2023辽宁省沈阳市中考数学考点

辽宁中考数学考点散布数学是人类对事物的抽象结构与模式进行严格描写的一种通用手段，可以运用于现实世界的任何问题，所有的数学对象本质上都是人为定义的。

今天作者在这给大家整理了一些辽宁中考数学考点散布，我们一起来看看吧!辽宁中考数学考点散布1不在同一直线上的三点肯定一个圆。

2垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等3圆是以圆心为对称中心的中心对称图形4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等辽宁中考数学考点总结考点1：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义。

考点2：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌控求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。

注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。

考点3：画二次函数的图像考核要求：(1)知道函数图像的意义，会在平面直角坐标系中用描点法画函数图像(2)知道二次函数的图像，体会数形结合思想;(3)会画二次函数的大致图像。

考点4：二次函数的图像及其基本性质考核要求：(1)借助图像的直观、认识和掌控一次函数的性质，建立一次函数、二元一次方程、直线之间的联系;(2)会用配方法求二次函数的顶点坐标，并说出二次函数的有关性质。

辽宁省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（更难题）知识点分类一．二次函数综合题（共5小题）1．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．2．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0）和点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点E，G在y轴正半轴上，OG＝2OE，点D在线段OC上，OD＝OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE＝a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′FH ′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′的横坐标．3．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A （﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M （m，0），交BC于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标．4．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y 轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE ⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．二．四边形综合题（共2小题）6．（2023•朝阳）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA 绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．【问题引入】（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；【探索发现】（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．．7．（2023•沈阳）如图1，在▱ABCD纸片中，AB＝10，AD＝6，∠DAB＝60°，点E为BC 边上的一点（点E不与点C重合），连接AE，将▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，射线C′E与射线AD交于点F．（1）求证：AF＝EF；（2）如图2，当EF⊥AF时，DF的长为 ；（3）如图3，当CE＝2时，过点F作FM⊥AE，垂足为点M，延长FM交C′D′于点N，连接AN，EN，求△ANE的面积．三．几何变换综合题（共5小题）8．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH 上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG 交AH于点F．（1）线段AM与线段AN的关系是 ．（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．（3）求证：FH＝2BM．9．（2023•大连）综合与实践问题情境数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．问题发现奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD 的长．……问题提出与解决奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD 翻折得到△EBD．（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．拓展延伸小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．10．（2023•锦州）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC 上．将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．【尝试探究】（1）如图1，当α＝60°时，易知AF＝BE；如图2，当α＝45°时，则AF与BE的数量关系为 ；（2）如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°且点B，E，F三点共线时．若BC＝4，BD＝BC，请直接写出AF的长．11．（2023•辽宁）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．12．（2023•辽宁）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O为AB的中点，点D在直线AB上（不与点A，B重合），连接CD，线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，过点B作直线l⊥BC，过点E作EF⊥l，垂足为点F，直线EF交直线OC于点G．（1）如图1，当点D与点O重合时，请直接写出线段AD与线段EF的数量关系；（2）如图2，当点D在线段AB上时，求证：CG+BD＝BC；（3）连接DE，△CDE的面积记为S1，△ABC的面积记为S2，当EF：BC＝1：3时，请直接写出的值．四．相似形综合题（共2小题）13．（2023•鞍山）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，点D是射线BC上的动点（不与点B，C重合），连接AD，过点D在AD左侧作DE⊥AD，使AD＝kDE，连接AE，点F，G分别是AE，BD的中点，连接DF，FG，BE．（1）如图1，点D在线段BC上，且点D不是BC的中点，当α＝90°，k＝1时，AB 与BE的位置关系是 ，＝ ．（2）如图2，点D在线段BC上，当α＝60°，k＝时，求证：BC+CD＝2FG．（3）当α＝60°，k＝时，直线CE与直线AB交于点N，若BC＝6，CD＝5，请直接写出线段CN的长．14．（2023•营口）在▱ABCD中，∠ADB＝90°，点E在CD上，点G在AB上，点F在BD的延长线上，连接EF，DG，∠FED＝∠ADG，＝＝k．（1）如图1，当k＝1时，请用等式表示线段AG与线段DF的数量关系 ；（2）如图2，当k＝时，写出线段AD，DE和DF之间的数量关系，并说明理由；（3）在（2）的条件下，当点G是AB的中点时，连接BE，求tan∠EBF的值．辽宁省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（更难题）知识点分类参考答案与试题解析一．二次函数综合题（共5小题）1．（2023•辽宁）抛物线y＝ax2+x+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，4），点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，当△BEF的周长是线段PF长度的2倍时，求点P的坐标；（3）如图2，当点P运动到抛物线顶点时，点Q是y轴上的动点，连接BQ，过点B作直线l⊥BQ，连接QF并延长交直线l于点M，当BQ＝BM时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+x+4；（2）P（，5）；（3）Q（0，+）或（0，﹣）．【解答】解：（1）将点B（3，0），点C（0，4）代入y＝ax2+x+c，∴，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）∵点B（3，0），点C（0，4），∴OB＝3，OC＝4，∴tan∠OBC＝，∴BE＝EF，BF＝EF，∴△BEF的周长＝3EF，∵△BEF的周长是线段PF长度的2倍，∴3EF＝2PF，设直线BC的解析式为y＝kx+4，∴3k+4＝0，解得k＝﹣，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，设P（t，﹣t2+t+4），则F（t，﹣t+4），E（t，0），∴EF＝﹣t+4，PF＝﹣t2+t+4+t﹣4＝﹣t2+4t，∴3（﹣t+4）＝2（﹣t2+4t），解得t＝3（舍）或t＝，∴P（，5）；（3）∵y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，∴P（1，），∵FP⊥x轴，∴F（1，），设Q（0，n），如图：过点M作MN⊥x轴交于点N，∵∠QBM＝90°，∴∠QBO+∠MBN＝90°，∵∠QBO+∠OQB＝90°，∴∠MBN＝∠OQB，∵BQ＝BM，∴△BQO≌△MBN（AAS），∴QO＝BN，MN＝OB，∴M（3+n，3），设直线QM的解析式为y＝k'x+n，∴k'（3+n）+n＝3，解得k'＝，∴直线QM的解析式为y＝x+n，将点F代入，+n＝，解得n＝+或n＝﹣，∴Q（0，+）或（0，﹣）．