上海市崇明区复数专题(有答案)

2023年上海市崇明区高考数学二模试卷1. 若不等式，则x的取值范围是______ .2. 设复数z满足是虚数单位，则______ .3. 已知集合，，若，则实数a的值为______.4. 已知函数，的最小正周期为1，则______ .5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于______ .6. 在的展开式中常数项是____________用数字作答7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩单位：分，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是______ .8. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温141286用电量度22263438由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为时，用电量的度数约为______9.已知抛物线上的两个不同的点A，B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为______.10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定.面对这些不同和不确定，需要作出假设.例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设______ .11. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是______ .12. 若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是______ .13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为( )A. B. C. D.14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示.则有( )A. ，B. ，C. ，D. ，15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”．如图，在堑堵中，，且下列说法错误的是( )A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF16. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，⋯，在，之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则( )A. 当时，数列单调递减B. 当时，数列单调递增C. 当时，数列单调递减D. 当时，数列单调递增17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，求直线与平面ABP所成角的大小；求点A到平面的距离.18. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，求角B大小；设，当时，求的最小值及相应的19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图不用说明理由20. 已知椭圆：，点A，B分别是椭圆与y轴的交点点A在点B的上方，过点且斜率为k的直线l交椭圆于E，G两点.若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，求实数m的值；若，求的面积；设直线AE与直线交于点H，证明：B，G，H三点共线.21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有若，，求实数a的取值范围；证明：方程至多只有一个实根；若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有答案和解析1.【答案】【解析】解：，则，解得，的取值范围是故答案为：根据绝对值的几何意义解不等式．本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】0【解析】解：集合，，，或，当时，，，不成立；当时，，，，成立．故实数a的值为故答案为：由集合，，，得或，由此能出实数a的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．4.【答案】【解析】解：，依题意，；故答案为：根据三角函数周期与角频率的关系求解．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．5.【答案】4【解析】解：，当，即，时等号成立，故的最小值为故答案为：直接利用基本不等式计算得到答案．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：要求常数项，即，可得代入通项公式可得故答案为：利用二项式的通项公式让次数为0，求出就可求出答案．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7.【答案】【解析】解：因为，故这15人成绩的第80百分位数为故答案为：计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案．本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．8.【答案】40【解析】解：根据表格数据可得，，，则样本中心点为根据回归直线性质，经过样本点中心，则有，得，故回归直线为，当，故答案为：利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，因为点A，B的横坐标恰好是方程的根，所以，，联立，消y得，则，，所以，，所以，，经检验，符合题意，所以直线AB的方程为故答案为：设直线AB的方程为，，，根据题意结合韦达定理可得，，联立方程，再次里由韦达定理求得，，从而可求出k，b，即可得解．本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一【解析】解：根据题意和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等．故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可．本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．11.【答案】【解析】解：依题意，设，，根据，即，即，整理得显然，否则，，与已知矛盾，故，可得由，即，则有，故，解得故故答案为：根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解．本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，由时，；得其关于原点对称后的解析式为，问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点．对于，求导，令，解得，即：当时，单调递增；令，解得：即：当时，单调递减，为其极大值点，，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即故答案为：由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．13.【答案】D【解析】解：A项中，，则是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；B项中，，是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；C项中，，则为非奇非偶函数，不符合；D项中，，是奇函数，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，符合．故选：根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：根据正态分布函数的性质：是正态分布曲线的对称轴；反应的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图象可得，故选：根据正态分布的性质即可得解．本题主要考查正态分布曲线的特点，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，在堑堵中，，侧棱平面ABC，A选项，，又，且，则平面，四棱锥为“阳马”，故A正确；B 选项，由，即，又且，，平面，，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，四面体为“鳌臑”，故B正确；C 选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面AEF，故D正确；故选：根据“阳马”和“鳌臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面AEF，进而判断D的正误．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：数列是各项为正数的等比数列，公比为q，由题意，，，对于，，这个数列是单调递增的数列，最小的一项即第一项为，则是否大于1，不确定，A，B错误，当时，，则此时必有，则数列单调递增，则D 项正确，C项错误．故选：将表示出来，由于数列各项为正数，若，才是递增数列，围绕条件进行讨论是否大于本题考查递推式，考查递增数列需满足的条件，属于中档题．17.【答案】解：由题意知，直线与平面ABP的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面ABP的夹角为设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为【解析】根据圆柱的特征可得直线与平面ABP的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；利用等体积转化法即可求解．本题考查线面角的定义及其求解，考查点到平面的距离以及等体积法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由已知条件得，由正弦定理得，即，，则，，，又，；，，，则的最小值，其中，即当时，有最小值【解析】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．19.【答案】解：设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A…分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；…分的所有可能取值为0，1，2，…分，，分X的分布列为X012P…分；…分月3日…分由直方图知，微信记步数落在，单位：千步区间内的人数依次为，，，，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．【解析】分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．服从超几何分布，确定X的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．20.【答案】解：若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，则，解得若，则过点且斜率为k的直线l的方程为：，椭圆的方程为：设，，联立，消去y整理得，解得，则，故，于是依题意知，，则点B到的距离为，故证明：设，，联立，得到，由，得到直线AE方程为：，令，解得，即，又，，为说明B，G，H三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：，而，，，，于是上式变为：，由韦达定理，，于是，故，命题得证．【解析】根据离心率的定义计算即可；联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；联立直线和椭圆方程，先表示出H坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：因为，，所以，由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知，在上，函数和均单调递增，所以，即实数a 的取值范围是证明：令，故，所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；证明：设的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设，，因为函数是周期为2，取一个周期，且，则有，若，则成立，若，设，即，故，且，则，所以成立，综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．【解析】根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；利用函数是定义域为R 的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编复数亠、填空题zi =1 +i , Z2 =2+ xi (x 亡R),若zi 乙亡R，则x 的值等于2、+（奉贤区2015届高三上期末）若1 i是实系数一元二次方程p q+3、（长宁区2015届高三上期末）2复数1~2i _■1 ----------.（i是虚数单位）4、（虹口区2015届高三上期末）若复数1+■ ZIZ满足2 ii（i为虚数单位），则复数2+ =5、（嘉定区2015届高三上期末）设i是虚数单位，-则2i * 3芒&、（金山区2015届高三上期末）如果复数2 ~bi z =1 i1 j（b R）的实部与虚部相等，则ZZ的共觇复数（崇明县2015届高三上期末）设复数+ + =2 px qx 0的一个根，则7、（浦东区2015届高三上期末）已知复数z满足z（1二厅2（ i为虚数单位），则z8、（青浦区2015届高三上期末）若复数3i£i为虚数单位），则Z的值为______________9、（松江区2015届高三上期末）若复数z 4z满足0,则z的值为▲1 Z + ・=10、（徐汇区2015届高三上期末）设i是虚数单聊复数3 = — + Y z满足(2 i) z 5,则z={ = +3+3 +(|| +(0z =11> （杨浦区2015届高三上期末）已知= = • €集合B {x| x z z,z、z A} （zi可以等于z2）,则集合B的子集个数为___________________________ =12 12 + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2ia12、（闸北区2015届高三上期末）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a1 2i=+ 一 +二、选择题1> （宝山区2015届高三上期末）设z 1 i （i是虚数单位），则复数2对应的点位于（）=+ e z e（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2、（（黄浦区2015届高三上期末）已知z a bi （a、b R，i是虚数单位），^,z2 C ,定义:D z == a + b , D(zi,z 2)引乙一Z2||・给出下列命题：()llzll Illi€>(1)对任意z C,都有D(z) 0；⑵若z 是复数z 的共觇复数，则D(z) D(z) 恒成立；= € =(3) 若 D(z ) D(z ) (z 、z C),则 z z ；121212€ < +(4) (理科)对任意 Z1> Z 2> Z J C,结论 D (Z1 ,Z 3)D (Z1,Z2)D(Z 2,Z 3)恒成立［答］( )・A ・⑴⑵⑶⑷B •⑵⑶⑷3、(金山区 2015届高三上期末)复数则a 的取值范围是 (A ).(A) a>1 (B) a>0 (C)4、(静安区2015届高三上期末)已知+ Z数的点是r 4p1 i32•T 1…十…:……w • I • 1-4 -3 J ・1 1 2： 3 4X■ ■ ■ ■ + • ■ ■ ■ ■ ..c-2•3c ・⑵⑷ D • (2)(3)乙= a+bi( a 、b R, i 为虚数单位)，z 2=--I <a<1 (D) a< - 1 或 a> 1i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数z ,贝!J 其中真命题是b+i ,且| 乙|v| z2I ,则表示复参考答案一、填空题二、选择题1、A2、C3、C4、D12、4 A. M B±D-2 2 2i5i 5、-1 6、1-i 7 、均 8 59、 2i 10 >511. 16。

复数的模知识点：1. 复数),(,R b a bi a z ∈+=对应的点),(b a z 到坐标原点的距离叫做复数z 的模，记作||z ,由模的定义，可知22||||b a bi a z +=+=2. 复数),(,R b a bi a z ∈+=，若||||,0|;|||,0b z a a z b ====则若则0||,0===z b a 则若3. 复数),(,R b a bi a z ∈+=的模与其对应的向量OZ 的模r 是一致的，所以复数的模也可以说是其对应向量的模4. 复数z 的模的几何意义就是复数),(,R b a bi a z ∈+=对应的点到原点的距离。

例如：4||=z ，就是复数z 所对应的点到原点的距离为4，所以4||=z 表示的点所组成的集合是以原点为圆心，以4为半径的圆。

经典例题:1. 求下列复数的模（1）i z431+= （2） i z 2212--=2. 求证：复平面内分别和复数i z i z i z z2222,15sin 15cos ,,1400321+=+=-==对应的四点共圆3. 已知复数z 满足i z z 917||3-=+，求复数z4. 复数z 满足|13|≤++i z ,求||z 的最大值和最小值课堂练习：1. 设R x ∈,x i z 21log 4-=,若5||≥z ，求x 的取值范围2. 已知复数i z z z ai a z )21(1||,12000+-+-=++=。

是否存在实数a,使得z 为纯虚数？3. 已知复数i a z i a a z )13(2,)3(23221++=-++=,若复数21z z -在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆3．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．2 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数 B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 7．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 8．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 9．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．111．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．25二、填空题13．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则M N =______. 14．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.15．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.16．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____17．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 18．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 19．已知，则 =____．20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．三、解答题21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.22．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<（i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=.（1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数（2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.7．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 8．C解析：C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 9．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．10．A解析：A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.14．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 16．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．17．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.18．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。

一、选择题1．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 2．若复数(1a i z i i +=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2 3．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 4．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ）A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 5．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A B C ．D ．36．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 7．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 8．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+ 9．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 10．设复数11i zi ，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．复数31+i i 1i+-的值是______. 16．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．17．复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________.18．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 19．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.20．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B AC A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值；（2）若123x x +=，求实数p 的值．22．已知复数z满足||z =2z 的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.23．（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值. 24．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 25．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 26．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.2．C解析：C【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 4．B解析：B【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=， 所以()()2231563m m m m i --+--=， 可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.5．A解析：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 6．A解析：A【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.7．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题8．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 9．B 解析：B【解析】因为()211i i z +=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B.解析：C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】 由题得21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选：C11．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】 因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】 结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为 解析：24【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可．【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -==故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题 解析：二【分析】 先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案.【详解】由()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0【分析】 先利用复数的除法运算计算1+i 1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】 ()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题. 16．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .17．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题解析：34π 【分析】 先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】 因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以3312cos sin 44z i i ππ⎫=-+=+⎪⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π 【点睛】 本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.18．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -..【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.19．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值. 【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==， 所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a bd i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则433BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94． 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ， 则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．（1）1i z =+或1i z =--；（2）2-【分析】 （1）设出z a bi =+,根据题意可得22222a b ab ⎧+=⎨=⎩,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可【详解】（1）设z a bi =+,由题,可得z ==,()()22222z a bi a b abi =+=-+, 2z 的虚部为2则22222a b ab ⎧+=⎨=⎩ 11a b =⎧∴⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 故1z i =+或1i z =--（2）由（1）可知22z i =,即B 为()0,2,()0,2OB ∴=当1z i =+时,即A 为()1,1,()1,1OA ∴=,此时21z z i -=-,即C 为()1,1-,()1,1OC ∴=- ()1,3OA OB ∴+=∴()()11+312OA OB OC +⋅=⨯⨯-=-当1i z =--时,即A 为()1,1--,()1,1OA ∴=--,此时213z z i -=--,即C 为()1,3--,()1,3OC ∴=--()1,1OA OB ∴+=-∴()()()()11+132OA OB OC +⋅=-⨯-⨯-=-综上, ()2OA OB OC +⋅=-【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力 23．（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=.【分析】（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值.【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+ ∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132a i ib i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩， 即12,26a b =-=.【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.24．-190【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.25．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 26．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++.∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ∴21x y =⎧⎨=-⎩ ∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.。

