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[华工]复变函数1

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华东理工大学复变函数复习

华东理工大学复变函数复习
( 3) 在除去负实轴 (包括原点)的复平面内 , 主值支 和其它各分支处处连续 , 处处可导, 且
1 1 (ln z ) , (Lnz ) . z z
36
注解
1、对数函数 w Lnz是定义在整个复平面减 去原点上的多值函数 ; 2、对数函数的代数性质（运算性质）： Ln( z1 z2 ) Lnz1 Lnz2 Ln( z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2 和幅角的加法一样上面 的等式应该理解为
Im z 0 Im w 0
az b w (a, b, c, d R，ad bc 0) cz d
Im z 0 | w | 1 | z | 1 | w | 1
za we Im(a) 0) ,( R， za
i
za we a 1) ,( R， 1 az
2 2
复
习
19
第一章：
20
复数的三角表示和指数表示
x r cos , 利用直角坐标与极坐标的关系 y r sin ,
复数可以表示成 z r (cos i sin ) 复数的三角表示式 再利用欧拉公式 e i cos i sin , 复数可以表示成 z re i 复数的指数表示式
注意：他们是无界函数
38
当 z 为纯虚数 yi 时,
e y e y cos yi cosh y , 2 e y e y sin yi i sinh y . 2i
当 y 时, sin yi , cos yi .
(注意：这是与实变函数完全不同的)
39
40
21
例 求下列方程所表示的曲线: (1) z i 2; ( 2) z 2i z 2 ;

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

《复变函数与积分变换》(华中科技大学第二版)高等教育出版社课件-第一章

2
3、x yi 与 x yi 称为共轭复数， 记为 z 和 z
4、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 可以进行 加、减、乘、除等运算
z1 z2 x1 x2 y1 y2 i z1z2 x1 y1i x2 y2i
z1z2 r1ei1r2ei2 r1r2ei12
z1 z2

r1e i1 r2e i2
r1 ei12 r2
于是有：
z1z2 z1
z2
,
z1 z2

z1 z2
Arg z1z2 Arg z1 Arg z2
Arg z1 / z2 Arg z1 Arg z2
一、复数的基本概念
1、z x yi 称为复数，记为 z C 其中 i 称为虚单位满足：i2 1 实数 x 和 y 称为实部和虚部，记为 x Re z, y Im z
2、z1 x1 y1i 与 z2 x2 y2i 相等 当且仅当 x1 x2 , y1 y2
例如：
y x 的复数方程为 z t ti 1 i t y x2 的复数方程为 z t t2i t R
x2 y2 a2 a 0 的复数方程为
z acost iasint aeit t 0,2
或 z a
而圆心在 z0 x0 y0i 的圆复数方程为 z z0 a 或 z aeit z0
例如 w f z z2 x yi 2
x2 y2 2xyi
u x, y x2 y2,v x, y 2xy
w f z ez e x yi e xe yi e x cos y i sin y

华南理工大学 复变函数2.2(1)初等函数

华南理工大学 复变函数2.2(1)初等函数
z-平面 y
2i
w ez
w-平面 L'
u
B'
v
L
y0 i x0
B x
对数函数的定义：
和实变量一样，复变量的对数函数也 定义为指数函数的反函数： w 满足方程e z ( z 0)的函数w f ( z )，
称为对数函数，记为 Lnz。 w
注解、由于对数函数是指数函数的反函 数，而指数函数是周期为2i 的周期函数 ，所以对数函数必然是多值函数，事实 上，有：
d dz
ln z 1 z
所以，w ln z在原点和负实数轴上不连续， 从而不可导。w 指数函数z e 在区域{ v arg z }内 的反函数w ln z是单值的，所以 d ln z de1w e1w 1 dz z
dw
例1
计算Ln (1)的值。
解：因为 | 1 | 1， 1) ，所以有 arg(
z z
2、指数函数w e 是实变指数函数在复平
z
面上的解析拓广； 3、从定义知道， z x | e | e
Arge y 2k，k 0,1,2, z 4、e 0.
z
5、指数函数代数性质（ 加法定理）： 若z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2，则 z1 z2 x1 x2 e e e (cos y1 i sin y1 ) e (cos y2 i sin y2 ) x1 x2 e [cos( y1 y2 ) i sin( y1 y2 )] z1 z2 e z1 z2 z1 z2 即 e e e 。 z 6、指数函数 e 是周期为 i的周期函数： w 2 z 2i z 2i z z 即 e e e e (cos 2 i sin 2 ) e 。 7、指数函数的渐进性态 ：z 时，无

