x≥24x·14x＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意．故选AD.10．(2024·湖北部分名校高三适应性考试)已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，下列说法正确的是()A．ab的最大值为2B．a＋b的最小值为4C．a＋2b的最小值为62－3D.1a(b＋1)＋1b的最小值为12答案BCD解析对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2ab，即(ab)2＋2ab－8≤0，解得0<ab≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤(a＋b)24＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝8－aa＋1>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2·8－a a ＋1＝a ＋18a ＋1－2＝a ＋1＋18a ＋1－3≥2(a ＋1)·18a ＋1－3＝62－3，当且仅当a ＋1＝18a ＋1，即a ＝32－1时取等号，故C 正确；对于D ，因为1a (b ＋1)＋1b ＝181a (b ＋1)＋1b [a (b ＋1)＋b ]＝182＋b a (b ＋1)＋a (b ＋1)b ≥18＋2)＝12，当且仅当b a (b ＋1)＝a (b ＋1)b ，即b ＝4，a ＝45时取等号，故D 正确，故选BCD.11．已知a >0，b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．a 2＋b 2≥12B ．2a －b >12C ．log 2a ＋log 2b ≥－2D.a ＋b ≤2答案ABD解析对于A ，a 2＋b 2＝a 2＋(1－a )2＝2a 2－2a ＋1＝＋12≥12，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故A 正确；对于B ，a －b ＝2a －1>－1，所以2a －b >2－1＝12，故B 正确；对于C ，log 2a ＋log 2b ＝log 2ab ≤log＝log 214＝－2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故C 不正确；对于D ，因为(a ＋b )2＝1＋2ab ≤1＋a ＋b ＝2，所以a ＋b ≤2，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，故D 正确．故选ABD.三、填空题12．(2023·山东滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝________．答案3解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)·1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3.13．(2024·河北衡水中学高三第三次综合素养评价)已知实数a >b >1，满足a ＋1a －1≥b ＋1b －1，则a ＋4b 的最小值是________．答案9解析由已知条件，得a －b ≥1b －1－1a －1＝(a －1)－(b －1)(b －1)(a －1)＝a －b (b －1)(a －1)，∵a －b >0，∴1≥1(b －1)(a －1)，又a －1>0，b －1>0，∴(b －1)(a －1)≥1，∴a ＋4b ＝(a －1)＋4(b －1)＋5≥2(a －1)·4(b －1)＋5＝9，－1＝4(b －1)，－1)(a －1)＝1，＝3，＝32时，等号成立．14．(2023·湖北荆宜三校高三模拟)已知正数a ，b 满足a ＋3b ＋3a ＋4b ＝18，则a ＋3b 的最大值是________．答案9＋36解析设t ＝a ＋3b ，则3a ＋4b ＝18－t ，所以t (18－t )＝(a ＋3b 15＋9b a ＋4ab≥15＋29b a ·4ab＝27，当且仅当2a ＝3b 时取等号．所以t 2－18t ＋27≤0，解得9－36≤t ≤9＋36，即a ＋3b 的最大值是9＋36，当且仅当2a ＝3b ，即a ＝3＋6，b ＝2＋263时取等号．15．(2024·浙江名校联盟高三上学期第一次联考)已知正实数x ，y 满足1x ＋4y ＋4＝x ＋y ，则x＋y 的最小值为()A.13－2B ．2C ．2＋13D ．2＋14答案C解析因为正实数x ，y 满足1x ＋4y＋4＝x ＋y ，等式两边同乘以x ＋y ，可得(x ＋y )2＝4(x ＋y )＋5＋y x ＋4xy≥4(x ＋y )＋5＋2y x ·4xy ＝4(x ＋y )＋9，所以(x ＋y )2－4(x ＋y )－9≥0，因为x ＋y >0，所以x ＋y ≥2＋13，当且仅当y ＝2x 时，等号成立．因此x ＋y 的最小值为2＋13.故选C.16．已知点E 是△ABC 的中线BD 上的一点(不包括端点)，若AE →＝xAB →＋yAC →，则2x ＋1y 的最小值为()A ．4B ．6C ．8D ．9答案C解析设BE →＝λBD →(0<λ<1)，∵AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBD →＝AB →＋λ(AD →－AB →)＝(1－λ)AB →＋λ2AC →，∴x ＝1－λ，y ＝λ2(x >0，y >0)，∴2x ＋1y ＝21－λ＋2λ＝－λ)＋λ]＝4＋2λ1－λ＋2(1－λ)λ≥4＋22λ1－λ·2(1－λ)λ＝8，当且仅当2λ1－λ＝2(1－λ)λ，即λ＝12时取等号，故2x ＋1y 的最小值为8.故选C.17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x ，y 满足x 2＋y 2－xy ＝1，则()A ．x ＋y ≤1B ．x ＋y ≥－2C ．x 2＋y 2≤2D ．x 2＋y 2≥1答案BC解析由x 2＋y 2－xy ＝1得(x ＋y )2－1＝3xy ≤，解得－2≤x ＋y ≤2，当且仅当x ＝y ＝－1时，x ＋y ＝－2，当且仅当x ＝y ＝1时，x ＋y ＝2，所以A 错误，B 正确；由x 2＋y 2－xy ＝1得x 2＋y 2－1＝xy ，又x 2＋y 2≥2x 2·y2＝2|xy |，所以|x 2＋y 2－1|≤x2＋y 22即－x 2＋y 22≤x 2＋y 2－1≤x 2＋y 22，所以23≤x 2＋y 2≤2，当且仅当x ＝y ＝±1时，x 2＋y 2＝2，当x ＝33，y ＝－33或x ＝－33，y ＝33时，x 2＋y 2＝23，所以C 正确，D 错误．故选BC.18．(多选)(2024·湖北襄阳第五中学高三月考)若a >b >0，且a ＋b ＝1，则()A ．2a ＋2b ≥22B ．2a ＋ab ≥2＋22C ．(a 2＋1)(b 2＋1)<32D ．a 2a ＋2＋b 2b ＋1≥14答案BD解析因为a >b >0，且a ＋b ＝1，所以0<b <12，12<a <1.