导数及其应用
类型一：利用导数研究函数的图像
例2、若函数()y f x =的导函数．．．
在区间[,]a b 上是增函数，则函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象 可能是（ ）
(A) (B) (C) (D)
练习1．如右图：是f （x ）的导函数，
)(/x f 的图象如右图所示，则f （x ）的图象只可能是（ ）
（A ） （B ） （C ） （D ）
2．设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是 （ ）
B ．
C ． 类型二：导数几何意义的应用
例3、（1）求曲线21x y x =
-在点()1,1处的切线方程。（2）求抛物线y=2x 过点5,62⎛⎫ ⎪⎝⎭
的切线方程 32151,09425217257.1..764
44644y x y ax x a B C D ==+
----练习：若存在过点（）的直线和都相切，则等于（）A.-1或-或或-或
y x y y x y x y x O 1 2 O 1 2 O 1 2 1 2 x
y O 1 2 例1、设a ＜b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( ) a b a b a o x o x y o x y o x y
7．曲线y ＝x 2－2x ＋a 与直线y ＝3x ＋1相切时，常数a 的值是________．
类型三：利用导数研究函数的单调性
例4、已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f(e)=2（e=2.71828…是自然对数的底数）. （I ）求实数b 的值；
（II ）求函数f （x ）的单调区间；
例5、已知函数f(x)=
ax 1x 2
++在(－2，＋∞)内单调递减，求实数a 的取值范围.
练习：若函数y =3
1x 3－21ax 2+（a －1）x +1在区间（1，4）内为减函数，在区间（6，+∞）内为增函数，试求实数a 的取值范围
类型四：导数与极值 ()ln 6x f x x
=
例、求函数的极值。
()3227310,f x x ax bx a x a b =+++=-例、已知在有极值，求常数的值。
练习1、已知f(x)=x 3+ax 2
+(a+6)x+1有极大值和极小值，则a 的取值范围是( )
（A ）-1＜a ＜2 （B ）-3＜a ＜6
（C ）a ＜-1或a ＞2 （D ）a ＜-3或a ＞6
2、直线y ＝a 与函数f(x)＝x 3－3x 的图象有相异的三个公共点，则求a 的取值范围。
类型五：导数与最值
例8、已知函数f(x)=(x-k)e x .
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间［0,1］上的最小值.
练习：已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，问是否存在实数a 、b ，使f (x )在[－1,2]上取得最大值3，最小值－29？若存在，求出a 、b 的值；若不存在，请说明理由．
类型六：导数的综合应用
例9、设函数x b ax x x f ln )(2++=，曲线)(x f y =过点P （1，0），且在P 点处的切斜线率为2．
（I ）求a ，b 的值；
（II ）证明：f (x)2x 2≤-．
例10、已知函数f(x)=2ax x b
+在x=1处取得极值2. （1）求函数f(x)的表达式；
（2）当m 满足什么条件时，函数f(x)在区间(m,2m+1)上单调递增？
例11、设()ln f x x =，()()()g x f x f x '=+．
（Ⅰ）求()g x 的单调区间和最小值；
（Ⅱ）讨论()g x 与1()g x 的大小关系；
（Ⅲ）求a 的取值范围，使得()()g a g x -＜1a
对任意x ＞0成立．
类型七：生活中的导数
例12、用半径为R 的圆铁皮剪一个内接矩形，再将内接矩形卷成一个圆柱(无底、无盖)，问使矩形边长为多少时，其体积最大？
