2021年普通高等学校招生全国统一测试(全国I卷)理科数学一、选择题：此题共12小题,每题5分洪60分.在每题给出的四个选项中 ,只有一项为哪一项符合题目要求的.1.集合A={x|x<1}, B={x3x<1},那么()A. AQB =：xx <0?B. AUB =RC. A|jB=[xx.1)D. AH B ={x x<1 }, B ={x|3x<1} = {x x<0}.\ Ap B ={x| x<0}, AlJ B ={x x<1},选A2.如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色局部和白色局部位于正方形的中央成中央对称,在正方形内随机取一点,那么此点取自黑色局部的概率是(【解析】A =1 A. 一4兀B.-81C.-2兀D.—4【解析】设正方形边长为2,那么圆半径为1那么正方形的面积为2M2 =4,圆的面积为启12兀,图中黑色部分的概率为』那么此点取自黑色局部的概率为23 .设有下面四个命题()1P1：假设复数z满足—u R,那么z三R ; P2 :假设复数z满足Zz2w R,那么z W R ; P3:假设复数Z i , z2满足A. P i , P3B. P1 , P4C. P2 , P3 D. P2,P4… , 1 1 a -bi【解析】①：设z =a +bi,那么—二 --- =- ----- 2=R得到b =0,所以zW R .故P1正确;z a bi a bP2 ：假设Z2= —1,满足z2ER ,而z =i ,不满足z2WR ,故P2不正确；P3 ：假设乙=1, z2 =2,那么取2=2,满足取2 w R ,而它们实部不相等,不是共轲复数,故P3不正确；P4：实数没有虚部,所以它的共轲复数是它本身 ,也属于实数,故P4正确；4 .记S n为等差数列A.1 Q}的前n项和,假设a4 +a5 =24, S =48,那么匕口}的公差为()B.2C.4D.8【解析】_ _ _ _ 6 5a4 +a5 =a[十3d +a〔+4d =24 S6 =6& +-------- d =48联立求得2j2a1 +7d =24 ①[6a1 15d =48 ②①父3—②得(21 —15户=24 6d =24 ：d =4选C5 .函数是( f (x )在(-00,十°°)A. 1-2, 2】)单调递减,且为奇函数.假设f (1 )=-1,那么满足-1&f(x-2)< 1的x的取值范围C. b, 4]【解析】由于f(x )为奇函数,所以f (―1)=-f (1 )=1,于是—14f(x —2丹1等价于f (1 月f (x-2 尸f(—1 )|又f (x )在(.\ + 8坤调递减.-.-K x-2< 1,1WxW3应选D16一一,. c6 . 1 2+x 〕展开式中x 2的系数为对 m <1 +x 6的x 2项系数为C 6=15, x 2的系数为15+15 =30应选Cx7 .某多面体的三视图如下图,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成 长为2,俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有假设干是梯形S 梯=〔2 +4 J<2-2 =6 电梯=6 父2 =12应选 B8 .右面程序框图是为了求出满足 3n -2n >1000的最小偶数n ,那么在 O 和可以分别填入A. 15B. 20 6 6 1 x =1 1 x FC. 306 6 2(1+x /〞1+x )的x 2项系数为C2 =D. 356 5——=15 2,正方形的边,这些梯形的面积之和为A. 10【解析】由三视图可画出立体图D. 16该立体图平面内只有两个相同的梯形的面两个空白框中,A. A >1000 和 n =n +1B. A >1000 和 n =n +2C. AW1000 和 n =n +1D. Aw 1000 和 n = n +2 解 由于要求A 大于1000时输出,且框图中在“否〞时输出,« <二>"中不能输入A >1000排除A 、B 又要求n 为偶数,且n 初始值为0,中n 依次加2可保证其为偶应选 9 曲线 G ：y=cosx ,C 2：y=sin 2X 型 2X 3,那么下面结论正确的选项是〔〕A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的 2倍,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向右平移 工个单位长度,得到曲线 6C 2B.把C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变 ,再把得到的曲线向左平移 万个单位长度,得到曲线【解析】1 + C. 141输出打/_ 1 .、 .. .. ........ 一,一,r ........ .... ................................................................... 兀* 、,,、,•一,rC.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的万倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移吊个单位长度,得到曲线C2TT ,iD.