微分方程差分方程

有限差分解微分方程
解：
首先，我们需要将微分方程转化为差分方程。

对于一阶常系数线性微分方程$y' + p(x)y = q(x)$，其对应的差分方程为$y_{n+1} - y_n + p(x_n)y_n = q(x_n)$。

对于题目中的微分方程$y' - 2xy = 1$，我们可以将其转化为差分方程。

首先，我们计算微分方程的导数，得到$y' = 2xy - 1$，然后将其代入差分方程的右边，得到$y_{n+1} - y_n = 2x_ny_n - 1$。

然后，我们需要求解这个差分方程。

我们可以将差分方程转化为递推关系式，即$y_{n+1} = y_n + 2x_ny_n - 1$。

然后我们可以使用迭代法求解这个递推关系式，得到$y_{n+1} = (2x_n - 1)y_n + 1$。

最后，我们需要将解从离散点扩展到整个实数域。

我们可以将解表示为$y(x) = \lim_{n \to \infty} y_n$，然后利用递推关系式求解这个极限，得到$y(x) = \frac{1}{2x - 1}$。

所以，原微分方程的解为$y(x) = \frac{1}{2x - 1}$。

常微分方程和差分方程第十章常微分方程和差分方程在实际问题中，我们研究的对象――变量往往是以函数关系的形式建立了变量间的客观联系，但却很难直接得到所研究的变量之间的函数关系，反而更容易建立这些变量、它们的导数或微分之间的关系，即得到一个关于未知函数的导数或微分的方程，我们称此方程为微分方程.通过求解这样的微分方程，我们同样可以建立所研究的变量之间的函数关系，这样的过程称为解微分方程.现实世界中的许许多多问题都可以在一定的条件下抽象为微分方程，例如人口的增长问题、经济的增长问题等等都可归结为微分方程的问题；这时的微分方程习惯上称为所研究问题的数学模型，如人口模型、经济增长模型等.因此微分方程是数学联系实际并应用于实际的重要途径和桥梁，是数学及其他学科进行科学研究的强有力的研究工具. 微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系.我们在这一章主要介绍微分方程的一些基本概念，几种常用的一阶、二阶微分方程的求解方法，线性微分方程的解的理论及求解方法.但是在经济管理和许多的实际问题中已知的数据大多数是按等时间间隔周期统计的，因而相关变量的取值是离散变化的.如何仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢56仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56寻求它们之间的关系及变化规律呢？差分方程是研究这样的离散型数学问题的有力工具，本章在最后介绍差分方程的一些基本概念及常用的求解方法.§10.1 微分方程的基本概念先看一个例子.例1设有某种新产品要推向市场，t 时刻的销量为)(t x ，由于产品性能良好，每个产品都是一个宣传品，因而t 时刻产品的销售的增长率dtdx 与)(t x 成正比；同时考虑到市场的容量是有限的，假设市场的容量为N ，统计数据表明dt dx 与尚未购买产品的潜在顾客的数量)(t x N -也成正比；则可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx -=， 其中k 为比例系数.可以求出该微分方程的解为kNt CeN t x -+=1)(，其中C 为积分常数.10.1.1 微分方程的概念含有自变量、自变量的未知函数及未知函数的（若干阶）导数或微分的方程称为微分方程.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56如果未知函数是一元的，通常称此方程为常微分方程；如果未知函数是多元的，通常称此方程为偏微分方程.本书中只讨论常微分方程.10.1.2 微分方程的阶微分方程中出现的未知函数的导数或微分的最高阶的阶数称为微分方程的阶.例如：104+='x y ，654-=+x ydx xdy 是一阶的微分方程；6)(55+'+='''y x y 是三阶微分方程.微分方程中未知函数的导数或微分的最高阶数是一阶，称此方程为一阶微分方程，记为0),,(='y y x F 或),(y x f y ='；微分方程中未知函数的导数或微分是二阶及以上，称此方程为高阶微分方程.因此一般的n 阶微分方程可表示为0),,,,()(='n y y y x F 或),,,,()1()(-'=n n y y y x f y .10.1.3 微分方程的解若把函数)(x y ϕ=代入微分方程使微分方程恒成立，则称)(x y ϕ=是该微分方程的一个解.例如：x x y 1022+=，51022++=x x y ，C x x y ++=1022（C 是任意常数）都是微分方程104+='x y 的解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610.1.4 微分方程的通解、特解把含有与微分方程的阶数相同个数的独立的任意常数(即：它们不能合并而使得任意常数的个数减少)的解称为该微分方程的通解；不含任意常数的微分方程的解称为该微分方程的特解.