对于A ，因为2a ＋2b ≥22a ·2b ＝22a ＋b＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，故A 错误；对于B ，因为b a >0，a b >0，由基本不等式，得2a ＋a b ＝2a ＋2b a ＋a b ＝2＋2b a ＋a b ≥2＋22b a ·ab＝2＋22，当且仅当2b a ＝a b ，即a ＝2－2，b ＝2－1时，等号成立，所以2a ＋ab≥2＋22，故B 正确；对于C ，因为a ＋b ＝1，所以(a 2＋1)(b 2＋1)＝a 2b 2＋a 2＋b 2＋1＝a 2b 2＋(a ＋b )2－2ab ＋1＝a 2b 2－2ab ＋2＝(ab －1)2＋1，其中ab ≤(a ＋b )24＝14，当且仅当a ＝b 时取等号，但a >b >0，所以等号取不到，所以0<ab <14，(a 2＋1)(b 2＋1)＝(ab －1)2＋1故C 错误；对于D ，a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝[(a ＋2)－2]2a ＋2＋[(b ＋1)－1]2b ＋1＝(a ＋2)＋4a ＋2－4＋(b ＋1)＋1b ＋1－2＝4a ＋2＋1b ＋1－2，因为a ＋b＝1，所以a ＋2＋b ＋1＝4，故a ＋24＋b ＋14＝1，所以4a ＋2＋1b ＋1＝＝1＋14＋b ＋1a ＋2＋a ＋24(b ＋1)≥54＋2b ＋1a ＋2·a ＋24(b ＋1)＝94，当且仅当b ＋1a ＋2＝a ＋24(b ＋1)，即a ＝23，b ＝13时，等号成立，所以a 2a ＋2＋b 2b ＋1＝4a ＋2＋1b ＋1－2≥94－2＝14，故D 正确．故选BD.19．(2024·湖北百校高三联考)已知正数x ，y 满足3x ＋4y ＝4，则y是________．答案1解析因为x ，y 是正数，所以＝y xy ＋3＋y 2xy ＋1＝1x ＋3y ＋12x ＋1y，且x ＋3y ＋2x ＋1y ＝3x ＋4y ＝4，所以y＝14＋3y ＋2x·＝＋2x ＋1y x ＋3y ＋≥14×(2＋2)＝1，当且仅当2x ＋1y x ＋3y ＝x ＋3y 2x ＋1y，即x ＝45，y ＝52，等号成立，所以y 1.20．(2023·广东深圳高三二模)足球是一项很受欢迎的体育运动．如图，某标准足球场的底线宽AB ＝72码，球门宽EF ＝8码，球门位于底线的正中位置．在比赛过程中，攻方球员带球运动时，往往需要找到一点P ，使得∠EPF 最大，这时候点P 就是最佳射门位置．当攻方球员甲位于边线上的点O 处(OA ＝AB ，OA ⊥AB )时，根据场上形势判断，有OA →，OB →两条进攻线路可供选择．若选择线路OA →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，则甲带球________码时，到达最佳射门位置．答案72－165722－165解析若选择线路OA →，设AP ＝t ，其中0<t ≤72，AE ＝32，AF ＝32＋8＝40，则tan ∠APE ＝AEAP＝32t ，tan ∠APF ＝AF AP ＝40t ，所以tan ∠EPF ＝tan(∠APF －∠APE )＝tan ∠APF －tan ∠APE 1＋tan ∠APF tan ∠APE＝40t －32t 1＋1280t 2＝8t 1＋1280t2＝8t ＋1280t ≤82t ·1280t ＝520，当且仅当t ＝1280t ，即t ＝165时，等号成立，此时OP ＝OA －AP ＝72－165，所以若选择线路OA →，则甲带球72－165码时，到达最佳射门位置；若选择线路OB →，以线段EF 的中点N 为坐标原点，BA →，AO →的方向分别为x ，y 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则B (－36，0)，O (36，72)，F (－4，0)，E (4，0)，k OB ＝7236＋36＝1，直线OB 的方程为y ＝x ＋36，设点P (x ，x ＋36)，其中－36<x ≤36，tan ∠AFP ＝k PF ＝x ＋36x ＋4，tan ∠AEP ＝k PE ＝x ＋36x －4，所以tan ∠EPF ＝tan(∠AEP －∠AFP )＝tan ∠AEP －tan ∠AFP1＋tan ∠AEP tan ∠AFP＝x ＋36x －4－x ＋36x ＋41＋x ＋36x －4·x ＋36x ＋4＝8(x ＋36)x 2－161＋(x ＋36)2x 2－16＝8(x ＋36)＋x 2－16x ＋36，令m ＝x ＋36∈(0，72]，则x ＝m －36，所以x ＋36＋x 2－16x ＋36＝m ＋(m －36)2－16m ＝2m ＋1280m －72≥22m ·1280m72＝3210－72，当且仅当2m ＝1280m，即m ＝810，即x ＝810－36时，等号成立，所以tan ∠EPF ＝82m＋1280m－72≤83210－72＝1410－9，当且仅当x＝810－36时，等号成立，此时|OP|＝2·|36－(810－36)|＝722－165，所以若选择线路OB→，则甲带球722－165码时，到达最佳射门位置．。

高中数学不等式专题练习(带答案详解)一、单选题21．已知抛物线C: y2 2px(p 0)的焦点F 到其准线的距离为4，圆M :(x 2)2y21，过F 的直线l与抛物线C和圆M 从上到下依次交于A，P ，Q，B 四点，则AP 4 BQ 的最小值为( )2．已知函数f (x)的定义域为R，且满足f(4) 1，f (x)为f ( x)的导函数，又知b3y f (x)的图象如图，若两个正数a，b满足f(2a b) 1，则 b 3的取值范围是a2 ).3 7 3 7A ．, B．,4 2 4 23．设a,b,c R ，且a b ，则下列不等式成立的是7．已知2 x 4, 3 yx1 ，则的取值范围是(x 2yA．a2b2B．ac2bc2C．a c b c 1 D．1a b8n，则m 2n 的最小值是()4．已知正数m，n满足m n 1A ．18B．16C．8D．105．在ABC 中A ,b34,E、F 为边BC 的三等分点，则u A u E ur u A u F ur的最小值为A．9 32B．C．269D．26．已知集合A= {x|x24<0}，B= {x|- 3<2x< 6} ，则AIA．( 32,2)B．( 2,2)C．( 32,3)D．( 2,3) A．9 B．11 C．13 D．1522C．,2D．,255)1A ． 1,1B ． (1,2)51 3 12 C ． 2,2 D ． 4,38．不等式 1 4x 的解集是( )x二、填空题x 112．已知实数 x 、y 满足线性约束条件 y 1 ,则目标函数 z 2x y 的最大值是x y4x2y 2 ，则目标函数 z x 2y 的最小值是 xy20A ． 12,0 B ． (2, )C ． 12,0 D ． 1,19．已知关于 x 的不等式 ax 2 ax 6 a 在 23,2 上恒成立，则实数 a 的取值范围为( )A ． ( ,2)B ．( ,3) 10． 已知集合 A x3x 81 3 ,B x A ． 2,3,4 C ． 5,6,7,8,9,10x3y 4 11． 3x 已知实数 x, y 满足 y1 ，若 z 25 5x 10C ． ( ,4)D ． ( ,6)N x 2 12x 11 0 ，则 AI B () B ． 2,3,4,5D ．6,7,8,9,10mx y 3，且 z 0恒成立，则实数 m 的取值不可能为( )A ．7B ．8C ．9D ．1013．已知实数 x ， y 满足约束条件114．已知关于 x 的不等式 ax 2 (a 1)x 1 0的解集是 ( , )U( 1, ) ，则实数 a 的 a 取值范围是 ____________ .215．