2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷(文科)

2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣34．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．45．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．46．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=08．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=09．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f（m）10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．18．（10分）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．19．（10分）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．20．（15分）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．21．（15分）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．选修4-5：不等式选讲23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．2017年东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合，B={x|1＜x≤2}，则A∩B=（）A．（1，2）B．（1，2] C．[﹣1，2]D．[﹣1，2）【考点】交集及其运算．【分析】利用交集定义和不等式性质求解．【解答】解：＜0，即（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，即A=（﹣1，2），B={x|1＜x≤2}=（1，2]，则A∩B=（1，2），故选：A【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解时要认真审题，注意交集性质的合理运用．2．设复数z满足（1+i）z=2i，则复数z=（）A．﹣1+i B．﹣1﹣i C．1+i D．1﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】（1+i）z=2i，可得（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化简整理即可得出．【解答】解：∵（1+i）z=2i，∴（1﹣i）（1+i）z=2i（1﹣i），化为：2z=2（i+1），∴z=1+i．故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭虚数的定义，考查了推理能力与技能数列，属于基础题．3．设向量=（1，2），=（m，m+1），∥，则实数m的值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣ D．﹣3【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【分析】利用向量平行的性质求解．【解答】解：∵=（1，2），=（m，m+1），∥，∴，解得m=1．故选：A．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量平行的性质的合理运用．4．双曲线的顶点到渐进线的距离等于虚轴长的，则此双曲线的离心率是（）A．2 B．C．3 D．4【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用已知条件列出方程，然后求解双曲线的离心率即可．【解答】解：双曲线的顶点（a，0）到渐进线bx+ay=0的距离等于虚轴长的，可得，即2a=c，可得e=．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．5．一个四棱锥的底面为长方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体是四棱锥，再根据三视图判断四棱锥的高与底面长方形的长与宽，把数据代入棱锥的体积计算可得答案．【解答】解：由三视图知几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，高为3，四棱锥的底面是长方形，长方形的长、宽分别为1、2，∴几何体的体积V=×1×2×3=2．故选：B．【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，解题的关键是判断几何体的形状及数据所对应的几何量．6．检测600个某产品的质量（单位：g），得到的直方图中，前三组的长方形的高度成等差数列，后三组对应的长方形的高度成公比为0.5的等比数列，已知检测的质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，则质量在115.5﹣120.5的长方形高度为（）A．B．C．D．【考点】频率分布直方图．【分析】求出质量在100.5﹣105.5之间的频率，设出前三组长方形的高度成等差数列的公差为d，利用频率和为1求出d的值，再求出115.5﹣120.5对应的长方形高．【解答】解：根据题意，质量在100.5﹣105.5之间的产品数为150，频率为=0.25；前三组的长方形的高度成等差数列，设公差为d，则根据频率和为1，得（0.25﹣d）+0.25+（0.25+d）+（0.25+d）+（0.25+d）=1；解得d=；所以质量在115.5﹣120.5的频率是×（0.25+）=，对应小长方形的高为÷5=．故选：D．【点评】本题考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题目．7．已知数列{a n}是等差数列，满足a1+2a2=S5，下列结论中错误的是（）A．S9=0 B．S5最小C．S3=S6D．a5=0【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件利用等差数列的前n项和公式和通项公式求出首项和公差的关系，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S5=a1+2a2，∴，解得：a1=﹣4d．∴=0，故A正确；=﹣10d，不一定最小，故B错误；S3=3a1+3d=﹣9d，，故C正确；a5=a1+4d=0，故D正确．∴错误的结论是B．故选：B．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，属中档题．8．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，则（）A．f（）=﹣1 B．f（x）的周期为C．ω的最大值为4 D．f（）=0【考点】正弦函数的单调性．【分析】由条件以及利用正弦函数的单调性，求得ω的最大值，可得结论．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）在区间（，）内是增函数，∴ω•+φ≥2kπ﹣，ω+φ≤2kπ+，且•≥﹣，∴ω≥，ω≤，且ω≤4．令k=1，可得6﹣≤ω≤5﹣，且ω≤4，故ω的最大值为4，故选：C．【点评】本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．9．如图是用二分法求方程x3﹣2=0近似解的算法的程序框图，则①②两处应依次填入（）A．a=m，b=m B．b=m，a=m C．a=f（m），b=f（m）D．b=f（m），a=f（m）【考点】程序框图．【分析】根据据二分法求方程近似解的步骤和程序框图，逐项分析不难确定答案．【解答】解：据二分法求方程近似解的步骤知：当f（m）f（b）＜0即f（m）f（a）＞0时，说明方程的根在区间（m，b）内，故处理框（1）应填写a=m．当f（m）f（a）＜0即f（m）f（b）＞0时，说明根在区间（a，m）内，故处理框（2）应填写b=m．故选：A．【点评】本题主要考查用二分法求区间根的问题，属于基础题型．二分法是把函数的零点所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而求零点近似值的方法．10．过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S△OAF=4S△OBF，则直线AB的斜率为（）A．± B．± C．± D．±【考点】直线与抛物线的位置关系．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，，求得﹣y1=4y2，设出直线AB的方程，与抛物线方【分析】据S△AOF程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出tanα．【解答】解：根据题意设点A（x1，y1），B（x2，y2）．=4S△BOF，得|AF|=4|BF|，|，，得，由S△AOF故﹣y1=4y2，即．设直线AB的方程为y=k（x﹣）．联立，消元得ky2﹣2py﹣kp2=0．故y1+y2=，y1y2=﹣p2．则，，解得k=，即直线AB的斜率为．故选：D．【点评】本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．11．已知四面体A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为6的正三角形，则当四面体的体积最大时，其外接球的表面积是（）A．60πB．30πC．20πD．15π【考点】球的体积和表面积．【分析】当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，求出EF，判断三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，求出半径，然后求解三棱锥的外接球的表面积．【解答】解：当四面体的体积最大时，平面ABC⊥平面BCD，取AD，BC中点分别为E，F，连接EF，AF，DF，由题意知AF⊥DF，AF=CF=3，∴EF=AD=，易知三棱锥的外接球球心O在线段EF上，连接OA，OC，有R2=AE2+OE2，R2=DF2+OF2，∴R2=（）2+OE2，R2=32+（﹣OE）2，∴R=，∴三棱锥的外接球的表面积为4πR2=60π．故选A．【点评】本小题主要考查球的内接几何体的相关计算问题，对考生的空间想象能力与运算求解能力以及数形结合思想都提出很高要求，本题是一道综合题．12．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f'（x），满足f'（x）＜f（x），且f（0）=2，则不等式f（x）﹣2e x＜0的解集为（）A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（4，+∞）【考点】函数的单调性与导数的关系．【分析】构造函数g（x）=，利用导数研究函数的单调性，转化不等式即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）=，则函数的导数为g′（x）=，∵f′（x）＜f（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上单调递减；又∵f（0）=2，∴g（0）==2，则不等式f（x）﹣2e x＜0化为＜2，它等价于g（x）＜2，即g（x）＜g（0），∴x＞0，即所求不等式的解集为（0，+∞）．故选：B．【点评】本题主要考查不等式的求解，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．二、填空题13.已知实数x，y满足则z=x+2y的最大值为8．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+2y为，由图可知，当直线为过A（0，4）时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为8．故答案为：8．【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．若0＜a＜2，0＜b＜2，则函数存在极值的概率为．【考点】利用导数研究函数的极值；几何概型．【分析】求导，由函数存在极值，则f′（x）=0，存在两个不相等的实根，则△＞0，求得a＞2b，求得阴影部分的面积，利用几何概型概率公式，即可求得答案．【解答】解：由数，求导，f′（x）=x2+2+2b，由函数存在极值．则方程x2+2+2b=0，有两个不相等的实根，△=4a﹣4×2b＞0，即a＞2b，∴由题意可知阴影部分的面积S1=×2×1=1，a，b所围成图形的面积S=2×2=4，∴存在极值的概率S==，故答案为：．【点评】本题考查几何概型概率公式，极值存在的应用，考查计算能力，属于中档题．15．若a＞0，b＞0，且2a+b=1，且的最大值是．【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】利用，可得≤，4a2+b2≥，即可得出．【解答】解：∵2a+b=1，a＞0，b＞0，∴由，可得≤，4a2+b2≥，∴S=2﹣（4a2+b2）≤，当且仅当b=2a=时取等号．∴S的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了基本不等式及其变形应用，属于基础题．16．各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1=1，a2=3，则数列{a n}的通项公式为．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】利用等差数列和等比数列中项的性质，运用等差数列的定义证明数列{}是等差数列．再利用等差数列的通项公式求出的通项公式，进而求出b n，a n．【解答】解：∵a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，∴2b n=a n+a n+1①，a n+12=bn•b n+1②．由②得a n+1=③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有2b n=+．∵b n＞0，∴2=+，∴{}是等差数列．设数列{}的公差为d，由a1=1，b1=2，a2=3，得b2=．∴=，=，d=﹣=．∴=+（n﹣1）=（n+1），∴b n=（n+1）2，a n==n（n+1）=．故答案为：．【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式，利用构造等差数列法求得数列{}的通项公式是解答本题的突破口，本题还考查了学生的运算能力，运算要细心．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）（2017•辽宁一模）已知在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c且．（Ⅰ）求角B的值；（Ⅱ）若△ABC的外接圆半径为1，求△ABC面积S的最大值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理化简已知等式可得b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，可求，即可得解B的值．（Ⅱ）由正弦定理可求b的值，利用余弦定理，基本不等式可求ac的最大值，进而利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）∵A+B+C=π，∴sin（A+B）=sinC，∴，由正弦定理得，即b2=a2+c2﹣ac，结合余弦定理，有，∴．（Ⅱ）∵，解得，∴（当且仅当a=c时取等），∴．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18．（10分）（2017•辽宁一模）某市拟招商引资兴建一化工园区，新闻媒体对此进行了问卷调查，在所有参与调查的市民中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如表所示：（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取部分市民做进一步调研（不同态度的群体中亦按年龄分层抽样），已知从“保留”态度的人中抽取了19人，则在“支持”态度的群体中，年龄在30岁以上的人有多少人被抽取；（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取6人做进一步的调研，将此6人看作一个总体，在这6人中任意选取2人，求至少有1人在30岁以上的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，结合图表求出n和x的值即可；（Ⅱ）根据条件概率求出至少有1人在30岁以上的概率即可．【解答】解：（Ⅰ）设在“支持”的群体中抽取n个人，其中年龄在30岁以下的人被抽取x人，由题意，得n=60，则：人．所以在“支持”的群体中，年龄在30岁以下的人有45人被抽取．（Ⅱ）设所选的人中，有m人年龄在30岁以下，则，∴m=4．即从30岁以下抽取4人，另一部分抽取2人；分别记作A1，A2，A3，A4，B1，B2．则从中任取2人的所有基本事件为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A1，B1），（A1，B2），（A2，A3），（A2，A4），（A2，B1），（A2，B2）（A3，A4），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）共15个，其中至少有1人在30岁以上的基本事件有9个．分别是（A1，B1），（A1，B2）（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（A4，B1），（A4，B2），（B1，B2）．所以在这6人中任意选取2人，至少有1人在30岁以上的概率为．【点评】本题考查了条件概率问题，考查分层抽样，是一道中档题．19．（10分）（2017•辽宁一模）已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点D为AC的中点，点E为AA1上．（Ⅰ）当AA1=4AE时，求证：DE⊥平面BDC1；（Ⅱ）当AA1=2AE时，求三棱锥C1﹣EBD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）证明BD⊥AC，BD⊥DE．连接EC1，证明ED⊥C1D，然后证明DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）求出，说明BD为三棱锥B﹣C1DE的高，然后利用等体积法转化求解即可．【解答】（Ⅰ）证明：∵△ABC为正三角形，点D为AC的中点，∴BD⊥AC，∴BD⊥面ACC1A1，从而BD⊥DE．连接EC1，∵AA1=4AE，AB=AA1=2，∴，，，，则，∴ED⊥C1D，又C1D∩BD=D，∴DE⊥平面BDC1．（Ⅱ）解：∵AA1=2AE，∴，∴，由（Ⅰ）知BD⊥面ACC1A1中，所以BD为三棱锥B﹣C1DE的高，所以．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，等体积法的应用，考查空间想象能力以及计算能力．20．（15分）（2017•辽宁一模）已知椭圆C：的左、右顶点分别为A，B，其离心率，点P为椭圆上的一个动点，△PAB面积的最大值为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）动直线l过椭圆的左焦点F1，且l与椭圆C交于M，N两点，试问在x轴上是否存在定点D，使得为定值？若存在，求出点D坐标并求出定值；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的定值问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与椭圆的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率，三角形的面积的最值列出方程，求解椭圆的几何量，得到椭圆方程．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），利用韦达定理化简数量积，求出n；②当直线l的斜率为0时，验证求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意，，且a2=b2+c2．解得．∴椭圆的标准方程为．（Ⅱ）假设存在定点D（m，0），使得向量为定值n．①当直线l的斜率不为0时，椭圆C左焦点F1（﹣1，0），设直线l的方程为x=ty﹣1．联立，消去x，得（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则．，===．若为定值n，则，即，此时．②当直线l的斜率为0时，，亦符合题意；∴存在点，使得向量为定值．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．21．（15分）（2017•辽宁一模）已知函数f（x）=2lnx+x2﹣ax+2（a∈R）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若存在x0∈（0，1]，使得对任意的a∈[﹣2，0），不等式f（x0）＞a2+3a+2﹣2me a（a+1）（其中e是自然对数的底数）都成立，求实数m的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．通过①当a ≤0时，②当0＜a≤4时，③当a＞4时，分别判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解单调区间．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，当x∈（0，1]时，求出函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，转化为：对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，求出导函数，通过①当m≤1时，判断函数的单调性求出最值，②当m＞1时，（ⅰ）当1＜m＜e2时，（ⅱ）当m≥e2时，通过函数的地址求解m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）．令h（x）=2x2﹣ax+2，△=a2﹣16．①当a≤0时，﹣ax≥0，∴，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a≤4时，△=a2﹣16≤0，所以h（x）≥0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；③当a＞4时，△=a2﹣16＞0，令h（x）=0，得，f′（x）＞0⇒x∈（0，x1）∪（x2，+∞）；f′（x）＜0⇒x∈（x1，x2）．所以，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．综上，1°当a≤1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；2°当a＞1时，f（x）在（0，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）单调递减．（注：如果在每种情况中已说明函数在哪个区间上的单调性，不写综上不扣分；如果每种情况只解出不等式，最后没写综上扣1分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a∈[﹣2，0）时，函数f（x）在区间（0，1]上单调递增，所以当x∈（0，1]时，函数f（x）的最大值是f（1）=3﹣a，对任意的a∈[﹣2，0），都存在x0∈（0，1]，使得不等式成立，即对任意的a∈[﹣2，0），都成立，即对任意的a∈[﹣2，0），不等式2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1＞0都成立，记h（a）=2me a（a+1）﹣a2﹣4a+1，则h'（a）=2me a（a+2）﹣2a﹣4=2（a+2）（me a﹣1）．∵a∈[﹣2，0），∴，且a+2≥0．①当m≤1时，me a﹣1＜0，∴h'（a）≤0，即a∈[﹣2，0）时，h（a）单调递减．∴h（a）＞0，只需h（0）≥0，解得，∴．②当m＞1时，令h'（a）=0得a=﹣2或a=﹣lnm，因为a∈[﹣2，0），所以2（a+2）≥0．（ⅰ）当1＜m＜e2时，﹣lnm∈[﹣2，0），当a∈（﹣2，﹣lnm）时，h'（a）＜0；当a∈（﹣lnm，0）时，h'（a）＞0，∴，解得，∴m∈（1，e2）．（ⅱ）当m≥e2时，因为﹣2≤a＜0，所以，所以me a≥1，所以h'（a）≥0，则h（a）在[﹣2，0）上单调递增，得h（﹣2）=5﹣2me﹣2＞0，即，∴．综上，m的取值范围是．【点评】本题考查函数的导数以及函数的单调性，极值以及最值的关系，构造法的应用，考查转化思想，分类讨论思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（2017•辽宁一模）在直角坐标系xOy中，直线C1：，曲线C2的参数方程是（φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1的极坐标方程和C2的普通方程；（Ⅱ）把C1绕坐标原点沿顺时针方向旋转得到直线C3，C3与C2交于A，B两点，求|AB|．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）利用ρsinθ=y，ρcosθ=x化简可得C1的极坐标方程；根据同角三角函数关系式，消去参数，可得C2直角坐标方程．（Ⅱ）由题意可得C3：，即，再根据点到直线的距离公式和直角三角形即可求出．【解答】解：（Ⅰ）直线C1：，曲线C2的普通方程为．（Ⅱ）C3：，即．圆C2的圆心到直线C3的距离．所以．【点评】本题考查了极坐标方程、参数方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5：不等式选讲23．（2017•辽宁一模）已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|x﹣b|的最小值为4．（Ⅰ）求a+b的值；（Ⅱ）求的最小值．【考点】柯西不等式在函数极值中的应用．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合条件求a+b的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式求的最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为f（x）=|x+a|+|x﹣b|≥|（x+a）﹣（x﹣b）|=a+b，当且仅当﹣a≤x≤b时，等号成立，所以f（x）的最小值为a+b=4．（Ⅱ）由（Ⅰ）知a+b=4，由柯西不等式得．即，当且仅当，即时，等号成立．所以，的最小值为．【点评】本题考查绝对值不等式，考查柯西不等式的运用，属于中档题．。

