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抽象函数常见题型解法

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1.已知 域。 2.已知
0 时， f ( x) 1 ， 且对于任意实数 x、 y， 有 f ( x y ) f ( x) f ( y ) ， 求证： f ( x )
例 4. 设 f（x）定义于实数集上，当 x 在 R 上为增函数。 证 明 ： 在 f ( x y ) f ( x) f ( y ) 中 取
f g ( x) 的定义域，求 f ( x) 的定义域
f g ( x) 的定义域为 m ≤ x ≤ n ，则由
x y0
，得
f (0) [ f (0)]
若 矛盾
2
其解法是：若
m ≤ x ≤ n 确定的 g ( x) 的范围即为 f ( x) 的定义域，也就 是说 g ( x ) 的值域就是 f ( x ) 的定义域。
例 1. 已知函数 的定义域．
令 x 0，y 0 ， 则 f ( x) 0 ， 与 f ( x) 1 f ( 0) 0 ，
所以 f (0) 0 ，即有 f (0) 1 当
f ( x) 的定义域为 1 ， 5 ，求 f (3 x 5)
x0
时 ，
f ( x) 1 0 ； 当
分析：该函数是由 u
x 0，f ( x) 1 0 而 f ( x ) f ( x ) f (0) 1
所以 f ( x ) 又当 x
1 0 f ( x)
4 10 ≤ x≤ ． 3 3
故函数 例
0 时， f (0) 1 0 所以对任意 x R ，恒有 f ( x) 0 设 x1 x2
f ( x) 与 f ( x)
3 ≤ x ≤ 5， 解得 4 ≤ x ≤ 0 ． 3 ≤ 2 x 5 ≤ 5，
f ( x)( x R，x 0) 对任意不等于零的
所以函数 ( x ) 的定义域为 4， 0 ．
二、解析式问题 一般使用替代法。如果把 x 和-x 分别看作两个变量，怎样 实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键。通常情况下， 使一个变量在关系中“消失” ，进而保留一个变量，是实现这种 转化的重要策略。
试判断函数 （x） f 实数 x1、x 2 都有 f ( x1 x 2 ) f ( x1 ) f ( x 2 ) ， 的奇偶性。 解：取 x1 以 f (1) 0 又取
1，x 2 1 得： f (1) f (1) f (1) ，所
得 ： f (1) f (1) f ( 1) ， 所 以
·研究探讨·
抽象函数常见题型解法
安徽省太和中学
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些 体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽 象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵 活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过 局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归 法、数形结合法等） ，这样就能突破“抽象”带来的困难，做到 胸有成竹。另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比 和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性 质来指导我们解决抽象函数问题的方法。 一、定义域问题 多为简单函数与复合函数的定义域互求。分两大类：
三、单调性问题 一般采用赋值法，抽象函数所满足的关系式，应看作给定 的运算法则，则变量的赋值或变量及数值的分解与组合都应尽 量与已知式或所给关系式及所求的结果相关联。直接利用函数 单调性的定义证明，进一步解决不等式问题。
f ( x) 的定义域，求 f g ( x) 的定义域 其解法是：若 f ( x ) 的定义域为 a ≤ x ≤ b ，则在 f g ( x) 中， a ≤ g ( x) ≤ b ，从中解得 x 的取值范围即为 f g ( x) 的定义
， 求 必有 所以
2. 若
f ( x)
的 定 义 域 为
y f ( x) 在 R 上为增函数。
( x) f ( x) f (2 x 5) 的定义域．
解：由
f ( x)
的 定 义 域 为 3， 5 ， 则
( x)
四、奇偶性问题 抽象函数的奇偶性的判断需利用函数奇偶性的定义，找准 方向， 巧妙赋值， 合理， 灵活地变形配凑， 找出 的关系。 例 5. 已知函数
x 2 x1 0，f ( x 2 x1 ) 1
所
，
则 以
4 10 ． f (3 x 5) 的定义域为 ， 3 3
f ( x 2 ) f [ x1 ( x 2 x1 )] f ( x1 ) f ( x 2 x1 ) f ( x1 )
5 3，
刘彦军
例 3.
2
已 知
f(x) 是 偶 函 数 ,g(x) 是 奇 函 2 , 求 f(x),g(x)的表达式.
f ( x) g ( x) x2 x 2, f ( x) x2 2, 解析 :由已知, 得 解得 2 f ( x) g ( x) x x 2, g ( x) x, 2 f x x 2,g x x.
x1 x 2 1
272
·研究探讨·
f ( 1) 0 再 取 x1 x，x 2 1
因为 则 f ( x) f (1) f ( x) ， 即 所以 f（0）=0 又已知 f（x－2）=－ f（x） 令 x=2，得 f（0）=－ f（2） 所以 f（2）=－ f（0）=0 故①成立。 （2）因为 f（x－2）=－ f（x） ，所以 f ( x ) f x 2 f x 2
x0
时 ，
3 x 5 和 f (u ) 构成的复合函数， 其中 x 是自变量， u 是中间变量，由于 f ( x ) 与 f (u ) 是同一 个 函 数 ， 因 此 这 里 是 已 知 1 ≤ u ≤ 5 ， 即 1 ≤ 3 x 5 ≤ 5 ，求 x 的取值范围． 解 ： f ( x ) 的 定 义 域 为 1 ， 5 ， 1 ≤ 3 x 5 ≤ 5 ，