设实数 x ， y 满足 x 9y 2 1，则 x 2xy 的最小值是 ____________________12 17．已知 x y 1， y 0， x 0 ，则 的最小值为 xy 18．“x 1 ”是 “(x 1)(x 2) 0”的一个______________ 条件.(在 “充分不必要 ”、 “必要不 充分 ”、“充要 ”、 “既不充分也不必要 ”选择一个填写)3x 0< x 119．已知 f (x),若 f ( f (t)) 0,1 ,则实数 t 的取值范围是 log 2 x 1 1< x 320．若关于 x 的方程 x 2 ax b 0 (a,b 22 R)在区间 0,1上有实根 ,则a 2 b 2 的 最小值是 _____ ．21．已知 a b 15(a 0,b 0) ，则 a b 的最大值为 _________ .x 2y 222． 已知 x,y 满足约束条件 2x y 2 ， 则 z x 3y 的最大值为 ___________ . x 02a x24．已知函数 y lg 2 的定义域为集合 A ，若 4 A ，则实数 a 的取值集合是 xa1 三、解答题25．在“新零售 ”模式的背景下，某大型零售公司推广线下分店，计划在 S 市的 A 区开设分店， 为了确定在该区开设分店的个数， 该公司对该市已开设分店的其他区的数据作了 初步处理后得到下列表格 .记 x 表示在各区开设分店的个数， 23．已知实数x ， y 满足条件 0， 22 4 0，则 x 2 (y 2)2的取值范围是 0,16．已知变量 x ， y 满足约束条件x y 2 0,x 1, 目标函数 z 2x y 的最大值是 x y 6 0, y 表示这个 x 个分店的年收入之和 .（1）该公司已经过初步判断， 可用线性回归模型拟合 y 与x 的关系，求 y 关于 x 的线性回A 区获得的总年利润 z （单位 :百万元 ）与 x ，y 之间的关系为 1.4 ，请结合 （1）中的线性回归方程，估算该公司应在 A 区开设多少个26．商品价格与商品需求量是经济学中的一种基本关系，服装制定合理的价格，需要了解服装的单价 x （单位：元）与月销量 y （单位：件）和月利润 z （单位：元）的影响，对试销 10 个月的价格 x i 和月销售量 y i （ i 1,2, ,10）数据作了初步处理，得到如图所示的散点图及一些统计量的值10归方程 y b ?xa ?分店时，才能使 A 区平均每个分店的年利润最大（参考公式 : y b ?x a?，其中 b ? n x i y i nxy i 1 ， a? n a 22 x i nx i1 y b ?x ) 表中 w i ,ww i .x i 10 i 1 （2）假设该公司在 z y 0.05 x 2某服装公司需对新上市的一款b（ 1）根据散点图判断， y a bx 与 y a b 哪一个适宜作为需求量 y 关于价格 x 的 x回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（ 2）根据（ 1）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程； （ 3）已知这批服装的成本为每件 10 元，根据（ 1）的结果回答下列问题；（ i ）预测当服装价格 x 50 时，月销售量的预报值是多少？（ ii ）当服装价格 x 为何值时，月利润的预报值最大？（参考数据815 29）附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为 (x i x)(y i y) i1 n(x i x)2 i127．某市有 A,B 两家大型石油炼化厂， 这两家石油炼化厂所生产的成品油都要通过甲、乙两条输油管道输送到各地进行销售 .由于地理位置及 A,B 两家石油炼化厂的生产能力 的不同， A 石油炼化厂生产的成品油通过甲、 乙两条输油管道输送时每吨的运费分别为1 元和 1.6 元， B 石油炼化厂生产的成品油通过甲、乙两条输油管道输送时每吨的运费 分别为 0.8元和 1.5元.甲输油管道每年最多能输送 290 万吨成品油，乙输油管道每年最多能输送 320 万吨成品油 . A 石油炼化厂每年生产 180 万吨成品油， B 石油炼化厂每年 生产 240万吨成品油 .规定 A 石油炼化厂通过甲输油管道输送的成品油与B 石油炼化厂 通过甲输油管道输送的成品油的二倍之和不超过的输油方案，能使总的运费最少？ 228．已知函数 f(x) x 2 ax b . （ Ⅰ ）若不等式 f （x ） 0 的解集为 {x| 3 x 1} ，求不等式bx 2 ax 1 0 的解集； 2（Ⅱ）若 a 2m,b 8m 2,m 0，且 f （x ） 0的解集为 x 1,x 2 ,x 2 x 1 15，求 m 的值 .29．已知函数 f （x ） 2x 1 4x 5 的最小值为 M .（ 1）求 M ；2 2 2 2 2 2 （ 2）若正实数 a ，b ，c 满足 a b c M ，求证： a b a c b c 7. cbab$ x i y i nxyi1n 22 x i n(x) i1 490 万吨 .问：两家炼化厂采用什么样1．C解析】分析】 先由点到到准线的距离，得到 C: y 2 8x ，焦点 F (2,0) ，设 A x 1,y 1 ， B x 2,y 2 ，分直 线 l 斜率存在，和直线 l 斜率不存在两种情况，根据抛物线的定义，以及基本不等式，即可 求出结果 .【详解】 因为抛物线 C: y 2 2px(p 0)的焦点 F 到其准线的距离为 4，所以 p 4，因此 C: y 2 8x ，焦点 F (2,0) ， 设 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，当直线 l 斜率存在时，设直线 l :y k(x 2)，此时 AP 4 BQ 15 ；参考答案由 y k(x 2)由2 y 2 8x 得 k 2(x 2)2 8x 0 ，整理得： k 2x 2 224k 2 8 x 4k 2 0， 因此 x 1x 2 4 ， 所以 4 x 2 ，(由题意易知： x 1x 1 2)2又M :(x 2)2 1的半径为 1，即 FP FQ 1，由抛物线的定义可得： 因此 AP 所以 AP AF x 1 p 2 x 1 2， BF x 2 x 2 2 ，AF 1 4 BQ x 1 x 1 1 1， BQ 4x 2 4 BF x 1 16 x 1x 2 1，2 16 5 13 ，当且仅当 16 x 1，即 x 1 x 14时，等号成立；当直线 l 斜率不存在时，易得 AP BQ 3，综上， AP 4 BQ 的最小值为 13.故选：C本题主要考查由抛物线的定义求距离的最值问题，熟记抛物线的定义，以及基本不等式即可，属于常考题型.2．B【解析】【分析】由y f (x)图像易得在x 0时f x 是增函数，又2a b 0 ，由单调性即可解不等式 b 3表示的是Qa,b 与点P 2, 3 连线的斜率即可求解。

