上海市崇明区复数专题(有答案)

2023年上海市崇明区高考数学二模试卷1. 若不等式，则x的取值范围是______ .2. 设复数z满足是虚数单位，则______ .3. 已知集合，，若，则实数a的值为______.4. 已知函数，的最小正周期为1，则______ .5. 已知正实数a、b满足，则的最小值等于______ .6. 在的展开式中常数项是____________用数字作答7. 以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩单位：分，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是______ .8. 某单位为了了解用电量y度与气温之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温.气温141286用电量度22263438由表中数据所得回归直线方程为，据此预测当气温为时，用电量的度数约为______9.已知抛物线上的两个不同的点A，B的横坐标恰好是方程的根，则直线AB的方程为______.10. 在一个十字路口，每次亮绿灯的时长为30秒，那么，每次绿灯亮时，在一条直行道路上能有多少汽车通过？这个问题涉及车长、车距、车速、堵塞的干扰等多种因素，不同型号车的车长是不同的，驾驶员的习惯不同也会使车距、车速不同，行人和非机动车的干扰因素则复杂且不确定.面对这些不同和不确定，需要作出假设.例如小明发现虽然通过路口的车辆各种各样，但多数是小轿车，因此小明给出如下假设：通过路口的车辆长度都相等，请写出一个你认为合理的假设______ .11. 设平面向量满足：，，，，则的取值范围是______ .12. 若函数的图像上点A与点B、点C与点D分别关于原点对称，除此之外，不存在函数图像上的其它两点关于原点对称，则实数a的取值范围是______ .13. 下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为( )A. B. C. D.14. 设两个正态分布和的密度函数图像如图所示.则有( )A. ，B. ，C. ，D. ，15. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌臑”．如图，在堑堵中，，且下列说法错误的是( )A. 四棱锥为“阳马”B. 四面体为“鳖臑”C. 四棱锥体积的最大值为D. 过A点作于点E，过E点作于点F，则面AEF16. 已知数列是各项为正数的等比数列，公比为q，在，之间插入1个数，使这3个数成等差数列，记公差为，在，之间插入2个数，使这4个数成等差数列，公差为，⋯，在，之间插入n个数，使这个数成等差数列，公差为，则( )A. 当时，数列单调递减B. 当时，数列单调递增C. 当时，数列单调递减D. 当时，数列单调递增17. 如图，已知点P在圆柱的底面圆O的圆周上，AB为圆O的直径，圆柱的表面积为，，求直线与平面ABP所成角的大小；求点A到平面的距离.18. 在中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，求角B大小；设，当时，求的最小值及相应的19. 某校工会开展健步走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天数为X，求X的分布列及数学期望；如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图不用说明理由20. 已知椭圆：，点A，B分别是椭圆与y轴的交点点A在点B的上方，过点且斜率为k的直线l交椭圆于E，G两点.若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，求实数m的值；若，求的面积；设直线AE与直线交于点H，证明：B，G，H三点共线.21. 已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有若，，求实数a的取值范围；证明：方程至多只有一个实根；若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有答案和解析1.【答案】【解析】解：，则，解得，的取值范围是故答案为：根据绝对值的几何意义解不等式．本题考查绝对值不等式的解法，考查运算求解能力，属于基础题．2.【答案】【解析】解：，故答案为：把给出的等式变形后直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．3.【答案】0【解析】解：集合，，，或，当时，，，不成立；当时，，，，成立．故实数a的值为故答案为：由集合，，，得或，由此能出实数a的值．本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．4.【答案】【解析】解：，依题意，；故答案为：根据三角函数周期与角频率的关系求解．本题主要考查三角函数的周期性，属于基础题．5.【答案】4【解析】解：，当，即，时等号成立，故的最小值为故答案为：直接利用基本不等式计算得到答案．本题主要考查基本不等式及其应用，属于基础题．6.【答案】45【解析】解：要求常数项，即，可得代入通项公式可得故答案为：利用二项式的通项公式让次数为0，求出就可求出答案．二项展开式的通项公式是解决二项展开式的特定项问题的工具．7.【答案】【解析】解：因为，故这15人成绩的第80百分位数为故答案为：计算，即可确定这15人成绩的第80百分位数为第12和第13个数据的平均数，由此可得答案．本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．8.【答案】40【解析】解：根据表格数据可得，，，则样本中心点为根据回归直线性质，经过样本点中心，则有，得，故回归直线为，当，故答案为：利用回归直线经过样本点的中心，先算出，然后令代入回归直线进行求解．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】【解析】解：由题意，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为，，，因为点A，B的横坐标恰好是方程的根，所以，，联立，消y得，则，，所以，，所以，，经检验，符合题意，所以直线AB的方程为故答案为：设直线AB的方程为，，，根据题意结合韦达定理可得，，联立方程，再次里由韦达定理求得，，从而可求出k，b，即可得解．本题考查直线与抛物线的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．10.【答案】等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一【解析】解：根据题意和相关因素的分析，可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设，例如①等待时，前后相邻两辆车的车距都相等；②绿灯亮后，汽车都是在静止状态下匀加速启动；③前一辆车启动后，下一辆车启动的延时时间相等；④车辆行驶秩序良好，不会发生堵塞，等等．故答案为：等待时，前后相邻两辆车的车距都相等答案不唯一利用数学建模，根据题意这次建模就只考虑小轿车的情况，根据小轿车的长度差距不大，对相关因素进行分析，从而可以作出有利于建立模型、基本符合实际情况的假设即可．本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．11.【答案】【解析】解：依题意，设，，根据，即，即，整理得显然，否则，，与已知矛盾，故，可得由，即，则有，故，解得故故答案为：根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解．本题考查平面向量的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】【解析】解：若有两组点关于原点对称，则在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，由时，；得其关于原点对称后的解析式为，问题转化为与在上有两个交点，即方程有两根，化简得，即与在上有两个交点．对于，求导，令，解得，即：当时，单调递增；令，解得：即：当时，单调递减，为其极大值点，，时，；画出其大致图像：欲使与在时有两个交点，则，即故答案为：由题意将问题转化为在的图像关于原点对称后与的图像有两个交点，即转化为方程在上有两根，孤立参数为在上有两根，求导确定函数的单调性与取值情况，作出大致图象，即可求得实数a的取值范围．本题主要考查分段函数的应用，考查转化能力，属于中档题．13.【答案】D【解析】解：A项中，，则是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；B项中，，是奇函数，但在定义域内不单调，不符合；C项中，，则为非奇非偶函数，不符合；D项中，，是奇函数，又在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，符合．故选：根据奇函数定义判断奇偶性，根据函数的图象判断单调性，但要注意单调区间是定义域的子集．本题考查函数的奇偶性，单调性，属于基础题．14.【答案】A【解析】解：根据正态分布函数的性质：是正态分布曲线的对称轴；反应的正态分布的离散程度，越大，越分散，曲线越“矮胖”，越小，越集中，曲线越“瘦高”，由图象可得，故选：根据正态分布的性质即可得解．本题主要考查正态分布曲线的特点，属于基础题．15.【答案】C【解析】解：底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，在堑堵中，，侧棱平面ABC，A选项，，又，且，则平面，四棱锥为“阳马”，故A正确；B 选项，由，即，又且，，平面，，则为直角三角形，又由平面，得为直角三角形，由“堑堵”的定义可得为直角三角形，为直角三角形，四面体为“鳌臑”，故B正确；C 选项，在底面有，即，当且仅当时取等号，，最大值为，故C错误；D选项，因为，，，所以平面AEF，故D正确；故选：根据“阳马”和“鳌臑”的定义，可判断A，B的正误；当且仅当时，四棱锥体积有最大值，求值可判断C的正误；根据题意可证平面AEF，进而判断D的正误．本题考查了立体几何的综合应用，属于中档题．16.【答案】D【解析】解：数列是各项为正数的等比数列，公比为q，由题意，，，对于，，这个数列是单调递增的数列，最小的一项即第一项为，则是否大于1，不确定，A，B错误，当时，，则此时必有，则数列单调递增，则D 项正确，C项错误．故选：将表示出来，由于数列各项为正数，若，才是递增数列，围绕条件进行讨论是否大于本题考查递推式，考查递增数列需满足的条件，属于中档题．17.【答案】解：由题意知，直线与平面ABP的夹角，即为，易知，，又，故，进而有，，由圆柱的表面积为，可得，故，故直线与平面ABP的夹角为设点A到平面的距离为h，则，，，因为平面ABP，，所以平面，即，在中，，故，所以，即点A到平面的距离为【解析】根据圆柱的特征可得直线与平面ABP的夹角，即为，然后利用圆柱的表面积为求出，求出，进而求解；利用等体积转化法即可求解．本题考查线面角的定义及其求解，考查点到平面的距离以及等体积法的运用，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由已知条件得，由正弦定理得，即，，则，，，又，；，，，则的最小值，其中，即当时，有最小值【解析】本题考查了三角函数中的恒等变换，正余弦定理以及三角函数的性质，属于中档题．利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解；先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的x值．19.【答案】解：设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A…分从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以；…分的所有可能取值为0，1，2，…分，，分X的分布列为X012P…分；…分月3日…分由直方图知，微信记步数落在，单位：千步区间内的人数依次为，，，，据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---10000之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．【解析】分别根据微信记步数信息计算出甲乙步数都不低于10000的概率，再用分布原理处理．服从超几何分布，确定X的取值为0，1，2，代入超几何分布概率公式即可．由直方图知，微信记步数落在各区间的频率，再根据甲和乙的名次情况分析即可．本题考查了频率分布直方图，折线图等识图能力，考查了古典概率模型的概率计算，超几何分布等的计算，还考查了推理能力．属于中档题．20.【答案】解：若椭圆焦点在x轴上，且其离心率是，则，解得若，则过点且斜率为k的直线l的方程为：，椭圆的方程为：设，，联立，消去y整理得，解得，则，故，于是依题意知，，则点B到的距离为，故证明：设，，联立，得到，由，得到直线AE方程为：，令，解得，即，又，，为说明B，G，H三点共线，只用证，即证：，下用作差法说明它们相等：，而，，，，于是上式变为：，由韦达定理，，于是，故，命题得证．【解析】根据离心率的定义计算即可；联立直线和椭圆方程，根据弦长公式算出，用点到直线的距离公式算出三角形的高后即可；联立直线和椭圆方程，先表示出H坐标，将共线问题转化成证明，结合韦达定理进行化简计算．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：因为，，所以，由题意知，在上恒成立，即在上恒成立，所以，即在上恒成立，令，易知，在上，函数和均单调递增，所以，即实数a 的取值范围是证明：令，故，所以函数是严格减函数，故至多只有一个实根；证明：设的最大值为M ，最小值为m ，在一个周期内，函数值必能取到最大值与最小值，设，，因为函数是周期为2，取一个周期，且，则有，若，则成立，若，设，即，故，且，则，所以成立，综上，对任意实数，都成立，所以原式得证．【解析】根据题意，将问题转化成恒成立问题，即在上恒成立，再利用函数的单调性即可求出结果；构造函数，由题易知在定义域上严格单调，从而得到证明；利用函数是定义域为R 的周期函数，知函数在一个周期上必有最大值和最小值，再利用条件，得到，再对与1的大小关系进行分类讨论，即可得出结论．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．。

