湖北省宜昌市九年级(上)期中数学试卷

宜昌市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共6题；共12分)1. （2分）下列函数中，是二次函数的是（）A . y=8x2+1B . y=8x+1C . y=D . y=+12. （2分） (2018八下·凤阳期中) 用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确是（）A . （x+2）2＝2B . （x+1）2＝2C . （x+2）2＝3D . （x+1）2＝33. （2分） (2017七上·闵行期末) 很多图标在设计时都考虑对称美．下列是几所国内知名大学的图标，若不考虑图标上的文字、字母和数字，其中是中心对称图形的是（）A . 清华大学B . 浙江大学C . 北京大学D . 中南大学4. （2分）已知关于x的一元二次方程：ax2＋bx＋c＝0，若a－b＋c＝0，则此方程必有一个根为（）A . 1B . 0C . －1D . －25. （2分）(2019·南海模拟) 在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45°角的直角三角板如图放置，直角顶点C的坐标为（1，0），顶点A的坐标（0，2），顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C′的坐标为（）A . （，0）B . （2，0）C . （，0）D . （3，0）6. （2分）二次函数的图像不经过（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限二、填空题 (共6题；共7分)7. （1分）(2018·黔西南模拟) 二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1，与y轴交于点C，下面四个结论：①16a+4b+c＜0；②若P（﹣5，y1），Q（，y2）是函数图象上的两点，则y1＞y2；③c=﹣3a；④若△ABC是等腰三角形，则b=﹣或﹣．其中正确的有________．（请将正确结论的序号全部填在横线上）8. （1分）若0＜x＜5，则 =________．9. （1分） (2019八上·宝安期中) 如果代数式有意义，那么x的取值范围是________．10. （1分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x=2；乙说：与x轴的两个交点距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，请你写出满足上述全部条件的一条抛物线的解析式：________．11. （1分）(2017·启东模拟) 已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根的和为________．12. （2分）如图，点A在射线OX上，OA的长等于2cm．如果OA绕点O按逆时针方向旋转30°到OA′，那么点A′的位置可以用（2，30°）表示．如果将OA′再沿逆时针方向继续旋转55°到OA′，那么点A′的位置可以用（________ ，________ ）表示．三、解答题 (共11题；共126分)13. （10分） (2016九上·滨州期中) 解方程（1） 3x2﹣6x+1=0（用配方法）（2） 3（x﹣1）2=x（x﹣1）14. （5分）随着市民环保意识的增强，烟花爆竹销售量逐年下降．常德市2012年销售烟花爆竹20万箱，到2014年烟花爆竹销售量为9.8万箱．求常德市2012年到2014年烟花爆竹年销售量的平均下降率．15. （5分）如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面水位AB宽20米时，此时水面距桥面4米，当水面宽度为10米时就达到警戒线CD，若洪水到来时水位以每小时0.2米的速度上升，问从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标系是以桥顶点为点O的)16. （6分）(2019·通辽) 有四张反面完全相同的纸牌，其正面分别画有四个不同的几何图形，将四张纸牌洗匀正面朝下随机放在桌面上．（1）从四张纸牌中随机摸出一张，摸出的牌面图形是中心对称图形的概率是________．（2）小明和小亮约定做一个游戏，其规则为：先由小明随机摸出一张，不放回．再由小亮从剩下的纸牌中随机摸出一张，若摸出的两张牌面图形既是轴对称图形又是中心对称图形，则小亮获胜，否则小明获胜．这个游戏公平吗？请用列表法（或画树状图）说明理由．（纸牌用表示）若不公平，请你帮忙修改一下游戏规则，使游戏公平．17. （15分）(2017·蒙自模拟) 如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y 轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于M点．（1）求抛物线的函数解析式；（2）设点P是直线l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求PA+PC长；（3）在直线l上是否存在点Q，使以M、O、Q为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．18. （10分）已知关于x的方程x2+（4k+1）x+2k﹣1=0．（1）求证：此方程一定有两个不相等的实数根；（2）若x1 ， x2是方程的两个实数根，且（x1﹣2）（x2﹣2）=2k﹣3，求k的值．19. （15分）(2019·昆明模拟) 顶点在网格交点的多边形叫做格点多边形，如图，在一个9×9的正方形网格中有一个格点△ABC.设网格中小正方形的边长为1个单位长度.（1）在网格中画出△ABC向上平移5个单位，在向左平移4个单位后得到的△A1B1C1；（2）在网格中画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）从A到A2.所划过的痕迹长为多少？20. （10分） (2018九上·安陆月考) 设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1、x2 ，（1）若x12+x22=6，求m值；（2）令T= ，求T的取值范围．21. （10分）(2019·天台模拟) 为建设美丽家园，某社区将辖区内的-块面积为1000m2的空地进行绿化，-部分种草，剩余部分栽花，设种草部分的面积为x(m2)，种草所需费用yl(元)与x(m2)的函数关系图象如图所示，栽花所需费用y2(元)与x(m2)的函数关系式为y2=-0.Olx2-20x+30000(0≤x≤1000)．（1）求yl(元)与x(m2)的函数关系式；（2）设这块1000m2空地的绿化总费用为W(元)，请利用W与x的函数关系式，求绿化总费用W的最大值．22. （20分）(2020·山西模拟) 综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC ，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD ，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC ，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC ，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）23. （20分）(2019·黄冈) 如图1在平面直角坐标系xoy中，已知A（-2，2），B（-2，0），C（0，2），D（2，0）四点，动点M以每秒个单位长度的速度沿B→C→D运动（M不与点B、点D重合），设运动时间为t（秒）.（1）求经过A、C、D三点的抛物线的解析式；（2）点P在（1）中的抛物线上，当M为BC的中点时，若，求点P的坐标；（3）当M在CD上运动时，如图2，过点M作MF⊥x轴，垂足为F，ME垂直AB，垂足为E.设矩形MEBF与重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值；（4）点Q为x轴上一点，直线AQ与直线BC交于点H，与y轴交于点K.是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的所有Q点的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案一、选择题 (共6题；共12分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、二、填空题 (共6题；共7分)7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、三、解答题 (共11题；共126分)13-1、13-2、14-1、15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、22-4、23-1、23-2、23-3、23-4、。

湖北省部分学校2023-2024学年九年级上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A ．点AB ．点8．如图，在⊙О中，弦AB A ．2B ．329．如图，P 为等边三角形ABC 4，5，则△ABC 的面积为（A ．25394+B ．10．如图，已知二次函数交点B 在(0,2)-和(0,1)C -①0abc >；②42a b c ++>A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题16．将二次函数223y x x=-++的图象在=+与新函数的图象恰有象如图所示．当直线y x b三、解答题17．按要求解方程：（1）x 2﹣x ﹣2＝0（公式法）；（2）2x 2+2x ﹣1＝0（配方法）．18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．(1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次降价的百分率；(2)经调查，若该商品每降价1元，每天可多销售8件．若每天要想获得504元的利润且尽快减少库存，每件应降价多少元？19．如图，点E 为正方形ABCD 外一点，90AEB ∠=︒，将Rt ABE 绕A 点逆时针方向旋转90︒得到,ADF DF 的延长线交BE 于H 点．（1）试判定四边形AFHE 的形状，并说明理由；（2）已知7,13BH BC ==，求DH 的长．20．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，且CD AB ⊥于点E ．(1)求证：BCO D ∠=∠(2)若42CD =，OE =21．在58⨯的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形(0,0)O ，(3,4)A ，(8,4)B 图，并回答问题：（1）将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，画出对应线段（2）在线段AB 上画点E ，使45BCE ∠=（3）连接AC ，画点E 关于直线AC 的对称点22．某区某水产养殖户利用温棚养殖技术养殖白虾，并从原来的每年养殖两季提高至每年三季．市周期的70天里，销售单价P （元/千克）与时间第()()120140415040702t t P t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，，（t 都为整数）函数关系如图所示．(1)求日销售量y 与时间t 的函数关系式；备用图（1）求该抛物线的解析式；（2）点P是抛物线上一点，且位于第一象限，当参考答案：【点睛】此题主要考查旋转中心的确认，解题的关键是熟知旋转的性质特点8．D【分析】由圆周角定理可得∠【详解】解：∵∠ACB=45°，∴∠O=2∠ACB=90°，∵OA=OB，25+12）∵∠90,30ABC ACB ︒︒=∠=，AC 2,AB ∴=由勾股定理得：2BC AC AB =-∵将△BCP 绕点B 顺时针旋转60°∴△BPC BHG≅∆∴,60BP BH PBH ︒=∠=，HG =∴△PBH 是等边三角形，∴PH BP=∴PA PB PC PA PH HG++=++∴当点A ，点P ，点G ，点H 共线时，∵∠ABP PBH GBH ABP +∠+∠=∠∴∠150ABG ︒=∴∠30GBN ︒=∵GN AB⊥∴1123322GN BG ==⨯=，由勾股定理得，2BN BG NG =-∴235AN AB BN =+=+=∴22253AG AN NG =+=+=∴PA PB PC ++最小值为27∴3+b =0，解得b =-3；当直线y =x +b 与抛物线(y x =恰好有三个公共点，即()214x x b --=+有相等的实数解，整理得b =214-，所以b 的值为-3或214-，（2）∠BCE 为所求的角，点E 为所求的点（3）连接（5,0）和（0,5）点，与AC 的交点为【点睛】本题考查了作图-旋转变换，正方形的性质，全等三角形的性质和轴对称的性质，熟悉相关性质是解题的关键．22．(1)()2200170y x x =-+≤≤(2)第26天利润最大，最大利润为2738元∴∠QEP =∠QCP =60°.故答案为60；(2)∠QEP =60°.以∠DAC 是锐角为例.证明：如图2，∵△ABC 是等边三角形，∴AC =BC ，∠ACB =60°，∵线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ，∴CP =CQ ，∠PCQ =60°，∴∠ACB +∠BCP =∠BCP +∠PCQ ，即∠ACP =∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中，CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ (SAS )，∴∠APC =∠Q ，∵∠1=∠2，∴∠QEP =∠PCQ =60°；(3)连结CQ ，作CH ⊥AD 于H ，如图3，与(2)一样可证明△ACP ≌△BCQ ，∴AP =BQ ，由于A（4，0），B（1，3）∴3=32ABPPMS=△，∴3=32ABPPNS=△，易得∠BAC=45°，若BAG OBC BAO ∠+∠=∠则∠OBC=∠GAE，∴△BOC∽△AGE，即∠+∠=∠，若BAG OBC BAO则∠OBC=∠GAO，。

湖北省宜昌XX中学九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x+3=0 B．x2﹣3y=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x﹣=02．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和14．抛物线y=﹣2x2开口方向是（）A．向上B．向下C．向左D．向右5．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）6．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是（）A．x=0 B．x1=2 C．x1=0，x2=2 D．x=27．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=98．一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根C．没有实数根D．有两个相等的实数根9．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）A．55°B．45°C．40°D．35°10．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）11．近年来某市加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3600 B．2500（1+x）2=3600C．2500（1+x%）2=3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=360012．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y213．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：（1）x2﹣2x﹣1=0（2）12x2+2x+3=3x+4．17．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1．（2）直接写出A1点的坐标．18．已知三角形的两条边a、b满足等式：a2+b2=25，且a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．19．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[2，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[4，2]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[2，4]？20．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m）．