立体几何典型例题精选(含答案)

FEDCBA立体几何专题复习

热点一：直线与平面所成的角

例1．（2014，广二模理 18） 如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD， 1EF，,90FBFCBFC，3AE.

（1）求证：AB平面BCF；

（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值.

变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD中，E是BC的中点，2,1,5,DBDCBC

2.ABAD将左图沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60,如右图.

（1）求证：AE平面;BDC

（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.

变式2：[2014·福建卷] 在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1-5所示．

(1)求证：AB⊥CD； (2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．

热点二：二面角

例2．[2014·广东卷] 如图1-4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.

(1)证明：CF⊥平面ADF； (2)求二面角D - AF - E的余弦值．

变式3： [2014·浙江卷] 如图1-5，在四棱锥A -BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.

(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B - AD - E的大小．

变式4：[2014·全国19] 如图1-1所示，三棱柱ABC - A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.

(1)证明：AC1⊥A1B; (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1 -AB -C的大小．

热点三：无棱二面角

例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，23AB.

（1）求点A到平面MBC的距离；

（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.

变式5：在正方体1111ABCDABCD中，1KBB，1MCC，且114BKBB，134CMCC．

求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值．

变式6：如图1111ABCDABCD是长方体，AB＝2，11AAAD，求二平面1ABC与1111ABCD所成二面角的正切值．

高考试题精选

1．[2014·四川，18] 三棱锥A - BCD及其侧视图、俯视图如图1-4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.

(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A - NP - M的余弦值．

2．[2014·湖南卷] 如图所示，四棱柱ABCD -A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．

(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．

3．[2014·江西19] 如图1-6，四棱锥P - ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

(1)求证：AB⊥PD. (2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P - ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．

MOHFEDCBA立体几何专题复习 答案

例1.（2014，广二模）

（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1AMMB，

∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB，

∴EF∥AB，即EF∥MB. ……………1分

∵EFMB1

∴四边形EMBF是平行四边形. ……………2分

∴EM∥FB，EMFB.

在Rt△BFC中，2224FBFCBC，又FBFC，得2FB.

∴2EM. ……………3分

在△AME中，3AE，1AM，2EM，

∴2223AMEMAE，

∴AMEM. ……………4分

∴AMFB，即ABFB.

∵四边形ABCD是正方形，

∴ABBC. ……………5分

∵FBBCB，FB平面BCF，BC平面BCF，

∴AB平面BCF. ……………6分

（2）证法1：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，

取BC的中点H，连接,OHEO，FH，

则OH∥AB，112OHAB.

由（1）知EF∥AB，且12EFAB，

∴EF∥OH，且EFOH.

∴四边形EOHF是平行四边形.

∴EO∥FH，且1EOFH .……………7分

由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，

∴FHAB. ……………8分

∵FHBC，,ABBCBAB平面ABCD，BC平面ABCD，

∴FH平面ABCD. ……………9分

∴EO平面ABCD.

∵AO平面ABCD，

∴EOAO. ……………10分

∵AOBD，,EOBDOEO平面EBD，BD平面EBD，

∴AO平面EBD. ……………11分 zyxMOHFEDCBA ∴AEO是直线AE与平面BDE所成的角. ……………12分

在Rt△AOE中，tan2AOAEOEO. ……………13分

∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分

证法2：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，

取BC的中点H，连接,OHEO，FH，

则OH∥AB，112OHAB.

由（1）知EF∥AB，且12EFAB，

∴EF∥OH，且EFOH.

∴四边形EOHF是平行四边形.

∴EO∥FH，且1EOFH. ……………7分

由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，

∴FHAB.

∵FHBC，,ABBCBAB平面ABCD，BC平面ABCD，

∴FH平面ABCD.

∴EO平面ABCD. ……………8分

以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，OH所在直线为y轴，HF所在直线为z轴，

建立空间直角坐标系Hxyz，则1,2,0A，1,0,0B，1,2,0D，0,1,1E.

∴1,1,1AE，2,2,0BD，1,1,1BE. ……………9分

设平面BDE的法向量为n,,xyz，由n0BD，n0BE，

得220xy，0xyz，得0,zxy.

令1x，则平面BDE的一个法向量为n1,1,0. ……………10分

设直线AE与平面BDE所成角为，

则sincos,nAEnAEnAE63. ……………11分

∴23cos1sin3，sintan2cos. ……………13分

∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2. ……………14分 变式1：（2013湖北8校联考）

（1）取BD中点F，连结,EFAF,则11,,60,2AFEFAFE……………2分

由余弦定理知22222113121cos60,,222AEAFEFAEAEEF………4分

又BD平面AEF,,BDAEAE平面BDC………6分

（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，

则31(0,0,),(1,,0)22AC,11(1,,0),(1,,0)22BD

………8分

设平面ABD的法向量为n(,,)xyz,

由00nDBnDA得2013022xxyz,取3z,则3,(0,3,3)yn.

136(1,,),cos,224||||ACACACACnnn ……11分

故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为104. …………12分

变式2：（2014福建卷）

解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，

AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD. …………3分

又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD. …………4分

(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.

由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD. ……6分

以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，12，12.

则BC→＝(1，1，0)，BM→＝0，12，12，AD→＝(0，1，－1)．…………7分

设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)， 则n·BC→＝0，n·BM→＝0，即x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0，

取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)． …………9分

设直线AD与平面MBC所成角为θ，

则sin θ＝||cos〈n，AD→〉＝|n·AD→||n|·|AD→|＝63. …………11分

即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63. …………12分