解析几何解题技巧
- 格式：doc
- 大小：1.97 MB
- 文档页数：17
学习必备
欢迎下载
高三数学（人教版）第二轮专题辅导讲座
第五讲 解析几何新题型的解题技巧
【命题趋向】解析几何例命题趋势：
1．解析几何的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、填空题的形式出现，每年必考．
2．直线与二次曲线的普遍方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现．
3．考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强的题，属中档题．
4．有关直线与圆锥曲线的综合题，多以解答题的形式出现，这类题主要考查学生平面几何知识与代数知识的综合应用能力，分析问题和学生解决问题的能力，对运算能力要求较高．
【考点透视】
一．直线和圆的方程
1．理解直线的斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系．
3．了解二元一次不等式表示平面区域．
4．了解线性规划的意义，并会简单的应用．
5．了解解析几何的基本思想，了解坐标法．
6．掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程．
二．圆锥曲线方程
1．掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质．
2．掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质．
3．掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质．
4．了解圆锥曲线的初步应用．
【例题解析】
考点1.求参数的值
求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.
例1．（20XX年安徽卷）若抛物线22ypx的焦点与椭圆22162xy的右焦点重合，则p的值为（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.
解答过程：椭圆22162xy的右焦点为(2,0)，所以抛物线22ypx的焦点为(2,0)，则4p，故选D.
考点2. 求线段的长
求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之. 学习必备
欢迎下载
例2．（20XX年全国卷II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ ）
A．23 B．6 C．43 D．12
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的应用.
解答过程：由椭圆方程x23＋y2＝1知332,0,2,,2,,33ABC
22353235322.243.3333ABCABC
故选C.
例3．（20XX年四川卷）如图，把椭圆2212516xy的长轴
AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部
分于1234567,,,,,,PPPPPPP七个点，F是椭圆的一个焦点，
则1234567PFPFPFPFPFPFPF____________.
考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.
解答过程：由椭圆2212516xy的方程知225,5.aa
∴12345677277535.2aPFPFPFPFPFPFPFa
故填35.
考点3. 曲线的离心率
曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:
(1)椭圆的离心率e＝ac∈(0,1) (e越大则椭圆越扁);
(2) 双曲线的离心率e＝ac∈(1,
＋∞) (e越大则双曲线开口越大).
结合有关知识来解题.
例4．（20XX年福建卷）已知双曲线22221(0,0)xyabab的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
（ ）
A．(1,2] B．(1,2) C．[2,) D．(2,)
考查意图: 本题主要考查双曲线的离心率e＝ac∈(1, ＋∞)的有关知识.
解答过程： 222221132.cabbeaaa
例5．（20XX年广东卷）已知双曲线9322yx,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（
）
A. 2 B.332 C. 2
D.4
考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e＝ac∈(1, ＋∞)
的有关知识的应用能力.
解答过程：依题意可知 3293,322baca．
考点4.求最大(小)值 学习必备
欢迎下载
求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.
例6．(20XX年山东卷)已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .
考查意图: 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.
解:设过点P(4,0)的直线为224,8164,ykxkxxx
122222222122284160,8414416232.kxkxkkyyxxkk
故填32.
考点5 圆锥曲线的基本概念和性质
圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第二定义的统一性，都是考试的重点内容，要能够熟练运用；常用的解题技巧要熟记于心.
例7．已知P是椭圆22xy14上的点，12F,F是椭圆的两个焦点，且12FPF60，求12FPF的面积.
解答过程：依题意得：12PFPF2a4，在12FPF中由余弦定理得
2221212(23)PFPF2PFPFcos60
＝2121212(PFPF)2PFPF2PFPFcos60，
解之得：124PFPF3，则12FPF的面积为1213PFPFsin6023.
小结：（1）圆锥曲线定义的应用在求解圆锥曲线问题中的作用举足轻重；
（2）求解圆锥曲线上的点与其焦点围成的三角形问题中，正、余弦定理非常重要.
例8．已知动点P到两个定点A(5,0)、B(5,0)的距离之差为|PA||PB|8，
（1）求点P的轨迹方程；
（2）对于x轴上的点M，若满足2|PA||PB||PM|，则称点M为点P对应的“比例点”，求证：对任意一个确定的点P，它总有两个比例点.
解答过程：（1）因为A(5,0)、B(5,0)且|PA||PB|8，
所以，点P的轨迹是以A,B为两焦点，实轴长为8的双曲线的右支，
且a4,c5，则b3，
则点P的轨迹方程是：22xy1,(x4)169
（2）设111P(x,y)(x4)，M(m,0)，双曲线的离心率5e4，
因为2|PA||PB||PM|，由焦半径公式和距离公式得：
22111155(x4)(x4)(xm)y44＝2211x(xm)9(1)16，
整理得：21m2mx70，
因22114x284(x7)0，则方程有两个不等实根，
即对于点P它总对应两个比例点.
小结：（1）应用圆锥曲线定义时，要注意其限制条件，在椭圆中，2a2c；在双曲线中2a2c且注意差的绝对值12||PF||PF||2a，若无绝对值，则曲线为双曲线的一支；
（2）焦半径公式在计算中非常方便，但双曲线的焦半径不要求记忆，可以利用定义进行转化； 学习必备
欢迎下载
（3）求解对应点的个数，通常转化为方程解的个数，这时，判别式就非常重要.
例9．已知椭圆2222xyE:1(ab0)ab，AB是它的一条弦，M(2,1)是弦AB的中点，若以点M(2,1)为焦点，椭圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点N(4,1)，若椭圆离心率e和双曲线离心率1e之间满足1ee1，求：
（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.
解答过程：（1）设A、B坐标分别为1122A(x,y),B(x,y)，
则221122xy1ab，222222xy1ab，二式相减得：
21212AB21212yy(xx)bkxx(yy)a2MN22b1(1)k1a24，
所以2222a2b2(ac)，22a2c， 则c2ea2；
（2）椭圆E的右准线为22a(2c)x2ccc，双曲线的离心率11e2e，
设P(x,y)是双曲线上任一点，则：
22(x2)(y1)|PM|2|x2c||x2c|，
两端平方且将N(4,1)代入得：c1或c3，
当c1时，双曲线方程为：22(x2)(y1)0，不合题意，舍去；
当c3时，双曲线方程为：22(x10)(y1)32，即为所求.
小结：（1）“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法；
（2）求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义.
考点6 利用向量求曲线方程
利用向量给出题设条件，可以将复杂的题设简单化，便于理解和计算.
典型例题：
例10．(20XX年山东卷）双曲线C与椭圆22184xy有相同的焦点，直线y=x3为C的一条渐近线.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P(0,4)的直线l，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当12PQQAQB，且3821时，求Q点的坐标.
考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.
解答过程：（Ⅰ）设双曲线方程为22221xyab,
由椭圆22184xy,求得两焦点为(2,0),(2,0)，
对于双曲线:2Cc，又3yx为双曲线C的一条渐近线
3ba 解得 221,3ab，
双曲线C的方程为2213yx