例如： C x x y ++=1022（C 是任意常数）是微分方程104+='x y 的通解，x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；而x x y 1022+=，51022++=x x y ，是微分方程104+='x y 的特解，x x y cos 5sin 3+=是微分方程0=+''y y 的特解.10.1.5 微分方程的通解与特解的关系微分方程的通解通过一定的条件确定其中的每一个任意常数的数值，这时的微分方程的解即为特解；确定每一个任意常数的值的条件称为微分方程的初始条件；微分方程与初始条件合称微分方程的初始问题.例如x C x C y cos sin 21+=是微分方程0=+''y y 的通解；加上条件10-==x y ，10='=x y 可确定11=C ，12-=C 从而得到x x y cos sin -=是微分方程0=+''y y 的特解；其中条件仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5610-==x y ，10='=x y 是微分方程0=+''y y 的初始条件；把 ⎩⎨⎧='-==+''==1,1000x x y y y y 称为微分方程的初值问题.微分方程的解的图形是一条曲线,称为微分方程的积分曲线.通解的图形是一族积分曲线,特解是这一族积分曲线中的某一条积分曲线.初值问题的几何意义就是求微分方程满足初始条件的拿条积分曲线.例2 验证 x e x c x c y 21cos sin 21++= (1) 是微分方程x e y y =+'' (2)的解.解 因为x e x c x c y 21sin cos 21+-=', x e x c x c y 21sin sin 21+--='', 故而x x x e e x c x c e x c x c y y =++++--=+''21cos sin 21sin sin 2121成立.函数(1)及其导数代入微分方程(2)后成为一个恒等式，因此函数(1)是微分方程(2)解.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56例3 已知函数(1)是微分方程(2)通解，求满足初始条件00==x y ，00='=x y 的特解.解 将00==x y ，00='=x y 代入例1的y y ''',的表达式得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+-0210cos 0sin 0210sin 0cos 021021e c c e c c ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=+02102121c c ， 解得211-=c ，212=c ；故所求特解为x e x x y 21cos 21sin 21++-=.§10.2 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为0),,(='y y x F (1)如果从(1)中能解出y '，则一阶微分方程可表示为),(y x f y =' (2)一阶微分方程有时也可以写成如下的形式0),(),(=+dy y x Q dx y x P (3)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 如果一阶微分方程为)(x f dxdy =或dx x f dy )(=；则只需等式两边积分即得 ⎰+=C dx x f y )( 但并非一阶微分方程都可以如此求解的，比如y x dxdy 3=，就不能像上面所述的求法，原因是方程右端含有未知函数，积分dx y x ⎰3求不出来.为了解决这个困难，在方程的两端同乘以ydx ，使方程变为dx x ydy 3= .这样，变量y 与x 被分离在等式的两端，然后两端积分得C x y C dx x y dy +=⇒+=⎰⎰4341ln 如此得到的函数是原来的微分方程的解吗?(读者自己验证). 本节中将介绍几种特殊类型的一阶微分方程及其解法.一、可变量分离的微分方程与分离变量法形如)()(y g x f dxdy = (4) 的一阶微分方程称为可分离变量的微分方程.求解方法：仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56首先分离变量，即把dx x f ),(与dy y g ),(分别移到方程的两端：dx x f y g dy )()(= 再两端分别求积分即可求得微分方程的通解C dx x f y g dy +=⎰⎰)()(，其中C 是任意常数.注意：(1)在移项时0)(≠y g 才可以；如0)(=y g 则不妨设0y y =是0)(=y g 的零点，即0)(0=y g ，代入原方程可知常数函数0y y =显然是方程(4)的一个特解.(2)在上述的通解表示式中，⎰)(y g dy 与⎰dx x f )(表示的是一个原函数，而不是不定积分；两个不定积分中出现的任意常数归并在一起记为C.例1 求微分方程)1(322y x dxdy +=的通解. 解 分离变量可得dx x ydy 2231=+ 两端分别求积分得到通解C dx x y dy +=+⎰⎰2231即C x y +=3arctan仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢56 其中C 是任意常数.