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山 西 师 范 大 学 2006——2007 学 年 第 一 学 期 期 末 考 试 试 题 （卷）
密 封 线 密 封 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 密 封 线
的面力的方向。 四、（本题共20分，每题10分）
1
2 五、计算题（本题20分）
如图所示梁受荷载作用，使用应力表达式求解其应力，
x
C xy h
q
C y C y h q
y y x h q
xy y x 123213332
362)46(+=+--=--
=τσσ
，
六、计算题（本题20分）
设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用（如图），体力不计，
l >>h ,试用应力函数332Dxy Cy By Axy +++=Φ求解应力分量。
山 西 师 范 大 学 2006——2007学 年 第 一 学 期 期 末 考 试 试 题 （卷）
密 封 线 密 封 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 密 封 线
评分标准：画对一个图给2分，共4分。 四、（本题共20分，每题10分） 解：1、
则
2、
'︒=16351α （1分）
'︒=4331α
则
五、计算题（本题20分） 解：本题是按应力求解的。
1、在应力法中，应力分量在单连体中必须满足：
（1）平衡微分方程；00=+∂∂+∂∂=+∂∂+∂∂y xy
y x yx
x f x
y f y
x τστσ （1
分）
（2）相容方程 ()02
=+∇y x
σσ
； （1
分）
（3）应力边界条件（在σs s =上）。 （1
分）
将应力分量代入平衡微分方程和相容方程，两者都能满足。 （1
分）
2、校核边界条件 （1）在主要边界上
04602123=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+⋅=±=C h h q x h
y xy ，即时，τ,由此得
（2分）
h
q
C 231-= （1分）
q C h
C h h q q h y y -=++⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-=2133282,2即－时，σ，由此得 （2分）
2
2q
C -= （1分）
0==y h
h
y σ时，，将
C 1、C 2
代入后满足。
（1分）
将C 1、C 2代入式（a ），得到应力公式：
()
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=--
=1423223212322223223h y h qx h y h y q y x h
qy
xy
y x τσσ （b ）
（1分）
（2）再将式（b ）代入次要边界条件
0==xy x τ时，
（1分）
33
4h
y q x =σ，其主矢量为
0)
(0
22
==-⎰
dy x h
h x σ
（2分）
而
主
矩
为
20
)(2
22
0qh ydy h
h x x =⎰
-=σ
（1分）
x =l 时，
)14(2322-=h y h ql xy τ，其主矢量为ql dy h h x xy -=⎰-=2
2
0)(τ；
（2分）
)46(323y y l h
q
x --
=σ，其主矢量为0，
（1分）
而
主矩为
)202()(2
222
qh ql ydy l
x h
h x --==-⎰
σ
（1分）
由此可见，在次要边界上的积分条件均能满足。因此，式（b ）是图示问题之解。
六、计算题（本题20分） 解：本题是比较典型的题型，已经给出了应力函数Φ，可按下列步骤求解：
02.14422444=∂Φ
∂+∂∂Φ∂+∂Φ∂Φy
y x x 代入相容方程将，显然是满足的。
（1分）
2.将Φ代入式y x x
y xy y x ∂∂Φ
∂-=∂Φ∂=∂Φ∂=2222
2,,τσσ，求出应力
分量 （1分） （2分）
3.考察边界条件：主要边界2
h y ±=
1分）
满
（2分）
（a
） （2
在次要边界0=x 上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意
0=x 是负x 面，图中表示了负x 面
求得
（2分）
（2
分）
求得
(b)
（
2分）
()
23,0,662Dy A Dxy Cy B xy y x
+-==++=τσσ