'2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}@3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．5．已知数列{an }满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．306．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）[A．6 B．4 C．2 D．07．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．79．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（））A．B．C．D．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x 1+x2=（）A．B．C．D．11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f （1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C．D．（1，+∞）{二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不同的分法（用数字作答）．14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”如果此物数量在100至200之间，那么这个数．16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．)（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间@[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数20(80501040男性用户分值区间[50，60）[60，70）、[70，80）[80，90）[90，100）频数457590.6030（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．`19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．~20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的（2）设过左焦点F1垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．…21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．》[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．;[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析'一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A．5 B．5+4i C．﹣3 D．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵z=1+2i，∴=|z|2=．故选：A．—2．已知集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，，则A∩B=（）A．{x|1＜x＜3} B．{x|﹣1＜x＜3}C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜3} D．{x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}【考点】交集及其运算．【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，={x|x＜0或x＞1}，&∴A∩B={x|﹣1＜x＜0或1＜x＜3}．故选：D．3．设a，b均为实数，则“a＞|b|”是“a3＞b3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分必要条件的定义判断即可．/【解答】解：由a＞|b|”能推出“a3＞b3”，是充分条件，反之，不成立，比如a=1，b=﹣2，不是必要条件，故选：A．4．若点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为（）A．2 B．C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的性质直接求解即可．】【解答】解：点P为抛物线上的动点，F为抛物线C的焦点，则|PF|的最小值为：．故选：D．5．已知数列{an }满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的求和．【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式可得an ，Sn，对n分类讨论即可得出．【解答】解：∵an+1﹣an=2，a1=﹣5，∴数列{an}是公差为2的等差数列．|∴an=﹣5+2（n﹣1）=2n﹣7．数列{an }的前n项和Sn==n2﹣6n．令an=2n﹣7≥0，解得．∴n≤3时，|an |=﹣an．n≥4时，|an |=an．则|a1|+|a2|+…+|a6|=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+a6=S6﹣2S3=62﹣6×6﹣2（32﹣6×3）=18．故选：C．—6．在平面内的动点（x，y）满足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【考点】简单线性规划．【分析】根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z=x+y 的最优解，然后求解z最大值即可．【解答】解：根据不等式，画出可行域，由，可得x=3，y=0平移直线2x+y=0，∴当直线z=2x+y过点A（3，0）时，z最大值为6．…故选：A．7．某几何体的三视图如图所示，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】通过三视图复原的几何体是正四棱锥，结合三视图的数据，求出几何体的体积．:【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为2的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个顶点，长度为2，所以四棱锥的体积．故选D．8．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．[【分析】由题意，1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意，1﹣≥，∴n≥4，∴n的最小值为4，故选A．9．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．~【考点】程序框图．【分析】由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到；模拟运行过程，即可得出结果．【解答】解：由程序框图知，程序运行的功能是用二分法求函数f（x）=x2﹣2在区间[1，2]上的零点，且精确到；模拟如下；m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×＜0，{b=，|a﹣b|=≥d；m==时，f（1）•f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，a=，|a﹣b|=＜d；程序运行终止，输出m=．故选：B．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x 1+x2=（）A．B．C．D．"【考点】正弦函数的对称性．【分析】由题意可得2x+∈[，]，根据题意可得=，由此求得x1+x2值．【解答】解：∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，∴=，则x1+x2=，故选：C．—11．已知向量，，（m＞0，n＞0），若m+n∈[1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】根据题意，由向量的坐标运算公式可得=（3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，可以令t=，将m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，分析可得t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，进而可得t的取值范围，又由=t，分析可得答案．【解答】解：根据题意，向量，，=（3m+n，m﹣3n），则==，令t=，则=t，《而m+n∈[1，2]，即1≤m+n≤2，在直角坐标系表示如图，t=表示区域中任意一点与原点（0，0）的距离，分析可得：≤t≤2，又由=t，故≤≤2；故选：D．、12．已知定义在R上的函数f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（）A．（﹣∞，0） B．C．D．（1，+∞）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】通过变形可知问题转化为不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x）并求导可知g（x）在R上单调递增，利用单调性即得结论．【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，又∵x1+x2=1，∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，)设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），∵f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），∴g（x）=e x﹣e1﹣x+m（2x﹣1），则g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．/二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．现将5张连号的电影票分给甲乙等5个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48 种不同的分法（用数字作答）．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8种情况，其余3人，有=6种情况，∴共有8×6=48种不同的分法．故答案为48．~14．函数f（x）=e x•sinx在点（0，f（0））处的切线方程是y=x ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求出f′（x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵f（x）=e x•sinx，f′（x）=e x（sinx+cosx），f′（0）=1，f（0）=0，∴函数f（x）的图象在点A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（x﹣0），即y=x．:故答案为：y=x．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何”如果此物数量在100至200之间，那么这个数128 ．【考点】数列的应用．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；{第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．由于物数量在100至200之间，故当k=1时，105+23=128故答案为：12816．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线相交于A，B两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．(【分析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把A，B表示出来，再由，求出a，b，c的关系，然后求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设焦点F（c，0），与y=x垂直的直线为y=﹣（x﹣c），由可得A（，）；由可得B（，﹣），再由，可得0﹣（﹣）=2（﹣0），化为a2=3b2=3（c2﹣a2），即为3c2=4a2，$则e==．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数f（x）的最小值及此时x的值；（2）若A为△ABC的内角，f（A）=4，BC=3，求△ABC的周长的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．~【分析】（1）利用向量的数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后求解最值．（2）利用函数的解析式求解A，然后利用余弦定理求解即可，得到bc的范围，然后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时，f（x）取得最小值2．（2）∵f（A）=4，∴，又∵BC=3，∴，∴9=（b+c）2﹣bc．，-∴，∴，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为．18．某手机厂商推出一次智能手机，现对500名该手机使用者进行调查，对手机进行打分，打分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）】[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）频数2040￥805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）、[80，90）[90，100）频数45759060/30（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）根据评分的不同，运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，在这20名用户中，从评分不低于80分的用户中任意取3名用户，求3名用户评分小于90分的人数的分布列和期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）求出女性用户和男性用户的频率分布直方图，由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，分别求出相应在的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：<由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20名用户，评分不低于80分有6人，其中评分小于90分的人数为4，从6人人任取3人，记评分小于90分的人数为X，则X取值为1，2，3，，，．！所以X的分布列为X123P"或．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，AD=AP，E为棱PD中点．（1）求证：PD⊥平面ABE；（2）若F为AB中点，，试确定λ的值，使二面角P﹣FM ﹣B的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．|【分析】（I）证明AB⊥平面PAD，推出AB⊥PD，AE⊥PD，AE∩AB=A，即可证明PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，求出相关点的坐标，平面PFM的法向量，平面BFM的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，又∵底面ABCD为矩形，∴AB⊥AD，PA∩AD=A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，AD=AP，E为PD中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A，AE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE．（II）以A为原点，以为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系A﹣BDP，令|AB|=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F （1，0，0），，，，M（2λ，2λ，2﹣2λ）{设平面PFM的法向量，，即，设平面BFM的法向量，，即，，解得．20．已知点P是长轴长为的椭圆Q：上异于顶点的一个动点，O为坐标原点，A为椭圆的右顶点，点M为线段PA的中点，且直线PA与OM的斜率之积恒为．（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C，D两点，线段CD的垂直平分线与x轴交于点G，点G横坐标的取值范围是，求|CD|的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．<【分析】（1）利用椭圆Q的长轴长为，求出．设P（x0，y），通过直线PA与OM的斜率之积恒为，化简求出b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x，y），利用韦达定理求出CD的垂直平分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出|CD|的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆Q的长轴长为，∴．设P（x0，y），∵直线PA与OM的斜率之积恒为，∴，∴，∴b=1，故椭圆的方程为．（2）设直线l方程为y=k（x+1）（k≠0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣2=0，.设A（x1，y1），B（x2，y2），AB中点N（x，y），∴．∴∴CD的垂直平分线方程为，令y=0，得∵，∴，∴．=，．21．已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x+2）2（x＞0）．~（1）若f（x）是（0，+∞）的单调递增函数，求实数a的取值范围；（2）当时，求证：函数f（x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，通过f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．得到，构造函数，利用导函数的单调性以及最值求解即可．（2）通过[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，数码y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增，利用零点判定定理说明存在t∈（0，1）使f'（t）=0，判断x=t，，推出．即在t ∈（0，+∞）上单调递减，通过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．【解答】解：（1）f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，∵函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增，∴f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立．∴e x+（x﹣2）e x+2ax+4a≥0，∴，%令，，∴，∴．（2）[f'（x）]′=x•e x+2a＞0，∴y=f'（x）在（0，+∞）上单调递增又f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在t∈（0，1）使f'（t）=0∴x∈（0，t）时，f'（x）＜0，x∈（t，+∞）时，f'（x）＞0，当x=t时，且有f'（t）=e t•（t﹣1）+2a（t+2）=0，∴．由（1）知在t∈（0，+∞）上单调递减，，且，∴t∈（0，1）．∴，，∴f（1）＜f（t）＜f（0），﹣e＜f（t）＜﹣1，∴f（x）的最小值的取值范围是（﹣e，﹣1）．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．已知在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l的普通方程；（2）若曲线C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q为曲线C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单调性可得最大值．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，可得直角坐标方程：．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t可得普通方程：x+2y﹣3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴M到l的距离≤，从而最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a＞0，b＞0，函数f（x）=|x+a|+|2x﹣b|的最小值为1．（1）求证：2a+b=2；（2）若a+2b≥tab恒成立，求实数t的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【分析】（1）法一：根据绝对值的性质求出f（x）的最小值，得到x=时取等号，证明结论即可；法二：根据f（x）的分段函数的形式，求出f（x）的最小值，证明即可；（2）法一，二：问题转化为≥t恒成立，根据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出t的范围即可；法三：根据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，∴a+=1，2a+b=2；法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，∴f（x）的最小值为f（）=a+，∴a+=1，2a+b=2．（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，=+=（+）（2a+b ）•=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，∴≥t，即实数t的最大值为；方法二：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，t≤=+恒成立，+=+≥=，∴≥t，即实数t的最大值为；方法三：∵a+2b≥tab恒成立，∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，∴（3+2t）2﹣326≤0，∴≤t≤，实数t的最大值为．2017年4月15日。