高中数学高考总复习不等式选讲习题及详解一、选择题1．对任意x ∈R ，|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．－1≤a ≤5 B ．－1<a ≤5 C ．－1≤a <5 D ．－1<a <5 [答案] A[解析] 因为|2－x |＋|3＋x |≥5，要使|2－x |＋|3＋x |≥a 2－4a 恒成立，即5≥a 2－4a ，解得－1≤a ≤5.2．(2010·山师大附中模考)已知a >0，b >0且1a ＋3b ＝1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．7＋2 6B ．2 3C ．7＋2 3D ．14 [答案] A[解析] a ＋2b ＝(a ＋2b )⎝⎛⎭⎫1a ＋3b ＝7＋2b a ＋3a b ≥7＋26，等号在b ＝62a 时成立． 3．已知0<a <1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M 、N 的大小关系是( )A ．M <NB ．M >NC ．M ＝ND ．不确定 [答案] B[解析] ∵0<a <1b ，∴ab <1，a >0，b >0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b＝(1－a )(1＋b )＋(1＋a )(1－b )(1＋a )(1＋b )＝2(1－ab )(1＋a )(1＋b )>0，∴M >N . 4．下列结论：①(1＋x )n >1＋nx (x ∈R ，n ∈N *)②(1＋x )n >1＋nx (x >－1，n ∈R ) ③(1＋x )n >1＋nx (x >－1,0<n <1) ④(1＋x )n ≤1＋nx (x >－1,0<n <1) ⑤(1＋x )n ≥1＋nx (x >－1，n <0) 其中正确的个数为( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 [答案] B[解析] 根据贝努利不等式可知，(1＋x )n >1＋nx 的条件为x >－1(n ∈N *，n >1)； (1＋x )n ≥1＋nx 的条件为x >－1，n >1或n <0； (1＋x )n ≤1＋nx 的条件为x >－1,0<n <1. 故④⑤正确， ①②③都错．5．f (x )＝2x ＋31－x 的最大值为( ) A ．5 B.121313C.13D.522[答案] C[解析] (2x ＋31－x )2≤(22＋32)[(x )2＋(1－x )2]＝13， ∴2x ＋31－x ≤13，等号在x2＝1－x 3， 即x ＝413时成立．6．(2010·江苏泰州)若对任意x ∈A ，y ∈B ，(A ⊆R ，B ⊆R )有唯一确定的f (x ，y )与之对应，则称f (x ，y )为关于x ，y 的二元函数．满足下列性质的二元函数f (x ，y )称为关于实数x ，y 的广义“距离”：(1)非负性：f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号； (2)对称性：f (x ，y )＝f (y ，x )；(3)三角形不等式：f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )对任意的实数z 均成立．今给出三个二元函数：①f (x ，y )＝|x －y |；②f (x ，y )＝(x －y )2；③f (x ，y )＝x －y . 其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的二元函数的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ [答案] A[解析] 对函数f (x ，y )＝|x －y |，∵f (x ，y )≥0，当且仅当x ＝y 时取等号，满足非负性； f (y ，x )＝|y －x |＝|x －y |＝f (x ，y )，满足对称性；由|a ＋b |≤|a |＋|b |得|x －y |＝|(x －z )＋(z －y )|≤|x －z |＋|z －y |对任意的实数z 均成立． 即f (x ，y )≤f (x ，z )＋f (z ，y )，满足三角形不等式．故①满足广义“距离”． 对函数f (x ，y )＝(x －y )2，显然满足非负性和对称性．∵当z ＝0时，f (x ，y )－[f (x,0)＋f (0，y )]＝－2xy ，显然不恒小于等于零，故不满足三角形不等式，故②不满足广义“距离”．对函数f (x ，y )＝x －y ，显然不满足对称性．故③不满足广义“距离”．故选A. 7．已知x 、y 、z ∈R ＋，且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13 C.12 D ．3 [答案] B[解析] x 2＋y 2＋z 2＝(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)×13≥(1×x ＋1×y ＋1×z )2×13＝13.8．已知a 、b 、c 、d ∈R ＋且S ＝a a ＋b ＋c ＋b b ＋c ＋d ＋c c ＋d ＋a ＋da ＋b ＋d ，则下列判断中正确的是( )A ．0<S <1B ．1<S <2C ．2<S <3D ．3<S <4 [答案] B [解析]a a ＋b ＋c ＋d <a a ＋b ＋c <aa ＋c；b a ＋b ＋c ＋d <b b ＋c ＋d <bd ＋b；c a ＋b ＋c ＋d <c c ＋d ＋a <cc ＋a ；c a ＋b ＋c ＋d <d d ＋a ＋b <dd ＋b .以上四个不等式相加得，1<S <2. 二、填空题9．(2010·陕西宝鸡)若不等式|x ＋1x |≥|a －2|＋1对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是________．[答案] 3[解析] 令f (x )＝|x ＋1x |，∵f (x )＝|x ＋1x |＝|x |＋|1x |≥2，∴|a －2|＋1≤2，解得1≤a ≤3，故a 的最大值是3.10．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．[答案] 32[解析] 2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a≥22(x －a )×2x －a＋2a ＝2a ＋4≥7，∴a ≥32.故a 的最小值为32.11．(2010·南京调研)设函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|，则不等式f (x )>3的解集为________． [答案] (－∞，0)∪(3，＋∞)[解析] 当x <1时，有f (x )＝1－x ＋2－x ＝3－2x . 由f (x )>3得3－2x >3，解得x <0； 当1≤x ≤2时，有f (x )＝x －1＋2－x ＝1. 此时，不等式f (x )>3无解；当x >2时，有f (x )＝x －1＋x －2＝2x －3. 由f (x )>3得2x －3>3，解得x >3.故不等式f (x )>3的解集为(－∞，0)∪(3，＋∞)．[点评] 可画出数轴如图，∵|AB |＝1，∴|PB |>1，|QA |>1，故由图可得x >3或x <0. 12．(2010·江苏无锡市调研)已知c 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的半焦距，则b ＋c a 的取值范围是________．[答案] (1，2][解析] ⎝⎛⎭⎫b ＋c a 2＝b 2＋c 2＋2bca 2＝b 2＋c 2＋2bc b 2＋c 2＝1＋2bcb 2＋c 2， ∵b ，c >0，∴1<⎝⎛⎫b ＋c a 2≤2，∴1<b ＋c a≤ 213．