maxwell模型的本构方程

混凝土本构关系模型

一、线弹性本构模型

1、 线弹性均质的本构模型

当混凝土无裂缝时，可以将混凝土看成线弹性均质材料，用广义胡克定律来表达本构关

系：

klijklijC

式中，ijklC为材料常数，为一四阶张量，一般有81个常数，如果材料为正交异性时，常数可减少至9个，如材料为各向均质时，可用两个常数、来表达，、称为Lame常数。

ijkkijij2

当ji，23kkkk，代入上式

kkijijij2232/

E、、、之间的关系如下：

213EK，12EG

GKKGE39，GKGK3223

在工程计算中采用下列形式

EEE33221111 同样可写出22、33的表达式。

12121112EG 同样可写出22、33的表达式。

如上述各式用张量表示可写成：

ijkkijijEE1，ijkkijijEE2111

用矩阵形式表达时，可写成

2、各向异性本构模型

张量描述

用矩阵形式表达，可写成：

3、正交异性本构模型

矩阵描述

分块矩阵描述

1.3横观各向同性弹性体本构模型

其中D表达式为

klijklijC二、非线弹性本构模型

1、Cauchy模型

Cauchy模型建立的各向同性一一对应的应力应变关系为

klijijF

可展开为：

jkikijijij210

根据Caley-Hamilton定理有：

jkikijijij210

但Cauchy模型在)2,1,0(ii时，一般不能满足ijkkijij2。因而，Cauchy模型在不同加载途径下得到的应变能和余能表达式不是唯一的或者不存在，不能满足弹性体能量守恒定律，但在单调比例加载途径下还是适用的。

高分子材料流变学第三章

62

第三章 非线性粘弹流体的本构方程

1． 本构方程概念

本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。

不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。

寻求流变本构方程的基本方法大致可分为唯象性方法和分子论方法两种。

唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。

分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。

根据研究对象不同，高分子流变本构方程又分为稀溶液理论及浓厚体系理论，两部分的理论和实验研究工作都取得巨大的进展。有趣的是唯象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。 高分子材料流变学第三章

63 目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。

同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。

从形式上分，非线性粘弹流体的本构方程主要分为两大类：速率型（亦称微商型）本构方程和积分型本构方程。

速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。

积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。积分又分为单重积分或多重积分。

3.4岩石的流变性质

在上节中所讨论的岩石变形特性都是在加载后瞬时的变形特性，这些变形特性与时间是无关。但实际上，种类岩土工程的变形都不同程度上与时间有关。例如，在中硬以下岩石及软岩中开掘的隧道、矿山巷道等地下工程，经常出现顶板下沉、边墙挤进和底板隆起等工程使用空间缩小现象。这就是岩石流变性质的显现。研究岩石流变性质，对解决岩土工程的维护设计和长期稳定性问题有十分重要的意义。

岩石流变现象的组成定义如下：

其中，蠕变现象是岩土工程中显现最明显，对工程稳定性影响最大的流变现象，是岩石流变理论研究中的常规内容。

3.4.1典型蠕变曲线特征

以应变为纵座标，时间t为横座标，作应变与时间的关系曲线（如图3.24所示），该曲线就是蠕变曲线。它的形状和特性与岩石性质、加载水平等多种因素有关，各种蠕变曲线的形状和特性不尽相同。图3.24是一条典型的蠕变曲线。从曲线形态上看，可将该曲线分成三个阶段：

Ⅰ.AB阶段，称作为瞬态蠕变阶段（或称初始蠕变阶段）。

加载：首先岩石特产生瞬时的弹性应变，这一应变是与时间无关的，如图中所示的OA段。当外荷载维持一定的时间后，岩石将产生一部分随时间而增大的应变，此时的应变速率将随时间的增长远渐减小，曲线呈下凹型，并向直线状态过渡。

卸载：岩石的瞬时弹性应变最先恢复，如图中的PQ段。之后，随着时间的增加，其剩余应变亦能逐渐地恢复，如图中的QR段。QR段曲线的存在，说明岩石具有随时间的增长应变逐渐恢复的特性，这一特性被称作为弹性后效。

Ⅱ.BC阶段，被称作为稳定蠕变阶段（或称等速蠕变阶段）。

加载：在这一阶段最明显的特点是应变与时间的关系近似地呈直线变化，应变速率为一常数，该应变率与作用的外荷载的大小和介质的粘滞系数有关。

卸载：出现与第一阶段卸载时一样的特性，弹性后效仍然存在，但是这时的应变已无法全部恢复，存在着部分不能恢复的永久变形。

Ⅲ.C点以后阶段，为非稳态蠕变（或称加速蠕变阶段）。

广义maxwell模型公式推导

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咱先来说说广义 Maxwell 模型，这玩意儿在材料科学和力学里可有着重要地位。

要搞清楚广义 Maxwell 模型的公式推导，咱们得先从最基本的概念入手。想象一下，你手里有一根弹簧，给它施加一个力，它会按照胡克定律产生相应的形变，这就是最简单的弹性模型。

但实际情况可没这么简单，很多材料的力学行为既表现出弹性，又有粘性。这就引出了 Maxwell 模型。

Maxwell 模型由一个弹簧和一个阻尼器串联组成。当受到外力作用时，弹簧会立即产生形变，而阻尼器的形变则会随着时间逐渐发展。

那广义 Maxwell 模型又是啥呢？它其实就是多个 Maxwell 单元并联在一起。

咱们来一步步推导它的公式。

假设每个 Maxwell 单元由弹簧的弹性模量为$E_i$，阻尼系数为$\eta_i$组成。对于单个 Maxwell 单元，应力和应变的关系可以表示为：

$\sigma_i = E_i\varepsilon_i + \eta_i\frac{d\varepsilon_i}{dt}$ 由于是并联结构，总应力等于各个单元应力之和，总应变等于各个单元应变。

$\sigma = \sum_{i=1}^{n}\sigma_i$

$\varepsilon = \sum_{i=1}^{n}\varepsilon_i$

把上面单个单元的应力应变关系代入总应力的式子中，就得到：

$\sigma = \sum_{i=1}^{n}(E_i\varepsilon_i +

\eta_i\frac{d\varepsilon_i}{dt})$

因为总应变相同，所以可以写成：

$\sigma = \sum_{i=1}^{n}E_i\varepsilon +

\sum_{i=1}^{n}\eta_i\frac{d\varepsilon}{dt}$