通解也可写为)tan(3C x y +=，其中C 是任意常数.例2 求微分方程dx xy ydy x ydy xdx 22334+=-的通解. 解 合并同类项得dy x y dx y x )1(3)4(22+=-(1)如果042≠-y ，分离变量得dy yy dx x x 22431-=+ 积分得1224ln 23)1ln(21C y x ++-=+ 其中1C 是任意常数.去对数得方程得通解为322)4(1y C x +=+其中C 是一个正的任意常数(12C e C =).例3 设一曲线经过点)3,2(，它在两坐标轴间的任一切线段被切点所平分，求这一曲线的方程.解 设所求的曲线方程为)(x y y =，则曲线上任一点),(y x 处的切线方程为y xX y Y '=--由已知，当0=Y 时，x X 2=，代入上式即得到所求曲线应满足的微分方程及初始条件⎪⎩⎪⎨⎧=-==32x y x y dxdy 此方程为可分离变量的微分方程，易求得通解为C xy =又因32==x y ，则6=C ，故所求的曲线为6=xy .二、齐次方程如果一阶微分方程),(y x f dxdy= 中的函数),(y x f 可以变为xy 的函数，即微分方程为)(x y g dx dy =的形式，习惯上称这样的微分方程为齐次方程.例如方程0)2()(222=---dy xy x dx y xy就是齐次方程，因为我们可以把此方程化为)(21)(2222xy x yxy xy x y xy dx dy --=--=. 要求出齐次方程的通解，我们可以用变量代换的方法. 设齐次方程为)(xyg dx dy = (5) 假设x yu =，则可以把齐次方程(5)化为可分离变量的微分方程.因为x y u =，则ux y =，dxdy x u dx dy +=代入方程(5)可把原方程变为)(u g dx du x u =+即u u g dxdux-=)( 分离变量得xdxu u g du =-)(等式两端积分得C x dxu u g du +=-⎰⎰)(.记)(u G 为u u g -)(1得一个原函数，再把xyu =代入，则可得方程(5)的通解为C x u G +=ln )(，C 为任意常数.例4 解方程dxdyxy dx dy x y =+22. 解 原方程可变为1)(222-=-=xy x yx xy y dx dy显然是齐次方程.故令xyu =，则 ux y =，dxdy x u dx dy += 于是原方程变为12-=+u u dx du x u即1-=u udx du x再分离变量，得xdxdu u =-)11( 两端积分，得x C u u ln ln =+-即C u ux +=ln ，以xy代换上式中的u 便得到原方程的通解为 C xyy +=ln注记:齐次方程的求解实质是通过变量替换，将方程转化为可分离变量的方程.变量替换法在解微分方程中，有着特殊的作用.但困难之处是如何选择适宜的变量替换.一般来说，变量替换的选择并无一定之规，往往要根据所考虑的微分方程的特点而构造.对于初学者，不妨多试一试，尝试几个直接了当的变量替换.例5 求微分方程222y xy x dxdy++=的通解. 解 令y x u +=,则x u y -=，1-=dxdu dx dy 原方程化为21u dxdu=- 即dx u du=+12 两端积分，得c x u +=arctan把u 用y x +换回，得原方程的通解为)tan(c x y x +=+三、一阶线性微分方程方程)()(x Q y x P dxdy=+ (6) 称为一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y 及其导数是一次方程.如果方程(6)中的0)(≡x Q ，则把此时的方程(6)称为齐次的；如果)(x Q 不恒等于零，则把方程(6)称为非齐次的.设方程(6)是非齐次的微分方程，为求出其通解，首先我们讨论(6)式所对应的齐次方程0)(=+y x P dxdy(7) 的通解问题.显然这是一个可分离变量的方程，分离变量得dx x P ydy)(-= 两端积分，得1C )(ln +-=⎰dx x P y或⎰-⋅=dx x P e y )(C ，(其中1C e C ±=)这是方程(6)对应的齐次线性微分方程(7)的通解.现在我们使用所谓的常数变易法来求非齐次线性方程(6)的通解.此方法是将方程(7)的通解中的常数c 换成x 的未知函数)(x u ，即作变换⎰-⋅=dx x P e u y )( （8）假设(8)式是非齐次线性方程(6)的解.则如果能求得)(x u 是什么问题也就解决了. 为此两边求导得⎰-⎰--'=dx x P dx x P e x uP e u dxdy)()()( (9) 将(8)式和(9)式代入方程(6)，得)()()()()()(x Q ue x P e x uP e u dx x P dx x P dx x P =+-'⎰-⎰-⎰-即)()(x Q e u dx x P ='⎰-⎰='dx x P e x Q u )()(C dx e x Q u dx x P +=⎰⎰)()(将上式代入(8)式得到非齐次线性微分方程(6)的通解为))(()()(C dx e x Q e y dx x P dxx P +⎰=⎰⎰-(10)注意：公式(10)中的不定积分⎰dx x P )(和dx e x Q dx x P ⎰⎰)()(分别理解为一个原函数.