2．（2023•沈阳）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0）和点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）点E，G在y轴正半轴上，OG＝2OE，点D在线段OC上，OD＝OE．以线段OD，OE为邻边作矩形ODFE，连接GD，设OE＝a．①连接FC，当△GOD与△FDC相似时，求a的值；②当点D与点C重合时，将线段GD绕点G按逆时针方向旋转60°后得到线段GH，连接FH，FG，将△GFH绕点F按顺时针方向旋转α（0°＜α≤180°）后得到△G′FH ′，点G，H的对应点分别为G′、H′，连接DE．当△G′FH′的边与线段DE垂直时，请直接写出点H′的横坐标．【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①或；②当△G′FH′的边与线段DE垂直时，点H′的横坐标为2+3或2+或．【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，2），与x轴的交点为点B（，0），∴，解得：，∴此抛物线的解析式为y＝﹣x+2；（2）①令y＝0，则﹣x+2＝0，解得：x＝或x＝2，∴C（2，0），∴OC＝2．∵OE＝a，OG＝2OE，OD＝OE，∴OG＝2a，OD＝a．∵四边形ODFE为矩形，∴EF＝OD＝a，FD＝OE＝a，∴E（0，a），D（a，0），F（a，a），G（0，2a），∴CD＝OC﹣OD＝2﹣a．Ⅰ．当△GOD∽△FDC时，∴，∴，∴a＝；Ⅱ．当△GOD∽△CDF时，∴，∴，∴a＝．综上，当△GOD与△FDC相似时，a的值为或；②∵点D与点C重合，∴OD＝OC＝2．∴OE＝2，OG＝2OE＝4，EF＝OD＝2，DF＝OE＝2，∴EG＝OE＝2．∴EG＝DF＝2，∵EG∥DF，∴四边形GEDF为平行四边形，∴FG＝DE＝＝＝4，∴∠GFE＝30°，∴∠EGF＝60°，∵∠DGH＝60°，∴∠EGF＝∠DGH，∴∠OGD＝∠FGH．在△GOD和△GFH中，，∴△GOD≌△GFH（SAS），∴FH＝OD＝2，∠GOD＝∠GFH＝90°．∴GH＝＝＝2．Ⅰ．当G′F所在直线与DE垂直时，如图，∵∠GFH＝90°，GF∥DE，∴∠G′FH′＝90°，∴G，F，H′三点在一条直线上，∴GH′＝GF+FH′＝FG+FH＝4+2．过点H′作H′K⊥y轴于点K，则H′K∥FE，∴∠KH′G＝∠EFG＝30°，∴H′K＝H′G•cos30°＝×（4+2）＝2+3，∴此时点H′的横坐标为2+3；Ⅱ．当G′H′所在直线与DE垂直时，如图，∵GF∥DE，∴G′H′⊥GF，设GF的延长线交G′H′于点M，过点M作MP⊥EF，交EF的延长线于点P，过点H′作H′N⊥MP，交PM的延长线于点N，则H′N∥PF∥x轴，∠PFM＝∠EFG＝30°．∵G′H′•FM＝FH′•FG′，∴4×2＝2FM，∴FM＝．∴FP＝FM•cos30°＝＝，∴PE＝PF+EF＝2+．∵H′M＝＝，∴H′N＝H′M•sin30°＝，∴此时点H′的横坐标为PE﹣H′N＝2＝2+；Ⅲ．当FH′所在直线与DE垂直时，如图，∵∠H′FG′＝90°，GF∥DE，∴∠GFH′＝90°，∴H，F，H′三点在一条直线上，则∠H′FD＝30°，过点H′作H′L⊥DF，交FD的延长线于点L，H′L＝H′F•sin30°＝2×＝，∴此时点H′的横坐标为EF﹣H′L＝2＝．综上，当△G′FH′的边与线段DE垂直时，点H′的横坐标为2+3或2+或．3．（2023•朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A （﹣2，0），B（4，0），与y轴交于点C，连接BC．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线l⊥x轴于点M （m，0），交BC于点N，连接CM，PB，PC．△PCB的面积记为S1，△BCM的面积记为S2，当S1＝S2时，求m的值；（3）在（2）的条件下，点Q在抛物线上，直线MQ与直线BC交于点H，当△HMN与△BCM相似时，请直接写出点Q的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）m的值为2；（3）Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．【解答】解：（1）把A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）在y＝﹣x2+x+4中，令x＝0得y＝4，∴C（0，4），由B（4，0），C（0，4）可得直线BC解析式为y＝﹣x+4，∵直线l⊥x轴，M（m，0），∴P（m，﹣m2+m+4），N（m，﹣m+4），∴PN＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+2m，∴S1＝PN•|x B﹣x C|＝×（﹣m2+2m）×4＝﹣m2+4m，∵B（4，0），C（0，4），M（m，0），∴S2＝BM•|y C|＝×（4﹣m）×4＝8﹣2m，∵S1＝S2，∴﹣m2+4m＝8﹣2m，解得m＝2或m＝4（P与B重合，舍去），∴m的值为2；（3）∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴△BOC是等腰直角三角形，∴∠CBO＝45°，∴△BMN是等腰直角三角形，∴∠BNM＝∠MBN＝45°，∵△HMN与△BCM相似，且∠MNH＝∠CBM＝45°，∴H在MN的右侧，且＝或＝，设H（t，﹣t+4），由（2）知M（2，0），N（2，2），B（4，0），C（4，0），∴BC＝4，BM＝2，MN＝2，NH＝＝|t﹣2|，当＝时，如图：∴＝，解得t＝6或t＝﹣2（此时H在MN左侧，舍去），∴H（6，﹣2），由M（2，0），H（6，﹣2）得直线MH解析式为y＝﹣x+1，解得或，∴Q的坐标为（，）或（，）；当＝时，如图：∴＝，解得t＝（舍去）或t＝，∴H（，），由M（2，0），H（，）得直线MH解析式为y＝3x﹣6，解得或，∴Q的坐标为（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）；综上所述，Q的坐标为（，）或（，）或（﹣2+2，﹣12+6）或（﹣2﹣2，﹣12﹣6）．4．（2023•阜新）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx﹣c的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B（1，0），与y轴交于点C．（1）求这个二次函数的表达式．（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线AC：y＝x+3交于点D，若点M是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△MCD面积的最大值．（3）如图2，点P是直线AC上的一个动点，过点P的直线l与BC平行，则在直线l上是否存在点Q，使点B与点P关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）；（3）Q（1﹣，﹣）或（1+，）．【解答】解：（1）由题意得，y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，作MQ⊥AC于Q，作ME⊥AB于F，交AC于E，∵OA＝OC＝3，∠AOC＝90°，∴∠CAO＝∠ACO＝45°，∴∠MEQ＝∠AEF＝90°﹣∠CAO＝45°，抛物线的对称轴是直线：x＝，∴y＝x+3＝﹣1+3＝2，∴D（1，2），∵C（0，3），∴CD＝，故只需△MCD的边CD上的高最大时，△MCD的面积最大，设过点M与AC平行的直线的解析式为：y＝x+m，当直线y＝x+m与抛物线相切时，△MCD的面积最大，由x+m＝﹣x2﹣2x+3得，x2+3x+（m﹣3）＝0，由Δ＝0得，32﹣4（m﹣3）＝0得，m﹣3＝，∴x2+3x+＝0，∴x1＝x2＝﹣，∴y＝﹣（﹣）2﹣2×+3＝，y＝x+3＝﹣+3＝，∴ME＝，∴MQ＝ME•sin∠MEQ＝ME•sin45°＝，∴S△MCD最大＝＝；（3）如图2，当点P在线段AC上时，连接BP，交CQ于R，∵点B和点Q关于CQ对称，∴CP＝CB，设P（t，t+3），由CP2＝CB2得，2t2＝10，∴t1＝﹣，t2＝（舍去），∴P（﹣，3﹣），∵PQ∥BC，∴，∴CR＝QR，∴四边形BCPQ是平行四边形，∵1+（﹣）﹣0＝1﹣，0+（3﹣）﹣3＝﹣，∴Q（1﹣，﹣）；如图3，当点P在AC的延长线上时，由上可知：P（，3+），同理可得：Q（1+，），综上所述：Q（1﹣，﹣）或（1+，）．5．（2023•营口）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B，与y 轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D（3，0），过点B作直线l⊥x轴，过点D作DE ⊥CD，交直线l于点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点P为第三象限内抛物线上的点，连接CE和BP交于点Q，当＝时，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，连接AC，在直线BP上是否存在点F，使得∠DEF＝∠ACD+∠BED？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣；（2）P（﹣3，﹣）；（3）F（，﹣）或（10，4）．