第三讲 复变函数 解析函数1

第三讲 复变函数 解析函数1

§2.1 解析函数的概念
1. 复变函数的导数定义 2. 解析函数的概念
一、解析函数的概念
1 复变函数的导数 定义：
函数w = f ( z ), z ∈ D; z 0 , z 0 + ∆z ∈ D
f ( z 0 + ∆z ) − f ( z 0 ) ∆w lim 若极限 lim = ∆z →0 ∆z → 0 ∆ z ∆z
f ( z ) ' f ' ( z ) g ( z ) − f ( z ) g' ( z ) , ( g ( z ) ≠ 0) g( z ) = 2 g (z)
由以上讨论 ⇒ P ( z ) = a 0 + a1 z + ⋯ + a n z n 在整个复平面上处处可 导； P(z) R( z ) = 在复平面上（ 点外） 在复平面上（除分母为 0点外）处 Q( z ) 处可导 .
(3)有界闭区域D上的连续函数必有界，且其模 在D上取到最大值与最小值;
例题2 讨论
f (z) = arg z
π
2
的连续性。
argz在区域 −π < argz < π内连续，
π
2
−π
−
π
θ
0 0
x
在负实轴 argz = π上不连续。
π
2
−
π
2
第二章 解析函数
第一节 第二节 第三节 解析函数的概念 函数解析的充要条件 初等函数
例2 问 f (z) = x +2yi 是否可导?
f (z +∆z) − f (z) [解] 这里 lim ∆z→0 ∆z ( x + ∆x) + 2( y + ∆y )i − x − 2 yi ∆x + 2∆yi = lim = lim ∆z →0 ∆z → 0 ∆x + ∆yi ∆x + ∆yi ∆x + 2∆yi ∆x = lim = 1. 取∆z = ∆x → 0 , lim ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆x ∆x + 2∆yi 2∆y 取∆z = i∆y → 0, lim = lim = 2. ∆z→0 ∆ + ∆ x yi ∆z→0 ∆y 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在.

华南理工大学复变函数课件1-1复数

华南理工大学复变函数课件1-1复数

例 1. 求(1+ i)1/3的所有值。 分析：乘方(或开方)运算和乘法类似， 应用指数形式或者三角形式，体 现为模的乘方(或开方)和辐角的
倍数(或等分)。
例 1. 求(1+ i)1/3的所有值。 解：写成三角形式
1 i 2[cos( 2k ) i sin( ， 2k )] 4 4
增加一假想点，称为无穷远点，记作。
N与对应，称C{}扩充复平面。
☺ 本节习题：
P19
1；4（2，3）；10
例 3. 设 P0P1…Pn-1为单位圆的内接正 n 边 形。求证：P0P1· P0P2·…·P0Pn-1 = n 分析：结论中是一些长度相乘，在复变 函数中与之对应的是模长。因此
若用 z0，z1，…，zn-1表示这些点，
结论改写为 |z0 - z1|· |z0 - z2|·…· |z0 - zn-1| = n 即 |(z0 - z1)· (z0 - z2)·…·(z0 - zn-1)| = n
z=r
i e
指数形式 Euler 公式 三角形式
复数运算
☺ 加法：向量加法平行四边形法则
y
z2
z1 z1+z2
O
x
复数运算
☺ 加法：向量加法平行四边形法则
☺ 乘法：指数形式
辐角相加、模相乘 z1z2 = r1r2ei(1+2) ☺ 乘法：三角形式和指数形式相同
例 1. 求(1+ i)1/3的所有值。
复变函数
主讲教师：刘 清
手 机：150-1840-0122 fdliuqing@
E-mail：
实域中两个真理之间最短路程是通过复域。 Jacques Hadamard