将(10)式写成如下两项之和dx e x Q e e c y dxx P dxx P dx x P ⎰⎰--⎰+⎰=)()()()( 不难发现：第一项是对应的齐次线性方程(7)的通解；第二项是对应的非齐次线性方程(6)的一个特解(在(6)的通解(10)中取0C =即得此特解).由此得到一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和.例6 求方程23)1(12+=+-x x y dx dy 的通解.解 这是一个非齐次线性微分方程，由公式（10）得))1(()12(23)12(C dx ex ey dxx dx x +⎰+⎰=⎰+-+--))1((22)1(ln 23)1(ln C dx ex ex x +⋅+=+-+⎰))1(()1(212C dx x x +++=⎰-))1(2()1(212C x x +++= 225)1()1(2+++=x C x由此例的求解可知，若能确定一个方程为一阶线性非齐次微分方程，求解它只需套用公式（10）即可，当然也可以用常数变易法进行求解.例7 求微分方程0)(3=-+dy y x ydx的通解（设0>y ）.解 如将上述方程变形为03=--xy y dx dy 则显然不是线性微分方程.如果将方程改写为03=--yx y dy dx 即21y x ydy dx =+ 这是一个把x 当因变量而y 当自变量的形如)()(y Q x y P dydx=+ (11) 的一阶线性微分方程；用公式可直接得到通解为))(()()(C dy e y Q e x dy y P dyy P +⎰=⎰⎰-(12)故本问题的通解为)(121C dy ey ex dy ydyy +⎰=⎰⎰-积分得)41(14C y y x +=. 四、伯努利方程形如n y x Q y x P dxdy)()(=+ (13) 的微分方程称为伯努利方程，其中n 为常数，且1,0≠n .伯努利方程是一类非线性微分方程，但通过适当的变换就可以把它转化为线性的微分方程.在(13)式的两端除以n y ，可得)()(1x Q y x P dx dy y n n=+--或)()()(1111x Q y x P y nn n =+'--- 于是令n y z -=1，就得到关于变量z 的一阶线性微分方程)()1()()1(x Q n z x P n dxdz-=-+ 利用线性微分方程的求解公式，再把变量z 换回原变量可得伯努利方程（13）的通解为))()1(()()1()()1(1C dx e x Q n e y dx x P n dxx P n n +-⎰=⎰⎰----.例8 求方程2)ln (y x a xydx dy =+的通解 解 方程两端除以2y ，令1-=y z ，则原方程可变为x a xzdx dz ln -=- 再由线性微分方程的求解公式可得))(ln 2(2x aC x z -=再把变量z 换回原变量，可得原方程的通解为1))(ln 2(2=-x aC yx四、一阶微分方程在经济上的应用的实例例9 （新产品推广模型）设某产品的销售量)(t x 是时间t 的可导函数，如果该产品的销售量对时间的增长速率dtdx与销售量)(t x 及销售量接近于饱和水平的程度)(t x N -之积成正比(N 为饱和水平，比例常数为0>k )，且当0=t 时N x 41=.求： (1) 销售量)(t x ，(2) 销售量)(t x 的增长最快的时刻T . 解 1.由题意可建立如下的微分方程：)(x N kx dtdx-=，(0>k ) 此方程为可分离变量的微分方程，分离变量得kdt x N x dx=-)(两端积分，得Nkt Ce xN x=- 从中解出)(t x ，得1)(+=Nkt NktCe NCe t x由N x 41)0(=得31=C ，故可得 Nkte Nt x -+=31)(2.对求一阶、二阶导数得22)31(3Nkt Nkte ke N dt dx --+= 32322)31()31(3Nkt Nkt Nkt e e e k N dt x d ---+--= 令022=dt x d ，得NkT 3ln =. 当T t <时022>dt x d ；当T t >时022<dt x d .故而当NkT 3ln =时)(t x 增长的速度是最快的.注：习惯上把)(x N kx dtdx -=，(0>k ) 称为Logistic 方程，该方程的解曲线Nkte N t x -=B 1)(＋称为Logistic 曲线.在经济学、生物学等中常遇到这样的变化规律.例10 （人才分配模型）每年的大学毕业生（含硕士、博士研究生）中都要有一定比例的人员充实教师队伍，其余的从事科技管理方面的工作.设t 年时教师人数为)(1t x ，科技管理人员人数为)(2t x ，又设一个教师每年平均培养α个毕业生，又每年退休、死亡或调出人员的比例为)10(<<δδ，每年毕业生中从事教师职业的比率为)10(<<ββ，则根据已知可建立如下的微分方程111x x dtdx δαβ-= (14) 212)1(x x dtdx δβα--= (15)方程(14)是可分离变量的微分方程，易解得其通解为t e C x )(11δαβ-=设m x =)0(1，则m C =1；得(13)的特解为t me x )(1δαβ-=将上式代入(15)式得t me x dtdx )(22)1(δαββαδ--=＋ 这是一个一阶线性微分方程，可求得其通解为t t me e C x )(221δαβδββ---+= 设n x =)0(2，则m n C ββ--=12；故得(14)的特解为 t t me e m n x )(21)1(δαβδββββ---+--=.