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全微分的定义

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全微分及其应用

全微分及其应用

常见方法
求解无约束最优化问题的方法包括梯度下降法、 牛顿法、拟牛顿法等。
牛顿法
牛顿法是一种基于目标函数二阶导数的迭代算法 ，通过构造海森矩阵并求解线性方程组来逼近最 优解。
有约束最优化问题
01
有约束最优化问题
有约束最优化问题是在存在约束条件限制下，寻找满 足所有约束条件的参数的最优解。
02 分类 有约束最优化问题可以分为等式约束问题和不等式约 束问题。
极值点判断
全微分还可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，则该点 可能是函数的极值点。
函数极值点的判断
极值点判断
全微分可以用于判断函数的极值点。如果函数在某一点的导数等于0，且该点的二阶导数大于0，则该点 是函数的极值点。
极值点类型判断
全微分还可以用于判断函数的极值点类型，如极大值点或极小值点。如果函数在某一点的二阶导数小于0， 则该点是极大值点；如果二阶导数大于0，则该点是极小值点。
全微分的几何意义
总结词
全微分在几何上表示函数图像在 某一点处的切线斜率。
详细描述
全微分可以理解为函数图像在某 一点处的切线的斜率，这个斜率 表示函数在该点处沿任一方向的 变化率。
全微分的性质
总结词
全微分具有线性性质、可加性、可乘性和链式法则等性质。
详细描述
全微分具有线性性质，即两个函数的和或差的微分等于它们各自微分的和或差；全微分具有可加性，即函数在两 点间的微分等于这两点间各自微分的和；全微分还具有可乘性和链式法则等性质，这些性质在求导和积分中有着 广泛的应用。
应用
全微分在几何上表示函数图像在某点处的切线斜率的变化 量。
全微分在优化、近似计算、泰勒级数展开等方面有广泛应 用。

一全微分的定义二可微的条件三小结-文档资料

一全微分的定义二可微的条件三小结-文档资料

二 元 函 数 y的 x和 对 对 偏 微 分
全增量的概念
z f (x, y)在 (x, y)的 如 果 函 数 点 某 邻 域 内 有 定 义 ，
P(x x, y y)为 设 这 邻 域 内 的 任 意 一 点 ， 则 称
这 两 点 的 函 数 值 之 差 f (x x, y y) f (x, y) x, y的 为 函 数 在 点P对 应 于 自 变 量 增 量 全 增 量 ，
其 中 A, B 不 依 赖 于 x、 y 而 仅 与 x、 y 有 关 ，
( x )2 ( y )2 ， 则 称 函 数 z f ( x , y ) 在 点
( x, y) 可 微 分 ， Ax By 称 为 函 数 z f ( x, y) dz ， 即 在点 ( x, y)的全微分，记为
z A x B y o ( ) 总成立,

特 别 地 ， 当 时 ， 上 式 仍 成 立 ， y 0
| x|, 此 时
A x o (| x |), f ( x x , y ) f ( x , y )
f ( x x , y ) f ( x , y ) lim A z , x x x 0
z [ f ( 0 , 0 ) x f ( 0 , 0 ) y ] x y
x y ( x )2 ( y )2
,
如 果 考 虑 点 沿 着 直 线 趋 近 于 ， y x ( 0 , 0 ) P ( x , y )
x y
则
( x ) 2 ( y ) 2
dz A x B y .
函 数 若 在 某 区 域 D 内 各 点 处 处 可 微 分 ， 则 称 这 函 数 在 D 内 可 微 分 .

§8.4全微分与梯度

§8.4全微分与梯度

同样
f y (0 , 0 ) = 0
x + y ≠0
2 2
时
1 2x cos 2 f x ( x , y ) = 2 x sin 2 − 2 2 2 x + y x + y x 1 2y f y ( x , y ) = 2 y sin 2 − 2 cos 2 2 2 x + y x x + y lim f x ( x , y ),
∂z ∂z 2 解： = y +2x ， = 2 xy ， ∂x ∂y
∂z ∂z =6 ， ∂ x (1, 2) ∂y
=4 ，
(1, 2)
dz = 6dx + 4dy ， grad z = {6, 4} 。
例 4．求函数 u = e x + z sin( x + y ) 的全微分。
∂ u x+ z 解： =e [sin( x + y ) + cos( x + y )] ， ∂x
证明： ∆z = f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y )
= [ f ( x + ∆x, y + ∆y ) − f ( x, y + ∆y )]+[ f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )]
= f x ( x + θ1∆x, y + ∆y ) ∆x + f y ( x, y + θ 2 ∆y )∆y
∂z ∂z 即 grad z = { , } 。 ∂x ∂y
一般地，若 n 元 函数 u = f ( M ) = f ( x1 , x 2 ,L x n ) ，
在点 M 处可微，则在点 M 处有 ∆u = du + o( ∆M ) ，