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一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2+x ﹣12≤0}，N={y|y=3x ，x ≤1}，则集合{x|x ∈M 且x ∉N}为（ ） A ．（0，3] B ．[﹣4，3]C ．[﹣4，0）D ．[﹣4，0]2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R ），则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．3．已知，则f[f （1﹣i ）]等于（ ）A ．3B ．1C ．2﹣iD ．3+i4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，28，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．145．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A．13πB．16πC．25πD．27π7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．310．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a 13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn 是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．2017届高三数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x∉N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0）．故选：C．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．3．已知，则f[f（1﹣i）]等于（）A．3 B．1 C．2﹣i D．3+i【考点】函数的值．【分析】根据f（x）中的范围带值计算即可．【解答】解：∵1﹣i∉R∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．那么：f[f（1﹣i）]=f（2）=1+2=3．故选A．4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b ＜a ，则a 变为16﹣12=4， 由a ＜b ，则，b=12﹣4=8， 由a ＜b ，则，b=8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：C ．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q ≠0） 由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B10．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=．故选：B．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x﹣1=0解得x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2015=2m，则m=2015．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是[﹣，5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=﹣1的距离是5，则点P到x轴的距离是4，∴△PFO的面积为=2，故答案为：2．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用函数y=sinπx的对称性得出∠OAB=2∠OAC，结合二倍角公式求出tan∠OAB的值．【解答】解：如图所示；O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点，∴AB过点D，且∠OAB=2∠OAC；又A（，1），∴tan∠OAC=，∴tan∠OAB===．故答案为：．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[﹣，2e] ．【考点】函数的图象．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y=e 对称， ∴设M （x ，kx ），则N （x ，2e ﹣kx ），∴2e ﹣kx=2lnx+2e ，∴k=﹣lnx ，k′=，由k′=0，得x=e ，∵≤x ≤e 2，∴x ∈[，e ）时，k′＜0，k=﹣lnx 是减函数；x ∈（e ，e 2]时，k′＞0，k=﹣lnx 是增函数，∴x=e 时，k=﹣lne=﹣；x=e 2时，k=﹣lne 2=﹣；x=时，k=﹣ln =2e ，∴k min =﹣，k max =2e ．∴实数k 的取值范围是[﹣，2e]．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； （II ）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），∴，解得a 1=3，d=2， ∵b 1=a 1=3，b 2=a 4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a=3+2（n﹣1）=2n+1．n，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检测的3个人的编号．（2）由，能求出a、b的值．（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，满足条件的（a，b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（2）由，得a=14，…∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同．…．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD ⊥BF ，由直径的性质得BF ⊥AF ，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ，设AD=a ，则可用a 表示出V 1，V 2．从而得出体积比．【解答】证明：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ， ∴AD ⊥BF ，∵AB 是圆O 的直径，∴BF ⊥AF ，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF=A ， ∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ．（2）．连结OE ，OF ，则OE=OF=EF=1， ∴△AOF ，△OEF ，△BOE 是等边三角形，过F 作FM ⊥AB 于M ，则FM=，FM ⊥平面ABCD ，设AD=BC=a ，则V 1=V F ﹣ABCD ==．V 2=V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ===．∴V 1：V 2=：=4：1．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a ≥t 2﹣t+对t ∈[，2]恒成立或2a ≤t 2﹣t 对t ∈[，2]恒成立，令g （t ）=t 2﹣t+，则g′（t ）=，令g′（t ）=0，解得：t=1，而2t 2+t+1＞0恒成立，∴≤t ＜1时，g′（t ）＜0，g （t ）递减，1＜t ≤2时，g′（t ）＞0，g （t ）递增，∴g （t ）的最大值是max{g （），g （2）}，而g （）=＜g （2）=，∴g （t ）在[，2]的最大值是g （2）=，又t 2﹣t ∈[﹣，2]，∴2a ≥或2a ≤﹣，解得：a ≥或a ≤﹣，故a 的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN 的斜率存在和不存在，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I ）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F （﹣c ，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c ），由直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a 2﹣b 2=c 2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=﹣y 2，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，即有•=0，即有b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，即x 12﹣4y 12=0， 又（x 1，y 1）在椭圆上，x 12+4y 12=4，可得x 12=2，|y 1|=，S △OMN =|x 1|•|y 1﹣y 2|=••=1；（2）当MN 的斜率存在，设MN 的方程为y=kx+t ， 代入椭圆方程（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， △=64k 2t 2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣4）=4k 2﹣t 2+1＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又•=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，（1+k 2）x 1x 2+4kt （x 1+x 2）+4t 2=0， 代入整理，可得2t 2=1+4k 2，即有|MN|=•=•=•，又O 到直线的距离为d=，S △OMN =d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON 的面积为定值1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程； （2）利用极径的意义，即可得出结论． 【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，∵关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集∴|a﹣3|≥3，∴a≥6或a≤0；（Ⅱ）由柯西不等式可得（+）（8x+6y）≥（）2，∴≤，∵对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，∴k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）．。

