深圳中考数学模拟题精编版

2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：概率与统计解答题（原卷版）1. （2023年广东省深圳市光明区中考一模）深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：（1）本次随机调查了 名学生；（2）请补全条形统计图；的（3）扇形统计图中，C类所对应扇形的圆心角为 度；（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D：其它”的学生大约有 名．2. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）某校校园文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是______名，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是______；（3）根据抽样结果，请估计该校1800名学生获得特等奖的人数是______名；（4）调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率．3. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）为调查某校关于国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h”的落实情况，某部门就“每天在校体育活动时间”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．每天在校体育活动时间扇形统计图：每天在校体育活动时间频数分布表：每天在校体育活动时间组别人数t/hA t＜0．5h20B0．5h≤t＜1h40C1h≤t＜1．5h aD t≥1．5h20请根据以上图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_________人，a＝__________，C组所在扇形的圆心角的大小是___________；（2）若该校约有1500名学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数．4. （2023年广东省深圳市光明区中考二模）光明区某学校为了了解学生课外阅读的情况，从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下两幅统计图．根据相关信息，解答下列问题．（1）本次随机抽样调查的学生人数为________人，并补全条形统计图；（2）本次调查获取的样本数据的众数是________小时、中位数是________小时：（3）经了解，阅读时间为8小时的四名同学刚好为两名男同学和两名女同学．学校准备从这四位同学中随机抽取两名参加光明区“阅读之星”活动，请利用列表法或树状图法求出抽中的两名同学恰好为一男一女的概率．5. （2023年广东省深圳市坪山区中考二模数学）国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：（1）此次调查中接受调查的人数为___________人；（2）补全图1条形统计图；（3）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共___________人；（4）该校九年一班非常关注的学生有A 、B 、C 、D 四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，则恰好抽到A 、B 两位同学的概率为___________．6. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）“走进数学世界，感受完美生活．”为增进全体学生对数学文化的了解，临海学校组织了趣味数学知识竞赛，随机抽取若干名学生的成绩，对数据进行整理和分析，现将抽取的学生成绩用x （分）表示，并将调查数据分成四组：A.90100x <≤，B.8090x <≤，C.7080x <≤，D.6070x <≤，其中A 组分数段内，所有学生得分各不相同，B 组学生的成绩分别为：86、86、88、86、83、86．根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：根据图中信息回答下列问题：（1）本次共抽查了__________名学生，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，C 组所对应的圆心角的度数为__________︒；（3）本次抽查的学生成绩的众数为__________，中位数为__________；（4）竞赛成绩超过80分视作优秀，若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，估计该校有__________名学生获得优秀．7. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：年参加阅读人数级星期一星期二星期三星期四星期五七年级2530a4030八年级2026243040合计4556597070（1）a＝_____；（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______；（3）七年级学生参加阅读人数的众数为______；（4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．8. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：【整理与描述】（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为______︒．（2）【分析与估计】平均数众数中位数第1组 2.9a3第2组b01第3组 2.252ca______，b=______，c=______；由上表填空：=（3）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有______人；（4）【评价与建议】结合你的分析，请给第2组的同学提供一条有关该知识点的学习建议．9. （2023年广东省深圳市宝安区中考三模）在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A：艺术类，B：科技类，C：文学类，D：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）若全校有1200名学生，请估计喜欢B（科技类）的学生有多少名？10. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）“深圳天气”预测未来6天的天气如下：（1）“这6天一定下雨”是 事件；（选填“必然”“不可能”“随机”）（2）这6天最高气温的中位数为 ；（3）这6天最低气温的平均数为 ．11. （2023年广东省深圳市福田区中考二模）“读书让生活更加多彩，阅读让城市更有温度”．近年来，作为深圳中心城区和“首善之区”的福田各学校积极打造“阅读永恒、书香满溢”的爱阅之校．为了解今年福田区15000名初三学生的每天平均课外阅读时间，从中随机抽取若干名学生进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表中所给的信息，解答下列问题：组别时间（小时）频数（人数）频率t≤＜400.1A00.5t≤＜a0.3B0.51t≤＜140bC1 1.5t≤＜800.2D 1.52t≤＜200.05E2 2.5a ，b= ；（1）表中的=（2）补全频数分布直方图；（3）结合调查信息，请你估计今年该区初三学生中，每天课外阅读小于1小时的学生约有多少人？12. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．（1）小明从中随机抽取—张邮票是“立春”的概率是______．（2）小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：概率与统计解答题（解析版）1. （2023年广东省深圳市光明区中考一模）深圳中小学现已开展延时服务，某校为了解学生的兴趣，现随机抽取部分学生进行问卷调查后（每人只能选一种）将调查结果绘制成如图所示的统计图：（1）本次随机调查了 名学生；（2）请补全条形统计图；（3）扇形统计图中，C 类所对应扇形的圆心角为 度；（4）若该学校共有学生2400名，则选择“D ：其它”的学生大约有 名．【答案】（1）80 （2）见解析（3）90 （4）240【解析】【分析】（1）由A 类别人数及其所占百分比可得被调查的总人数；（2）总人数减去A 、C 、D 的人数即可求出B 类别人数，从而补全图形；（3）用360︒乘以C 类别人数所占比例即可；（4）用总人数乘以样本中D 类别人数所占比例即可．【小问1详解】解：本次随机调查的学生人数为2430%80÷=（名），故答案为：80；【小问2详解】解：B 类别人数为()802420828-++=（名），补全图形如下：的；【小问3详解】解：扇形统计图中，C类所对应的圆心角为20 3609080︒⨯=︒，故答案为：90；【小问4详解】解：选择“D：其它”的学生大约有8240024080⨯=（名），故答案为：240．【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．2. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）某校校园文化节中组织全校学生进行知识竞赛，参赛学生均获奖．为了解本次竞赛获奖的分布情况，中随机抽取了部分学生的获奖结果进行统计分析，获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级为二等奖，D级为三等奖，将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，根据统计图中的信息解答下列问题：（1）本次被抽取的部分人数是______名，并把条形统计图补充完整；（2）扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是______；（3）根据抽样结果，请估计该校1800名学生获得特等奖的人数是______名；（4）调查数据中有3名获特等奖的学生甲、乙、丙，要从中随机选择两名同学进行经验分享，利用列表法或画树状图，求丙被选中的概率．