复数与极限一、17届 一模 一、复数 1、（崇明县2017届高三第一次模拟）复数(2)i i +的虚部为 ． 2、（虹口区2017届高三一模）已知i iz+=-21，则复数z 的虚部为 ． 3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若复数z 满足i 1=12z -（i 为虚数单位），则z =_________． 4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．5、（闵行区2017届高三上学期质量调研）若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a = ( )(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 26、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________．7、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知复数i z +=2（i 为虚数单位）， 则=2z8、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知a b R ∈、，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则 2()a bi += ▲ ．9、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若复数z 满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则z =______．10、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________． 11、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________．12、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若1-（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）（A ）2,3b c == （B ）2,1b c ==- （C ）2,1b c =-=- （D ）2,3b c =-=13、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知复数z 满足2)1(=-i z ,其中i 是虚数单位，则z =____________. 14、（金山区2017届高三上学期期末）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =复数参考答案：1、22、13、1+2i4、215、B6、37、34i -8、34i -9、2 10、5 11、【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：12、D 13、1i + 14、12i - 二、极限1、（宝山区2017届高三上学期期末）23lim1n n n →∞+=+2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知无穷数列{}n a 满足1*1()2n n a a n N +=∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= ．3、（虹口区2017届高三一模）数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2limnn nS a →∞= ．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在数列{}n a 中，若对一切*n ∈N 都有13n n a a +=-，且2462lim()n n a a a a →∞++++92=，则1a 的值为 . 5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，； C ．()10，； D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121， 6、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若*12()n n n a a n N +-=∈，且21{}n a -是递增数列、2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→+∞= ▲ ．7、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）25lim1n n n →∞-=+____________．8、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）设常数0a >，9()a x x+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→1321lim212n a a a n n n _____________．10、（金山区2017届高三上学期期末）若n a 是(2)n x +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=参考答案：1、解析：23lim 1n n n →∞+=+32lim 11x n n→∞++＝2 2、4 3、14 4、－12 5、D6、12-7、2 8、12 9、【解析】∵++…+=n 2+3n （n ∈N *），∴n=1时，=4，解得a 1=16．n ≥2时，且++…+=（n ﹣1）2+3（n ﹣1），可得：=2n +2，∴a n =4（n +1）2．=4（n +1）．∴（）==2．10、2二模一、填空题1、（崇明县2016届高三二模）设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部 为2、（奉贤区2016届高三二模）若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b +=4、（静安区2016届高三二模）设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = .5、（闵行区2016届高三二模）若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 6、（浦东新区2016届高三二模）已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = . 7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________．8、（杨浦区2016届高三二模）若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为9、（闸北区2016届高三二模）如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是 10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________．二、选择题1、（黄浦区2016届高三二模）若1m iz i+=-（,m R i ∈为虚数单位）在复平面上的点不可能是位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限三、解答题1、（闵行区2016届高三二模）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由． 1、（静安区2016届高三二模）算法流程图如图所示，则输出的k 值是复数参考答案 一、填空题1、3-2、03、34、3455i + 5、2 62 7、1i - 8、－3 92 10、1二、选择题 1、D三、解答题1、解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分二、16届一模1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知 z ＝(a −i )(1+i )（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝3、（奉贤区2016届高三上学期期末）复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部是__________4、（虹口区2016届高三上学期期末）若复数z 满足201520161zi i i=++（i 为虚数单位），则复数z =______. 5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 6、（长宁区2016届高三上学期期末）若复数z 满足z 2 －z ＋1 ＝0，则｜z ｜＝ __________ 7、（金山区2016届高三上学期期末）若复数z 满足i21i43-+=z (i 为虚数单位)，则z = 8、（静安区2016届高三上学期期末）已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 9、（闵行区2016届高三上学期期末）若复数z满足i i z =（i 为虚数单位），则||z = .10、（浦东新区2016届高三上学期期末）若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z = 11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则实数p q +=_____________12、（青浦区2016届高三上学期期末）复数1a i z i-=+(a R ∈, i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于………（ ）.（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限13、（松江区2016届高三上学期期末）若复数1z ai =+（i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是 ▲14、（徐汇区2016届高三上学期期末）设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______________15、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________16、（徐汇区2016届高三上学期期末）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）17、（长宁区2016届高三上学期期末）关于x 的不等式的解集为.（1）求实数a ,b 的值； （2）若为纯虚数，求tan α的值.参考答案：1、-3-4i2、13、14、25、B6、17、58、17z =9、2 10、5 11、34 12、a 13、]3,3[- 14、-2 15、5 16、A 17、。

复数的概念知识点：1. 虚数单位：i 。

规定：12-=i ，即i 是-1的一个平方根2. 形如),(,R b R a bi a ∈∈+的数叫做复数。

规定：bi bi i =+=⋅0,003. 复数),(,R b R a bi a z ∈∈+=，复数的实部为a ，虚部为b4. 在复数),(,R b R a bi a z ∈∈+=中当0=b 时，复数a z =是实数当0≠b 时，复数z 叫做虚数当00≠=b a 且时，复数z 叫做纯虚数当且仅当0==b a 时，0=z5. 实数集R 是虚数集C 的真子集，即C R ⊂复数可以如下分类：复数⎩⎨⎧=≠=∈∈+=)0()0()0(),(,时为纯虚数虚数实数a b b R b R a bi a z 经典例题1. 判断下列命题的真假，并证明你的结论(1) 若0,2≥∈z C x 则(2) 若z y x z y y x C z y x ===-+-∈则,0)()(,,,22(3) 若R a ∈，则i a )2(+是纯虚数(4) 若00,00,,>>+>>∈pq q p q p C q p 且则且2. 指出下列复数是实数还是虚数，若是虚数，说出它们的实部和虚部 52,3,0,,221,5.0----i i i π3. 求当m 为何值时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4） 0课堂练习1. 判断下列命题的真假，并证明你的结论(1) 自然数是有理数，但不是复数(2) i 43+实部等于3，虚部等于i 4 (3) 对于复数),(,R b R a bi a z ∈∈+=，若0=b ，则z 是实数；若0≠b ，则z 是纯虚数2. 指出下列复数是实数还是虚数，若是虚数，说出它们的实部和虚部0,,3,222,65i i i ---+-3. 求当m 为何值时，复数i m m m m z )103(622--+--=分别是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4） 0课后练习求当m 为何值时，复数i m m m m m z 321222-++--=分别是： （1）实数（2） 虚数 （3）纯虚数。

一、向量的运算、夹角、数量积和投影1.（2024高三一模嘉定2）已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=______.2.（2024高三一模宝山2）已知向量()2,1a m = ，()1,3b m =- ，若a b ⊥，则实数m =______.3.（2024高三一模长宁4）设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =______.4.（2024高三一模松江4）已知向量()()1,2,4,3a b == ，则()2a a b ⋅-=______.5.（2024高三一模黄浦5）已知向量())0,2,a b ==，则向量a 与b夹角的余弦值为______.6.（2024高三一模浦东新区6）已知向量(3,4)a = ，向量(1,0)b = ，则向量a 在向量b上的投影为______.7.（2024高三一模杨浦7）已知向量()3,0a =，(2,b =-，则b 在a 方向上的投影为______.8.（2024高三一模青浦9）已知向量(1,1)d =-垂直于直线l 的法向量，过(1,1)A 、(1,8)B -分别作直线l 的垂线，对应垂足为1A 和1B ，若11A B d λ=，则实数λ的值为.8.（2024高三一模徐汇9）在ABC ∆中，AC BC =，123,P P P ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设()1,2,3k k k I P B P C k =⋅= ，则123I I I -+=______.10.（2024高三一模闵行10）若平面上三个单位向量,,a b c 满足12a b ⋅= ，32a c ⋅= ，则b c ⋅的所有可能的值组成的集合为______.11.（2024高三一模金山12）已知平面向量a 、b 、c 满足42a b c =-=，a b a b a +=-+ ，且,3a c π<>= ，则a b ⋅ 的取值范围是______.12.（2024高三一模静安15）教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“2121y y x x b a +=⋅(其中11(,)a x y = ，22(,)b x y =)”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；2024年上海市高考数学一模考试题分类（向量与复数 ）汇编④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤二、向量的模1.（2024 高三一模崇明 11）已知不平行的两个向量a , b 满足1a =，a b ⋅= ．若对任意的t ∈R ，都有2b ta -≥ 成立，则b的最小值等于______.2.（2024高三一模虹口12）设123123,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a -=-=-= ，且对任意的{},1,2,3i j ∈，均有{i j a b -∈，则122331b b b b b b -+-+-=______.三、复数的四则运算、复数的模1.（2024 高三一模奉贤 1）若2 +a i ( =b i −1)i (a ,b ∈R )，其中i 是虚数单位，则a +b i =______.2.（2024高三一模长宁2）已知复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =______.3.（2024高三一模杨浦2）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 为虚数单位），则z =______.4.（2024高三一模普陀2）设i 为虚数单位，若复数z 满足i 12i z =+，则1z -=______.5.（2024高三一模青浦2）若复数z 满足i 3i z =+，则z =.6.（2024高三一模浦东新区2）若复数512iz =+（其中i 表示虚数单位），则Im z =______.7.（2024高三一模松江3）已知复数2z i =+（其中i 是虚数单位），则z =______.8.（2024高三一模崇明3）若复数()242i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为______.9.（2024高三一模黄浦3）已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则满足z w z ⋅=的复数w 为______.10.（2024高三一模静安4）已知a ∈R ，i 是虚数单位，1ia -的虚部为______.11.（2024高三一模徐汇13）设1z 、2z ∈C ，则“1z 、2z 中至少有一个是虚数”是“12z z -为虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.（2024高三一模虹口13）设i 为虚数单位，若2521iz i i -=+-，则z =（）A.12i- B.12i+ C.2i- D.2i+四、复数的几何意义、实系数的一元二次方程1.（2024 高三一模金山 2）在复平面内，若复数z 对应的点的坐标是−(1,，则z 的共轭复数z =______.2.（2024高三一模嘉定11）已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若4i 2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为______.3.（2024高三一模宝山15）已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确是（）A.22z z=B.若1z =，则1i z --1C.若()212i z =-，则复平面内z 对应点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-4.（2024高三一模闵行15）已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为P 、Q ，5OP =（O 为坐标原点），且221122sin 0z z z z θ-⋅+=，则对任意的θ∈R ，下列选项中为定值的是（）A.OQB.PQC.OPQ ∆的周长D.OPQ ∆的面积一、向量的运算、夹角、数量积和投影1.（2024高三一模嘉定2）已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=______.【答案】()1,8【解析】()()()()()2322,131,24,23,61,8a b +=+-=+-=.2.（2024高三一模宝山2）已知向量()2,1a m = ，()1,3b m =- ，若a b ⊥，则实数m =______.【答案】1【解析】因为a b ⊥ ，则2301a b m m m ⋅=+-=⇒=.3.（2024高三一模长宁4）设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =______.【答案】2【解析】以为//a b，所以()()1212m m ⋅=-⨯-⇒=.4.（2024高三一模松江4）已知向量()()1,2,4,3a b == ，则()2a a b ⋅-=______.【答案】0【解析】()()2222514230a a b a a b ⋅-=-⋅=⨯-⨯+⨯=.5.（2024高三一模黄浦5）已知向量())0,2,a b ==，则向量a 与b夹角的余弦值为______.【答案】12【解析】21cos ,222a ba b a b ⋅===⨯⋅.6.（2024高三一模浦东新区6）已知向量(3,4)a = ，向量(1,0)b =，则向量a 在向量b 上的投影为______.【答案】()3,0【解析】由公式可得向量a 在向量b 上的投影为()23,0a b b b⋅⋅=.7.（2024高三一模杨浦7）已知向量()3,0a =，(2,b =-，则b 在a 方向上的投影为______.【答案】()2,0-参考答案【解析】b 在a 方向上的投影为()()263,02,09a b a a ⋅-⋅=⋅=-.8.（2024高三一模青浦9）已知向量(1,1)d =-垂直于直线l 的法向量，过(1,1)A 、(1,8)B -分别作直线l 的垂线，对应垂足为1A 和1B ，若11A B d λ=，则实数λ的值为.【答案】92-【解析】11A B 即AB 在d 向量方向上的投影，()2,7AB =- ，11292AB d A B d dd⋅∴=⋅=-8.（2024高三一模徐汇9）在ABC ∆中，AC BC =，123,P PP ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设()1,2,3k k k I P B P C k =⋅= ，则123I I I -+=______.【答案】1【解析】由题意，1P 是八等分点，2P 是四等分点，1P 是中点，建立平面直角坐标系如图所示，则()30,0P ，()22,0P ，()13,0P ，()4,0B ，()0,C c ，1113I PB PC =⋅=-，2224I P B P C =⋅=- ，3330I P B PC =⋅= ，计算可得1231I I I -+=.10.（2024高三一模闵行10）若平面上三个单位向量,,a b c 满足12a b ⋅= ，32a c ⋅= ，则b c ⋅的所有可能的值组成的集合为______.【答案】,22⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭【解析】设()1,0a = ，则13,22b ⎛=±± ⎝⎭ ，31,22c ⎛⎫=±± ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以b c ⋅ 的所有可能的值组成的集合为3322⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭.11.（2024高三一模金山12）已知平面向量a 、b 、c 满足42a b c =-=，a b a b a +=-+ ，且,3a c π<>= ，则a b ⋅ 的取值范围是______.【答案】,3⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【解析】由题意可设()2,0a OA == ，(),b x y = OB = ，c OC =，其中O 为坐标原点，则2b a a a b +=-+== ，可得点B 的轨迹以A 为焦点的双曲线的右支，且1a =，2c =，则轨迹方程为2213y x -=()0x >，又,3a c π<>= ，所以点C的轨迹为()0y x =≥，恰为点B 轨迹的渐近线，由题意12b c CB -==，当BC 与渐近线垂直时，此时B 的横坐标取得最小值，由点到直线距离公式可知112BC y ==⇒-=，而双曲线在渐近线y =1y -=，22143331y x x y y ⎧=-=⎪⇒=⇒⎨-=⎪=⎧⎪⎨⎩⎩⎪，所以23,13B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，则()min343a b⋅= ，又点B 可以取到无穷远处，所以43,3a b ⎡⎫⋅∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭ .12.（2024高三一模静安15）教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“2121y y x x b a +=⋅(其中11(,)a x y =，22(,)b x y =)”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤【答案】D【解析】向量,a b 的坐标表示用了①，a b ⋅ 运算用了②，1212a b b a x x y y ⋅=⋅=+用了③()()1122a b x i y j x i y j ⋅=+⋅+的展开运算用了④⑤，其中i ，j 为x 轴和y 轴的单位向量，故选 D.二、向量的模1.（2024高三一模崇明11）已知不平行的两个向量,a b满足1a = ，3a b ⋅= ．若对任意的t ∈R ，都有2b ta -≥ 成立，则b的最小值等于______.【答案】7【解析】设,a b θ<>=，[]0,θπ∈，()0b m m => ，因为1a = ，3a b ⋅= ，所以cos 3a b θ=，即cos 3m θ⋅=，则[]3cos 1,1mθ==-，所以3m ≥，因为对任意的t ∈R ，都有2b ta -≥成立，所以()24b ta-≥ ，即22224ta b t b a -⋅+≥ ，即222340t t m -+-≥对任意t ∈R 恒成立，所以()()2223440m ∆=--≤，又0m >，解得7m ≥，所以b的最小值等于7.2.（2024高三一模虹口12）设123123,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a -=-=-=，且对任意的{},1,2,3i j ∈，均有{}1,3i j a b -∈ ，则122331b b b b b b -+-+-=______.【答案】3【解析】设112233112233,,,,,a OA a OA a OA b OB b OB b OB ======，由题意可知，1223312A A A A A A ===，1i j A B =或3，{},1,2,3i j ∈以i A 为圆心作半径为1或者3的圆，则j B 同时在以i A 为圆心半径为1或者3的圆上，又因为1B ，2B ，3B 不重合，故1B ，2B ，3B 只能分别在等边三角形123A A A 的三条边的中点处，如图所示：故1223311223313b b b b b b B B B B B B -+-+-=++=.三、复数的四则运算、复数的模1.（2024 高三一模奉贤 1）若2 +a i ( =b i −1)i (a ,b ∈R )，其中i 是虚数单位，则a +b i =______.【答案】−1 −2i【解析】2 +a i ( =b i −1)i − =b −i ，则a − =1，b − =2 ，所以a +b i − =1 −2i 2.（2024高三一模长宁2）已知复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =______.【答案】22【解析】11i 1i 2z +==-，22z z ===.3.（2024高三一模杨浦2）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 为虚数单位），则z =______.【答案】【解析】2i12i iz -+==+，所以z ==.4.（2024高三一模普陀2）设i 为虚数单位，若复数z 满足i 12i z =+，则1z -=______.【解析】12i2i iz +==-，11i z -=-=.5.（2024高三一模青浦2）若复数z 满足i 3i z =+，则z =.【答案】【解析】3iz z i+=⇒=6.（2024高三一模浦东新区2）若复数512iz =+（其中i 表示虚数单位），则Im z =______.【答案】2-【解析】()()()512i 512i 12i 12i 12i z z -====-++-，所以Im 2z =-.7.（2024高三一模松江3）已知复数2z i =+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】【解析】2,2,z i z i z =+∴=-∴=.8.（2024高三一模崇明3）若复数()242i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为______.【答案】2【解析】因为z 是纯虚数，所以240220m m m ⎧-=⇒=⎨+≠⎩.9.（2024高三一模黄浦3）已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则满足z w z ⋅=的复数w 为______.【答案】i-【解析】11z i z w z w i iz -⋅=⇒===-+.10.（2024高三一模静安4）已知a ∈R ，i 是虚数单位，1ia -的虚部为______.【答案】211a +【解析】()()221i 1i i i i 11a a a a a a a +==+--+++，所以虚部为211a +.11.（2024高三一模徐汇13）设1z 、2z ∈C ，则“1z 、2z 中至少有一个是虚数”是“12z z -为虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】1i z a b =+，2i z c b =+，（0b ≠），其中12,z z 均为虚数，12z z -为实数，所以前面不能推后面，若12z z -为虚数，则虚部不为0，则1z 、2z 中至少有一个是虚数，后面可以推前面，故选B.12.（2024高三一模虹口13）设i 为虚数单位，若2521iz i i -=+-，则z =（）A.12i -B.12i+ C.2i- D.2i+【答案】A 【解析】252121iz i i i-==++-，12z i ∴=-，故选A.四、复数的几何意义、实系数的一元二次方程1.（2024 高三一模金山 2）在复平面内，若复数z 对应的点的坐标是−(1,)，则z 的共轭复数z =______.【答案】1--【解析】1z =-+，所以z =1--.2.（2024高三一模嘉定11）已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若4i 2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为______.【答案】83π+【解析】由题意可得，Z 对应的区域是以()0,4为圆心，2为半径圆以及内部构成的圆面，而向量OZ扫过的面除了圆面以外还包括圆外的一部分，如图所示，因此OZ扫过的面积等于OAC OBC S S S ∆∆++扇阴影，,OA OB与圆C 相切于,A B 两点，所以4OC =，2CA CB ==，则OA OB ==，且3OCA OCB π∠=∠=，所以1222OAC OBC S S ∆∆+=⨯⨯⨯=212822233S πππ⎛⎫=⋅-⋅=⎪⎝⎭扇阴影所以OZ 扫过的面积等于83π.3.（2024高三一模宝山15）已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确是（）A.22z z=B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-【答案】B【解析】A.2z 可能是实数，也可能是复数，2z 一定是实数，等式不一定成立，错误；B.1z =，则z 在单位圆上，1i z --表示单位圆上的点与点()1,1的距离，所以最大值为1+，正确；C.()212i 34i z =-=--，34i z =-+，对应的点在第二想象，错误；第8页(共8页)D.方程另一个根为13i +，则()()13i 13i 10q =+-=，错误；故选B.4.（2024高三一模闵行15）已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为P 、Q ，5OP =（O 为坐标原点），且221122sin 0z z z z θ-⋅+=，则对任意的θ∈R ，下列选项中为定值的是（）A.OQ B.PQ C.OPQ ∆的周长 D.OPQ ∆的面积【答案】A 【解析】由题意，原方程可变为22211sin 10z z z z θ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，关于方程2sin 10x x θ-+=，2sin 40θ∆=-<，所以sin 2x θ±=，所以221112z z x z z ====，所以215OQ z z OP ====，在OPQ ∆中，由于POQ ∠不是定值，则POQ ∆面积及PQ 的长度都不确定，故选A.。