（1）如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．21．把一副三角板如下图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数；（2）求线段AD1的长．22．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．23．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．24．抛物线y=ax2和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（﹣2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．（1）根据题意可求出a=，点E的坐标是．（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）湖北省宜昌XX中学九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x+3=0 B．x2﹣3y=0 C．x2﹣2x+1=0 D．x﹣=0【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可．【解答】解：A、方程x+3=0是一元一次方程，故本选项错误；B、方程x2﹣3y=0是二元二次方程，故本选项错误；C、方程x2﹣2x+1=0是一元二次方程，故本选项正确；D、方程x﹣=0是分式方程，故本选项错误．故选C．2．下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确；故选D．3．方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和4 B．3和﹣4 C．3和﹣1 D．3和1【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据方程的一般形式和二次项系数以及一次项系数的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵3x2﹣4x﹣1=0，∴方程3x2﹣4x﹣1=0的二次项系数是3，一次项系数是﹣4；故选B．4．抛物线y=﹣2x2开口方向是（）A．向上B．向下C．向左D．向右【考点】二次函数的性质．【分析】根据a的正负判断抛物线开口方向．【解答】解：∵a=﹣2＜0，∴抛物线开口向下．故选B．5．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】由抛物线的顶点式y=（x﹣h）2+k直接看出顶点坐标是（h，k）．【解答】解：∵抛物线为y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标是（2，3）．故选B．6．一元二次方程x（x﹣2）=0的解是（）A．x=0 B．x1=2 C．x1=0，x2=2 D．x=2【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】解：方程x（x﹣2）=0，可得x=0或x﹣2=0，解得：x1=0，x2=2．故选C．7．用配方法解方程x2﹣2x﹣5=0时，原方程应变形为（）A．（x+1）2=6 B．（x﹣1）2=6 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】方程常数项移到右边，两边加上1变形即可得到结果．【解答】解：方程移项得：x2﹣2x=5，配方得：x2﹣2x+1=6，即（x﹣1）2=6．故选：B8．一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况是（）A．有两个不相等的正根B．有两个不相等的负根C．没有实数根D．有两个相等的实数根【考点】根的判别式．【分析】根据根的判别式△=b2﹣4ac的符号来判定一元二次方程x2﹣2x+2=0的根的情况．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x+2=0的二次项系数a=1，一次项系数b=﹣2，常数项c=2，∴△=b2﹣4ac=4﹣8=﹣4＜0，∴一元二次方程x2﹣2x+2=0没有实数根；故选C．9．如图，△OAB绕点O逆时针旋转80°到△OCD的位置，已知∠AOB=45°，则∠AOD等于（）A．55°B．45°C．40°D．35°【考点】旋转的性质．【分析】本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD 即为旋转角，利用角的和差关系求解．【解答】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，所以∠AOD=∠DOB﹣∠AOB=80°﹣45°=35°．故选：D．10．平面直角坐标系内一点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣2）B．（2，3） C．（﹣2，﹣3）D．（2，﹣3）【考点】关于原点对称的点的坐标．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数解答．【解答】解：点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．故选：D．11．近年来某市加大了对教育经费的投入，2013年投入2500万元，2015年将投入3600万元，该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意列方程，则下列方程正确的是（）A．2500x2=3600 B．2500（1+x）2=3600C．2500（1+x%）2=3600 D．2500（1+x）+2500（1+x）2=3600【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【分析】设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据：2013年投入资金给×（1+x）2=2015年投入资金，列出方程即可．【解答】解：设该市投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意，可列方程：2500（1+x）2=3600，故选：B．12．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+1上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y2【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】根据二次函数的对称性，可利用对称性，找出点A的对称点A′，再利用二次函数的增减性可判断y值的大小．【解答】解：∵函数的解析式是y=﹣（x+1）2+1，∴对称轴是x=﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选A．13．有两个完全重合的矩形，将其中一个始终保持不动，另一个矩形绕其对称中心O按逆时针方向进行旋转，每次均旋转45°，第1次旋转后得到图①，第2次旋转后得到图②，…，则第10次旋转后得到的图形与图①～④中相同的是（）A．图①B．图②C．图③D．图④【考点】旋转的性质．【分析】每次均旋转45°，10次共旋转450°，而一周为360°，用450°﹣360°=90°，可知第10次旋转后得到的图形．【解答】解：依题意，旋转10次共旋转了10×45°=450°，因为450°﹣360°=90°，所以，第10次旋转后得到的图形与图②相同，故选B．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc＜0；②3a+c＞0；③4a+2b+c＞0；④2a+b=0；⑤b2＞4ac其中正确的结论的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定解答．【解答】解：开口向下，则a＜0，与y轴交于正半轴，则c＞0，∵﹣＞0，∴b＞0，则abc＜0，①正确；∵﹣=1，则b=﹣2a，∵a﹣b+c＜0，∴3a+c＜0，②错误；∵b=﹣2a，∴2a+b=0，④正确；∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，⑤正确，故选：D．15．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b应经过二、四象限，故A可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b 应经过一、二、四象限，故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b应经过一、三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：（1）x2﹣2x﹣1=0（2）12x2+2x+3=3x+4．【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-公式法．【分析】（1）根据公式法即可得到结论；（2）先把方程变形得到12x2﹣x+1=0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）∵a=1，b=﹣2，c=﹣1，∴△=（﹣2）2+4=12，∴x=，∴x1=，x2=；（2）12x2﹣x﹣1=0，∴（3x﹣1）（4x+1）=0，∴x1=，x2=﹣．17．如图，在建立了平面直角坐标系的正方形网格中，A（2，2），B（1，0），C（3，1）（1）画出将△ABC绕点B逆时针旋转90°，所得的△A1B1C1．（2）直接写出A1点的坐标．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）根据网格结构找出点A1、C1的位置，再与点B（即B1）顺次连接即可；（2）根据平面直角坐标系写出点A1的坐标即可．【解答】解：（1）如图所示；（2）A1（﹣1，1）．18．已知三角形的两条边a、b满足等式：a2+b2=25，且a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．【考点】根与系数的关系；完全平方公式．【分析】根据根与系数的关系得出a+b和ab的值，再根据a2+b2=25，得出（2m﹣1）2=25+2×4（m﹣1），求出m的值，再把不合题意的值舍去即可．【解答】解∵a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，∴a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），a＞0，b＞0，∵a2+b2=25，∴（a+b）2=a2+b2+2ab，∴（2m﹣1）2=25+2×4（m﹣1），∴m1=4，m2=﹣1，∵当m=﹣1时，ab＜0，不合题意，舍去，∴m=4．19．如果二次函数的二次项系数为l，则此二次函数可表示为y=x2+px+q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y=x2+2x+3的特征数是[2，3]．（1）若一个函数的特征数为[﹣2，1]，求此函数图象的顶点坐标．（2）探究下列问题：①若一个函数的特征数为[2，﹣1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数．②若一个函数的特征数为[4，2]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[2，4]？【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据函数的特征数的定义，写出二次函数，利用配方法即可解决问题．（2）①首先根据函数的特征数的定义，写出二次函数，再根据平移的规律：左加右减，上加下减，即可解决．②根据函数的特征数的定义，首先写出两个函数的解析式，利用配方法写成顶点式，根据平移规律解决问题．【解答】解：（1）由题意可得出：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴此函数图象的顶点坐标为：（1，0）；（2）①由题意可得出：y=x2+2x﹣1=（x+1）2﹣2，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y=（x+1﹣1）2﹣2+1=x2﹣1，∴图象对应的函数的特征数为：[0，﹣1]；②∵一个函数的特征数为[4，2]，∴函数解析式为：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，∵一个函数的特征数为[2，4]，∴函数解析式为：y=x2+2x+4=（x+1）2+3∴原函数的图象向右平移1个单位，再向上平移5个单位得到．20．如图，有长为24m的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，且花圃的长可借用一段墙体（墙体的最大可用长度a=10m）．（1）如果所围成的花圃的面积为45m2，试求宽AB的长；（2）按题目的设计要求，能围成面积比45m2更大的花圃吗？如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．【考点】二次函数的应用；一元二次方程的应用．【分析】（1）利用矩形的面积公式列出方程求解即可；（2）求出花圃面积与AB长度的函数关系式，根据二次函数的性质和AB长度取值范围求出面积的最大值．【解答】解：（1）设AB的长为x米，根据题意列方程得：﹣3x2+24x=45化为x2﹣8x+15=0解得x1=5，x2=3，当x=3时，BC=24﹣3x=15＞10，不合题意，舍去，当x=5时，BC=24﹣3x=9，如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是5米；（2）设花圃的面积为S，由题意可得：S=x（24﹣3x）=﹣3x2+24x=﹣3（x﹣4）2+48，∵墙体的最大可用长度a=10m，∴0≤24﹣3x≤10，∴≤x≤8，∵对称轴x=4，开口向下，∴当x=时，花圃面积最大，当x=时，S=46.67m2；21．把一副三角板如下图甲放置，其中∠ACB=∠DEC=90°，∠A=45°，∠D=30°，斜边AB=6cm，DC=7cm．把三角板DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1（如图乙）．这时AB与CD1相交于点O，与D1E1相交于点F．（1）求∠OFE1的度数；（2）求线段AD1的长．【考点】旋转的性质；勾股定理．【分析】（1）如图所示，∠3=15°，∠E1=90°，∠1=∠2=75°，所以，可得∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；（2）由∠OFE1=∠120°，得∠D1FO=60°，所以∠4=90°，由AC=BC，AB=6cm，得OA=OB=OC=3cm，所以，OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm，在Rt△AD1O中，AD1===5cm．【解答】解：（1）如图所示，∵∠3=15°，∠E1=90°，∴∠1=∠2=75°，又∵∠B=45°，∴∠OFE1=∠B+∠1=45°+75°=120°；（2）∵∠OFE1=120°，∴∠D1FO=60°，∵∠C D1E1=30°，∴∠4=90°，又∵AC=BC，AB=6cm，∴OA=OB=3cm，∵∠ACB=90°，∴CO=AB=×6=3cm，又∵CD1=7cm，∴OD1=CD1﹣OC=7﹣3=4cm，∴在Rt△AD1O中，AD1===5cm．22．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份利润达到3388元，求m的值（m＞10）．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．【分析】（1）设售价应为x元，根据不等关系：该文具店在9月份销售量不低于1100件，列出不等式求解即可；（2）先求出10月份的进价，再根据等量关系：10月份利润达到3388元，列出方程求解即可．【解答】解：（1）设售价应为x元，依题意有1160﹣≥1100，解得x≤15．答：售价应不高于15元．（2）10月份的进价：10（1+20%）=12（元），由题意得：1100（1+m%）[15（1﹣m%）﹣12]=3388，设m%=t，化简得50t2﹣25t+2=0，解得：t1=，t2=，所以m1=40，m2=10，因为m＞10，所以m=40．答：m的值为40．23．如图1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB=∠AED=90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）若AD=3，BE=4，求EF的长；（2）求证：CE=EF；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（2）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【考点】几何变换综合题．