上海市各区县2015届高三上学期期末考试数学理试题分类汇编复数亠、填空题zi =1 +i , Z2 =2+ xi (x 亡R),若zi 乙亡R，则x 的值等于2、+（奉贤区2015届高三上期末）若1 i是实系数一元二次方程p q+3、（长宁区2015届高三上期末）2复数1~2i _■1 ----------.（i是虚数单位）4、（虹口区2015届高三上期末）若复数1+■ ZIZ满足2 ii（i为虚数单位），则复数2+ =5、（嘉定区2015届高三上期末）设i是虚数单位，-则2i * 3芒&、（金山区2015届高三上期末）如果复数2 ~bi z =1 i1 j（b R）的实部与虚部相等，则ZZ的共觇复数（崇明县2015届高三上期末）设复数+ + =2 px qx 0的一个根，则7、（浦东区2015届高三上期末）已知复数z满足z（1二厅2（ i为虚数单位），则z8、（青浦区2015届高三上期末）若复数3i£i为虚数单位），则Z的值为______________9、（松江区2015届高三上期末）若复数z 4z满足0,则z的值为▲1 Z + ・=10、（徐汇区2015届高三上期末）设i是虚数单聊复数3 = — + Y z满足(2 i) z 5,则z={ = +3+3 +(|| +(0z =11> （杨浦区2015届高三上期末）已知= = • €集合B {x| x z z,z、z A} （zi可以等于z2）,则集合B的子集个数为___________________________ =12 12 + --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2ia12、（闸北区2015届高三上期末）若复数（i是虚数单位）是纯虚数，则实数a1 2i=+ 一 +二、选择题1> （宝山区2015届高三上期末）设z 1 i （i是虚数单位），则复数2对应的点位于（）=+ e z e（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限2、（（黄浦区2015届高三上期末）已知z a bi （a、b R，i是虚数单位），^,z2 C ,定义:D z == a + b , D(zi,z 2)引乙一Z2||・给出下列命题：()llzll Illi€>(1)对任意z C,都有D(z) 0；⑵若z 是复数z 的共觇复数，则D(z) D(z) 恒成立；= € =(3) 若 D(z ) D(z ) (z 、z C),则 z z ；121212€ < +(4) (理科)对任意 Z1> Z 2> Z J C,结论 D (Z1 ,Z 3)D (Z1,Z2)D(Z 2,Z 3)恒成立［答］( )・A ・⑴⑵⑶⑷B •⑵⑶⑷3、(金山区 2015届高三上期末)复数则a 的取值范围是 (A ).(A) a>1 (B) a>0 (C)4、(静安区2015届高三上期末)已知+ Z数的点是r 4p1 i32•T 1…十…:……w • I • 1-4 -3 J ・1 1 2： 3 4X■ ■ ■ ■ + • ■ ■ ■ ■ ..c-2•3c ・⑵⑷ D • (2)(3)乙= a+bi( a 、b R, i 为虚数单位)，z 2=--I <a<1 (D) a< - 1 或 a> 1i 为虚数单位，图中复平面内的点 A 表示复数z ,贝!J 其中真命题是b+i ,且| 乙|v| z2I ,则表示复参考答案一、填空题二、选择题1、A2、C3、C4、D12、4 A. M B±D-2 2 2i5i 5、-1 6、1-i 7 、均 8 59、 2i 10 >511. 16。

复数的模知识点：1. 复数),(,R b a bi a z ∈+=对应的点),(b a z 到坐标原点的距离叫做复数z 的模，记作||z ,由模的定义，可知22||||b a bi a z +=+=2. 复数),(,R b a bi a z ∈+=，若||||,0|;|||,0b z a a z b ====则若则0||,0===z b a 则若3. 复数),(,R b a bi a z ∈+=的模与其对应的向量OZ 的模r 是一致的，所以复数的模也可以说是其对应向量的模4. 复数z 的模的几何意义就是复数),(,R b a bi a z ∈+=对应的点到原点的距离。

例如：4||=z ，就是复数z 所对应的点到原点的距离为4，所以4||=z 表示的点所组成的集合是以原点为圆心，以4为半径的圆。

经典例题:1. 求下列复数的模（1）i z431+= （2） i z 2212--=2. 求证：复平面内分别和复数i z i z i z z2222,15sin 15cos ,,1400321+=+=-==对应的四点共圆3. 已知复数z 满足i z z 917||3-=+，求复数z4. 复数z 满足|13|≤++i z ,求||z 的最大值和最小值课堂练习：1. 设R x ∈,x i z 21log 4-=,若5||≥z ，求x 的取值范围2. 已知复数i z z z ai a z )21(1||,12000+-+-=++=。

是否存在实数a,使得z 为纯虚数？3. 已知复数i a z i a a z )13(2,)3(23221++=-++=,若复数21z z -在复平面上对应的点在第一象限,求实数a 的取值范围。