3.全微分

3.全微分

课堂练习
x y 2 2 ,x y 0 4 2 在点 (0,0) 处 1. 讨论函数 z x y 2 2 0 , x y 0
2
函数的全微分是否存在？
x y 2 2 , x y 0 4 2 在点 (0,0) 处 1. 讨论函数 z x y 2 2 0 , x y 0
第三节
第九章
全微分
y Ax o( x)
d y f ( x)x
应用
一元函数 y = f (x) 的微分
近似计算 估计误差
本节内容:
一、全微分的定义
*二、全微分在近似计算中的应用
偏增量与全增量 根据一元函数微分学中增量与微分的关系得
f ( x x , y ) f ( x , y ) f x ( x , y )x f ( x , y y ) f ( x , y ) f y ( x , y ) y
从而得到 z 的绝对误差约为
绝对误差与相对误差 从而得到 z 的绝对误差约为
z z x z y ;
x y
z 的相对误差约为
z z z x y x y . |z| z z
例6 测得矩形盒的边长为75cm、60cm以及40cm, 且可能的最大测量误差 为0.2cm. 试用全微分估计 利用这些测量值 计算盒子体积时可能带来的最大 误差. 解
y, 则
| z || z x | x | z y | y .
内容小结
1. 微分定义:
定义
z
o ()
(x) 2 (y ) 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y )d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 函数可导

全微分 公式

全微分 公式

全微分公式全微分是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。

全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。

在物理学、工程学和经济学等领域，全微分在描述变量之间的关系和进行近似计算时都起到了重要作用。

在微积分中，全微分是指一个函数在某一点的微小变化与自变量的微小变化之间的关系。

全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。

假设有一个函数f(x,y)，其自变量分别为x和y，全微分可以表示为df = ∂f/∂x * dx + ∂f/∂y * dy。

其中，∂f/∂x和∂f/∂y 分别表示函数f对x和y的偏导数，dx和dy分别表示自变量x和y 的微小变化量。

全微分的概念可以用来描述函数在某一点的局部变化情况。

例如，假设有一个函数f(x,y) = x^2 + y^2，当x和y分别发生微小变化dx和dy时，函数值的变化量df可以用全微分来表示。

根据全微分的定义，df = 2x * dx + 2y * dy。

这个式子说明了函数值的微小变化量df与自变量的微小变化量dx和dy之间的关系。

全微分的计算方法可以通过泰勒展开式来推导得到。

泰勒展开式可以将一个函数在某一点附近进行近似表示。

假设有一个函数f(x,y)，在点(x0,y0)处进行泰勒展开，展开的结果可以表示为f(x,y) ≈ f(x0,y0) + ∂f/∂x(x0,y0) * (x - x0) + ∂f/∂y(x0,y0) * (y - y0)。