若取1＝β，即毕业生全部充实教师队伍，则当+∞→t 时，+∞→)(1t x 而0)(2→t x ，此时表明教师队伍将迅速增加，但科技管理队伍将不断萎缩，必然会影响经济的发展.若取0→β，即毕业生很少充实教师队伍，则当+∞→t 时，0)(1→t x 且0)(2→t x ，此表明若不保证适当的比例的毕业生充实教师队伍，必将影响人才的培养，最终会导致两支队伍全面的萎缩.因此选择好比例β十分重要.§10.3 可降阶的二阶微分方程对于二阶微分方程),,(y y x f y '=''在某些情况下可通过适当的变量代换，把二阶的微分方程转化为一阶的微分方程，习惯上把具有这样性质的微分方程称为可降阶的微分方程.其相对应的求解方法自然地称为降阶法.下面介绍三种容易用降阶法求解的二阶微分方程.一、)(x f y =''型的微分方程微分方程)(x f y ='' (1)的右端仅含有自变量x ，求解时只需把方程(1)理解为)(x f y =''）（，对此式两端积分，得 1)(C dx x f y +='⎰同理，对上式两端再积分，得21))((C x C dx dx x f y ++=⎰⎰此方法显然可推广到n 阶.例1 求微分方程4sin +=''x x y的通解.解 对给定的方程两端连续积分两次，得14sin cos C x x x x y +++-='2122cos sin )1(C x C x x x x y +++-+-=例2 求微分方程x e y x cos 2-=''满足1)0(,0)0(='=y y 的特解.解 对给定的两端积分两次，得12sin 21C x e y x +-='由初始条件1)0(='y ，得211-=C .2221cos 41C x x e y x +-+=由初始条件0)0(=y ，得452-=C .故原方程满足初始条件的特解为4521cos 412--+=x x e y x二、),(y x f y '=''型的微分方程方程),(y x f y '='' (2)的典型特点是不显含未知函数y ，求解方法：作变量代换)(x P y ='，则)(x p y '=''，原方程可化为以)(x P 为未知函数的一阶微分方程),(p x f p ='设此方程的通解为),()(1C x x p ϕ=，得),(1C x y ϕ='再方程两端积分，得⎰+=21),(C dx C x y ϕ.例3 求微分方程02)1(2='-''+y x y x的通解.解 显然该方程不显含有未知函数y ，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为02)1(2=-+xp dxdp x 即 212xxdx p dp += 两端积分，得12ln )1ln(ln C x p ++=即)1(21x C p +=或)1(21x C y +='两端积分，得原方程的通解为231)3(C x x C y ++=. 例4 求微分方程x xe y xy +'=''1 满足e y y ='=)1(,2)1(的特解.解 显然该方程为),(y x f y '=''型，故令)(x P y ='，则)(x p y '=''，于是原方程化为x xe p xp =-'1 这是一阶线性微分方程，易解得)(1C e x p x +=或)(1C e x y x +='因e y =')1(，得=1C 0，即x xe y ='两端积分，得2)1(C e x y x +-=又因2)1(=y ，可得原方程满足初始条件的特解为2)1(+-=x e x y三、),(y y f y '=''型的微分方程该方程),(y y f y '='' (3)类型的特点在于不显含自变量x ,求解方法：令p y ='，利用复合函数求导法则把y ''转化为因变量y 的函数，即dydp p dx dy dy dp dx dp y =⋅=='' 故方程(3)变为),(p y f dy dp p = 此方程为关于p y ,的一阶微分方程.如能求出它的通解不妨设为),(1C y p ϕ=或),(1C y dxdy ϕ= 此方程是一个可分离变量的微分方程，易得原方程的通解为21),(C x C y dy +=⎰ϕ.例5 求微分方程2)(y y y '=''的通解.解 显然该方程为),(y y f y '=''型，故令)(x P y ='，则dydp p y =''，代入原方程得 2p dydp yp =即0)(=-p dydp y p (1) 如果0≠p 且0≠y ，则方程两端约去p 及同除y ，得ydy p dp = 两端积分，得1ln ln ln C y p +=即y C p 1=或y C y 1='再分离变量并积分，可得原方程的通解为x C e C y 12=.(2) 如果0=p 或0=y ，即C y =(C 为任意实数)是原方程的解(又称平凡解)，其实已包括在(1)的通解中(只需取01=C ).§10.4 二阶线性微分方程解的结构在应用问题中较多遇到的一类高阶微分方程是二阶线性微分方程，它的一般形式为)()()(x f y x Q y x P y =+'+'' (1)其中)(),(),(x f x Q x P 为已知的x 的函数.