一、选择题1．复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ）A ．2a ≠，或1a ≠B ．2a ≠，且1a ≠C ．2a =，或0a =D ．0a = 2．已知复数z 满足2||230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） A ．1个圆 B ．线段 C ．2个点 D ．2个圆3．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）A ．0B ．1C D ．2 4．能使得复数()32z a aia R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数 B ．12ai +模长为3C ．3ai +与32i +互为共轭复数D ．0a > 5．若a b 、为非零实数,则以下四个命题都成立:①10a a+≠；②()2222a b a ab b +=++；③若a b ，=则a b =±；④若2a ab =，则a b ，=则对于任意非零复数a b 、，上述命题中仍为真命题的个数为（ ）个. A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 7．,A B 分别是复数12,z z 在复平面内对应的点，O 是原点，若1212z z z z +=-，则OAB ∆一定是A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 8．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2B ．2C ．12D ．-1 9．“复数3i ia z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 10．已知(,)a bi a b R +∈是11i i +-的共轭复数,则a b +=（ ） A ．1- B ．12- C ．12 D ．111．复数11i i +-的实部和虚部分别为a ，b ，则a b +=（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．412．若复数2(1)34i z i+=+，则z =（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．25二、填空题13．已知集合{}11M z z =+=，{}i N z z i z =+=-，则M N =______. 14．若复数z 满足12i z i ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的虚部为________.15．复数(1sin )(cos sin )z θθθ=++-i 是实数，[]0,2θπ∈则θ=______.16．已知复数（，是虚数单位）的对应点在第四象限，且，那么点在平面上形成的区域面积等于____17．已知复数z 满足43(z i i i+=为虚数单位），则z 的共轭复数z ＝____． 18．已知复数z 满足(12)43i z i +=+，则z = _________________； 19．已知，则 =____．20．给出下列四种说法：①-2i 是虚数，但不是纯虚数；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③已知 x y R ，∈，则 x i 1i y +=+ 的充要条件为x y 1==；④如果让实数a 与 ai 对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确说法的为 __________．三、解答题21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；（2）复数Z 纯虚数；（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.22．已知复数z 满足2z =，2z 的虚部为2，（1）求复数z ；（2）设22,,z z z z -在复平面上对应点分别为,,A B C ，求ABC ∆的面积. 23．（1）在复数范围内解方程()232i z z z i i -++=+（i 为虚数单位） （2）设z 是虚数，1z zω=+是实数，且12ω-<<（i ）求z 的值及z 的实部的取值范围；（ii ）设11z zμ-=+，求证：μ为纯虚数； （iii ）在（ii ）的条件下求2ωμ-的最小值．24．已知复数2z i =+（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x px q ++=根.(1)求p q +的值；(2)复数w 满足z w ⋅是实数，且w =w 的值.25．设复数12,z z 满足12122210z z iz iz +-+=.（1）若12,z z 满足212z z i -=，求12,z z .（2）若1z =k ，使得等式24z i k -=恒成立？若存在，试求出k 的值；若不存在，请说明理由.26．已知1251034.z i z i =+=-，（1）若12z z ，若在复平面上对应的点分别为A,B ，求AB 对应用的复数（2）若12111z z z z =+，求【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】利用复数的运算性质和几何意义即可得出.【详解】解：由于复数()()2222z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上,因此, 220a a -=，解得2a =，或0a =故选C【点睛】熟练掌握复数的运算性质和几何意义是解题的关键. 2．A解析：A【详解】 因为2||230z z --=,所以3z =,3z = (负舍)因此复数z 的对应点的轨迹是以原点为圆心以3为半径的圆,选A.3．B解析：B【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.【详解】设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：22221,1a b c d +=+=，12z z +=⇒()()223a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.所以12z z -==1==.故选：B【点睛】本小题主要考查复数运算，属于中档题. 4．A解析：A【分析】分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a aia R =-+∈是第三象限的点.【详解】 322z a ai a ai =-+=--由题意可知，若复数在第三象限，需满足200a a -<⎧⎨-<⎩，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =，满足条件；B.123z ai =+==，解得：a =a =C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.故选：A【点睛】本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.5．B解析：B【解析】【分析】根据复数的概念和性质，利用复数的代数形式的运算法则，即可得出正确选项.【详解】解：对于①，当a i =时，10a a+=，即①不成立， 对于②，根据复数代数形式的运算法则，满足乘法公式，即②在正确，对于③，在复数C 中，1i =，则1,a b i ==时，a b ≠±，即③错误，对于④，根据复数代数形式的运算法则可得，若2a ab =，则a b ，=即④正确， 综上可得上述命题中仍为真命题的序号为②④，故选B.【点睛】本题考查了复数的概念和性质及复数的代数形式的运算法则，属基础题.6．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】 ()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.7．C解析：C【解析】 因为1212z z z z +=-，所以22||OA OB OA OB OA OB OA OB +=-∴+=- , 因此0OA OB OA OB ⋅=∴⊥ ，即OAB 一定是直角三角形，选C. 8．C解析：C【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以21210,0552a a a -+=≠∴=，选C. 9．A解析：A【详解】因为33ai z a i i-==--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ．10．A解析：A【解析】【分析】 先利用复数的除法运算法则求出11i i+-的值，再利用共轭复数的定义求出a +bi ，从而确定a ，b 的值，求出a +b ．【详解】 ()()21(1)21112i i i i i i ++===-+-i ， ∴a +bi ＝﹣i ，∴a ＝0，b ＝﹣1，∴a +b ＝﹣1，故选：A ．【点睛】本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题． 11．A解析：A【分析】利用两个复数代数形式的除法运算性质，把复数化为最简形式，得到其实部和虚部的值，进而求得结果.【详解】21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+， 所以0,1a b ==， 所以1a b +=，故选：A.【点睛】思路点睛：该题考查的是有关复数的问题，解题思路如下：（1）利用复数除法运算法则先化简复数11i i+-； （2）确定出复数的实部和虚部各是多事； （3）进而求得a b +的值.12．C解析：C【分析】先求出8625i z -=，再求出||z 得解. 【详解】 由题得()()()()212342863434343425i i i i i z ii i i +-+====+++-，所以102255z ===. 故选：C二、填空题13．【分析】根据复数的几何意义可知代表的是圆上代表的是线利用线与圆的位置关系可知结果【详解】的几何意义是以点为圆心1为半径的圆表示到点和点的距离相等的点的集合是线段的垂直平分线也就是轴的几何意义是轴与圆 解析：{}0,2-【分析】 根据复数的几何意义，可知11z +=代表的是圆上,i z i z +=-代表的是线，利用线与圆的位置关系，可知结果.【详解】11z +=的几何意义是以点()1,0-为圆心，1为半径的圆.i i z z +=-表示到点()0,1A 和点()0,1B -的距离相等的点的集合，是线段AB 的垂直平分线，也就是x 轴.M N ⋂的几何意义是x 轴与圆的公共点对应的复数，故0z =或2z =-，{}0,2M N ∴⋂=-.【点睛】本题考查复数的几何意义，属中档题.14．－1【分析】利用复数的运算法则求出根据虚部的概念即可得出【详解】∴的虚部为故答案为【点睛】本题考查了复数的运算法则复数的分类考查了推理能力与计算能力属于基础题解析：－1【分析】利用复数的运算法则求出z ，根据虚部的概念即可得出．【详解】()()212122i i i z i i i +-+===--， ∴z 的虚部为1-，故答案为1-.【点睛】本题考查了复数的运算法则、复数的分类，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 15．或【解析】【分析】由复数的虚部为0求得再由的范围得答案【详解】是实数即又或故答案为：或【点睛】本题主要考查了复数的代数表示法实部虚部的概念利用三角函数求角属于中档题 解析：4π或54π. 【解析】【分析】 由复数z 的虚部为0求得tan θ，再由θ的范围得答案. 【详解】(1sin )(cos sin )z i θθθ=++-是实数，cos sin 0θθ∴-=，即tan 1θ=，又[0,2],θπ∈4πθ∴=或54π， 故答案为：4π或54π 【点睛】 本题主要考查了复数的代数表示法，实部、虚部的概念，利用三角函数求角，属于中档题. 16．π【分析】先把复数分母有理化再根据z 在第四象限和|z|≤2可得关于xy 的不等式组进而可得点P 在平面上形成的区域面积【详解】由题得z=x+yi1+i=x+y+(y-x)i2z 在第四象限则有x+y2>0解析：【分析】先把复数分母有理化，再根据z 在第四象限和，可得关于x ，y 的不等式组，进而可得点P 在平面上形成的区域面积．【详解】 由题得，z 在第四象限，则有，整理得，由得，化简得，则点在不等式组所表示的平面区域内，如图阴影部分：则其面积.【点睛】本题考查复数的运算和复数的模，与线性规划相结合，有一定综合性．17．【分析】利用复数的运算法则共轭复数的定义即可得出结果【详解】由可得即所以故答案是：【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念属于简单题目解析：34i -+【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出结果.【详解】 由43z i i +=可得34z i i=-，即23434z i i i =-=--， 所以34z i =-+，故答案是：34i -+.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的运算法则以及共轭复数的概念，属于简单题目.18．【分析】先根据复数除法得再根据共轭复数概念得【详解】因为所以即【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等属于基本题复数的实部为虚部为模为对应点为共轭为解析：2i +【分析】 先根据复数除法得z ，再根据共轭复数概念得z .【详解】因为()1243i z i +=+，所以43212i z i i+==-+,即2.z i =+ 【点睛】本题重点考查复数的概念与复数相等，属于基本题.复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、模为22a b +、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi19．-2-3i 【解析】分析：化简已知的等式即得a 的值详解：由题得(1-i)31+i-3i=a ∴a=(1-i)4(1+i)(1-i)-3i=-2i·-2i2-3i=-2-3i 故答案为-2-3i 点睛：（1）解析：-2-3i【解析】分析：化简已知的等式，即得 a 的值.详解：由题得，故答案为-2-3i点睛：（1）本题主要考查复数的综合运算，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的运算能力.(2)本题是一个易错题，已知没有说“a”是一个实数，所以它是一个复数，如果看成一个实数，解答就错了. 20．③【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断详解：①因为是虚数也是纯虚数错误；②两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共解析：③.【解析】分析：①根据纯虚数的定义可判断；②根据共轭复数的定义可判断；③根据复数相等的性质可判定；④根据纯虚数的定义可判断.详解：①因为2i -是虚数也是纯虚数，错误；②两个复数的和为实数时，这两个复数不一定是共轭复数，如1i -和3i +，这两个复数的和为实数，但这两个复数不是共轭复数，错误；③已知,x y R ∈，则i 1i x y +=+的充要条件为1x y ==，正确；④如果让实数a 与i a 对应，那么实数集与纯虚数集不是一一对应的，如当0a =时，错误，故答案为③.点睛：本题主要通过对多个命题真假的判断，主要综合考查复数的基本概念，属于中档题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52m =. 【分析】（1）由虚部为0，求解m 值；（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．【详解】解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，（1）当Z 为实数时，则虚部为0，由260m m --=，解得：2m =-或3m =；（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，即：实部与虚部的和为0，由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =． 【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 22．（1）1i +或1i --；（2）1【分析】（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知列关于a ，b 的方程组，求解可得复数z ； （2）分类求得A 、B 、C 的坐标，再由三角形面积公式求解．【详解】解：（1）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），由已知可得：22ab ==⎪⎩2221a b ab ⎧+=⎨=⎩， 解得11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩． ∴z ＝1+i 或z ＝﹣1﹣i ；（2）当z ＝1+i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝1﹣i ，∴A （1，1），B （0，2），C （1，﹣1），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1； 当z ＝﹣1﹣i 时，z 2＝2i ，z ﹣z 2＝﹣1﹣3i ，∴A （﹣1，﹣1），B （0，2），C （﹣1，﹣3），故△ABC 的面积S 12=⨯2×1＝1． ∴△ABC 的面积为1．【点睛】 本题考查复数的乘方和加减运算，考查复数相等的条件和复数的几何意义，以及三角形的面积的求法，考查运算能力，属于中档题．23．（1）12z =-±；（2）（i ）1z =；1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭（ii ）证明见解析；（iii ）1 【分析】（1）利用待定系数法，结合复数相等构造方程组来进行求解；（2）（i ）采用待定系数法，根据实数的定义构造方程即可解得z 和ω，利用ω的范围求得a 的范围；（ii ）利用复数的运算进行整理，根据纯虚数的定义证得结论；（iii ）将2ωμ-整理为123t t ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求得最小值. 【详解】（1）()()()()()23235512225i i i i z z z i i i i i ----++====-++- 设(),z x yi x y R =+∈，则2221x y xi i ++=-22121x y x ⎧+=∴⎨=-⎩，解得：12x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩122z ∴=-± （2）（i ）设z a bi =+(,a b R ∈且)0b ≠2222221a bi a b a bi a bi a b i a bi a b a b a b ω-⎛⎫⎛⎫∴=++=++=++- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ω为实数 220b b a b∴-=+，整理可得：221a b += 即1z = ()21,2a ω∴=∈- 1,12a ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭（ii ）()()()()()222211*********a bi a bi z a bi a b bi z a bi a bi a bi a b μ--+-------====++++++-++ 由（i ）知：221a b +=，则1b i a μ=-+ 1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭且0b ≠ 01b a ∴-≠+ μ∴是纯虚数（iii ）()()22222211212221111b a a a a a a a a a a a ωμ--++-=+=+=+=++++令1a t +=，则1,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，1a t =- ()2222111232123t t t t t t t t ωμ-+-+-+⎛⎫∴-===+- ⎪⎝⎭ 12t t+≥（当且仅当1t =时取等号） 2431ωμ∴-≥-= 即2ωμ-的最小值为：1【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，利用待定系数法结合复数相等的条件进行转化是解决本题的关键．运算量较大，综合性较强．24．(1) 1p q += (2) 42w i =-或42i -+.【解析】【分析】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，得出另一根为2i -，根据韦达定理即可得解.(2) 设(),w a bi a b R =+∈,由z w ⋅是实数，得出关于a b ，的方程，又w =a b ，的另一个方程，联立即可解得a b ，的值，即得解.【详解】（1）实系数方程20x px q ++=虚根是互为共轭复数的，所以由共轭虚根定理另一根是2i -，根据韦达定理可得4,5,1p q p q =-=+=.（2）设(),w a bi a b R =+∈()()()()222a bi i a b a b i R +⋅+=-++∈，得20a b +=又w =2220a b +=,所以4,2a b ==-或4,2a b =-=，因此42w i =-或w=42i -+.【点睛】本题考查了实系数一元二次方程的虚根成对原理、根与系数的关系，复数的乘法及模的运算，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．25．（1）123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-.（2）存在，k =【分析】（1）由条件可得211230z iz --=，设1z a bi =+，即可算出（2）由条件得212212iz z z i -=+，然后22212iz z i-=+22427z i -= 【详解】（1）由212z z i -=，可得212z z i =-，代入已知方程得()()1111222210z z i iz i z i -+--+=， 即211230z iz --=.令()1,z a bi a b =+∈R ， 所以()22230a b i a bi +---=， 即()222320a b b ai +---=， 所以2223020a b b a ⎧+--=⎨-=⎩，解得03a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=-⎩. 所以123,5z i z i ==-或12,z i z i =-=-. （2）由已知得212212iz z z i-=+，又1z =所以22212iz z i-=+22222132iz z i -=+， 所以()()()()22222121322iz iz z i z i ---=+-， 整理得()()224427z i z i -+=，所以22427z i -=，即24z i -=，所以存在常数k =，使得等式24z i k -=恒成立.【点睛】设()1,z a bi a b =+∈R ，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.26．（1）214i --（2）552i -【详解】 （1）()()2134i 510i 214.AB z z i =-=--+=--所以AB 对应用的复数为214i --. （2）由题得121212111z z z z z z z +=+= 1212552z z z i z z ∴==-+。