其中，∂f/∂x(x0,y0)和∂f/∂y(x0,y0)分别表示函数f在点(x0,y0)处的偏导数。

通过将自变量的微小变化量dx和dy带入泰勒展开式，可以得到函数值的微小变化量df。

全微分在物理学、工程学和经济学等领域都有广泛的应用。

在物理学中，全微分可以用来描述物理量之间的关系，例如速度、加速度和力之间的关系。

在工程学中，全微分可以用来描述工程系统的变化情况，例如电路中电压和电流之间的关系。

全微分与链式法则

全微分与链式法则
全微分
对于多元函数$f(x, y)$，其全微分为$frac{partial f}{partial x}dx + frac{partial f}{partial y}dy$，表示函数在各个方向上 的变化量。
链式法则
对于复合函数$g(u)$和$u = f(x)$，其链式法则是$frac{d}{dx}g(f(x)) = g'(f(x)) cdot f'(x)$。
几何意义
链式法则的几何意义
链式法则是通过将一个复合函数的导数问题转化为多个简单函数的导数问题，从而利用 已知的导数求解复合函数的导数。
几何意义的具体解释
在几何上，链式法则可以理解为在曲面上沿着某条路径求方向导数的问题。通过链式法 则，可以将一个复杂的方向导数问题分解为多个简单的方向导数问题，从而方便求解。
03
全微分的应用
参数方程确定的函数
参数方程确定函数
当一个函数由参数方程给出时，我们可 以使用全微分来求导，从而了解函数在 某一点的切线斜率。
VS
举例
假设函数 $y = sqrt{x}$ 由参数方程 $x = t^2, y = t$ 确定，则全微分为 $dy = frac{1}{2sqrt{x}}dx$。
定义
泰勒公式
对于一个在点$x_0$处具有$n$阶导数的函数$f(x)$，其泰勒公式为$f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) + frac{f''(x_0)}{2!}(x x_0)^2 + ldots + frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x - x_0)^n + R_n(x)$，其中$R_n(x)$是余项。
几何意义

6.3全微分及其应用

f 'y (x0, y0 ) 不全为0，| x |,| y | 充分小时，有
z dz f 'x (x0 , y0 ) x f 'y (x0 , y0 ) y 即
f (x, y) f (x0 , y0 ) f 'x (x0 , y0 ) (x x0 ) f 'y (x0 , y0 )( y y0 ) f (x, y) f (x0 , y0 ) f 'x (x0 , y0 ) (x x0 ) f 'y (x0 , y0 )( y y0 )
且
u x
f
'x 2xf
'z
,
u y
f
'y
f
'z
例6.3.4
已知 z3
3xyz
a3,求
z , z 。 x y
解：方程两边同时微分，有
d (z3 3xyz) da3,
由全微分的形式不变性，得
d (z3) d (3xyz) 0,
3z2dz (3yzdx 3xzdy 3xydz) 0,
得 (1.02)1.99 12 2121 0.02 12 ln1 (0.01)
1 0.04 1.04
例6.3.6有一个圆柱体，其底面半径由20cm增大到20.05cm， 高由50cm减小到49.5cm,体积V大约改变了多少？
解:已知圆柱体的体积
V r2h
取 r0 20, h0 50, r 0.05, h 0.5, 而
第六章 多元函数微积分
全微分及其应用
6.3.1 全微分的概念 6.3.2 全微分在近似计算中的应用
x
一、全微分的概念
1.定义
设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某邻域内有定义，分 别给自变量x,y以增量 x, y ，则称

全微分运算法则

全微分运算法则全微分运算法则是微积分中的一个重要概念。

它能够帮助我们更好地理解微分的性质，从而更加高效地进行微积分运算。

下面，我们将介绍全微分运算法则的基本概念和运算规则。

1. 全微分的定义全微分是一个函数的微分在自变量全部改变一个微小量时，函数增量的变化量。

如果一个函数f(x,y)在点(x0,y0)处存在偏导数，则称f(x,y)在(x0,y0)处是可全微的。

全微分：</br>δf=f(x+δx,y+δy)-f(x,y)=∂f/∂x δx + ∂f/∂y δy2. 全微分运算的性质(1) 全微分是一个线性算子，即对于任意实数α，β，有：δ(αf+βg) = α δf + β δg(2) 全微分满足“可加性”，即：δ(f+g) = δf + δg(3) 全微分是一个“0级”量，即δ^2f=δ(δf)=03. 求全微分的运算法则(1) 对于一个函数f(x,y,z)而言，它的全微分可以表示为：δf = (∂f/∂x) δx + (∂f/∂y) δy + (∂f/∂z)δz(2) 对于一元函数f(x)，它的全微分可以表示为：δf = f′(x) δx(3) 对于多元函数f(x1, x2, ..., xn)，它的全微分可以表示为：δf = (∂f/∂x1) δx1 + (∂f/∂x2) δx2 + ... + (∂f/∂xn) δxn4. 应用举例(1) 求函数f(x,y) = x^3 + y^3 - 3xy在点(1,1)处的全微分。