华中科技大学《复变函数与积分变换》-复习提纲

华中科技大学《复变函数与积分变换》-复习提纲

其中， zk 是 R(z) 在上半平面内的孤立奇点。 21
主要内容
复 变
四、计算定积分
函 数 与
3. I P( x) eiaxd x (a 0)
Q( x)
积
分 要求 (1) P(x) , Q(x) 为多项式，
变 换
(2) 分母 Q(x) 的次数比分子 P (x) 的次数至少高一次 ,
复 习
幂函数 w z e Lnz .
求导公式
f
( z )
u x
i
v x
.
28
主要内容
复 变
七、其它
函 数
柯西积分定理 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续，
与
积 分
则 C f (z)dz 0.
变
换 柯西积分公式 函数 f (z) 在 D 内解析，在边界 C 上连续， 复
习
则
f (z)
积
分
的展开区域 )分为若干个解析环。
变
换 复
比如 设函数的奇点为 z1, z2 , z3 ,
习
展开点为 z0 , 则复平面
被分为四个解析环：
z1 r2 r1 z2 z0 r3
z3
16
主要内容
复 变
三、利用留数计算闭路积分
函 数
1. 计算留数
与 积
法则 若 z0为 f (z) 的 m 级极点，则
分
变
(3) 分母 Q(x) 无实零点。
方法 设 R(z) P(z) , Q(z)
则 I
P( x) eiaxd x
Q( x)
2πi
k
Res[ R(z) eia z , zk ].

华南理工大学《复变函数》无乱码答案


∫ ∫ Cຫໍສະໝຸດ 2z21 + 2z
+
1
dz
=
1 2C
(z −
1 z 0 )(z −
z0 ) d z
∫ ∫ =
1 (z − z0 )−1 2 C 1 z − z0
dz+
1 (z − z0 )−1 2 C 2 z − z0
dz
=
1 2
⋅
2π i⋅ ( z 0
−
z0 )−1 +
1 2
⋅
2π i⋅ ( z 0
−
z0 )− 1
C 围 成 的 闭 圆 域 上 解 析 ,故 而
∫
C
z
1 −
2
dz
=
0.
( 2) 函 数
f (z) =
2z2
1 + 2z+
1在
C 内 有 两 个 奇 点 — — 方 程 2 z2 + 2z + 1 = 0 的 一 对 共 轭 复 根 , 记 作 z0 与
z0 , 则 由 复 合 闭 路 定 理 及 柯 西 积 分 公 式 有
ez + e−z 2
= 0,即
e 2z = − 1 , 从
而
2z =
L n(− 1) = ( 2k + 1)π i , k ∈ Z , 所 以
z
=
(k
+
1 2
)π
i
,
k
∈
Z
.
第三章 复变函数的积分
1. ( 1 ) 直 线 段 的 参 数 方 程 为 z = ( 3 + i )t , t 由 0 到 1 , 故 而
1 4π i .

[学习]复变函数与积分变换第1章函数与复变函数

2i 例1：设z1,z2为任意两个复数，求证：
2Re(z1 z2) z1 z2 z1z2
例2：设z 1 3i ，求 Re(z), Im(z)及z z i 1i
例3：设z1＝5
5i,
z2
3
4i.求
z1 z2
及
z2 z1
.
例4：将方程 x y 4 化为复数形式。 2
2例1
设
z
1 2i 3 4i
性质：
(1) z x2 y2 , zz | z |2 | z2 |;
(2) | x || z |,| y || z |, | z || x | | y |;
(3) || z1 | | z2 ||| z1 z2 || z1 | | z2 |
argz可由下列关系确定：
arctg
y x
,
2
例7：求下列方程所表示的曲线
1) | z i | 2;
2) | z 2i || z 2 |;
3) Im(i z ) 4.
2.复数的三角表示：复数z r(cos i sin ),
其中r | z |，为复数z的任意辐角。
例8：写出z1 1 i 3, z2 5 4i, z3 3 4i 的三角形式。
例：证明：lim z2 0 z0
例：问函数f (z) z 在原点的极限是否存在？
z
例：问下列函数在 z 0 的极限是否存在？
f (z) Re(z) |z|
[证] 令 z = x + i y, 则 f (z) x , x2 y2
x
由此得 u(x, y)
, v(x, y) 0.
x2 y2
3
3
3
,射线 的映像为 2 2 .