(2010·福建南平一中)若函数f (x )＝2|x＋7|－|3x －4|的最小值为2，则自变量x 的取值范围是________．[答案] [－12，5][解析] 依题意知，2|x＋7|－|3x －4|≥2，∴|x ＋7|－|3x －4|≥1，当x >43时，不等式化为x ＋7－(3x －4)≥1.解得x ≤5，即43<x ≤5；当－7≤x ≤43时，不等式化为x ＋7＋(3x －4)≥1，解得x ≥－12，即－12≤x ≤43；当x <－7时，不等式化为－x －7＋(3x －4)≥1， 解得x ≥6，与x <－7矛盾． ∴自变量x 的取值范围为－12≤x ≤5.14．(2010·重庆中学)抛物线y 2＝4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5,0)，倾斜角为π4的直线l 与线段OA 相交(l 不过点O 和点A )且交抛物线于M 、N 两点，则△AMN 的最大面积为________．[答案] 8 2[解析] 设直线l 与x 轴交于点B (t,0)，则由题意知0<t <5，直线l ：y ＝x －t ，代入y 2＝4x 中消去x 得，y 2－4y －4t ＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4，y 1y 2＝－4t ， ∴|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋t ，∴S △AMN ＝12|AB |·|y 1－y 2|＝21＋t ·(5－t )＝2(1＋t )(5－t )2 ＝2(2＋2t )(5－t )(5－t )2≤212⎣⎡⎦⎤(2＋2t )＋(5－t )＋(5－t )33＝8 2.等号在t ＝1时成立． 三、解答题15．(2010·福建理)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． [解析] 解法一：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3；5，－3≤x ≤2；2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5. 综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．解法二： (1)同解法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|. 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．16．(2010·福建龙岩市质检)已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，且1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．[解析] ⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＋3c (a ＋2b ＋3c )＝⎝⎛⎭⎫1a 2＋⎝⎛⎭⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎫3c 2[(a )2＋(2b )2＋(3c )2] ≥⎝⎛⎭⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝36. 又1a ＋2b ＋3c＝2，∴a ＋2b ＋3c ≥18， 当且仅当1a a ＝2b 2b ＝3c 3c， 即a ＝b ＝c ＝3时等号成立．∴当a ＝b ＝c ＝3时，a ＋2b ＋3c 取得最小值18.17．(2010·苏北四市模考)已知函数f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23(a ，b ，c为实数)的最小值为m ，若a －b ＋2c ＝3，求m 的最小值．[解析] ∵f (x )＝(x －a )2＋(x －b )2＋(x －c )2＋(a ＋b ＋c )23＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋a 2＋b 2＋c 2＋(a ＋b ＋c )23＝3⎝⎛⎭⎫x －a ＋b ＋c 32＋a 2＋b 2＋c 2，∴x ＝a ＋b ＋c3时，f (x )取最小值a 2＋b 2＋c 2，即m ＝a 2＋b 2＋c 2.∵a －b ＋2c ＝3，由柯西不等式得 [12＋(－1)2＋22]·(a 2＋b 2＋c 2) ≥(a －b ＋2c )2＝9， ∴m ＝a 2＋b 2＋c 2≥96＝32，当且仅当a 1＝b －1＝c2，即a ＝34，b ＝－34，c ＝32时等号成立，所以m 的最小值为32.。

专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）1. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元2. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m3. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( )A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√24. 已知m >0，xy >0，当x +y =2时，不等式2x +m y≥4恒成立，则m 的取值范围是( )A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]5. 在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d =mk ，其中d 是距离(单位，m 是质量(单位，k 是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k 1，k 2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k 满足1k =1k 1+1k 2，并联时得到的弹簧系数k 满足k =k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D.6.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x2+y2)3=16x2y2(xy<0)表示的曲线C在第二象限和第四象限其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④7.若正实数x，y满足log2(x+3y)=log4x2+log2(2y)，则3x+y的最小值是()A. 12B. 6C. 16D. 88.中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式S=√p(p−a)(p−b)(p−c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a+b=12，c=8，则此三角形面积的最大值为()A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√159.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√210. 