2012年广州一模数学(理科)试卷(word版,含答案)

数学（理科）试题A 第 1 页 共 4 页 试卷类型：A

2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

2012.3

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV31，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．

方差2222121nsxxxxxxn，其中12nxxxxn.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知复数ii1iab（其中,abR，i是虚数单位），则ab的值为

A．2 B．1 C．0 D．2

2．已知全集UR，函数11yx的定义域为集合A，函数2log2yx的定义域为集合B，则集合UABð

A．2,1 B．2,1 C．,2 D．1,

3．如果函数sin6fxx0的相邻两个零点之间的距离为12，则的值为

A．3 B．6 C．12 D．24

4．已知点Pab，（0ab）是圆O：222xyr内一点，直线l的方程为20axbyr，那么直线l与圆O的位置关系是

A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定

数学（理科）试题A 第 2 页 共 4 页 5．已知函数21fxx，对于任意正数a，12xxa是12fxfxa成立的

A．充分非必要条件 B．必要非充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

6．已知两个非零向量a与b，定义sinabab，其中为a与b的夹角．若3,4a=， 0,2b=，则ab的值为

A．8 B．6 C．8 D．6

7．在△ABC中，60ABC，2AB，6BC，在BC上任取一点D，使△ABD为钝角三角形的概率为

A．16 B．13 C．12 D．23

8．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标,,xyz，若xyz是3的倍数，则满足条件的点的个数为

A．252 B．216 C．72 D．42

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．

（一）必做题（9～13题）

9．如图1是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 ．

10．已知211d4kxx2≤≤，则实数k的取值范围为 ．

11．已知幂函数22657mymmx在区间0,上单调递增，

则实数m的值为 ．

12．已知集合1Axx≤≤2，1Bxxa≤，若ABAI，

则实数a的取值范围为 ．

13．两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作11a，第2个五角形数记作25a，第3个五角形数记作312a，第4个五角形数记作422a，……，若按此规律继续下去，则5a ，若145na，则n ．

5 12 1 22

图2 图1 俯视图 2 2 正(主)视图 2 2 2

侧(左)视图 2 2 2

数学（理科）试题A 第 3 页 共 4 页 （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

14．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的半径为5cm，点P是弦AB的中点，

3OPcm，弦CD过点P，且13CPCD，则CD的长为 cm．

15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的

参数方程分别为l：1,1xsys（s为参数）和C：22,xtyt（t为参数），

若l与C相交于A、B两点，则AB ．

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

已知函数()tan34fxx．

（1）求9f的值；

（2）设3,2，若234f，求cos4的值．

17．（本小题满分12分）

如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中

的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a表示．

已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．

（1）求a的值；

（2）求乙组四名同学数学成绩的方差；

（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，记这两名同学数学

成绩之差的绝对值为X，求随机变量X的分布列和均值（数学期望）．

（温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．）

18．（本小题满分14分）

如图5所示，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD于点D，

1AD，3CD，3PD．

（1）证明△PBC为直角三角形；

（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．

图4 甲组 乙组

8

9 7

a 3 5 7 9

6 6

图5 BPA CDP

O A B

C D

图3

数学（理科）试题A 第 4 页 共 4 页 19．（本小题满分14分）

等比数列na的各项均为正数，4352,,4aaa成等差数列，且2322aa．

（1）求数列na的通项公式；

（2）设252123nnnbann，求数列nb的前n项和nS．

20．（本小题满分14分）

已知椭圆2214yx的左，右两个顶点分别为A、B．曲线C是以A、B两点为顶点，离心率为5的双曲线．设点P在第一象限且在曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

（1）求曲线C的方程；

（2）设P、T两点的横坐标分别为1x、2x，证明：121xx；

（3）设TAB与POB（其中O为坐标原点）的面积分别为1S与2S，且PAPBuuruurg≤15，求2212SS的取值范围．

21．（本小题满分14分）

设函数()exfx(e为自然对数的底数)，23()12!3!!nnxxxgxxnL（*nN）．

（1）证明：()fx1()gx≥；

（2）当0x时，比较()fx与()ngx的大小，并说明理由；

（3）证明：123222211e2341nngn≤L（*nN）．

·5· 2012年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．

2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7

8

答案 D B C A B D C

A

二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题仅填对1个，则给3分．

9．433 10．2,23 11．3 12．1,2

13．35，10 14．62 15．2

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查两角和的正切、诱导公式、同角三角函数的基本关系和两角差的余弦等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

（1）解：9ftan34 ………………………………1分

tantan341tantan34 ………………………………3分

312313． …………………………4分

2）解：因为3tan3444f………………………5分

tan………………………6分