复变函数课件第一章第二至四节复变函数

内区域
光滑曲线:
光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区 间[a,b]上连续，且有连续的导函数，在 [a,b]上，其导函数恒不为零，则称此曲线
为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段 光滑曲线。
区域的连通性:
设D是一个区域，在复平面C上，如果D内
任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点
都属于D，则称D是单连通区域; 否则称D是多连通区域。
1 复变函数的概念
设在复平面C上以给点集E。如果 有一个法则f，使得，
z x iy E, w u iv C
同它对应，则称f为在E上定义了一个复变数函 数，简称为复变函数，记为w=f(z)。
注1、同样可以定义函数的定义域与值域； 注2、我们也称这样的函数为单复变函数，即
对E中的每个z，唯一存在一个复数w和它对
函数f也称为从E到C上的一个映射或 映照。把集合E表示在一个复平面上，称 为z-平面；把相应的函数值表示在另一个 复平面上，称为w-平面。从集合论的观
点，令
A { f (z) | z E},
记作A=f(E)，我们称映射w=f(z)把任意的z0 E
映射成为 w0 f (z0) A.
函数的几何意义:
例1:集合
{z | (1 i)z (1 i)z 0}
为半平面，它是一个单连通无界区域，其边 界为直线：
(1 i)z (1 i)z 0
x y 0
例2、集合
{z | 2 Re z 3}
为一个垂直带形，它是一个单连通无界 区域，其边界为两条直线：
Re z 2
Re z 3
例3、集合
{z | 2 arg(z i) 3}
v(x,
y)
v0
即当0 (x x0 )2 ( y y0 )2 时，有

华南理工大学《复变函数》无乱码答案


e iz − e − iz e iz + e − iz = − 2i ⋅ , 即 e 2i z = − 3 , 于 是 2i 2
2iz = L n(− 3 ) = l n | − 3| + i ( a r g(− 3 ) + 2k π ) = l n 3 + ( 2k + 1)π i , k ∈ Z ,
(2 )
∫( z − i ) e
0
i
−z
d z = ∫(i − z) d e − z
0
i
= e − z (i − z ) |i0 − ∫ e − z d(i − z )
0
i
= −i + ∫e
0
i
−z
dz
= − i − e− z |i0 = 1 − c os 1 + i (si n 1 − 1)
(3 )
∫z−
C
dz = 0 .
(5 ) 圆 C 包 含 点 z = ± i 但 不 包 含 z = ± 2i , 故
C
∫ (z
2
1 1 dz = 2 3 + 1)( z + 4 ) = =
C
∫z
2
1 1 dz− 3 + 1
C
∫z
2
1 dz + 4
1 ( z + i )− 1 dz + ∫ 3 C 1 z − i
1 0. ( 1 ) si n z = 0 , 即
即 z = kπ , k ∈ Z . ( 2) c os z = 0 , 即
e iz + e − iz = 0 , 即 e 2i z = − 1 , 故 而 2 2iz = L n( − 1) = l n | − 1| + i ( a r g(− 1) + 2k π ) = ( 2k + 1)π i , k ∈ Z ,
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复变函数第一章复数与复变函数第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章级数第五章留数理论及其应用第六章保形映射第一章复数与复变函数§1.1 复数§1.2 复变函数§1.1 复数复数的概念虚单位i _____21i =−复数z x iy =+，其中实数x 、y 分别称为z 的实部与虚部，记为Re z x =，Im z y =，注意：(1) 1112221212z x iy z x iy x x y y =+==+←⎯→==且； (2) 000z x iy x y =+=←⎯→==且； (3) 复数一般情况下不能比较大小。

复数的运算设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则 （1）121212()()z z x x i y y ±=±+±； （2）1212122112()()z z x x y y i x y x y =−++；（3）112122112222222222z x x y y x y x y i z x y x y +−=+++，20z ≠. 注意：复数的加法运算满足交换律、结合律；复数的乘法运算满足交换律、结合律以及乘法对于加法的分配律。