【解答】解：（1）由题意得：B（5，0），设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5），过点C（0，﹣1），∴﹣1＝a•（﹣1）×（﹣5），∴a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣1）（x﹣5）＝﹣；（2）如图1，∵直线l⊥x轴，DE⊥CD，∴∠COD＝∠CDE＝∠EBD＝90°，∴∠ODC+∠OCD＝90°，∠ODC+∠BDE＝90°，∴∠OCD＝∠BDE，∴△OCD∽△BDE，∴，∵OC＝1，OD＝3，BD＝OB﹣OD＝5﹣3＝2，∴，∴BE＝6，∴E（5，﹣6），设CE的解析式为：y＝kx+b，∴，∴，∴y＝﹣x+1，作PT⊥x轴，交直线CE于点T，设P（m，﹣），∴T（m，﹣m﹣1），PT∥BE，∴PT＝（﹣m﹣1）﹣（﹣）＝，△PQT∽△BQE，∴，∴，∴m1＝﹣3，m2＝14（舍去），当m＝﹣3时，y＝﹣×（﹣3﹣1）×（﹣3﹣5）＝﹣，∴P（﹣3，﹣）；（3）存在F点满足∠DEF＝∠ACD+∠BED，理由如下：由（2）知：△OCD∽△BDE，∴∠BED＝∠CDO，∴∠ACD+∠BED＝∠ACD+∠CDO＝∠OAC，∵OA＝OC＝1，∠AOC＝90°，∴∠OAC＝45°，∵∠DEF＝∠ACD+∠BED，∴∠DEF＝45°，如图2，当点F在BP上时，方法一：直线EF，交y轴于点G，作GH⊥CE于点H，∵直线CE的解析式为：y＝﹣x﹣1，∴∠ECF＝∠BEC＝45°，∴∠DEF＝∠BEC，∴∠FEQ＝∠BED，∴tan∠FEQ＝tan∠BED＝，∴，∴设GH＝t，EH＝3t，∴CH＝GH＝t，∵C（0，﹣1），E（5，﹣6），∴CE＝5，∴t+3t＝5，∴t＝，∴CG＝GH＝＝，∴OG＝1+＝，∴G（0，﹣），∴直线EG的解析式为：y＝﹣x﹣，∵P（﹣3，﹣），B（5，0），∴直线PB的解析式为：y＝﹣4，由得，，∴F1（），方法二：如图3，作ER⊥y轴于点R，∵∠DEF＝45°，∠BER＝90°，∴∠REF+∠BED＝45°，∵tan∠BED＝，∴tan∠REF＝，又E（5，﹣6），∴直线EF的解析式为：y＝﹣x﹣，后面步骤同上，如图4，当点F在PB的延长线上时，设EF交x轴于点W，∵∠DEF＝45°，tan∠BED＝，∴tan∠BEF＝＝，∴BW＝BE＝3，∴W（8，0），∴直线EF的解析式为：y＝2x﹣16，由2x﹣16＝得：x＝10，当x＝10时，y＝2×10﹣16＝4，∴F2（10，4），综上所述：F（，﹣）或（10，4）．二．四边形综合题（共2小题）6．（2023•朝阳）如图，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，连接EA，将线段EA 绕点E逆时针旋转，使点A落在射线CB上的点F处，连接EC．【问题引入】（1）请你在图1或图2中证明EF＝EC（选择一种情况即可）；【探索发现】（2）在（1）中你选择的图形上继续探索：延长FE交直线CD于点M．将图形补充完整，猜想线段DM和线段BF的数量关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图3，AB＝3，延长AE至点N，使NE＝AE，连接DN．当△ADN的周长最小时，请你直接写出线段DE的长．．【答案】（1）证明见解答；（2）DM＝BF．理由见解答；（3）DE＝．【解答】（1）证明：选择图1，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEC（SAS），∴EA＝EC，由旋转得：EA＝EF，∴EF＝EC．选择图2，∵四边形ABCD是正方形，∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE＝45°，∵BE＝BE，∴△BEA≌△BEC（SAS），∴EA＝EC，由旋转得：EA＝EF，∴EF＝EC．（2）解：猜想DM＝BF．理由如下：选择图1，过点F作FH⊥BC交BD于点H，则∠HFB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠HFB＝∠BCD，∴FH∥CD，∴∠HFE＝∠M，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠FCD＝90°，∴∠EFC+∠M＝90°，∠ECD+∠ECF＝90°，∴∠M＝∠ECM，∴EC＝EM，∴EF＝EM，∵∠HEF＝∠DEM，∴△HEF≌△DEM（ASA），∴DM＝FH，∵∠HBF＝45°，∠BFH＝90°，∴∠BHF＝45°，∴BF＝FH，∴DM＝BF．若选择图2，过点F作FH⊥BC交DB的延长线于点H，则∠HFB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠HFB＝∠BCD，∴FH∥CD，∴∠H＝∠EDM，∵EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠EFC+∠FMC＝90°，∠ECF+∠ECM＝90°，∴∠FMC＝∠ECM，∴EC＝EM，∴EF＝EM，∵∠HEF＝∠DEM，∴△HEF≌△DEM（AAS），∴FH＝DM，∵∠DBC＝45°，∴∠FBH＝45°，∴∠H＝45°，∴BF＝FH，∴DM＝BF．（3）解：如图3，取AD的中点G，连接EG，∵NE＝AE，∴点E是AN的中点，∴EG＝DN，∵△ADN的周长＝AD+DN+AN＝3+2（AE+EG），∴当△ADN的周长最小时，AE+EG最小，此时，C、E、G三点共线，如图4，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝3，AD∥BC，∠BAD＝90°，在Rt△ABD中，BD＝3，∵点G是AD的中点，∴DG ＝AD ＝，＝，∵AD ∥BC ，∴△DEG ∽△BEC ，∴＝＝，∴BE ＝2DE ，∵BE +DE ＝BD ＝3，∴2DE +DE ＝3，即3DE ＝3，∴DE ＝．7．（2023•沈阳）如图1，在▱ABCD 纸片中，AB ＝10，AD ＝6，∠DAB ＝60°，点E 为BC 边上的一点（点E 不与点C 重合），连接AE ，将▱ABCD 纸片沿AE 所在直线折叠，点C ，D 的对应点分别为C ′，D ′，射线C ′E 与射线AD 交于点F ．（1）求证：AF ＝EF ；（2）如图2，当EF ⊥AF 时，DF 的长为 5　；（3）如图3，当CE ＝2时，过点F 作FM ⊥AE ，垂足为点M ，延长FM 交C ′D ′于点N ，连接AN ，EN ，求△ANE 的面积．【答案】（1）证明过程详见解答；（2）5﹣6；（3）13．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠FAE +∠AEC ＝180°，由折叠得：∠AEC ′＝∠AEC ，∴∠FAE +∠AEC ′＝180°，∵∠AEF+∠AEC′＝180°，∴∠FAE＝∠AEF，∴AF＝EF；（2）解：如图1，作AG⊥CB，交CB的延长线于G，在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠ABG＝∠DAB＝60°，∠FEG＝180°﹣∠F＝90°，∴AG＝AB•sin∠ABG＝10×＝5，四边形AGEF是矩形，由（1）知：AF＝EF，∴矩形AGFE是正方形，∴AF＝AG＝5，∴DF＝AF﹣AD＝5﹣6，故答案为：5﹣6；（3）解：如图2，作AQ⊥CB，交CB的延长线于Q，作MT⊥AF于T，交HD的延长线于G，作HR⊥MT 于R，∵CB∥AD，∴∠ABQ＝∠DAB＝60°，∴BQ＝AB•cos60°＝10×＝5，AQ＝10•sin60°＝5，∴EQ＝BE+BQ＝9，∴AE＝，由（1）知：AF＝EF，∵FM⊥AE，∴AM＝EM＝AE＝，又∵▱ABCD纸片沿AE所在直线折叠，点C，D的对应点分别为C′，D′，∴HM＝MN，∵cos∠DAE＝cos∠AEQ，∴，∴，∴AT＝，同理可得：MT＝，∴DT＝AD﹣AT＝6﹣＝，在Rt△DGT中，∠GDT＝∠DAB＝60°，DT＝，∴GT＝，∴MG＝GT+MT＝，∵tan∠FMT＝tan∠DAE＝tan∠AEQ，∴，∴设HR＝5k，RM＝9k，∵tan∠GHR＝tan∠GDT，∴＝，∴GR＝HR＝，由GR+RM＝MG得，15k+9k＝4，∴k＝，∴HR＝5k＝，∵sin∠FMT＝sin∠DAE＝sin∠AEQ，∴，∴，∴HM＝，∴MN＝，∴S△ANE＝＝13．三．几何变换综合题（共5小题）8．（2023•盘锦）如图，四边形ABCD是正方形，点M在BC上，点N在CD的延长线上，BM＝DN，连接AM，AN，点H在BC的延长线上，∠MAH＝2∠BAM，点E在线段BH 上，且HE＝AM，将线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，使得∠HEG＝∠MAH，EG 交AH于点F．（1）线段AM与线段AN的关系是　垂直且相等　．（2）若EF＝5，FG＝4，求AH的长．（3）求证：FH＝2BM．【答案】（1）垂直且相等；（2）；（3）证明过程详见解答．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADN＝∠ADC＝∠B＝90°，AD＝AB，∵BM＝DN，∴△ADN≌△ABM（SAS），∴BM＝CN，∠DAN＝∠BAM，∴∠DAN+∠DAM＝∠BAM+∠DAM＝∠BAD＝90°，∴∠MAN＝90°，∴AM⊥AN，故答案为：垂直且相等；（2）解：∵∠H＝∠H，∠HEG＝∠MAH，∴△HEF∽△HAM，∴，∵线段EH绕点E逆时针旋转得到线段EG，∴EH＝EG＝EF+FG＝9，∴AM＝HE＝9，∴，∴AH＝；（3）证明：如图，延长MB至X，使BX＝BM，作∠AMB＝∠H，交AX于R，∴XM＝2BM，∵AB⊥XM，∴AX＝AM，∴∠XAB＝∠BAM，∠X＝∠AMB，设∠XBA＝∠BAM＝α，∴∠MAH＝∠XAM＝∠HEF＝2α，∠X＝∠AMB＝90°﹣α，∴∠AMR＝∠H＝90°﹣∠BAH＝90°﹣3α，∴∠MRX＝∠XAM+∠AMR＝2α+（90°﹣3α）＝90°﹣α，∴∠X＝∠MRX，∴RM＝XM，∵∠XAM＝∠HEF＝2α，∠AMR＝∠H，EH＝AM，∴△HEF≌△MAR（ASA），∴FH＝RM＝XM＝2BM．9．（2023•大连）综合与实践问题情境数学活动课上，老师发给每名同学一个等腰三角形纸片ABC，AB＝AC，∠BAC＞90°，要求同学们将纸片沿一条直线折叠，探究图形中的结论．问题发现奋进小组在边AC上取一点D，连接BD，将这个纸片沿BD翻折，点A的对应点为E，如图1所示．如图2，小明发现，当点E落在边BC上时，∠DEC＝2∠ACB．如图3，小红发现，当点D是AC的中点时，连接CE，若已知AB和CE的长，则可求BD 的长．