【分析】（1）由AE=DE，∠AED=90°，AD=3，可求得AE=DE=3，在Rt△BDE中，由DE=3，BE=4，可知BD=5，又F是线段BD的中点，所以EF=BD=2.5；（2）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，CF=EF；（3）思路同（1）．连接CF，延长EF交CB于点G，先证△EFC是等腰三角形，要证明EF=FG，需要证明△DEF和△FGB全等．由全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此得出结论．【解答】解：（1）∵∠AED=90°，AE=DE，AD=3，∴AE=DE=3，在Rt△BDE中，∵DE=3，BE=4，∴BD=5，又∵F是线段BD的中点，∴EF=BD=2.5；（2）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE=FE；解法1：∵∠AED=∠ACB=90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF=CF=FD=FB，∴∠FCB=∠FBC，∠ECF=∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE=∠DBE，∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°∴∠ECF=45°=∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE=EF．解法2：∵∠BED=∠AED=∠ACB=90°，∵点F是BD的中点，∴CF=EF=FB=FD，∵∠DFE=∠ABD+∠BEF，∠ABD=∠BEF，∴∠DFE=2∠ABD，同理∠CFD=2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD=2（∠ABD+∠CBD）=90°，即∠CFE=90°，∴CE=EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB=∠AED=90°，∴DE∥BC，∴∠EDF=∠GBF，在△EDF和△GBF中，，∴△EDF≌△GBF，∴EF=GF，BG=DE=AE，∵AC=BC，∴CE=CG，∴∠EFC=90°，CF=EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∴CE=FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°+45°=90°，又∵点F是BD的中点，∴FA=FB=FD，在△ACF和△BCF中，，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF=∠BCF=∠ACB=45°，∵FA=FB，CA=CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又∵DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE=EF．24．抛物线y=ax2和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（﹣2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．（1）根据题意可求出a=，点E的坐标是（2，1）．（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征知，点A的坐标满足抛物线的解析式，所以把点A的坐标代入抛物线的解析式，即可求得a的值；由抛物线y=ax2的对称性知，点A、点E 关于y轴对称；（2）根据抛物线与直线的解析式求得点B的坐标为（4，4），则t的最小值是点E的横坐标，t的最大值是点B的横坐标；由于点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴，所以D（t，t2），C（，t2）；最后由两点间的距离公式求得r=|（t﹣1）2﹣|（2≤t≤4），所以根据二次函数最值的求法来求当r取最大值时t的值；（3）①设D（t，t2）．由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标为（t2﹣，t2）．然后根据两点间的距离公式知r=﹣（t﹣2k）2+k+，易知当t=2k时，r取最大值．②根据一次函数y=kx+b中的k的几何意义知k==，即m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，显然，当t=2k时，m取最大值．【解答】解：（1）根据题意知，点A（﹣2，1）在抛物线y=ax2上，∴1=（﹣2）2a，解得，a=．∵抛物线y=ax2关于y轴对称，AE∥x轴，∴点A、E关于y轴对称，∴E（2，1）．故答案是：，（2，1）．（2）∵点A（﹣2，1）在直线y=kx+b（k为正常数）上，k=0.5，∴1=﹣2×0.5+b，解得，b=2，即直线AB的解析式为y=x+2．∵由（1）知，抛物线的解析式y=x2，抛物线y=x2和直线y=x+2（k为正常数）交于点A 和点B，∴，解得，或，∴它们的交点坐标是（﹣2，1），（4，4），即B（4，4）．当点D与点E重合时，t=2．当点D与点B重合时，t=4，∴t的取值范围是：2≤t≤4．∵点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴，∴D（t，t2），C（，t2），∴r=t﹣=﹣（t﹣1）2+（2≤t≤4）．∵在2≤t≤4范围内，r随t的增大而减小，t=2时，r取最大值．∴当t=2时，r最大=4．即当（3）∵点A、B是直线与抛物线的交点，∴kx+b=x2，即x2﹣4kx﹣4b=0，∴x A+x B=4k．∵x A=﹣2，∴x B=4k+2．又∵点D不与B、E重合，∴2＜t＜4k+2．设D（t，t2），则点C的纵坐标为t2，将其代入y=kx+b中，得x=t2﹣，∴点C的坐标为（t2﹣，t2），∴r=CD=t﹣（t2﹣）=﹣（t﹣2k）2+k+，当t=2k时，r取最大值．∴2＜2k＜4k+2，解得，k＞1．又∵k==，∴m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，∴当t=2k时，m的值也最大．综上所述，当r为最大值时m的值也是最大．2017年2月12日。

湖北省宜昌市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019九上·萧山月考) 已知二次函数y=（x-3）2图像上的两个不同的点A（3，a）和B（x，b），则a和b的大小关系（）A . a≤bB . a＞bC . a＜bD . a≥b2. （2分） (2017八下·房山期末) 下列剪纸作品中，是中心对称图形的为（）.A .B .C .D .3. （2分）(2019·曲靖模拟) 如图，四边形ABCD是的内接四边形，若，则的度数是A .B .C .D .4. （2分） (2017九上·宁波期中) 如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则的长为（）A . πB .C . 2πD . 3π5. （2分）下列函数中属于二次函数的是（）A . y=x（x+1）B . x2y=1C . y=2x2﹣2（x2+1）D . y=6. （2分）(2016·福田模拟) 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=ax+b与反比例函数y=的大致图象是（）A .B .C .D .7. （2分） (2020九下·重庆月考) 若点A（-2，m），B（3，n）都在二次函数y=ax2-2ax+5（a为常数，且a>0）的图象上，则m和n的大小关系是（）A . m>nB . m=nC . m<nD . 以上答案都不对8. （2分）下列基本图形中经过平移、旋转或轴对称变换后不能得到右图的是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018九下·市中区模拟) 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，动点P 从点B出发，沿着B－A－D在菱形ABCD的边上运动，运动到点D停止，点P′是点P关于BD的对称点，PP′交BD于点M，若BM＝x，△OPP′的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A .B .C .D .10. （2分）抛物线的部分图象如图所示，若，则x的取值范围是（）A .B .C . 或D . 或11. （2分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB边的中点，将Rt△ABC绕点M旋转，使点A与点C 重合得到△CED，连接MD．若∠B=26°，则∠BMD等于（）A . 76°B . 96°C . 52°D . 104°12. （2分）要得到二次函数的图象，则需将的图象（）A . 向右平移两个单位；B . 向下平移1个单位；C . 关于x轴做轴对称变换；D . 关于y轴做轴对称变换；二、填空题 (共6题；共15分)13. （1分） (2015七下·农安期中) 如图所示的花朵图案，至少要旋转________度后，才能与原来的图形重合．14. （1分） (2017九上·余姚期中) 飞机着陆后滑行的距离单位：米关于滑行的时间单位：秒的函数解析式是，则飞机着陆后滑行的最长时间为________ 秒15. （1分）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作Rt△ABC，使其斜边AB=c，一条直角边BC=a．已知线段a，c如图．小芸的作法如下：①取AB=c，作AB的垂直平分线交AB于点O；②以点O为圆心，OB长为半径画圆；③以点B为圆心，a长为半径画弧，与⊙O交于点C；④连接BC，AC．则Rt△ABC即为所求．老师说：“小芸的作法正确．”请回答：小芸的作法中判断∠ACB是直角的依据是________16. （1分）(2016·武汉) 如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=5 ，则BD 的长为________．17. （1分）(2019·台江模拟) 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△OAB的斜边OB在x轴上，且OB＝4，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过OA的中点C ，交AB于点D ，则点D坐标是________．18. （10分）(2018·海丰模拟) 如图，已知在△ABC中，∠A=90°（1）请用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB，BC两边都相切（保留作图痕迹，不写作法和证明）．（2）若∠B=60°，AB=3，求⊙P的面积．三、解答题 (共7题；共82分)19. （10分） (2019九上·海淀期中) 已知∠MON=α，P为射线OM上的点，OP=1．（1）如图1，α=60°，A，B均为射线ON上的点，OA=1，OB＞OA，△PBC为等边三角形，且O，C两点位于直线PB的异侧，连接AC．①依题意将图1补全；②判断直线AC与OM的位置关系并加以证明；（2）若α=45°，Q为射线ON上一动点（Q与O不重合），以PQ为斜边作等腰直角△PQR，使O，R两点位于直线PQ的异侧，连接OR．根据（1）的解答经验，直接写出△POR的面积．20. （5分）如图，AB为⊙O的直径，从圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于P，求证： .21. （10分） (2017九上·台江期中) 二次函数中y=ax2+bx﹣3的x、y满足表：x…﹣10123…y…0﹣3﹣4﹣3m…（1）求该二次函数的解析式；（2）求m的值并直接写出对称轴及顶点坐标．22. （15分）(2019·上海模拟) 如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．（1）求证：OD⊥BE．（2）若DE＝，AB＝6，求AE的长．（3）若△CDE的面积是△OBF面积的，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．23. （15分）(2019·五华模拟) 如图，点E，F分别在矩形ABCD的边AB，BC上，连接EF，将△BEF沿直线EF翻折得到△HEF，AB＝8，BC＝6，AE：EB＝3：1.（1）如图1，当∠BEF＝45°时，EH的延长线交DC于点M，求HM的长；（2）如图2，当FH的延长线经过点D时，求tan∠FEH的值；（3）如图3，连接AH，HC，当点F在线段BC上运动时，试探究四边形AHCD的面积是否存在最小值？若存在，求出四边形AHCD的面积的最小值；若不存在，请说明理由.24. （12分）(2017·武汉模拟) 综合题如图1，在△ABC中，AB=AC，射线BP从BA所在位置开始绕点B顺时针旋转，旋转角为α（0°＜α＜180°）（1）当∠BAC=60°时，将BP旋转到图2位置，点D在射线BP上．若∠CDP=120°，则∠ACD________∠ABD （填“＞”、“=”、“＜”），线段BD、CD与AD之间的数量关系是________；（2）当∠BAC=120°时，将BP旋转到图3位置，点D在射线BP上，若∠CDP=60°，求证：BD﹣CD= AD；（3）将图3中的BP继续旋转，当30°＜α＜180°时，点D是直线BP上一点（点P不在线段BD上），若∠CDP=120°，请直接写出线段BD、CD与AD之间的数量关系（不必证明）．25. （15分） (2015九下·深圳期中) 如图，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于A，B两点，点A在点B的左边，与y轴交于点C，顶点为D，若以BD为直径的⊙M经过点C．（1）请直接写出C，D两点的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在抛物线上是否存在点E，使∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共6题；共15分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、18-2、三、解答题 (共7题；共82分) 19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、22-3、23-1、23-2、23-3、24-1、24-2、24-3、25-1、25-2、。

九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共15小题，共45.0分）1.下列方程中是一元二次方程的是（）A. B. C. D.2.已知1是关于x的一元二次方程（m-1）x2+x+1=0的一个根，则m的值是（）A. 1B.C. 0D. 无法确定3.下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图，△OAB绕点O逆时针旋转70°得到△OCD，若∠A=110°，∠D=30°，则∠α的度数是（）A.B.C.D.5.关于x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是（）A. B. 且C. D. 且6.在平面直角坐标系内，点P（-5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（）A. B. C. D.7.把等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，那么四边形ABDC（）A. 是中心对称图形，不是轴对称图形B. 是轴对称图形，不是中心对称图形C. 既是中心对称图形，又是轴对称图形D. 以上都不正确8.如图的图案是由一个菱形通过旋转得到的，每次旋转角度是（）A.B.C.D.9.抛物线y=x2+bx+c图象向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图象的解析式为y=x2-2x-3，则b、c的值为（）A. ，B. ，C. ，D. ，10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2．将△ABC绕点C按顺时针方向旋转n度后得到△EDC，此时点D在AB边上，斜边DE交AC边于点F，则n的大小和图中阴影部分的面积分别为（）A. 30，2B. 60，2C. 60，D. 60，11.已知一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为（）A. 13B. 11或13C. 11D. 1212.设a，b是方程x2+x-2016=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为（）A. 2014B. 2015C. 2016D. 201713.在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为（）A. B. C. D.14.制造一种产品，原来每件的成本是100元，由于连续两次降低成本，现在的成本是81元，则平均每次降低成本的百分率为（）A. 2B.C.D.15.