已知关于x 的不等式x 2−4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2)，则x 1+x 2+ax 1x 2的最大值是( )A. √63B. −2√33 C. 4√33D. −4√3311. 已知关于x 的不等式1a x 2+6x +c <0(ab >1)的解集为⌀，则T =12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为( )A. √3B. 2C. 2√3D. 412. 已知函数f(x)=e kk lnx +1x−x ，k ∈(0,+∞)，曲线y =f(x)上总存在两点M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)使曲线y =f(x)在M ，N 两点处的切线互相平行，则x 1·x 2的取值范围是( )A. [2e ,+∞)B. [4e 2,+∞)C. (2e ,+∞)D. (4e 2,+∞)二、单空题（本大题共6小题，共30分）13. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．14. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元．15. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为 ．16. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______．17. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是 ．18.已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集； （2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值．专题26 基本不等式及其应用一、单选题（本大题共12小题，共60分）18. 建造一个容积为8m 3，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为( )A. 1680元B. 1760元C. 1800元D. 1820元【答案】B【解析】解：设水池池底的一边长为xm ，则另一边长为4x m ， 则总造价y =4×120+80×(2x +2⋅4x )×2=480+320(x +4x )⩾480+320×2√x ⋅4x =1760(元)． 当且仅当x =4x ，即x =2时，y 取最小值为1760． 所以水池的最低造价为1760元． 故选B ．19. 为不断满足人民日益增长的美好生活需要，实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求，某大型广场正计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个长方形音乐喷泉综合体A 1B 1C 1D 1，该项目由长方形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周绿化带组成．规划核心喷泉区ABCD 的面积为1000m 2，绿化带的宽分别为2 m 和5m(如图所示).当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为( )A. 20 mB. 50 mC. 10√10mD. 100 m【答案】B【解析】解：设BC =xm ，知AB =1000xm ，∴整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积为S =(x +10)(1000x+4)=1040+4x +10000x≥1040+2√4x ·10000x=1440．当且仅当4x =10000x，即x =50时取等号．∴当整个项目占地A 1B 1C 1D 1面积最小时，则核心喷泉区BC 的边长为50 m ． 故选B ．20. 设a >0，b >0，a +b =1，则下列说法错误的是( ) A. ab 的最大值为14 B. a 2+b 2的最小值为12 C. 4a +1b 的最小值为9D. √a +√b 的最小值为√2【答案】D【解析】解：由题意，对各选项依次进行分析： 对A ，因为正实数a ，b 满足a +b =1，所以1=a +b ≥2√ab ，当且仅当a =b =12时等号成立， 所以ab ≤14，当且仅当a =b =12时等号成立， 故ab 有最大值14，故A 正确;对B ，因为(a +b)2=a 2+b 2+2ab =1，所以a 2+b 2=1−2ab ≥1−2×14=12，当且仅当a =b =12时等号成立，所以a2+b2有最小值12，故B正确．对C，利用基本不等式，有4a +1b=(4a+1b)(a+b)=4ba+ab+5⩾2√4ba·ab+5=9，当且仅当{a+b=1 4ba=ab,即a=23, b=13时等号成立，故1a +1b有最小值9，故C正确；对D，由题意，得(√a+√b)2=a+b+2√ab=1+2√ab≤1+2√14=2，故√a+√b≤√2，当且仅当a=b=12时等号成立，即√a+√b有最大值√2，故D错误．故选D．21.已知m>0，xy>0，当x+y=2时，不等式2x +my≥4恒成立，则m的取值范围是()A. [√2,+∞)B. [2,+∞)C. (0,√2]D. (0,2]【答案】B【解析】解：∵m>0，xy>0，x+y=2，∴2x+m y=12(x+y)(2x+m y)=12(m+2+2y x+mx y )≥12(m+2+2√2yx⋅mxy)=12(m+2+2√2m)，当且仅当2yx=mxy时取等号，∵不等式2x +my≥4恒成立，∴12(m+2+2√2m)≥4，整理得(√m+3√2)(√m−√2)≥0，解得√m≥√2，即m≥2，∴m的取值范围为[2,+∞)．故选：B．22.在弹性限度内，弹簧拉伸的距离与所挂物体的质量成正比，即d=mk，其中d是距离(单位，m是质量(单位，k是弹簧系数(单位弹簧系数分别为k1，k2的两个弹簧串联时，得到的弹簧系数k满足1k =1k1+1k2，并联时得到的弹簧系数k满足k=k1+k2.已知物体质量为10g，当两个弹簧串联时拉伸距离为，则并联时弹簧拉伸的最大距离为()A. B. C. D. 【答案】A【解析】解：根据题意可得，串联时k=md =101=10，∵1k =1k1+1k2=k1+k2k1k2，∴k=k1k2k1+k2，∴串联时，k=k1k2k1+k2=10；并联时，k′=k1+k2，弹簧拉伸的最大距离为d′=m k′=mk1+k2，要想d′取得最大值，则k′取最小值，k′=k1+k2≥2√k1k2，当且仅当k1=k2时，取等号，当k1=k2时，由k1k2k1+k2=10得，k1=k2=20，∴此时k′=k1+k2=40，∴d′=mk′=1040=14(cm)，则并联时弹簧拉伸的最大距离为14cm，故选A．23.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面．一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物．曲线C：(x2+y2)3=16x2y2恰好是四叶玫瑰线．