……问题提出与解决奋进小组根据小明和小红的发现，讨论后提出问题1，请你解答．问题1：在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，点D是边AC上一点，将△ABD沿BD 翻折得到△EBD．（1）如图2，当点E在边BC上时，求证：∠DEC＝2∠ACB．（2）如图3，当点D是AC的中点时，连接CE，若AB＝4，CE＝3，求BD的长．拓展延伸小刚受到探究过程的启发，将等腰三角形的面角改为锐角，尝试画图，并提出问题2，请你解答．问题2：如图4，点D是△ABC外一点，AB＝AC＝BD＝4，CD＝1，∠ABD＝2∠BDC，求BC的长．【答案】问题1，（1）证明过程详见解答；（2）；问题2，．【解答】问题1，（1）证明：∵将△ABD沿BD翻折得到△EBD，∴∠BED＝∠A，∵∠BED+∠DEC＝180°，∴∠A+∠DEC＝180°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∴∠A+∠ACB+∠ABC＝∠A+2∠ACB＝180°，∴∠DEC＝2∠ACB；（2）解：如图1，作AG⊥BD于G，作DF⊥CE于F，∴∠AGD＝∠DFC＝90°，由折叠得，AD＝DE，∠ADB＝BDE，∵点D是AC的中点，∴CD＝AD，∴DE＝CD，∴∠DEC＝∠DCE，CF＝EF＝CE＝∴DF2＝CD2﹣CF2＝22﹣（）2＝，∵∠ADB+∠BDE+∠EDC＝180°，∴2∠ADB+∠EDC＝180°，∵∠AEC+∠DCE+∠EDC＝180°，∴2∠DCE+∠EDC＝180°，∴∠ADB＝∠DCE，∴△ADG≌△DFC（AAS），∴AG＝DF，DG＝CF＝，在Rt△ABG中，由勾股定理得，BG＝＝，∴BD＝BG+DG＝；问题2，解：如图2，连接AD，作BE⊥AD于E，作BF⊥CD，交DC的延长线于F，∵AB＝BD，∴∠ABD＝2∠DBE，DE＝AE＝AD，∵∠ABD＝2∠BDC，∴∠BDE＝∠BDC，∴CD∥BE，∴CD⊥AD，∴∠BED＝∠EDC＝∠F＝90°，∴四边形DEBF是矩形，∴BF＝DE，DF＝BE，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝4，∴AD＝＝，∴BF＝DE＝，在Rt△BDE中，BD＝4，DE＝，∴DF＝BE＝＝，∴CF＝DF﹣CD＝，在Rt△BCF中，CF＝，BF＝，∴BC＝＝．10．（2023•锦州）【问题情境】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ACB＝α，点D在边BC 上．将线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE（旋转角小于180°），连接BE，CE，以CE为底边在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE＝α，连接AF．【尝试探究】（1）如图1，当α＝60°时，易知AF＝BE；如图2，当α＝45°时，则AF与BE的数量关系为　BE＝AF　；（2）如图3，写出AF与BE的数量关系（用含α的三角函数表示），并说明理由；【拓展应用】（3）如图4，当α＝30°且点B，E，F三点共线时．若BC＝4，BD＝BC，请直接写出AF的长．（2）BE＝2AF•cosα；（3）．【解答】解：（1）当α＝45°时，△ABC和△FEC是等腰直角三角形，∴∠ACB＝∠FCE＝45°，∴∠ACF＝∠BCE，∵，∴△ACF∽△BCE，∴，故答案为：BE＝AF；（2）如图1，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝AC，∴BH＝CH＝，∠ABC＝∠ACB＝α，∴cosα＝＝∴2cosα＝同理可得：2cosα＝，∴，∵∠FCE＝∠ACB，∴∠ACF＝∠BCE，∴△ACF∽△BCE，∴，∴BE＝2AF•cosα；（3）方法一如图2，作DM⊥BF于点M，过点C作CH⊥BF，交BF延长线于点H，∴∠BMD＝∠H＝90°，∴DM∥CH，∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，∴DB＝DE，∴BM＝EM，∵∠FCE＝∠FEC＝30°，∴∠CFH＝∠FCE+∠FEC＝60°，∴EF＝CF＝2FH，设BM＝x，则BE＝2x，∵DM∥CH，∵，∴BH＝5BM＝5x，∴EH＝BH﹣BE＝3x，∵FE＝2FH，∴FE＝FC＝2x，FH＝x．∴在Rt△BHC中，由勾股定理得，∴BH2+CH2＝BC2，∴（5x）2+（）2＝（4）2，∴x＝2，∴BE＝2x＝4，由（2）得：，方法二如图3，作CG∥BF交ED延长线于点G，过点D作DM⊥CG于点M，过点E作EH⊥CG于点H，∴∠DMG＝∠EHG＝90°，∴DM∥EH，∵线段DB绕点D顺时针旋转得到线段DE，∴DB＝DE，∴∠DBE＝∠DEB，∵CG∥BF，∴∠DBE＝∠DCG，∠DEB＝∠G，∴DG＝DC，∵DM⊥CG，∴GM＝CM，∵△FEC是以CE为底边的等腰三角形，∠FCE＝30°，∴∠FEC＝∠FCE＝30°，∵CG∥BF，∴∠ECG＝∠FEC＝30°，△BDE∽△CDG，∴，设BE＝2x，则GC＝8x，∴GM＝CM＝4x，∵DM∥EH，∴，∴HM＝x，∴HC＝3x，∴GH＝GM+HM＝5x，在Rt△EHC中，∠ECH＝30°，∴，在Rt△EHG中，由勾股定理得，∴GH2+EH2＝GE2，∴（5x）2+（）2＝（4）2，∴x＝2，∴BE＝4，∵△BEC∽△AFC，∴．11．（2023•辽宁）△ABC是等边三角形，点E是射线BC上的一点（不与点B，C重合），连接AE，在AE的左侧作等边三角形AED，将线段EC绕点E逆时针旋转120°，得到线段EF，连接BF，交DE于点M．（1）如图1，当点E为BC中点时，请直接写出线段DM与EM的数量关系；（2）如图2，当点E在线段BC的延长线上时，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）当BC＝6，CE＝2时，请直接写出AM的长．【答案】（1）DM＝EM；（2）DM＝EM仍然成立；（3）AM＝或．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，点E是BC的中点，∴∠BAC＝60°，∠BAE＝，∴∠BAE＝30°，∵△ADE是等边三角形，∴∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠DAE﹣∠BAE＝60°﹣30°＝30，∴∠DAE＝∠BAE，∴DM＝EM；（2）如图1，DM＝EM仍然成立，理由如下：连接BD，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠DAE＝∠ACB＝60°，AB＝AC，AD＝AE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝180°﹣∠ACB＝120°，BD＝CE，∴∠DBE＝∠ABD﹣∠ABC＝120°﹣60°＝60°，∴∠DBE+∠BEF＝60°+120°＝180°，∴BD∥EF，∵CE＝EF，∴BD＝EF，∴四边形BDFE是平行四边形，∴DM＝EM；（3）如图2，当点E在BC的延长线上时，作AG⊥BC于G，∵∠ACB＝60°，∴CG＝AC•cos60°＝AC＝3，AG＝AC•sin60°＝AC＝3，∴EG＝CG+CE＝3+2＝5，∴AE＝＝2，由（2）知：DM＝EM，∴AM⊥DE，∴∠AME＝90°，∵∠AED＝60°，∴AM ＝AE •sin60°＝2×＝，如图3，当点E 在BC 上时，作AG ⊥BC 于G ，由上知：AG ＝3，CG ＝3，∴EG ＝CG ﹣CE ＝3﹣2＝1，∴AE ＝，∴AM ＝2×＝，综上所述：AM ＝或．12．（2023•辽宁）在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝CB ，点O 为AB 的中点，点D 在直线AB 上（不与点A ，B 重合），连接CD ，线段CD 绕点C 逆时针旋转90°，得到线段CE ，过点B 作直线l ⊥BC ，过点E 作EF ⊥l ，垂足为点F ，直线EF 交直线OC 于点G ．（1）如图1，当点D 与点O 重合时，请直接写出线段AD 与线段EF 的数量关系；（2）如图2，当点D 在线段AB 上时，求证：CG +BD ＝BC ；（3）连接DE ，△CDE 的面积记为S 1，△ABC 的面积记为S 2，当EF ：BC ＝1：3时，请直接写出的值．【答案】（1）AD＝EF，理由见解答过程；（2）证明见解答过程；（3）的值为或．【解答】（1）解：AD＝EF，理由如下：连接BE，如图：∵∠ACB＝90°，CA＝CB，∴∠A＝45°，∵线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD，∠A＝∠CBE＝45°，∵直线l⊥BC，∴∠EBF＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴BE＝EF，∴AD＝EF；（2）证明：如图，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，∴∠COB＝90°，AB＝BC，∵∠BFG＝90°，∴∠G＝360°﹣∠COB﹣∠OBF﹣∠BFG＝45°＝∠A，∵BC⊥直线l，EF⊥直线l，∴BC∥GF，∴∠CEG＝∠BCE，∵∠BCE＝90°﹣∠BCD＝∠ACD，∴∠CEG＝∠ACD，∵CE＝CD，∴△CEG≌△DCA（AAS），∴CG＝AD，∵AD+BD＝AB，∴CG+BD＝BC；（3）解：由EF：BC＝1：3，设EF＝m，则BC＝AC＝3m，当D在线段AB上时，延长AC交GF于K，如图：由（2）知△CEG≌△DCA，∴GE＝AC＝3m，∵∠CBF＝∠BFE＝∠BCK＝90°，∴四边形BCKF是矩形，∴KF＝BC＝3m，∠CKG＝90°，∴KE＝KF﹣EF＝2m，∴GK＝GE﹣KE＝m，∵∠G＝45°，∴CK＝GK＝m，∴CE2＝CK2+KE2＝m2+（2m）2＝5m2，∴S1＝CD•CE＝CE2＝，∵AC＝BC＝3m，∴S2＝AC•BC＝，∴＝；当D在射线BA上时，延长EG交AC于T，如图：同理可得BC＝AC＝EG＝3m，∴FG＝EG﹣EF＝2m，∵TF＝BC＝3m，∴TG＝TF﹣FG＝m，∵∠ACB＝90°，CA＝CB，O为AB的中点，∴∠AOC＝45°，∵BC∥EF，∴∠ETC＝90°，∴CT＝TG＝m，∴CE2＝CT2+TE2＝m2+（m+3m）2＝17m2，。