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴为x=1，给出下列结论：①abc＞0②b2=4ac③4a-2b+c＞0④3a+c＞0⑤ax2+bx＜a+b其中正确的结论有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可以用表示．（1）一辆货运卡车高4m，宽2m，它能通过该隧道吗？（2）如果该隧道内设双行道，那么这辆货运卡车是否可以通过？三、解答题（本大题共8小题，共67.0分）17.用合适的方法解一元二次方程：（x+1）（x-2）=4．18.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，0）、B（4，0）、C（5，2）．将△ABC绕着点A按逆时针方向旋转90度得到△A1B1C1（1）请画出△A1B1C1；（2）写出点B1、C1的坐标．19.已知二次函数y=x2-2mx+m-1（1）当二次函数的图象经过坐标原点O（0，0）时，求二次函数的解析式；（2）如图，当m=2时，该抛物线与y轴交于点C，顶点为D，求C、D两点的坐标．20.如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃．（1）若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是多少米？（2）能围成面积比45m2更大的花圃吗？若能，请求出最大面积，并说明围法，若不能，请说明理由．21.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，（1）求∠BAE的值（用α表示）；（2）若∠BCD=150°，∠ABD=60°，判断△ABD的形状并加以证明．22.宜昌市一中因扩招学生人数持续增加，2016年学生人数比2015年增加了a%，预计2017年学生人数比2016年多了400人，这样2017年学生人数就比2015年增加了2a%；（1）求2016年学生人数比2015年多多少人？（2）由于教学楼新建，2017年的教室总面积比2015年增加了2.5a%，因而2017年每个学生人平均面积比2015年增加了，达到了a平方米，求该校2017的教室总面积．23.如图，四边形ABCD、BEFG均为正方形．（1）如图1，连接AG、CE，试判断AG和CE的关系并证明．（2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转β角，（0＜β＜180），如图2，连接AG，CE相交于点M，连接BM，当角β发生变化时，∠EMB的度数是否发生变化，若不变化，求出∠EMB的度数；若发生变化，请说明理由．（3）在（2）的条件下，过点A作AN⊥MB交MB的延长线于点N，请直接写出线段CM和BN的数量关系______．24.已知抛物线y=2x2-4x+a（a＜0）与y轴相交于点A，顶点M，直线y=x-a分别与x轴、y轴相交于B、C两点，并且与直线AM相交于点N．（1）填空：试用含a的代数式分别表示点M与N的坐标，则M（______ ，______ ），N（______ ，______ ）；（2）如图1，将△NAC沿y轴翻折，若点N的对应点N′恰好落在抛物线上，AN′与x轴交于点D，连接CD，求a的值和四边形ADCN的面积；（3）在抛物线y=2x2-4x+a（a＜0）上是否存在一点P，使得以P、A、C、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、2x+1=0未知数的最高次数是1，故错误；B、y2+x=1含有两个未知数，故错误；C、x2+1=0是一元二次方程，正确；D、是分式方程，故错误．故选：C．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．这是一个需要识记的内容．2.【答案】B【解析】解：根据题意得：（m-1）+1+1=0，解得：m=-1．故选：B．把x=1代入方程，即可得到一个关于m的方程，即可求解．本题主要考查了方程的解的定义，正确理解定义是关键．3.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．根据轴对称图形与中心对称图形的概念和图形特点求解．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．4.【答案】B【解析】解：由旋转的性质可知：∠D=∠A=110．在△COD中，∠COD=180°-∠C-∠D=40°．∠α=70°-∠COD=70°-40°=30°．故选：B．由旋转的性质可知：∠D=∠A=110°，在△COD中依据三角形内角和定理可求得∠COD的度数，最后依据∠α=70°-∠COD求解即可．本题主要考查的是旋转的性质，求得∠COD的度数是解题的关键．5.【答案】B【解析】解：x的一元二次方程（a+1）x2-4x-1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2-4ac=16+4a+4＞0，解得a＞-5∵a+1≠0∴a≠-1．故选B．在与一元二次方程有关的求值问题中，方程x2-x+a=0有两个不相等的实数根，方程必须满足△=b2-4ac＞0，即可求得．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6.【答案】A【解析】解：由题意，得P（-5，2）关于原点的对称点Q的坐标为（5，-2），故选：A．关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．7.【答案】C【解析】解：∵等腰△ABC沿底边BC翻折，得到△DBC，∴四边形ABDC是菱形，∵菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形，∴四边形ABDC既是中心对称图形，又是轴对称图形．故选C．先判断出四边形ABDC是菱形，然后根据菱形的对称性解答．本题考查了中心对称图形，等腰三角形的性质，轴对称图形，判断出四边形ABDC是菱形是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：设每次旋转角度x°，则6x=360，解得x=60，每次旋转角度是60°．故选：C．根据所给出的图，6个角正好构成一个周角，且6个角都相等，则每次旋转60°．此题主要考查了利用旋转设计图案，此题是基础题，6个相等的角构成一个周角，每一个角一定为60°．9.【答案】D【解析】解：由题意得新抛物线的顶点为（1，-4），∴原抛物线的顶点为（-1，-1），设原抛物线的解析式为y=（x-h）2+k代入得：y=（x+1）2-1=x2+2x，∴b=2，c=0．故选D．易得新抛物线的顶点，根据平移转换可得原抛物线顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得原抛物线的解析式，展开即可得到b，c的值．主要考查了函数图象的平移，抛物线平移不改变二次项的系数的值；讨论两个二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可．10.【答案】C【解析】解：∵△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，∴∠B=60°，AC=BC×cot∠A=2×=2，AB=2BC=4，∵△EDC是△ABC旋转而成，∴BC=CD=BD=AB=2，∵∠B=60°，∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=60°，∴∠DCF=30°，∠DFC=90°，即DE⊥AC，∴DE∥BC，∵BD=AB=2，∴DF是△ABC的中位线，∴DF=BC=×2=1，CF=AC=×2=，∴S=DF×CF=×=．阴影故选：C．先根据已知条件求出AC的长及∠B的度数，再根据图形旋转的性质及等边三角形的判定定理判断出△BCD的形状，进而得出∠DCF的度数，由直角三角形的性质可判断出DF是△ABC的中位线，由三角形的面积公式即可得出结论．本题考查的是图形旋转的性质及直角三角形的性质、三角形中位线定理及三角形的面积公式，熟知图形旋转的性质是解答此题的关键，即：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．11.【答案】B【解析】解：∵x2-8x+15=0，∴（x-3）（x-5）=0，∴x-3=0或x-5=0，即x1=3，x2=5，∵一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，∴当底边长和腰长分别为3和5时，3+3＞5，∴△ABC的周长为：3+3+5=11；∴当底边长和腰长分别为5和3时，3+5＞5，∴△ABC的周长为：3+5+5=13；∴△ABC的周长为：11或13．故选：B．由一元二次方程x2-8x+15=0的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，利用因式分解法求解即可求得等腰△ABC的底边长和腰长，然后分别从当底边长和腰长分别为3和5时与当底边长和腰长分别为5和3时去分析，即可求得答案．此题考查了因式分解法解一元二次方程、等腰三角形的性质以及三角形三边关系．此题难度不大，注意分类讨论思想的应用．12.【答案】B【解析】解：∵a是方程x2+x-2016=0的实数根，∴a2+a-2016=0，∴a2=-a+2016，∴a2+2a+b=-a+2016+2a+b=a+b+2016，∵a、b是方程x2+x-2016=0的两个实数根，∴a+b=-1，∴a2+2a+b=-1+2016=2015．故选B．先根据一元二次方程的解的定义得到a2+a-2016=0，即a2=-a+2016，则a2+2a+b可化简为a+b+2016，再根据根与系数的关系得a+b=-1，然后利用整体代入的方法计算．本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=．也考查了一元二次方程的解．13.【答案】D【解析】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，故B选项错误；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，故C选项错误；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，故A选项错误；故选：D．根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．本题考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．14.【答案】C【解析】解：设平均每次降低成本的百分率为x，根据题意得：100（1-x）（1-x）=81，解得：x=0.1或1.9（不合题意，舍去）即：x=10%故选：C．设平均每次降低成本的百分率为x的话，经过第一次下降，成本变为100（1-x）元，再经过一次下降后成本变为100（1-x）（1-x）元，根据两次降低后的成本是81元列方程求解即可．此题主要考查了一元二次方程的应用，这是一道典型的数量调整问题，数量上调或下调x%后就变为原来的（1±x%）倍，调整2次就是（1±x%）2倍．15.【答案】A【解析】解：∵从图象可知：a＞0，c=0，-=1，b=-2a＜0，∴abc=0，∴①错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2-4ac＞0，∴b2＞4ac，∴②错误；∵把x=-2代入y=ax2+bx+c得：y=4a-2b+c＞0，∴③正确；∵x=-1时，y＞0，∴a-b+c＞0，把b=-2a代入得：3a+c＞0，选项④正确；∵对称轴为x=1，∴当x=1时，抛物线有最小值，∴a+b+c≤ax2+bx+c，∴ax2+bx＞a+b，∴⑤错误；故选A．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴x=1计算2a+b与偶的关系；再由根的判别式与根的关系，进而对所得结论进行判断．本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．16.【答案】解：（1）把y=4-2=2代入得：2=-x2+4，解得x=±2，∴此时可通过物体的宽度为2-（-2）=4＞2，∴能通过；（2）∵一辆货运卡车高4m，隧道的截面由抛物线和长方形构成．长方形的长是8m，宽是2m，∴货车上面有2m，在矩形上面，当y=2时，2=-x2+4，解得x=±2，∵2＞2，∴能通过．【解析】（1）可把y=2代入抛物线解析式，求得x的值，进而求得可通过隧道的物体的宽度，与汽车的宽比较，若大于则能通过；（2）利用（1）得到的x的值，与汽车的宽度2比较，若大于则能通过．考查二次函数的应用；根据所给图形判断出汽车过隧道时抛物线上的点距离路面的距离及判断单行道与双行道汽车能否通过的做法的区别是解决本题的关键．17.【答案】解：原方程整理可得：x2-x-6=0，左边因式分解可得（x+2）（x-3）=0，则x+2=0或x-3=0，解得：x=-2或x=3．【解析】整理成一般式后利用因式分解法求解可得．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18.【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；（2）由图可知，B1（1，3），C1（-1，3）．【解析】（1）根据图形旋转的性质画出△A1B1C1即可；（2）根据各点在坐标系中的位置写出点B1、C1的坐标即可．本题考查的是作图-旋转变换，熟知图形旋转不变性的性质是解答此题的关键．19.【答案】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），∴代入二次函数y=x2-2mx+m-1，得出：m-1=0，解得：m=1，∴二次函数的解析式为：y=x2-2x；（2）∵m=2，∴二次函数y=x2-2mx+m-1得：y=x2-4x+1=（x-4）2-7，∴抛物线的顶点为：D（4，-7），当x=0时，y=1，∴C点坐标为：（0，1），∴C（0，1）、D（4，-7）．【解析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点O（0，0），直接代入求出m的值即可；（2）根据m=2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与y轴交点即可．此题主要考查了二次函数的综合应用以及配方法求二次函数顶点坐标以等知识，根据数形结合得出是解题关键．20.【答案】解：（1）设花圃的宽AB为xm，长就为（24-3x）m，由题意得（24-3x）x=45，解得：x=3或x=5，当x=3时，24-3x=15＞10，舍去，当x=5时，24-3x=9＜10，符合题意，答：若要围成面积为45m2的花圃，AB的长是5米；（2）设矩形花圃的面积为y，则y=x（24-3x）=-3x2+24x=-3（x-4）2+48，∵24-3x≤10，解得x≥，∴当x＞4时，y随x的增大而减小，∴当x=时，y max=46，答：能围成面积比45m2更大的花圃，当AB的长为时，面积最大，最大面积为46m2．【解析】（1）设花圃的宽AB为xm，长就为（24-3x）m，根据矩形的面积公式列出方程，解方程得出x的值后根据墙的最大可用长度为10m取舍可得；（2）设矩形花圃的面积为y，根据矩形的面积公式列出函数解析式，利用二次函数的性质结合自变量x的范围求出最大值即可得．本题主要考查二次函数的应用，根据矩形的面积公式列出方程和二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．21.【答案】解：（1）连接AE、CE，如图1所示．∵将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BE，∴∠CBE=60°，BC=BE，∴△BCE为等边三角形，∴BE=CE．在△ABE和△ACE中，，∴△ABE≌△ACE（SSS），∴∠BAE=∠CAE=∠BAC=α．（2）△ABD为等边三角形．证明：∵△BCE为等边三角形，∴∠BEC=60°．∵△ABE≌△ACE，∴∠BEA=∠CEA=（360°-∠BEC）=150°，又∵∠BCD=150°，∴∠BEA=∠BCD．∵∠CBE=60°，∠ABD=60°，∴∠ABE+∠EBD=60°，∠EBD+∠DBC=60°，∴∠ABE=∠DBC．在△ABE和△DBC中，，∴△ABE≌△DBC（ASA），∴AB=DB．∵∠ABD=60°，∴△ABD为等边三角形．【解析】（1）连接AE、CE，根据旋转可得出∠CBE=60°、BC=BE，结合等边三角形的判定即可得出△BCE为等边三角形，进而可得出BE=CE，由AB=AC和AE=AE 利用全等三角形的判定定理SSS即可证出△ABE≌△ACE，再根据全等三角形的性质即可得出∠BAE=∠CAE=∠BAC，代入数据此题得解；（2）△ABD为等边三角形．由等边三角形的性质可得出∠BEC=60°，由（1）△ABE≌△ACE结合角的计算可得出∠BEA=150°=∠BCD，再由∠CBE=60°=∠ABD即可得出∠ABE=∠DBC，利用全等三角形的判定定理ASA 即可证出△ABE≌△DBC，即找出AB=DB，结合∠ABD=60°即可证出△ABD为等边三角形．本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，结合边角关系证出△ABE≌△ACE和△ABE≌△DBC是解题的关键．22.【答案】解：（1）设2015年学生人数为x人，则2016年学生数为x（1+a%），则2017年学生数为x（1+2a%），由题意，得：x（1+2a%）-x（1+a%）=400，∴a%x=400．