当方程右端函数0)(=x f 时，方程(1)称为二阶齐次线性微分方程，即0)()(=+'+''y x Q y x P y (2)当方程右端函数0)(≠x f 时，方程(1)称为二阶非齐次线性微分方程.本节中主要讨论二阶线性微分方程解的一些性质，这些性质还可以推广到n 阶线性微分方程)()()()(1)1(1)(x f y x P y x P yx P y n n n n =+'+++-- . 定理1 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个解，则)()(2211x y C x y C y += (3)也是方程(2)的解，其中21,C C 为任意实数.(读者自证)此性质表明齐次线性微分方程的解满足叠加原理，即两个解按(3)式的形式叠加起来仍然是该方程的解；从定理1的结果看，该解包含了两个任意常数1C 和2C ，但是该解不一定是方程(2)的通解.例如二阶线性微分方程0=+''y y ，不难验证x y x y sin 5,sin 21==都是方程0=+''y y 的解，但其)()(2211x y C x y C y +=形式的解x C C y sin )5(21+=，这显然不是方程0=+''y y 的通解(由通解的定义即可知道). 那么满足何条件下的(3)式形式的解才是方程(2)的通解呢？事实上，x y sin 1=是二阶线性微分方程0=+''y y 的解，可以验证x y cos 2=也是方程0=+''y y 的解，那么两个解的叠加x C x C y cos sin 21+=是方程0=+''y y 的通解. 比较一下，容易发现前一组解的比51sin 5sin 21==x x y y ，是常数，而后一组解的比x xx y y tan cos sin 21==，不是常数. 因而在)(),(21x y x y 是方程(2)的两个非零解的前提下，如果21y y 为常数，则)()(2211x y C x y C y +=不是方程(2)的通解(事实上21,y y 是相关联的)；如果21y y 不为常数，则)()(2211x y C x y C y +=是方程(2)的通解(事实上21,y y 是不相关联的).为了解决这个问题，我们引入一个新的概念，即函数的线性相关与线性无关的概念:设)(),(21x y x y 是定义在区间I 内的两个函数，如果存在两个不全为零的常数21,k k ，使得在区间I 内恒有0)()(2211=+x y k x y k成立，则称此两个函数)(),(21x y x y 在区间I 内线性相关，否则称线性无关.显然如果21y y 是常数，则21,y y 线性相关；21y y 不是常数，则21,y y 线性无关.据此我们有以下齐次线性微分方程的解的结构定理：定理2 如果)(),(21x y x y 是方程(2)的两个线性无关的特解，则)()(2211x y C x y C y +=就是方程(2)的通解，其中21,C C 为任意实数.下面我们来讨论二阶非齐次微分方程的解的结构.在一阶线性微分方程的讨论中，我们已知道一阶线性非齐次微分方程的通解之结构为对应的齐次线性微分方程的通解与非齐次线性微分方程的特解之和，那么二阶及以上的线性微分方程是否也有这样解的结构呢？回答是肯定的.定理3 如果)(*x y 是方程(1)的一个特解，且)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，则)()(*x Y x y y += （4）是二阶非齐次线性微分方程(1)的通解.证 将(4)式代入方程(1)的左端，得))(())(()(***Y y x Q Y y x P Y y ++'++''+[][]Y x Q Y x P Y y x Q y x P y )()()())(()(***+'+''++'+''= 因为)(*x y 是方程(1)的解， )(x Y 是方程(2)的解，可知上式中的第一个中括号内的表达式恒为)(x f ，第二个中括号内的表达式恒为零,即方程(1)的左端等于)(x f ，与右端恒相等.故(4)式是方程(1)的解.又因为)(x Y 是其相应的齐次方程(2)的通解，由定理2知其包含两个任意常数，因而)()(*x Y x y y +=也包含两个任意常数，从而得知)()(*x Y x y y +=是方程(1)的通解例如，方程x e y y 2=+''是二阶非齐次线性微分方程，其相应的齐次方程0=+''y y 的通解为x C x C Y cos sin 21+=，又容易验证x e y =*是方程x e y y 2=+''的一个特解，因此x e x C x C y ++=cos sin 21是方程x e y y 2=+''的通解.在求解非齐次线性微分方程时，有时会用到下面两个定理.定理4 如果)(),(*2*1x y x y 分别是方程)()()(1x f y x Q y x P y =+'+'')()()(2x f y x Q y x P y =+'+'' 的特解，则)()(*2*1x y x y +是方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+''的特解.这一定理的证明较简单，只需将**+=21y y y 代入方程)()()()(21x f x f y x Q y x P y +=+'+'' 便可验证。