【答案】（1）60（2）108︒（3）90（4）2 3【解析】【分析】（1）根据C级的人数与占比求得总人数，进而求得D级的人数，补全统计图；（2）根据B级的占比乘以360︒，即可求解；（3）用1800乘以A等级的占比即可求解；（4）根据树状图求解概率即可；【小问1详解】解：本次抽样测试的人数是2440%60÷=（名），故答案为：60；条形图中，D级的人数为：603182415---=（名），把条形统计图补充完整如图：【小问2详解】扇形统计图中表示B级的扇形圆心角的度数是18 36010860⨯=︒︒，故答案为：108︒，【小问3详解】估计该校获得特等奖的人数为：318009060⨯=（名）故答案为：90，【小问4详解】画树状图如图：共有6个等可能的结果，丙被选中的结果有4个，∴丙被选中的概率为：4263．【点睛】本题主要考查了用样本估计总体、扇形统计图与条形统计图、画树状图求概率，从统计图中获取信息是解题的关键．3. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）为调查某校关于国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于1h ”的落实情况，某部门就“每天在校体育活动时间”随机调查了该校部分学生，根据调查结果绘制成如下不完整的统计图表．每天在校体育活动时间扇形统计图：每天在校体育活动时间频数分布表：组别每天在校体育活动时间t /h人数At ＜0．5h 20B 0．5h ≤t ＜1h 40C1h ≤t ＜1．5h a D t ≥1．5h 20请根据以上图表信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共有_________人，a ＝__________，C 组所在扇形的圆心角的大小是___________；（2）若该校约有1500名学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数．【答案】（1）：200，120，216︒．（2）1050人【解析】【分析】（1）由A组人数除以A组所占的百分比可得总人数，再利用总人数减去A，B，D 组的人数可求解a的值，再利用360︒乘以C组所占的百分比即可得到C组所在扇形的圆心角；（2）由1500乘以样本中达到国家规定体育活动时间的学生人数的百分比即可．【小问1详解】解：由A组人数为20人，占比10%,所以此次调查的总人数为：2010%=200÷（人），所以200204020120a=---=（人），C组所在扇形的圆心角的大小是120 360216200°´=°．故答案为：200，120，216︒．【小问2详解】解：1202015001050200+´=（人），所以该校约有1500名学生，估计达到国家规定体育活动时间的学生人数约为1050人．【点睛】本题考查的是频数分布表，扇形统计图，利用样本估计总体，熟练从频数分布表与扇形统计图中获取相关联的信息是解本题的关键．4. （2023年广东省深圳市光明区中考二模）光明区某学校为了了解学生课外阅读的情况，从各年级随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行了调查，并绘制出如下两幅统计图．根据相关信息，解答下列问题．（1）本次随机抽样调查的学生人数为________人，并补全条形统计图；（2）本次调查获取的样本数据的众数是________小时、中位数是________小时：（3）经了解，阅读时间为8小时的四名同学刚好为两名男同学和两名女同学．学校准备从这四位同学中随机抽取两名参加光明区“阅读之星”活动，请利用列表法或树状图法求出抽中的两名同学恰好为一男一女的概率．【答案】（1）40，图见解析（2）5，6（3）2 3【解析】【分析】（1）根据条形图中阅读时间7h的有8人，扇形图中阅读时间7h的比例为20%，即可计算出调查的学生人数；调查的学生人数减去已知的各个阅读时间的人数即可得到阅读时间5h的学生人数，就可补全条形统计图；（2）阅读时间5h的人数最多，因此众数是5．将数据排序，处于中间位置的数是6,6，因此中位数是666 2+=．（3）用列表法或树状图法列出所有的等可能结果，再找出满足要求的结果，即可求出所求抽中的两名同学恰好为一男一女的概率．【小问1详解】由条形图中阅读时间7h的有8人，扇形图中阅读时间7h的比例为20%，可得调查的人数为：820%40÷=（人）阅读时间5h的学生人数为：406108412----=（人）故答案为：40，补充图如下：【小问2详解】阅读时间5h的人数最多，因此众数是5．将数据排序，处于中间位置的数是6,6，因此中位数是666 2+=．故答案为：5，6；【小问3详解】由前可知，有4名同学，其中男生、女生各2名，分别用A，B表示男生，用C，D表示女生，利用列表法列出所有可能出现的结果：A B C DA×（A，B）（A，C）（A，D）B（A，B）×（B，C）（B，D）C（A，C）（B，C）×（C，D）D（A，D）（B，D）（C，D）×总共有12种等可能的结果，恰好一男一女结果有8种：所以，P（一男一女）82 123 ==．【点睛】本题主要考查统计图表，列举法求概率．正确理解各个知识是解题的关键．5. （2023年广东省深圳市坪山区中考二模数学）国家航天局消息：北京时间2022年12月4日，神舟十四号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，标志着神舟十四号载人飞行任务取得圆满成功，某中学科技兴趣小组为了解本校学生对航天科技的关注程度，在该校内进行了随机调查统计，将调查结果分为不关注、关注、比较关注、非常关注四类，回收、整理好全部调查问卷后，得到下列不完整的统计图：（1）此次调查中接受调查的人数为___________人；（2）补全图1条形统计图；（3）该校共有900人，根据调查结果估计该校“关注”，“比较关注”及“非常关注”航天科技的人数共___________人；（4）该校九年一班非常关注的学生有A 、B 、C 、D 四人，随机选取两人去参加学校即将举办的航天知识竞赛，则恰好抽到A 、B 两位同学的概率为___________．【答案】（1）50（2）见解析 （3）828（4）16【解析】【分析】（1）由关注人数乘以其所占百分比求解即可；（2）求得“非常关注”的人数即可补全统计图；（3）由总人次乘以调查人数中“关注”，“比较关注”及“非常关注”所占的比例求解即可；（4）画树状图求得所有等可能 的结果数，再找出符合条件的结果数，利用概率公式求解即可．【小问1详解】解：此次调查中接受调查的人数为612%50÷=（人），故答案为：50；【小问2详解】解：“非常关注”的人数为：50462416---=（人)，补全条形统计图如下：【小问3详解】解：6241690082850++⨯=（人），故答案为：828；小问4详解】解：画树状图为：一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到A 、B 两位同学的有2种情况，∴恰好抽到A 、B 两位同学的概率为21126=，故答案为：16．【点睛】此题考查了树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图、用样本估计总体等知识，正确画出树状图是解题的关键，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．6. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）“走进数学世界，感受完美生活．”为增进全体学生对数学文化的了解，临海学校组织了趣味数学知识竞赛，随机抽取若干名学生的成绩，对数据进行整理和分析，现将抽取的学生成绩用x （分）表示，并将调查数据分成四组：A.90100x <≤，B.8090x <≤，C.7080x <≤，D.6070x <≤，其中A 组分数段内，所有学生得分各不相同，B 组学生的成绩分别为：86、86、88、86、83、86．根据调查数据绘制了以下不完整的统计图：【根据图中信息回答下列问题：（1）本次共抽查了__________名学生，请补全条形统计图；（2）扇形统计图中，C组所对应的圆心角的度数为__________︒；（3）本次抽查的学生成绩的众数为__________，中位数为__________；（4）竞赛成绩超过80分视作优秀，若该校有2400名学生，根据抽样调查结果，估计该校有__________名学生获得优秀．【答案】（1）20，图见解析（2）54（3）86分，87分（4）1800【解析】【分析】（1）根据A组分数段人数除以所占比例即可得到调查总人数，再求出C组人数即可补全条形统计图；（2）用360︒乘以C组所占比例即可求出C组所对应的圆心角的度数；（3）根据众数和中位数的定义求解即可；（4）求出样本中优秀所占比例，再乘以2400即可得出结论．【小问1详解】÷=（人），本次共抽查的人数为：945%20C组人数：209623---=（人），为补全条形统计图如下：故答案为：20；【小问2详解】C 组人数所占比例为：32015%÷=，所以，C 组所对应的圆心角的度数为36015%54︒⨯=︒，故答案为：54；【小问3详解】由于A 组分数段内，所有学生得分各不相同，C 组有3人，D 组有2人，而B 组分数段内86分有4人，所以，本次抽查的学生成绩的众数为86分；20个数据按大小顺序排列，最中间的两个数据是86分的88分，所以，这组数据的中位数为：8688872+=（分）故答案为：86分；87分【小问4详解】962400180020+⨯=（人），所以，估计该校有1800名学生获得优秀，故答案为：1800．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图、众数、中位数以及样本估计总体，掌握中位数、众数的意义和计算方法是正确解答的前提．7. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）习近平指出：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”为了解学生的阅读情况，佳佳从七、八年级分别随机抽查了40名学生（已知两个年级学生人数相同），调查了他们在校期间的阅读情况，根据调查情况得到如下统计图表：参加阅读人数年级星期一星期二星期三星期四星期五七年级2530a 4030八年级2026243040合计4556597070（1）a ＝_____；（2）八年级参加阅读学生的平均阅读时间的中位数为______；（3）七年级学生参加阅读人数的众数为______；（4）估计该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数．【答案】（1）35（2）24 （3）30（4）840【解析】【分析】（1）根据统计表中数据，利用59-24即可求解；（2）根据折线统计图中数据，将数据从小到大排列，根据中位数的定义即可求解；（3）根据统计表中数据，结合众数的定义即可求解；（4）用1120乘以七、八年级阅读人数的占比即可求解．【小问1详解】592435a =-=故答案为：35【小问2详解】八年级参加阅读学生的平均阅读时间从小到大排列为：15,20,24,30,30则中位数为24故答案为：24【小问3详解】七年级的阅读人数分别为25,30,35,40,30众数为30故答案为：30【小问4详解】该校七、八年级共1120名学生中这五天平均每天参加阅读的人数为()145565970703511201120840804++++⨯=⨯=【点睛】本题考查了统计表，折线统计图，中位数，众数，平均数，样本估计总体，掌握基本统计知识是解题的关键．8. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）为了解九年级学生对某个知识点的掌握程度，某校对九年级学生以20人一组进行了随机分组，开展了一次素养调研，并用SOLO 评分模型进行评分：“完全不理解”记为0分，“了解了一个方面”记为1分，“了解了几个独立的方面”记为2分，“理解了几个方面的相关性”记为3分，“能够综合运用”记为4分，现从调查结果中随机抽取了3个小组学生的得分，进行统计分析，过程如下：【整理与描述】（1）请补全第1小组得分条形统计图；第2小组得分扇形统计图中，“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为______︒．（2）【分析与估计】平均数众数中位数第1组2.9a 3第2组b 01第3组 2.252c由上表填空：=a ______，b =______，c =______；（3）若该校九年级有600名学生，请你估计该校九年级学生在调研中表现为“能够综合运用”的人数有______人；（4）【评价与建议】结合你的分析，请给第2组的同学提供一条有关该知识点的学习建议．【答案】（1）①见解析；②36︒；（2）4 1.552a b c ===，，；（3）110；（4）调整“0”分和“1”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．【解析】【分析】（1）①根据总人数为20人，条形图各得分的人数即可解答；②根据调查总人数20人，再利用扇形统计图得分为“3”的百分数即可解答．（2）①根据条形统计图的数据即可解答；②根据扇形统计图的数据即可解答；③根据折线图即可解答．（3）先计算出三组人数中得分4的百分数，再计算出600人的表现为“能够综合运用”的人数即可解答．（4）调整“0”分和“1”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．【小问1详解】解：∵随机调查的总人数为20人，“0”分的人数为1人，“1”分的人数为2人，“2”分的人数为3人，“4”分的人数为8人，∴“3”分的人数为：2012386----=（人），如图所示：∵第2小组得分扇形统计图中“得分为3分”所占的百分数为10%，∴“得分为3分”这一项所对应的圆心角的度数为36010%36︒⨯=︒；故答案36︒．【小问2详解】解：∵根据条形统计图可知“得分为4分”的人数最多，∴第1组的众数为4分，∴4a =，∵根据第2小组得分扇形统计图可知， “0”分的人数为8人，“1”分的人数为6人，为“2”分的人数为3人，“3”分的人数为2人，“4”分的人数为1人，第2组的平均数是为801623323341 1.5520⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∴ 1.55b =，∵第3组的折线图可知中位数第10和第11个分数：22、，∴第3组的中位数是2222+=，∴2c =，故答案为：4 1.552a b c ===，，．【小问3详解】解：∵第1组得分为4分的人数为8人，第2组得分为4分的人数为1人，第3组得分为4分的人数为2人，∴三组得4分的总人数为11人，∵三组总人数为60人，∴九年级有600名表现为“能够综合运用”的人数有1160011060⨯=（人）；故答案为110人．【小问4详解】解：调整“0”分和“1”分的学生心态，让他们积极的愉快的掌握该知识点．【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数，众数，平均数，由样本估算整体，掌握中位数、众数、平均数的定义是解题的关键．9. （2023年广东省深圳市宝安区中考三模）在“世界读书日”前夕，某校开展了“共享阅读，向上人生”的读书活动．活动中，为了解学生对书籍种类（A ：艺术类，B ：科技类，C ：文学类，D ：体育类）的喜欢情况，在全校范围内随机抽取若干名学生，进行问卷调查（每个被调查的学生必须选择而且只能在这四种类型中选择一项）将数据进行整理并绘制成下面两幅不完整的统计图．。

深圳市中考模拟测试数学1一、选择题（本题共有12小题，每小题3分，共36分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1.﹣12的倒数是（）A、-2B、2C、﹣12D、﹣122.如图是五个相同的小正方体搭成的几何体，这几个几何体的主视图是（）A、B、C、D、3. 下列计算正确的是（）A、2a3+a2=3a5B、（3a）2=6a2C、（a+b）2=a2+b2D、2a2•a3=2a54. 下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A、B、C、D、5. 据测算，世博会召开时，上海使用清洁能源可减少二氧化碳排放约16万吨，将16万吨用科学记数法表示为（）A、1.6×103吨B、1.6×104吨C、1.6×105吨D、1.6×106吨6. 如图，AB∥CD，∠ABE=60°，∠D=50°，则∠E的度数为（）A、40°B、30°C、20°D、10°7. 某商人在一次买卖中均以120元卖出两件衣服，一件赚25%，一件赔25%，在这次交易中，该商人( )A、赚16元B、赔16元C、不赚不赔D、无法确定8. 某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）A、50元，20元B、50元，40元C、50元，50元D、55元，50元9.如图，观察二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：①a+b+c＞0，②2a+b＞0，③b2﹣4ac＞0，④ac＞0．其中正确的是（）A、①②B、①④C、②③D、③④10. 如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，半径为4，则这个正六边形的边心距OM 和的长分别为（）A、2，B、2，πC、，D、2，11. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E．若BF=6，AB=5，则AE的长为（）A、4B、6C、8D、1012. 如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：①BE=GE；②△AGE△△ECF；③△FCD=45°；④△GBE△△ECH，其中，正确的结论有（）A、1个B、2个C、3个D、4个11题图12题图第二部分非选择题二、填空题（本题共有4小题，每小题3分，共12分）13. 因式分解：a3﹣4a= ________．14. 从﹣3、1、﹣2这三个数中任取两个不同的数，积为正数的概率是________15. 用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第99个图案需要的黑色五角星________个．16.如图，△ABC的内心在x轴上，点B的坐标是（2，0），点C的坐标是（0，﹣2），点A的坐标是（﹣3，b），反比例函数y=（x＜0）的图象经过点A，则k= ________．三、解答题（本题共7小题，其中第17题6分，第18题6分，第19题7分，第20题8分，第21题8分，第22题8分，第23题9分，共52分）17.11 82sin45(2)3-⎛⎫-+-π- ⎪⎝⎭18. 先简化，再求值：（1+）÷，其中0≤X≤219. 丹东是个美丽的旅游城市，吸引了很多外地游客，某旅行社对今年五月接待的外地游客来丹东旅游的首选景点做了一次抽样调查，根据收集到的数据，绘制成如下统计图（不完整），请根据图中提供的信息，完成下列问题：（1）此次共调查了人（2）请将两幅统计图补充完整．（3）“凤凰山”部分的圆心角是度。

2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：圆等几何解答题（原卷版）一、圆1. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）如图，点P 是O 的直径AB 延长线上一点，AO AP =，点O 旋转到点C ，连接CO 交O 于点D ，60AOD ∠=︒．（1）求证：DP 是O 的切线；（2）若2AB =，求阴影部分的面积．2. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径作O ，交AC 于点F ，过C 点作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB ED =．（1）求证：BE 为O 的切线；（2）若2,tan 2AF A ==，求BE 的长．3. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．4. （2023年广东省深圳市光明区中考一模）如图，AB 是O 的直径，弦AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =，连接AF 交O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若AF 长为BD 的长．5. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）如图，O 是ABC 的外接圆，连接OA ，过点C 作一条射线CD ．（1）请从以下条件中：①CD OA ∥，=45ABC ∠︒；②BCD BAC ∠=∠；③CB 平分ACD ∠．选择一组能证明CD 是O 的切线的条件，并写出证明过程；（2）若2OA =，22.5OAB ∠=︒，AB CB =，求 BC 的长度．（结果保留π）二、三角形1. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）如图，已知射线BC ⊥AB ，以AB 为斜边作Rt △ABD ，延长AD 到E ，使得AD ＝DE ，连接BE ，BF 平分∠CBE 交AE 于点F ．（1）求证：BD ＝DF ；（2）若AB ＝2，以AE 为边向下作∠AEG ＝45°，交射线BC 于点G ，求BG 的长．三、特殊四边形1. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上一点，且EA EF =，DA DF =，连接AF 、DE 交于点G ，且BAF ADE ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）当4BF =，12CD =时，求DF 的长．2. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）（1）如图1，纸片ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，沿AE 剪下ABE ，将它平移至DCE ' 的位置，拼成四边形AEE D '，则四边形AEE D '的形状为 ．（从以下选项中选取）A. 