数列题目精选精编
【典型例题】
（一）研究等差等比数列的有关性质
1. 研究通项的性质
例题1. 已知数列满足.
（1）求；
（2）证明：.
解：（1）.
（2）证明：由已知，故
，所以证得.
例题2. 数列的前项和记为
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）等差数列的各项为正，其前项和为，且，又成等比数列，求.
解：（Ⅰ）由可得，
两式相减得：，
又∴故是首项为1，公比为3的等比数列
∴
（Ⅱ）设的公比为，由得，可得，可得
故可设，又，
由题意可得，解得
∵等差数列的各项为正，∴∴
∴
例题3. 已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且
对任意的都成立，数列是等差数列.
⑴求数列与的通项公式；
⑵是否存在，使得，请说明理由.
点拨：（1）左边相当于是数列前n项和的形式，可以联想到已知求的方法，当时，.
（2）把看作一个函数，利用函数的思想方法来研究的取值情况.
解：（1）已知…）①
时，…）②
①－②得，，求得，
在①中令，可得得，
所以N*）.
由题意，，，所以，，
∴数列的公差为，
∴，
）.
（2），
当时，单调递增，且，
所以时，，
又，
所以，不存在，使得.
例题4. 设各项均为正数的数列{a n}和{b n}满足：a n、b n、a n+1成等差数列，b n、a n+1、b n+1成等比数列，且a1 = 1， b1 = 2 ， a2 = 3 ，求通项a n，b n
解：依题意得：
2b n+1 = a n+1 + a n+2①
a2n+1 = b n b n+1②
∵ a n、b n为正数，由②得，
代入①并同除以得：，
∴为等差数列
∵ b1 = 2 ， a2 = 3 ，，
∴，
∴当n≥2时，，
又a1 = 1，当n = 1时成立，∴
2. 研究前n项和的性质
例题5. 已知等比数列的前项和为，且.
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
解：（1）时，.而为等比数列，得，
又，得，从而.又.
（2），
），得，
.
例题6. 数列是首项为1000，公比为的等比数列，数列满足
，
（1）求数列的前项和的最大值；（2）求数列的前项和.
解：（1）由题意：，∴，∴数列是首项为3，公差为的等差数列，
∴，∴
由，得，∴数列的前项和的最大值为.
（2）由（1）当时，，当时，，
∴当时，
当时，
∴.
例题7. 已知递增的等比数列{}满足，且是，的等差中项.
（1）求{}的通项公式；（2）若，求使成立的的最小值.
解：（1）设等比数列的公比为q（q＞1），由
a1q+a1q2+a1q3=28，a1q+a1q3=2（a1q2+2），得：a1=2，q=2或a1=32，q=（舍）
∴a n=2·2（n－1）=2n
（2）∵，∴S n=－（1·2+2·22+3·23+…+n·2n）
∴2S n=－（1·22+2·23+…+n·2n+1），∴S n=2+22+23+…+2n－n·2n+1=－（n－1）·2n+1－2，若S n+n·2n+1＞30成立，则2n+1＞32，故n＞4，∴n的最小值为5.
例题8. 已知数列的前n项和为S n，且成等差数列，. 函数.
（I）求数列的通项公式；
（II）设数列满足，记数列的前n项和为T n，试比较
的大小.
解：（I）成等差数列，①当时，②.
①－②得：，，
当n=1时，由①得，又
是以1为首项3为公比的等比数列，
（II）∵，，
，
比较的大小，只需比较与312 的大小即可.
∵∴当时，
当时，
当时，.
3. 研究生成数列的性质
例题9. （I）已知数列，其中，且数列为等比数列，求常数；
（II）设、是公比不相等的两个等比数列，，证明数列不是等比数列.
解：（Ⅰ）因为{c n+1－pc n}是等比数列，故有
（c n+1－pc n）2=（ c n+2－pc n+1）（c n－pc n－1），
将c n=2n＋3n代入上式，得
[2n＋1+3n＋1－p（2n＋3n）]2
=[2n＋2+3n＋2－p（2n+1＋3n+1）]·[2n+3n－p（2n－1＋3n－1）]，
即[（2－p）2n+（3－p）3n]2
=[（2－p）2n+1+（3－p）3n+1][ （2－p）2n－1+（3－p）3n－1]，
整理得（2－p）（3－p）·2n·3n=0，
解得p=2或p=3.
（Ⅱ）设{a n}、{b n}的公比分别为p、q，p≠q，c n=a n+b n.
为证{c n}不是等比数列只需证≠c1·c3.
事实上，=（a1p＋b1q）2=p2＋q2＋2a1b1pq，
c1·c3=（a1＋b1）（a1 p2＋b1q2）= p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.
由于p≠q，p2＋q2>2pq，又a1、b1不为零，
因此c1·c3，故{c n}不是等比数列.
例题10. n2（ n≥4）个正数排成n行n列：其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有公比相等已知a24=1，