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移五个单位长度,得到曲线C2【答案】D2兀【解析】G：y=cosx,C2: y =sin I2x 一3首先曲线C i、C2统一为一三角函数名,可将C i：y=cosx用诱导公式处理.y=cosx=cos. x+]—2 J=sin . x+2卜横坐标变换需将切=1变成@ = 2 ,f C[上各点横坐标缩短它原来1 f y f \即y =sin !x 21y=sin l2x —=sin2l x».2 . 2 42兀兀——y =sin! 2x —=sin2!x —.3 . 3注意切的系数,在右平移需将曰=2提到括号外面,这时x +」平移至x +」,4 3,根据“左加右减〞原那么,“x才到“x ;需加上if,即再向左平移129.F为抛物线C : y2=4x的交点,过F作两条互相垂直l i,I2,直线l i与C交于A、B两点,直线I2与C交于D , E两点,AB十DE的最小值为〔〕A.i6【答案】A【解析】B. i4C. i2D. i0设AB倾斜角为9 .作AK i垂直准线,AK2垂直x轴f!AF| cos6 +|GF| = AK i 〔几何关系〕易知?AKi|=AF| 〔抛物线特性〕GP =P—.1—P]=P2 2|AF|cose+p= AF同理|AF|=—i - cos 二BFPi cos 二：AB 二与,2 2'i -cos 二sin f一 .一.............. 兀,n 又DE与AB垂直,即DE的倾斜角为鼻十日DE _ 2P _ 2Psin2,三十g ] cos28 而y2=4x,即P =2 .2... AB DE =2P -—^- =4sin ] co s' =-2 .4 2sin 1 cos 【 sin ?coS 二 sin icos 二. TT >16,当日=—取等号 4 即|AB [DE 最小值为16,应选A10.设x , y , z 为正数,且 2x =3y =5z ,那么0A. 2x ：： 3y ：：； 5zB. 5z ：： 2x ：： 3yC. 3y ：： 5z ：：；2xD. 3y ：： 2x ：： 5z【答案】Dx l n 3 3 【答案】 取对数：xln2 =yln3 =ln5 .—=——>- 2x>3y y l n 2 2一.x l n 5 5xln2 =zln5贝U — =——<-:2x <5z : 3y < 2x< 5做选 Dz l n 2 211.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件,为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了 “解数学题获取软件激活码〞的活动,这款软件的激活码为下面数学问题的答案：数列1, 1, 2, 1, 2, 4, 1, 2, 4, 8, 1, 2, 4, 8, 16,…,其中第一项为哪一项20,接下来的两项是20,21,在接下 来的三项式26,21,22,依次类推,求满足如下条件的最小整数 N ： N >100且该数列的前N 项和为2 的整数哥.那么该款软件的激活码是〔 〕A. 440B. 330C. 220D. 110【答案】A【解析】设首项为第1组,接下来两项为第2组,再接下来三项为第 3组,以此类推.设第n 组的项数为n ,那么n 组的项数和为 也已〕2由题,N >100,令 叱 +n〕>100 f n > 14且n w N *,即N 出现在第13组之后 2第n 组的和为 =2n —1 n 组总共的和为 41- 2〕_n =2n _2.n假设要使前N 项和为2的整数哥,那么N —n-^项的和2k -1应与-2-n 互为相反数2即 2k -1=2+n 〔k W N*,n >14〕 k =log 〔n + 3 f n=29,k=5 那么 N =29*'1 2'5= 44 0 应选 A2二、 填空题 沐题共4小题,每小:5分,:20分. 12.向量1,b 的夹角为60 °, a =2 ,b'=1,那么a +2b =. 【答案】2.3[角军析】：+2b 2 =〔：+2：〕2 =|：'2+22b cos60口+〔2b 〕 =22+2父2M 2M ；+22 =4+4+4 =12.•・ a +2b =屈=2 点1 .2c.sin 2-i 4 '16 2sin 2271 13.设x , y 满足约束条件_|_x 2y <1不等式组W2x +y 2」表示的平面区域如下图x -y M0由z =3x —2y 得y =?x,求z 的最小值,即求直线y =-x --的纵截距的最大值 2 2 2 2当直线y=|x —|过图中点A 时,纵截距最大2x y - -1 由J解得A 点坐标为(―1,1),此时z =3x(—1)—2父1 =-5x 2y =122x y14 .双曲线C: -,( a>0 , b>0 )的右顶点为 A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线Ca b的一条渐近线交于 M , N 两点,假设/MAN =60 0,那么C 的离心率为15 .如图,圆形纸片的圆心为 O ,半径为5cm ,该纸片上的等边三角形 ABC 的中央为O ,D 、E 、F 为元O 上的点,ADBC/ECA /FAB 分别是一 BC ,CA , AB 为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC , CA , AB 为折痕折起 △ DBC , △ ECA , △ FAB ,使得D , E , F 重合彳导到三棱锥.