解三角形
1.1正弦定理和余弦定理
1.1.1正弦定理
【典型题剖析】
考察点1：利用正弦定理解三角形 例1
在ABC 中，已知A:B:C=1:2:3,求a :b :c.
【点拨】 本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC 求解。
解：
::1:2:3,A .,,,
6
3
2
1::sin :sin :sin sin
:sin
:sin
::11: 2.63222A B C B C A B C a b A B C ππ
π
π
π
π
π
=++=∴=
=
=
∴===
=而
【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。
例2在ABC 中，已知
C=30°，求a+b 的取值范围。
【点拨】 此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。
解：∵C=30°，
sin sin sin a b c A B C ===
∴
（150°-A ）.
∴
°
·2sin75°·cos(75°
-A)=
2
cos(75°-A)
① 当75°-A=0°，即A=75°时，a+b
取得最大值2
； ② ∵A=180°-(C+B)=150°-B,∴A ＜150°，∴0°＜A ＜150°, ∴-75°＜75°-A ＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，
∴＞
2
cos75°
=2
×
综合①②可得a+b 的取值范围为
> 考察点2：利用正弦定理判断三角形形状
例3
在△ABC 中，2
a ·tanB=2
b ·tanA ，判断三角形ABC 的形状。
【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC 的形状。 解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB 得：
()
()2
2
sin sin 2R sin 2R sin cos cos B A A B B A •
=•,
sin cos sin cos ,A A B B ∴=
即sin 2sin 2A B =，2222A B A B π∴=+=或，
2A B A B π
∴=+=
或.
∴ABC 为等腰三角形或直角三角形。
【解题策略】“在△ABC 中，由sin 2sin 2A B =得∠A=∠B ”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“∠A=∠B 或∠
A+∠B=2π
”的导出过程。
例4
在△ABC
中，如果lg lg lg sin a c B -==-，并且B 为锐角，试判断此三角形的形状。 【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC 的形状。
解：
lg sin sin 2B B =-∴=
.
又∵B 为锐角，∴B=45°.
由
lg lg c a c a -=-=得
由正弦定理，得sin sin A C
=
, ∵18045,A C =︒-︒-代入上式得：
()
2sin 135C C =︒-
()
2sin135cos cos135sin C C =︒-︒
,C C =+
cos 0,90,45.C C A ∴=∴=︒∴=︒ ABC ∴为等腰直角三角形。
考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式
例5
在△ABC 中，求证222222
cos cos cos cos cos cos a b b c c a A B B C C A ---++=+++.
【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将222a b c ，，转化为
222sin ,sin ,sin A B C . 证明：由正弦定理的变式a 2sin ,2sin R A b R B ==得：
2222224sin 4sin =
cos cos cos cos a b R A R B
A B A B --++ 2224[cos cos ]cos cos R A B =
+（1-A ）-(1-B)
222(cos cos )
4(cos cos )
cos cos B A R B A A B -==-+
同理22
222
24(cos cos ),
cos cos 4(cos cos ).
cos cos b c R C B B C c a R A C C A -=-+-=-+
2=4(cos cos cos cos cos cos )0R B A C B A C ∴-+-+-==∴左边右边等式成立。
【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。 例6
在△ABC 中，a,b,c 分别是角A,B,C 的对边，C=2B ，求证22
c b ab -=.
【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用. 证明：
180,180.A B C B C A ++=︒∴+=︒-
2,.C B C B B =∴-=又
sin()sin(180)sin ,B C A A +=︒-=
2222222224(sin sin )4(sin sin )(sin sin )
42sin cos 2cos sin 2222
4sin()sin()4sin sin .c b R C B R C B C B B C C B B C C B
R R C B C B R A B ab ∴-=-=+-+-+-=••••=+-===∴右边等式成立.
【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。