2023辽宁沈阳中考数学题考点数学逻辑专注在将数学置于一坚固的公理架构上，并研究此一架构的成果。

就其本身而言，其为哥德尔第二不完备定理的产地，而这或许是逻辑中最广为流传的成果。

今天小编在这给大家整理了一些辽宁沈阳中考数学题考点，我们一起来看看吧!辽宁沈阳中考数学题考点一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。

单独的一个数或字母也是代数式。

整式和分式统称为有理式。

2.整式和分式含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。

没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。

有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。

3.单项式与多项式没有加减运算的整式叫做单项式。

(数字与字母的积—包括单独的一个数或字母)几个单项式的和，叫做多项式。

说明：①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。

②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。

划分代数式类别时，是从外形来看。

如，=x, =│x│等。

4.系数与指数区别与联系：①从位置上看;②从表示的意义上看5.同类项及其合并条件：①字母相同;②相同字母的指数相同合并依据：乘法分配律6.根式表示方根的代数式叫做根式。

含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。

注意：①从外形上判断;②区别：、是根式，但不是无理式(是无理数)。

7.算术平方根⑴正数a的正的平方根( [a≥0—与“平方根”的区别]);⑵算术平方根与绝对值① 联系：都是非负数，=│a│②区别：│a│中，a为一切实数; 中，a为非负数。

8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。

满足条件：①被开方数的因数是整数，因式是整式;②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。

把分母中的根号划去叫做分母有理化。

9.指数⑴ ( —幂，乘方运算)① a>0时，>0;②a<0时， >0(n是偶数)， <0(n是奇数)⑵零指数：=1(a≠0)负整指数：=1/ (a≠0,p是正整数)二、运算定律、性质、法则1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则2.分式的性质⑴基本性质：= (m≠0)⑵符号法则：⑶繁分式：①定义;②化简方法(两种)3.整式运算法则(去括号、添括号法则)4.幂的运算性质：① · = ;② ÷ = ;③ = ;④ = ;⑤技巧：5.乘法法则：⑴单×单;⑵单×多;⑶多×多。

考点12.二次函数（精讲）【命题趋势】二次函数作为初中三大函数考点最多，出题最多，难度最大的函数，一直都是各地中考数学中最重要的考点，年年都会考查，总分值为15-20分。

而对于二次函数图象和性质的考查，也主要集中在二次函数的图象、图象与系数的关系、与方程及不等式的关系、图象上点的坐标特征等几大方面。

题型变化较多，考生复习时需要熟练掌握相关知识，熟悉相关题型，认真对待该考点的复习。

【知识清单】1：二次函数的相关概念（☆☆）1）二次函数的概念：一般地，形如y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．2）二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．2：二次函数的图象与性质（☆☆☆）解析式二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）对称轴x =–2b a顶点（–2b a ，244ac b a-）a 的符号a >0a <0图象开口方向开口向上开口向下最值当x =–2b a 时，y 最小值=244ac b a-。

当x =–2b a 时，y 最大值=244ac b a-。

最点抛物线有最低点抛物线有最高点增减性当x <–2ba时，y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时，y 随x 的增大而增大当x <–2ba时，y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时，y 随x 的增大而减小（1）二次函数图象的翻折与旋转抛物线y=a (x -h )²+k ，绕顶点旋转180°变为：y =-a (x -h )²+k ；绕原点旋转180°变为：y =-a (x+h )²-k ；沿x 轴翻折变为：y =-a (x-h )²-k ；沿y 轴翻折变为：y =a (x+h )²+k ；（2）二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．3：二次函数与各项系数之间的关系（☆☆☆）1）抛物线开口的方向可确定a 的符号：抛物线开口向上，a ＞0；抛物线开口向下，a ＜02）对称轴可确定b 的符号（需结合a 的符号）：对称轴在x 轴负半轴，则2b x a =-＜0，即ab ＞0；对称轴在x 轴正半轴，则2bx a=-＞0，即ab ＜03）与y 轴交点可确定c 的符号：与y 轴交点坐标为（0，c ），交于y 轴负半轴，则c ＜0；交于y 轴正半轴，则c ＞04）特殊函数值符号（以x =1的函数值为例）：若当x =1时，若对应的函数值y 在x 轴的上方，则a+b+c ＞0；若对应的函数值y 在x 轴上方，则a+b+c =0；若对应的函数值y 在x 轴的下方，则a+b+c ＜0；5）其他辅助判定条件：1）顶点坐标24,24b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；2）若与x 轴交点()1,0A x ，()2,0B x ，则可确定对称轴为：x =122x x +；3）韦达定理：1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩具体要考虑哪些量，需要视图形告知的条件而定。