∵2016年学生人数比2015年多的人数为：x（1+a%）-x=a%x=400，答：2016年学生数比2015年多400人；（2）设2015年教室总面积为m平方米，则2017年的教室总面积为m（1+2.5a%）平方米，由题意，得，解得：．经检验，a=10，x=1000，m=1200都是原方程组的解．∴该校2017年的教室总面积为：1200（1+2.5%×10）=1500平方米．答：该校2013年的教室总面积为1500平方米．【解析】（1）设2015年学生人数为x人，则2016年学生数为x（1+a%），则2017年学生数为x（1+2a%），根据2017年学生数比2016年多了400人建立方程求出其解即可；（2）设2015年教室总面积为m平方米，则2017年的教室总面积为m（1+2.5a%）平方米，根据2017年每个学生人平均教室面积比2015年增加了、达到了a平方米，建立方程组求出其解即可．本题主要考查了列分式方程组解实际问题的应用，方程组的解法的运用，解答时设出参数求出其值是解答本题的关键．23.【答案】CM=BN【解析】解：（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：如图1，∵正方形BEFG，正方形ABCD，∴GB=BE，∠ABG=90°，AB=BC，∠ABC=90°，在△ABG和△BEC中，，∴△ABG≌△BEC（SAS），∴CE=AG，∠BCE=∠BAG，延长CE交AG于点M，∴∠BEC=∠AEM，∴∠ABC=∠AME=90°，∴AG=EC，AG⊥EC；（2）∠EMB的度数不发生变化，∠EMB的度数为45°，理由为：如图2，过B作BP⊥EC，BH⊥AM，在△ABG和△CEB中，，∴△ABG≌△CEB（SAS），∴S△ABG=S△EBC，AG=EC，∴EC•BP=AG•BH，∴BP=BH，∴MB为∠EMG的平分线，∵∠AMC=∠ABC=90°，∴∠EMB=∠EMG=×90°=45°；（3）CM=BN，理由为：如图3，在NA上截取NQ=NB，连接BQ，∴△BNQ为等腰直角三角形，即BQ=BN，∵∠AMN=45°，∠N=90°，∴△AMN为等腰直角三角形，即AN=MN，∴MN-BN=AN-NQ，即AQ=BM，∵∠MBC+∠ABN=90°，∠BAN+∠ABN=90°，∴∠MBC=∠BAN，在△ABQ和△BCM中，，∴△ABQ≌△BCM（SAS），∴CM=BQ，则CM=BN．故答案为：CM=BN．（1）AG=EC，AG⊥EC，理由为：由正方形BEFG与正方形ABCD，利用正方形的性质得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS得出三角形ABG与三角形CBE全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到CE=AG，∠BCE=∠BAG，再利用同角的余角相等即可得证；（2）∠EMB的度数为45°，理由为：过B作BP⊥EC，BH⊥AM，利用SAS得出三角形ABG与三角形BEC全等，由全等三角形的面积相等得到两三角形面积相等，而AG=EC，可得出BP=BH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上得到BM为角平分线，再由∠BAG=∠BCE，及一对对顶角相等，得到∠AMC 为直角，即∠AME为直角，利用角平分线定义即可得证；（3）CM=BN，在AN上截取NQ=NB，可得出三角形BNQ为等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质得到BQ=BN，接下来证明BQ=CM，即要证明三角形ABQ与三角形BCM全等，利用同角的余角相等得到一对角相等，再由三角形ANM为等腰直角三角形得到NA=NM，利用等式的性质得到AQ=BM，利用SAS可得出全等，根据全等三角形的对应边相等即可得证．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，角平分线的判定，熟练掌握正方形的性质是解本题的关键，是一道中等难度的中考常考题．24.【答案】1；a-2；a；-a【解析】解：（1）∵抛物线y=2x2-4x+a=2（x-1）2+a-2，∴M（1，a-2），A（0，a），∴直线AM的解析式为y=-2x+a①，∵直线y=x-a②与直线AM相交于点N．联立①②得，N（a，-a）；故答案为：1，a-2；a，-a；（2）∵由题意得点N与点N′关于y轴对称，∴N′（-a，-a）．将N′的坐标代入y=2x2-4x+a得：-a=2×a2-4×（-a）+a，∴a1=0（不合题意，舍去），a2=-．∴N（-3，），∴点N到y轴的距离为3．∵A（0，-），N'（3，），∴直线AN'的解析式为y=2x-，它与x轴的交点为D（，0）∴点D到y轴的距离为．∴S=S△ACN+S△ACD=××3+××=；四边形ADCN（3）存在，理由如下：如图，①当点P在y轴的左侧时，若ACPN是平行四边形，则PN AC，∵AC=-2a，∴把N向上平移-2a个单位得到P，坐标为（（a，-a），代入抛物线的解析式y=2x2-4x+a，得：-a=a2-a+a，解得a1=0（不舍题意，舍去），a2=-，则P（-，）；②当点P在y轴的右侧时，若APCN是平行四边形，则AC与PN互相平分，则OA=OC，OP=ON．则P与N关于原点对称，则P（-a，a）；将P点坐标代入抛物线解析式y=2x2-4x+a，得：a=a2+a+a，解得a1=0（不合题意，舍去），a2=-，则P（，-）．故存在这样的点P（-，）或（，-）．能使得以P，A，C，N为顶点的四边形是平行四边形．（1）已知了抛物线的解析式，不难用公式法求出M的坐标为（1，a-1）．由于抛物线过A点，因此A的坐标是（0，a）．根据A，M的坐标，用待定系数法可得出直线AM的解析式为y=-2x+a．直线AM和y=x-a联立方程组即可求出N的坐标为（a，-a）．（2）根据折叠的性质不难得出N与N′正好关于y轴对称，因此N′的坐标为（a，-a）．由于N′在抛物线上，因此将N′的坐标代入抛物线的解析式中即可得出a的值．也就能确定N，C的坐标．求四边形ADCN的面积，可分成△ANC 和△ADC两部分来求．已经求得了A，C，N的坐标，可求出AC的长以及N，D到y轴的距离．也就能求出△ANC和△ADC的面积，进而可求出四边形ADCN的面积．（3）分两种情况进行讨论：①当P在y轴左侧时，如果使以P，N，A，C为顶点的四边形为平行四边形，那么P需要满足的条件是PN平行且相等于AC，也就是说，如果N点向上平移AC个单位即-2a后得到的点就是P点．然后将此时P的坐标代入抛物线中，如果没有解说明不存在这样的点P，如果能求出a的值，那么即可求出此时P 的坐标．②当P在y轴右侧时，P需要满足的条件是PN与AC应互相平分（平行四边形的对角线互相平分），那么NP必过原点，且关于原点对称．那么可得出此时P的坐标，然后代入抛物线的解析式中按①的方法求解即可此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、图形旋转变换、平行四边形的性质等重要知识点，综合性强，能力要求较高．考查学生分类讨论，数形结合的数学思想方法．。

2022-2023湖北省宜昌九年级（上）期中数学试卷一、选择题：1．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣22．关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤03．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：164．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A．9% B．10% C．11% D．12%5．已知0≤x≤1，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6 B．0 C．2 D．46．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2 7．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．48．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△DEC．若∠A=40°，∠E=110°，则∠BCD的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°9．如图，在平行四边形ABCD中，E在DC边上，若DE：EC=1：2，则△CEF与△ABF的面积比为（）A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．1：910．设x1，x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（）A．3 B．9 C．﹣3 D．1511．某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（）台．A．81 B．648 C．700 D．72912．如图，点A、B、C在圆O上，∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°13．如图，AB是圆O的直径，点M是圆O上一点，若AM=8cm，AB=10cm，ON ⊥BM于点N，则BN的长为（）A．cm B．3cm C．5cm D．6cm14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c＜0②a﹣b+c＜0③b+2a＜0④abc＞0（5）b2＜4ac，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个15．直线y=ax+b和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．二、解答题（本题共9个小题，计75分）16．解方程：x2﹣4x﹣2=0．17．如图，半径为5的⊙P与x轴交于点M（4，0），N（10，0），求点P的坐标．18．小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以原点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△DEF．（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△HMN，△ABC与△HMN的位似比为；（3）△HMN的面积=．20．某公司新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出商铺间．（2）在10万元的基础上，若每间商铺的年租金上涨x万元，该公司的年收益为y万元，写出y与x之间的关系式．（3）为了使该公司的年收益不少于275万元，应如何控制每间商铺的年租金？（收益=租金﹣各种费用）21．宜昌四中男子篮球队在全区篮球比赛中蝉联冠，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）运动员小涛的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？22．某园林绿化公司购回一批香樟树，全部售出后利润率为20%．（1）求每棵香樟树的售价与成本的比值．（2），该公司购入香樟树数量增加的百分数与每棵香樟树成本降低的百分数均为a，经测算，若每棵香樟树售价不变，则总成本将比的总成本减少8 万元；若每棵香樟树售价提高百分数也为a，则销售这批香樟树的利润率将达到4a．求a的值及相应的购买香樟树的总成本．23．在矩形ABCD中，BC=6，点E是AD边上一点，连接BE，∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P在线段ED运动，过点P作PQ∥BD交BE于点Q．（1）如图1，设PD=x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y 与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）如图2，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G，求线段PG的长．24．如图，直线y=﹣x+2与x轴、x轴分别交于点A、B，两动点D、E分别从A、B同时出发向点O运动（运动到O点停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为G点，与AB相交于点F．（1）写出点A、B的坐标．（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长．（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t值，使△ADF为直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．2022-2023湖北省宜昌九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：1．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2【考点】A3：一元二次方程的解．【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．【解答】解：∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，∴22+2p﹣2=0，解得p=﹣1．故选：C．2．关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，则（）A．k＜0 B．k＞0 C．k≥0 D．k≤0【考点】AA：根的判别式．【分析】由一元二次方程有实数根得出△=02﹣4×1×k≥0，解不等式即可．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+k=0有实数根，∴△=02﹣4×1×k≥0，解得：k≤0；故选：D．3．若两个相似多边形的面积之比为1：4，则它们的周长之比为（）A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．1：16【考点】S6：相似多边形的性质．【分析】根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方，周长之比等于相似比，就可求解．【解答】解：∵两个相似多边形面积比为1：4，∴周长之比为=1：2．故选：B．4．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2．若每年的年增长率相同，则年增长率为（）A．9% B．10% C．11% D．12%【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】如果设每年的增长率为x，则可以根据“住房面积由现在的人均约为10m2提高到12.1m2”作为相等关系得到方程10（1+x）2=12.1，解方程即可求解．【解答】解：设每年的增长率为x，根据题意得10（1+x）2=12.1解得x=0.1或x=﹣（舍去）故选B．5．已知0≤x≤1，那么函数y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（）A．﹣6 B．0 C．2 D．4【考点】H7：二次函数的最值．【分析】把二次函数的解析式整理成顶点式形式，然后确定出最大值．【解答】解：∵y=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在x＜2上y随x的增大而增大．又∵0≤x≤1，2（1﹣2）2+2=0．∴当x=1时，y取最大值，y最大=﹣故选：B．6．将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2﹣2 D．y=（x+1）2﹣2【考点】H6：二次函数图象与几何变换．【分析】根据函数图象右移减、左移加，上移加、下移减，可得答案．【解答】解：将二次函数y=x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是y=（x﹣1）2+2，故选：A．7．如图，已知△ABC和△ADE均为等边三角形，D在BC上，DE与AC相交于点F，AB=9，BD=3，则CF等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质．【分析】利用两对相似三角形，线段成比例：AB：BD=AE：EF，CD：CF=AE：EF，可得CF=2．【解答】解：如图，∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴∠B=∠BAC=60°，∠E=∠EAD=60°，∴∠B=∠E，∠BAD=∠EAF，∴△ABD∽△AEF，∴AB：BD=AE：EF．同理：△CDF∽△EAF，∴CD：CF=AE：EF，∴AB：BD=CD：CF，即9：3=（9﹣3）：CF，∴CF=2．故选：B．8．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△DEC．若∠A=40°，∠E=110°，则∠BCD的度数是（）A．110°B．80°C．40°D．30°【考点】R2：旋转的性质．【分析】首先根据旋转的性质求出教B的度数，进而求出∠ACB的度数，然后求出∠BCD的度数．