给出下列结论：①曲线C经过5个整点(即横、纵坐标均为整数的点)；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4π；④方程(x 2+y 2)3=16x 2y 2(xy <0)表示的曲线C 在第二象限和第四象限 其中正确结论的序号是A. ①③B. ②④C. ①②③D. ②③④【答案】B【解析】解： (x 2+y 2)3=16x 2y 2≤16(x 2+y 22)2,解得x 2+y 2≤4(当且仅当x 2=y 2=2时取等号)则(2)正确；将x 2+y 2=4和(x 2+y 2)3=16x 2y 2联立，解得x 2=y 2=2即圆x 2+y 2=4与曲线 相切于点(√2,√2),(−√2,√2),(−√2,−√2),(√2,−√2)则(1)和(3)错误； 由xy <0得(4)正确； 故选B ．24. 若正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)，则3x +y 的最小值是( ) A. 12B. 6C. 16D. 8【答案】D【解析】解：∵正实数x ，y 满足log 2(x +3y)=log 4x 2+log 2(2y)， ∴(x +3y)2=x 2(2y)2，整理，得x +3y =2xy ， ∴1y +3x =2，∴3x +y =12(3x +y)(1y +3x )=12(10+3x y+3yx)≥12(10+6)=8， 当且仅当x =y 时取等号． 故选D ．25. 中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”.假设在平面内有一个三角形，边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积S 可由公式S =√p(p −a)(p −b)(p −c)求得，其中p 为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦−秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足a +b =12，c =8，则此三角形面积的最大值为( )A. 4√5B. 4√15C. 8√5D. 8√15【答案】C【解答】解：由题意，得p =10， 所以S =√p(p −a)(p −b)(p −c) =√20(10−a)(10−b)≤√20⋅10−a+10−b2=8√5，当且仅当10−a =10−b ，即a =b =6时等号成立，所以此三角形面积的最大值为8√5．故选C．26.函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，若存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，则实数m的最小值为()A. 4B. 4√2C. 8D. 8√2【答案】B【解析】解：函数f(x)、g(x)分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f(x)+2g(x)=e x，可得f(−x)+2g(−x)=e−x，即f(x)−2g(x)=e−x，解得f(x)=12(e x+e−x)，g(x)=14(e x−e−x)，由x∈(0,2]，可得e x∈(1,e2]，由t=e x−e−x在x∈(0,2]递增，可得t∈(0,e2−e−2]，存在x∈(0,2]，使不等式f(2x)−mg(x)≤0成立，即存在x∈(0,2]，不等式12(e2x+e−2x)−m⋅14(e x−e−x)≤0即m≥2(e2x+e−2x)e x−e−x成立，可得12m≥t2+2t，由t2+2t=t+2t≥2√2，当且仅当t=√2时，取得等号，即有12m≥2√2，可得m≥4√2，即m的最小值为4√2．故选：B．27.已知关于x的不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，则x1+x2+ax1x2的最大值是()A. √63B. −2√33C. 4√33D. −4√33【答案】D【解析】解：不等式x2−4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2)，根据韦达定理，可得：x1x2=3a2，x1+x2=4a，那么：x1+x2+a x1x2=4a+13a．∵a<0，∴−(4a+13a )≥2√(−4a)×(−13a)=4√33，即4a+13a ≤−4√33，故x1+x2+a x1x2的最大值为−4√33．故选：D．28.已知关于x的不等式1a x2+6x+c<0(ab>1)的解集为⌀，则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为()A. √3B. 2C. 2√3D. 4【答案】D【解析】解：由题意得：1a >0，b2−4ca≤0，得c≥ab24．∴T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1≥1+2ab+a2b22(ab−1)，令ab−1=m，则m>0，所以T≥1+2(m+1)+(m+1)22m =m2+2m+2≥4.则T=12(ab−1)+a(b+2c)ab−1的最小值为4．故选D．29.已知函数f(x)=e kk lnx+1x−x，k∈(0,+∞)，曲线y=f(x)上总存在两点M(x1,y1)，N(x2,y2)使曲线y=f(x)在M，N两点处的切线互相平行，则x1·x2的取值范围是()A. [2e ,+∞) B. [4e2,+∞) C. (2e,+∞) D. (4e2,+∞)【答案】D【解析】解：f′(x)=e kkx −1x2−1(x>0,k>0)，由题意知，f′(x1)=f′(x2)，即e kk ·1x1−1x12=e kk·1x2−1x22，∴e kk (1x1−1x2)=1x12−1x22，∴e kk =1x1+1x2=x1+x2x1x2>√x x，(等号取不到)√x1x2>2ke k恒成立，令g(k)=2ke k ，g′(k)=2−2ke k，令g′(k)=0，得k=1，故有g(k)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上递减，则有g(k)≤g(1)，故g(k)⩽g(1)=2e ，√x1x2>2e，x1x2>4e2，故选D．二、单空题（本大题共6小题，共30分）30. 已知正数a ，b 满足a +b =2，则1a+1+4b+1的最小值为______．【答案】94【解析】解：正数a ，b 满足a +b =2，则a +1+b +1=4． 则1a+1+4b+1=14[(a +1)+(b +1)](1a+1+4b+1)=14(5+b+1a+1+4(a+1)b+1)≥14(5+2√b+1a+1×4(a+1)b+1)=14×(5+4)=94， 当且仅当a =13，b =53时原式有最小值． 故答案为：94．31. 壁画为人类历史上最早的绘画形式之一．早在汉朝就有在墙壁上作画的记载，多是在石窟、墓室或是寺观的墙壁，现在结合了现代工艺和文化气息，壁画向多元化、个性化发展．作为建筑物的附属部分，它的装饰和美化功能使它成为环境艺术的一个重要方面．现要制作一幅长和宽分别为a 米和b 米的矩形壁画，壁画由边框和印刷的彩画组成．壁画边框要求其长和宽使用不同的材质(厚度忽略不计)，长和宽材质的单价分别为50元/米和100元/米，彩画的单价为200元/米 2.要求在边框制作费用不超过400元的条件下，使彩画的面积最大，此时壁画的总费用是________元． 