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习题八
8-1 电量都是 q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问： (1)
在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡
( 即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零 )?(2) 这种平衡与三角形
的边长有无关系 ? 解 : 如题 8-1 图示
(1) 以 A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q
为负电荷
1 q 2
1
qq
2 a 2 cos30
3
4π 0
4π 0
( 2
a)
3
解得
(2) 与三角形边长无关．
q
3
q
3
题8-1 图 题8-2 图
8-7 一个半径为 R 的均匀带电半圆环， 电荷线密度为 , 求环心处 O 点的场强．
解 : 如 8-7 图在圆上取 dl Rd
题8-7图
dq dl R d ，它在 O 点产生场强大小为
dE
Rd
4π0R 2 方向沿半径向外
则 dE x dE sin sin d
4π0 R
dE y dE cos( ) cos d
4π0 R
积分 E x
sin d
4π0 R 2π0 R
E y 4 cos d0
0 π 0R
∴ E E x，方向沿x轴正向．
2π0 R
8-11半径为R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和 - , 试求 :(1)r ＜ R1；(2)R1＜ r ＜ R2；(3)r ＞ R2处各点的场强．
q
解 : 高斯定理 E dS
s
取同轴圆柱形高斯面，侧面积S2πrl
则
E S E rl
S
d 2π
对 (1) r R1 q 0, E 0
(2) R1 r R2 q l
∴E沿径向向外
2π0 r
(3) r R2 q 0
∴ E 0
题 8-12 图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和 2 ，试求空间各处场强．
解 : 如题 8-12 图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ，两面间， E 1 ( 1 2 )n
2 0
1 面外， E
2 1 ( 1 2 )n 0
2 面外， E 1 ( 1 2 ) n
2 0
n ：垂直于两平面由 1 面指为 2 面．
题 8-16 图
8-16如题8-16图所示，在 A ， B 两点处放有电量分别为+ q ,- q的点电荷，AB 间距离为2 R ，现将另一正试验点电荷q0从O点经过半圆弧移到C点，
求移动过程中电场力作的功．
解 :如题8-16图示
U O
1 (
q
q ) 0 4π 0 R R 1
q q )
q
U O
( R 6π 0 R
4π 0
3R
∴
A q 0 (U O U C )
q o q
6π 0R
8-17 如题 8-17 图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 , 两直
导线的长度和半圆环的半径都等于
R ．试求环中心 O 点处的场强和电势．
解: (1) 由于电荷均匀分布与对称性， AB 和 CD 段电荷在 O 点产生的场强 互相抵消，取 dl Rd
则 dq
Rd 产生 O 点 dE 如图，由于对称性， O 点场强沿 y 轴负方向
题 8-17 图
2
Rd
2 cos
E dE y
2 4π 0 R
［ sin(
) sin ］
4π 0 R
2
2
2π 0 R
(2) AB 电荷在 O 点产生电势，以 U
U 1
A
dx
2R
dx
B
4π 0 x
ln 2
R
4π 0 x 4π 0
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同理 CD 产生
U 2
ln 2
4π 0 半圆环产生
U 3
πR
4 0
4π 0 R
∴
U O U 1 U 2 U 3
ln 2 4 0
2π 0
8-22 三个平行金属板
A ，
B 和C
2
的面积都是 200cm ，A 和 B 相距 4.0mm ，A
与 C 相距 2.0 mm ． B ， C 都接地，如题 8-22 图所示．如果使 A 板带正电 3.0 × 10-7 C ，略去边缘效应，问 B 板和 C 板上的感应电荷各是多少 ?以地的电势 为零，则 A 板的电势是多少 ?
解 : 如题 8-22 图示，令 A 板左侧面电荷面密度为
1 ，右侧面电荷面密度为
2
题 8-22 图
(1) ∵
U AC U AB ，即
∴ E AC d
AC
E AB
d
AB
∴
1 E
AC
d
AB
2
E
AB
d
AC
2
且
1
+
2
q A
S
得
2
q
A
,
1
2q A
3S
3S