【解答】解：∵△ABC绕着点C顺时针旋转50°后得到△DEC，∴∠B=∠E，∠A=∠D，∵∠A=40°，∠E=110°，∴∠B=∠E=110°，∠A=∠D=40°，∴∠ACB=180°﹣40°﹣110°=30°，∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=30°+50°=80°，故选B．9．如图，在平行四边形ABCD中，E在DC边上，若DE：EC=1：2，则△CEF与△ABF的面积比为（）A．1：4 B．2：3 C．4：9 D．1：9【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L5：平行四边形的性质．【分析】根据已知可得到相似三角形，从而可得到其相似比，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方就可得到答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD=AB．∴△DFE∽△BFA，∵DE：EC=1：2，∴EC：DC=CE：AB=2：3，∴△CEF与△ABF的面积比=，故选C．10．设x1，x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，则x12+x22的值为（）A．3 B．9 C．﹣3 D．15【考点】AB：根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣3，则x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2．【解答】解：∵x1，x2是方程x2+3x﹣3=0的两个实数根，∴x1+x2=﹣3，x1•x2=﹣3，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（﹣3）2﹣2×（﹣3）=15．故选：D．11．某种电脑病毒传播的非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染，若病毒得不到有效控制，三轮感染后，被感染的电脑有（）台．A．81 B．648 C．700 D．729【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】首先设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．则经过一轮感染，1台电脑感染给了x台电脑，这（x+1）台电脑又感染给了x（1+x）台电脑．利用等量关系：经过两轮感染后就会有81台电脑被感染得出即可求得每轮感染会感染多少台，求得三轮后的台数即可．【解答】解：设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑．根据题意，得：1+x+x（1+x）=81，整理得：（1+x）2=81，解得：x1=8，x2=﹣10（不合题意，应舍去）．81×8=648台，故选B．12．如图，点A、B、C在圆O上，∠ABO=50°，则∠ACB的大小为（）A．40°B．30°C．45°D．50°【考点】M5：圆周角定理．【分析】根据等边对等角及圆周角定理求角即可．【解答】解：∵OA=OB∴∠OAB=∠OBA=50°∴∠AOB=80°∴∠ACB=40°．故选A．13．如图，AB是圆O的直径，点M是圆O上一点，若AM=8cm，AB=10cm，ON ⊥BM于点N，则BN的长为（）A．cm B．3cm C．5cm D．6cm【考点】M2：垂径定理；KQ：勾股定理．【分析】根据圆周角定理得到∠M=90°，根据勾股定理求出BM，根据垂径定理计算即可．【解答】解：∵AB是圆O的直径，∴∠M=90°，∴BM==6，∵ON⊥BM，∴BN=BM=3cm，故选：B．14．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论①a+b+c＜0②a﹣b+c＜0③b+2a＜0④abc＞0（5）b2＜4ac，其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】H4：二次函数图象与系数的关系．【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与x轴交点个数，以及x=﹣1，x=1对应y值的正负判断即可．【解答】解：∵把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c＞0，∴①错误；∵把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c＜0，∴②正确；∵从图象可知：﹣＜1，即2a+b＞0，∴③错误；∵从图象可知：a＜0，c＞0，﹣＞0，∴b＞0，∴abc＜0，∴④错误；∵图象和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴b2＞4ac，∴⑤错误；故选A．15．直线y=ax+b和抛物线y=ax2+bx+c在同一坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【考点】H2：二次函数的图象；F3：一次函数的图象．【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．【解答】解：A、由一次函数的图象，得a＞0，二次函数的图象应开口向上，故A错误；B、由一次函数的图象，得a＞0，b＞0，二次函数的图象的对称轴应在y轴的左侧，故B错误；C、由一次函数的图象，得a＞0，b，0，二次函数的图象的对称轴应在y轴的左侧，故C正确；D、由一次函数的图象，得a＞0，b＜0，二次函数的图象的对称轴应在y轴的，右侧，故D错误；故选：C．二、解答题（本题共9个小题，计75分）16．解方程：x2﹣4x﹣2=0．【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法．【分析】先计算出△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，然后代入一元二次方程的求根公式进行求解．【解答】解：∵a=1，b=﹣4，c=﹣2，∴△=（﹣4）2﹣4×1×（﹣2）=4×6，∴x===2±，∴x1=2+，x2=2﹣．17．如图，半径为5的⊙P与x轴交于点M（4，0），N（10，0），求点P的坐标．【考点】M2：垂径定理；D5：坐标与图形性质．【分析】直接利用垂径定理结合勾股定理得出PA的长，进而得出答案．【解答】解：过点P作PA⊥MN，于点A，∵M（4，0），N（10，0），∴MN=6，∵半径为5，PA⊥MN，∴MA=3，则PA==4，AO=7，∴P点坐标为：（7，4）．18．小左同学想利用影长测量学校旗杆的高度，如图，她在某一时刻立一长度为1米的标杆，测得其影长为0.8米，同时旗杆投影的一部分在地上，另一部分在某一建筑物的墙上，测得旗杆与建筑物的距离为10米，旗杆在墙上的影高为2米，请帮小左同学算出学校旗杆的高度．【考点】SA：相似三角形的应用；U5：平行投影．【分析】先求出墙上的影高落在地面上时的长度，再设旗杆的高度h米，根据同一时刻物高与影长成正比列出关系式求出h的值即可．【解答】解：设墙上的影高2米落在地面上时的长度为x米，旗杆的高度为h米，∵某一时刻测得长为1米的竹竿影长为0.8米，墙上的影高为2米，∴=，解得x=1.6（米），∴树的影长为：1.6+10=11.6（米），∴=，解得h=14.5（米）．答：学校旗杆的高度14.5米．19．如图，正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以原点O为对称中心，画出△ABC的中心对称图形△DEF．（2）以原点O为位似中心，在原点的另一侧画出△ABC的位似三角形△HMN，△ABC与△HMN的位似比为；（3）△HMN的面积=10．【考点】SD：作图﹣位似变换；P7：作图﹣轴对称变换；R8：作图﹣旋转变换．【分析】（1）利用关于原点对称的点的坐标特征，写出点D、E、F的坐标，然后描点即可；（2）延长AO到H使OH=2AO，则点H为点A的对应点，同样方法作出点B的对应点M、点C的对应点N，从而得到△HMN；（3）利用矩形的面积分别减去三个三角形的面积可计算△HMN的面积．【解答】解：（1）如图，△DEF为所作；（2）如图，△HMN为所作；（3）△HMN的面积=6×4﹣×6×2﹣×4×2﹣×4×2=10．故答案为10．20．某公司新建了一商场，共有商铺30间．据预测，当每间的年租金定为10万元时，可全部租出．每间的年租金每增加5000元，少租出商铺1间．该公司要为租出的商铺每间每年交各种费用1万元，未租出的商铺每间每年交各种费用5000元．（1）当每间商铺的年租金定为13万元时，能租出商铺24间．（2）在10万元的基础上，若每间商铺的年租金上涨x万元，该公司的年收益为y万元，写出y与x之间的关系式．（3）为了使该公司的年收益不少于275万元，应如何控制每间商铺的年租金？（收益=租金﹣各种费用）【考点】HE：二次函数的应用；AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）根据租出间数=30﹣增加了多少个5000元，计算即可；（2）根据年收益=租出去的商铺的收益﹣未租出的商铺的费用计算即可；（3）把（2）得到的关系式中的函数值等于275计算即可．【解答】解：（1）租出间数为：30﹣÷5000=30﹣6=24间；故答案为：24（2）y=（x﹣1）×[30﹣（x﹣10）÷0.5]﹣[（x﹣10）÷0.5]×0.5，=﹣2x2+51x﹣40；（3）275=﹣2x2+51x﹣40，解得x1=10.5，x2=15答：每间商铺的年租金定为10.5万元或15万元．21．宜昌四中男子篮球队在全区篮球比赛中蝉联冠，让全校师生倍受鼓舞．在一次与第25中学的比赛中，运动员小涛在距篮下4米处跳起投篮，如图所示，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的表达式；（2）运动员小涛的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，小涛跳离地面的高度是多少？【考点】HE：二次函数的应用．【分析】（1）设抛物线的表达式为y=ax2+3.5，利用待定系数法，可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．【解答】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y=ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5=3.05，解得：a=﹣0.2，∴抛物线的表达式为y=﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y=﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25=（h+2.05）m，∴h+2.05=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h=0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．22．某园林绿化公司购回一批香樟树，全部售出后利润率为20%．（1）求每棵香樟树的售价与成本的比值．（2），该公司购入香樟树数量增加的百分数与每棵香樟树成本降低的百分数均为a，经测算，若每棵香樟树售价不变，则总成本将比的总成本减少8 万元；若每棵香樟树售价提高百分数也为a，则销售这批香樟树的利润率将达到4a．求a的值及相应的购买香樟树的总成本．【考点】AD：一元二次方程的应用．【分析】（1）设每棵树的投入成本为x万元，则每棵树的售价=x（1+20%）万元，每棵树的售价与投入成本的比值=1.2；（2）设购入桂花树数量的数量为m棵，每棵树投入成本为x万元，则每棵树的售价=x（1+20%）万元，总成本为mx万元；购入桂花树数量的数量为m（1+a）棵，每棵树投入成本为x（1﹣a）万元，每棵树的售价=x（1+20%）万元，总成本为mx（1+a）（1﹣a）万元，进而利用总成本将比的总成本减少8万元得出等式求出即可．【解答】解：（1）设每棵树的投入成本为x万元，则每棵树的售价=x（1+20%）万元，每棵树的售价与投入成本的比值=1.2x：x=1.2．或者，∵=20%，∴﹣1=0.2，∴=1.2；（2）设购入桂花树数量的数量为m棵，每棵树投入成本为x万元，则每棵树的售价=x（1+20%）万元，总成本为mx万元；购入桂花树数量的数量为m（1+a）棵，每棵树投入成本为x（1﹣a）万元，每棵树的售价=x（1+20%）万元，总成本为mx（1+a）（1﹣a）万元．依题意，mx﹣mx（1+a）（1﹣a）=8 ①，x（1+20%）（1+a）=x（1﹣a）（1+4a）②，整理①式得，mxa2=8，整理②式得，20a2﹣9a+1=0，解得a=或a=．将a的值分别代入mxa2=8，当a=时，mx=128；总投入成本=mx﹣8=128﹣8=120（万元），当a=时，mx=200；总投入成本=mx﹣8=200﹣8=192（万元）．23．在矩形ABCD中，BC=6，点E是AD边上一点，连接BE，∠ABE=30°，BE=DE，连接BD．点P在线段ED运动，过点P作PQ∥BD交BE于点Q．（1）如图1，设PD=x，以P、Q、D三点为顶点所构成的三角形面积为y，求y 与x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）如图2，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G，求线段PG的长．【考点】LO：四边形综合题．【分析】（1）先过过点E作EM⊥QP垂足为M；在Rt△EQP中，易得∠EBD=∠EDB=30°；进而可得PE=PQ，且BE=DE．即可得出BE=PD+PQ，再面积公式可得y与x的关系；（2）连接PC交BD于点N，可得∠QPC=90°，进而可得△PNG∽△QPC；可得；解可得PG的长．【解答】解：∵∠A=90°∠ABE=30°，∴∠AEB=60°．∵EB=ED，∴∠EBD=∠EDB=30°．∵PQ∥BD，∴∠EQP=∠EBD．∠EPQ=∠EDB．∴∠EPQ=∠EQP=30°，∴EQ=EP．过点E作EM⊥QP垂足为M．则PQ=2PM．∵∠EPM=30°，∴PM=PE，PE=PQ．∵BE=DE=PD+PE，∴BE=PD+PQ．由题意知AE=BE，∴DE=BE=2AE．∵AD=BC=6，∴2AE=DE=BE=4．∵当点P在线段ED上，过点Q做QH⊥AD于点H，则QH=PQ=x．由（1）得PD=BE﹣x，PD=4﹣x．∴y=PD•QH=﹣x2+x．（3）解：连接PC交BD于点N（如图3）．∵点P是线段ED中点，∴EP=PD=2，PQ=2．∵DC=AB=AE•tan60°=2，∴PC==4．∴cos∠DPC==．∴∠DPC=60°．∴∠QPC=180°﹣∠EPQ﹣∠DPC=90°．∵PQ∥BD，∴∠PND=∠QPC=90°．∴PN=PD=1．QC==2．∵∠PGN=90°﹣∠FPC，∠PCF=90°﹣∠FPC，∴∠PGN=∠PCF．∵∠PNG=∠QPC=90°，∴△PNG∽△QPC，∴，∴PG=×=．24．如图，直线y=﹣x+2与x轴、x轴分别交于点A、B，两动点D、E分别从A、B同时出发向点O运动（运动到O点停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为G点，与AB相交于点F．（1）写出点A、B的坐标．（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长．（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．（4）是否存在t值，使△ADF为直角三角形？若存在，求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．【考点】HF：二次函数综合题．【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到，可判定△AFG与△AGB相似；（4）先得出∠DAF=60°，再分两种情况用∠DAF的正切值建立方程求解即可得出结论．【解答】解：（1）在直线y=﹣x+2中，令y=0，可得0=﹣x+2，解得x=2，令x=0，可得y=2，∴A为（2，0），B为（0，2）；（2）由（1）可知OA=2，OB=2，∴tan∠ABO==，∴∠ABO=30°，∵运动时间为t秒，∴BE=t，∵EF∥x轴，∴在Rt△BEF中，EF=BE•tan∠ABO=BE=t，BF=2EF=2t，在Rt△ABO中，OA=2，OB=2，∴AB=4，∴AF=4﹣2t；（3）相似．理由如下：当四边形ADEF为菱形时，则有EF=AF，即t=4﹣2t，解得t=，∴AF=4﹣2t=4﹣=，OE=OB﹣BE=2﹣×=，如图，过G作GH⊥x轴，交x轴于点H，则四边形OEGH为矩形，∴GH=OE=，又EG∥x轴，抛物线的顶点为A，∴OA=AH=2，在Rt△AGH中，由勾股定理可得AG2=GH2+AH2==，又AF•AB=×4=，∴AF•AB=AG2，即，且∠FAG=∠GAB，∴△AFG∽△AGB．（4）存在，理由：∵A（2，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，由运动知，BE=t，AD=t，OE=2﹣t，∴F（t，2﹣t），D（2﹣t，0），E（0，t）∵A（2，0），∴DF==，AF==在Rt△AOB中，tan∠OAB==，∴∠DAF=60°，∵△ADF为直角三角形，∴①当∠ADF=90°时，在Rt△ADF中，tan∠DAF====，∴t=1，∴E（0，），将此点E的坐标代入抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，得，=4a，∴a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2，②当∠AFD=90°时，在Rt△ADF中，tan∠DAF===，∴t=或t=4（舍），∴E（0，），将此点E的坐标代入抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2，得，=4a，∴a=，∴抛物线的解析式为y=（x﹣2）2，即：满足条件的抛物线解析式为y=（x﹣2）2，或y=（x﹣2）2．5月19日。