千里之行，始于足下。

202X沈阳数学中考考点总结202X年的沈阳数学中考考点总结如下：1. 整数与有理数：- 整数的概念和性质，包括整数的比较、绝对值和相反数等；- 有理数的概念和性质，包括有理数的比较、绝对值和相反数等；- 整数和有理数的加减乘除运算，包括整数和有理数的加法、减法、乘法和除法的计算等。

2. 分数与小数：- 分数的概念和性质，包括分数的比较、约分和分数的四则运算等；- 小数的概念和性质，包括小数的比较和小数的四则运算等；- 分数和小数之间的相互转换，包括分数转小数和小数转分数等。

3. 代数式与方程式：- 代数式的概念和性质，包括代数式的计算和化简等；- 一元一次方程的概念和性质，包括一元一次方程的解法和应用等；- 两个一次方程的应用，包括两个一次方程的解法和应用等。

4. 几何图形与平面图形的性质：- 几何图形的概念和性质，包括点、直线、线段、射线、角和多边形等；- 平面图形的概念和性质，包括三角形、四边形和圆等；- 平面图形的边长、周长、面积和体积的计算，包括三角形和四边形的面积和周长的计算等。

5. 函数与图像：- 函数的概念和性质，包括定义域、值域、单调性和奇偶性等；第1页/共2页锲而不舍，金石可镂。

- 常用函数的图像和性质，包括线性函数、二次函数和反比例函数等；- 函数图像的绘制和函数值的计算，包括给定函数的图像完成函数表格等。

6. 统计与概率：- 数据的收集和整理，包括频数表、频率表和统计图等；- 数据的分析和应用，包括中心位置的度量和离散程度的度量等；- 概率的概念和性质，包括事件的概率和概率的计算等。

以上为202X年沈阳数学中考的考点总结，希望能对你的学习有所帮助！。

2023沈阳数学中考考点解析现今的符号使得数学对于人们而言更便于操作，少量的符号包含著大量的讯息，现今的数学符号有明确的语法和难以以其他方法书写的讯息编码。

今天小编在这给大家整理了一些沈阳数学中考考点解析，我们一起来看看吧!沈阳数学中考考点解析三角形的三边关系：在三角形中，任意两边和大于第三边，任意两边差小于第三边。

设三角形三边为a,b,c则a+b>ca+c>bb+c>aa-ba-cb-c在直角三角形中，设a、b为直角边，c为斜边。

则两直角边的平方和等于斜边平方。

在等边三角形中，a=b=c在等腰三角形中，a,b为两腰，则a=b在三角形ABC的内角A、B、C所对边分别为a、b、c的情况下，c2=a2+b2-2abcosc中心对称与中心对称图形：1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。

3.中心对称的性质：(1)关于中心对称的两个图形是全等形;(2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分;(3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。

几何变换法在数学问题的研究中，，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。

所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。

中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。

有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。

另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。

将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

2023辽宁中考数学考点整理辽宁中考数学考点整理1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1直角三角形的两个锐角互余19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25.边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)31.推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33.推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)35.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上中考数学考点整理乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab+b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1_X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac 0注：方程有两个不等的实根b2-4ac0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2p_2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c_h斜棱柱侧面积S=c‘_h正棱锥侧面积S=1/2c_h’正棱台侧面积S=1/2(c+c‘)h’圆台侧面积S=1/2(c+c‘)l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi_r2圆柱侧面积S=c_h=2pi_h圆锥侧面积S=1/2_c_l=pi_r_l弧长公式l=a_ra是圆心角的弧度数r 0扇形面积公式s=1/2_l_r锥体体积公式V=1/3_S_H圆锥体体积公式V=1/3_pi_r2h斜棱柱体积V=S’L注：其中，S‘是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s_h圆柱体V=pi_r2h中考数学考点考点1：相似三角形的概念、相似比的意义、画图形的放大和缩小考核要求：(1)理解相似形的概念;(2)掌握相似图形的特点以及相似比的意义，能将已知图形按照要求放大和缩小。

2023年初中数学中考考点一、代数1. 一元一次方程与一元一次不等式 1.1 解一元一次方程1.2 解一元一次不等式2. 整式2.1 整式的加减2.2 整式的乘除3. 因式分解3.1 提公因式法3.2 积因式分解4. 分式4.1 分式的加减4.2 分式的乘除二、几何1. 相似三角形1.1 判定相似三角形 1.2 相似三角形的性质2. 平行线与三角形2.1 平行线的性质2.2 三角形内角和3. 圆3.1 圆的性质3.2 圆内接四边形4. 三角形4.1 三角形的外角性质 4.2 三角形的面积计算三、函数与图像1. 一次函数1.1 一次函数的性质 1.2 一次函数图像2. 二次函数2.1 二次函数的性质2.2 二次函数图像3. 绝对值函数3.1 绝对值函数的性质 3.2 绝对值函数图像四、统计与概率1. 统计1.1 统计量的计算1.2 统计图的绘制2. 概率2.1 基本概率事件2.2 条件概率的计算五、解析几何1. 直线与圆1.1 直线与圆的位置关系 1.2 直线与圆的性质2. 空间图形2.1 空间图形的投影2.2 空间图形的体积计算六、实际问题1. 实际问题的解决方法1.1 将实际问题转化为数学问题1.2 利用数学方法解决实际问题2. 实际问题的综合运用2.1 结合多种数学知识解决实际问题 2.2 实际问题综合运用的技巧七、综合练习1. 综合练习题1.1 完形填空题1.2 阅读理解题2. 综合练习题解析2.1 完形填空题解析2.2 阅读理解题解析以上便是2023年初中数学中考的考点归纳双向细目表，同学们在备考中可根据此表进行有针对性的复习和练习，以取得更好的考试成绩。