2017年辽宁省大连市高考数学一模试卷（文科） 有一项是符合题目要求的
1 .已知复数z=1+2i ，贝U ■=（
） 3.设a , b 均为实数，贝U “>b ”是“3> 1”的（
）
4.直线4x - 3y=0与圆（x - 1） 2+ （ y - 3） 2=10相交所得弦长为（
5.下列命题中错误的是（
C .如果平面a 丄平面3,那么平面a 内所有直线都垂直于平面
3 D . 一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
6.已知数列{a n }满足 a n+1 - a n =2, a 1= — 5，则 |a 1|+|a 2|+…+|a 6|=(
好芋-3<0 “
，则 z=2x+y y>0 &函数f （x ）= 的图象大致为（ B . 15 C . 18
D . 30
、选择题：本大题共 12个小题，每小题
5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只
A . 1 - 2i
B . 5+4i
C . 1
2.已知集合 A={x| (x - 3) (x+1 )v 0}, B={x|x > 1}，贝U A n B=
A . {x|x > 3}
B . {x|x > 1}
C . {x| - 1 v x v 3}
D . {x|1 v x v 3} A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
A .如果平面a 外的直线a 不平行于平面
a 内不存在与a 平行的直线 B .如果平面
a 丄平面丫，平面 肚平面 an 3 =,那么直线I 丄平面丫
7.在平面内的动点（x , y ）满足不等式 的最大值是（。

2014年大连市高三第一次模拟考试地理参考答案及评分标准1-5 ABCCD 6-11 BAADCB36. (20分）(1)水量变化小（2分）该地为热带雨林气候，全年多雨降水季节变化小（3分）有湖泊调节（2分）流域内植被覆盖率高（1分）(2)东部利用天然河道；（1分）中部利用天然湖泊；（1分）西部地势较低；（1分）需要开挖河道短，工程量小；（3分）不经过其他国家。

（2分）(3)运河开通促进商贸活动等第三产业及相关工业发展，促进当地农业人口向非农人口转化，使城市人口比重增加；（2分）周边地区工业发展，促进农业用地向非农业用地转化，使城市用地规模增加。

（2分）37. （26分）(1)A （2分）索契温度高于长春（2分）索契位于亚欧大陆西部黑海沿岸，而长春位于内陆，受海陆热力性质差异影响，冬季索契温度较高（2分）；索契冬季受盛行西风影响，温度较高。

长春受西北季风影响，降温明显（3分）；索契北部山地阻挡冬季冷空气（1分）。

（2）张家口冬季气温低于0℃；位于太行山冬季风的迎风坡降雪较丰富；坡度、海拔都较适宜的山地等自然条件使张家口有质量优良的滑雪场。

（任答对2点得4分）张家口铁路、公路交通便利；基础设施完善；接待能力能满足大型比赛需求；距北京冰上比赛场地近。

（人文条件任答对两点得4分）（3）大气污染(或空气质量问题、雾霾等) （2分）推广利用新能源，优化能源结构；有效控制汽车尾气排放（提高汽车尾气排放标准）；对裸露地面、堆场等进行覆盖，控制扬尘污染；调整产业结构和布局；借鉴发达国家大气环境污染治理的经验和技术；加强环保宣传，制定法律法规；提高植被覆盖率等。

（每点2分，任答对3点得6分）土地沙化 (或次生盐碱化）（2分）合理利用水资源（合理灌溉）；利用生物措施和工程措施构筑防护体系；调节农、林、牧用地之间的关系；采取综合措施，多途径解决能源问题。

（每点2分，任答对3点得6分）水土流失（2分）封山育林，保护植被；退耕还林还草（增加地表植被覆盖）；加强小流域的综合治理（建设水土保持工程）；调整土地利用结构；开矿后复垦等。

I 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．2.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高． 球的表面积公式：24R S π=，其中R 为半径.第I 卷一．选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．集合{}12≥=x x A ，则∁R A =( )A. (-∞,0]B. (-∞,0)C. [0，+∞)D. (0，+∞) 2．复数311iz +=（i 是虚数单位），则z 的共轭复数z 为( ) A.1-i B.1+i C.i 2121+ D. i 2121-3．某学校礼堂有30排座位，每排有20个座位．一次心理讲座时礼堂中坐满了学生，会后为了了解有关情况，留下座位号是15的30名学生．这里运用的抽样方法是( )A.抽签法B.随机数表法C.系统抽样D.分层抽样 4．向量a =)1,(m ,b =)1,(n ,则n m =是a //b 的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 5．若角α的终边过点)2,1(-，则α2cos 的值为( ) A.53B.53-C.55 D.-6．若函数23x(x Z),f (x)f ([x])(x Z),ìïïïÎ=íïïÏïî([x]表示不大于x 则f (8.8)=（ ）A. 8B. 4C. 2D. 17．函数))(sin()(03>-=ωπωx x f 的周期是π，将函数)(x f 左平移6π得到函数)(x g 的图象，则函数)(x g 的解析式是A. ()g x =)sin(421π-x B. ()g x =)sin(62π-xC. ()g x =x 2sinD. ()g x =)sin(322π-x 8．执行如图所示的程序框图,若输入],[π0∈x ，则输出y 的取值范围是( ) A.[0,1] B. [22，1] C. [-22,1] D. [-1,1]9．)(x f 是R 上的偶函数，)()(x f x f =+2，10≤≤x 时2x x f =)(，则函数x x f y 5log )(-=的零点的个数为 （ ）A. 4个B. 5个C.8 个D. 10个 10．在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,，则满足1-≥x y 的概率是( )（第8题图）A. 81B. 91C. 98D. 8711．已知双曲线:C )(014222>=-b b y x 的一条渐近线方程为x y 26=，21,F F 分别为双曲线C 的左右焦点，P 为双曲线C 上的一点，1:3:21=PF PF ,+的值是( ) A. 4 B. 26 C. 210 D.5106 12．已知1+==x x g e x f x ln )(,)(，对R,(0,)a b ∀∈∃∈+∞，使得()()f a g b =，则b a -的最小值为（ ）A. 1B.2C. 1D. 12-e第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答． 二．填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据，该几何体的表面积为 ．14．椭圆()x y a a a +=>+2221041的焦点在x 轴上，则它的离心率的最大值为 ． 15．设ABC ∆内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足,53cos cos a C b B c =-则=CBtan tan ．16．如图，在棱柱111ABC A B C -的侧棱11A A B B 和上各1APBQ1C1B （第13题图）有一个动点P 、Q ，且满足1A P BQ =，M 是棱CA 上的 动点，则111M ABPQABC A B C M ABPQV V V ----的最大值是 ．三．解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和n S ，等比数列{}n b 的公比21，有153=S ,3211=+b a ，6422=+b a ． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式n n b a ,； （Ⅱ）求数列{}n n b a ⋅的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）对一批产品的长度(单位: mm)进行抽样检测,检测结果的频率分布直方图如图所示.根据标准, 产品长度在区间[20,25)上的为一等品, 在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品, 在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品.（Ⅰ）用频率估计概率, 现从该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率；（Ⅱ）已知检测结果为一等品的有6件，现随机从三等品中有放回地连续取两次，每次取1件，求取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35)上的概率．（第18题图）19.（本小题满分12分）如图，四棱锥ABCDBC⊥,P-,底面ABCD为直角梯形，ADBC//,CDAD CD BC 21==． （Ⅰ）若E 为PD 中点，证明：//CE 平面APB ；（Ⅱ）若PB PA =,PD PC =,证明：平面APB ⊥平面ABCD ．20. （本小题满分12分）已知过抛物线2:4C x y =的焦点F 直线与C 交于,A B 两点． （Ⅰ）求线段AB 中点Q 的轨迹方程；（Ⅱ）动点P 是抛物线C 上异于,A B 的任意一点，直线,PA PB 与抛物线C 的准线l 分别交于点,M N ，求⋅的值．CEABPD（第19题图）21.（本小题满分12分）已知 f(x)=2cosx 12x +-（Ⅰ）求证： x 0,f(x)0≥≥;（Ⅱ）,a R ∈证明：1a ≥,不等式2cos sin +-≥x x e ax 对任意的0≥x 恒成立.请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．22．选修4－1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，以R t △ABC 直角边AC 上一点O 为圆心OC 为半径的⊙O 与AC 另一个交点E ，D 为斜边AB 上一点，且OD=OC ，2AD AE AC =⋅.（Ⅰ）证明AB 是⊙O 的切线；（Ⅱ）若8DE OB ⋅=，求⊙O 的半径．（第22题图）D EABOC23. 选修4－4：极坐标与参数方程选讲（本小题满分10分） 在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为t t y t x (,2,1⎩⎨⎧+=+=为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为θθρsin 32cos 2+-=．（Ⅰ）求直线1C 的普通方程和圆2C 的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线1C 和圆2C 的交点为A 、B ，求弦AB 的长．24. 选修4－5：不等式选讲（本小题满分10分） 设不等式)(32*∈<-+-N a a x x 的解集为A ,且32A,A 2蜗.（Ⅰ）求a 的值;（Ⅱ）求函数()2f x x a x =++-的最小值.2017年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1.B2.D3.C4.C5.B6.B7.C8.A9.B 10.D 11.C 12.A 二．填空题 13.π33 14.22 15.41 16.21三．解答题 17． 解：（Ⅰ）设{}n a 公差为d ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=+,,,6232511111b d a b a d a解得,,,213211===b d a ………………4分所以.)(,n n n b n a 2113=-= ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知⨯+⨯+⨯=82152122)(n S 321)(+n n n n ))(())((211321431-+-+⋅⋅⋅- ①①21⨯得+⨯+⨯=3221521221)()(n S 121132143+-+-+⋅⋅⋅n n n n ))(())(( ②……8分 ①-②得1322113212121321221+--+⋅⋅⋅++⨯+⨯=n n n n S ))((])()()[( 1121132112114131+-----+=n n n ))((])([， ………………10分整理得52153++-=n n n S ))((． ………………12分 18.解：（Ⅰ）由频率分布直方图可得产品数量在[10,15)频率为0.1，在[15,20) 频率为0.2，[20,25)之间的频率为0.3， 在[30,35)频率为0.15，所以在[25,30)上的频率为0.25 ， 所以样本中二等品的频率为0.45，所以该批产品中随机抽取一件, 求其为二等品的概率0.45． ………………4分 （Ⅱ）因为一等品6件，所以在[10,15)上2件，在[30,35)上3件， ………………6分令[10,15)上2件为1a ，2a ，在[30,35)上3件1b ，2b ，3b ， 所以一切可能的结果组成的基本事件空间=Ω{（1a ，1a ），（1a ，2a ），（1a ，1b ），（1a ，2b ），（1a ，3b ）……}由25个基本事件组成．恰有1件的长度在区间[30,35)上的基本事件有12个 …………10分所以取出的两件产品中恰有1件的长度在区间[30,35)上的概率2512=p ． ………………12分 19.证明：（Ⅰ）取PA 中点F ,连接,,BF EF 因为E 为PD 中点，所以AD EF 21//,因为AD BC 21//, 所以BC EF //,所以EFBC 为平行四边形，所以CE BF // ………………4分 因为⊂BF 平面APB , ⊄CE 平面APB ,所以//CE 平面APB ． ………………6分（Ⅱ）取CD 中点G ，AB 中点H ，连接,PG HG ，PH ,E CABP DF∵PD PC =，CD 中点G ， ∴PG CD ⊥,∵APB ∆是等腰直角三角形，H 是AB 中点，∴AB PH ⊥，HG ∥AD 。