一、选择题1．213(1)i i +=+（ ） A ．3122i - B ．3122i + C ．3122i -- D ．3122i -+ 2．若复数(1a i z i i +=-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2 3．已知方程()()2440x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ）A ．22i -B ．22i +C ．22i -+D ．22i -- 4．已知集合，()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=，则实数m 的值为 （ ）A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6 5．若复数z 满足()11z i i --⋅=+，则z =（ ）A B C ．D ．36．已知复数z 满足()()()1212i z i i -=++，则z 的共轭复数为（ ）A ．1i --B ．1i +C ．55i +D ．55i - 7．已知复数z 满足()15i z i -+＝，则z =（ ）A ．23i +B ．23i -C ．32i +D ．32i - 8．已知复数 1cos isin z αα=+ 和复数2cos isin z ββ=+，则复数12z z ⋅的实部是( ) A ．()sin αβ- B ．()sin αβ+C ．()cos αβ-D ．()cos αβ+ 9．已知复数z 满足()211i i z+=-(i 为虚数单位），则复数z =（ ） A ．1i +B ．1i -+C ．1i -D ．1i -- 10．设复数11i zi ，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限11．若i 为虚数单位，复数z 满足z i ≤，则2z i -的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．D ．12．若复数z 满足(12)5z i +=，则它的共轭复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限二、填空题13．若复数z 满足0z z z z ⋅++=，则复数33z i --的最大值与最小值的乘积为___________．14．棣莫弗公式()cos sin cos sin nx i x nx i nx +=+（i 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667~1754）发现的，根据棣莫弗公式可知，复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第______象限.15．复数31+i i 1i+-的值是______. 16．设复数z ，满足11z =，22z =，12z z i +=，则12z z -=____________．17．复数2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭的辐角主值为________.18．复数1cos z i θ=+，2sin z i θ=-，则复数12z z -的模的最大值为________. 19．复数1z 、2z 分别对应复平面内的点1M 、2M ，且1212z z z z +=-，线段12M M 的中点M 对应的复数为43i +（i 是虚数单位），则2212z z +=________.20．在复平面内，三点A 、B 、C 分别对应复数A z 、B z 、C z ，若413B AC A z z i z z -=+-，则ABC ∆的三边长之比为________三、解答题21．已知方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ，p R ∈．（1）若123x x -=，求实数p 的值；（2）若123x x +=，求实数p 的值．22．已知复数z满足||z =2z 的虚部为2.（1）求复数z ；（2）设复数z 、2z 、2z z -在复平面上对应点分别为A 、B 、C ，求()OA OB OC +⋅的值.23．（1）已知z C ∈，解关于z 的方程(3)13z i z i -⋅=+；（2）已知32i +是关于x 的方程220x ax b ++=在复数集内的一个根，求实数a ，b 的值. 24．已知12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，它们满足方程()122195z i z i +-=+，求2212z z +. 25．已知复数z 满足|3+4i|+z=1+3i.(1)求z ；(2)求()()2134i i z++的值. 26．已知1(3)(?4)z x y y x i =++-,2(42)(53)(,)z y x x y i x y R =--+∈,设12z z z =-,且132z i =+,求复数1z ,2z .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】首先计算2(1)i +，之后应用复数的除法运算法则，求得结果.【详解】()21313312221ii i i i ++==-+， 故选A.【点睛】该题考查的是有关复数的运算，属于简单题目.2．C解析：C【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i+=-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩，即1a =，故选C. 【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．A【解析】【详解】由b 是方程()()2440x i x ai a R ++++=∈的根可得()2440b i b ai ++++=, 整理可得：()()2440b a i b b ++++=， 所以20440b a b b +=⎧⎨++=⎩，解得22a b =⎧⎨=-⎩，所以22z i =-，故选A . 4．B解析：B【分析】根据交集的定义可得()()2231563m m m m i --+--=，由复数相等的性质列方程求解即可.【详解】因为()(){}221,3156M m m m m i =--+--，{}1,3N =，{}1,3M N ⋂=， 所以()()2231563m m m m i --+--=， 可得223131560m m m m m ⎧--=⇒=-⎨--=⎩，故选B. 【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算.5．A解析：A【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解.【详解】由()11z i i --⋅=+，得()()21111i i i z i i i +-+--===--，则2z i =-+，∴z ==故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，复数的模的运算，属于中档题. 6．A解析：A【分析】化简得到1z i =-+，再计算共轭复数得到答案.()()()1212i z i i -=++，故()()()()()()()()()121212131211212125i i i i i i i z i i i i +++++++====-+--+，故1z i =--. 故选：A .【点睛】本题考查了复数的化简，共轭复数，意在考查学生的计算能力.7．B解析：B【解析】【分析】根据复数的运算法则计算即可．【详解】()15i z i -+＝，()()()()51523111i i i z i i i i +-+∴===+++-， 2 3.z i ∴=-故选B.【点睛】本题考查了复数的运算法则和共轭复数的概念，属于基础题8．D解析：D【解析】分析：利用复数乘法运算法则化简复数，结合两角和的正弦公式、两角和的余弦公式求解即可.详解：()()12cos cos cos cos z z isin isin ααββαβ⋅=++=()()2cos cos cos i sin isin i sin sin isin αβαβαβαβαβ+++=+++，∴实部为()cos αβ+,故选D.点睛：本题主要考查的是复数的乘法，属于中档题．解题时一定要注意21i =-和()()()()a bi c di ac bd ad bc i ++=-++运算的准确性，否则很容易出现错误. 9．B 解析：B【解析】因为()211i i z +=-，所以22(1)112i i z i i i ==+=-- ，选B.解析：C【分析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】 由题得21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-， 所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选：C11．D解析：D【分析】先根据33z i ++≤分析出复数z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将2z i -的最大值转化为圆外一点到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.【详解】 因为33z i ++≤表示以点()3,1M --为圆心，半径3R =的圆及其内部， 又2z i -表示复平面内的点到()0,2N 的距离，据此作出如下示意图：所以()()()()22max20321333z i MN R -=+=--+--= 故选：D.【点睛】 结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：（1）()00z z r r -=>：表示以0z 为圆心，半径为r 的圆；（2）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z =：表示以12,z z 为端点的线段； （3）(1220z z z z a a -+-=>且)122a z z >：表示以12,z z 为焦点的椭圆； （4）(1220z z z z a a ---=>且)1202a z z <<：表示以12,z z 为焦点的双曲线.解析：A【分析】根据复数的除法运算法则，可得12z i =-，求得12z i =+，结合复数的几何意义，即可求解.【详解】由题意，复数z 满足(12)5z i +=，可得51212z i i==-+， 所以12z i =+，它在复平面内对应的点为(1,2)在第一象限. 故选:A.【点睛】本题主要考查了复数的除法运算法则，以及共轭复数的概念和复数的几何意义，其中解答中熟记复数的除法的运算法则，准确化简、运算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.二、填空题13．24【分析】设（）结合条件得在复平面内对应点的轨迹再由的几何意义求解即可【详解】设（）则由得即复数在复平面内对应点的轨迹是以为圆心以1为半径的圆表示复数在复平面内对应点到点的距离所以最大值为最小值为 解析：24【分析】设z a bi =+，（,a b ∈R ），结合条件0z z z z ⋅++=得z 在复平面内对应点的轨迹，再由33z i --的几何意义求解即可．【详解】设z a bi =+，（,a b ∈R ）则由0z z z z ⋅++=,得2220a b a ++=，即()2211a b ++=．复数z 在复平面内对应点的轨迹是以(1,0)A -为圆心，以1为半径的圆，33z i =--z 在复平面内对应点到点(3,3)P 的距离所以33z i --最大值为||116PA +==．最小值为||114PA -==故最大值与最小值的乘积为2446=⨯故答案为：24【点睛】本题考查复平面内复数对应的点的轨迹问题，复数模长的几何意义，是中档题. 14．二【分析】先根据棣莫弗公式得再根据三角函数确定符号根据复数集合意义得答案【详解】由得∵∴∴复数在复平面内所对应的点位于第二象限故答案为：二【点睛】本题考查复数的几何意义三角函数符号的判断是中档题 解析：二【分析】 先根据棣莫弗公式得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭，再根据三角函数确定符号，根据复数集合意义得答案.【详解】由()cos sin cos sin n x i x nx i nx +=+，得666cos sin cos sin 7777i i ππππ⎛⎫++ ⎪=⎝⎭， ∵627πππ<<，∴6cos 07π<，6sin 07π>， ∴复数6cos sin 77i ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于第二象限. 故答案为：二.【点睛】本题考查复数的几何意义，三角函数符号的判断，是中档题.15．0【分析】先利用复数的除法运算计算再计算相加即得解【详解】【点睛】本题考查了复数的四则运算考查了学生数学运算能力属于基础题解析：0【分析】 先利用复数的除法运算计算1+i 1i-，再计算3 i ，相加即得解. 【详解】 ()()()231i 1i 2i i i i 01i 1i 1i 2+++=-=-=--+. 【点睛】本题考查了复数的四则运算，考查了学生数学运算能力，属于基础题. 16．【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出的值【详解】设在复平面中对应的向量为对应的向量为如下图所示：因为所以所以又因为所以所以所以又故答案为：【点睛】【分析】根据复数的几何意义得到对应向量的表示，再结合向量的平行四边形法则以及余弦定理求解出12z z -的值.【详解】设12,z z 在复平面中对应的向量为12,OZ OZ ，12z z +对应的向量为3OZ ，如下图所示：因为123z z i +，所以12312z z =+=+，所以222131221cos 1224OZ Z +-∠==⨯⨯， 又因为1312180OZ Z Z OZ ∠+∠=︒，所以12131cos cos 4Z OZ OZ Z ∠=-∠=-， 所以222211212122cos 1416Z Z OZ OZ OZ OZ Z OZ =+-⋅⋅∠=++=， 所以216Z Z =，又12216z z Z Z -==，6.【点睛】结论点睛：复数的几何意义：（1）复数(),z a bi a b R =+∈←−−−→一一对应复平面内的点()(),,Z a b a b R ∈；（2）复数(),z a bi a b R =+∈ ←−−−→一一对应平面向量OZ .17．【分析】先化简再根据辐角主值的定义求解即可【详解】因为所以所以所以复数z 的辐角主值为故答案为：【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析属于基础题解析：34π 【分析】 先化简2021111i z i +⎛⎫=-+ ⎪-⎝⎭再根据辐角主值的定义求解即可.【详解】 因为11i i i +=-,所以2021202111i i i i +⎛⎫== ⎪-⎝⎭所以3312cos sin 44z i i ππ⎫=-+=+⎪⎭,所以复数z 的辐角主值为34π. 故答案为：34π 【点睛】 本题主要考查了复数的基本运算与辐角主值的辨析,属于基础题.18．【分析】先求再求模将其转化为角度的函数从而求最大值【详解】由题意可得因为故的最大值为故答案为：【点睛】考查向量的减法模的计算以及函数的最大值属综合基础题【分析】先求12z z -，再求模，将其转化为角度的函数，从而求最大值.【详解】由题意可得12cos sin 2z z i θθ-=-+，12z z -==，因为45sin 26θ-，故12z z -..【点睛】考查向量的减法、模的计算以及函数的最大值.属综合基础题.19．【解析】【分析】设为坐标原点根据可知以线段为邻边的平行四边形是矩形且线段的中点为由此可计算出的值【详解】设为坐标原点由知以线段为邻边的平行四边形是矩形即为直角又是斜边的中点且所以所以故答案为：【点睛 解析：100【解析】【分析】设O 为坐标原点，根据1212z z z z +=-可知以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，且线段12M M 的中点为()4,3M ，由此可计算出2212z z +的值. 【详解】设O 为坐标原点，由1212z z z z +=-知，以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形是矩形，即12M OM ∠为直角，又M 是斜边12M M 的中点，且245OM ==，所以12210M M OM ==， 所以22222121212100z z OM OM M M =+=+=.故答案为：100.【点睛】本题考查复数的几何意义，涉及复数模的计算，解题的关键就是要分析出以线段1OM 、2OM 为邻边的平行四边形的形状，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题. 20．3：4：5【分析】设对应的复数计算对应的复数从而得出再根据与的比值得出答案【详解】设表示的复数为表示的复数为则所以所以表示的复数为所以所以又所以又则所以的三边长之比为：故答案为：【点睛】本题考查了复 解析：3：4：5【分析】设AB 、AC 对应的复数，计算BC 对应的复数，从而得出AC BC ⊥，再根据AB 与AC 的比值得出答案.【详解】设AB 表示的复数为a bi +，AC 表示的复数为i c d +， 则444()(1)()()333a bi c di i c d d c i +=++=-++， 所以43a c d =-，43b dc =+， 所以BC 表示的复数为44()()33AC AB c a bd i d ci -=-+-=-， 所以44(,)(,)033AC BC c d d c ⋅=⋅-=， 所以AC BC ⊥, 又B A C A z z AB AC z z -=-，所以45133AB i AC =+==， 又AC BC ⊥,则433BC AC ==， 所以ABC ∆的三边长之比为：3:4:5,故答案为：3:4:5.【点睛】本题考查了复数的运算，重点考查了复数模的运算，考查了推理能力，属中档题.三、解答题21．（1）52p =或2-；（2）2p =-或94． 【分析】（1）根据韦达定理，得出12121,x x x x p +=-=，22121212()4x x x x x x -=+-，则可求出实数p 的值；（2）根据题意，对两根12,x x 进行分类讨论，一是两实根，二是一对共轭虚根，分别根据韦达定理求出实数p 的值.【详解】解：（1）方程20x x p ++=有两个根1x ，2x ， 则由韦达定理知：12121,x x x x p +=-=，22121212()4149x x x x x x p ∴-=+-=-=，52p ∴=或2-； （2）①当1x ，2x 为两个实根，140p =-≥，即14p ≤时， ()()2222121212121212222x x x x x x x x x x x x +=++=+-+， 1229p p ∴-+=，则2p =-，②当1x ，2x 为一对共轭虚根，140p =-<，即14p >时， 由123x x +=，12x x =，得132x =， 由韦达定理可得2194p x ==， 综上所述，2p =-或94. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用韦达定理，列出对应关系式，其中要注意对根的虚实情况进行讨论.22．（1）1i z =+或1i z =--；（2）2-【分析】 （1）设出z a bi =+,根据题意可得22222a b ab ⎧+=⎨=⎩,求解即可； （2）由（1）作分类讨论,根据题意计算即可【详解】（1）设z a bi =+,由题,可得z ==,()()22222z a bi a b abi =+=-+, 2z 的虚部为2则22222a b ab ⎧+=⎨=⎩ 11a b =⎧∴⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩ 故1z i =+或1i z =--（2）由（1）可知22z i =,即B 为()0,2,()0,2OB ∴=当1z i =+时,即A 为()1,1,()1,1OA ∴=,此时21z z i -=-,即C 为()1,1-,()1,1OC ∴=- ()1,3OA OB ∴+=∴()()11+312OA OB OC +⋅=⨯⨯-=-当1i z =--时,即A 为()1,1--,()1,1OA ∴=--,此时213z z i -=--,即C 为()1,3--,()1,3OC ∴=--()1,1OA OB ∴+=-∴()()()()11+132OA OB OC +⋅=-⨯-⨯-=-综上, ()2OA OB OC +⋅=-【点睛】本题考查复数的运算,考查复平面,考查数量积,考查分类讨论的思想,考查运算能力 23．（1）1z =-或13i -+；（2）12,26a b =-=.【分析】（1）设,z a bi z a bi =+=-，代入(3)13z i z i -⋅=+，化简后利用向量相等的知识列方程组，解方程组求得,a b 的值，由此求得z .（2）根据虚根成对以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b 的值.【详解】（1）设z a bi =+，则(3)()13a bi i a bi i +--=+，即223313a b b ai i +--=+ ∴223133a b b a ⎧+-=⎨-=⎩，解得10a b =-⎧⎨=⎩，或13a b =-⎧⎨=⎩∴1z =-或13i -+； （2）由题知方程在复数集内另一根为32i -，故323262(32)(32)132a i ib i i ⎧-=++-=⎪⎪⎨⎪=+-=⎪⎩， 即12,26a b =-=.【点睛】本小题主要考查复数运算，考查复数相等的概念，属于中档题.24．-190【分析】根据12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，可知12,z z 互为共轭复数，由此设出12,z z 的表达式，代入()122195z i z i +-=+，由此求得12,z z ，进而求得2212z z +的值.【详解】由于12z z 、是实系数一元二次方程的两个虚根，所以12,z z 互为共轭复数，设12,,(,)z a bi z a bi a b R =+=-∈，代入()122195z i z i +-=+得()()()2195a bi i a bi i ++--=+，化简得()395a b b a i i -+-=+，所以395a b b a -=⎧⎨-=⎩，解得7,12a b ==.所以()()2222122249144190z z a b +=-=-=-. 【点睛】本小题主要考查实系数一元二次方程虚根成对，考查复数相等的概念，考查复数乘方运算，考查方程的思想，属于基础题.25．（1）43i --；（2）2【分析】（1）先求出为34i 5+= ,即可求出z ，再根据共轭复数的定义即可求出z ；（2）根据复数的运算法则计算即可得出结论.【详解】(1)因为|3+4i|=5,所以z=1+3i-5=-4+3i,所以=-4-3i.(2)===2.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 26．1z =59,i -287.z i =--【分析】明确复数1z ,2z 的实部与虚部，结合加减法的运算规则，即可求出复数z ，从而用,x y 表示出z ，接下来根据复数相等的充要条件列出关于,x y 的方程组求解，即可得出1z ,2z .【详解】∵12z z z =- ()()()()344253x y y x i y x x y i =++---++ ()()342x y y x ⎡⎤=+--⎣⎦ ()()453y x x y i ⎡⎤+-++⎣⎦ ()()534x y x y i =-++.∴()()534z x y x y i =--+.又∵132z i =+∴531342x y x y -=⎧⎨+=-⎩ ∴21x y =⎧⎨=-⎩ ∴()()1321142z i =⨯-+--⨯ 59,i =-∴()()24122523187.z i i ⎡⎤⎡⎤=⨯--⨯-⨯+⨯-=--⎣⎦⎣⎦【点睛】本题主要考查复数代数形式的加减运算、共轭复数的定义以及复数相等的充要条件，属于中档题.复数相等的性质是：若两复数相等则它们的实部与虚部分别对应相等.。