第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

上海市崇明区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.15一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集是．2.双曲线221y x 的焦距是．3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ，a bt R ，都有2b ta 成立，则b 的最小值等于．12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ，221c d ，则当 22a cb d 取得最小值时，ab．第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合23A x x ，0B x x ，则A B （）.A 2,3 ；.B 0,3；.C 0, ；.D 2, ．14.若0x y ，则下列不等式正确的是（）.A x y ；.B 22x y ；.C 11x y；.D 2x y．15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A ．三、17.1，90ADC ，E 、F （1（2）求点B 到平面PCF 的距离．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，5a ，6b ．（1）若4cos 5B，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若ABC 的面积4S，求c 的值．19.台计算TPI 4个等级：某市（1）年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．已知抛物线21:4y x ，22:2y x ，直线l 交抛物线1 于点A 、D ，交抛物线2 于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1 焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为 4,4，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD，求AOD 与BOC 的面积之比．已知 sin f x mx x （m R 且0m ）．（1）若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列 n a 是等差数列（公差0d ）， n n b f a ．是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 n a ，并证明此时的数列 n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m ，是否存在直线y kx b 满足：①对任意的x R 都有 f x kx b 成立，②存在0x R使得 00f x kx b ？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. （1，3）；2. 3. 2； 4. 31； 5. 10；6.7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11.12.12+. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. A ； 16. A. 三、解答题17. 解 （1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分 由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分 （2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分 由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =，即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解 （1）因为4cos 5B =−，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分 由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分 所以1sin 2A =，5R =， 因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分 （2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =分（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解 （1）抛物线24y x =的准线为1x =−，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2， 所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分 （2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意，402y +=，故04y =−，所以(8,4)C −.....................2分 所以直线l 的方程为：2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分 （3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =，得31242()y y y y −=−①，.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b −+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k+=，342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =−，代入③得142y y =−，代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解 （1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分 因为函数cos y m x =+的最小值为1m −，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立， 即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+， 将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=， 即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =， 故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分 注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分 当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++，所以12n n b b m k π+−=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分 同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列. （3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时，(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−， 即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b =−当1b >−时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分 当1b =时，存在02x π=−，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上，存在直线1y x =−满足题意..................................8分。

2022年上海市崇明区高考数学二模试卷1. 已知集合，，则______.2. 已知一组数据4，2a ，，5，6的平均数为4，则实数a 的值等于______.3. 已知角的终边经过点，则______.4. 若复数为虚数单位，则______.5. 在的二项展开式中，项的系数是________用数值表示6. 已知变量x ，y 满足约束条件，则目标函数的最大值等于______.7. 已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于，则该圆锥的体积等于________.8. 已知直线l 的参数方程为是参数，则点到直线l 的距离等于______.9. 设是定义在R 上且周期为2的函数，当时，，其中若，则______.10. 已知平面直角坐标系中的点、、，记为外接圆的面积，则______.11. 某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：每位学生每天最多选择1项；每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．用数值表示12. 已知实数x、y满足，则的取值范围是______.13. 如果，那么下列不等式中正确的是A. B.C.D.14. “”是“”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件15. 已知无穷等比数列中，，它的前n项和为，则下列命题正确的是( )A. 数列是递增数列B. 数列是递减数列C. 数列存在最小项D. 数列存在最大项16. 设集合，，，其中，给出下列两个命题：命题：对任意的a，是的子集；命题：对任意的b，不是的子集．下列说法正确的是A. 命题是真命题，命题是假命题B. 命题是假命题，命题是真命题C. 命题、都是真命题D. 命题、都是假命题17. 如图，正方体的棱长等于4，点E是棱的中点．求直线与直线所成的角；若底面ABCD上的点P满足平面，求线段DP的长度．18. 已知求函数的单调递增区间；设的内角A满足，且，求BC边长的最小值．19. 环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号的电动汽车在国道上进行测试，国道限速经多次测试得到该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型需说明理由，并求出相应的函数解析式；现有一辆同型号电动汽车从A 地行驶到B 地，其中高速上行驶200km ，国道上行驶30km ，若高速路上该汽车每小时耗电量单位：与速度单位：的关系满足，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？20. 已知双曲线，双曲线的右焦点为F ，圆C 的圆心在y 轴正半轴上，且经过坐标原点O ，圆C 与双曲线的右支交于A 、B 两点．当是以F 为直角顶点的直角三角形，求的面积；若点A 的坐标是，求直线AB 的方程；求证：直线AB 与圆相切．21. 已知集合是整数集，m 是大于3的正整数若含有m项的数列满足：任意的，都有，且当时有，当时有或，则称该数列为P 数列．写出所有满足且的P 数列；若数列为P 数列，证明：不可能是等差数列；已知含有100项的P 数列满足是公差为等差数列，求d 所有可能的值．答案和解析1.【答案】【解析】解：集合，，故答案为：求出集合A，利用交集定义能求出本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】2【解析】解：，解得：故答案为：根据平均数的概念计算即可．本题考查了平均数的概念，是基础题．3.【答案】【解析】解：因为角的终边经过点，所以故答案为：由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解．本题考查了任意角的三角函数的定义，属于基础题．4.【答案】【解析】解：，故答案为：根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．5.【答案】240【解析】解：的二项展开式的通项公式为，令，可得含项的系数是，故答案为：由题意，利用二项式展开式的通项公式，求得含项的系数．本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．6.【答案】1【解析】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，，由，得，由图可知，当直线过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为故答案为：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．7.【答案】【解析】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，圆锥的母线长等于2，侧面积等于，，解得，，该圆锥的体积为故答案为：根据圆锥的侧面积公式，代入得，根据图形结合勾股定理得，再代入锥体体积公式，能求出该圆锥的体积．本题考查圆锥的结构特征、圆锥的侧面积、体积等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.【答案】【解析】解：根据题意，直线l的参数方程为是参数，其普通方程为，即，则点到直线l的距离；故答案为：根据题意，将直线的方程变形为直线的一般式方程，由点到直线的距离公式计算可得答案．本题考查直线的参数方程，注意将参数方程变形为标准方程，属于基础题．9.【答案】【解析】解：根据题意，是定义在R上且周期为2的函数，则，，又由当时，，则有，解可得，则；故答案为：根据题意，由函数的周期性可得，，结合函数的解析式求出a的值，进而计算可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及函数的周期性，属于基础题．10.【答案】【解析】解：设过、、这三点的外接圆方程为，则，，外接圆的半径为，，故答案为：由过三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到，再利用极限运算法则能求出结果．本题考查圆的性质、极限运算法则、系数等定法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．11.【答案】14【解析】解：根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，故分4种情况讨论：当周一选阅读，若体育选周三，编程有2种方法，若体育选周四，编程有1种方法，共3种选法，当周二选阅读，若编程选周一，体育有2种方法，若编程选周四，体育有2种方法，共4种选法，当周三选阅读，若体育选周一，编程有2种方法，若体育选周四，编程有2种方法，共4种选法，当周四选阅读，若体育选周一，编程有1种方法，若体育选周三，编程有2种方法，共3种选法，再由分类加法计数原理可得不同的选课方案共有种．故答案为：根据题意，由表可知周一至周四都可选阅读，周一，周三和周四可选体育，周一，周二和周四可选编程，由此分4种情况讨论，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类计数原理的应用，属于基础题．12.【答案】【解析】解：因为实数x，y满足足，当，时，方程为的图象为双曲线在第一象限的部分；当，时，方程为的图象为椭圆在第四象限的部分；当，时，方程为的图象不存在；当，时，方程为的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，表示点到直线的距离的倍，根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为，令，即，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，当过点且斜率为的直线与椭圆相切时，点到直线的距离最大，即当直线与椭圆相切时，z最大．联立方程组，得，，解得又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以又直线与的距离为1，故曲线上的点到直线的距离大于1，所以综上所述，，所以，即的取值范围是故答案为：分x，y的正负讨论可得出方程对应的曲线，数形结合，根据直线与椭圆、直线与双曲线的位置关系求解即可．本题考查了曲线与方程，考查了直线与椭圆，直线与双曲线的位置关系，考查分类讨论思想与数形结合思想，属于难题．13.【答案】D【解析】解：对于A：由于，，当，时，不等式不成立，故A错误；对于B：当，时，故选项B错误；对于C：当，时，选项C错误；对于D：由于，，故，故D正确．故选：直接利用不等式的性质和赋值法的应用求出结果．本题考查的知识要点：不等式的性质，赋值法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：若成立，由向量相等得到两向量的长度方向都相同，即有，反之，若成立，若两向量的方向不同则推不到，所以是的充分非必要条件，故选：利用向量相等的概念，结合充要条件的定义得到答案．本题考查充要条件的有关定义，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：对AB，当公比为时，，，此时，，，此时既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列公比为q，当时，因为，故，故，此时，易得随n的增大而增大，故存在最小项，不存在最大项；当时，因为，故，故，，因为，故当n为偶数时，，随着n的增大而增大，此时无最大值，当时有最小值；当为奇数时，随着n的增大而减小，故无最小值，有最大值，综上，当时，因为，故当时有最小值，当时有最大值，综上所述，数列存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误，故选：对AB，举公比为负数的反例判断即可，对CD，设等比数列公比为q，分和两种情况讨论，再得出结论即可．本题考查了等比数列与函数的关系的问题，对学生的思维迁移能力要求较高，属于中档题．16.【答案】A【解析】解：由于，即时，一定成立，故是的子集，因此命题是真命题．令，；令，从而可知，当时，，此时，是的子集，故命题是假命题．故选：根据不等式的特征，可判断命题，利用判别式，可得集合、的关系，从而判断命题本题考查了对命题真假的判断，也考查了学生的逻辑推理能力，属于中档题．17.【答案】解：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，设直线与直线所成角为，，直线与直线所成的角为假设在底面ABCD上存在点P满足平面，设，，，，，，由平面，得：，解得，，，，，线段DP的长度为【解析】建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的夹角公式能求出直线与直线所成的角；假设在底面ABCD上存在点P，使得平面，设，求出向量，，的坐标，根据线面垂直的性质求出a，b，由此能求出线段DP的长度．本题考查异面直线所成角、线面垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：已知，则，由，，解得，，即函数的单调递增区间为，；的内角A满足，则，又，则，即，又，则，即，由余弦定理可得：，当且仅当时取等号，即BC边长的最小值为【解析】先由三角恒等变换求，然后结合三角函数的性质求单调区间即可；由余弦定理结合重要不等式求解即可．本题考查了三角恒等变换，重点考查了三角函数的性质及余弦定理，属基础题．19.【答案】解：对于③：，当时，它无意义，故不符合题意，对于②：，该函数为减函数，故不符合题意，故选①：，由表中数据可得，，解得，高速路段长200km，所用时间为，则所耗电量为，由对勾函数的性质可知，在上单调递增，，国道路段30km，所用时间为，则所耗电量为，，当时，，当这辆车在高速上的行驶速度为，在国道上的行驶速度为时，该车从A地行驶到B地的总耗电量最少，最少为【解析】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对勾函数和二次函数的性质，属于中档题．对于③，当时，它无意义，故不符合题意；对于②，该函数为减函数，故不符合题意，故选①，再利用待定系数法即可求解．根据已知条件，结合对勾函数的性质，以及二次函数的性质即可求解．20.【答案】解：由题意是以F为直角顶点的直角三角形，，所以，所以的面积；设圆C的方程为，由题意，，所以，故圆C的方程为，由，得：，所以，，故A、B两点的坐标分别是，所以直线AB的方程为：；证明：设直线AB的方程为，，，圆C的方程为，由，得：，由题意，得：，且，由，得：，所以，所以，即，所以，因为原点O到直线AB的距离，所以直线AB与圆相切．【解析】根据题意求得，由三角形面积公式即可求得答案；设圆C的方程为，由点A的坐标求得b，联立：求得B点坐标，可得答案；设直线AB的方程为，，，联立：，可得根与系数的关系式，再联立可得，结合根与系数的关系式化简，可得的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论．本题考查了双曲线的性质，属于中档题．21.【答案】解：由题意可得满足且的P数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，假设是等差数列，公差为d，当时，由题意，或3，此时，所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列当时，由题意，或，此时所以不是等差数列中的项，与题意不符，所以不可能是等差数列综上所述，不可能是等差数列由题意，，当时，因为，所以，与题意不符；当时，记，当时，，所以，所以中的最小项，所以，与题意不符，当时，，又由题意，，其中，且，所以，所以，所以，与不符；当时，取，此时的数列满足题意，综上所述，【解析】根据P数列的定义，可直接写出答案；假设是等差数列，公差为d，分和两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；由题意，，分类讨论，说明当时，不符题意，同理可说明和时，推导出与题意不符的结论，继而说明，符合题意，从而求得答案．本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．。