2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次质检试卷（文科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}2．（5分）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣23．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．104．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=log2D．y=sinx5．（5分）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）6．（5分）如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和7．（5分）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．38．（5分）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P29．（5分）下列四个结论正确的是（）A．若n组数据（x1，y1），…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2.5个单位10．（5分）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c11．（5分）直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．112．（5分）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A． B． C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为．14．（5分）记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．15．（5分）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是海里/小时．16．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x ∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．18．（12分）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=．（1）求证数列{a n}是等比数列并求通项公式a n；（2）设b n=2n﹣1，c n=a n•b n，T n为{c n}的前n项和，求T n．19．（12分）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n人，成绩分为A （优秀）、B（良好）、C（及格）三个等级，设x，y分别表示语文成绩与数学成绩，例如：表中语文成绩为（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a，b的值；（Ⅲ）已知a≥10，b≥8，求语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少的概率．20．（12分）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD 翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积；（3）求四面体ABCD外接球的表面积．21．（12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．22．（12分）已知函数．（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．2017-2018学年辽宁省高三（上）第一次质检数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）（2015•鹰潭二模）设集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则P∪Q=（）A．{3，0} B．{3，0，1} C．{3，0，2} D．{3，0，1，2}【分析】根据集合P={3，log2a}，Q={a，b}，若P∩Q={0}，则log2a=0，b=0，从而求得P∪Q．【解答】解：∵P∩Q={0}，∴log2a=0∴a=1从而b=0，P∪Q={3，0，1}，故选B．【点评】此题是个基础题．考查集合的交集和并集及其运算，注意集合元素的互异性，以及对数恒等式和真数是正数等基础知识的应用．2．（5分）（2015•遂宁模拟）已知向量=（λ，1），=（λ+2，1），若|+|=|﹣|，则实数λ的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【分析】先根据已知条件得到，带入向量的坐标，然后根据向量坐标求其长度并带入即可．【解答】解：由得：；带入向量的坐标便得到：|（2λ+2，2）|2=|（﹣2，0）|2；∴（2λ+2）2+4=4；∴解得λ=﹣1．故选C．【点评】考查向量坐标的加法与减法运算，根据向量的坐标能求其长度．3．（5分）（2014•孝感二模）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a4=9，a6=11，则S9等于（）A．180 B．90 C．72 D．10【分析】由a4=9，a6=11利用等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20，代入等差数列的前n项和公式可求．【解答】解：∵a4=9，a6=11由等差数列的性质可得a1+a9=a4+a6=20故选B【点评】本题主要考查了等差数列的性质若m+n=p+q，则a m+a n=a p+a q和数列的求和．解题的关键是利用了等差数列的性质：利用性质可以简化运算，减少计算量．4．（5分）（2013秋•洛阳期末）下列函数中，既是偶函数又在（﹣∞，0）上单调递增的是（）A．y=x2B．y=2|x|C．y=log2D．y=sinx【分析】利用基本初等函数的性质逐一判断得出结论．【解答】解：对于A，由二次函数性质可知，函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除A；对于B，由在（﹣∞，0）上y=得函数又在（﹣∞，0）上单调递减，故排除B；对于C，当x∈（﹣∞，0）时，y=，由复合函数的单调性可知，函数在（﹣∞，0）上单调递增，且由偶函数的定义可知函数为偶函数，故正确；对于D，由正弦函数的性质可知为奇函数，故排除D．故选C．【点评】考查学生对基本初等函数的性质单调性、奇偶性的掌握运用能力，可用排除法．5．（5分）（2016•南昌校级二模）设复数，则在复平面内对应的点坐标为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．（1，﹣1）【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．【解答】解：复数==﹣1+i，则在复平面内=i•（﹣1﹣i）=﹣i+1对应的点坐标为（1，﹣1），故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2015•哈尔滨校级三模）如图所示，程序框图的功能是（）A．求{}前10项和B．求{}前10项和C．求{}前11项和D．求{}前11项和【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当k=1时，满足进行循环的条件，S=，n=4，k=2，当k=2时，满足进行循环的条件，S=，n=6，k=3，当k=3时，满足进行循环的条件，S=，n=8，k=4，当k=4时，满足进行循环的条件，S=，n=10，k=5，当k=5时，满足进行循环的条件，S=，n=12，k=6，当k=6时，满足进行循环的条件，S=，n=14，k=7，当k=7时，满足进行循环的条件，S=，n=16，k=8，当k=8时，满足进行循环的条件，S=，n=18，k=9，当k=9时，满足进行循环的条件，S=，n=20，k=10，当k=10时，满足进行循环的条件，S=，n=22，k=11，当k=11时，不满足进行循环的条件，故程序框图的功能是计算的S=值，即求{}前10项和，故选：B【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．7．（5分）（2016•玉溪三模）某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是3，则正视图中的x的值是（）A．2 B．C．D．3【分析】根据三视图判断几何体为四棱锥，再利用体积公式求高x即可．【解答】解：根据三视图判断几何体为四棱锥，其直观图是：V==3⇒x=3．故选D．【点评】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（2015•湖北模拟）有下列关于三角函数的命题P1：∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x＞0；P2：函数y=sin（x﹣）与函数y=cosx的图象相同；P3：∃x0∈R，2cosx0=3；P4：函数y=|cosx|（x∈R）的最小正周期为2π，其中真命题是（）A．P1，P4B．P2，P4C．P2，P3D．P1，P2【分析】运用二倍角的正弦公式和同角的平方关系以及商数关系，即可化简判断P1；运用三角函数的诱导公式化简，即可判断P2；由余弦函数的值域，即可判断P3；运用周期函数的定义，结合诱导公式，即可判断P4．【解答】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P1为真命题；对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．故选D．【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．9．（5分）（2015秋•长春校级月考）下列四个结论正确的是（）A．若n组数据（x1，y1），…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1B．回归直线就是散点图中经过样本数据点最多的那条直线C．已知点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为椭圆D．设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，平均增加2.5个单位【分析】根据相关系数的定义，可判断A；根据回归直线的几何意义判断命题B是否正确；利用椭圆的定义，判断C的正误；设回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位．判断D的正误．【解答】解：对于A，若n组数据（x1，y1）…（x n，y n）的散点都在y=﹣2x+1上，则x，y成负相关，且相关关系最强，此时相关系数r=﹣1，故A正确；对于B，回归直线也可能不过任何一个点，所以命题B不正确；对于C，点A（﹣1，0），B（1，0），若|PA|+|PB|=2，则动点P的轨迹为线段不是椭圆．所以C不正确；对于D，回归直线方程为=2﹣2.5x，当变量x增加一个单位时，y平均减少2.5个单位，故D不正确．故选：A．【点评】本题以命题真假的判断为载体，着重考查了回归直线方程的应用，椭圆的定义等知识点，属于基础题．10．（5分）（2010•宝鸡模拟）设a，b，c是空间三条直线，α，β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是（）A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥βB．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥βC．当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若b⊥c，则a⊥bD．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c【分析】分别写出其逆命题再判断，A、由面面平行的性质定理判断．B、也可能平行C、由三垂线定理判断．D、由线面平行的判定定理判断．【解答】解：A、其逆命题是：当c⊥α时，或α∥β，则c⊥β，由面面平行的性质定理知正确．B、其逆命题是：当b⊂α，若α⊥β，则b⊥β，也可能平行，相交．不正确．C、其逆命题是当b⊂α，且c是a在α内的射影时，若a⊥b，则b⊥c，由三垂线定理知正确．D、其逆命题是当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由线面平行的判定定理知正确．故选B【点评】本题主要考查线面平行的判定理，三垂线定理及其逆定理，面面平行的性质定理等，做这样的题目要多观察几何体效果会更好．11．（5分）（2015•哈尔滨校级三模）直线l1：y=x、l2：y=x+2与⊙C：x2+y2﹣2mx﹣2ny=0 的四个交点把⊙C分成的四条弧长相等，则m=（）A．0或1 B．0或﹣1 C．﹣1 D．1【分析】画出图形，直线l1∥l2，l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，结合选项讨论m的取值是否满足条件，从而得出结论．【解答】解：∵直线l1∥l2，且l1、l2把⊙C分成的四条弧长相等，画出图形，如图所示；又⊙C可化为（x﹣m）2+（y﹣n）2=m2+n2，当m=0，n=1时，圆心为（0，1），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（1，1），（0，2），（﹣1，1）把⊙C分成的四条弧长相等；当m=﹣1，n=0时，圆心为（﹣1，0），半径r=1，此时l1、l2与⊙C的四个交点（0，0），（﹣1，1），（﹣2，0），（﹣1，﹣1）也把⊙C分成的四条弧长相等；故选：B．【点评】本题考查了直线与圆相交的性质问题，应画出图形，结合图形解答该题，是易错题．12．（5分）（2016春•南昌校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，且满足f（4）=1，f′（x）为f（x）的导函数，又知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足，f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）A． B． C．D．【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，根据表示的几何意义是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率问题．由图象可得结论．