2024-2025学年九年级数学上学期期中模拟卷（湖北省卷专用）（考试时间：120分钟试卷满分：120分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教版第21章一元二次方程+第22章二次函数+第23章旋转+第24章24.2。

5．难度系数：0.65。

第一部分（选择题共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．二次函数y＝2（x﹣2）2﹣1图象的顶点坐标为（ ）A．（﹣2，1）B．（2，1）C．（2，﹣1）D．（﹣2，﹣1）2．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量，下列是有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（ ）A．B．C．D．3．如图，EF、CD是⊙O的两条直径，A是劣弧DF的中点，若∠EOD＝32°，则∠CDA的度数是（ ）A ．37°B ．74°C ．53°D ．63°4．关于x 的一元二次方程ax 2﹣x +1＝0有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．a ≤14且a ≠0B ．a ≤14C ．a ≥14且a ≠0D ．a ≥145．关于二次函数y ＝﹣（x +1）2+3的图象，下列说法错误的是（ ）A ．开口向下B ．对称轴为直线x ＝﹣1C ．当x ＜﹣1时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＝﹣1时，函数有最小值，最小值为y ＝36．如图，将△ABC 绕点A 顺时针旋转90°得到△ADE ，若∠DAE ＝50°，则∠CAD ＝（ ）A ．30°B ．40°C ．50°D ．90°7．若m 是方程2x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则6m 2﹣9m +2024的值为（ ）A ．2025B ．2026C ．2027D ．20288．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，如图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O 为圆心，5米为半径的圆，且圆心在水面上方，若圆被水面截得的弦AB 长为8米，则筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为（ ）A．1米B．2米C．3米D．4米9．如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m）的矩形鸭舍，其面积为15m2，在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其它材料制成），则BC长为（ ）A．5m或6m B．2.5m或3m C．5m D．3m10．如图，已知开口向下的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（6，0），对称轴为直线x＝2．则下列结论：①abc＜0；②a﹣b+c＞0；③4a+b＝0；④抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜2＜x2且x1+x2＞4，则y1＜y2．其中正确的有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个第二部分（非选择题共90分）二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．方程（m+2）x|m|+3mx+1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为 ．12．在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x﹣2023）（x﹣2024）+5的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则PQ＝ ．13．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，∠BAC＝45°，AB＝3，AC＝4．连接BE，则BE 的长为 ．14．一个菱形的边长是方程x2﹣9x+18＝0的一个根其中一条对角线长为6，则该菱形的面积为 ．15．如图，矩形ABCD中，AD=，点E是矩形内部一动点，且∠BAE＝∠CBE，已知DE的最小值等于2，则矩形ABCD的周长＝ ．三、解答题（本大题共9小题，满分75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（每小题4分，共8分）解下列方程：（1）x2﹣4x+1＝0；（2）（x+2）2＝6+3x．17．（6分）已知关于x的一元二次方程mx2+2（m+1）x+m﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且x21+x22=8，求m的值．18．（7分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0），B（1，1），C（4，2）．（1）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点B的对应点B1的坐标 ；（2）画出将△ABC绕点Q（0，﹣1）逆时针旋转90°后得到的△A2B2C2；（3）求△ABC的面积．19．（7分）我国快递行业迅速发展，经调查，某快递公司今年2月份投递快递总件数为20万件，4月份投递快递总件数33.8（1）求该公司投递快递总件数的月增长率；（2）若该公司每月投递快递总件数的增长率保持不变，那么5月份投递快递总件数是否达到45万件？20．（7分）已知抛物线y＝ax2﹣4x与x轴交于点A（4，0），其顶点记作点P．（1）求此抛物线的顶点P的坐标．（2）将抛物线y＝ax2﹣4x向左平移m（m＞0）个单位，使其顶点落在直线y＝x上，求平移后新抛物线的表达式．21．（8分）如图，AB为⊙O的直径，OC⊥AB交⊙O于点C，D为OB上一点，延长CD交⊙O于点E，延长OB至F，使DF＝FE，连接EF．（1）求证：EF为⊙O的切线；（2）若OD＝1且BD＝BF，求⊙O的半径．22．（10分）某超市在“元宵节”来临前夕，购进一种品牌元宵，每盒进价是20元，超市规定每盒售价不得少于25元，根据以往销售经验发现；当售价定为每盒25元时，每天可卖出250盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出10盒．（1）试求出每天的销售量y（盒）与每盒售价x（元）之间的函数关系式；（2）当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P（元）最大？最大利润是多少？（3）为稳定物价，有关管理部门限定：这种元宵的每盒售价不得高于38元，如果超市想要每天获得不低于2000元的利润，那么超市每天至少销售元宵多少盒？23．（10分）已知△AOB和△MON＜OM＜OA），∠AOB＝∠MON＝90°．（1）如图①，连AM，BN AOM≌△BON；（2）若将△MON绕点O顺时针旋转．①如图②，当点N恰好在AB边上时，求证：BN2+AN2＝2ON2；②当点A，M，N在同一条直线上时，若OB＝5，ON＝4，请直接写出线段BN的长．24．（12分）平面直角坐标系中，抛物线y=a(x―1)2+92与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．。

湖北省宜昌市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列说法正确的是（）A . 带“＋号”和带“－”号的数互为相反数B . 数轴上原点两侧的两个点表示的数是相反数C . 和一个点距离相等的两个点所表示的数一定互为相反数D . 一个数前面添上“－”号即为原数的相反数2. （2分）下列图形是中心对称图形的是（）A .B .C .D .3. （2分） (2017七上·潮阳月考) 下列各组单项式中，为同类项的是（）A . a3与a2B . a2与2a2C . 2xy与2xD . ﹣3与a4. （2分）(2014·宜宾) 已知⊙O的半径r=3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：①若d＞5，则m=0；②若d=5，则m=1；③若1＜d＜5，则m=3；④若d=1，则m=2；⑤若d＜1，则m=4．其中正确命题的个数是（）A . 1B . 2C . 35. （2分）抛物线，，的图象开口最大的是（）A .B . y= -3x2C . y=2x2D . 不确定6. （2分） (2018九上·宜昌期中) 抛物线的顶点坐标是（）A . (2, 1)B . (-2, 1)C . (2, -1)D . (-2, -1)7. （2分）用配方法解一元二次方程x2-4x+3=0时可配方得（）A . （x-2）2=7B . （x-2）2=1C . （x+2）2=1D . （x+2）2=28. （2分）一元二次方程kx2-2x-1=0有实数根，则k的取值范围是（）A . k≥-1且k≠0B . k≥-1C . k≤-1且k≠0D . k≥-1或k≠09. （2分）(2017·莲池模拟) 如图，将斜边长为4，∠A为30°角的Rt△ABC绕点B顺时针旋转120°得到△A′C′B，弧、是旋转过程中A、C的运动轨迹，则图中阴影部分的面积为（）A . 4π+2B . π﹣2C . π+210. （2分）某种商品经过两次降价，由每件100元调至81元，则平均每次降价的百分率是（）A . 8.5%B . 10%C . 9.5%D . 9%11. （2分）(2018·苏州模拟) 我们把1，1，2，3，5，8，13，21，…这组数称为斐波那契数列，为了进一步研究，依次以这列数为半径作90°圆弧，，，…得到斐波那契螺旋线，然后顺次连结，，，…得到螺旋折线（如图），已知点（0，1），（，0），（0，），则该折线上的点的坐标为（）A . （，24）B . （，25）C . （，24）D . （，25）12. （2分）(2020·唐河模拟) 二次函数 ( 为常数)的图象不经过第三象限，当≤3时，y的最大值为-3，则a的值是（）A .B .C . 2D . -2二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2020九上·孝义期中) 在平面直角坐标系中，已知点与点关于原点对称，则点的坐标是________．14. （1分）若方程ax2+bx+c=0（a≠0）满足9a﹣3b+c=0，则方程必有一根为________．15. （1分）一般地，形如________ 的函数是二次函数．16. （1分）在2017年的“双11”网上促销活动中，淘宝网的交易额突破了3200000000元，将数字3200000000用科学记数法表示________．17. （1分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现：如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件．则商场降价后每天盈利y(元)与降价x(元)的函数关系式为________．18. （1分）(2020·苏州模拟) 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝，D为边AC上一动点（C点除外），把线段BD绕着点D沿着顺时针的方向旋转90°至DE，连接CE，则△CDE面积的最大值为________.三、解答题 (共8题；共92分)19. （5分）已知：实数x满足（x2+x）2﹣（x2+x）﹣6=0，求：代数式x2+x+5的值．20. （20分） (2017九上·黄冈期中) 如图，的顶点坐标分别为，，，将绕原点顺时针旋转，得到．（1）画出；（2）直接写出各顶点坐标；（3）若二次函数的图象经过点、、，求二次函数的解析式；（4）请在平面直角坐标系中画出的二次函数的图象．…………21. （5分）先化简，再求值：÷（1﹣），其中a=﹣2．22. （10分） (2018九上·松原月考) 二次函数的部分图象如图所示，其中图象与x轴交于点A（－1,0），与y轴交于点C（0，－5），且经过点D（3，－8）.（1）求此二次函数的解析式；（2）用配方法将将此二次函数的解析式写成的形式，并直接写出此二次函数图象的顶点坐标以及它与x轴的另一个交点B的坐标.23. （15分）抛物线y=x2﹣2mx+m2﹣4与x轴交于A，B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为x=1．（1）求抛物线的表达式；（2）若CD∥x轴，点D在点C的左侧，CD= AB，求点D的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线在直线x=t右侧的部分沿直线x=t翻折后的图形记为G，若图形G与线段CD有公共点，请直接写出t的取值范围．24. （12分）(2017·黄石港模拟) 某商店原来将进货价为8元的商品按10元售出，每天可销售200件．现在采用提高售价，减少进货量的方法来增加利润，已知每件商品涨价1元，每天的销售量就减少20件．设这种商品每个涨价x元．（1）填空：原来每件商品的利润是________元，涨价后每件商品的实际利润是________元（可用含x的代数式表示）；（2）为了使每天获得700元的利润，售价应定为多少元？（3）售价定为多少元时，每天利润最大，最大利润是多少元？25. （10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是AB的中点，点P是AB上的一个动点（点P 与点A、B不重合），矩形PECF的顶点E，F分别在BC，AC上．（1）探究DE与DF的关系，并给出证明;（2）当点P满足什么条件时，线段EF的长最短？（直接给出结论，不必说明理由）26. （15分）(2017·杭州) 在平面直角坐标系中，设二次函数y1=（x+a）（x﹣a﹣1），其中a≠0．（1）若函数y1的图象经过点（1，﹣2），求函数y1的表达式；（2）若一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；（3）已知点P（x0 ， m）和Q（1，n）在函数y1的图象上，若m＜n，求x0的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共6题；共6分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共92分)答案：19-1、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、答案：20-4、考点：解析：答案：21-1、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：答案：23-1、答案：23-2、答案：23-3、考点：解析：答案：24-1、答案：24-2、答案：24-3、考点：解析：答案：25-1、答案：25-2、考点：解析：答案：26-1、答案：26-2、答案：26-3、考点：解析：。