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高一数学抽象函数常见题型解法综述

高一数学抽象函数常见题型解法综述

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x ，得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4-抽象函数及其性质8大题型(解析版) (1)

重难点2-4 抽象函数及其性质8大题型抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一个函数，由抽象函数构成的数学问题叫做抽象函数问题。

抽象函数问题能综合考查学生对函数概念和各种性质的理解，但由于其表现形式的抽象性和多变性，学生往往无从下手，这类问题是高考的一个难点，也是近几年高考的热点之一。

一、抽象函数的赋值法赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，复制规律一般有以下几种： 1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解； 2、通过()()12-f x f x 的变换判定单调性；3、令式子中出现()f x 及()-f x 判定抽象函数的奇偶性；4、换x 为+x T 确定周期性. 二、判断抽象函数单调性的方法：（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.①若给出的是“和型”抽象函数() =+y x f ，判断符号时要变形为：()()()()111212)(x f x x x f x f x f -+-=-或()()()()221212)(x x x f x f x f x f +--=-;②若给出的是“积型”抽象函数() =xy f ，判断符号时要变形为：()()()112112x f x x x f x f x f -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-或()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=-212212x x x f x f x f x f . 三、常见的抽象函数模型1、()()()+=+f x y f x f y 可看做()=f x kx 的抽象表达式；2、()()()+=f x y f x f y 可看做()=x f x a 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；3、()()()=+f xy f x f y 可看做()log =a f x x 的抽象表达式（0>a 且1≠a ）；4、()()()=f xy f x f y 可看做()=a f x x 的抽象表达式. 四、抽象函数中的小技巧1、很多抽象函数问题都是以抽象出某一类函数的共同特征而设计出来的，在解决问题时，可以通过类比这类函数中一些具体函数的性质去解决抽象函数的性质；2、解答抽象函数问题要注意特殊赋值法的应用，通过特殊赋值法可以找到函数的不变性质，这个不变性质往往是解决问题的突破口；3、抽象函数性质的证明是一种代数推理，和几何推理一样，要注意推理的严谨性，每一步推理都要有充分的条件，不可漏掉一些条件，更不要臆造条件，推理过程要层次分明，书写规范。

抽象函数问题常见题型及解法综述

抽象函数问题常见题型及解法综述

ｆ（ ｘ） ＋厂（ ） ， 求 ，（ ３ ） 、 厂（ ９ ） 的值 。
解： 取 ｚ一 ２ ， 一３ ， 得 ｆ（ ６ ） 一 ｆ（ ２ ） ＋ ｆ（ ３ ） 。 又
，（ ２ ） 一 １ ， 厂（ ６ ） 一 １
，
．
函 数的 基本 概念 问 题 ．
１ ． 抽 象 函数 的定义 域 问题
已知 函数 厂（ ｚ） 满足： 对 任 意 ｚ、 ∈Ｒ，
３ ． 抽 象 函 数 的 值 域 问 题
侧 ２ 已知函数 厂 （ ｚ ） 的定义域是［ 一１ ， ２ ］ ， 求
函数 ｆ（ １ ｏ ｇ ￣（ ３ 一ｚ） ） 的定义 域 。 解： 由函数 厂（ ） 的定义域是［ 一１ ， ２ ］ ， 得： 在 函
的定 义域是 Ａ， 求 函 数 ｆ（ （ ｚ） ） 的 定 义 域 。 正 确 理 解 函 数 符 号 及 其 定 义 域 的 含 义 是 求 解 此 类 问 题 的 关
对 任 意 的 ｚ∈Ｒ， 有 ｆ（ Ｏ ） 一ｆ（ ｚ） ＋ｆ（ 一 ） 一０
厂（ 一． ２ Ｃ ） 一 一 ，（ ） 。
（ １ ） 求证 ： ｆ（ ｘ ） 是 奇 函数 。
（ ２ ） 证明 ： 厂（ ） 是 减 函数 。 （ ３ ） 当 ｚ∈［ 一３ ， ３ ］ 时， 求 ｆ（ ｘ ） 的值 域 。
解： （ １ ） 令 ｚ： 一０ ， 得 ｆ（ ０ ） 一ｆ（ ０ ） ＋ｆ（ ０ ）
ｆ（ Ｏ ） 一０ 。
质 通过 代 数表 述 给 出 。抽 象 函数 的相 关 题 目往 往 是
是 Ａ 中的元 素 ， 而不能是 以外 的元 素 ， 否则 ， ｆ（ ｘ）
无 意 义。 因此 ， 如 果 ，（ 。 ） 有 意义 ， 则 必有 ｚ 。 ∈Ａ。
抽象函数解题-题型大全(例题-含答案)

抽象函数解题-题型大全(例题-含答案)

高考抽象函数技巧总结由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号()f x 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性；提高解题能力，优化学生数学思维素质。

现将常见解法及意义总结如下： 一、求表达式： 1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

例1：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1xf x x-=- 2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x .此解法简洁，还能进一步复习代换法。

例2：已知3311()f x x x x+=+，求()f x解：∵22211111()()(1)()(()3)f x x x x x x x x x x+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥ ∴23()(3)3f x x x x x =-=-，(|x |≥1)3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。

例3． 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4,求()f x .解:设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+=22222()24ax bx a c x x +++=++比较系数得2()41321,1,2222a c a abc b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩∴213()22f x x x =++ 4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性,求分段函数的解析式.例4.已知y =()f x 为奇函数,当 x >0时,()lg(1)f x x =+,求()f x解:∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求x <0时的表达式。