【解答】解：由导函数图象，可知函数在（0，+∞）上为单调增函数∵f（4）=1，正数a，b满足f（2a+b）＜1∴0＜2a+b＜4，a＞0，b＞0又因为表示的是可行域中的点与（﹣1，﹣2）的连线的斜率．所以当（﹣1，﹣2）与A（0，4）相连时斜率最大，为6，当（﹣1，﹣2）与B（2，0）相连时斜率最小为，∴的取值范围是（，6）故选：A．【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与定点连线的斜率．属于线性规划中的延伸题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•石家庄一模）抛物线y=﹣4x2的焦点坐标为（0，﹣）．【分析】先把抛物线的方程化为标准形式，再利用抛物线x2=﹣2py 的焦点坐标，即可求出物线y=﹣4x2的焦点坐标．【解答】解：抛物线y=﹣4x2，即x2=﹣y，∴p=，=，∴焦点坐标是（0，﹣），故答案为：（0，﹣）．【点评】本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，把抛物线的方程化为标准形式是关键．14．（5分）（2015•聊城二模）记集合，构成的平面区域分别为M，N，现随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为．【分析】平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，利用几何概型的概率公式解之即可．【解答】解：集合构成的平面区域M、N，分别为圆与直角三角形，面积分别为π，，随机地向M中抛一粒豆子（大小忽略不计），则该豆子落入N中的概率为=．答案为：．【点评】本题主要考查了几何概型的概率，确定区域面积是关键，属于中档题．15．（5分）（2015秋•长春校级月考）一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是10 海里/小时．【分析】作出图形，求得线段BD=AB=10，然后解直角三角形求得线段DC，即可得到速度．【解答】解：根据题意得：AB=10，∠ADC=75°，∠BDC=60°，DC⊥AC，∴∠DBC=30°，∠BDA=∠A=15°，∴BD=AB=10，∵DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC=BD×sin∠DBC=10×=5，∵从C到D行驶了半小时，∴速度为5÷=10海里/小时故答案为：10．【点评】本题考查解三角形的应用，考查学生的计算能力，属于基础题．16．（5分）（2015秋•固原校级月考）已知函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，对∀x∈R都有f（x﹣3）=f（x﹣1）成立，当，x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，给出下列命题：（1）f（x）在[﹣2，2]上有5个零点（2）点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心（3）直线x=2016是函数y=f（x）图象的一条对称轴（4）f（9.2）＜f（π）则正确的是（1）（2）（4）．【分析】（1）利用函数y=f（x）是定义在R上的奇函数可知f（0）=0，且函数y=f（x）是以2为周期的函数，并在区间（0，1]上单调递减，从而可判断出f（x）在[﹣2，2]上有5个零点；（2）依题意，知点（0，0）为其对称中心，利用其周期性可知点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心；（3）作出函数y=f（x）的图象可知直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴；（4）利用函数y=f（x）的周期性与在区间[1，2）上为减函数可判断出f（9.2）＜f（π）．【解答】解：对于（1），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）=0，又f（x﹣3）=f（x﹣1），∴函数y=f（x）是以2为周期的函数，且f（1﹣3）=f（1﹣1），即f（﹣2）=f（0）=0，又f（2）=﹣f（﹣2），∴f（2）=0；同理可得，f（1）=f（﹣1）=0，又当x∈（0，1]且x1≠x2时，有＜0，即奇函数y=f（x）在区间（0，1]上单调递减，故函数y=f（x）在区间[﹣1，0）上也单调递减，由函数y=f（x）是以2为周期的函数可知函数y=f（x）在区间（﹣2，﹣1]、[1，2）上单调递减，∴f（x）在区间[﹣2，2]上有±1、0、±2共5个零点，故（1）正确；对于（2），∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，∴（0，0）为其对称中心，又函数y=f（x）的是以2为周期的函数，∴点（2016，0）是函数y=f（x）的一个对称中心，故（2）正确；对于（3），作出函数y=f（x）的图象如下：（3）直线x=2016不是函数y=f（x）图象的一条对称轴，故（3）错误；对于（4），∵函数y=f（x）的是以2为周期的函数且在区间[1，2）上为减函数，∴f（9.2）=f（1.2）＜f（π﹣2）=f（π），故（4）正确．综上所述，正确的是：（1）（2）（4），故答案为：（1）（2）（4）．【点评】本题考查抽象函数及其应用，着重考查函数的单调性、周期性、对称性的综合应用，考查等价转化思想与数形结合思想的运用，考查推理运算能力，属于难题．三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分）17．（10分）（2013•江苏一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．（1）若=﹣，b=，求a+c的值；（2）求2sinA﹣sinC的取值范围．【分析】（1）通过A，B，C成等差数列，求得B的值，通过已知的向量积求得ac的值，代入余弦定理即可求出a+c．（2）通过两角和公式对2sinA﹣sinC，再根据C的范围和余弦函数的单调性求出2sinA﹣sinC的取值范围．【解答】解：（1）∵A，B，C成等差数列，∴B=．∵•=﹣，∴accos（π﹣B）=﹣，∴ac=，即ac=3．∵b=，b2=a2+c2﹣2accosB，∴a2+c2﹣ac=3，即（a+c）2﹣3ac=3．∴（a+c）2=12，所以a+c=2．（2）2sinA﹣sinC=2sin（﹣C）﹣sinC=2（cosC+sinC）﹣sinC=cosC．∵0＜C＜，∴cosC∈（﹣，）．∴2sinA﹣sinC的取值范围是（﹣，）．【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．解决本题的关键就是充分利用了余弦定理的性质．18．（12分）（2015秋•长春校级月考）设数列{a n}的前n项和S n满足S n=．（1）求证数列{a n}是等比数列并求通项公式a n；（2）设b n=2n﹣1，c n=a n•b n，T n为{c n}的前n项和，求T n．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）b n=2n﹣1，c n=a n•b n=（2n﹣1）•3n．利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：（1）∵S n =，∴a 1=S 1=（a 1﹣1），解得a 1=3． n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=﹣，∴a n+1=3a n ．故数列{a n }是公比为3的等比数列． ∴．（2）b n =2n ﹣1，c n =a n •b n =（2n ﹣1）•3n．∴数列{c n }的前n 项和T n =3+3×32+5×33+…+（2n ﹣1）•3n，∴3T n =32+3×33+…+（2n ﹣3）•3nz +（2n ﹣1）•3n+1． ∴﹣2T n =3+2（32+33+ (3)）﹣（2n ﹣1）•3n+1=﹣3﹣（2n ﹣1）•3n+1．∴T n =3+（n ﹣1）•3n+1．【点评】本题考查了数列递推关系、“错位相减法”与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（12分）（2015•石景山区一模）已知某班学生语文与数学的学业水平测试成绩抽样统计如下表，若抽取学生n 人，成绩分为A （优秀）、B （良好）、C （及格）三个等级，设x ，y 分别表示语文成绩与数学成绩，（Ⅱ）设该样本中，语文成绩优秀率是30%，求a ，b 的值；（Ⅲ）已知a ≥10，b ≥8，求语文成绩为A 等级的总人数比语文成绩为C 等级的总人数少的概率． 【分析】（Ⅰ）根据频率=，求出n 的值，即得抽取的学生人数；（Ⅱ）根据语文成绩优秀率是30%，求出a 的值，再利用样本容量n 求出b 的值； （Ⅲ）用列举法求出满足条件的（a ，b ）基本事件数，计算对应的概率即可． 【解答】解：（Ⅰ）根据题意，得； =0.18，解得n=100，即抽取的学生人数是100； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，n=100； ∴=30%，解得a=14；又7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，解得b=17；（Ⅲ）设“语文成绩为A等级的总人数比语文成绩为C等级的总人数少”为事件A，由（Ⅱ）得，a+b=31，且a≥10，b≥8；∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14种；其中b+11＞a+16的有：（10，21），（11，20），（12，19）共3种；∴所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率、频数与样本容量的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率的问题，是基础题目．20．（12分）（2016•南昌校级二模）正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求三棱锥E﹣AFD的体积；（3）求四面体ABCD外接球的表面积．【分析】（1）由中位线定理得AB∥EF，故而AB∥平面DEF；（2）由直二面角可得BD⊥平面ACD，于是V E﹣AFD=V F﹣ADE=；（3）根据三棱锥的三个侧面两两垂直的性质可求得外接球的半径，从而计算出球的表面积．【解答】解：（1）∵E、F分别是AC和BC边的中点，∴EF∥AB，又EF⊂平面DEF，AB⊄平面DEF，∴AB∥平面DEF．（2）∵CD是正三角形ABC的高，∴AD=BD=2，CD=2，∵二面角A﹣DC﹣B是直二面角，∴BD⊥平面ACD．∵E，F是AC，BC的中点，∴S△ADE=S△ACD==，F到平面ACD的距离等于=1．∴V E﹣AFD=V F﹣ADE===．（3）设外接球的球心为O，∵△BCD是直角三角形，∴O在底面BCD上的投影为BC的中点F，连结OF，则OF⊥平面BCD，又AD⊥平面BCD，∴AD∥OF，∵球O是三棱锥A﹣BCD的外接球，∴OF=AD=1．∴球O的半径OB==．∴球O的表面积S=4πOB2=20π．【点评】本题考查了线面平行的判定，棱锥的体积计算，棱锥与外接球的关系，属于中档题．21．（12分）（2016•长春校级模拟）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（，）．（1）求椭圆方程；（2）设不过原点O的直线l：y=kx+m（k≠0），与该椭圆交于P、Q两点，直线OP、OQ的斜率依次为k1、k2，满足4k=k1+k2，试问：当k变化时，m2是否为定值？若是，求出此定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由．【分析】（1）利用已知条件列出方程组求解椭圆的几何量，得到椭圆的方程．（2）联立直线与椭圆方程，设P（x1，y1），Q（x2，y2）．利用韦达定理，通过直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，求解即可．【解答】解：（1）依题意可得，解得a=2，b=1所以椭圆C的方程是…（4分）（2）当k变化时，m2为定值，证明如下：由得，（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣1）=0．…（6分）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．则x1+x2=，x1x2=…（•）…（7分）∵直线OP、OQ的斜率依次为k1，k2，且4k=k1+k2，∴4k==，得2kx1x2=m（x1+x2），…（9分）将（•）代入得：m2=，…（11分）经检验满足△＞0．…（12分）【点评】本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆方程的综合应用，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．22．（12分）（2012•河北模拟）已知函数．（1）当时，求f（x）在x=0处的切线方程；（2）函数f（x）是否存在零点，若存在，求出零点的个数；若不存在，说明理由．【分析】（1）欲求曲线y=f（x）在其上一点x=0处的切线的方程，只须求出切线斜率，切点坐标即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率，利用函数求出切点坐标，进而得切线方程；（2）由于函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．下面对x的范围进行分类讨论：当x∈（a，+∞）时，f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．当x∈（﹣∞，a）时，令g（x）=e x（x﹣a）+1．构造新函数，对新函数求导，做出函数的单调性，得到函数的最小值，从而得到要求的结果．【解答】解：（Ⅰ），，．当时，f'（0）=﹣3．又f（0）=﹣1．…．．（2分）则f（x）在x=0处的切线方程为y=﹣3x﹣1．…．．（4分）（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞）．当x∈（a，+∞）时，，所以．即f（x）在区间（a，+∞）上没有零点．…．．（6分）当x∈（﹣∞，a）时，，令g（x）=e x（x﹣a）+1．…（7分）只要讨论g（x）的零点即可．g'（x）=e x（x﹣a+1），g'（a﹣1）=0．当x∈（﹣∞，a﹣1）时，g'（x）＜0，g（x）是减函数；当x∈（a﹣1，a）时，g'（x）＞0，g（x）是增函数．所以g（x）在区间（﹣∞，a）最小值为g（a﹣1）=1﹣e a﹣1．…．．（9分）显然，当a=1时，g（a﹣1）=0，所以x=a﹣1是f（x）的唯一的零点；当a＜1时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＞0，所以f（x）没有零点；当a＞1时，g（a﹣1）=1﹣e a﹣1＜0，所以f（x）有两个零点．…．．（12分）【点评】本题以函数为载体，主要考查导数的几何意义，考查考查函数的单调性，属于中档题．。

