一丶外接球半径：
1.如上图，圆柱丶直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 丶三棱锥A 1-ABC 丶四棱锥A 1- B 1C 1CB 的外接球都是同一个球，外接球半径均为：
R =√r 2+(ℎ2)2 其中：r 为圆柱底面半径，h 为圆柱的高。同时，圆柱两底面分别为△A 1B 1C 1和△ABC 的外接圆，由此可得出如下结论：
（1）圆柱的外接球半径为：
R =√r 2+(ℎ2
)2 其中：r 为圆柱底面半径，h 为圆柱的高。
（2）直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的外接球半径为
R =√r 2+(ℎ2
)2 其中：r 为三棱柱底面三角形外接圆半径，h 为棱柱的高。
A 1
B 1
C 1 A B
C
（3）有一条棱与底面垂直的三棱锥A1-ABC的外接球半径为：
R=√r2+(ℎ2 )2
其中：r为棱锥底面三角形外接圆半径，h 为与底面ABC 垂直的棱A 1A的长度。
（4）有一侧面与底面垂直（侧面A1B1C1⊥底面B1C1CB）且底面为矩形的四棱锥A1- B1C1CB的外接球半径为：
R=√r2+(ℎ2 )2
其中：r为棱锥中与底面垂直的侧面△A1B1C外接圆的半径，h为与侧面A1B1C1垂直的矩形的边BB1的长度。
注：三角形外接圆半径可由正弦定理推导，即
a sin A =
b
sin B
=
c
sin C
=2r
其中，r为三角形外接圆半径。
2.正三棱锥：以棱长为a的正三棱锥外接球半径推导为例：对于棱长为a的正三棱锥，其外接球如图:
过A作A O1⊥底面BCD，则O1为△BCD的外接圆
圆心，DE为BC边中线，且三棱锥圆心O在A O1
上。
在等边△BCD中，DE=√3
2
a
故DO1=2
3DE=√3
3
a
A
B
C
D
E
O
O1
在Rt△AD O1中，A O1=√AD2−DO12=√a2−(√3
3a)
2
=√6
3
a
因O为球心，故OD=OA=R 由DO12+OO12=DO2可得：
(√3
3
a)2+(
√6
3
a−R)2=R2
解得：R=√6
4
a
3.正四棱锥：正四棱锥的外接球球心也在底面正方形对角线交点与顶点连线上，同正三棱锥外接球球心半径推导过程。
可得：棱长为a的正四棱锥，其外接球半径为
R=√2 2
a
注：棱长为a的正四棱锥的高为√2
2
a，故正四棱锥的外接球球心即为底面正方形对角线交点。
4.长方体：长方体外接球的球心为其体对角线的中点
对于长宽高分别为a.b.c的长方体，其外接球半径为：
R=√a2+b2+c2
2
特别地：对于正方体，其长宽高均为a，故其外接球半径为
R=√3 2
a
注：对于一般几何体可建立直角坐标系，根据球心到各顶点距离相等建立方程组求解。
二丶内切球半径
1.正方体：
正方体内切球球心位于其体对角线中点处，对于边长为a的正方体，其内切球半径
R=a 2
2.正三棱锥：
正三棱锥内切球球心到各面距离均为R（R为内切球半径），故以内切球球心为顶点，各面为底面将其分成4个三棱锥。（其中3个以侧面为底的三棱锥体积相同，当棱长均为a时，分成的4个三棱锥体积均相同）对于边长为a的正三棱锥，各面均为边长为a的正三角形，内切球球心到各面距离均为R，故由分成的小三棱锥体积和等于正三棱锥体积可得：
1 3×S×R×4=
1
3
×S×ℎ
其中，S为正三棱锥各面面积，h为正三棱锥的高且h=√6
3
a
故R=√6
12
a
3.正四棱锥：
推导方法同正三棱锥内切球半径推导一样，以内切球球心为顶点，各面为底面将正四棱锥分成4个体积相等的三棱锥和一个四棱锥。（其中4个以侧面为底的三棱锥体积相同）
侧面面积为S1=1
2×a2×sin60°=√3
4
a2
底面面积为S2=a2
故由体积不变得：
1 3×S1×R×4+
1
3
×S2×R=
1
3
×S2×h
其中，h为正四棱锥的高，且h=√2
2
a
故R=√6−√2
4
a
4.直三棱柱：
直三棱柱内切球在底面投影为底面三角形的内切圆，故直三棱柱内切球半径R等于底面三角形内切圆半径r，又因为内切球到上下底面距离相等且都为R，故仅有满足h=2r的直三棱柱有内切球，其中，h为直三棱柱的高。
三角形内切圆半径求法如下：
如图，设三角形三边长分别为a.b.c，其内切圆圆心为
O，以O为顶点，3边为底边将其分成3个三角形，
由于O点到三边距离均为r，故三个三角形的高均为r，由面积不变得：
1
2
×(a+b+c)×r=S
故r=2S
(a+b+c)
其中，S为三角形面积。
5.圆柱：和直三棱柱类似，其内切球半径R等于底面半径r，且仅有满足高h=2r的圆柱有内切球。
O