【答案】800【解析】解：由题意，设彩画长a 米，宽b 米(其中a >0，b >0)， 则有2(50a +100b )⩽400，即a +2b ⩽4，所以彩画面积S =ab =a·2b 2⩽12×(a+2b 2)2⩽12×(42)2=2，当且仅当{a =2b a +2b =4，即{a =2b =1时不等式可取等号，此时彩画的面积为2平方米，费用为400元，边框费用为400元，总费用共需要800元． 故答案为：800．32. 已知A 、B 、C 为△ABC 的三内角，且角A 为锐角，若tanB =2tanA ，则1tan B +1tan C 的最小值为 ． 【答案】23【解析】解：∵tanB =2tanA ，角A 为锐角， ∴tanA >0，tanB >0，∴tanC =tan[π−(A +B)]=−tan(A +B)=−tanA+tanB 1−tanAtanB=−32tanB 1−12tan 2B =3tanBtan 2B−2，∴1tan B +1tan C=1tan B +tan 2B−23tanB=tan 2B+13tan B=13(tanB +1tanB) ⩾13×2√tanB ·1tanB =23，当且仅当tanB =1tanB ，即tanB =1时，取等号， 故1tanB +1tanC 的最小值为23． 故答案为23．33. 已知x >0，y >0，且2x +1y =1，若x +2y >m 2+2m 恒成立，则实数m 的取值范围是_______． 【答案】(−4,2)【解析】解：由2x +1y =1，可得x +2y =(x +2y )(2x +1y )=4+xy +4y x≥4+2√x y ⋅4y x=8．当且仅当x =2y ，且2x +1y =1，即x =4，y =2时取等号， 则x +2y 的最小值为8，x +2y >m 2+2m 恒成立⇔m 2+2m <(x +2y)min ， 所以m 2+2m <8恒成立，即m 2+2m −8<0， 解得−4<m <2．故实数m 的取值范围是(−4,2)． 故答案为(−4,2)．34. 设正实数x,y,z 满足x 2−3xy +4y 2−z =0，则当xy z 取得最大值时，2x +1y −2z 的最大值是 ． 【答案】1【解析】解：由已知条件有xyz=xy x 2−3xy+4y 2=1xy +4y x−3≤2√x y ·4yx−3=1，当且仅当x =2y 时，等号成立，因此z =x 2−3xy +4y 2=4y 2−6y 2+4y 2=2y 2， 所以2x +1y −2z =2y −1y 2=−(1y −1)2+1≤1． 故答案为：1．35. 已知a >2b(a,b ∈R)，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞)，则a 2+4b 2a−2b的最小值为______． 【答案】√2【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax 2+x +2b 的值域为[0,+∞), 则有a >0且1=4a ×(2b)=8ab ，即8ab =1，a 2+4b 2a−2b=(a−2b)2+4aba−2b=(a −2b)+12(a−2b)，又由a −2b >0，则(a −2b)+12(a−2b)≥ 2√(a −2b)×12(a−2b)=√2， 当(a −2b)=12(a−2b)等号成立． 即a 2+4b 2a−2b的最小值为√2；故答案为√2．三、解答题（本大题共1小题，共10分） 19．设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．（1）若3b a =--，求不等式()42f x x <-+的解集； （2）若f （1）4=，1b >-，求1||||1a ab ++的最小值． 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析 ；（2）34． 【解析】（1）由题意可得()42f x x <-+，即为2(1)10ax a x -++<，即(1)(1)0x ax --<， 当0a <时，110a >>，由1(1)()0x x a-->，解得1x >或1x a <；当1a =时，2(10)x -<，可得x ∈∅；当1a >时，11a >，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<； 当01a <<时，11a <，由1(1)()0x x a--<，解得11x a <<． 综上可得，0a <时，解集为{|1x x >或1}x a <；01a <<时，解集为1{|1}x x a<<；1a =时，解集为∅；1a >时，解集为1{|1}x x a<<； （2）由()14f =，1b >-，可得14a b ++=，10+>b ，可得1||1||||11||14||114||4||4||4||a ab a a b a a a a b a b b a a a a ++++=+=++≥=++++， 当0a >时，15114||44aa +=+=，可得1||||1a ab ++的最小值为54，当且仅当43a =，53b =时等号成立；当0a <时，13114||44aa +=-=，可得1||||1a ab ++的最小值为34，当且仅当4a =-，7b =时等号成立． 所以1||||1a a b ++的最小值为34．。

高考数学知识点:基本不等式(附习题)最近很多同学给老师留言说，分享关于高中数学知识点的习题，今天老师给同学们提供了高中数学知识点基础不等式的习题。

先看第一个知识点：利用基本不等式求最值利用基本不等式求最值是高考的常考内容，题型主要为选择题、填空题．高考对利用基本不等式求最值的考查常有以下三个命题角度： (1)知和求积的最值； (2)知积求和的最值； (3)求参数的值或范围． 接下来是关于高考的试题：(2015·高考湖南卷)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2 D ．4(2)(2017·甘肃定西通渭榜罗中学期末)已知a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则1a＋4b的最小值是________．(3)(2015·高考重庆卷)设a，b＞0，a＋b＝5，则a＋1＋b＋3的最大值为________．规律方法：利用基本不等式求最值需满足的三个条件(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”即检验等号成立的条件，判断等号能否取到，只有等号能成立，才能利用基本不等式求最值．角度一知和求积的最值设x＞0，y＞0，且x＋y＝18，则xy的最大值为( )A．80 B．77C．81 D．82角度二 知积求和的最值设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12角度三 求参数的值或范围(2017·福建四地六校联考)已知函数f (x )＝x ＋a x＋2的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)，则a 的值是( )A.12 B.32 C ．1 D ．2利用不等式解决实际问题，这个是同学关心的问题，下面继续给大家分享某人准备在一块占地面积为1 800平方米的矩形地块中间建三个温室大棚，大棚周围均是宽为1米的小路(如图中阴影部分所示)，大棚占地面积为S平方米，其中a∶b＝1∶2.(1)试用x，y表示S；(2)若要使S的值最大，则x，y的值各为多少？这道题两个方面进行解答，在解答过程中有什么不懂，都可以留言老师。