例7.2：A = {1，2}, 求P(A)A。
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7.1.2 集合的笛卡尔积
集合的笛卡儿积的性质：
▪ 性质1：若|A| ＝ m, |B| ＝ n, 则 |AB| ＝ mn
▪ 性质2：对任意集合 A，有：A×φ＝φ×A ＝ φ ▪ 性质3：一般地A×B≠B×A，即笛卡儿乘积不满
足交换律。
问题：
▪ 什么情况下A×B＝B×A？
所以， （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）成立。
7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义：
▪ n个元素x1，x2，…，xn组成的有序序列,记做：
＜x1,x2,…,xn＞
▪ 称为n重组（n元序偶、n元组）。 约定:
▪ ＜x1，x2，…, xn-1, xn＞= ＜<x1，x2，… ,xn-1 >,xn＞
▪ 一般地：
▪若A1＝A2＝……＝An ＝ A时，上式简记为：An
7.2 二元关系
7.2.1 二元关系的基本定义 7.2.2 二元关系的表示
7.2.1 二元关系的基本定义
关系
▪ 数的 ＞, ＝, ＜ 关系; ▪ V＝I R; ▪ 计算机程序的输入与输出联系； ▪ 数据库的数据特性联系等。
集合论为刻划这种联系提供了一种数学模型
集合的笛卡儿积的性质 ▪ 性质4：一般地 (A×B)×C≠A×(B×C)，即集合的笛卡儿积不满足结
合律。
▪ 性质5： AC ∧ BD A×B C×D
7.1.2 集合的笛卡尔积
▪ 性质6：
▪ 笛卡儿积对∪、∩运算满足分配律
▪ A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C） ▪ A×（B∩C）＝（A×B）∩（A×C） ▪ （A∪B）×C＝（A×C）∪（B×C） ▪ （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
7.2.1 二元关系的基本定义
例:
▪ (1) R＝{<x,y> | x,yN, x＋y＜3}
＝{<0,0>, <0,1>, <0,2>, <1,0>, <1,1>, <2,0>}
▪ (2) C＝{<x,y> | x,yR, x2＋y2＝1}
▪ (3) R＝{<x,y,z> | x,y,zR, x＋2y＋z＝3}
A×B＝｛＜x,y＞|x∈A∧y∈B}
▪例：设A＝{a , b}，B＝{ 0，1，2}，C＝φ，
计算A×B，B×A，A×C，A×A。
▪解：
A×B＝{＜a,0＞,＜a,1＞,＜a,2＞, ＜b,0＞,＜b,1＞,＜b,2＞} B×A＝{＜0,a＞,＜0,b＞, ＜1,a＞,＜1,b＞, ＜2,a＞,＜2,b＞} A×C ＝ φ A×A ＝{＜a,a＞,＜a,b＞,＜b,a＞,＜b,b＞}（A×A可记作A2 ）
7.1.1 有序对的定义
性质：
▪ 当x ≠ y时， ＜x，y＞≠ ＜y，x＞ ▪ ＜x，y＞＝ ＜u，v＞ x＝u∧y＝v
例7.1：
▪ <x＋2,4>＝<5, 2x＋y >，求 x, y。 ▪解：
▪ ∵x＋2＝5, 2x＋y ＝4 ▪ ∴ x＝3, y＝ 2
7.1.2 集合的笛卡尔积
定义7.2：集合A与B的笛卡儿乘积
▪ (4) 5元关系的实例—数据库实体模型
员工号
姓名
年龄
性别
工资
301
张林
50
302
王晓云
43
303
李鹏宇
47
…
…
…
男
7.1.2 集合的笛卡尔积
▪ A×(B ×C)＝{ ＜a,<1,p>＞,＜a,<1,q>＞,
＜a,<2,p>＞,＜a,<2,q>＞, ＜a,<3,p>＞,＜a,<3,q>＞, ＜b,<1,p>＞,＜b,<1,q>＞, ＜b,<2,p>＞,＜b,<2,q>＞, ＜b,<3,p>＞,＜b,<3,q>＞ }
（A＝B∨A＝φ ∨B＝ φ ）
▪ 什么情况下A×B≠B×A？
（A≠B∧A≠ φ ∧B≠ φ ）
7.1.2 集合的笛卡尔积
例3：
设A＝{a，b}，B＝{1，2，3}，C＝{p，q}，
计算(A×B)×C ， A×(B×C)。
解：
(A×B) ×C＝{ ＜<a,1>,p＞,＜<a,1>,q＞, ＜<a,2>,p＞,＜<a,2>,q＞, ＜<a,3>,p＞,＜<a,3>,q＞, ＜<b,1>,p＞,＜<b,1>,q＞, ＜<b,2>,p＞,＜<b,2>,q＞, ＜<b,3>,p＞,＜<b,3>,q＞ }。
▪ 关系(Relation) 。
7.2.1 二元关系的基本定义
定义7.3
▪ 如果一个集合满足以下条件之一：
▪ （1）集合非空, 且它的元素都是有序对 ▪ （2）集合是空集
▪ 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R.
例如：
▪ R＝{<1 , 2 >, <a , b>} ▪ S＝{<1，2>, 3, 4}.
性质：
＜x1,x2,…,xn＞ ＝ ＜y1,y2,…,yn＞ xi ＝ yi(i=1,2,…,n)
7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
定义4.4：
▪ 集合A1、A2、……、An的笛卡儿乘积
A1×A2×…×An＝{＜x1，x2，…，xn＞ | xi∈Ai i＝1,2,…,n}
注意：
▪ A1×A2×……×An－1×An ＝（A1×A2×……×An－1 ） ×An
7.1 有序对与笛卡尔积
7.1.1 有序对的定义 7.1.2 集合的笛卡尔积 7.1.3 有序 n 元组和 n 阶笛卡尔积
7.1.1 有序对的定义
定义7.1：
▪ 两个元素x,y组成的有序序列＜x,y＞，称为一个有序
对（序偶、二元组）。
例：
▪ 直角坐标系中点的坐标＜x,y＞ ▪ 日期的表示：＜y,m＞
所以， A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C）成立。
7.1.2 集合的笛卡尔积
证明： （A∩B）×C＝（A×C）∩（B×C）
证： 任取＜x，y＞
＜x，y＞∈ （A∩B）×C
x∈（A ∩B） ∧y∈C
x∈A∧x∈B ∧ y∈C （x∈A∧y∈C） ∧ （x∈B∧ y∈C ） （＜x，y＞∈A×C） ∧ （＜x ，y＞∈B×C ） ＜x，y＞∈ （A×C）∩（B×C）
7.1.2 集合的笛卡尔积
证明：A×（B∪C）＝（A×B）∪（A×C） 证：任取＜x，y＞
＜x，y＞∈A×（B∪C） x∈A∧y∈B∪C x∈A∧（y∈B∨ y∈C ） （x∈A∧y∈B）∨ （x∈A∧ y∈C ） （＜x，y＞∈A×B）∨ （＜x ，y＞∈A×C ） ＜x，y＞∈（A×B）∪ （A×C ）