2023届崇明区高三二模考试数学试卷2023.04一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.若不等式21x -<，则x 的取值范围是____________．【答案】{}13x x <<【解析】【分析】根据绝对值的几何意义解不等式.【详解】∵21x -<，则121x -<-<，解得13x <<，∴x 的取值范围是{}13x x <<.故答案为：{}13x x <<.2.设复数z 满足()1i 2i z +=（i 为虚数单位），则z =____________．【答案】1i +##i 1+【解析】【分析】根据复数的除法运算求解.【详解】∵()1i 2i z +=，则()()()i 1i i i i i 21111z -===+++-.故答案为：1i +.3.已知集合{}1,2A =，{}2,1B a a =+，若{}1A B ⋂=，则实数a 的值为____.【答案】0【解析】【分析】由{}1A B ⋂=可得出1a =或211a +=，并验证{}1A B ⋂=是否成立，由此可求得实数a 的值.【详解】 集合{}1,2A =，{}2,1B a a =+，{}1A B ⋂=，则1a =或211a +=，解得0a =或1a =.当0a =时，{}0,1B =，则{}1A B ⋂=，合乎题意；当1a =时，{}1,2B =，则{}1,2A B = ，不合乎题意.综上所述，0a =.故答案为：0.【点睛】本题考查利用交集的运算结果求参数，考查计算能力，属于基础题.4.已知函数()sin 2y x ωϕ=+，()0ω>的最小正周期为1，则ω=______.【答案】2π【解析】【分析】根据三角函数周期与角频率的关系求解.【详解】2T πω=，依题意1,2T ωπ=∴=；故答案为：2π.5.已知正实数a 、b 满足1ab =，则4a b +的最小值等于____________．【答案】4【解析】【分析】直接利用基本不等式计算得到答案.【详解】44a b +≥==，当4a b =，即2a =，12b =时等号成立，则4a b +的最小值为4．故答案为：4．6.在4101()x x+的展开式中常数项是________________.（用数字作答）【答案】45【解析】【详解】(x 4+1x )10的通项为=4(10-r)10xr ð(1x)r =,令40-5r=0,解得r=8,代入得常数项为==45.7.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分），分数从低到高依次：56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98,则这15人成绩的第80百分位数是________．【答案】90.5【解析】【分析】计算1580%12⨯=，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案.【详解】因为1580%12⨯=，故这15人成绩的第80百分位数为909190.52+=，故答案为：90.58.某单位为了了解用电量y 度与气温x ℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温．气温（℃）141286用电量（度）22263438由表中数据所得回归直线方程为2y x b =-+ ，据此预测当气温为5℃时，用电量的度数约为____________℃．【答案】40【解析】【分析】利用回归直线经过样本点的中心，先算出ˆb，然后令5x =代入回归直线进行求解.【详解】根据表格数据可得，141286104x +++==，22263438304y +++==，根据回归直线性质，2y x b=-+ 经过样本点中心()x y ，即(10,30)，故ˆ2030b -+=，得ˆ50b =，故回归直线为250y x =-+，当5x =，40y =.故答案为：409.已知抛物线22x y =上的两个不同的点A ，B 的横坐标恰好是方程2640x x ++=的根，则直线AB 的方程为______．【答案】32y x =--.【解析】【分析】设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx b A x y B x y =+，根据题意结合韦达定理可得1212,x x x x +=，联立方程，再次里由韦达定理求得1212,x x x x +=，从而可求出,k b ，即可得解.【详解】解：由题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()1122,,,,y kx b A x y B x y =+，因为点A ，B 的横坐标恰好是方程2640x x ++=的根，所以12126,4x x x x +=-=，联立22y kx bx y=+⎧⎨=⎩，消y 得2220x kx b --=，则12122,2x x k x x b +==-，所以26,24k b =--=，所以3,2k b =-=-，经检验，符合题意，所以直线AB 的方程为32y x =--.故答案为：32y x =--.10.在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定．面对这些不同和不确定，需要作出假设．例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设________________________．【答案】①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（或②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；或③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；或④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等）；（答案不唯一，只要写出一个即可）【解析】【分析】利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可.等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等；故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等（不唯一）.11.设平面向量,,a b c 满足：2a = ，b c = ，1a b -=r r ，b c ⊥，则b c - 的取值范围是____________．【答案】【解析】【分析】根据题设条件，设出,,a b c的坐标，利用坐标运算进行求解【详解】依题意，设(2cos ,2sin )a θθ= ，(,0),(0,)b t c t ==，t ∈R .根据1a b -=r r ，即(2cos ,2sin )1t θθ-=，即()222cos (2sin )1t θθ-+=，整理得234cos t t θ+=.显然0t ≠，否则(0,0)0b == ，1a b a -==r r r ，与已知矛盾，故234cos t t θ+=可得23cos 4t t θ+=.由23cos 14t t θ+=≤，即2430t t -+≤，则有2430t t -+≤，故()()130t t --≤，解得13t ≤≤.故(),b c t t -=-=∈.故答案为：12.若函数32,0e ,0x x x y ax x ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩的图像上点A 与点B 、点C 与点D 分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a 的取值范围是____________．【答案】1,0e⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意将问题转化为()f x 在(),0∞-的图像关于原点对称后与()0,∞+的图像有两个交点，即转化为方程32ex x ax =-在()0,∞+上有两根，孤立参数为e x x a -=在()0,∞+上有两根，求导确定函数e xx y =a 的取值范围.【详解】若()f x 有两组点关于原点对称，则()f x 在(),0∞-的图像关于原点对称后与()0,∞+的图像有两个交点．由0x <时，()2f x ax =；得其关于原点对称后的解析式为2y ax =-．问题转化为3ex y x =与2y ax =-在()0,∞+上有两个交点，即方程32e x x ax =-有两根，化简得exx a -=，即y a =-与e x x y =在()0,∞+上有两个交点．对于e x x y =，求导1'e x x y -=，令1'0ex xy -=>，解得：1x <，即：当()0,1x ∈时，ex xy =单调递增；令1'0ex xy -=<，解得：1x >．即：当()1,x ∈+∞时，ex xy =单调递减，∴1x =为其极大值点，max 1ey =，x →+∞时，0y →；画出其大致图像：欲使y a =-与e xx y =在0x >时有两个交点，则10,e a ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，即1,0e a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13-14题每题4分，15-16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分．】13.下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A.()tan =f x xB.()1f x x=-C.()cos f x x x =-D.()e exxf x -=-【答案】D 【解析】【分析】求导，根据单调性和奇偶性的定义逐项分析.【详解】对于A ，()tan f x x =为奇函数，是周期函数，在定义域内不单调，不符合题意，不符合题意；对于()1B,f x x=-，定义域为()()()(),00,,f x f x ∞∞-⋃+-=-，所以()f x 为奇函数，但在定义域内不单调，不符合题意；对于C ，()()()()cos ,cos cos f x x x f x x x x x f x =--=---=--≠-，故函数()cos f x x x =-不是奇函数，不符合题意；对于D ，()'e e 0x xf x -=+>，是增函数，()()ee xx x f x f --==--，是奇函数，满足题意；故选：D.14.设两个正态分布2111()(0)N μσσ>，和2222()(0)N μσσ>，的密度函数图像如图所示．则有A.1212,μμσσ<<B.1212,μμσσ<>C.1212,μμσσ><D.1212,μμσσ>>【答案】A 【解析】【详解】根据正态分布函数的性质：正态分布曲线是一条关于对称，在处取得最大值的连续钟形曲线；越大，曲线的最高点越底且弯曲较平缓；反过来，越小，曲线的最高点越高且弯曲较陡峭，选A ．15.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.如图，在堑堵111ABC A B C -中，ACBC ⊥，且12AA AB ==.下列说法错误．．的是（）A.四棱锥11B A ACC -为“阳马”B.四面体11AC CB 为“鳖臑”C.四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23D.过A 点作1AE A B ⊥于点E ，过E 点作1EF A B ⊥于点F ，则1A B ⊥面AEF 【答案】C 【解析】【分析】根据“阳马”和“鳖膈”的定义，可判断A ，B 的正误；当且仅当AC BC =时，四棱锥11B A ACC -体积有最大值，求值可判断C 的正误；根据题意可证1A B ⊥平面AEF ，进而判断D 的正误.【详解】底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，∴在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，侧棱1AA ⊥平面ABC ，A 选项，∴1AA BC ⊥，又ACBC ⊥，且1AA AC A = ，则BC ⊥平面11A ACC ，∴四棱锥11B A ACC -为“阳马”，故A 正确；B 选项，由ACBC ⊥，即11A C BC ⊥，又111AC C C ⊥且1BC C C C ⋂=，∴11A C ⊥平面11BB C C ，∴111A C BC ⊥，则11A BC V 为直角三角形，又由BC ⊥平面11AA C C ，得1A BC 为直角三角形，由“堑堵”的定义可得11AC C 为直角三角形，1CC B 为直角三角形，∴四面体11AC CB 为“鳖膈”，故B 正确；C 选项，在底面有2242AC BC AC BC =+≥⋅，即2AC BC ⋅≤，当且仅当AC BC ==1111111243333B A ACC A ACC V S BC AA AC BC AC BC -=⨯=⨯⨯=⨯≤，最大值为43，故C 错误；D 选项，因为1AE A B ⊥，1EF A B ⊥，AE EF E ⋂=，所以1A B ⊥平面AEF ，故D 正确；故选：C16.已知数列{}n a 是各项为正数的等比数列，公比为q ，在12,a a 之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为1d ，在23,a a 之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为2,d ，在1,n n a a +之间插入n 个数，使这2n +个数成等差数列，公差为n d ，则（）A .当01q <<时，数列{}n d 单调递减B.当1q >时，数列{}n d 单调递增C.当12d d >时，数列{}n d 单调递减D.当12d d <时，数列{}n d 单调递增【答案】D 【解析】【分析】根据数列{}n d 的定义，求出通项，由通项讨论数列的单调性.【详解】数列{}n a 是各项为正数的等比数列，则公比为0q >，由题意1(1)n n n a a n d +=++，得()1111n n n n a a a d n n q +-==++-，01q <<时，0n d <，有()1112n n q n d d n ++=<+，1n n d d +>，数列{}n d 单调递增，A 选项错误；1q >时，0n d >，()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递增，则()112q n n +>+，即21n q n +>+，由*N n ∈，需要32q >，故B 选项错误；12d d >时，()()113112a a q q q >--，解得312q <<，1q >时，0n d >，由()112n n q n d d n ++=+，若数列{}n d 单调递减，则()112q n n +<+，即21111n q n n +<=+++，而312q <<不能满足()*11N 1q n n <+∈+恒成立，C 选项错误；12d d <时，()(113112a a q q q <--，解得01q <<或32q >，由AB 选项的解析可知，数列{}n d 单调递增，D 选项正确.故选：D【点睛】思路点睛：此题的入手点在于求数列{}n d 的通项，根据n d 的定义求得通项，再讨论单调性.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17.如图，已知点P 在圆柱1O O 的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，2OA =，120A O P ∠=︒．（1）求直线1A P 与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面1A BP 的距离．【答案】（1）3arctan2；（2）677【解析】【分析】（1）根据圆柱的特征可得直线1A P 与平面ABP 的夹角，即为1APA ∠，然后利用圆柱的表面积为20π求出13BB =，求出11tan 2AA APA AP ∠==，进而求解；（2）利用等体积转化法即可求解.【小问1详解】由题意知，直线1A P 与平面ABP 的夹角，即为1APA ∠，易知90APB ∠=︒，30PAO ∠=︒，又2AO =，故4AB =，进而有2PB =，PA =，由圆柱1OO 的表面积为212π22π220πBB ⋅+⋅⋅=，可得13BB =，故11tan 2AA APA AP ∠==，故直线1A P 与平面ABP 的夹角为arctan 2．【小问2详解】设点A 到平面1A PB 的距离为h ，则11A A PB A APB V V --=，111133A PB APB S h S AA ⋅⋅=⋅⋅ ，12APB S AP BP =⋅= 因为1AA ⊥平面ABP ，BP AP ⊥，所以BP ⊥平面1A AP ，即1BP A P ⊥，在1Rt A PB 中，1A P ==故1112A PB S A P PB =⋅= ，所以7h =，即点A 到平面1A PB 的距离为677．18.在△ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 的对边，()2,m a c b =+ ，()cos ,cos n B C = ，0m n ⋅=.（1）求角B 大小；（2）设()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，当2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的最小值及相应的x .【答案】（1）2π3B =（2）当7π12x =时，()f x 有最小值2-.【解析】【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；（2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x 值.【小问1详解】由已知条件得()2cos cos 0m n a c B b C ⋅=++=，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0A C B B C ++=，即2sin cos sin cos sin cos 0A B C B B C ++=，()2sin cos sin =0A B B C ++,则2sin cos sin 0A B A +=，∵sin 0A ≠，∴1cos 2B =-，又∵()0,πB ∈,∴2π3B =;【小问2详解】()()2π2cos sin 2sin sin 2sin cos cos 3f x x x x B x x A C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭212cos sin cos sin cos22x x x x x x ⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭222sin cos x x x x =+-sin 22x x =+π2sin 23x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,∵2,63ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,∴π2π5π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦,π22sin 23x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，则()f x 的最小值2-，其中π3π232x +=，即当7π12x =时，()f x 有最小值2-.19.某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日的微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（1）从3月2日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（2）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X ，求X 的分布列及数学期望；（3）下图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名（按照从大到小排序）分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．【答案】（1）12（2）分布列见解析，()87E X =（3）3月3日【解析】【分析】（1）根据古典概型公式求解即可.（2）根据题意得到0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，再写出分布列数学期望即可.（3）根据折线图和频率分布直方图求解即可.【小问1详解】令时间A 为“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”，从3月2日至3月7日这6天中，3月2日、5日、7日这3天中，甲乙微信记步数都不低于10000，故()3162P A ==.【小问2详解】由（1）知：0,1,2X =，()2327C 10C 7P X ===，()113427C C 41C 7P X ===，()2427C 22C 7P X ===，X 的分布列为：X12P174727()14280127777E X =⨯+⨯+⨯=【小问3详解】根据频率分步直方图知：微信记步数落在[]20,25，[)15,20，[)10,15，[)5,10，[)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530⨯=人，2000.2550⨯=人，2000.360⨯=人，2000.240⨯=人，2000.120⨯=人，由甲微信记步数排名第68，可知当天甲微信记步数在15000到20000万之间，根据折线图知：只有3月2日，3月3日，3月7日.由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000到10000万之间，根据折线图知：只有3月3日和3月6日，所以3月3日符合要求.20.已知椭圆Γ：(22210,2x y m m m +=>≠，点,A B 分别是椭圆Γ与y 轴的交点（点A 在点B 的上方），过点()0,1D 且斜率为k 的直线l 交椭圆Γ于,E G 两点．（1）若椭圆Γ焦点在x 轴上，且其离心率是22，求实数m 的值；（2）若1m k ==，求BEG 的面积；（3）设直线AE 与直线2y =交于点H ，证明：,,B G H 三点共线．【答案】（1）2m =（2）)213+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据离心率的定义计算即可；（2）联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出EG ，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；（3）联立直线和椭圆方程，先表示出H 坐标，将共线问题转化成证明BG BH k k =，结合韦达定理进行化简计算.【小问1详解】依题意，222212m e m -==，解得2m =（负数舍去）.【小问2详解】1k =的直线经过(0,1)，则直线方程为：1y x =+；1m =，则椭圆的方程为：2212y x +=.设()()1122,,,E x y G x y 联立直线和椭圆方程：22112y x y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得到23210x x +-=，解得1211,3x x =-=，则1240,3y y ==，故()141,0,,33E F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，于是3EF =.依题意知，B 为椭圆的下顶点，即(0,B ，由点到直线的距离，(0,B 到1y x =+.故12233BEG S +=⨯⨯ 【小问3详解】设()()1122,,,E x y G x y 联立直线和椭圆方程：222112y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得到22222(2)20m k x km x m ++-=，由11(,),(0,E x y A ，得到直线AE方程为：11y y x x =+，令2y =，解得x =2H ⎛⎫⎪⎪⎭，又22(),G x y，(0,B ，为说明,,B G H 三点共线，只用证BG BH k k =，即证：222y x +=，下用作差法说明它们相等：22212221(32y y y y x x x x ++++--=-，而11221,1y kx y kx =+=+，2222221212y kx k x x x +++==+，11111(322)(2)(322)(12)21(3y kx k x x x +-++-+==+-，于是上式变为：2112122111(31)(2k k x x x x ⎛⎫++-++=-+ ⎪⎝⎭.由韦达定理，2122221222222km x x m k mx x m k ⎧-+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，于是121212112x x k x x x x +==+，故12111)(20k x x ⎛⎫++-+= ⎪⎝⎭，命题得证.21.已知定义域为D 的函数()y f x =，其导函数为()y f x ''=，满足对任意的x D ∈都有()1f x '<．（1）若()ln f x ax x =+，[]1,2x ∈，求实数a 的取值范围；（2）证明：方程()0f x x -=至多只有一个实根；（3）若()y f x =，R x ∈是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数1x ，2x ，都有()()121f x f x -<．【答案】（1）3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，将问题转化成恒成立问题，即1111a x x--<<-在[]1,2x ∈上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；（2）构造函数()()g x f x x =-，由题易知()()g x f x x =-在定义域上严格单调，从而得到证明；（3）利用函数是定义域为R 的周期函数，知函数()f x 在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件()1f x '<，得到()()()12121f x f x M mx bf x x a -<-'-<-≤，再对a b -与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论.【小问1详解】因为()ln f x ax x =+，[]1,2x ∈，所以()1f x a x'=+，由题意知，()1f x '<在[]1,2x ∈上恒成立，即11a x+<在[]1,2x ∈上恒成立，所以111a x -<+<，即1111a x x --<<-在[]1,2x ∈上恒成立，令111y x =-，211y x =--易知，在[]1,2x ∈上，函数111y x =-和211y x=--均单调递增，所以302a -<<.【小问2详解】令()()g x f x x =-，故()()10g x f x ''=-<，所以函数()g x 是严格减函数，故()0f x x -=至多只有一个实根；【小问3详解】设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设()f a M =，()f b m =，因为函数()()R y f x x =∈是周期为2，取一个周期[]0,2，且()1f x '<，则有()()()12121f x f x M mx bf x x a -<-'-<-≤，若1a b -≤，则()()121f x f x M m a b -≤-<-≤成立，若1a b ->，设a b >，即1a b ->，故12a b +>+，且2a b <+，则021b a <+-<，所以()()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤-+<成立，综上，()()121f x f x -≤对任意实数1x ，2x 都成立，所以原式得证．【点睛】关键点点睛：对于（1）恒（能）成立问题，常通过构造函数，转化成求函数的最值来求解；对于（3），设()f x 的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期[]0,2上，()(),f a M f b m ==，当1a b -≤时，结论显然成立，当1a b ->时，利用基本不等式的性质可证明()()()()12221f x f x M m f a f b a b -≤-=-+≤--<.第18页/共18页。