当△ ABC 的边长 变化时,所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值为 .【答案】4 15【解析】 由题,连接OD,交BC 与点G ,由题,OD _LBC3 Q …… …、… rOG = —BC ,SP OG 的长度与BC 的长度或成正比6 设 OG =x ,那么 BC =2.3x , DG =5-x三棱锥的高 h =、；DG 2 -OG 2 =125-10x x 2 -x f 25-10x如图,OA =a, AN =|AM|=b••• /MAN =60°,AP =OP =J OA 『 T|PA 『a 2-3b 24tan 二二APOP—b 2a 2 -3b 2又•: tan 二=「7 23I = ----------- 3 3• • e = 1-1 — 0 - 1 9 . _S A ABC =2g 3x=343x 2,那么 V =-S A ABC h =43x 2 ,拉5—10x =第；25x 4 -10x 5 2 3令 f x =25x 4-10x 5, x (0,5), f x =100x 3-50x 4令 f '(x )>0,即 x 4 -2x 3<0, x<2,那么 f(x 尸 f (2 ) = 80 那么V W 73M 闻=45,：体积最大值为4#5cm 3解做题：共70分.解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.第 生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答. 〔一〕必考题：共60分. 16.4ABC 的内角A , B ,C 的对边分别为a, b ,c,4ABC 的面积为(1)求 sin BsinC ；(2)假设 6cos B cosC =1, a =3 ,求 AABC 的周长.【解析】此题主要考查三角函数及其变换,正弦定理,余弦定理等根底知识的综合应用a 2 1 ...(1) . AABC 面积 S = ---------- .且 S =-bcsin A3sinA 2,a 2 1232A. . -------- =—bcsinA , a =-bcsin A3sinA 2223 _ 2..由正弦7E 理得 sin A =—sin BsinCsin A , 2 , 「 2 由 sin A # 0 得 sin Bsin C =—.3,32 1(2)由(1)得 sin B sin C =一,cosB cosC =—,/A + B + C =K3 61:cosA =cos( u-B -C )=—cos(B +C )=sin BsinC-cosBcosC =— 3 1又.— =(0,n),：A=60 , sinA= —, cosA = —2 2由余弦定理得a 2 =b 2 +c 2 -bc =9 ①由正弦定理得 b =-a — si nB c =—a — sinC s i nA ,sin A2. a… bc=-2— sin BsinC =8②sin 2 A由①②得 b +c =V 33a +b +c =3 +7^3即 ^ABC 周长为 3 +V 3317-21题为必'考题,每个试题考2a 3sin A如图,在四棱锥 P -ABCD 中,AB // CD 中,且 /BAP =/CDP =90..(x , y , z )为平面PBC 的法向量PB =02x 2y -.2z-,得_BC =0-2 . 2x =0令y=1,那么z=J2, x=0,可得平面PBC 的一个法向量n=(0 ,1,五) •••幺PD =90 ；. PD _LPA又知AB _L 平面PAD , PD 仁平面PAD • PD _ AB ,又 PAriAB =A PD _L 平面 PAB—T !- L即PD 是平面PAB 的一个法向量,PD=(T /2 ,0 ,72 ) cos PD , n3 由图知二面角 A-PB 弋 为钝角,所以它的余弦值为 -出(1)证实：平面PAB ,平面PAD ; (2)假设 PA = PD =AB =DC , Z APD =90 2求二面角 【解析】(1)证实：.一/BAP =/CDP =90. PA _AB , PD _CD 又•: AB II CD ,.二 PD _L AB又•: PD I^PA =P ,PD 、PA U 平面 PAD AB _L 平面 PAD ,又 AB U 平面 PAB• •・平面PAB _L 平面PAD(2)取AD 中点O , BC 中点E ,连接PO , OE • •• AB 起CD• •・四边形ABCD 为平行四边形 A-PB -C 的余弦值.1 -OE .ZAB由(1)知,AB _L 平面PADOE _L 平面 PAD ,又 PO 、AD U 平面 PAD OE _PO , OE _ AD 又 「 PA =PD ,.•. PO _ AD PO 、OE 、AD 两两垂直以O 为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系O -xyzPA -IPD =2 ,,•, D (W 2 ,0,0 )、B (e,2,0 卜 P (0,0,&)、C (-V 2,2,0= (/,0, —J 2 )、PB =(J 2,2,—J 2 )、BC =(-2&,0,0)E y为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程,实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位：cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态2分布N(N,仃).