正方形 B ．菱形 C ．矩形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '上取一点F ，使8EF ＝， 剪下AEF △，将它平移至DE F ''△的位置，拼成四边形AFF D '．①求证：四边形AFF D '是菱形；②连接DF ，求sin ADF ∠的值．3. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）操作：如图1，点E 矩形ABCD 边CD 上，沿AE 折叠，使点E 与点A 重合，得多边形AC FBNM '（图2），思考：若6AB =，10AD =．（1）求图1中CE 的长；（2）求证：AC F ECD ''≅ ．（3）探究：若用一张A4（AD =）纸进行上述操作，判断C F '与BF 的数量关系．在2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：圆等几何解答题（解析版）一、圆1. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）如图，点P 是O 的直径AB 延长线上一点，AO AP =，点O 旋转到点C ，连接CO 交O 于点D ，60AOD ∠=︒．（1）求证：DP 是O 的切线；（2）若2AB =，求阴影部分的面积．【答案】（1）见解析（26π【解析】【分析】（1）连接AD ，根据题意推出AOD △是等边三角形，根据等边三角形的性质得到60DAO ADO ∠=∠=︒，AO AD =，根据等腰三角形的性质、三角形外角性质求出30ADP ∠=︒，则90PDO ∠=︒，根据切线的判定定理即可得解；（2）根据阴影部分的面积ODP OAD S S =-扇形 求解即可．【小问1详解】证明：如图，连接AD ，根据题意得，60AOD ∠=︒，AO OD = ，AOD ∴ 是等边三角形，60DAO ADO ∴∠=∠=︒，AO AD =，AO AP = ，AP AD ∴=，APD ADP ∴∠=∠，DAO APD ADP ∠=∠+∠ ，30ADP ∴∠=︒，90PDO ADP ADO ∴∠=∠+∠=︒，PD OD ∴⊥，OD 是O 的半径，DP ∴是O 的切线；【小问2详解】解：2AB = ，1AO DO ∴==，22OP AO ∴==，DP ∴===，11122ODP S DP OD ∴=⋅== 26013606OAD S ππ⋅⨯== 扇形，∴阴影部分的面积6ODP OAD S S π=-=扇形 ．【点睛】此题考查了切线的判定与性质、扇形面积的计算，熟练切线的判定与性质、扇形面积的计算是解题的关键．2. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）如图，在ABC 中，AC BC =，以BC 为直径作O ，交AC 于点F ，过C 点作CD AC ⊥交AB 延长线于点D ，E 为CD 上一点，且EB ED =．（1）求证：BE 为O 的切线；（2）若2,tan 2AF A ==，求BE 的长．【答案】（1）见解析（2）154【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得∠A =∠ABC ，∠D =∠EBD ，根据等腰三角形的性质得到∠A =∠ABC ，∠D =∠DBE ，推出∠CBE =90°，于是得到结论；（2）连接BF ，根据圆周角定理得到BF ⊥AC ，根据三角函数的定义得到BF =4，设CF =x ，列出关于x 的方程并求解，再根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．【小问1详解】证明：∵AC =BC ，EB =ED∴∠A =∠ABC ，∠D =∠EBD∵CD ⊥AC∴∠A +∠D =90°∴∠ABC +∠EBD =90°∴∠CBE =90°∵BC 是⊙O 的直径．∴BE 是⊙O 的切线．【小问2详解】解：连接BF∵BC 是⊙O 的直径．∴∠BFC =∠BFA =90°在Rt △ABF 中，tan A =22BF BF AF == ∴BF =4设CF =x ，则AC =BC =x +2在Rt △BCF 中，222BC CF BF =+即222(2)4x x +=+∴x =3∴CF =3，BC=5∵∠ACB =∠AFB =90°∴BF ∥CD∴∠1=∠2又∵∠CFB =∠EBC =90°∴△CFB ∽△EBC ∴FC FB BE BC=∴345BE = ∴BE =154【点睛】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．3. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）如图，在△ACE 中，CA =CE ，∠CAE =30°，⊙O 经过点C ，且圆的直径AB 在线段AE 上．（1）试说明CE 是⊙O 的切线；（2）若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；（3）设点D 是线段AC 上任意一点（不含端点），连接OD ，当12CD +OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．【答案】（1）证明见试题解析；（2）AB；（3）【解析】【详解】解：（1）连接OC，如图1，∵CA=CE，∠CAE=30°，∴∠E=∠CAE=30°，∠COE=2∠A=60°，∴∠OCE=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）过点C作CH⊥AB于H，连接OC，如图2，由题可得CH=h，在Rt△OHC中，CH=OC•sin∠COH，∴h=OC•sin OC，∴OC，∴AB=2OC；（3）作OF平分∠AOC，交⊙O于F，连接AF、CF、DF，如图3，则∠AOF=∠COF=12∠AOC=12（180°﹣60°）=60°，∵OA=OF=OC，∴△AOF、△COF是等边三角形，∴AF=AO=OC=FC，∴四边形AOCF是菱形，∴根据对称性可得DF=DO，过点D作DH⊥OC于H，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴DH=DC•sin∠DCH=DC•sin30°=12DC，∴12CD +OD =DH +FD ．根据两点之间线段最短可得：当F 、D 、H 三点共线时，DH +FD （即12CD +OD ）最小，此时FH =OF •sin ∠FOH =6，则OF =AB =2OF =∴当12CD +OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为考点：1．圆的综合题；2．等腰三角形的性质；3．等边三角形的判定与性质；4．菱形的判定与性质；5．锐角三角函数的定义；6．特殊角的三角函数值．4. （2023年广东省深圳市光明区中考一模）如图，AB 是O 的直径，弦AC BC =，E 是OB 的中点，连接CE 并延长到点F ，使EF CE =，连接AF 交O 于点D ，连接BD ，BF ．（1）求证：直线BF 是O 的切线；（2）若AF 长为BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）BD =【解析】【分析】（1）连接OC 、OF ，证明四边形OFBC 是平行四边形，则BF ∥OC ，根据AC =BC ，得到OC ⊥AB ，∠ABF =∠BOC =90°，可证明BF 是⊙O 的切线；（2）由AB是⊙O的直径得∠ADB=∠ACB=90°，则∠CAB=∠CBA=45°，可证明FB=OB=OA=1AB，根据勾股定理求出AB、BF的长，再根据三角形的面积公式即可求出BD的长．2【小问1详解】证明：如图，连接OC、OF，∵EF=CE，OE=BE，∴四边形OFBC是平行四边形，∴BF∥OC，∵AC=BC，OA=OB，∴OC⊥AB，∴∠ABF=∠BOC=90°，∵OB是⊙O的半径，且BF⊥OB，∴直线BF是⊙O的切线；【小问2详解】如图，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∵OC=OB，∴∠OCB =∠OBC =45°，∴∠BFO =∠OCB =45°，∵OF ∥BC ，∴∠BOF =∠OBC =45°，∴∠BFO =∠BOF ，∴FB =OB =OA =12AB ，∵FB 2+AB 2=AF 2，且AF ，∴（12AB ）2+AB 2=（）2，∴AB ，∴FB =12AB ，∴⊙O ，∵S △ABF =12AB •BF =12AF •BD ，∴=5×BD ，∴BD ．【点睛】此题考查圆的切线的判定、圆的弦与弧及圆心角的关系、圆周角定理、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，根据题意正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．5. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）如图，O 是ABC 的外接圆，连接OA ，过点C 作一条射线CD ．（1）请从以下条件中：①CD OA ∥，=45ABC ∠︒；②BCD BAC ∠=∠；③CB 平分ACD ∠．选择一组能证明CD 是O 的切线的条件，并写出证明过程；（2）若2OA =，22.5OAB ∠=︒，AB CB =，求 BC 的长度．（结果保留π）【答案】（1）见解析；（2）32π．【解析】【分析】（1）选择①连接OC ，由=45ABC ∠︒可得=90AOC ︒∠，由CD OA ∥可得90OCD AOC ∠=∠=︒，进而可得证明CD 是O 的切线，选择②连接CO 并延长交圆于点E ，证明CEB CAB ∠=∠，从而证明90OCD ∠=︒，即可得出结论，③CB 平分ACD ∠，无法得出结论；（2）连接OB ，易得22.5OAB OBA ∠=∠=︒，进而求出135AOB ∠=︒，即可求出由 AB的长度，而AB CB =，故 AB CB=，由此即可解题．【小问1详解】解：选择①CD OA ∥，=45ABC ∠︒，连接OC ，如解①图；∵ AC AC =，∴290AOC ABC ∠=∠=︒，∵CD OA ∥，∴90OCD AOC ∠=∠=︒，∵OC 是圆的半径，∴CD 是O 的切线，选择②BCD BAC ∠=∠，如解②题，连接CO 并延长交圆于点E ，连接BE ，∵ BC BC =，∴BAC E ∠=∠，∵BCD BAC∠=∠∴BCD E∠=∠∵CE 是O 的直径，∴90CBE ∠=︒，∴90ECB E ∠+∠=︒，∴90BCD ECB ∠+∠=︒∴CD 是O 的切线，【小问2详解】连接OB ，如图，∵OA OB =，∴22.5OAB OBA ∠=∠=︒，∴18022.522.5135AOB ∠=︒-︒-︒=︒，∴ AB 的弧长为：135231802ππ⨯=，∵AB BC =，∴ AB BC =，∴ BC 的长度32π．【点睛】本题主要考查了切线的判定、弧长公式和圆周角定理等，解题的关键是掌握有切点连半径证垂直．三、三角形1. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）如图，已知射线BC ⊥AB ，以AB 为斜边作Rt △ABD ，延长AD 到E ，使得AD ＝DE ，连接BE ，BF 平分∠CBE 交AE 于点F ．（1）求证：BD ＝DF ；（2）若AB ＝2，以AE 为边向下作∠AEG ＝45°，交射线BC 于点G ，求BG 的长．【答案】（1）见解析（2）2【解析】【分析】(1)首先可证得BD 垂直平分AE ，可得AB =BE ，A BEA ∠=∠，可得2180AEB ABE ∠=︒-∠，再根据BF 平分∠CBE ，可得12EBF CBF CBE ∠=∠=∠，据此即可求得45DFB DBF ∠=∠=︒，即可证得结论；(2)首先可证得90BHG ∠=︒，进而证得BEG BGE ∠=∠，BE BG =，再根据AB BE =，即可求得BG 的长．【小问1详解】证明：BC AB ⊥90ABC ∴∠=︒Rt ABD 的斜边是AB90ADB ∴∠=︒BD AD ∴⊥又AD DE =BD ∴垂直平分AEAB BE ∴=A BEA ∴∠=∠180A AEB ABE ∠∠+∠=︒＋ 180AEB AEB ABE ∴∠+∠+∠=︒2180AEB ABE ∠=︒-∠∴BF 平分EBC ∠12EBF CBF CBE ∴∠=∠=∠FB BEA E D BF =∠+∠∴∠12BEA CBE =∠+∠()122BEA CBE =∠+∠()11802ABE CBE =︒-∠+∠()11802ABE CBE =︒-∠-∠⎡⎤⎣⎦()11802ABC =︒-∠()1180902=⨯︒-︒45=︒90ADB ∠=︒90∴∠=︒FDB 180180904545DBF FDB DFB ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒DFB DBF ∴∠=∠BD DF∴=【小问2详解】解：如图：延长BF 交EG 于点H45DFB EFH ∠=∠=︒ ，45AEG ∠=︒180180454590FHE FEH EFH ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒90BHG ∴∠=︒90BEH FBE ∴∠+∠=︒，90CBF BGE ∠+∠=︒FBE CBF ∠=∠BEG BGE ∴∠=∠BE BG ∴=AB BE =2BG BE AB ∴===【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理及外角的性质，角平分线的定义，作出辅助线是解决本题的关键．三、特殊四边形1. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上一点，且EA EF =，DA DF =，连接AF 、DE 交于点G ，且BAF ADE ∠=∠．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）当4BF =，12CD =时，求DF 的长．【答案】（1）见解析（2）20【解析】【分析】（1）根据EA EF =，DA DF =可得DE 垂直平分AF ，进而得90ADE FAD ∠+∠=︒，结合BAF ADE ∠=∠得90BAD ∠=︒，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可得结论；（2）设DA DF x ==，则4CF x =-，在Rt CDF △中，根据勾股定理列方程求出x 的值即可得出结论．【小问1详解】EA EF = ，DA DF=DE ∴垂直平分AFDE AF∴⊥90AGD ∴∠=︒90ADE FAD ∴∠+∠=︒ADE BAFÐ=ÐQ 90BAF FAD ∴∠+∠=︒即90BAD ∠=︒∴平行四边形ABCD 为矩形．【小问2详解】设DA DF x ==，在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，BC AD=4BF = 4CF x ∴=-在Rt CDF △中，222+=CD CF DF 即()222124x x +-=解得：20x =即20DF =【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定定理和勾股定理是解答本题的关键．2. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）（1）如图1，纸片ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ，沿AE 剪下ABE ，将它平移至DCE ' 的位置，拼成四边形AEE D '，则四边形AEE D '的形状为 ．（从以下选项中选取）A. 正方形 B ．菱形 C ．矩形（2）如图2，在（1）中的四边形纸片AEE D '中，在EE '上取一点F ，使8EF ＝， 剪下AEF △，将它平移至DE F ''△的位置，拼成四边形AFF D '．①求证：四边形AFF D '是菱形；②连接DF ，求sin ADF ∠的值．【答案】（1）C（2）①证明见详解；②；【解析】【分析】（1）根据ABCD Y 可得AD EC ∥，结合 AE BC ⊥可得，90EAD AEC AEB ∠===︒，再根据ABE 平移得到DCE ' ，可得90CE D '∠=︒，即可得到答案；（2）①根据平移可得AF DF '=，AF DF ' ，即可得到四边形AFF D '是平行四边形，根据60106AE =÷=，结合8EF ＝根据勾股定理可得AF ，即可得到证明；②根据10AD ＝，8EF ＝即可得到1082FE '=-=，结合6AE =即可得到DF ，根据AD EF 可得FE D ADF '∠=∠，即可得到答案；【小问1详解】解：∵ABCD Y 中，10AD ＝，=60ABCD S ，∴60106AE =÷=，∵四边形ABCD 平行四边形，∴AD EC ∥，∵AE BC ⊥，∴90EAD AEC AEB ∠===︒，∵ABE 平移得到DCE ' ，∴90CE D '∠=︒，∴四边形AEE D '的形状为矩形，故选C ；【小问2详解】①证明：∵AEF △平移得到DE F ''△，∴AF DF '=，AF DF ' ，∴四边形AFF D '是平行四边形，∵60106AE =÷=，8EF ＝，∴10AF ==，∴AF AD =，∴四边形AFF D '是菱形；是②∵10AD ＝，8EF ＝，∴1082FE '=-=，∵6AE =，∴DF ==，∵AD EF ，∴FE D ADF '∠=∠，∴sin =sin DE ADF FE D DF ''∠∠===．【点睛】本题考查平移的性质，矩形的判定，菱形的判定，三角函数，平行四边形的性质，解题的关键是根据平移及平行四边形的性质得到相应的条件．3. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）操作：如图1，点E 矩形ABCD 边CD 上，沿AE 折叠，使点E 与点A 重合，得多边形AC FBNM '（图2），思考：若6AB =，10AD =．（1）求图1中CE 的长；（2）求证：AC F ECD ''≅ ．（3）探究：若用一张A4（AD =）纸进行上述操作，判断C F '与BF 的数量关系．【答案】（1）83（2）见解析（3）C F BF '=【解析】【分析】（1）由折叠知10AD AD '==，由勾股定理得8BD '=，求证ED C D AB '' ，从而CE CD BD AB'='，求解CE ；（2）由AB CD ∥得AED FAE ∠=，结合折叠的性质导出FAC CED ''∠=∠，用ASA在求证AC F ECD ''≅ ；（3）令AB m =，由勾股定理得BD m '=，(1)CD m '=-，由（1）ED C D AB ''得ED D CD A AB ''='，求得(2ED m '=-，由（2）AC F ECD ''≅ ，得(1)C F m '=-，(2AF m =-，从而得证C F BF '=．【小问1详解】由折叠的性质可得，10AD AD '==，∵90B Ð=°，6AB =，∴8BD '=，∴1082CD BC BD ''=-=-=，∵90AD B ED C ''∠+∠=︒，90AD B BAD ''∠+∠=︒，∴ED C BAD ''∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴90B C ∠=∠=︒，∴ED C D AB '' ，∴CECD BD AB '='，∴286CE=，∴83CE =．【小问2详解】证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB CD ∥，∴AED FAE ∠=，由折叠的性质得出AED AED '∠=，EAC AEC '∠=∠，∴FAE AED '∠=∠，EAC FAE AEC AED ''∠-∠=∠-∠，即FAC CED ''∠=∠，又∵AC EC '=，C C '∠=∠，∴()AC F ECD ASA ''≅ ．【小问3详解】探究：C F BF '=．理由：由AD =，令AB m =，则AD =，∴BD m'===(1)CD BC BD m m ''=-=-=-，∵ED C D AB '' ，∴ED D C D A AB''='，=，∴(2ED m '=-，∵AC F ECD ''≅ ，∴(1)C F CD m ''==-，(2AF ED m '==-∴(2(1)BF AB AF m m m =-=--=-．∴C F BF '=．【点睛】本题主要考查全等的判定及性质、相似三角形的判定及性质、勾股定理、折叠及轴对称的知识；能够由折叠转化为等角及相等线段、根据相似三角形的性质作线段的求解是解题的关键．。