一、单选题二、多选题1. 若复数满足，复数的虚部是（ ）A．B．C．D．2. 已知，则（ ）A．B．C．D．3. 已知为等差数列的前项和，若，则数列的前项和为（ ）A．B．C．D ．4. 如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．5. 已知复数为z 的共轭复数，则（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，，则（ ）A．B．C．D．7. 在中，，，，则（ ）A．B．C．D．8. 已知全集，，，则（ ）A．B．C．D．9. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为，直线与圆的另一个交点为，且点满足.记直线与平面所成的角为，异面直线与所成的角为，二面角的大小为，则下列说法不一定正确的是（）A．B．C．D．10. 研究与试验发展（R&D ）经费支出指统计年度内全社会实际用于基础研究、应用研究和试验发展的经费支出．根据国家统计局发布的全国科技经费投入统计公报，得到2015—2019年研究与试验发展经费支出及其增长速度的统计图如图所示，则（ ）上海市崇明区2022届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题上海市崇明区2022届高三上学期模拟质量调研（一模）数学试题A．2015—2019年研究与试验发展经费支出呈增长趋势B．2015—2019年研究与试验发展经费支出的增长速度逐年增大C．2015—2019年研究与试验发展经费支出的增长速度的极差为3.6%D．2016—2019年研究与试验发展经费支出增长速度的增量最大的是2016年11. 如图，虚线是某印刷厂的收支差额y关于印刷量x的图象，现有一单位需印制一批证书，为此印刷厂员工给出了以下两种方案，方案一：收取制版费和印刷费，其中印刷费用按原价的八折收取；方案二：不收取制版费，印刷量达到一定数量后，超出部分按原价的六折收取，则符合两种方案描述的图象（实线部分）是（）A．B．C．D．12. 如图，已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，三点共线，若直线的斜率为，直线的斜率为，则（）A．的渐近线方程为B．C．的面积为D．内接圆的半径为三、填空题四、解答题13. 如图所示为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为____________.14.已知正四棱锥的体积为，底面边长为，则侧棱的长为_______．15. 已知函数给出下列四个结论：①存在实数，使函数为奇函数；②对任意实数，函数既无最大值也无最小值；③对任意实数和，函数总存在零点；④对于任意给定的正实数，总存在实数，使函数在区间上单调递减.其中所有正确结论的序号是______________.16.如图，是边长为2的正六边形所在平面外一点，的中点为在平面内的射影，．(1)证明：平面．(2)若，二面角的大小为，求．17. 等差数列中，分别是如表所示第一、二、三行中的某一个数，且其中的任意两个数不在表格的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)请选择一个可能的组合，并求数列的通项公式.(2)记（1）中您选择的的前n 项和为S n ，判断是否存在正整数k，使得成等比数列?若存在，请求出k 的值;若不存在，请说明理由.18. 已知函数．(1)若，，求的对称中心；(2)已知，函数图象向右平移个单位，得到函数的图象，是的一个零点，若函数在（且）上恰好有10个零点，求的最小值；(3)已知函数，在第（2）问条件下，若对任意，存在，使得成立，求实数的取值范围．19. 如图，在斜中，角，，所对角的边分别为，，，且，为边上一点，，，.（1）求角的大小；（2）求的面积.20. 如图，在三棱锥中，，，，，点是线段的中点，连接，.（1）求证：；（2）若，，求三棱锥的体积.21. 某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据．成绩分为，，，，五个等级（等级，，，，分别对应5分，4分，3分，2分，1分）．某班学生两科的考试成绩的数据统计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为的考生有3人．（1）求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为的人数；（2）若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．从这9人中随机抽取三人，设三人的成绩之和为，求．（3）从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”．规则为：每队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率分别是，，，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？（只需写出结果）。