(1)假设生产^态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(N-3仃,卜+3仃)之外的零件数,求P(X >1 / X的数学期望；(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(N-3仃,N+3仃)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性：(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 1 0. 1 29.96 9. 9610.01 9.92 9. 9 8 1 0. 0410.26 9.91 1 0. 1 310.02 9.22 10.04 10.05 9. 9 516~r~^ 2 1 ~16经计算得x =£X i =9.97, s= —£(x -x ) = J—^2-16x2L0.212,其中x 为抽取的第i 个i1 :16 - ;16零件的尺寸,i =1, 2, HI, 16.用样本平均数x作为N的估计值巴用样本标准差s作为.的估计值口,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查,剔除(？-3仅,？+39)之外的数据,用剩下的数据估计N和.(精确到0.01).附:假设随机变量Z服从正态分布N(N,仃2),那么P(R—3J<Z<N+3CJ) = 0.9974. 160.997 4 0.9592 , ., 0.008 0.09 .【解析】(1)由题可知尺寸落在(H一3仃,R+3CT)之内的概率为0.9974落在(N—30 ,卜+3仃)之外的概率为0.0026P(X =0 产C；6(1 -0.9974 0 0.997416之0.9592P X _1 =1 -P X =0 ： 1 -0.9592 =0.0408由题可知X ~ B06 , 0.0026), E(X )=16父0.0026 =0.0416(2)(i)尺寸落在(N—3仃,N+3.)之外的概率为0.0026由正态分布知尺寸落在(N-3仃,N+3.)之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理.(ii)'' -3' -9.97 -3 0.212 =9.334.二+3；.- -9.97 3 0.212 =10.606 (N—3仃,N+3.)=(9.334, 10.606 )7 9.22正(9.334 , 10.606 ),二需对当天的生产过程检查因此剔除9.229 97 16 -9 22 剔除数据之后:二二9.22:10.02.152 2 2 2 2 2二二[9.95 -10.02 i「10.12-10.02 i「9.96 -10.02 i「9.96-10.02 i r10.01-10.022 2 2 2 29.92 -10.02 i r998 -10.02 ：i 何10.04-10.02 ) -1：10.26-10.02 ：i)：9.91-10.022 2 2 2 210.13 -10.02 i F10.02 -10.02 i -[10.04 -10.02 i F10.05 -10.02 i f 9.95 -10.02 ]■0.008口1519. (12 分)椭圆C 上. (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过B 点且与C 相交于A 、B 两点,假设直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为_1,证实：l 过定点. 【解析】(1)根据椭圆对称性,必过P 3、P 4又R 横坐标为1,椭圆必不过P ,所以过B , P 3 , P 4三点 3 点), __________将2(0,1),月.-1,三代入椭圆方程得 「1 X3 ,解得 a 2 =4, b 2 =1,_L +Z _1 ~十尸—1 且 b2.♦・椭圆C 的方程为：—+y 2 =1.4(2)①当斜率不存在时,设l ：x=m, A(m , y A ), B(m , -y A ) k P 2A k P 2B =7得m=2,此时l 过椭圆右顶点,不存在两个交点,故不满足. ②当斜率存在时,设l ： y =kx +b (b 01 )A . , y 1 }B 4,y 2 )y=kx»b …联立 4 2 2,整理得(1+4k J x +8kbx +4b —4=0x 2 4y 2 -4 =0那么 k P 2A k PB 二"二 三 J kx1b -X 2 x1 4 b ^12 2x 1 x 2x x 28kb 2 -8k -8kb 2 8kb8k b -1J = -1,又 b #1 4(b +1'(b —1) 乂 b।