2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：函数解答题（原卷版）1. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）【探究函数1y x x =+的图象与性质】（1）函数1y x x=+的自变量x 的取值范围是 ；（2）下列四个函数图象中，函数1y x x=+的图象大致是 ；（3）对于函数1y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵0x >，∴1y x x=+22=+2=+______．∵20≥，∴y ≥____．【拓展说明】（4）若函数()2540x x y x x-+=>，求y 的取值范围．2. （2023年广东省深圳市福田区中考二模）如图，已知抛物线()2y a x 1h =-+与x 轴交于点()20A -，和点B ，与y 轴交于点()04C ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）点E 是线段BC 的中点，连接AE 并延长与抛物线交于点D ，求点D 的坐标．3. （2023年广东省深圳市坪山区中考二模数学）在平面直角坐标系中，抛物线()212y a x =-+经过点()0,1B ，且该抛物线的顶点A 在直线y x m =+上．（1）填空：=a ___________，m =___________；（2）将抛物线()212y a x =-+沿直线y x m =+平移，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．4. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()3,0B ，且OB OC =．（1）求抛物线表达式；（2）如图，点D 是抛物线的顶点，求BCD △的面积．5. （2023年广东省深圳市宝安区中考三模）如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P 处大力开球，一运动员在离守门员6米的A 处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q ，球落到地面B 处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．的（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B 与守门员（点O ）的距离；（2）运动员（点A ）要抢到第二个落点C ，他应再向前跑多少米？（假设点O ，A ，B ，C 在同一条直线上，结果保留根号）6. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）新定义：若函数图象恒过点(),m n ，我们称(),m n 为该函数的“永恒点”．如：一次函数()()10y k x k =-≠，无论k 值如何变化，该函数图象恒过点()1,0，则点()1,0称为这个函数的“永恒点”．【初步理解】一次函数()130y mx m m =+>的定点的坐标是__________；【理解应用】二次函数()22230y mx mx m m =--+>落在x 轴负半轴的定点A 的坐标是__________，落在x 轴正半轴的定点B 的坐标是__________；【知识迁移】点P 为抛物线()22230y mx mx m m =--+>的顶点，设点B 到直线()130y mx m m =+>的距离为1d ，点P 到直线()130y mx m m =+>的距离为2d ，请问12d d 是否为定值？如果是，请求出12d d 的值；如果不是，请说明理由．7. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C．图1备用图（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 是BC 上方抛物线上一点，连接AD 交线段BC 于点E ，若2AE DE =，求点D 的坐标；（3）抛物线上是否存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．8. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线2y ax bx c =++的顶点为P ，PC x ⊥轴于点C ，它与x 轴交于点A ，B ，则AB 的长为抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的跨径，PC 的长为抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的矢高，PC AB的值为抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的矢跨比．【特例】如图2，已知抛物线24y x =-+与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 右侧）；①抛物线24y x =-+关于x 轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；②有一抛物线经过点C ，与抛物线24y x =-+开口方向与大小一样，且矢高是抛物线24y x =-+关于x 轴的矢高的14，求它关于x 轴的矢跨比；【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的k （0k >）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含k 的代数式表示）；【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为16，则边跨的矢跨比是______．9. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x 轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x 轴的斜对称点．如：点()42-，，()12-，关于x 轴斜对称，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()21，．（1）下列各点中，与点A 关于x 轴斜对称的点是________（只填序号）；①()31-，，②()21-，，③()21-，，④()1，1--．（2）若点A 关于x 轴的斜对称点B 恰好落在直线1y kx =+上，AOB 的面积为3，求k 的值；（3）抛物线21y x bx =--上恰有两个点M 、N 与点A 关于x 轴斜对称，抛物线的顶点为D ，且DMN 为等腰直角三角形，则b 的值为________．10. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）已知抛物线221y ax ax a =-++．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若2a =-，当03x ≤≤时，求y 的最大值和最小值；（3）若抛物线与直线1y x =+始终有交点，求a 的取值范围．2023年广东省深圳市中考数学一~三模试题汇编：函数解答题（解析版）1. （2023年广东省深圳市龙华区中考一模）【探究函数1y x x =+的图象与性质】（1）函数1y x x=+的自变量x 的取值范围是 ；（2）下列四个函数图象中，函数1y x x=+的图象大致是 ；（3）对于函数1y x x=+，求当0x >时，y 的取值范围．请将下列的求解过程补充完整．解：∵0x >，∴1y x x=+22=+2=+______．∵20≥，∴y ≥____．【拓展说明】（4）若函数()2540x x y x x-+=>，求y 的取值范围．【答案】（1）0x ≠（2）C （3）2，2（4）1y ≥-【解析】【分析】（1）题目中的函数解析式可以直接写出x 取值范围；（2）根据x 的取值范围可以判断y 的正负，从可以解答本题；（3）根据题目中的式子，可以把未填写的补充完整；（4）仿照（3）中的计算过程可以求得y的取值范围．【小问1详解】解：∵1y x x=+，∴0x ≠，故答案为：0x ≠；【小问2详解】解：∵函数1y x x=+，∴当0x >时，0y >，当0x <时，0y <，故选：C ．【小问3详解】解：∵0x >，∴1y x x=+22=+22=+．∵20≥，∴2y ≥．故答案为：2，2；【小问4详解】解：∵0x >，∴25445x x y x x x-+==+-2241=+--21=-，∵20≥，∴1y ≥-．【点睛】本题考查函数的图象与性质、完全平方公式和二次根式的灵活运用、平方式的非负性、理解题意，会根据函数解析式判断函数的性质和图象，会利用类比的方法解决问题是解答的关键．2. （2023年广东省深圳市福田区中考二模）如图，已知抛物线()2y a x 1h =-+与x 轴交于点()20A -，和点B ，与y 轴交于点()04C ，．（1）求该抛物线的表达式；（2）点E 是线段BC 的中点，连接AE 并延长与抛物线交于点D ，求点D 的坐标．【答案】（1）2142y x x =-++ （2）53,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）把A ，C 坐标分别代入解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）令0y =，解方程求出B 的坐标，再根据中点坐标公式求出点E 的坐标，用待定系数法求出直线AE 的解析式，再联立直线AE 和抛物线解析式，解方程组求出点D 的坐标即可．【小问1详解】解： 抛物线2(1)y a x h =-+与x 轴交于点()20A -，，与y 轴交于点()04C ，，()()22210014a h a h ⎧--+=⎪∴⎨-+=⎪⎩，解得1292a h ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴该抛物线的表达式为()2219114222y x x x =--+=-++；【小问2详解】解：令0y =，则21402x x -++=，解得12x =-，24x =，()40B ∴，，E 是BC 的中点，()22E ∴，，设直线AE 的解析式为y mx n =+，则2022m n m n -+=⎧⎨+=⎩，解得121m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线AE 的解析式为112y x =+，联立方程组2112142y x y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩，解得352x y =⎧⎪⎨=⎪⎩或20x y =-⎧⎨=⎩，532D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，中点坐标公式，直线和抛物线的交点等知识，关键是求出抛物线解析式．3. （2023年广东省深圳市坪山区中考二模数学）在平面直角坐标系中，抛物线()212y a x =-+经过点()0,1B ，且该抛物线的顶点A 在直线y x m =+上．（1）填空：=a ___________，m =___________；（2）将抛物线()212y a x =-+沿直线y x m =+平移，求平移后所得抛物线与y 轴交点纵坐标的最大值．【答案】（1）1a =-，1m =（2）54【解析】【分析】（1）将点B 代入抛物线的解析式即可求出a 的值；根据抛物线解析式可以确定顶点A 的坐标，将其代入直线解析式即可求出m ；（2）根据平移的特点可设抛物线的解析式为2y x px q =-++，表示出顶点坐标并将其代入到直线解析式，发现q 是p 的二次函数，根据二次函数的特点求出q 的最大值，即求出平移后抛物线与y 轴交点的最大值．【小问1详解】解：将点()0,1B 代入()212y a x =-+得，()2121a ⨯-+=，解得1a =-，抛物线解析式为：()212y x =--+，顶点坐标为：()1,2A ，将()1,2A 代入y x m =+得：12m +=，解得1m =，∴1a =-，1m =．故答案为：1-；1．