复数的共轭运算复数zx iy =+的共轭复数z x iy =−，且满足：（1）z z =，22zz x y =+，2z z x +=，2z z iy −=；（2）设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则1212z z z z ±=±，1212z z z z =，1122z z z z ⎛⎞=⎜⎟⎝⎠，20z ≠； （3）112222z z z z z z =，20z ≠.复数的几何表示复数zx iy =+←⎯→xoy 平面上的点(,)x yx 轴________实轴，y 轴________虚轴xoy 平面________复平面(或z 平面)复数zx iy =+←⎯→起点在原点终点为(,)x y 的平面向量复数z x iy =+的模||z =，且||||||z x y ≤+，||||x z ≤，||||y z ≤非零复数z 的幅角Ar g z 为x 轴正向到向量z 的转角，Ar g z 有无穷多值，其主值arg (,]z ππ∈−，且有arg 2Ar g z z k π=+ (k 为整数)其中arctan 00,020,0arg 2arctan 0,0arctan 0,00,0yx xx y x y z y x y x y x y xx y πππππ⎧>⎪⎪⎪=>⎪⎪⎪−=<⎪=⎨⎪+<>⎪⎪⎪−<<⎪⎪<=⎪⎩注意：（1）复数z 与其共轭复数z 关于实轴对称，且||||z z =，Ar g z =Ar g z −，22||||zz z z ==（2）设复数111z x iy =+，222z x iy =+，则12||z z −=1212||||||z z z z −≥−1212||||||z z z z +≤+复数的三角表示设z x iy =+，||r z =，Ar g z θ=，即cos ,sin x r y r θθ==则有复数的三角表示式(cos sin )z r i θθ=+若记cos sin i e i θθθ=+则有复数的指数表示式i z reθ=例设34z i =−−，则|34|5i −−==44arg(34)arctan arctan 33i ππ−−−=−=−−44345cos arctan sin arctan 33i i ππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞−−=−+−⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦4arctan 35i eπ⎛⎞−⎜⎟⎝⎠=复数的运算（续）（1）复数的乘积1212||||||z z z z =，1212()Arg z z Argz Argz =+ （2）复数的商2211||||z z z z =，2211z Arg Argz Argz z ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠，10z ≠（3）复数的幂设(cos sin )z r i θθ=+，对于任意正整数n ，有(cos sin )n n z r n i n θθ=+令01z =，1nn z z−=，有 1n n z z −=1cos sin (cos sin )n n n i n r n i n r θθθθ−==+ ()cos()sin()n r n i n θθ−=−+−从而对于任意整数n ，有(cos sin )n n z r n i n θθ=+.棣莫弗公式： (cos sin )cos sin n i n i n θθθθ+=+（4）复数的根对于巳知复数z 以及正整数n ，方程n w z =的根称为z 的n次根，记为w =，则当0z =时唯一地有0w =，当0z ≠时，设()||cos(arg )sin(arg )z z z i z =+，(cos sin )w i ρϕϕ=+，有 (cos sin )n n w n i n ρϕϕ=+()||cos(arg )sin(arg )z z i z =+，则||nz ρ=，arg 2n z k ϕπ=+， (k 为整数)即w =有n 个不同的值 111||cos (arg 2)sin (arg 2)nk w z z k i z k n n ππ⎛⎞=+++⎜⎟⎝⎠(0,1,,1)k n =−例 1212cos sin 44i i ππ⎛⎞+=+⎜⎟⎝⎠ 16112cos 2sin 23434k w k i k ππππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞==+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦， (0,1,2)k =，即 1602cos sin 1212w i ππ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦， 161222cos sin 123123w i ππππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦ 162442cos sin 123123w i ππππ⎡⎤⎛⎞⎛⎞=+++⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎝⎠⎣⎦的几何特征的n个不同的值是以原点为心，1||nz为半径的园内接正n边形的n个顶点。

复球面和无穷远点建立直角坐标系(,,)x y u ，并把xoy 平面取为z x iy =+平面，考察球面2221x y u ++=，则球面上异于(0,0,1)N 的点与复平面上的点(,,0)P x y 一一对应。