2023年初中数学中考考点归纳双向细目表随着2023年初中数学中考的逐渐临近，同学们将面临着对数学知识的系统复习和全面梳理。

为了帮助同学们更好地备战数学中考，以下将就上文所述的考点进行更加详细的探讨和扩充。

一、代数代数是数学中的重要分支，它涵盖了一元一次方程与一元一次不等式、整式、因式分解和分式等内容。

辽宁省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．二．一次函数的应用（共1小题）2．（2023•大连）某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80m时，男子组恰好跑了50m．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s．男、女两组队员跑步的路程y （单位：m）与匀速跑的时间x（单位：s）的图象如图所示．（1）此次跑步训练的全程是 m．（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k ≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．（1）求反比例函数的解析式．（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．四．二次函数的应用（共2小题）4．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y（件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x/元…121314……363432…每天销售数量y/件（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？5．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．五．三角形的外接圆与外心（共1小题）6．（2023•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG＝CB，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交GB的延长线于点E．（1）求证：DE与⊙O相切．（2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长．六．作图—复杂作图（共1小题）7．（2023•朝阳）如图1，在▱ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于▱ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．小明的作法①如图2，连接AC，BD相交于点O．②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半吗？请说明理由．七．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB⊥BE，CE⊥BE，垂足分别为B，E，CD∥EB，测得∠ACD＝70°，CE＝1.25m，AC＝10.4m．求云梯顶端A到地面的距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）9．（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•朝阳）如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上．已知大桥CD长300米，求桥头C到公路l的距离．（结果保留根号）一十．折线统计图（共1小题）11．（2023•大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；Ⅱ．乙运动员的射击成绩是：成绩/环678910次数12223Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为：Ⅳ．分析上述数据，得到下表：平均数众数中位数方差甲8.4a8.50.84乙b10c 1.84丙8.2d8 1.56根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝ ，b＝ ，c＝ ，d＝ ．（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？一十一．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023•朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次一共抽样调查了 名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．辽宁省各地市2023-中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类①参考答案与试题解析一．一元二次方程的应用（共1小题）1．（2023•大连）为了让学生养成热爱图书的习惯，某学校抽出一部分资金用于购买书籍．已知2020年该学校用于购买图书的费用为5000元，2022年用于购买图书的费用是7200元，求2020﹣2022年买书资金的平均增长率．【答案】2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．【解答】解：设2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为x，则：5000（1+x）2＝7200，解得：x＝0.2，或x＝﹣2.2（舍去），答：2020年到2022年该校购书费用的年平均增长率为20%．二．一次函数的应用（共1小题）2．（2023•大连）某学校体育队开展跑步训练，体育老师将队员分成男、女两组．两组队员从同一地点同向先后出发，女子组跑了80m时，男子组恰好跑了50m．此后两组队员开始匀速跑，直到终点．已知男子组匀速跑的速度为4.5m/s．男、女两组队员跑步的路程y （单位：m）与匀速跑的时间x（单位：s）的图象如图所示．（1）此次跑步训练的全程是　500　m．（2）求男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程．【答案】（1）500；（2）男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．【解答】解：（1）100×4.5+50＝500（米），故答案为：500；（2）女子组的速度为：（500﹣80）÷120＝3.5m/s，则男子组队员跑步的路程：y＝4.5x+50，女子组队员跑步的路程：y＝3.5x+80，解，解得：，∴500﹣185＝315（米），所以男子组追上女子组时，两组队员离终点的路程为315米．三．反比例函数综合题（共1小题）3．（2023•盘锦）如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，3），反比例函数y＝（k ≠0）在第一象限的图象经过点C，BC＝AC，∠ACB＝90°，过点C作直线CE∥x轴，交y轴于点E．（1）求反比例函数的解析式．（2）若点D是x轴上一点（不与点A重合），∠DAC的平分线交直线EC于点F，请直接写出点F的坐标．【答案】（1）y＝；（2）F（2+，2）或（2﹣，2）．【解答】解：（1）过C点作MN⊥x轴于M点，过B作BN⊥CM于N点，如图所示：∴∠AMC＝∠BNC＝90°，设C（m，），∵B（0，3），A（1，0）则CM＝，M（m，0），N（m，3），∵AN＝m﹣1，CN＝3﹣，BN＝m，∵∠ACB＝90°，∴∠BCN+∠ACM＝90°，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∴∠BCN＝∠MAC，又∵AC＝BC，∠BCN＝∠MAC，∠AMC＝∠BNC＝90°∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CN＝AM，BN＝CM，∴3﹣＝m﹣1，m＝，∴k＝m2，∴3﹣m＝m﹣1，m＝2，∴k＝4，∴反比例函数的解析式：y＝；（2）由（1）可得C（2，2），∵A（1，0），∴AC＝＝，分两种情况：当D在A点右侧时：如（1）中图所示，∵CE∥x轴，∠DAC的平分线交直线EC于点F，∴F点纵坐标为2，∠CAF＝∠DAF＝∠CFA，∴CF＝AC＝，∴F点横坐标为2+，∴F（2+，2），当D在A点左侧时，如图：∵CE ∥x 轴，∠DAC 的平分线交直线EC 于点F ，∴F 点纵坐标为2，∠CAF ＝∠DAF ＝∠CFA ，∴CF ＝AC ＝，∵C （2，2），∴F 点横坐标为2﹣，∴F （2﹣，2），综上所述：F （2+，2）或（2﹣，2）．四．二次函数的应用（共2小题）4．（2023•朝阳）某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量y （件）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：销售单价x /元…121314…每天销售数量y /件…363432…（1）直接写出y 与x 之间的函数关系式；（2）若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？（3）设销售这种文具每天获利w （元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？【答案】（1）y ＝﹣2x +60；（2）18元；（3）当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．【解答】解：（1）设y 与x 之间的函数关系式为y ＝kx +b （k ≠0），由所给函数图象可知：，解得：，故y与x的函数关系式为y＝﹣2x+60；（2）根据题意得：（x﹣10）（﹣2x+60）＝192，解得：x1＝18，x2＝22又∵10≤x≤19，∴x＝18，答：销售单价应为18元．（3）w＝（x﹣10）（﹣2x+60）＝﹣2x2+80x﹣600＝﹣2（x﹣20）2+200∵a＝﹣2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴为直线x＝20，∴当10≤x≤19时，w随x的增大而增大，∴当x＝19 时，w有最大值，W最大＝198．答：当销售单价为19元时，每天获利最大，最大利润是198元．5．（2023•盘锦）某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：每件售价x/万元…2426283032…月销售量y/件…5248444036…（1）求y与x的函数关系式（不写自变量的取值范围）．（2）该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．①求：三月份每件产品的成本是多少万元？②四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．【答案】（1）y＝﹣2x+100；（2）①三月份每件产品的成本是20万元；②四月份最少利润是500万元．【解答】解：（1）在表格取点（30，40）、（32，36），设一次函数的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，则一次函数的表达式为：y＝﹣2x+100；（2）①设三月的成本为m万元，当x＝35时，y＝﹣2x+100＝30，由题意得：450＝30（35﹣m），解得：m＝20，即三月份每件产品的成本是20万元；②四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为20﹣14＝6，由题意得：w＝y（x﹣6）﹣450＝（﹣2x+100）（x﹣6）﹣450＝﹣2x2+112x﹣1050（25≤x≤30），则抛物线的对称轴为x＝28，则x＝25时，w取得最小值，此时，w＝500，即四月份最少利润是500万元．五．三角形的外接圆与外心（共1小题）6．（2023•盘锦）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，延长AC到点G，使得CG＝CB，连接GB．过点C作CD∥GB，交AB于点F，交⊙O于点D，过点D作DE∥AB，交GB的延长线于点E．（1）求证：DE与⊙O相切．（2）若AC＝4，BC＝2，求BE的长．【答案】（1）答案见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：连接OD，如图：∵AB为⊙O的直径，∴∠ABC＝∠BCG＝90°，∵CG＝CB，∴△BCG为等腰直角三角形，∴∠G＝∠CBG＝45°，∵CD∥GB，∴∠ACD＝∠C＝45°，∠BCD＝∠CBG＝45°，∴∠AOD＝2∠ACD＝90°，∵DE∥AB，∴∠ODE＝∠AOD＝90°，即：OD⊥DE，又点D在⊙O上，∴OD为⊙O的半径，∴DE为⊙O的切线，即：DE与⊙O相切．（2）解：由（1）可知：∠ABC＝90°，∠ACD＝∠BCD＝45°，∠AOD＝90°，在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝2，由勾股定理得：，∴，∵CD∥GB，AC＝4，BC＝CG＝2，∴BF：AF＝AC：CG＝4：2＝2：1，设BF＝k，AF＝2k，∴，∴，∴，∴，在Rt△ODF中，，，由勾股定理得：，∵CD∥GB，DE∥AB，∴四边形DEBF为平行四边形，∴．六．作图—复杂作图（共1小题）7．（2023•朝阳）如图1，在▱ABCD中，求作菱形EFGH，使其面积等于▱ABCD的面积的一半，且点E，F，G，H分别在边AD，AB，BC，CD上．小明的作法①如图2，连接AC，BD相交于点O．②过点O作直线l∥AD，分别交AB，CD于点F，H．③过点O作l的垂线，分别交AD，BC于点E，G．④连接EF，FG，GH，HE，则四边形EFGH为所求作的菱形．（1）小明所作的四边形EFGH是菱形吗？为什么？（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半吗？请说明理由．【答案】（1）是；（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半．【解答】解：（1）小明所作的四边形EFGH是菱形．理由如下：∵四边形ABCD为平行四边形，∴OA＝OC，AB∥CD，∴∠OAF＝∠OCH，在△AOF和△COH中，，∴△AOF≌△COH（ASA），∴OF＝OH，同理可得OE＝OG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵EG⊥FH，∴四边形EFGH是菱形；（2）四边形EFGH的面积等于▱ABCD的面积的一半．理由如下：∵FH∥AD，AB∥CD，∴四边形AFHD为平行四边形，∴FH＝AD，∵菱形EFGH的面积＝FH•EG，平行四边形ABCD的面积＝AD•EG，∴菱形EFGH的面积＝平行四边形ABCD的面积的一半．七．解直角三角形的应用（共1小题）8．（2023•大连）图1是小明家在利用车载云梯搬运装修垃圾，将其抽象成如图2所示的示意图．已知AB⊥BE，CE⊥BE，垂足分别为B，E，CD∥EB，测得∠ACD＝70°，CE＝1.25m，AC＝10.4m．求云梯顶端A到地面的距离AB的长．（结果取整数．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）【答案】11米．【解答】解：延长CD交AB于H，∵AB⊥BE，CE⊥BE，CD∥EB，∴四边形CHBE是矩形，∴BH＝CE＝1.25m，∵∠ACD＝70°，∴AB＝BH+AH＝BH+AC•sin∠ACD≈1.25+10.4×0.94≈11（m），即云梯顶端A到地面的距离AB的长大约11米．八．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共1小题）9．（2023•盘锦）如图，一人在道路上骑行，BD段是坡路，其余为平路，当他路过A，B两点时，一架无人机从空中的C点处测得A，B两点的俯角分别为30°和45°，AB＝40m，BD＝20m，∠BDF＝159°，点A，B，C，D，E，F在同一平面内，CE是无人机到平路DF的距离，求CE的长．（结果精确到整数，参考数据：≈1.73，sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38）【答案】CE的长约为62m．【解答】解：如图：延长AB交CE于点H，过点B作BG⊥DF，垂足为G，由题意得：BG＝HE，CM∥AH，∴∠CAH＝∠MCA＝30°，∠CBH＝∠MCB＝45°，设BH＝xm，∵AB＝40m，∴AH＝AB+BH＝（x+40）m，在Rt△ACH中，CH＝AH•tan30°＝（x+40）m，在Rt△CBH中，CH＝BH•tan45°＝x（m），∴x＝（x+40），解得：x＝20+20，∴CH＝（20+20）m，∵∠BDF＝159°，∴∠BDG＝180°﹣∠BDF＝21°，在Rt△BDG中，BD＝20m，∴BG＝BD•sin21°≈20×0.36＝7.2（m），∴BG＝EH＝7.2m，∴CE＝CH+HE＝20+20+7.2≈62（m），∴CE的长约为62m．九．解直角三角形的应用-方向角问题（共1小题）10．（2023•朝阳）如图，CD是一座东西走向的大桥，一辆汽车在笔直的公路l上由南向北行驶，在A处测得桥头C在北偏东30°方向上，继续行驶500米后到达B处，测得桥头D在北偏东45°方向上．已知大桥CD长300米，求桥头C到公路l的距离．（结果保留根号）【答案】桥头C到公路l的距离为400（1）米．【解答】解：如图．延长DC交直线l于H，设CH＝x米，根据题意得，∠DHA＝90°，在Rt△AHC中，∠A＝30°，tan30°＝，∴AH＝x米，∵AB＝500米，∴HB＝（x﹣500）米，在Rt△BHD中，∠HBD＝45°，∴HB＝HD，∵HD＝（x+300）米，∴x﹣500＝x+300，解得x＝400（1）米，答：桥头C到公路l的距离为400（1）米．一十．折线统计图（共1小题）11．（2023•大连）某射击队进行射击训练，甲、乙、丙三名射击运动员分别射击10次，射击队记录他们的成绩（单位：环），并对数据进行收集、整理、描述和分析，部分信息如下：Ⅰ．甲运动员的射击成绩是：7 9 8 7 8 9 9 9 8 10；Ⅱ．乙运动员的射击成绩是：成绩/环678910次数12223Ⅲ．丙运动员射击成绩的折线统计图为：Ⅳ．分析上述数据，得到下表：平均数众数中位数方差甲8.4a8.50.84乙b10c 1.84丙8.2d8 1.56根据以上信息，回答下列问题：（1）表格中的a＝　9　，b＝　8.4　，c＝　8.5　，d＝　8和9　．（2）射击队准备从甲、乙、丙三名运动员中选取一名参加比赛，你认为应该选择哪名运动员参赛？为什么？【答案】（1）9，8.4，8.5，8和9；（2）应该选择甲参赛，理由见解答．【解答】解：（1）甲10次射击中，9环出现的次数最多，故众数a＝9，乙的平均数b＝×（6×1+7×2+8×2+9×2+10×3）＝8.4，把乙10次射击的成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是8和9，故中位数c＝＝8.5，丙10次射击中，8环和9环出现的次数最多，故众数d＝8和9，故答案为：9，8.4，8.5，8和9；（2）应该选择甲参赛，理由如下：因为甲和乙的平均数相同，且比丙的高，所以在甲和乙中选其中一个参赛；又因为甲的方差比乙小，所以甲比乙稳定，故该选择甲参赛．一十一．列表法与树状图法（共1小题）12．（2023•朝阳）某校在八年级开展了以“争创文明城市，建设文明校园”为主题的系列艺术展示活动，活动项目有“绘画展示”“书法展示”“文艺表演”“即兴演讲”四组（依次记为A，B，C，D）．学校要求八年级全体学生必须参加且只能参加其中的一个项目，为了解八年级学生对这几项活动的喜爱程度，随机抽取了部分八年级学生进行调查，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题：（1）本次一共抽样调查了　50　名学生；（2）将条形统计图补充完整；（3）若该校八年级共有600名学生，请估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数；（4）学校从这四个项目中随机抽取两项参加“全市中学生才艺展示活动”．用列表法或画树状图法求出恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率．【答案】（1）50；（2）．【解答】解：（1）12÷24%＝50（人），所以本次一共抽样调查了50名学生；故答案为：50；（2）B组人数为50﹣18﹣5﹣12＝15（人），条形统计图补充为：（3）600×＝60（人），所以估计该校八年级学生选择“文艺表演”的人数60人；（4）画树状图为：共有12种等可能的结果，其中抽到“绘画展示”和“书法展示”的结果数为2，所以恰好抽到“绘画展示”和“书法展示”的概率＝＝．。