复数与极限一、17届 一模 一、复数 1、（崇明县2017届高三第一次模拟）复数(2)i i +的虚部为 ． 2、（虹口区2017届高三一模）已知i iz+=-21，则复数z 的虚部为 ． 3、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）若复数z 满足i 1=12z -（i 为虚数单位），则z =_________． 4、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若复数z 为纯虚数， 且满足i )i 2(+=-a z (i 为虚数单位)，则实数a 的值为 ．5、（闵行区2017届高三上学期质量调研）若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a = ( )(A) 1- (B) 0 (C) 1 (D) 26、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）若复数()()12ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =____________．7、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）已知复数i z +=2（i 为虚数单位）， 则=2z8、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知a b R ∈、，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则 2()a bi += ▲ ．9、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若复数z 满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则z =______．10、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）294z z i +=+（i 为虚数单位），则||z =________． 11、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）设i 为虚数单位，在复平面上，复数2)2(3i -对应的点到原点的距离为__________．12、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）若1-（i 是虚数单位）是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ）（A ）2,3b c == （B ）2,1b c ==- （C ）2,1b c =-=- （D ）2,3b c =-=13、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知复数z 满足2)1(=-i z ,其中i 是虚数单位，则z =____________. 14、（金山区2017届高三上学期期末）若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =复数参考答案：1、22、13、1+2i4、215、B6、37、34i -8、34i -9、2 10、5 11、【解析】复数===对应的点到原点的距离==．故答案为：12、D 13、1i + 14、12i - 二、极限1、（宝山区2017届高三上学期期末）23lim1n n n →∞+=+2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知无穷数列{}n a 满足1*1()2n n a a n N +=∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则lim n n S →∞= ．3、（虹口区2017届高三一模）数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2limnn nS a →∞= ．4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在数列{}n a 中，若对一切*n ∈N 都有13n n a a +=-，且2462lim()n n a a a a →∞++++92=，则1a 的值为 . 5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）在无穷等比数列{}n a 中，21)(lim 21=+⋅⋅⋅++∞→n n a a a ，则1a 的取值范围是【 】 A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛210，；B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛121，； C ．()10，； D ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛210，⎪⎭⎫ ⎝⎛121， 6、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若*12()n n n a a n N +-=∈，且21{}n a -是递增数列、2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→+∞= ▲ ．7、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）25lim1n n n →∞-=+____________．8、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）设常数0a >，9()a x x+展开式中6x 的系数为4，则2lim()n n a a a →∞++⋅⋅⋅+=_______．9、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）若数列}{n a 的所有项都是正数，且n n a a a n 3221+=+++ （*N ∈n ），则=⎪⎭⎫⎝⎛++++∞→1321lim212n a a a n n n _____________．10、（金山区2017届高三上学期期末）若n a 是(2)n x +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+=参考答案：1、解析：23lim 1n n n →∞+=+32lim 11x n n→∞++＝2 2、4 3、14 4、－12 5、D6、12-7、2 8、12 9、【解析】∵++…+=n 2+3n （n ∈N *），∴n=1时，=4，解得a 1=16．n ≥2时，且++…+=（n ﹣1）2+3（n ﹣1），可得：=2n +2，∴a n =4（n +1）2．=4（n +1）．∴（）==2．10、2二模一、填空题1、（崇明县2016届高三二模）设复数z 满足 (4)32i z i -=+（i 是虚数单位），则复数z 的虚部 为2、（奉贤区2016届高三二模）若()1i bi +是纯虚数，是虚数单位，则实数b =_______．3、（虹口区2016届高三二模）已知虚数1+2i 是方程20()x ax b a b R ++=∈、的一个根，则_______.a b +=4、（静安区2016届高三二模）设复数z 满足(34i)5z -=（i 为虚数单位），则z = .5、（闵行区2016届高三二模）若复数1i 11i 2b ++-（i 为虚数单位）的实部与虚部相等，则实数b 的值为 6、（浦东新区2016届高三二模）已知复数z 满足(1)2z i i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = . 7、（徐汇、金山、松江区2016届高三二模）若复数z 满足1,ii z-=-其中i 为虚数单位，则z =________________．8、（杨浦区2016届高三二模）若复数1234,12z i z i =+=-，其中i 是虚数单位，则复数12||z z i+的虚部为9、（闸北区2016届高三二模）如果复数z 满足||1z =且2z a bi =+，其中,a b R ∈，则a b +的最大值是 10、（长宁、青浦、宝山、嘉定四区2016届高三二模）已知i 为虚数单位，复数z 满足i 11=+-zz，则=||z __________．二、选择题1、（黄浦区2016届高三二模）若1m iz i+=-（,m R i ∈为虚数单位）在复平面上的点不可能是位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限三、解答题1、（闵行区2016届高三二模）复数21sin i cos2z x x =+⋅，22sin i cos z x x =+⋅（其中x ∈R ，i 为虚数单位）. 在复平面上，复数1z 、2z 能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由． 1、（静安区2016届高三二模）算法流程图如图所示，则输出的k 值是复数参考答案 一、填空题1、3-2、03、34、3455i + 5、2 62 7、1i - 8、－3 92 10、1二、选择题 1、D三、解答题1、解：设复数1z ，2z 能表示同一个点，则cos2cos x x = ……………………3分 解得cos 1x =或1cos 2x =-， ………………………………7分 当cos 1x =时，得2sin 0x =，此时12i z z ==； ……………9分当1cos 2x =-时，得23sin 4x =，此时1231i 42z z ==-； ……………11分综上，复平面上该点表示的复数为i 或31i 42-． ……………12分二、16届一模1、（宝山区2016届高三上学期期末）已知:(1-2)5+10i z i =（i 是虚数单位 ），则z = .2、（崇明县2016届高三上学期期末）已知 z ＝(a −i )(1+i )（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数 z 在复平面内对应的点在实轴上，则a ＝3、（奉贤区2016届高三上学期期末）复数()1i i +（i 是虚数单位）的虚部是__________4、（虹口区2016届高三上学期期末）若复数z 满足201520161zi i i=++（i 为虚数单位），则复数z =______. 5、（黄浦区2016届高三上学期期末）已知复数z ，“0z z +=”是“z 为纯虚数”的 [答] ( B )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 6、（长宁区2016届高三上学期期末）若复数z 满足z 2 －z ＋1 ＝0，则｜z ｜＝ __________ 7、（金山区2016届高三上学期期末）若复数z 满足i21i43-+=z (i 为虚数单位)，则z = 8、（静安区2016届高三上学期期末）已知复数z 满足28z z i +=+,其中i 为虚数单位,则z = 9、（闵行区2016届高三上学期期末）若复数z满足i i z =（i 为虚数单位），则||z = .10、（浦东新区2016届高三上学期期末）若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z = 11、（青浦区2016届高三上学期期末）已知32i -是关于x 的方程220x px q ++=的一个根，则实数p q +=_____________12、（青浦区2016届高三上学期期末）复数1a i z i-=+(a R ∈, i是虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于………（ ）.（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限13、（松江区2016届高三上学期期末）若复数1z ai =+（i 是虚数单位）的模不大于2，则实数a 的取值范围是 ▲14、（徐汇区2016届高三上学期期末）设12,x x 是实系数一元二次方程20ax bx c ++=的两个根，若1x 是虚数，212x x 是实数，则24816321111112222221x x x x x x S x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=_______________15、（杨浦区2016届高三上学期期末）已知虚数z 满足i 61z z 2+=-，则 =z __________16、（徐汇区2016届高三上学期期末）设x 、y 均是实数，i 是虚数单位，复数(2)(52)i x y x y -+--的实部大于0，虚部不小于0，则复数z x yi ＝＋在复平面上的点集用阴影表示为下图中的---------------------------------------（ ）17、（长宁区2016届高三上学期期末）关于x 的不等式的解集为.（1）求实数a ,b 的值； （2）若为纯虚数，求tan α的值.参考答案：1、-3-4i2、13、14、25、B6、17、58、17z =9、2 10、5 11、34 12、a 13、]3,3[- 14、-2 15、5 16、A 17、。