在复平面上增加一个假想的无穷远点与球面上的(0,0,1)N 点对应，记为∞，增加了∞的复平面称为扩充复平面，即球面2221x y u ++=上的点与扩充复平面上的点一一对应，称该球面为复球面。

注意：（1）扩充复平面上只有唯一的无穷远点；（2）复数∞的模约定为+∞，其实部、虚部及幅角均无意义，其余复数z 则称为有限复数，且有||z <+∞；（3）∞的四则运算，设a 为有限复数，则a a ±∞=∞±=∞， (0)a a a ⋅∞=∞⋅=∞≠， (0)0a a =∞≠，0a =∞，a ∞=∞ ∞±∞，0⋅∞，∞∞，00均无意义。

§1.2 复变函数1.平面点集全体复数作成的集合{}|,,z z x iy x y ==+∈设,0a r ∈> ，则有 {}(,)|,||B a r z z z a r =∈−< __________a 的r 邻域 {}(,)|,0||B a r z z z a r ∨=∈<−< _________a 的r 去心邻域 {}(,)|,||B a r z z z a r =∈−≤ ______a 为心r 为半径的闭圆盘设平面点集E ⊂ ，则有：E 的内点a ___________存在0r >使(,)B a r E ⊂；E 的外点b ___________存在0r >使(,)B b r E =∅∩； E 的边界点c _________对于任意0δ>，(,)B c δ内既有E 的点又有不属于E 的点E 的边界E ∂________ E 的全部边界点组成的集合注意：复平面 上的点被平面点集E 分成三类：E 的内点、E 的 外点、E 的边界点，E 的内点必属于E ，E 的外点必不属于E ，E 的边界点可能属于E 可能不属于E 。

开集E _________ E 的每个点都是其内点 闭集E _________ E 的所有边界点均属于E 有界集E _________存在0r >使(0,)B r E ⊃ 例{}(,)|,||B a r z z z a r =∈−< 是有界开集， {}(,)|,||B a r z z z a r =∈−≤ 是有界闭集，其边界为{}(,)|,||B a r z z z a r ∂=∈−=定义1.3 设平面点集E ⊂ ，a ∈ ，若对于任意0δ>，(,)B a E δ∨≠∅∩，则称a 为E 的聚点。

定理1.1 集合E 是闭集的充要条件是E 的聚点必属于E 。

注意： E 的聚点a 的意义是在a 的任意去心邻域内必有E 的点，E 的聚点不一定属于E 。

例{}{}1||20E z z =<≤∪，E 的聚点集为{}1||2z z ≤≤，E 的边界{}{}{}||1||20E z z z z ∂===∪∪2. 区域、曲线平面曲线：()()x x t a t b y y t =⎧≤≤⎨=⎩的复数形式为： ()()()z z t x t iy t a t b ==+≤≤例过两点111z x iy =+，222z x iy =+的直线的参数方程为：121121(),()x x t x x t y y t y y =+−⎧−∞<<+∞⎨=+−⎩其复数形式为： ()z z t =()()121121()()x t x x i y t y y =+−++−()()112211()()x iy t x iy x iy =+++−+()121z t z z =+−， ()t −∞<<+∞例以000z x iy =+为心，0r >为半径的圆周的参数方程为：00cos ,02sin x x r y y r θθπθ=+⎧≤≤⎨=+⎩其复数形式为：()z z t =()()00cos sin x r i y r θθ=+++()00cos sin x iy r i θθ=+++0i z re θ=+，(02)θπ≤≤注意：若平面曲线的方程为(,)0F x y =，则其复数形式一般为：,022z z z z F i ⎛⎞+−=⎜⎟⎝⎠但是，通常还可以根据曲线的特征求出其复数形式。

例如，以000z x iy =+为心，0r >为半径的圆周的方程为22200()()x x y y r −+−=，其复数形式为0||z z r −=，其实，利用()()00z z z z −−=220||z z r −=，该圆周还可以表示为20000z z z z z z r z z −−=−例 讨论方程0Az z B z B z C +++=所表示的曲线，其中,A C 为实数。