2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、 ：本大 共 12 个小 ，每小5 分，共 60 分 .在每小 出的四个中，只有一 是切合 目要求的.1．已知复数 z=1+2i ，=（）A ． 5B ．5+4iC ． 3D ．34i2 ．已知会合 A= { x| x 22x 3＜0} ，， A ∩B=（）A ． { x| 1＜x ＜3}B ．{ x| 1＜x ＜3}C ． { x| 1＜ x ＜ 0 或 0＜x ＜3}D ．{ x| 1＜x ＜0 或 1＜ x ＜ 3}3 ． ， 均 数， “a＞3＞b 3 ”的（ ） a b | b| ”是“aA ．充足不用要条件B ．必需不充足条件C ．充要条件D ．既不充足也不用要条件4．若点 P 抛物 上的 点， F 抛物 C 的焦点， | PF| 的最小（ ）A ．2B ．C ．D ．5．已知数列 { a n } 足 a n +1 a n =2， a 1= 5， | a 1|+| a 2|+ ⋯+| a 6| =（）A ．9B ．15C ．18D ．306．在平面内的 点 （x ，y ） 足不等式， z=2x y 的最大 是（）+A ．6B ．4C ．2D ．07．某几何体的三 如 所示， 其体 （）A ．4B ．C ．D ．8．将一枚硬币连续投掷 n 次，若使得起码有一次正面向上的概率不小于 ，则n 的最小值为（）A ．4B ．5C ．6D ．79．运转以下图的程序框图，则输出结果为（）A ．B ．C ．D ．10．若方程 在上有两个不相等的实数解x 1，x 2，则x 1+x 2=（ ）A ．B ．C ．D ．11．已知向量 ，， （ m ＞ 0， n ＞ 0），若 m n+∈ [ 1，2 ，则 的取值范围是（） ]A ．B ．C ．D ．xmx 2﹣m （m ＞0），当 x 1 x 212．已知定义在 R 上的函数 f （x ）=e ++ =1 时，不等式f （x 1）+f （0）＞ f （x 2）+f （ 1）恒成立，则实数 x 1 的取值范围是（）A ．（﹣∞， 0）B ．C ．D ．（1，+∞）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张， 且甲乙分得的电影票连号，则共有种不一样的分法（用数字作答） ．14．函数f （ x ） =e x ?sinx 在点（ 0，f （0））处的切线方程是．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数目在100 至 200 之间，那么这个数．16．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线订交于 A ，B 两点，若，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值；（2）若 A 为△ ABC 的内角， f （A ）=4，BC=3，求△ ABC 的周长的最大值．18．某手机厂商推出一次智好手机，现对500名该手机使用者进行检查，敌手机进行打分，打分的频数散布表以下：女性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间频数2040805010男性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间频数4575906030（1）达成以下频次散布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不一样，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中随意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90分的人数的散布列和希望．19．如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA⊥底面 ABCD ，AD=AP ，E 为棱 PD 中点．（ 1）求证： PD⊥平面 ABE ；P﹣ FM （ 2）若F 为AB中点，，试确立λ的值，使二面角﹣ B 的余弦值为．20．已知点P 是长轴长为的椭圆Q：上异于极点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右极点，点M 为线段PA 的中点，且直线PA 与OM的斜率之积恒为．（ 1）求椭圆Q 的方程；（ 2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于C，D两点，线段CD 的垂直均分线与x 轴交于点 G，点 G 横坐标的取值范围是，求| CD|的最小值．21．已知函数 f （x）=（x﹣2）e x+a（ x+2）2（ x＞ 0）．（ 1）若 f （x）是（ 0， +∞）的单一递加函数，务实数 a 的取值范围；（ 2）当时，求证：函数f（ x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．[ 选修4-4：坐标系与参数方程 ]22．已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos，θ直线l 的参数方程为（t 为参数）．（1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l 的一般方程；（ 2）若曲线 C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值．[ 选修4-5：不等式选讲 ]23．已知 a＞ 0， b＞ 0，函数 f（x ）=| x+a|+| 2x﹣b| 的最小值为 1．（1）求证： 2a+b=2；（2）若 a+2b≥tab 恒成立，务实数 t 的最大值．2017 年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共12 个小题，每题 5 分，共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的.1．已知复数z=1+2i，则=（）A． 5B．5+4i C．﹣ 3 D ．3﹣4i【考点】复数代数形式的乘除运算．【剖析】由已知直接利用求解．【解答】解：∵ z=1+2i，∴=| z|2=．应选： A．2．已知会合 A= { x| x2﹣2x﹣3＜0} ，，则 A∩B=（）A． { x| 1＜x ＜3}B．{ x| ﹣1＜x＜3}C． { x| ﹣ 1＜ x＜ 0 或 0＜x＜3}D．{ x| ﹣1＜x＜0 或 1＜ x＜ 3}【考点】交集及其运算．【剖析】先分别求出会合 A ，B，由此利用交集定义能求出A∩B．【解答】解：∵会合 A= x x2﹣2x﹣3＜0 = x﹣1＜x ＜3}，{ |} { |=x x＜ 0 或 x ＞1 ，{|}∴A∩B={ x | ﹣ 1＜ x＜ 0 或 1＜x＜3} ．应选： D．3．设 a， b“a3b3”的（）均为实数，则＞||是A．充足不用要条件 B．必需不充足条件C．充要条件D．既不充足也不用要条件【考点】必需条件、充足条件与充要条件的判断．【剖析】依据充足必需条件的定义判断即可．33【解答】解：由 a＞ | b| ”能推出“a＞b ”，是充足条件，反之，不可立，比方 a=1， b= 2，不是必需条件，故： A．4．若点P 抛物上的点， F 抛物 C 的焦点，| PF| 的最小（）A． 2B．C．D．【考点】抛物的性．【剖析】利用抛物的性直接求解即可．【解答】解：点 P 抛物上的点，F抛物C的焦点，| PF|的最小：．故： D．5．已知数列{ a n} 足 a n+1a n=2， a1= 5， | a1|+| a2|+ ⋯+| a6| =（）A．9 B．15 C．18 D．30【考点】数列的乞降．【剖析】利用等差数列的通公式与乞降公式可得a n，S n， n 分即可得出．【解答】解：∵ a n+1a n=2，a1= 5，∴数列 { a n} 是公差 2 的等差数列．∴a n = 5+2（n 1）=2n 7．数列 {a n的前 n 和 S n=n2 6n．}=令 a n≥ ，解得．=2n7 0∴n≤ 3 ， | a n| = a n．n≥4 ， | a n| =a n．| a1|+| a2|+ ⋯+| a6| = a1 a2 a3+a4+a5+a6 =S6 2S3 =62 6×6 2（ 32 6× 3）=18．故： C．6．在平面内的动点（x，y）知足不等式，则z=2x+y的最大值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【考点】简单线性规划．【剖析】依据拘束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只要求出直线z=x y+的最优解，而后求解 z 最大值即可．【解答】解：依据不等式，画出可行域，由，可得 x=3， y=0平移直线2x y=0，∴当直线 z=2x y 过点 A （3，0）时， z 最大值为 6．++应选： A．7．某几何体的三视图以下图，则其体积为（）A．4 B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【剖析】经过三视图还原的几何体是正四棱锥，联合三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：由题意三视图可知，几何体是正四棱锥，底面边长为 2 的正方形，一条侧棱垂直正方形的一个极点，长度为2，因此四棱锥的体积．应选 D．8．将一枚硬币连续投掷n 次，若使得起码有一次正面向上的概率不小于，则n 的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【考点】 n 次独立重复试验中恰巧发生k 次的概率．【剖析】由题意， 1﹣≥，即可求出n的最小值．【解答】解：由题意， 1﹣≥，∴ n≥4，∴n 的最小值为 4，应选 A．9．运转以下图的程序框图，则输出结果为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【剖析】由程序框图知，程序运转的功能是用二分法求函数f（ x） =x2﹣ 2 在区间 [ 1，2] 上的零点，且精准到；模拟运转过程，即可得出结果．【解答】解：由程序框图知，程序运转的功能是用二分法求函数f（ x） =x2﹣ 2 在区间 [ 1，2] 上的零点，且精准到；模拟以下；m==时，f（1）?f（）=（﹣1）×＜0，b=，| a﹣b| =≥d；m==时，f（1）?f（）=（﹣1）×（﹣）＞0，a=，| a﹣b| =＜d；程序运转停止，输出m=．应选： B．10．若方程在上有两个不相等的实数解x1，x2，则x1+x 2=（）A．B．C．D．【考点】正弦函数的对称性．【剖析】由题意可得2x∈[，]，依据题意可得+=，由此求得 x1+x2值．【解答】解：∵ x∈[ 0，] ，∴ 2x+ ∈[，] ，方程在上有两个不相等的实数解x1，x 2，∴=，则 x1+x2= ，应选： C．11．已知向量，，（m＞ 0， n＞ 0），若 m n+∈ [1，2]，则的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】简单线性规划；简单线性规划的应用；平面向量数目积的运算．【剖析】依据题意，由向量的坐标运算公式可得=（ 3m+n，m﹣3n），再由向量模的计算公式可得=，能够令 t=，将 m+n∈[1，2]的关系在直角坐标系表示出来，剖析可得t=表示地区中随意一点与原点（ 0，0）的距离，从而可得 t 的取值范围，又由=t，剖析可得答案．【解答】解：依据题意，向量，，=（ 3m+n，m﹣3n），则==，令 t=，则=t，而m n∈1，2 ，即 1≤m n≤2，在直角坐标系表示如图，+ []+t=表示地区中随意一点与原点（0，0）的距离，剖析可得：≤t≤ 2，又由=t，故≤≤2；应选： D．12．已知定义在 R 上的函数 f（x）=e x+mx2﹣m（m＞0），当 x1+x2=1 时，不等式f（x 1）+f （0）＞ f （x2）+f（ 1）恒成立，则实数 x1的取值范围是（）A．（﹣∞， 0）B．C．D．（1，+∞）【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【剖析】经过变形可知问题转变为不等式f（x 1）﹣ f（1﹣x1）＞ f（ 1）﹣ f（ 1﹣1）恒成立，设 g（x）=f（ x）﹣ f（ 1﹣ x）并求导可知 g（x）在 R 上单一递加，利用单一性即得结论．【解答】解：∵不等式 f（x1）+f（0）＞ f（x2） +f （1）恒成立，∴不等式 f（ x1）﹣ f （x2）＞ f（ 1）﹣ f（ 0）恒成立，又∵ x1+x2=1，∴不等式 f（ x1）﹣ f （1﹣x1）＞ f（1）﹣ f（ 1﹣1）恒成立，设 g（x）=f（x）﹣ f（1﹣x），∵f（x ）=e x+mx2﹣m（ m＞0），∴g（ x） =e x﹣ e1﹣x+m（ 2x﹣1），则 g′（x）=e x+e1﹣x+2m＞0，∴ g（ x）在 R 上单一递加，∴不等式 g（x1）＞ g（ 1）恒成立，∴x1＞1，应选： D．二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有48种不一样的分法（用数字作答）．【考点】摆列、组合的实质应用．【剖析】甲乙分得的电影票连号，有 4×2=8 种状况，其他 3 人，有=6 种状况，即可得出结论．【解答】解：甲乙分得的电影票连号，有4×2=8 种状况，其他3 人，有 =6种状况，∴共有 8× 6=48 种不一样的分法．故答案为 48．．函数x?sinx 在点（ 0，f （0））处的切线方程是 y=x．14f（ x） =e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】先求出 f ′（ x），欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在 x=0 处的导函数值，再联合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：∵ f（ x）=e x?sinx，f ′（x）=e x（sinx+cosx），f（′0）=1，f（ 0） =0，∴函数 f（x）的图象在点 A（0，0）处的切线方程为y﹣0=1×（ x ﹣0），即 y=x．