复数的概念知识点：1. 虚数单位：i 。

规定：12-=i ，即i 是-1的一个平方根2. 形如),(,R b R a bi a ∈∈+的数叫做复数。

规定：bi bi i =+=⋅0,003. 复数),(,R b R a bi a z ∈∈+=，复数的实部为a ，虚部为b4. 在复数),(,R b R a bi a z ∈∈+=中当0=b 时，复数a z =是实数当0≠b 时，复数z 叫做虚数当00≠=b a 且时，复数z 叫做纯虚数当且仅当0==b a 时，0=z5. 实数集R 是虚数集C 的真子集，即C R ⊂复数可以如下分类：复数⎩⎨⎧=≠=∈∈+=)0()0()0(),(,时为纯虚数虚数实数a b b R b R a bi a z 经典例题1. 判断下列命题的真假，并证明你的结论(1) 若0,2≥∈z C x 则(2) 若z y x z y y x C z y x ===-+-∈则,0)()(,,,22(3) 若R a ∈，则i a )2(+是纯虚数(4) 若00,00,,>>+>>∈pq q p q p C q p 且则且2. 指出下列复数是实数还是虚数，若是虚数，说出它们的实部和虚部 52,3,0,,221,5.0----i i i π3. 求当m 为何值时，复数i m m m z )1(222-+-+=分别是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4） 0课堂练习1. 判断下列命题的真假，并证明你的结论(1) 自然数是有理数，但不是复数(2) i 43+实部等于3，虚部等于i 4 (3) 对于复数),(,R b R a bi a z ∈∈+=，若0=b ，则z 是实数；若0≠b ，则z 是纯虚数2. 指出下列复数是实数还是虚数，若是虚数，说出它们的实部和虚部0,,3,222,65i i i ---+-3. 求当m 为何值时，复数i m m m m z )103(622--+--=分别是：（1）实数 （2） 虚数 （3）纯虚数 （4） 0课后练习求当m 为何值时，复数i m m m m m z 321222-++--=分别是： （1）实数（2） 虚数 （3）纯虚数。