【小问2详解】解：由（1）知抛物线解析式为()212y x =--+，可设平移后的抛物线的解析式为2y x px q =-++，其顶点坐标为2,24p p q ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∵顶点仍在直线1y x =+上，∴2142p p q +=+，∴2142p p q =-++，∵抛物线2y x px q =-++与y 轴交点的纵坐标为q ，∴()2215114244p p q p =-++=--+，∵104-<，∴1p =时平移后的抛物线与y 轴交点的纵坐标的最大值为54．【点睛】本题二次函数属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质和平移，一次函数的性质，根据二次函数平移的特点设抛物线解析式并熟练掌握所学知识去计算是解题的关键．4. （2023年广东省深圳市南山区中考三模）如图，抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()3,0B ，且OB OC =．（1）求抛物线表达式；（2）如图，点D 是抛物线的顶点，求BCD △的面积．【答案】（1）223y x x =-++（2）3【解析】【分析】（1）根据已知得出点()0,3C ，进而待定系数法求解析式即可求解．（2）根据解析式化为顶点式求得()1,4D ，待定系数法求得直线BC 的解析式，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，则()1,2E ，进而根据三角形的面积公式即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0A -，点()3,0B ，且OB OC =．∴3OC OB ==，即()0,3C ，设抛物线解析式为()()13y a x x =+-，将()0,3代入得，33a -=解得：1a =-，∴抛物线解析式为()()21323y x x x x =-+-=-++【小问2详解】的解：∵223y x x =-++()214x =--+，∴()1,4D ,如图所示，过点D 作DF x ⊥轴于点F ，交BC 于点E ，设直线BC 的解析式为3y kx =+，将()3,0代入得0=33k +，解得：1k =-，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，当1x =时，2y =，∴()1,2E ，∴422DE =-=，∴1123322CDB S DE OB =⨯=⨯⨯= ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．5. （2023年广东省深圳市宝安区中考三模）如图．在一次足球比赛中，守门员在距地面1米高的P 处大力开球，一运动员在离守门员6米的A 处发现球在自己头上的正上方距离地面4米处达到最高点Q ，球落到地面B 处后又一次弹起．已知足球在空中的运行轨迹是一条抛物线，在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度为1米．（1）求足球第一次落地之前的运动路线的函数解析式及第一次落地点B 与守门员（点O ）的距离；（2）运动员（点A ）要抢到第二个落点C ，他应再向前跑多少米？（假设点O ，A ，B ，C 在同一条直线上，结果保留根号）【答案】（1）21(6)412y x =--+；6+（米（2）【解析】【分析】（1）由条件可以得出()64Q ，，设抛物线的解析式为2(6)4y a x =-+，由待定系数法求出其解即可；当0y =时代入解析式，求出x 的值即可得第一次落地点B 和守门员（点O )的距离；（2）设第二次抛物线的顶点坐标为()m ，1，抛物线的解析为21()y a x m =-+，求出解析式，就可以求出OC 的值，进而得出结论．【小问1详解】解：设足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为2(6)4y a x =-+，根据其顶点为()64Q ，，过点()01P ，得1364a =+，解得：112a =-，∴21(6)412y x =--+．当0y =时，21(6)4012x --+=，解得：6x =-（舍去）或6x =+，∴足球第一次落地之前的运动路线的函数表达式为21(6)412y x =--+，第一次落地点B 和守门员（点O )的距离为6+（米；【小问2详解】设第一次落地之后的运动路线的函数表达式为21()y a x m =-+，由题意可知：112a =-，()6B +∴()2106112m =-++解得：6m =+或6m =+（舍去），∴(216112y x =---+．当0y =时，(2106112x =---+．解得：6x =+6x =+（舍去）．∴运动员（点A ）要抢到第二个落点C的距离为：66+=．∴他应再向前跑【点睛】本题考查了运用顶点式及待定系数法求二次函数的解析式的运用，由函数值求自变量的值的运用，二次函数的性质的运用，解答时求出函数的解析式是解题的关键．6. （2023年广东省深圳市宝安区中考二模）新定义：若函数图象恒过点(),m n ，我们称(),m n 为该函数的“永恒点”．如：一次函数()()10y k x k =-≠，无论k 值如何变化，该函数图象恒过点()1,0，则点()1,0称为这个函数的“永恒点”．【初步理解】一次函数()130y mx m m =+>的定点的坐标是__________；【理解应用】二次函数()22230y mx mx m m =--+>落在x 轴负半轴的定点A 的坐标是__________，落在x 轴正半轴的定点B 的坐标是__________；【知识迁移】点P 为抛物线()22230y mx mx m m =--+>的顶点，设点B 到直线()130y mx m m =+>的距离为1d ，点P 到直线()130y mx m m =+>的距离为2d ，请问12d d 是否为定值？如果是，请求出12d d 的值；如果不是，请说明理由．【答案】【初步理解】()3,0-；【理解应用】()3,0-，()1,0；【知识迁移】是，２【解析】【分析】【初步理解】解析式变形为()()130y m x x m =+>，求解即可;【理解应用】由二次函数变形为()()()()2223130y m x x m x x m =-+-=--+>，求解即可;【知识迁移】由题意可得：()1,4P m -，()10B ,，作辅助线如解析图，则1d BC =，2d PQ =，90PQE BCF ∠=∠=︒，PEQ BFC ∠=∠，()1,2E m -，()1,4F m ，构建相似三角形，找出比例关系即可；【详解】解：【初步理解】由一次函数变形为()()130y m x m =+>，，当3x =-时，无论m 值如何变化，10y =故一次函数()()130y m x x m =+>必过一定点(3,0)-．故答案为：()3,0-．【理解应用】由二次函数变形为()()()()2223130y m x x m x x m =-+-=--+>，，当3x =-时，无论m 值如何变化，20y =当1x =时，无论m 值如何变化，20y =故二次函数()22230y mx mx m m =--+>必过定点(3,0)-，()1,0．所以二次函数()22230y mx mx m m =--+>落在x 轴负半轴的定点A 的坐标是(3,0)-，落在x 轴正半轴的定点B 的坐标是()1,0；故答案为：()3,0-，()1,0．【知识迁移】由题意得()()22223140y mx mx m m x m m =--+=-++>∴()1,4P m -，由上一小题得：()10B ,，作PE y 轴交直线()130y mx m m =+>于点E ，作BF y ∥轴交直线()130y mx m m =+>于点F ，则PEQ BFC ∠=∠，()1,2E m -，()1,4F m ，分别过点P 、B 作直线()130y mx m m =+>的垂线，垂足为Q 、C ，则1d BC =，2d PQ =，90PQE BCF ∠=∠=︒，2P E PE y y m ∴=-=，4F B BF y y m =-=，∵90PQE BCF ∠=∠=︒，PEQ BFC ∠=∠，PEQ BFC∴△∽△422BC BF m PQ PE m∴===即122d d =【点睛】本题主要考查了恒过定点的直线，抛物线以及相似三角形．本题主要理解新定义，构建相似三角形解题，有一定的难度．7. （2023年广东省深圳市南山区中考一模）如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点C ．图1备用图（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，D 是BC 上方抛物线上一点，连接AD 交线段BC 于点E ，若2AE DE =，求点D 的坐标；（3）抛物线上是否存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）223y x x =-++（2）点D 的坐标为()1,4或()2,3（3）存在，点P 的坐标为()2,3或()4,5-【解析】【分析】（1）运用待定系数法，将()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-++，即可求得抛物线的解析式；（2）先求出直线BC 的解析式，设()2,23D t t t -++，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，易得EFA DGA ∽，根据相似三角形的性质用含t 的式子表示点E 的坐标，再由点E 也在直线BC 上，得到关于t 的方程，解方程即可；（3）分情况讨论：①当点P 是抛物线上与点C 对称的点时，②当PA BC ∥时，分别求得点P 的坐标．【小问1详解】解：把()1,0A -，()3,0B 代入2y x bx c =-++，得10930b c b c --+=⎧⎨-++=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为223y x x =-++；【小问2详解】解： 抛物线与y 轴交于点C ，()0,3C ∴，设直线BC 的解析式为y kx a =+，把()3,0B ，()0,3C 代入y kx a =+，得303k a a +=⎧⎨=⎩，解得13k a =-⎧⎨=⎩，∴直线BC 的解析式为3y x =-+，设()2,23D t t t -++，过点E 作EF x ⊥轴于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，EAF DAG ∠=∠ ，90EFA DGA ∠=∠=︒，EFA DGA ∴ ∽，2AE DE = ，23AFEFAE AG DG AD ∴===，即1213E D x x +=+，23E D y y =，∴()2211133E D t x x -=+-=，()2223233E D t t y y -++==，又 点E 在直线3y x =-+上，∴()222321333t t t -++-⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得1t =或2t =，当1t =时，212134D y =-+⨯+=，即点D 的坐标为()1,4，当2t =时，222233D y =-+⨯+=，即点D 的坐标为()2,3；【小问3详解】解：存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，如图，①当点P 是抛物线上与点C 对称的点时，则有PAB ABC ∠=∠，点C ()0,3关于对称轴()2121x =-=⨯-的对称点坐标为()2,3，()12,3P ∴；②当PA BC ∥时，则有PAB ABC ∠=∠，直线BC 的解析式3y x =-+，∴直线AP 的解析式一次项系数为1-，设直线AP 的解析式为y x m =-+，把()1,0A -代入x m -+，得10m +=，解得1m =-，∴直线AP 的解析式为=1y x --，联立2123y x y x x =--⎧⎨=-++⎩，解得1145x y =⎧⎨=-⎩，2210x y =-⎧⎨=⎩（舍去），()24,5P ∴-，综上，存在点P 使得PAB ABC ∠=∠，点P 的坐标为()2,3或()4,5-．