数学教案-角的平分线

初二数学

第8课时 角的平分线的性质（1）

教

学

目 标 1．通过作图直观地理解角平分线的性质定理．

2．经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．

教学重点 领会角的平分线的性质定理．

教学难点 角的平分线的性质定理的实际应用．

教 学 互 动 设 计 设计意图

一、创设情境 导入新课

在∠AOB的两边OA和OB上分别取OM=ON，MC⊥OA，NC⊥OB．MC与NC交于C点．

求证：∠MOC=∠NOC．

通过证明Rt△MOC≌Rt△NOC，即可证明∠MOC=∠NOC，所以射线OC就是∠AOB的平分线．

受这个题的启示，我们能不能这样做：

在已知∠AOB的两边上分别截取OM=ON，再分别过M、N作MC⊥OA，NC⊥OB，MC•与NC交于C点，连接OC，那么OC就是∠AOB的平分线了．

思考：这个方案可行吗？（学生思考、讨论后，统一思想，认为可行）

议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC．将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线．你能说明它的道理吗？

要说明AC是∠DAC的平分线，其实就是证明∠CAD=∠CAB．

∠CAD和∠CAB分别在△CAD和△CAB中，那么证明这两个三角形全等就可以了．

看看条件够不够．

ABADBCDCACAC

所以△ABC≌△ADC（SSS）．

所以∠CAD=∠CAB．

即射线AC就是∠DAB的平分线．

首先将“问题提出”，然后运用教具（如课本图11．3─1•）直观地进行讲述，提出探究的问题．

小组讨论后得出：根据三角形全等条件“边边边”判定法，可以说明这个仪器的制作原理．

二、合作交流 解读探究

【探究1】作已知角的平分线的方法：

已知：∠AOB．

求作：∠AOB的平分线．

作法：

动手制图（尺规），边（1）以O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N．

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角平分线

【教学目标】

1．知识与技能：

掌握角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。

2．过程与方法：

让学生通过自主探索，运用逻辑推理的方法证明关于角平分线的重要结论，并体会感性认识与理性认识之间的联系与区别。

3．情感、态度与价值观：

通过认识的升华，使学生进一步理解数学，也使学生关注数学、热爱数学。

【教学重难点】

1．重点：

角平分线的性质定理和判定定理，能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。

2．难点

灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解题。

【教学过程】

一、创设情景，导入新课

角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？

如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，将∠AOB沿OC对折你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程。

二、师生互动，探究新知

在学生交流发言的基础上，老师板书：角平分线的性质定理，即角平分线上的点到角两边的距离相等。几何推理为：∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，∴PD=PE。教师指出条件中不能漏掉PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E。

教师指出：角平分线是一条射线，那么这个逆定理应如何表述？学生讨论并发言。在学生发言基础上教师归纳总结，并板书：角的内部到角两边距离相等的点在角的角平分线上。 2 / 3

三、随堂练习，巩固新知

1．如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，则PC与PD的大小关系是（ ）。

A．PC>PD；

B．PC=PD；

C．PC

D．不能确定。

2．如图等腰△ABC中，AC=BC，CD⊥AB，DE⊥AC，DF⊥BC，则DE________DF（填=，>或）。

答案：

1．B； 2．=。

四、典例精析，拓展新知

例1：

如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC于E，且BC=8

《角平分线》测试题

时间：60分钟 满分：100分

姓名：_______________ 成绩：______________________

一、填空题（每小题3分，共30分）

1．已知：△ABC中，∠B=90°， ∠A、∠C的平分线交于点O，则∠AOC的度数为 .

2．角平分线上的点到_________________距离相等；到一个角的两边距离相等的点都在_____________．

3．∠AOB的平分线上一点M ，M到 OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.

4．如图，∠AOB=60°，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，且CD=CE，则∠DOC=_________.

5．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是角平分线，DE⊥AB于E，且DE=3 cm，BD=5 cm，则BC=_____cm.

6．如图，CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG⊥AB，垂足为G，则CF______FG，CE________CF.

7．如图，已知AB、CD相交于点E，∠AEC及∠AED的平分线所在的直线为PQ与MN，则直线MN与PQ的关系是_________.

8．三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到____________________相等．

9．点O是△ABC内一点，且点O到三边的距离相等，∠A=60°，则∠BOC的度数为_____________．

10．在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32cm，且BD∶CD=9∶7，则D到AB的距离为__________cm.

二、选择题（每小题3分，共30分）

11．三角形中到三边距离相等的点是（ ）

A、三条边的垂直平分线的交点 B、三条高的交点

C、三条中线的交点 D、三条角平分线的交点

1 11.3角的平分线的性质（二）

一、教材分析

1、教材的地位和作用

角的平分线的性质是全等三角形知识的延续，它为后面的几何证明提供了一种新的证明方法。本节分为两课时：第一课时让学生动手探究角的平分线的画法；第三课时主要探究角的平分线的性质并在此基础上进行简单应用。本节内容不仅为学生动手操作、观察、交流等活动提供了良好的素材，同时也让学生学会在实际问题中建立数学模型。

2、重难点分析

本节的重点是角的平分线的性质及应用，难点是对两条性质的准确理解。

二、目标分析

知识与技能：掌握角的平分线的性质，并会运用它们解决实际问题。

过程与分法：通过让学生经历动手实践，合作交流，演绎推理的过程，使学生学会理性思考，从而提高解决简单问题的能力。

情感态度与价值观：经历对角的平分线的性质的探索与形成的过程。发展应用数学知识的意识与能力，培养学生良好的学习态度及严谨的科学态度。

三、过程分析

创设情境，引入课题

问题：一个S区有一个贸易市场，在公路与铁路所成角的平分线上有一点P，要从P点建两条路，一条到公路上，一条到铁路上，怎样修建路景短？这两条有什么关系？画出来看一看。

设计意图：让学生动手画出最短的路线，可以复习点到直线的距离这一，为探究角的平分线的性质作铺势，同时也让学生感受到教学与实际生活是紧密

2 联系的，从而激发学生学习兴趣，体现从学有价值的数学。

动手操作，探究新知

（活动一）折一折

问题：1、你能否通过折叠的方式将∠AOB平分呢？

2、你能否进行第二次折叠，折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边）呢？

3、将折叠的图形展开，观察两个直角三角形是否全等？并观察两次折叠形成的三条折痕？你能得出什么结论？

4、这一结论，你能用数学知识来证明吗？

已知：OP是∠AOB的平分线，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F。

求证：PE＝PF

证明：（学生独立完成）

性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等。

练习一 判断：