一、向量的运算、夹角、数量积和投影1.（2024高三一模嘉定2）已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=______.2.（2024高三一模宝山2）已知向量()2,1a m = ，()1,3b m =- ，若a b ⊥，则实数m =______.3.（2024高三一模长宁4）设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =______.4.（2024高三一模松江4）已知向量()()1,2,4,3a b == ，则()2a a b ⋅-=______.5.（2024高三一模黄浦5）已知向量())0,2,a b ==，则向量a 与b夹角的余弦值为______.6.（2024高三一模浦东新区6）已知向量(3,4)a = ，向量(1,0)b = ，则向量a 在向量b上的投影为______.7.（2024高三一模杨浦7）已知向量()3,0a =，(2,b =-，则b 在a 方向上的投影为______.8.（2024高三一模青浦9）已知向量(1,1)d =-垂直于直线l 的法向量，过(1,1)A 、(1,8)B -分别作直线l 的垂线，对应垂足为1A 和1B ，若11A B d λ=，则实数λ的值为.8.（2024高三一模徐汇9）在ABC ∆中，AC BC =，123,P P P ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设()1,2,3k k k I P B P C k =⋅= ，则123I I I -+=______.10.（2024高三一模闵行10）若平面上三个单位向量,,a b c 满足12a b ⋅= ，32a c ⋅= ，则b c ⋅的所有可能的值组成的集合为______.11.（2024高三一模金山12）已知平面向量a 、b 、c 满足42a b c =-=，a b a b a +=-+ ，且,3a c π<>= ，则a b ⋅ 的取值范围是______.12.（2024高三一模静安15）教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“2121y y x x b a +=⋅(其中11(,)a x y = ，22(,)b x y =)”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；2024年上海市高考数学一模考试题分类（向量与复数 ）汇编④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤二、向量的模1.（2024 高三一模崇明 11）已知不平行的两个向量a , b 满足1a =，a b ⋅= ．若对任意的t ∈R ，都有2b ta -≥ 成立，则b的最小值等于______.2.（2024高三一模虹口12）设123123,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a -=-=-= ，且对任意的{},1,2,3i j ∈，均有{i j a b -∈，则122331b b b b b b -+-+-=______.三、复数的四则运算、复数的模1.（2024 高三一模奉贤 1）若2 +a i ( =b i −1)i (a ,b ∈R )，其中i 是虚数单位，则a +b i =______.2.（2024高三一模长宁2）已知复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =______.3.（2024高三一模杨浦2）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 为虚数单位），则z =______.4.（2024高三一模普陀2）设i 为虚数单位，若复数z 满足i 12i z =+，则1z -=______.5.（2024高三一模青浦2）若复数z 满足i 3i z =+，则z =.6.（2024高三一模浦东新区2）若复数512iz =+（其中i 表示虚数单位），则Im z =______.7.（2024高三一模松江3）已知复数2z i =+（其中i 是虚数单位），则z =______.8.（2024高三一模崇明3）若复数()242i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为______.9.（2024高三一模黄浦3）已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则满足z w z ⋅=的复数w 为______.10.（2024高三一模静安4）已知a ∈R ，i 是虚数单位，1ia -的虚部为______.11.（2024高三一模徐汇13）设1z 、2z ∈C ，则“1z 、2z 中至少有一个是虚数”是“12z z -为虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件12.（2024高三一模虹口13）设i 为虚数单位，若2521iz i i -=+-，则z =（）A.12i- B.12i+ C.2i- D.2i+四、复数的几何意义、实系数的一元二次方程1.（2024 高三一模金山 2）在复平面内，若复数z 对应的点的坐标是−(1,，则z 的共轭复数z =______.2.（2024高三一模嘉定11）已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若4i 2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为______.3.（2024高三一模宝山15）已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确是（）A.22z z=B.若1z =，则1i z --1C.若()212i z =-，则复平面内z 对应点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-4.（2024高三一模闵行15）已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为P 、Q ，5OP =（O 为坐标原点），且221122sin 0z z z z θ-⋅+=，则对任意的θ∈R ，下列选项中为定值的是（）A.OQB.PQC.OPQ ∆的周长D.OPQ ∆的面积一、向量的运算、夹角、数量积和投影1.（2024高三一模嘉定2）已知()2,1a = ，()1,2b =- ，则23a b +=______.【答案】()1,8【解析】()()()()()2322,131,24,23,61,8a b +=+-=+-=.2.（2024高三一模宝山2）已知向量()2,1a m = ，()1,3b m =- ，若a b ⊥，则实数m =______.【答案】1【解析】因为a b ⊥ ，则2301a b m m m ⋅=+-=⇒=.3.（2024高三一模长宁4）设向量()1,2a =- ，()1,b m =- ，若//a b，则m =______.【答案】2【解析】以为//a b，所以()()1212m m ⋅=-⨯-⇒=.4.（2024高三一模松江4）已知向量()()1,2,4,3a b == ，则()2a a b ⋅-=______.【答案】0【解析】()()2222514230a a b a a b ⋅-=-⋅=⨯-⨯+⨯=.5.（2024高三一模黄浦5）已知向量())0,2,a b ==，则向量a 与b夹角的余弦值为______.【答案】12【解析】21cos ,222a ba b a b ⋅===⨯⋅.6.（2024高三一模浦东新区6）已知向量(3,4)a = ，向量(1,0)b =，则向量a 在向量b 上的投影为______.【答案】()3,0【解析】由公式可得向量a 在向量b 上的投影为()23,0a b b b⋅⋅=.7.（2024高三一模杨浦7）已知向量()3,0a =，(2,b =-，则b 在a 方向上的投影为______.【答案】()2,0-参考答案【解析】b 在a 方向上的投影为()()263,02,09a b a a ⋅-⋅=⋅=-.8.（2024高三一模青浦9）已知向量(1,1)d =-垂直于直线l 的法向量，过(1,1)A 、(1,8)B -分别作直线l 的垂线，对应垂足为1A 和1B ，若11A B d λ=，则实数λ的值为.【答案】92-【解析】11A B 即AB 在d 向量方向上的投影，()2,7AB =- ，11292AB d A B d dd⋅∴=⋅=-8.（2024高三一模徐汇9）在ABC ∆中，AC BC =，123,P PP ,为边AB 上的点，且1238428PB P B P B AB ====，设()1,2,3k k k I P B P C k =⋅= ，则123I I I -+=______.【答案】1【解析】由题意，1P 是八等分点，2P 是四等分点，1P 是中点，建立平面直角坐标系如图所示，则()30,0P ，()22,0P ，()13,0P ，()4,0B ，()0,C c ，1113I PB PC =⋅=-，2224I P B P C =⋅=- ，3330I P B PC =⋅= ，计算可得1231I I I -+=.10.（2024高三一模闵行10）若平面上三个单位向量,,a b c 满足12a b ⋅= ，32a c ⋅= ，则b c ⋅的所有可能的值组成的集合为______.【答案】,22⎧⎪-⎨⎪⎪⎩⎭【解析】设()1,0a = ，则13,22b ⎛=±± ⎝⎭ ，31,22c ⎛⎫=±± ⎪ ⎪⎝⎭ ，所以b c ⋅ 的所有可能的值组成的集合为3322⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭.11.（2024高三一模金山12）已知平面向量a 、b 、c 满足42a b c =-=，a b a b a +=-+ ，且,3a c π<>= ，则a b ⋅ 的取值范围是______.【答案】,3⎡∞⎫+⎪⎢⎪⎣⎭【解析】由题意可设()2,0a OA == ，(),b x y = OB = ，c OC =，其中O 为坐标原点，则2b a a a b +=-+== ，可得点B 的轨迹以A 为焦点的双曲线的右支，且1a =，2c =，则轨迹方程为2213y x -=()0x >，又,3a c π<>= ，所以点C的轨迹为()0y x =≥，恰为点B 轨迹的渐近线，由题意12b c CB -==，当BC 与渐近线垂直时，此时B 的横坐标取得最小值，由点到直线距离公式可知112BC y ==⇒-=，而双曲线在渐近线y =1y -=，22143331y x x y y ⎧=-=⎪⇒=⇒⎨-=⎪=⎧⎪⎨⎩⎩⎪，所以23,13B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，则()min343a b⋅= ，又点B 可以取到无穷远处，所以43,3a b ⎡⎫⋅∈+∞⎪⎢⎪⎣⎭ .12.（2024高三一模静安15）教材在推导向量的数量积的坐标表示公式“2121y y x x b a +=⋅(其中11(,)a x y =，22(,)b x y =)”的过程中，运用了以下哪些结论作为推理的依据（）①向量坐标的定义；②向量数量积的定义；③向量数量积的交换律；④向量数量积对数乘的结合律；⑤向量数量积对加法的分配律．A.①③④B.②④⑤C.①②③⑤D.①②③④⑤【答案】D【解析】向量,a b 的坐标表示用了①，a b ⋅ 运算用了②，1212a b b a x x y y ⋅=⋅=+用了③()()1122a b x i y j x i y j ⋅=+⋅+的展开运算用了④⑤，其中i ，j 为x 轴和y 轴的单位向量，故选 D.二、向量的模1.（2024高三一模崇明11）已知不平行的两个向量,a b满足1a = ，3a b ⋅= ．若对任意的t ∈R ，都有2b ta -≥ 成立，则b的最小值等于______.【答案】7【解析】设,a b θ<>=，[]0,θπ∈，()0b m m => ，因为1a = ，3a b ⋅= ，所以cos 3a b θ=，即cos 3m θ⋅=，则[]3cos 1,1mθ==-，所以3m ≥，因为对任意的t ∈R ，都有2b ta -≥成立，所以()24b ta-≥ ，即22224ta b t b a -⋅+≥ ，即222340t t m -+-≥对任意t ∈R 恒成立，所以()()2223440m ∆=--≤，又0m >，解得7m ≥，所以b的最小值等于7.2.（2024高三一模虹口12）设123123,,,,,a a a b b b是平面上两两不相等的向量，若1223312a a a a a a -=-=-=，且对任意的{},1,2,3i j ∈，均有{}1,3i j a b -∈ ，则122331b b b b b b -+-+-=______.【答案】3【解析】设112233112233,,,,,a OA a OA a OA b OB b OB b OB ======，由题意可知，1223312A A A A A A ===，1i j A B =或3，{},1,2,3i j ∈以i A 为圆心作半径为1或者3的圆，则j B 同时在以i A 为圆心半径为1或者3的圆上，又因为1B ，2B ，3B 不重合，故1B ，2B ，3B 只能分别在等边三角形123A A A 的三条边的中点处，如图所示：故1223311223313b b b b b b B B B B B B -+-+-=++=.三、复数的四则运算、复数的模1.（2024 高三一模奉贤 1）若2 +a i ( =b i −1)i (a ,b ∈R )，其中i 是虚数单位，则a +b i =______.【答案】−1 −2i【解析】2 +a i ( =b i −1)i − =b −i ，则a − =1，b − =2 ，所以a +b i − =1 −2i 2.（2024高三一模长宁2）已知复数z 满足11iz =-（i 为虚数单位），则z =______.【答案】22【解析】11i 1i 2z +==-，22z z ===.3.（2024高三一模杨浦2）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 为虚数单位），则z =______.【答案】【解析】2i12i iz -+==+，所以z ==.4.（2024高三一模普陀2）设i 为虚数单位，若复数z 满足i 12i z =+，则1z -=______.【解析】12i2i iz +==-，11i z -=-=.5.（2024高三一模青浦2）若复数z 满足i 3i z =+，则z =.【答案】【解析】3iz z i+=⇒=6.（2024高三一模浦东新区2）若复数512iz =+（其中i 表示虚数单位），则Im z =______.【答案】2-【解析】()()()512i 512i 12i 12i 12i z z -====-++-，所以Im 2z =-.7.（2024高三一模松江3）已知复数2z i =+（其中i 是虚数单位），则z =______.【答案】【解析】2,2,z i z i z =+∴=-∴=.8.（2024高三一模崇明3）若复数()242i z m m =-++（i 为虚数单位）是纯虚数，则实数m 的值为______.【答案】2【解析】因为z 是纯虚数，所以240220m m m ⎧-=⇒=⎨+≠⎩.9.（2024高三一模黄浦3）已知复数1z i =-（i 为虚数单位），则满足z w z ⋅=的复数w 为______.【答案】i-【解析】11z i z w z w i iz -⋅=⇒===-+.10.（2024高三一模静安4）已知a ∈R ，i 是虚数单位，1ia -的虚部为______.【答案】211a +【解析】()()221i 1i i i i 11a a a a a a a +==+--+++，所以虚部为211a +.11.（2024高三一模徐汇13）设1z 、2z ∈C ，则“1z 、2z 中至少有一个是虚数”是“12z z -为虚数”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】1i z a b =+，2i z c b =+，（0b ≠），其中12,z z 均为虚数，12z z -为实数，所以前面不能推后面，若12z z -为虚数，则虚部不为0，则1z 、2z 中至少有一个是虚数，后面可以推前面，故选B.12.（2024高三一模虹口13）设i 为虚数单位，若2521iz i i -=+-，则z =（）A.12i -B.12i+ C.2i- D.2i+【答案】A 【解析】252121iz i i i-==++-，12z i ∴=-，故选A.四、复数的几何意义、实系数的一元二次方程1.（2024 高三一模金山 2）在复平面内，若复数z 对应的点的坐标是−(1,)，则z 的共轭复数z =______.【答案】1--【解析】1z =-+，所以z =1--.2.（2024高三一模嘉定11）已知复平面上一个动点Z 对应复数z ，若4i 2z -≤，其中i 是虚数单位，则向量OZ扫过的面积为______.【答案】83π+【解析】由题意可得，Z 对应的区域是以()0,4为圆心，2为半径圆以及内部构成的圆面，而向量OZ扫过的面除了圆面以外还包括圆外的一部分，如图所示，因此OZ扫过的面积等于OAC OBC S S S ∆∆++扇阴影，,OA OB与圆C 相切于,A B 两点，所以4OC =，2CA CB ==，则OA OB ==，且3OCA OCB π∠=∠=，所以1222OAC OBC S S ∆∆+=⨯⨯⨯=212822233S πππ⎛⎫=⋅-⋅=⎪⎝⎭扇阴影所以OZ 扫过的面积等于83π.3.（2024高三一模宝山15）已知z 是复数，z 是其共轭复数，则下列命题中正确是（）A.22z z=B.若1z =，则1i z --1+C.若()212i z =-，则复平面内z 对应点位于第一象限D.若13i -是关于x 的方程()20,x px q p q ++=∈R 的一个根，则8q =-【答案】B【解析】A.2z 可能是实数，也可能是复数，2z 一定是实数，等式不一定成立，错误；B.1z =，则z 在单位圆上，1i z --表示单位圆上的点与点()1,1的距离，所以最大值为1+，正确；C.()212i 34i z =-=--，34i z =-+，对应的点在第二想象，错误；第8页(共8页)D.方程另一个根为13i +，则()()13i 13i 10q =+-=，错误；故选B.4.（2024高三一模闵行15）已知复数1z 、2z 在复平面内对应的点分别为P 、Q ，5OP =（O 为坐标原点），且221122sin 0z z z z θ-⋅+=，则对任意的θ∈R ，下列选项中为定值的是（）A.OQ B.PQ C.OPQ ∆的周长 D.OPQ ∆的面积【答案】A 【解析】由题意，原方程可变为22211sin 10z z z z θ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，关于方程2sin 10x x θ-+=，2sin 40θ∆=-<，所以sin 2x θ±=，所以221112z z x z z ====，所以215OQ z z OP ====，在OPQ ∆中，由于POQ ∠不是定值，则POQ ∆面积及PQ 的长度都不确定，故选A.。

第五章复数（讲义+典型例题）一．数系的扩充和复数的概念1.复数的定义：设i 为方程21x =-的根，i 称为虚数单位，形如()a bi a b R +∈、的数，称为复数.所有复数构成的集合称复数集,通常用C 来表示.a 为实部，b 为虚部2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩例1（1）．（2021·浙江·绍兴市柯桥区教师发展中心模拟预测）已知a ∈R ，若复数2i z a a a =++（i 是虚数单位）是纯虚数，则=a （ ）A ．0B ．1C ．1-D ．2（2）．（2021·全国·模拟预测）设i 是虚数单位，则下列是虚数的是（ ） A ．fB ．gC ．hD ．i举一反三（1）．（2021·广东佛山·模拟预测）在复数范围内方程230x +=的解为（ ） A ．3i -B 3iC ．3i ±D ．3（2）．（2021·福建泉州·一模）已知i 是虚数单位，则“i a =”是“21a =-”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件二．复数的几何意义1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2.复数的坐标表示 点(,)Z a b3.复数的向量表示 向量OZ ．4.复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，22z a b =+．例2（1）．（2021·四川自贡·一模（理））复数(3)i z a a =+-（a ∈R ，i 为虚数单位），在复平面内所对应的点在2y x =上，则||z =（ ） A ．3B ．5C ．7D ．10（2）．（2021·全国·模拟预测）已知i 是虚数单位，复数3i2iz -=+的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限举一反三（1）．（山东省大教育联盟学校2021-2022学年高三下学期收心考试（开学考试）数学试题）已知a ∈R ，若在复平面内复数185i z =+与24i z a =+对应的两点之间的距离为4，则=a （ ）． A ．4B ．5C ．6D ．81（2）．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））已知复数z 满足34i z z =+，则=z （ ） A ．1B 5C 10D ．5复数bia z +=复平面 内的点 Z （a,b ）平面向量OZ（3）．（2022·上海市崇明区横沙中学高一期末）若复数(2)(2)i,(R)z m m m =++-∈在复平面上对应的点在第四象限，则m 的取值范围是__．(4)．（2022·江西上饶·高二期末（文））已知复数()()226832i z m m m m =-++-+，其中i 是虚数单位，m 为实数．(1)当复数z 为纯虚数时，求m 的值；(2)当复数i z ⋅在复平面内对应的点位于第三象限时，求m 的取值范围．三． 两个复数相等的定义：a bi c di a c +=+⇔=且b d =（其中a b c d R ∈，，，，）特别地，00a bi a b +=⇔==.例3（2022·浙江·模拟预测）设2,1i i a R a a ∈+=+（i 为虚数单位），则a ＝（ ） A ．－1B ．0C ．1D ．1或－1举一反三(1)．（2021江苏无锡·模拟预测）已知,x y R ∈，且32x i yi +=+，则,x y 的值分别为（ ） A ．21,3B ．3,1C ．2,13D ．1,3（2）（2021·河南·模拟预测（文））已知a 、R b ∈，()()()12i 131i a a b -+=-+-，则（ ）A ．2b a =-B ．2b a =C ．2a b =-D ．2a b =四．共轭复数若两个复数的实部相等，而虚部是互为相反数时，这两个复数叫互为共轭复数；特别地，虚部不为0的两个共轭复数也叫做共轭虚数；【注：两个共轭复数之差是纯虚数.（×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的]】若z=a+bi ，则z a bi =+的共轭复数记作z a bi =-；例4.（2019·全国·高考真题（理））设z =-3+2i ，则在复平面内z 对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限举一反三(1)．（2021·浙江·模拟预测）复数1i +（i 为虚数单位）的共轭复数在复平面中对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)．（2021·黑龙江·哈九中模拟预测（理））满足条件34z i i -=+的复数z 的共轭复数在复平面上对应的点所在象限是（ ） A ．一B ．二C ．三D ．四五．复数的加减运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）加法：()()121212z z a a b b i +=+++，即实部与实部相加，虚部与虚部相加；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．例5（2020·上海普陀·三模）在复平面内，点()2,1A -对应的复数z ，则1z +=___________举一反三（1）．（2022·全国·高一课时练习）已知复数1234i,34i z z =+=-，则12z z +等于( ) A ．8i B ．6 C ．68i + D ．68i -（2）．（2022·全国·高一）如图所示，已知复数111i z a b =+，()2221122i ,,,z a b a b a b R =+∈所对应的向量()11,OA a b =，()22,OB a b =，它们的和为向量OC ．请根据两个向量相加的运算写出对应的复数运算过程．（2）减法：()()121212z z a a b b i -=-+-，即实部与实部相减，虚部与虚部相减；几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．2212()()i ()()z z a c b d a c b d -=-+-=-+-表示1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．例6（1）（2021·全国·高考真题（理））设()()2346z z z z i ++-=+，则z =（ ） A ．12i -B ．12i +C ．1i +D ．1i -（2）（2022·四川省高县中学校模拟预测（文））在复平面内，O 为原点，四边形OABC 是复平面内的平行四边形，且A ，B ，C 三点对应的复数分别为z 1，z 2，z 3，若131,2i ==-+z z ，则z 2=（ ） A ．1+iB ．1－iC ．－1+iD ．－1－i举一反三（1）．（2022·河南·模拟预测（理））已知3225i z z -=-，则z =（ ） A ．2i - B ．2i + C ．2i --D ．2i -+（2）．（2021·山东章丘·模拟预测）复数z 1，z 2满足z 1∈R ，2121,2z i z z =+-z 1＝（ ） A ．1B ．2C ．0或2D ．1或2六、复数的乘除运算 设111z a b i =+，222z a b i =+（1）乘法：()()1212122112z z a a b b a b a b i ⋅=-++ ， 特别22z z a b ⋅=+；例7（1）．（2021·全国·高考真题）已知2i z =-，则()i z z +=（ ） A ．62i -B ．42i -C ．62i +D ．42i +（2）．（2019·北京·高考真题（理））已知复数z =2+i ，则z z ⋅= A 3B 5C ．3D ．5举一反三（1）．（2022·浙江·模拟预测）复数()i 2i z =-（i 为虚数单位）的共扼复数在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2）．（2022·山西临汾·一模（理））已知a ，R b ∈，i 是虚数单位.若i 3i a b +=-，则()2i b a -（ ） A ．106i +B ．86i -+C ．96i -D ．86i -（3）．（2022·四川攀枝花·二模（理））若复数()()2i 1i z b b R =+∈的实部与虚部相等，则b 的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2（2）除法c diz a bi+=+（,a b 是均不为0的实数）的化简就是通过分母实数化的方法将分母化为实数，即分子分母同时乘以分母的共轭复数，然后再化简：()()22ac bd ad bc ic di c di a bi z a bi a bi a bi a b++-++-==⋅=++-+； （3四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。