2023年沈阳中考数学知识点分数分配
2023年沈阳中考数学知识点分数分配的具体情况可能会因年份
和考试要求而有所不同。

一般来说，中考数学试卷中的知识点会涵盖多个领域，包括数与代数、空间与图形、概率与统计等。

在数与代数领域，分数分配可能会包括有理数、实数、整式、因式分解、分式、二次根式等知识点。

具体分数分配可能会根据考试难度和要求而有所不同。

在空间与图形领域，分数分配可能会包括平面几何、立体几何等知识点。

具体分数分配也会根据考试难度和要求而有所不同。

在概率与统计领域，分数分配可能会包括概率初步知识和统计初步知识等知识点。

具体分数分配也会根据考试难度和要求而有所不同。

需要注意的是，具体的分数分配可能会根据当年的考试大纲和命题要求而有所调整。

因此，建议考生在备考时，不仅要关注各个知识点的掌握情况，还要了解考试要求和命题趋势，以便更好地应对中考数学考试。

2023年沈阳中考数学的重点知识点可能包括以下几个方面：
1. 代数部分：有理数、实数、整式、分式、二次根式等都是重
要的知识点，需要掌握它们的性质、运算方法和应用。

2. 几何部分：图形的性质、图形的变化、图形与坐标等都是重
要的知识点，需要掌握它们的性质、判定方法和应用。

3. 统计与概率部分：统计初步知识和概率初步知识也是重要的
知识点，需要掌握它们的概念、计算方法和应用。

需要注意的是，具体的重点知识点需要根据考试大纲和考试要求来确定，因此建议您可以参考沈阳市教育局发布的考试大纲和历年中考数学试卷，了解中考数学的重点知识点和考查要求，以便更好地备考。