一、选择题1．12i 12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+ C ．34i 55-- D ．34i 55-+ 2．已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A ．2B 1C 1D ．33．设()()2225322z t t t t i =+-+++，其中t ∈R ，则以下结论正确的是（ ） A ．z 对应的点在第一象限B ．z 一定不为纯虚数C ．z 对应的点在实轴的下方D ．z 一定为实数 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．在复平面内,复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ,其中O 为坐标原点,则AB =（ ）A B C ．2 D ．47．若11z z -=+，则复数z 对应的点在（ ）A ．实轴上B ．虚轴上C ．第一象限D ．第二象限 8．若复数z 满足232,z z i +=-其中i 为虚数单位，则z= A ．1+2iB ．1-2iC ．12i -+D ．12i -- 9．复数252i +i z =的共轭复数z 在复平面上对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．设复数z 满足()1i i z +=，则z =（ ）A B ．12CD ．2 11．已知复数z 满足()211i i z +=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i + B ．1i -+C ．1i -D ．1i --12．已知复数21ai z i +=-是纯虚数，则实数a 等于（ ）A B ．2 C D二、填空题13．i 是虚数单位，若84i z z +=+，则z =___________.14．计算：8811i i -⎛⎫-= ⎪+⎝⎭______________. 15．已知复数z 满足|z 2-2i||z|+=（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点的坐标（x ，y ）的轨迹方程为__________.16．已知复数z ，且|z|＝1，则|z+3+4i|的最小值是________．17．设b R ∈，i 是虚数单位，已知集合{}|2A z z i =-≤，{}11|1,B z z z bi z A ==++∈，若A B ⋂≠∅，则b 的取值范围是________． 18．复数(1)(z i i i =-为虚数单位）的共轭复数为________.19．关于x 的不等式mx 2-nx+p>0(m ,n ,p ∈R)的解集为(-1,2),则复数m+p i 所对应的点位于复平面内的第____象限.20．若复数z 满足2z i z i -++=，则1z i --的取值范围是________三、解答题21．计算下列各式：（1）32322323i i i i+-+-+；（2）()3111i i i i +++-； 22．已知1z i =+，i 为虚数单位.（1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az b i z z ++=--+，求实数a ，b 的值. 23．设虚数z 满足2510z z +=+.（1）求z 的值；（2）若()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，求复数z . 24．已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的两根为1x 、2x . （1）若134x i =+，求p 的值；（2）若121x x -=，求实数p 的值.25．复数()()()2152615z i m i m i =++-+-．（1）实数m 取什么数时，z 是实数；（2）实数m 取什么数时，z 是纯虚数；（3）实数m 取什么数时，z 对应的点在直线70x y ++=上．26．若z C ∈，i 为虚数单位，且|22|1z i +-=，求|22|z i --的最小值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i i i ++-+==∴-选D. 点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.2．B解析：B【分析】复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又|1|z i -+(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得x ma |1|11z i -+==， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题． 3．C解析：C【分析】根据()2222110t t t ++=++>，2253t t +-可正可负也可为0，即可判定.【详解】 ()2222110t t t ++=++>，z ∴不可能为实数，所以D 错误；z ∴对应的点在实轴的上方，又z 与z 对应的点关于实轴对称，z 对应的点在实轴的下方，所以C 正确；213,25302t t t -<<+-<，z 对应的点在第二象限，所以A 错误； 21,25302t t t =+-=，z 可能为纯虚数，所以B 错误； ∴C 项正确.故选：C【点睛】此题考查复数概念的辨析，关键在于准确求出实部和虚部的取值范围.4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩ ，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．C解析：C【分析】利用复数的几何意义、向量的模长公式和坐标运算，即可求解，得到答案．【详解】因为复数1i +与13i +分别对应向量OA 和OB ，所以向量(1,1)OA =和(1,3)OB =，所以(0,2)AB OB OA =-=，则22022AB AB ==+=，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的几何意义、向量的模长计算和坐标运算，着重考查了推理能力和计算能力，属于基础题． 7．B解析：B【分析】首先分析题目，设z x yi =+，将其代入11z z -=+进行化简可得0x =，从而可得结论.【详解】设z x yi =+，则11x yi x yi +-=++，即()()222211x y x y -+=++，解得0x =，所以z yi =，它对应的点在虚轴上.故选B.【点睛】本题主要考查复数的模以及复数的几何意义，属于中档题. 8．B解析：B【解析】试题分析：设i z b a =+，则23i 32i z z a b +=+=-，故，则12i z =-，选B.【考点】注意共轭复数的概念【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，有时对复数的运算与概念、复数的几何意义等进行综合考查，也是考生必定得分的题目之一.9．C解析：C【解析】【分析】根据复数的运算求得2i z =-+，得到z 2i =--，再根据复数的表示，即可求解，得到答案．【详解】由题意，根据复数的运算可得复数252i +i 2i z ==-+， 则z 2i =--，所以z 对应点(2,1)--在第三象限，故选C ．【点睛】本题主要考查了复数的运算，以及复数的表示，其中解答中熟记复数的运算法则，以及复数的表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．10．A解析：A【解析】由()1i z i +=，得()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22z -=+++-＝＝，2z ∴=＝故选A ． 11．B解析：B【解析】因为()211i i z+=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B. 12．B解析：B【分析】 化简复数2222a a z i -+=+，根据复数z 是纯虚数，得到202a -=且202a +≠，即可求解.【详解】 由题意，复数()()()()2122211122ai i ai a a z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 是纯虚数，可得202a -=且202a +≠，解得2a =，所以实数a 等于2.故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，以及复数的基本概念的应用，其中解答中熟记复数的运算法则，结合复数的基本概念求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．【分析】先设复数再求得最后利用复数相等即可求得【详解】解：设复数则所以所以根据复数相等得：解得所以故答案为：【点睛】本题考查复数的相等概念共轭复数复数的模等是基础题解析：34i +【分析】先设复数(),,z a bi a b R =+∈，再求得z =. 【详解】解：设复数(),,z a bi a b R =+∈，则z a bi =-=所以84z a bi i z =+=++，所以根据复数相等得：84a b ⎧⎪+=⎨=⎪⎩，解得34a b =⎧⎨=⎩， 所以34z i =+，故答案为：34i +【点睛】本题考查复数的相等概念，共轭复数，复数的模等，是基础题.14．【分析】先利用复数的运算法则将和化简然后计算出及的值然后得出的值【详解】故答案为：解析：0【分析】 先利用复数的运算法则将11i i -+和2化简，然后计算出811i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭及8的值，然后得出8811i i -⎛⎫- ⎪+⎝⎭的值． 【详解】()()()()8422848811111011i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤-=-=--=-=⎢⎥⎢⎥+-⎢-⎛⎫- ⎪+⎝⎭⎥⎥⎢⎣⎦⎣⎦． 故答案为：0．15．【分析】设复数根据模的计算公式得到化简即可求解【详解】设复数则所以整理得即在复平面内对应的点的坐标的轨迹方程为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的运算以及复数的表示及应用其中解答中熟记复数的模 解析：20x y -+=【分析】设复数(,)z x yi x y R =+∈=简即可求解.【详解】设复数(,)z x yi x y R =+∈，则z =22(2)(2)z i x y i +-=++-==20x y -+=，即z 在复平面内对应的点的坐标(,)x y 的轨迹方程为20x y -+=.故答案为：20x y -+=.【点睛】本题主要考查了复数的模的运算，以及复数的表示及应用，其中解答中熟记复数的模的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.16．4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|求出|z+3+4i|的最小值即可方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1∴|z+3解析：4【解析】【分析】方法一：根据绝对值不等式|a |﹣|b |≤|a +b |≤|a |+|b |，求出|z +3+4i |的最小值即可．方法二：利用复数的几何意义求解即可【详解】方法一：∵复数z 满足|z|＝1，∴|z+3+4i|≥|3+4i|﹣|z|＝5﹣1＝4，∴|z+3+4i|的最小值是4．方法二：复数z 满足|z|＝1，点z 表示以原点为圆心、1为半径的圆．则|z+3+4i|表示z 点对应的复数与点（﹣3，﹣4）之间的距离，圆心O 到点（﹣3，﹣4）之间的距离d ==5，∴|z+3+4i|的最小值为5﹣1＝4，故答案为4．【点睛】本题考查了不等式的应用问题，也考查了复数的几何意义及运算问题，属基础题． 17．【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（01）为圆心半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（11+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围【详解】由题意集解析：b ≤≤【解析】【分析】根据复数的代数表示法及其几何意义可知集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部；集合B 表示圆的圆心移动到了（1，1+b ）；两圆面有交点即可求解b 的取值范围．【详解】由题意，集合A 表示的点的轨迹是以（0，1）为圆心，半径为2的圆及内部； 集合B 表示点的轨迹为以（1，1+b ）为圆心，半径为2的圆及内部∵A∩B≠∅，说明，两圆面有交点；∴4≤．可得：b ≤≤，故答案：b ≤≤，【点睛】本题考查复数几何意义，圆与圆的位置关系，体现了数学转化思想方法，明确A.B 集合的意义是关键，是中档题18．【分析】根据复数的乘法运算可求z 写出其共轭复数即可【详解】因为所以故填【点睛】本题主要考查了复数的运算共轭复数属于中档题解析：1i -【分析】根据复数的乘法运算可求z,写出其共轭复数即可.【详解】因为()1z i i =-1i =+，所以 1z i =-，故填1i -【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数，属于中档题.19．二【解析】分析：先根据x 的不等式mx2-nx+p>0(mnp ∈R)的解集为(-12)得到再分析出m<0p>0再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限详解：∵mx2-nx+p>0(mnp ∈R解析：二.【解析】分析：先根据x 的不等式mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2)得到0,n -12,m p -12,m m ⎧⎪<⎪⎪+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩（）（）再分析出m<0,p>0,再确定复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.详解：∵mx 2-nx+p>0(m,n,p ∈R)的解集为(-1,2),0,n (-1)2,m p (-1)2,m m ⎧⎪<⎪⎪∴+=⎨⎪⎪⨯=⎪⎩即m<0,p>0.故复数m+pi 所对应的点位于复平面内的第二象限.故答案为二.点睛：（1）本题主要考查复数的几何意义和一元二次不等式的解法，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)已知一元二次不等式的解集，一般要想到韦达定理.20．【解析】分析：由复数的几何意义解得点的轨迹为以为端点的线段表示线段上的点到的距离根据数形结合思想结合点到直线距离公式可得结果详解：因为复数满足在复平面内设复数对应的点为则到的距离之和为所以点的轨迹为解析：【解析】分析：由复数的几何意义解得点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，根据数形结合思想，结合点到直线距离公式可得结果. 详解：因为复数z 满足2z i z i -++=，在复平面内设复数z 对应的点为(),z x y ，则(),z x y 到()()0,1,0,1-的距离之和为2，所以点z 的轨迹为以()()0,1,0,1-为端点的线段，1z i --表示线段上的点到()1,1的距离，可得最小距离是()0,1与()1,1的距离，等于1；最大距离是()0,1-与()1,1即1z i --的取值范围是⎡⎣，故答案为⎡⎣.点睛：本题考查复数的模，复数的几何意义，是基础题. 复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi -+表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r -+=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆.三、解答题21．（1）0；（2）8i -【分析】利用复数的乘除运算法则求解.【详解】计算下列各式：（1）()()23233232023232323i i i i i i i i i i i i--++-+=+=-=-+-+；（2）()())3338111i i i i i i i i i+++=-++-=-=-.【点睛】 本题主要考查复数的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）ω；（2）12a b =-⎧⎨=⎩【分析】（1）求出1z i =+的共轭复数，代入234z z ω=+-化简，再求ω； （2）根据2211z az b i z z ++=--+，得到()()21a b a i i +++=+，列方程组即可求解. 【详解】（1）已知1z i =+，1z i ∴=-，()()213141i i i ω=++--=--∴，ω∴=（2）()()22211a b a z az b i z z i i+++++==--+， ()()21a b a i i ∴+++=+，121a b a +=⎧∴⎨+=⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩. 【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及共轭复数，复数的模长，根据两个复数相等列方程组求解.23．（1）5；（2）22i -或22-+. 【分析】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），根据条件2510z z +=+得出x 、y 所满足的关系式，从而可得出z 的值；（2）将复数()12i z -表示为一般形式，然后由题意得出实部与虚部相等，并结合2225x y +=，求出x 、y 的值，即可得出复数z .【详解】（1）设z x yi =+（x 、y R ∈，i 为虚数单位），则()25252z x yi +=++，()1010z x yi +=++， 由2510z z +=+=2225x y +=，因此，5z ==； （2）()()()()()121222i z i x yi x y y x i -=-+=++-，由于复数()12i z -在复平面上对应的点在第一、第三象限的角平分线上，则22x y y x +=-，所以22325y x x y =-⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或22x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.因此，z=或. 【点睛】 本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的几何意义，解题时要结合已知条件将复数表示为一般形式，考查运算求解能力，属于中等题.24．（1）6；（2）p =或p =±【分析】（1）将134x i =+代入方程，将复数化为一般形式，利用复数相等可求得实数p 的值； （2）列出韦达定理，由121x x -=可得出关于p 的等式，由此可解得实数p 的值.【详解】（1）已知关于x 的方程()2250x px p R -+=∈的一根为134x i =+，所以，()()()()23434251832440i p i p p i +-++=-+-=，所以，1832440p p -=-=，解得6p ；（2）2100p ∆=-，由题意得121225x x p x x +=⎧⎨=⎩.若0∆≥，即2100p ≥，则121x x -===，解得p =；若∆<0，即100p <，由2250x px -+=，可得22210024p p x ⎫-⎛⎫⎪-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得12p x =+，22p x =，则121x x i -===，解得p =±.综上所述，p =或p =±【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于以下两点：（1）在解第一问时，可利用实系数的二次方程的两个虚根互为共轭复数来求解； （2）在解第二问时，应对二次方程是否有实根进行分类讨论，并结合韦达定理求解. 25．（1）5m =或3-；（2）2m =-；（3）12m =或2- 【分析】复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得m 即可得出． （2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得m 即可得出． （3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．解出即可得出．【详解】解：复数222(1)(52)(615)(56)(215)z i m i m i m m m m i =++-+-=+++--．（1）由22150m m --=，解得5m =或3-．5m ∴=或3-时，复数z 为实数．（2）由225602150m m m m ⎧++=⎨--≠⎩，解得2m =-． 2m ∴=-时，复数z 为纯虚数．（3）由22(56)(215)70m m m m +++--+=．化为：22320m m +-=，解得12m =或2-．12m ∴=或2-，z 对应点在直线70x y ++=上． 【点睛】本题考查了复数的运算法则及其有关概念，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 26．3 【分析】根据|22|1z i +-=，结合复数减法的模的几何意义，判断出z 对应点的轨迹，再根据复数减法的模的几何意义，结合圆的几何性质，求得|22|z i --的最小值.【详解】由|22|1z i +-=得|(22)|1z i --+=，因此复数z 对应的点Z 在以022z i =-+对应的点0Z 为圆心，1为半径的圆上，如图所示.设|22|y z i =--，则y 是Z 点到22i +对应的点A 的距离.又04AZ =，∴由图知min 0||13y AZ =-=.【点睛】本小题主要考查复数减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.。