上海市崇明区2024届高三一模数学试卷（满分150分，时间120分钟）2023.12.15一、填空题（本大题共有12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集是．2.双曲线221y x 的焦距是．3.4.5.x6.7.8.9.10.个假设所建立的数学模型与实际情况相符吗？若相符，请在以下横线上填写“相符”；若不相符，请选择其中的一个假设给出你的修改意见，并将修改意见填入横线．．11.已知不平行的两个向量a 、b 满足1a ，a bt R ，都有2b ta 成立，则b 的最小值等于．12.已知正实数a 、b 、c 、d 满足210a ab ，221c d ，则当 22a cb d 取得最小值时，ab．第17题图二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合23A x x ，0B x x ，则A B （）.A 2,3 ；.B 0,3；.C 0, ；.D 2, ．14.若0x y ，则下列不等式正确的是（）.A x y ；.B 22x y ；.C 11x y；.D 2x y．15.已知点M 为正方体1111ABCD A B C D 内部（不包含表面）的一点．给出下列两个命题：1q2q .A .C 16.则实数m 的取值.A ．三、17.1，90ADC ，E 、F （1（2）求点B 到平面PCF 的距离．18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）在ABC 中，5a ，6b ．（1）若4cos 5B，求A 和ABC 外接圆半径R 的值；（2）若ABC 的面积4S，求c 的值．19.台计算TPI 4个等级：某市（1）年元旦及前后共7天中任取1天，求这一天交通高峰期城市道路拥堵程度为“拥堵”的概率；（2）年元旦及前后共7天中任取3天，将这3天中交通高峰期城市道路2022年同日TPI高的天数记为X ，求所有X 的可能值及其发生的概率．已知抛物线21:4y x ，22:2y x ，直线l 交抛物线1 于点A 、D ，交抛物线2 于点B 、C ，其中点A 、B 位于第一象限．（1）若点A 到抛物线1 焦点的距离为2，求点A 的坐标；（2）若点A 的坐标为 4,4，且线段AC 的中点在x 轴上，求原点O 到直线l 的距离；（3）若2AB CD，求AOD 与BOC 的面积之比．已知 sin f x mx x （m R 且0m ）．（1）若函数 y f x 是实数集R 上的严格增函数，求实数m 的取值范围；（2）已知数列 n a 是等差数列（公差0d ）， n n b f a ．是否存在数列 n a 使得数列 n b 是等差数列？若存在，请写出一个满足条件的数列 n a ，并证明此时的数列 n b 是等差数列；若不存在，请说明理由；（3）若1m ，是否存在直线y kx b 满足：①对任意的x R 都有 f x kx b 成立，②存在0x R使得 00f x kx b ？若存在，请求出满足条件的直线方程；若不存在，请说明理由．崇明区2023学年第一学期高三第一次模拟考试参考答案及评分标准一、填空题1. （1，3）；2. 3. 2； 4. 31； 5. 10；6.7. 3； 8. 9； 9. 0.42； 10. 假设2中，易拉罐的顶部类似于圆台；假设3中，易拉罐的罐顶和罐底材质比罐体的材质厚； 11.12.12+. 二、选择题13. D ； 14. C ； 15. A ； 16. A. 三、解答题17. 解 （1）证明：取PA 中点G ，连接GE 、GD ，则//GE AB ，12GE AB =，由于//CD AB ，12CD AB =，所以//GE CD ，GE CD =，所以四边形CDGE 是平行四边形，所以//CE GD ，......................................4分 由于CE 不在平面PAD 上，DG ⊂平面PAD ，所以CE //平面PAD ；.....................................................................................7分 （2）设点B 到平面PCF 的距离为h ，由题意，CF AB ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以CF PF ⊥ 在RT PAF △中，PF =，所以12PFC S CF PF =⋅=△分 由P BCF B PCF V V −−=得1133BCF PCF S PA S h ⋅=⋅△△所以5h =，即点B 到平面PCF的距离为5.......................................7分 18. 解 （1）因为4cos 5B =−，()0,B π∈，所以3sin 5B ==...........2分 由正弦定理，得2sin sin a b R A B ==，即5623sin 5R A ==，....................................4分 所以1sin 2A =，5R =， 因为a b <，所以0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，因此6A π=，5R =..................................................6分 （2）由1sin 2ABC S ab C =△得224sin 564ABC S C ab ===⨯△，....................2分于是3cos 4C ==±.....................4分当3cos 4C =时，由余弦定理，得222356256164c =+−⨯⨯⨯=.....................6分当3cos 4C =−时，由余弦定理，得2223562561064c ⎛⎫=+−⨯⨯⨯−= ⎪⎝⎭.所以，4c =或c =分（2）根据统计数据可得：2023年元旦及前后共7天中，交通高峰期城市道路TPI 比2022年同日TPI 高的天数共有2天，故0,1,2X =.....................2分()3537C 1020C 357P X ====；()215237C C 2041C 357P X ⋅====； ()125237C C 512C 357P X ⋅====...........................................................................................8分20. 解 （1）抛物线24y x =的准线为1x =−，因为点A 到抛物线1Γ焦点的距离为2，所以点A 到抛物线1Γ准线的距离为2， 所以点A 的横坐标为1，故点A 的坐标为(1,2).....................4分 （2）设00(,)C x y ，则线段AC 的中点坐标为0044(,)22x y ++ 由题意，402y +=，故04y =−，所以(8,4)C −.....................2分 所以直线l 的方程为：2120x y +−=.....................4分所以原点O 到直线l 的距离d ==.....................6分 （3）由题意，直线l 的斜率k 显然存在且0k ≠，设直线l 的方程为y kx b =+ 设11223344(,),(,),(,),(,)A x y D x y B x y C x y由2AB CD =，得31242()y y y y −=−①，.....................2分由24y x y kx b⎧=⎨=+⎩，得：204k y y b −+=，所以124y y k +=，124b y y k =同理，342y y k+=，342b y y k =.....................4分所以12342()y y y y +=+②，12342y y y y =③由①，②得：23y y =−，代入③得142y y =−，代入②得2434y y =所以4412344442103473AODBOCy y S y y S y y y y −−−===−−−△△...............................................................8分 21.解 （1）因为函数()y f x =是实数集R 上的增函数，所以'()cos 0f x m x =+≥对任意的x ∈R 都成立.............................2分 因为函数cos y m x =+的最小值为1m −，所以1m ≥.....................4分（2）sin n n n b a ma =+，若{}n b 是等差数列，则212n n n b b b +++=对一切正整数n 成立， 即2211sin sin 2sin 2n n n n n n a ma a ma a ma +++++++=+， 将212n n n a a a +++=代入化简得21sin sin 2sin n n n a a a +++=， 即()()111sin sin 2sin n n n a d a d a +++−++=，展开化简得()12sin cos 10n a d +⋅−=对一切正整数n 成立，所以1sin 0n a +=或cos 1d =， 故1n a n π+=或()20,d k k k π=≠∈Z ；......................................................3分 注：这里只要给出合适的一个等差数列即可得分 当()20,d k k k π=≠∈Z 时，()()11sin sin 1212n n n b a ma a n k m a n k ππ=+=+−++−⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()1112sin m n k ma a π=−++，所以12n n b b m k π+−=为常数，故{}n b 是等差数列......................................................................6分 同理，当n a n π=时，亦可证明数列{}n b 为等差数列. （3）令()(sin )()(1)sin g x x x kx b k x x b =+−+=−+−则当m Z ∈时，(2)2(1)sin11b bg m k m k kππ+=−+−− 1k >时，存在m Z ∈使得(2)01bg m kπ+<−， 即存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符同理，1k <时，存在x R ∈使得()f x kx b <+，与题意不符.......................4分1k =时，()sin g x x b =−当1b >−时，显然存在存在x R ∈使得()0g x <，即存在存在x R ∈使得()f x kx b <+ 当1b <−时，对任意的x R ∈都有()0g x >，..................................6分 当1b =时，存在02x π=−，使得00()=f x kx b +，且对任意的x R ∈都有()0g x ≥，即对任意的x R ∈都有()f x kx b ≥+综上，存在直线1y x =−满足题意..................................8分。