微积分第2版-朱文莉第10章微分方程与差分方程习题详解(1-3节)题10.1(A)1.指出下列微分方程的阶数：1) x(y')-2yy'+x=；2) y^2(4)+10y''-12y'+5y=sin2x；3) (7x-6y)dx+(x+y)dy=S；4) 2d^2S/dt^2+S=0.解：(1) 1阶；(2) 4阶；(3) 1阶；(4) 2阶。

2.判断下列各题中的函数是否为所给微分方程的解？若是解，它是通解还是特解？1) x(dy/dx)=-2y，y=Cx^-2（C为任意常数）；2) 2x(y'')-2y'+y=0，y=xe；3) y''-2/(y'+y)=0，y=C1x+C2/x^2（C1，C2为任意常数）；4) xdx+ydy=R，x+y=const（R为任意常数）。

解：(1) 通解；(2) 否；(3) 通解；(4) 通解。

3.验证：函数y=(C1+C2x)e^-x（C1，C2为任意常数）是方程y''+2y'+y=的通解，并求满足初始条件y(0)=4，y'(0)=-2的特解。

解：由已知得y=C1e^-x+C2xe^-x，y'=C2e^-x-C1e^-x-C2xe^-x。

将y代入方程得(C1-2C2)e^-x=0，因为e^-x不为0，所以C1=2C2.所以通解为y=(C1+C2x)e^-x=(2C2+2C2x)e^-x=(2+2x)e^-x。

将初始条件代入得C1=4，C2=2，所以特解为y=(4+2x)e^-x。

4.已知曲线上任一点(x,y)处的切线斜率等于该点的横坐标与纵坐标的乘积，求该曲线所满足的微分方程。

解：根据题意，设曲线为y=f(x)，则斜率为f'(x)，根据题意得f'(x)=xf(x)，即y'=xy，所以微分方程为dy/dx=xy。