复数几何意义及运算一、知识梳理1.复数的有关概念2.复数的几何意义复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即(1)复数z＝a＋b i复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).(2)复数z＝a＋b i(a，b∈R)平面向量OZ→.3.复数的运算设z1＝a＋b i，z2＝c＋d i(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋b i)＋(c＋d i)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋b i)－(c＋d i)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋b i)·(c＋d i)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：z1z2＝a＋b ic＋d i＝（a＋b i）（c－d i）（c＋d i）（c－d i）＝ac ＋bd ＋（bc －ad ）i c 2＋d 2(c ＋d i ≠0).小结：1.i 的乘方具有周期性i n＝⎩⎨⎧1，n ＝4k ，i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3(k ∈Z ).2.复数的模与共轭复数的关系 z ·z －＝|z |2＝|z －|2. 3.两个注意点(1)两个虚数不能比较大小；(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件.二、例题精讲 + 随堂练习1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( )(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( ) (3)原点是实轴与虚轴的交点.( )(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )解析 (1)虚部为b ；(2)虚数不可以比较大小. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√2.若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.2C.1或2D.－1解析 依题意，有⎩⎨⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2，故选B.答案 B3.复数⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2的共轭复数是( )A.2－iB.2＋iC.3－4iD.3＋4i解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫52－i 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）2＝(2＋i)2＝3＋4i ，所以其共轭复数是3－4i. 答案 C4.(2017·全国Ⅱ卷)3＋i 1＋i ＝( )A.1＋2iB.1－2iC.2＋iD.2－i解析3＋i 1＋i ＝（3＋i ）（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2－i. 答案 D5.(2018·北京卷)在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限解析11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，∴复数11－i的共轭复数对应的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，位于第四象限，故选D.答案 D6.(2019·青岛一模)已知复数z ＝－1＋i(i 是虚数单位)，则z ＋2z 2＋z＝________. 解析 ∵z ＝－1＋i ，则z 2＝－2i ，∴z ＋2z 2＋z ＝1＋i －1－i ＝（1＋i ）（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）＝－22＝－1. 答案 －1考点一 复数的相关概念【例1】 (1)(2019·上海崇明区质检)已知z ＝2－ii ，则复数z 的虚部为( ) A.－iB.2C.－2iD.－2(2)已知在复平面内，复数z 对应的点是Z (1，－2)，则复数z 的共轭复数z －＝( ) A.2－i B.2＋i C.1－2iD.1＋2i(3)(2019·大连一模)若复数z ＝1＋i1＋a i为纯虚数，则实数a 的值为( ) A.1B.0C.－12D.－1解析 (1)∵z ＝2－i i ＝（2－i ）（－i ）i·（－i ）＝－1－2i ，则复数z 的虚部为－2.故选D.(2)∵复数z 对应的点是Z (1，－2)，∴z ＝1－2i ，∴复数z 的共轭复数z －＝1＋2i ，故选D. (3)设z ＝b i ，b ∈R 且b ≠0， 则1＋i 1＋a i＝b i ，得到1＋i ＝－ab ＋b i ， ∴1＝－ab ，且1＝b ， 解得a ＝－1，故选D. 答案 (1)D (2)D (3)D【训练1】 (1)已知复数z 满足：(2＋i)z ＝1－i ，其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数为( ) A.15－35i B.15＋35i C.13－iD.13＋i(2)(2019·株洲二模)设i 为虚数单位，1－i ＝2＋a i1＋i ，则实数a ＝( )A.2B.1C.0D.－1解析 (1)由(2＋i)z ＝1－i ，得z ＝1－i 2＋i ＝（1－i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝15－35i ，∴z －＝15＋35i.故选B. (2)∵1－i ＝2＋a i1＋i，∴2＋a i ＝(1－i)(1＋i)＝2， 解得a ＝0.故选C. 答案 (1)B (2)C考点二 复数的几何意义【例2】 (1)已知i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，则z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限(2)(2019·北京新高考调研考试)在复平面内，复数z 对应的点与21－i对应的点关于实轴对称，则z ＝( ) A.1＋i B.－1－i C.－1＋iD.1－i解析 (1)由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝（1＋i ）（1－2i ）（1＋2i ）（1－2i ）＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限.(2)∵复数z 对应的点与21－i ＝2（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1＋i 对应的点关于实轴对称，∴z ＝1－i.故选D. 答案 (1)D (2)D【训练2】 (1)设i 是虚数单位，则复数11＋i 在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限(2)如图，若向量OZ→对应的复数为z ，则z ＋4z表示的复数为( )A.1＋3iB.－3－iC.3－iD.3＋i解析 (1)11＋i ＝1－i （1＋i ）（1－i ）＝12－12i ，则复数z 对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，在第四象限，故选D.(2)由题图可得Z (1，－1)，即z ＝1－i ，所以z ＋4z ＝1－i ＋41－i ＝1－i ＋4（1＋i ）（1－i ）（1＋i ）＝1－i ＋4＋4i2＝1－i ＋2＋2i ＝3＋i.故选D.答案 (1)D (2)D考点三 复数的运算【例3】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)(1＋i)(2－i)＝( ) A.－3－i B.－3＋i C.3－iD.3＋i(2)(2018·全国Ⅰ卷)设z ＝1－i1＋i＋2i ，则|z |＝( ) A.0B.12C.1D.2(3)设复数z ＝1＋2i ，则z 2＋3z －1＝( )A.2iB.－2iC.2D.－2(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＋2＋3i 3－2i＝________. 解析 (1)(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i.故选D.(2)∵z ＝1－i 1＋i ＋2i ＝（1－i ）2（1＋i ）（1－i ）＋2i ＝1－2i －12＋2i ＝i ，∴|z |＝|i|＝1.故选C.(3)z 2＋3z －1＝（1＋2i ）2＋31＋2i －1＝12＋4i ＋4i 2＋32i ＝4i 2i ＝2.故选C.(4)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1＋i ）226＋（2＋3i ）（3＋2i ）（3）2＋（2）2 ＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i.答案 (1)D (2)C (3)C (4)－1＋i【训练3】 (1)(2018·全国Ⅱ卷)i(2＋3i)＝( ) A.3－2i B.3＋2i C.－3－2iD.－3＋2i(2)已知i 为虚数单位，则1＋i3－i ＝( )A.2－i 5B.2＋i 5C.1－2i 5D.1＋2i 5(3)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则z 2－2z ＝( ) A.1＋3i B.1－3i C.－1＋3iD.－1－3i解析 (1)i(2＋3i)＝2i ＋3i 2＝－3＋2i ，故选D. (2)1＋i 3－i ＝（1＋i ）（3＋i ）（3－i ）（3＋i ）＝1＋2i5. (3)因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝2（1－i ）1－i 2＝2（1－i ）2＝1－i ，则z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.故选C.答案 (1)D (2)D (3)C三、课后练习1.(2019·烟台检测)设a ，b ∈R ，a ＝3＋b i3－2i(i 是虚数单位)，则b ＝( )A.－2B.－1C.1D.2解析 因为a ＝3＋b i 3－2i ＝（3＋b i ）（3＋2i ）（3－2i ）（3＋2i ）＝9－2b 13＋（6＋3b ）i13，a ∈R ，所以6＋3b13＝0⇒b ＝－2，故选A. 答案 A2.设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件解析 由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数， 得⎩⎨⎧x 2－4＝0，x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以“x ＝2”是“复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的充要条件，故选B. 答案 B3.计算⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝( )A.－2iB.0C.2iD.2解析 ∵1＋i 1－i ＝（1＋i ）2（1＋i ）（1－i ）＝2i2＝i ，1－i 1＋i ＝－i ，∴⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＋⎝⎛⎭⎪⎫1－i 1＋i 2 019＝(i 4)504·i 3＋[(－i)4]504·(－i)3＝－i ＋i ＝0.答案 B4.(2019·湖南三湘名校联考)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋2i2－i，则以下为真命题的是( )A.z 的共轭复数为75－4i5B.z 的虚部为85 C.|z |＝3D.z 在复平面内对应的点在第一象限 解析 ∵z ＝3＋2i 2－i ＝（3＋2i ）（2＋i ）（2－i ）（2＋i ）＝45＋7i5， ∴z 的共轭复数为45－7i 5，z 的虚部为75， |z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫752＝655，z 在复平面内对应的点为⎝ ⎛⎭⎪⎫45，75，在第一象限，故选D. 答案 D。

1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上2023-2024学年上海市崇明区高中数学苏教版 必修二第12章-复数专项提升(20) 姓名：____________ 班级：____________ 学号：____________考试时间：120分钟 满分：150分题号一二三四五总分评分*注意事项：阅卷人得分一、选择题（共12题，共60分）第一象限第二象限第三象限第四象限1. 复数对应的点在复平面内的（ ）A. B. C. D. 一二三四2. 设复数z 满足，则复数z 的共轭复数对应的点在第（ ）象限. A. B. C. D.1－3i 3－i 3＋i －1＋3i 3. 已知复平面内的平行四边形ABCD ，三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，0，那么点D 对应的复数为（）A. B. C.D. 124. 若复数 ，则 （ ）A. B. C. D. 2-25. 复数满足 ， 则（ ）A. B. C. D.第一象限第二象限第三象限第四象限6. 已知复数（是虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）A. B. C. D. 第一象限第二象限第三象限第四象限7. 已知 是虚数单位，复数 在复平面上所对应的点位于（ ）A. B. C. D.第一象限第二象限第三象限第四象限8. 已知复平面内，对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数对应的点位于（ ）A. B. C. D. 第一象限第二象限第三象限第四象限9. 已知 ，则复数 在复平面内对应的点位于（ ）A. B. C. D. i -i10. （ ）A. B. C. D. 111. 已知复数z 满足 (其中i 为虚数单位)，则 （ ）A. B. C. D.12. 1.设（是虚数单位），则（ ）A. B. C. D.13. 复数 的方程 在复平面上表示的图形是14. 已知是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为 ．15. 已知复数 ， ，则 ．16. 定义运算： ，若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 .17. 已知：复数，其中i 为虚数单位．(1) 求z 及；(2) 若 ，求实数a ，b 的值．18. 若α，β是实系数方程x 2+x+p=0 的二根，|α﹣β|=3，则求实数p 的值及方程的根．19. 已知复数，且 为纯虚数.(1) 求复数 ；(2) 若 ，求复数 以及模 .20.(1) 设集合， ，且 ，求实数m 的值.(2) 设 ， 是两个复数，已知 ， ，且 · 是实数，求 .21. 综合题。