故答案为： y=x．15．我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数目在100 至 200 之间，那么这个数128．【考点】数列的应用．【剖析】依据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被 3 和 5 整除；第二个数能同时被 3 和 7 整除；第三个数能同时被5和 7 整除，将这三个数分别乘以被 7、5、3 除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们第一需要先求出三个数：第一个数能同时被 3 和5 整除，但除以7 余1，即15；第二个数能同时被 3 和7 整除，但除以 5 余1，即21；第三个数能同时被 5 和7 整除，但除以 3 余1，即70；而后将这三个数分别乘以被7、 5、 3 除的余数再相加，即：15× 2+21× 3+70×2=233．最后，再减去 3、5、7 最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105× 2=23．或105k+23 （ k 为正整数）．因为物数目在 100 至 200 之间，故当 k=1 时， 105+23=128故答案为： 12816．过双曲线的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线订交于 A ，B 两点，若，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【剖析】求出双曲线的渐近线方程，设出过右焦点且与第一三象限的渐近线垂直的直线方程，与双曲线的渐近线方程联立把 A ，B 表示出来，再由，求出 a，b， c 的关系，而后求双曲线的离心率．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，设焦点 F（ c，0），与 y= x 垂直的直线为 y=﹣（x﹣c），由可得A（，）；由可得 B（，﹣），再由，可得 0﹣（﹣）=2（﹣0），2222化为 a =3b =3（c ﹣ a ），22即为 3c =4a ，则 e= =．故答案为：．三、解答题（本大题共 5 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17．已知点，Q（cosx，sinx），O为坐标原点，函数．（1）求函数 f（ x）的最小值及此时 x 的值；（2）若 A 为△ ABC 的内角， f （A ）=4，BC=3，求△ ABC 的周长的最大值．【考点】平面向量数目积的运算；基本不等式在最值问题中的应用；余弦定理的应用．【剖析】（1）利用向量的数目积以及两角和与差的三角函数化简函数的分析式，而后求解最值．（2）利用函数的分析式求解 A ，而后利用余弦定理求解即可，获得 bc 的范围，而后利用基本不等式求解最值．【解答】解：（1）∵，∴，∴当时， f（ x）获得最小值 2．（ 2）∵ f（ A ）=4，∴，又∵ BC=3，∴，∴9=（b c）2﹣bc．，+∴，∴，当且仅当 b=c 取等号，∴三角形周长最大值为．18．某手机厂商推出一次智好手机，现对500名该手机使用者进行检查，敌手机进行打分，打分的频数散布表以下：女性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间频数2040805010男性用分值区[ 50，60） [ 60，70） [ 70， 80） [ 80， 90） [ 90，100）户间频数4575906030（1）达成以下频次散布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不一样，运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，在这 20 名用户中，从评分不低于 80 分的用户中随意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于 90分的人数的散布列和希望．【考点】失散型随机变量的希望与方差；失散型随机变量及其散布列．【剖析】（Ⅰ ）求出女性用户和男性用户的频次散布直方图，由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取 20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，此中评分小于 90 分的人数为 4，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则X 取值为 1， 2， 3，分别求出相应在的概率，由此能求出 X 的散布列和数学希望．【解答】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大．（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于80分有 6人，此中评分小于 90 分的人数为 4，从 6人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1，2，3，，，．因此 X 的散布列为X123P或．19．如图，在四棱锥P﹣ ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA⊥底面 ABCD ，AD=AP ，E 为棱 PD 中点．（ 1）求证： PD⊥平面ABE ；（2）若F 为AB 中点，，试确立λ的值，使二面P﹣ FM角﹣ B 的余弦值为．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判断．【剖析】（I）证明 AB ⊥平面 PAD，推出 AB ⊥PD，AE ⊥PD，AE ∩AB=A ，即可证明 PD⊥平面 ABE ．（ II）以 A 为原点，以为x，y，z轴正方向，成立空间直角坐标系A﹣ BDP，求出有关点的坐标，平面PFM 的法向量，平面 BFM 的法向量，利用空间向量的数目积求解即可．【解答】解：（I）证明：∵ PA⊥底面 ABCD ， AB? 底面 ABCD ，∴ PA⊥ AB ，又∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB ⊥AD ， PA∩AD=A ，PA? 平面 PAD，AD ? 平面PAD，∴AB⊥平面 PAD，又 PD? 平面 PAD，∴AB ⊥PD，AD=AP ，E 为 PD 中点，∴AE⊥PD，AE∩AB=A ，AE ? 平面 ABE ，AB ? 平面 ABE ，∴ PD⊥平面 ABE ．（ II）以 A 为原点，以为x，y，z轴正方向，成立空间直角坐标系A﹣BDP，令 | AB | =2，则 A（0，0，0），B（2，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（0，1，1），F （1，0，0），，，，M（ 2λ，2λ，2﹣2λ）设平面 PFM 的法向量，，即，设平面 BFM 的法向量，，即，，解得．20．已知点 P 是长轴长为的椭圆Q：上异于极点的一个动点， O 为坐标原点， A 为椭圆的右极点，点M 为线段 PA 的中点，且直线PA 与 OM 的斜率之积恒为．（ 1）求椭圆 Q 的方程；（ 2）设过左焦点 F1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于 C，D 两点，线段CD 的垂直均分线与x 轴交于点 G，点 G 横坐标的取值范围是，求| CD|的最小值．【考点】圆锥曲线的最值问题；椭圆的标准方程．【剖析】（1）利用椭圆 Q 的长轴长为，求出．设P（x0，y0），经过直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为，化简求出b，即可获得椭圆方程．（ 2）设直线 l 方程为 y=k（x+1）（ k≠ 0），代入有（1+2k2）x2+4k2x+2k2﹣ 2=0，设 A （x1，y1），B（ x2，y2），AB 中点 N（ x0，y0），利用韦达定理求出CD 的垂直均分线方程，推出，利用弦长公式化简，推出 | CD| 的最小值．【解答】解：（1）∵椭圆 Q 的长轴长为，∴．设 P（x0，y0），∵直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为，∴，∴，∴ b=1，故椭圆的方程为．（2）设直线 l 方程为 y=k（x 1）（ k≠ 0），代入有（1 2k2）x 2 4k22+++x 2k+﹣2=0，设 A （x1， y1）， B（x2，y2），AB 中点 N（ x0，y0），∴．∴∴ CD 的垂直均分线方程为，令 y=0，得∵，∴，∴．=，．21．已知函数 f （x）=（x﹣2）e x+a（ x+2）2（ x＞ 0）．（ 1）若 f （x）是（ 0， +∞）的单一递加函数，务实数 a 的取值范围；（ 2）当时，求证：函数 f（ x）有最小值，并求函数f（x）最小值的取值范围．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单一性．【剖析】（1）求出函数的导数f'（x ）=e x+（ x﹣ 2） e x+2ax+4a，经过f'（ x）≥ 0在（ 0，+∞）上恒成立．获得，结构函数，利用导函数的单一性以及最值求解即可．x（ 2）经过 [ f'（x ）] ′=x?e+2a＞0，数码y=f' （ x）在（ 0，+∞）上单一递加，利用零点判断定理说明存在t ∈（0，1）使f'（t ）=0，判断x=t，，推出．即在t ∈（0，+∞）上单一递减，经过求解函数的最值，求解f（x）的最小值的取值范围．【解答】解：（1）f'（ x） =e x+（x﹣2）e x+2ax+4a，∵函数 f（x）在区间（ 0，+∞）上单一递加，∴ f'（ x）≥ 0 在（ 0，+∞）上恒成立．∴ e x+（ x﹣ 2） e x+2ax+4a≥0，∴，令，，∴，∴．x（ 2） [ f'（x）] ′=x?e+2a＞0，∴y=f' （x）在（ 0， +∞）上单一递加又 f'（0）=4a﹣1＜0，f'（1）=6a＞0，∴存在 t∈（ 0， 1）使 f'（t） =0∴x∈（ 0，t）时， f'（x）＜ 0，x∈（ t，+∞）时， f'（x）＞ 0，当x=t时，且有f'（t）=e t?（t﹣1）+2a（t+2）=0，∴．由（ 1）知在 t ∈（ 0，+∞）上单一递减，，且，∴ t∈（ 0， 1）．∴，，∴f（1）＜ f（t）＜ f （ 0），﹣ e＜f（ t）＜﹣ 1，∴f（x ）的最小值的取值范围是（﹣ e，﹣ 1）．[ 选修4-4：坐标系与参数方程 ]22．已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴，成立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρ=4cos，θ直线l 的参数方程为（t 为参数）．（1）求曲线 C1的直角坐标方程及直线 l 的一般方程；（ 2）若曲线 C2的参数方程为（α为参数），曲线C1上点P的极角为，Q 为曲线 C2上的动点，求 PQ 的中点 M 到直线 l 距离的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成一般方程．2【剖析】（1）曲线 C1的极坐标方程为ρ=4cos，θ即ρ=4ρ cos，θ可得直角坐标方程．直线 l 的参数方程为（t为参数），消去参数t可得一般方程．（ 2 ），直角坐标为（2，2），，利用点到直线的距离公式及其三角函数的单一性可得最大值．2【解答】解：（1）曲线 C1的极坐标方程为ρ=4cos，θ即ρ=4ρ cos，θ可得直角坐标方程：．直线 l 的参数方程为（t为参数），消去参数 t 可得一般方程： x+2y﹣ 3=0．（2），直角坐标为（2，2），，∴ M 到 l 的距离≤，从而最大值为．[ 选修4-5：不等式选讲 ]23．已知 a＞ 0， b＞ 0，函数 f（x ）=| x+a|+| 2x﹣b| 的最小值为 1．（1）求证： 2a+b=2；（2）若a+2b≥tab 恒成立，务实数t 的最大值．【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【剖析】（1）法一：依据绝对值的性质求出 f（ x）的最小值，获得 x= 时取等号，证明结论即可；法二：依据 f （x）的分段函数的形式，求出f（ x）的最小值，证明即可；（ 2）法一，二：问题转变为≥t恒成立，依据基本不等式的性质求出的最小值，从而求出 t 的范围即可；法三：依据二次函数的性质判断即可．【解答】解：（1）法一： f（x）=| x+a|+| 2x﹣b| =| x+a|+| x﹣ |+| x﹣ | ，∵ | x+a|+| x ﹣| ≥| （x+a）﹣（ x﹣）| =a+且| x﹣| ≥0，∴f（x ）≥ a+ ，当 x= 时取等号，即 f （x）的最小值为 a+ ，∴a+ =1， 2a+b=2；法二：∵﹣ a＜，∴ f （x）=x a2x﹣b =，|+ |+||明显f （x）在（﹣∞，]上单一递减， f（ x）在[，∞）上单一递加，+∴f（x ）的最小值为 f （）=a+ ，∴a+ =1， 2a+b=2．（ 2）方法一：∵ a+2b≥tab 恒成立，∴≥ t 恒成立，=+=（+）（ 2a b ）? =（ 1 4+），++ +当 a=b=时，获得最小值，∴ ≥t，即实数 t的最大值为；方法二：∵ a+2b≥ tab 恒成立，∴≥t 恒成立，t≤= + 恒成立，+ =+≥=，∴≥t，即实数t 的最大值为；方法三：∵ a+2b≥ tab 恒成立，∴a+2（ 2﹣ a）≥ ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（ 3+2t）a+4≥0 恒成立，∴（ 3+2t）2﹣326≤ 0，∴≤t≤，实数 t 的最大值为．2017年 4月 15日。