21 4k=b=-2k-1,此时A = -64k,存在k 使得△:>0成立. ・,・直线l 的方程为y=kx —2k —1 当x = 2时,y =-1 ,所以l 过定点(2 , -1 ).20. (12 分)函数 f x =ae 2x , a -2 e x -x . (1)讨论f (x )的单调性；(2)假设f (x 冶两个零点,求a 的取值范围.22椭圆C ： J La 2b 2=1 (a >b >0),四点 R (1, 1), P2(0, 1), P3 1—1,咚 j, P4 \ -中恰有三点在X i X 2 =-8kb4b 2 -41 4k 4b2 -4【解析】(1)由于 f (x )=ae 2x +(a -2 p x -x故 f x )=2ae 2x a -2 e x -1 =]ae x -1 2e x 1①当a 宅0时,ae x _1 <0, 2e x 十1 >0.从而f '(x 户0恒成立.f (x )在R 上单调递减f x x 综上,当a E0时,f (x)在R 上单调递减；当a>0时,f (x)在(-℃,-ln a)上单调递减,在(-ln a,收)上单调递增 (2)由(1)知, 当a M0时,f (x )在R 上单调减,故f (x )在R 上至多一个零点,不满足条件.1 -当 a A0时,f min = f (-ln a )=1 —— 十ln a .1 . —ln a . a 11 1 -+lna a >0 1那么g'(a )==十一 >0.从而g a 用(.,+如)上单倜增,而 a a a0 <a <1 时,g (a )<0 .当 a =1时 g(a )=0 .当 a >1 时 g(a )>0, 3 ,, …,应.Tn a , ln -一-1 上有一个头根. a 应, 一此a )上单调减,在(-ln a , +比)单调增,故f (x )在R 上至多两个实根.3城(—1 , -ln a )及—ln a , ln . - -1上均至少有一个实数根,故f ( x )在R 上恰有两个a实根.综上,0 ：二 a :二 1.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,那么按所做的第一题计分.21 .［选彳4-4:坐标系与参考方程］_______ __________ _ .......... ......... x=3cos6, 一在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数万程为械加日,步为参数卜直线1的参数万程为令 g a =1 令 g a i-1 - g (1 )=0.故当 a >1,那么 f min a =1 ,那么 f min 1 二1 一一 In a a 1 =1 ——In a =g (a )>0 ,故f (x )>0恒成立,从而f (x )无零点,不满足条件.=0,故f (x )=0仅有一个实根x=—lna = 0,不满足条件. 0<a <1,那么 1 a a 2 f min =1 ------- +lna <0,注息到一ln a >0 . f (_1 +1 —> 0 a e e e 3 , . 1 . f (x 胫(-1, -ln a )上有一个实根,而又 ln . 一 -1 Aln —=—ln a . a af 11n(- -1) =e In ln a e +a -2,ln . 3 -1 IJ la J3-1 二9-1 -ln §-1 ,— . ...-1 . 0 a a a 0.jx =a +4t,y =1 -t, (t 为参数).(1)假设a = —1,求C 与l 的交点坐标；(2)假设C 上的点到l 距离的最大值为 用,求a .【解析】(1) a=—1时,直线l 的方程为x+4y —3=0.2曲线C 的标准方程是 2+y 2=1 9x 4y —3 =0 c x =3 I联立万程4x 2工2 .,解得：L n 或?§7=1 y =. 那么C 与l 交点坐标是(3, 0)和 (2)直线l 一般式方程是x+4y -4-a =0 .设曲线C 上点p(3cos 9, sin 0 )mtt刈…二十 |3cos0 +4sin 0 -4 -al 5sin (0 )-4-a m 3 那么 P 至1 l 距离 d ---------- = ------------ 1 = ------- 3 ----------- ,其中 tan 邛=—.17 ,17 4 依题意得：d max =57,解得a = -16或a =821 x = -- 25 24 y = 2522 .［选彳4-5:不等式选讲］函数 f (x 尸-x2+ax +4 , g (x )=| x +1 +|x -1 .(1)当a =1时,求不等式f (x卢g(x)的解集;(2)假设不等式f (x卢g (x)的解集包含1-1, 1 ］,求a的取值范围.2 1 【解析】(1)当a =1时,f (x )=—x +x+4,是开口向下,对称轴x=q的二次函数.“2x , x >1Ig (x )=|x +1 +|x -1| = ^| 2, -1 < x < 1,-2x, x ：：：-1当x W (1,F 时,令_x2+x +4 =2x ,解得x = "17 -12g(x昨(1, +8)上单调递增,f(x)在(1, +s)上单调递减一< 而-11,此时f (x户g(x评集为1, 2—.当x W ［」,1］时,g(x )=2, f(x . f (-1 )=2.当x w(q, -1)时,g(x)单调递减,f (x )单调递增,且g(-1尸f (-1 )=2 .」, …一'717-11综上所述,f (x产g(x)解集厂1,七二.(2)依题意得：_x2 +ax +4 > 2在〔―1,1】恒成立.即x2 -ax — 2 w 0在1-1,1】恒成立.:21 -a 1 -2 < 0那么只须22,解出：—1Wa01.-1 -a -1 -2< 0故a取值范围是1-1, 1].。