一、选择题1．若341iz iz i+=+-（i 是虚数单位），则||z =（ ） A ．32B ．2C ．52D ．32．已知复数z 满|12||2|22z i z i ---++=（i 是虚数单位），若在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 的轨迹为（ ） A ．双曲线B ．双曲线的一支C ．两条射线D ．一条射线3．若z C ∈且221z i +-=，则12z i --的最小值是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．54．若202031i iz i+=+，则z 在复平面内对应点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 5．设复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，若，则等于A ．4iB ．C ．2D ．6．已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( ) A ．15-B ．25-C ．45D ．357．如果复数212bii-+的实部与虚部互为相反数，那么实数b 的值为（ ） A 2B ．23C ．-2D ．23-8．若复数z 满足(34)112i z i -=+，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为（ ） A ．2-B ．2C ．2i -D ．2i9．2(1)1i i +=-（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --10．已知复数z 满足21iz i=+，那么z 的虚部为（ ） A ．1B ．-iC ．1-D ．i11．在复平面内，复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C .若C 为线段AB 的中点，则点B 对应的复数是( )A ．24i +B ．82i +C ．82i --D ．10i -+ 12．下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）A ．(1)i i +B ．2(1)i +C ．2(1)i i +D ．2(1)i i +二、填空题13．设复数cos sin z i θθ=+，则z i -的最大值是______. 14．若z C ∈且||1z =，则|(22i)|z -+的最小值是________15．若复数()()()1212i i z i --=+，则z =______.16．1i +是实系数方程20x ax b --=的一个虚数根，则直线1ax by +=与圆22:1C x y +=交点的个数是______17．复数352019i i i i ++++=________.18．20191i 1i +⎛⎫ ⎪-⎝⎭＝_____．19．已知i 是虚数单位，则复数11i+所对应的点位于复平面内的第__________象限． 20．如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________.三、解答题21．若关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，满足αβ-=.（1）若1z ，2z ，m 均是实数，且212416z z -=，求m 的值；（2）若1z ，2z ，m 均是复数，且21241620z z i -=+，求m 的最大值和最小值． 22．已知复数()()22326z m m m m i =+++-- ，则当实数m 为何值时，复数z 是：（1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数； （4）对应的点在第三象限．23．计算：（1）)()245i +（2）1-的值．24．已知z 是复数，121z z ==，12z z +=12z z -. 25．设z 是虚数，1=z zω+是实数，且-1<2ω< （1） 求z 的实部的取值范围 （2）设11zzμ-=+ ，那么μ是否是纯虚数？并说明理由． 26．已知z 是复数，i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数2)(ai z +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】结合复数的四则运算,计算z ，结合复数模长计算公式，计算，即可． 【详解】()3411i i z i +-=-,化简,得到322z i =-+,因此52z ==,故选C. 【点睛】考查了复数的四则运算，考查了复数的模长计算公式，难度中等．2．B解析：B 【分析】利用两个复数的差的绝对值表示两个复数对应点之间的距离，得出等式的几何意义，结合双曲线的定义，即可求解. 【详解】因为复数z 满|12||2|z i z i ---++=（i 是虚数单位）， 在复平面内复数z 对应的点为Z ，则点Z 到点(1,2)的距离减去到点(2,1)--的距离之差等于而点(1,2)与点(2,1)--之间的距离为根据双曲线的定义，可得点Z 表示(1,2)和(2,1)--为焦点的双曲线的一支. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了复数的几何意义及其应用，其中解答中根据复数模的几何意义，结合双曲线的定义求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.3．A解析：A 【分析】设z x yi =+，得到()()22221x y ++-=，化简得到12z i --=根据其几何意义计算得到答案. 【详解】设z x yi =+，则()()22221z i x y i +-=++-==，即()()22221x y ++-=，表示圆心为()2,2-，半径为1r =的圆.()()()()22121212z i x y i x y --=-+-=-+-，表示点(),x y 和()1,2之间的距离，故()()min 12122z i r --=---=. 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的模，与圆相关距离的最值问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.4．A解析：A 【分析】化简得到2z i =+，得到答案. 【详解】()()()()202013131342211112i i i i i i z i i i i i +-+++=====++++-，对应的点在第一象限.故选：A . 【点睛】本题考查了复数对应象限，意在考查学生的计算能力.5．D解析：D 【解析】 【分析】利用复数的运算法则可得：，再利用几何意义可得． 【详解】，复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，，则．故选：D ． 【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．C解析：C 【分析】利用复数代数形式的乘除运算法则求出241255i z i i i -=+=-++，由此能求出复数z 的虚部． 【详解】∵复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，∴()()()122412121255i i i z i i i i i i ---=+=+=-+++-． ∴复数z 的虚部等于45，故选C. 【点睛】本题考查复数的虚部的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意复数代数形式的乘除运算法则的合理运用．7．D解析：D 【分析】先根据复数除法化为代数形式，再根据实部与虚部互为相反数解得b 的值. 【详解】因为()2242125b b i bi i --+-=+,所以()4222553b b b -+-=-=-，,选D.【点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为(,)a b 、共轭为.-a bi 8．B解析：B 【分析】用复数除法运算求得z ，由此求得z 的虚部. 【详解】 依题意()()()()1123411225501234343425i i i iz i i i i ++++====+--+，虚部为2. 故选B. 【点睛】本小题主要考查复数的除法运算，考查复数虚部的概念，属于基础题.9．C解析：C 【分析】由题意结合复数的运算法则计算其值即可. 【详解】由复数的运算法则有：()()()()()22121(1)21111112i i i i i i i i i i i i i +++====+=-+---+.故选C . 【点睛】本题主要考查复数的除法运算，复数的乘法运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．A解析：A 【分析】根据复数除法的运算法则化简，即可求出复数虚部. 【详解】 因为22(1)112i i i z i i -===++，所以虚部为1，故选A. 【点睛】本题主要考查了复数的运算法则及复数的实部虚部的概念，属于中档题.11．D解析：D 【解析】分析：根据两个复数对应的点的坐标分别为(6,5)A ，(2,3)C -，由C 为线段AB 的中点即可确定中点B 的坐标，从而可得答案． 详解：∵复数65,23i i +-+对应的点分别为,A C ∴(6,5)A ，(2,3)C - ∵C 为线段AB 的中点∴(10,1)B -∴点C 对应的复数是10i -+ 故选D.点睛：本题考查复平面的基本知识及中点坐标公式．求解此类问题要能够灵活准确的对复平面内的点的坐标与复数进行相互转化，复数(,)x yi x y R +∈与复平面内(,)x y 一一对应.12．B解析：B 【解析】分析：首先将选项当中的每个复数都算一遍，求得结果，根据纯虚数的定义，找到结果. 详解：(1)1i i i +=-+，2(1)2i i +=，2(1)1i i i +=--，22(1)22i i i +==-， 通过比较可以知道，只有2i 为纯虚数，故选B.点睛：该题所考查的是有关复数的问题，在解题的过程中，利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可判断结论.二、填空题13．2【分析】根据复数模的公式知再由三角函数的最值求得答案【详解】当时的最大值是2故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的模三角函数最值的求法属于中档题解析：2 【分析】根据复数模的公式知z i -=，再由三角函数的最值求得答案．【详解】z cos isin θθ=+，()1z i cos sin i θθ∴-=+-==∴当1sin θ=-时，z i -的最大值是2．故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了复数的模，三角函数最值的求法，属于中档题．14．【分析】表示以原点为圆心1为半径的圆到原点的距离可得的最小值【详解】的轨迹是以原点为圆心1为半径的圆到原点的距离则（为虚数单位）的最小值故答案为：【点睛】本题考查复数的运算法则几何意义考查推理能力与解析：1【分析】||1z =，表示以原点为圆心、1为半径的圆，(2,2)到原点的距离d =|(22i)|z -+的最小值d r =-．【详解】||1z =，∴z 的轨迹是以原点为圆心、1为半径的圆．(2,2)到原点的距离d =则|(22i)|z -+（i 为虚数单位）的最小值1d r =-=．故答案为：1. 【点睛】本题考查复数的运算法则、几何意义，考查推理能力与计算能力．15．【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求出即可求出【详解】复数故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的模的求法复数代数形式的乘除运算法属于容易题【分析】根据复数代数形式的乘除运算法则求出1z i =--，即可求出z ． 【详解】 复数()()()()()()()222121312221313265511212121212145i i i i i i i i i i i i z i i i i i i i ------+---+--=======--++++--，z ∴==．【点睛】本题主要考查了复数的模的求法，复数代数形式的乘除运算法，属于容易题．16．【分析】根据韦达定理表示出两根之和与两根之积由方程的一个虚根得到另一根进而求出与的值确定出直线的方程利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离判断与圆半径的大小关系可得出直线与圆的位置关系即可得 解析：2【分析】根据韦达定理表示出两根之和与两根之积,由方程的一个虚根1i +得到另一根,进而求出a 与b 的值,确定出直线的方程.利用点到直线的距离公式,求出圆心到已知直线的距离d ,判断d与圆半径r 的大小关系,可得出直线与圆的位置关系,即可得到直线与圆交点的个数.【详解】 20x ax b --=∴11=x i + 则21x i =-由韦达定理可得:1212,x x a x x b +=⋅=- ∴ 1+1=i i a +- ()()11=i i b +-解得:2,2a b ==∴直线方程为221x y +=由圆心()0,0到直线的距离:4d == 圆的半径1r = 故:d r <得到直线与圆的位置关系是相交,则直线与圆的交点个数是2个. 故答案为:2. 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系.判断直线与圆的位置关系,只需判断圆心到直线的距离d 与圆的半径的关系即可,当d r =时,直线与圆相切.当dr 时,直线与圆相离;当d r <时,直线与圆相交.17．【分析】将视为等比数列的前项和利用等比数列的求和公式可计算出代数式的值【详解】由题意可知为等比数列的前项和且该数列的首项为公比为所以故答案为【点睛】本题考查复数的计算考查复数乘方的计算注意复数乘方周解析：0【分析】 将352019i i i i ++++视为等比数列{}21n i-的前1010项和，利用等比数列的求和公式可计算出代数式的值.【详解】由题意可知，352019i i i i ++++为等比数列{}21n i -的前1010项和，且该数列的首项为i ，公比为2i ，所以，()()1010101023520192111012i i i i i i i i ⎡⎤⎡⎤---⎢⎥⎣⎦⎣⎦++++===-. 故答案为0. 【点睛】本题考查复数的计算，考查复数乘方的计算，注意复数乘方周期性的应用，同时也可以转化为等比数列求和来处理，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可求解得到答案【详解】由题意根据复数的运算可得所以故答案为【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算其中解答中熟记复数的运算法则准确运算是解答的关键着重 解析：i ﹣【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，根据复数的运算可得21(1)1(1)(1)i i i i i i ++==--+， 所以2019201945043311i i i i i i ⨯++⎛⎫====- ⎪-⎝⎭．故答案为i -．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，其中解答中熟记复数的运算法则，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．19．四【解析】复数该复数对应的点为在第四象限故答案为四解析：四 【解析】 复数()111111(1)22i i i i i -==-++-，该复数对应的点为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在第四象限，故答案为四. 20．【详解】由复数的运算法则可知因为复数是实数则 解析：1-【详解】由复数的运算法则可知223()(1)()(1)m i mi m m m i ++=-++， 因为复数2()(1)m i mi ++是实数，则3101m m +=⇒=-.三、解答题21．（1）3m =-；（2）7+7 【分析】（1）先由题意，根据根与系数关系得到1αβz ，2αβz m ，求出12284()2+-=z z m ，再由题意，得出42816+=m ，即可得出结果；（2）先由题意设ma bi ，（,ab ∈R ），得到[]212444(4)(5)--=-+-z z m a b i ，再结合题中条件，得到222(4)(5)7-+-=a b ，将复数模的问题，转化为圆上的点到与定点的距离问题，进而可求出结果. 【详解】（1）因为1z ，2z ，m 均是实数，关于x 的二次方程2120x z x z m +++=的两根为α，β，所以1αβz ，2αβz m ，又αβ-=()2428αβαβ=-+，即12284()2+-=z z m ，即1228442=+-z z m ，又212416z z -=，所以42816+=m ，解得：3m =-； （2）因为1z ，2z ，m 均是复数，设ma bi ，（,ab ∈R ），则[]212441620444(4)(5)--=+--=-+-z z m i a bi a b i ，由αβ-=228αβ-=，即()2428αβαβ+-=，所以1228442-=-z z m ，即(4)(5)7-+-=a b i ，所以222(4)(5)7-+-=a b ，即复数m 对应的点(,)a b 在圆222(4)(5)7-+-=a b 上，77=77=因此=m 7，最小值为7【点睛】本题主要考查根与系数关系的应用，以及复数模的计算，熟记复数的运算法则，以及复数的几何意义即可，属于常考题型.22．（1）m ＝3或m ＝﹣2；（2）m≠﹣2，m≠3；（3）1m =-；（4）21m --＜＜ 【解析】（1）复数是实数，就是复数的虚部为0求出a 的值； （2）复数是虚数，虚部不为 0，求出m 的值即可； （3）复数是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，求出m 的值即可．（4）对应的点在第三象限．就是实部和虚部都是小于0，求出m 的范围即可．【详解】()()22326z m m m m i =+++--（1）令26=0m m -- ⇒m ＝3或m ＝﹣2，即m ＝3或m ＝﹣2时，z 为 实数； （2）260m m --≠可得m≠﹣2，m≠3时复数是虚数．（3）22320160m m m m m ⎧++=⇒=-⎨--≠⎩；所以复数是纯虚数． （4）若z 所对应点在第三象限则 223202160m m m m m ⎧++⇒--⎨--⎩＜＜＜＜． 【点睛】】本题是基础题，考查复数的基本概念，复数的分类，准确计算是关键23．（1）2016i -+；（2）π2. 【分析】(1)根据复数的乘法运算法则得到结果即可；（2）根据被积函数的几何意义，得到表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆，此积分即2y 1x =-与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积．【详解】（1）(2+2i)2(4+5i)=2(1+i)2(4+5i)=4i(4+5i)=-20+16i.(2)y ＝ (－1≤x ≤1)表示圆x 2＋y 2＝1在x 轴上方的半圆(含圆与x 轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx 表示由曲线y ＝与直线x ＝－1，x ＝1，y ＝0所围成的平面图形的面积，所以dx ＝S 半圆＝π.【点睛】 本题考查了复数的运算法则、复数相等，考查了推理能力与计算能力，属于基础题,复数问题高考必考，常见考点有：点坐标和复数的对应关系，点的象限和复数的对应关系，复数的加减乘除运算，复数的模长的计算.也考查了积分的求解，一般求积分值常见方法有：莱布尼茨公式的应用，或者应用被积函数的奇偶性，利用被积函数的几何意义等.24．1【分析】画出12,z z 对应的图象，根据复数加法的几何意义确定12,OZ OZ 的夹角，由此确定12z z -的大小.由于121z z ==，故12,z z 对应的点12,Z Z 在单位圆上，根据123z z +=可知以12,OZ OZ 为邻边的平行四边形为菱形，对角线相互垂直平分，且一条对角线长3OA =，而111OZ AZ ==,所以11π6Z OA Z AO ∠=∠=，根据菱形的性质可知12OZ Z ∆是等边三角形，故1212121z z Z Z OZ OZ -====.【点睛】本小题主要考查复数的几何意义，考查复数加法和减法的模的几何意义，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.25．（1）1,1;2a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭(2)见解析. 【分析】（1）设出复数z ，写出ω的表示式，把ω整理成最简形式，根据所给的ω的范围，得到ω的虚部为0，实部属于这个范围，得到z 的实部的范围．（2）根据设出的z ，整理u 的代数形式，进行复数的除法的运算，整理成最简形式，根据上一问做出的复数的模长是1，得到u 是一个纯虚数．【详解】（1）由z 是虚数，设z ＝a+bi （a ，b ∈R ，b≠0）则∵ω∈R ∴且b≠0得a 2+b 2＝1此时，ω＝2a ，∵﹣1＜ω＜2∴即z 的实部的取值范围为． （2）=()()()()22222222121211a bi b a b bi a b a b ------=++++ ．∵a 2+b 2＝1∴u ＝又故u 是纯虚数． 【点睛】本题考查复数的代数形式的运算，本题是一个运算量比较大的问题，解题时注意数字不要出错，属于中档题.26．（2，6）【解析】试题分析：设出复数的代数形式，整理出代数形式的结果，根据两个都是实数虚部都等于0，得到复数的代数形式．代入复数()2z ai +，利用复数的加减和乘方运算，写出代数的标准形式，根据复数对应的点在第一象限，写出关于实部大于0和虚部大于0，解不等式组，得到结果试题设z ＝x ＋yi （x 、y ∈R ），所以z ＋2i ＝x ＋（y ＋2）i ，由题意得y ＝－2．因为2z i -＝22x i i --＝15（x －2i ）（2＋i ）＝15（2x ＋2）＋15（x －4）i ．由题意得x ＝4， 所以z ＝4－2i ．所以（z ＋ai ）2＝（12＋4a －a 2）＋8（a －2）i ，由于（z ＋ai ）2在复平面上对应的点在第一象限，所以()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩解得2＜a ＜6， 故实数a 的取值范围是（2，6）．考点：复数运算及对应的点。