解：根据定义，全微分为：δf=∂f/∂x δx + ∂f/∂y δy而f(x,y)=x^3+y^3-3xy，所以有：∂f/∂x=3x^2-3y，∂f/∂y=3y^2-3x将点(1,1)代入得：∂f/∂x=0，∂f/∂y=0于是，全微分为：δf=0(2) 求函数f(x,y) = sin x cos y在点(π/2, π)处的全微分。

解：根据定义，全微分为：δf=∂f/∂x δx + ∂f/∂y δy而f(x,y) = sin x cos y，所以有：∂f/∂x=cos x cos y；∂f/∂y=-sin x sin y将点(π/2, π)代入得：∂f/∂x=0，∂f/∂y=-1于是，全微分为：δf=-sin x sin y δy以上就是全微分运算法则的相关介绍，希望对您有所帮助！。

7.3 全微分

x →0 y →0
lim f ( x, y ) = 0 = f (0,0)
故函数在点 (0, 0) 连续 .
2009年7月5日星期日 15
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2) ∵ f ( x,0) ≡ 0 , ∴ f x (0,0) = 0 ; 同理 f y (0,0) = 0. 3) 当( x, y ) ≠ (0,0) 时 , 1 x2 y 1 f x ( x, y ) = y ⋅ sin 2 − cos 2 2 2 3 x +y (x + y ) x2 + y2
∂u ∂u ∂u du = dx+ d y + dz ∂z ∂x ∂y
记作 d x u
dy u
dz u
d x u , d y u , d z u 称为偏微分. 故有下述叠加原理 du = dx u + d y u + dz u
2009年7月5日星期日 9
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z = e x y 在点 (2,1) 处的全微分. 例1 计算函数 ∂z ∂z xy ye , xe x y = = （自学课本 例1） 解: ∂y ∂x ∂z = e2 , ∂ x (2,1)
当点 P ( x, y ) 沿射线 y = x 趋于 (0,0) 时,
1 x 1 ⋅ sin − ⋅ cos ) = lim ( x 3 2 |1x | 2 2 | x | x →0 2| x| xy sin , ( x, y ) ≠ (0,0) x 2 在点(0,0)不连续 ; + y2 极限不存在= ∴ f x ( x, y ) f ( x, y ) , 0, ( x, 同理 , f y ( x, y ) 在点(0,0)也不连续. y ) = (0,0)

全微分资料

§8.3 全微分一、全微分的定义给定二元函数zf x y =(,)，且f x y x (,)f x y y (,)均存在，由一元微分学中函数增量与微分的关系，有x y x f y x f y x x f x ∆⋅≈-∆+),(),(),(y y x f y x f y y x f y ∆⋅≈-∆+),(),(),(上述二式的左端分别称之为二元函数z f x y =(,)对x 或y 的偏增量，而右端称之为二元函数zf x y =(,)对x 或y 的偏微分。

为了研究多元函数中各个自变量都取得增量时，因变量所获得的增量，即全增量的问题，我们先给出函数的全增量的概念。

【定义】 设二元函数zf x y =(,)在点P x y (,)的某邻域内有定义，点'++P x x y y (,)∆∆为该邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差f x x y y f x y (,)(,)++-∆∆为函数在点P x y (,)处对应于自变量增量∆x 与∆y 的全增量，记作∆z 。

即 ∆∆∆zf x x y y f x y =++-(,)(,) (1)一般说来，全增量∆z的计算往往较复杂，参照一元函数微分的做法，我们希望用自变量增量∆x与∆y的线性函数来近似地代替，特引入下述定义。

【定义】如果函数z f x y=(,)在点(,)x y的全增量∆∆∆z f x x y y f x y=++-(,)(,)可表示成为∆∆∆z A x B y o=⋅+⋅+()ρ (2)其中，A,B为不依赖于∆x与∆y，而仅x与y有关，ρ=+∆∆x y22则称函数f x y(,)在点(,)x y处可微分。

而A x B y⋅+⋅∆∆称为函数z f x y=(,)在点(,)x y处的全微分，记作dz A x B y=⋅+⋅∆∆二、函数可微分的条件【定理一】（必要条件）如果函数z f x y=(,)在点(,)x y处可微分，则函数在点(,)x y处的偏导数∂∂zx, ∂∂zy必定存在，且函数在点(,)x y的全微分为dzzxxzyy=⋅+⋅∂∂∂∂∆∆(3)证明：设函数z f x y =(,)在点P x y (,)可微分。

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