【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，直线与抛物线的交点，互相平行的两直线的关系，熟练掌握二次函数图象和性质，灵活运用方程思想和分类讨论思想是解题的关键．8. （2023年广东省深圳市龙华区中考二模）【定义】若抛物线与一水平直线交于两点，我们把这两点间线段的长称为抛物线关于这条直线的跨径，抛物线的顶点到该直线的距离称为抛物线关于这条直线的矢高，矢高与跨径的比值称为抛物线关于这条直线的矢跨比．如图1，抛物线2y ax bx c =++的顶点为P ，PC x ⊥轴于点C ，它与x 轴交于点A ，B ，则AB 的长为抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的跨径，PC 的长为抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的矢高，PC AB的值为抛物线2y ax bx c =++关于x 轴的矢跨比．【特例】如图2，已知抛物线24y x =-+与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 右侧）；①抛物线24y x =-+关于x 轴的矢高是______，跨径是______，矢跨比是______；②有一抛物线经过点C ，与抛物线24y x =-+开口方向与大小一样，且矢高是抛物线24y x =-+关于x 轴的矢高的14，求它关于x 轴的矢跨比；【推广】结合抛物线的平移规律可以发现，两条开口方向与大小一样的抛物线，若第一条抛物线的矢高是第二条抛物线关于同一直线的矢高的k （0k >）倍，则第一条抛物线的跨径是第二条抛物线关于同一直线的跨径的______倍（用含k 的代数式表示）；【应用】如图3是某地一座三拱桥梁建筑示意图，其中主跨与边跨的拱轴线为开口方向与大小一样的抛物线，它们关于水平钢梁所在直线的跨径分别为420米与280米，已知主跨的矢跨比为16，则边跨的矢跨比是______．【答案】【特例】①4；4；1；②12；【应用】19【解析】【分析】①根据矢高，跨径，矢跨比的定义，即可求解；②根据题意可设该抛物线解析式为()211y x h =--+，可求出该抛物线与x 轴的另一个交点为()4,0，即可求解；【推广】设第二条抛物线的解析式为2y ax m =-，第一条抛物线沿x 轴向左平移h 个单位得到第二条抛物线，其中0m <，可得第一条抛物线的解析式为()2y a x h km =--，再分别求出两抛物线的跨径，即可求解；【应用】中的结论可得94k =，从而得到边跨的矢高，即可求解．【详解】①∵抛物线24y x =-+的顶点坐标为()0,4，∴抛物线24y x =-+关于x 轴矢高是4，当0y =时，240x -+=，解得：2x =±，∴点()()2,0,2,0C D -，∴跨径是4CD =，∴矢跨比是414=；故答案为：4；4；1②∵抛物线经过点C 的矢高是抛物线24y x =-+关于x 轴的矢高的14，∴抛物线经过点C 的矢高是1414⨯=，∵与抛物线24y x =-+开口方向与大小一样，的∴可设该抛物线解析式为()211y x h =--+，把点()2,0C 代入得：()21021h =--+，解得：11h =（舍去）或3，∴该抛物线解析式为()231y x =--+，当0y =时，()2031x =--+，解得：4x =或2，∴该抛物线与x 轴的另一个交点为()4,0，∴该抛物线的跨径是422-=，∴它关于x 轴的矢跨比是12；【推广】设第二条抛物线的解析式为2y ax m =-，第一条抛物线沿x 轴向左平移h 个单位得到第二条抛物线，其中0m <，∴第一条抛物线的解析式为()2y a x h km =--，对于2y ax m =-，顶点坐标为()0,m -，当0y =时，x =，∴第二条抛物线的跨径是，对于()2y a x h km =--，当0y =时，x h =，∴第一条抛物线的跨径是，∵÷=【应用】∵主跨的矢跨比为16，主跨的关于水平钢梁所在直线的跨径为420米，∴主跨的矢高是1420706⨯=米，根据题意得：280420=，解得：94k =，∴主跨的矢高是边跨矢高的94倍，∴边跨的矢高是2809米，∴边跨的矢跨比是280128099÷=．故答案为：19【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键9. （2023年广东省深圳市坪山区中考一模）在平面直角坐标系中，若两点的横坐标不相等，纵坐标互为相反数，则称这两点关于x 轴斜对称，其中一点叫做另一点关于x 轴的斜对称点．如：点()42-，，()12-，关于x 轴斜对称，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()21，．（1）下列各点中，与点A 关于x 轴斜对称的点是________（只填序号）；①()31-，，②()21-，，③()21-，，④()1，1--．（2）若点A 关于x 轴的斜对称点B 恰好落在直线1y kx =+上，AOB 的面积为3，求k 的值；（3）抛物线21y x bx =--上恰有两个点M 、N 与点A 关于x 轴斜对称，抛物线的顶点为D ，且DMN 为等腰直角三角形，则b 的值为________．【答案】（1）①④（2）12k =-或14k = （3）2-【解析】【分析】（1）根据关于x 轴斜对称的定义进行逐一判断即可；（2）根据关于x 轴纵对称的点的定义，设()1B m -，，如图所示，设AB 与x 轴相交于点C ，根据三角形面积公式求出3OC =，再分点C 在x 轴正半轴和在x 轴负半轴两种情况求出直线AC 的解析式，进而求出点B 的坐标，再把点B 的坐标代入到直线1y kx =+中进行求解即可；（3）根据成纵对称的点的定义，可知这两个点的纵坐标为1-，再令1y =-，则211x bx --=-，可得点M 的坐标为()01-，，点()1N b -，，然后根据DMN 为等腰直角三角形，可得222MN DM =，可得到关于b 的方程，即可求解；【小问1详解】解：由题意得，与()21A ，点关于x 轴斜对称的点是()31-，，()1，1--，故答案为：①④；【小问2详解】解：由斜对称的定义可设()1B m -，，且()2m ≠，如图所示，设AB 与x 轴相交于点C ，∴()112322AOB A B OC S C y O y ⋅=⋅=⋅-⋅=△，3OC ∴=；①当C 在x 轴正半轴时：()30C ，，()21A ，，设直线AC 的函数解析式为：1y k x b =+，∴113021k b k b +=⎧⎨+=⎩，∴113k b =-⎧⎨=⎩，∴直线AC 的函数解析式为：3y x =-+，把()1B m -，代入3y x =-+中得4m =，∴()41B -，，把()41B -，代入1y kx =+中得12k =-；②当C 在x 轴负半轴时：()30C -，，()21A ，同理可得AC 的函数解析式为：1355y x =+把()1B m -，代入1355y x =+中得得8m =-，∴()81B --，，把()81B --，代入1y kx =+中得14k =；综上所述，12k =-或14k =；【小问3详解】解：∵抛物线解析式为2224124b b y x bx x +⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，∴抛物线的对称轴为直线2b x =，抛物线的顶点D 的坐标为2442b b ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，∵点M ，N 与点A 关于x 轴斜对称，∴点M ，N 的纵坐标为1-，令1y =-，则211x bx --=-，解得：120x x b ==，，∴点M 的坐标为()01-，，点()1N b -，，∵DMN 为等腰直角三角形，∴DM DN =，且22222MN DM DN DM =+=，∴222222414b b b ⎥⎛⎫+-+ ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎪⎣⎭⎭⎢⎦⎝⎝，解得：2b =±或0（舍去），∵当2b =时，N 不是A 关于x 轴的斜对称，∴2b =-．故答案为：2-．【点睛】本题属于新定义题，是一次函数与几何图形，二次函数与一元二次方程的综合，难度较大，解题的关键是理解新定义，并能灵活运用所学知识进行解答．10. （2023年广东省深圳市盐田区中考二模）已知抛物线221y ax ax a =-++．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若2a =-，当03x ≤≤时，求y 的最大值和最小值；（3）若抛物线与直线1y x =+始终有交点，求a 的取值范围．【答案】（1）()1,1（2）最大值1，最小值7-（3）14a ≥-且0a ≠【解析】【分析】（1）化成顶点式，即可求解；（2）结合函数增减性即可求得y 的取值范围；（3）根据题意令2211ax ax a x -++=+，即2(21)0ax a x a -++=，则22(21)40a a ∆=+-≥，解不等式即可．【小问1详解】2221(1)1y ax ax a a x =-++=-+ ，∴抛物线的顶点坐标为(1,1)；【小问2详解】若2a =-，则抛物线为22(1)1y x =--+，∴抛物线开口向下，函数有最大值1，当3x =时，222(1)12(31)17y x =--+=--+=-，∴当03x ≤≤时，求y 的最大值是1，最小值为7-；【小问3详解】抛物线与直线1y x =+始终有交点，∴令2211ax ax a x -++=+，即2(21)0ax a x a -++=，∴22(21)40a a ∆=+-≥，解得14a ≥-．故a 的取值范围为14a ≥-且0a ≠．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，函数与方程的关系，熟练掌握二次函数的性质是解题的根据的。