宜昌市九年级上学期期中数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·青秀模拟) 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A .B .C .D .2. （2分）(2019·曲靖模拟) 在平面直角坐标系中，点（1，﹣2）关于原点对称的点的坐标是（）A . （1，2）B . （﹣1，2）C . （2，﹣1）D . （2，1）3. （2分） (2016九上·南充开学考) 用配方法解一元二次方程x2+3x+1=0化解后的结果为（）A . （x+ ）2=B . （x﹣）2=C . （x+ ）2=﹣D . （x﹣）2=﹣4. （2分）若分式的值为0，则x的值是（）A . 1或-1B . 1C . -1D . 05. （2分） (2017九上·渭滨期末) 如图所示，在一块长为22m，宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），若剩余部分种上草坪，使草坪的面积为300m2 ，则所修道路的宽度为（）m．A . 4B . 3C . 2D . 16. （2分） (2018九下·梁子湖期中) 已知：抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）经过点（-1，0），且满足4a+2b+c ＞0，以下结论：①a+b＞0；②a+c＞0；③-a+b+c＞0；④b2-2ac＞5a2 ，其中正确的个数有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个7. （2分） (2017九上·河东开学考) 将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，抛物线的解析式为（）A . y=（x+2）2+3B . y=（x﹣2）2+3C . y=（x+2）2﹣3D . y=（x﹣2）2﹣38. （2分）已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）在抛物线y=x2﹣2x+c上，则y1 ， y2 ， y3的大小关系是（）A . y1＞y2＞y3B . y1＞y3＞y2C . y3＞y2＞y1D . y2＞y3＞y19. （2分）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（）A . 50°B . 80°C . 90°D . 100°10. （2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，⊙O的半径为3，∠A=45°，则的长是（）A . πB . πC . πD . π11. （2分） (2016九上·太原期末) 抛物线y=x2-mx-m2+1的图象过原点，则m的值为（）A . 0B . 1C . -1D . ±112. （2分） (2018九上·富顺期中) 如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④a﹣2b+c＞0，其中正确的命题是（）A . ①②③B . ①③C . ①④D . ①③④二、填空题 (共6题；共6分)13. （1分） (2017九上·南涧期中) 在半径为R的⊙O中，有一条弦等于半径，则弦所对的圆心角为________.14. （1分） (2016九上·南岗期中) 如图，半圆O是一个量角器，△AOB为一纸片，点A在半圆上，边AB 与半圆相交于点D，边OB与半圆相交于点C，若点C、D、A在量角器上对应读数分别为45°，70°，160°，则∠B 等于________度．15. （1分） (2019九上·诸暨月考) 已知二次函数(a≠0)的图象如图所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m(am+b)，(m≠l的实数)．其中正确的结论有________(只填序号)．16. （1分）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是________ ．17. （1分）(2016·贵阳) 已知△ABC，∠BAC=45°，AB=8，要使满足条件的△ABC唯一确定，那么BC边长度x的取值范围为________．18. （1分）如图，在中，，现将绕点A逆时针旋转得到，则阴影部分的面积为________．三、解答题 (共7题；共59分)19. （6分）(2018·天津) 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点，，均在格点上.（1）的大小为________（度）；（2）在如图所示的网格中，是边上任意一点. 为中心，取旋转角等于，把点逆时针旋转，点的对应点为 .当最短时，请用无刻度的直尺，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）20. （10分） (2019九上·南山期末) 阅读对话，解答问题：（1）分别用a、b表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a，b）的所有取值；（2）求在（a，b）中使关于x的一元二次方程x2﹣ax+2b＝0有实数根的概率．21. （10分）(2020·衢州) 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，AB=10，AC=6。

2022-2023湖北省宜昌九年级（上）期中数学试卷一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．2．一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x3．关于x的方程2x2﹣4=0解为（）A．2 B．±2 C．D．4．如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）5．抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）6．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣37．如图，抛物线y1=（x﹣2）2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（）A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥48．已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤19．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=910．二次函数y=x2﹣2x﹣3上有两点：（﹣1，y1），（4，y2），下列结论正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定11．如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°12．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3 13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于此二次函数有以下四个结论：①a＜0；②c ＞0；③b2﹣4ac＞0；④ab＞0，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．414．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人15．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：x（2x+3）=4x+6．17．如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C （﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．18．已知三角形的两条边a、b满足等式：a2+b2=25，且a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．19．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm．（1）求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；（2）此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．20．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？21．如图，在Rt△ABC的直角边AB，斜边AC上分别找点E，F，使AE=AF．将△AFE绕点A顺时针方向旋转，EF的中点O恰好落在AB的中点，延长AF交BC于D，连接BE．（1）四边形BDFE是什么特殊四边形，说明理由；（2）是否存在Rt△ABC，使得图中四边形BDFE为菱形？若不存在，说明理由；若存在，求出此时Rt△ABC的面积与△AFE面积的比．22．宜兴科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，该产品各部分成本所占比例约为2：a：1．且该产品的技术成本、制造成本分别为400万元、1400万元．（1）确定a的值，并求产品总成本为多少万元；（2）为降低总成本，该公司及增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m（m＜50%），制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m；同时为了扩大销售量，的销售成本将在的基础上提高10%，经过以上变革，预计该产品总成本达到该产品总成本的，求m的值．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．24．抛物线y=ax2和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（﹣2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．（1）根据题意可求出a=，点E的坐标是．（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）2022-2023湖北省宜昌九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题满分45分，共15小题，每题3分．在下列各小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求，请把符合要求的选项前面的字母代号填写在答卷上指定的位置）1．下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C． D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】逐一分析四个选项中的图形，可那个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，由此即可得出结论．【解答】解：A、是轴对称图形不是中心对称图形；B、既不是轴对称图形又不是中心对称图形；C、既是轴对称图形又是中心对称图形；D、是轴对称图形不是中心对称图形．故选C．2．一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．5，﹣1 B．5，4 C．5，﹣4 D．5x2，﹣4x【考点】一元二次方程的一般形式．【分析】根据方程的一般形式，找出二次项系数与一次项系数即可．【解答】解：一元二次方程5x2﹣4x﹣1=0的二次项系数和一次项系数分别为5，﹣4，故选C3．关于x的方程2x2﹣4=0解为（）A．2 B．±2 C．D．【考点】一元二次方程的解．【分析】把四个选项分别代入方程的左右两边，能够使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解．【解答】解：把x=±代入方程2x2﹣4=0的左边=4﹣4=0=右边，所以关于x的方程2x2﹣4=0解为x=±．故选D．4．如图，矩形OABC的顶点O为坐标原点，点A在x轴上，点B的坐标为（2，1）．如果将矩形0ABC绕点O旋转180°旋转后的图形为矩形OA1B1C1，那么点B1的坐标为（）A．（2，1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣l）【考点】坐标与图形变化-旋转．【分析】将矩形0ABC绕点O顺时针旋转180°，就是把矩形0ABC上的每一个点绕点O顺时针旋转180°，求点B1的坐标即是点B关于点O的对称点B1点的坐标得出答案即可．【解答】解：∵点B的坐标是（2，1），∴点B关于点O的对称点B1点的坐标是（﹣2，﹣1）．故选C．5．抛物线的顶点坐标是（）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）【考点】二次函数的性质．【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【解答】解：因为的是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，﹣3）．故选B．6．若m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，则m+n﹣mn的值是（）A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3【考点】根与系数的关系．【分析】根据根与系数的关系求出m+n和mn的值，再代入求出即可．【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根，∴m+n=5，mn=﹣2，∴m+n﹣mn=5﹣（﹣2）=7．故选B．7．如图，抛物线y1=（x﹣2）2﹣1与直线y2=x﹣1交于A、B两点，则当y2≥y1时，x的取值范围为（）A．1≤x≤4 B．x≤4 C．x≥1 D．x≤1或x≥4【考点】二次函数与不等式（组）．【分析】联立两函数解析式求出交点A、B的坐标，然后根据函数图象写出直线在抛物线上方部分的x的取值范围即可．【解答】解：联立，解得，，所以，点A（1，0），B（4，3），所以，当y2≥y1时，x的取值范围为1≤x≤4．故选A．8．已知抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a≥1 D．a≤1【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】根据抛物线与x轴没有交点，△＜0令不等式即可解决问题．【解答】解：∵抛物线y=ax2﹣2x+1与x轴没有交点，∴△＜0，∴4﹣4a＜0，∴a＞1．故选A9．用配方法解一元二次方程x2﹣4x=5时，此方程可变形为（）A．（x+2）2=1 B．（x﹣2）2=1 C．（x+2）2=9 D．（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．【解答】解：∵x2﹣4x=5，∴x2﹣4x+4=5+4，∴（x﹣2）2=9．故选D．10．二次函数y=x2﹣2x﹣3上有两点：（﹣1，y1），（4，y2），下列结论正确的是（）A．y1＞y2B．y1＜y2C．y1=y2D．无法确定【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】分别计算出自变量为﹣1和4所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．【解答】解：当x=﹣1时，y1=x2﹣2x﹣3=1+2﹣3=0；当x=4时，y2=x2﹣2x﹣3=16﹣8﹣3=5，所以y1＜y2．故选B．11．如图，△ABC中，将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，且C′在边BC上，则∠AC′C的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．80°【考点】旋转的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【分析】根据旋转得出∠CAC′=40°，AC=AC′，求出∠AC′C=∠C，根据三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转40°后，得到△AB′C′，∴∠CAC′=40°，AC=AC′，∴∠AC′C=∠C==70°，故选C．12．若将抛物线y=x2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为（）A．y=（x+2）2+3 B．y=（x﹣2）2+3 C．y=（x+2）2﹣3 D．y=（x﹣2）2﹣3【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据二次函数图象的平移规律解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2向右平移2个单位可得y=（x﹣2）2，再向上平移3个单位可得y=（x﹣2）2+3，故选：B．13．二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，关于此二次函数有以下四个结论：①a＜0；②c ＞0；③b2﹣4ac＞0；④ab＞0，其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由图象的开口方向可判断①；由图象与y轴的交点在x轴的下方可判断②；由图象与x轴有两个交点可判断③；由图象的对称轴在y轴的右侧及开口方向可判断④，可得出答案．【解答】解：∵图象开口向下，∴a＜0，故①正确；∵图象与y轴的交点坐标在x轴的下方，∴c＜0，故②不正确；∵抛物线与x轴有两个交点，∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；∵图象对称轴在y轴的右侧，∴﹣＞0，∴ab＜0，故④不正确；∴正确的有两个，故选B．14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（）A．8人B．9人C．10人D．11人【考点】一元二次方程的应用．【分析】本题考查增长问题，应理解“增长率”的含义，如果设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，那么由题意可列出方程，解方程即可求解．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染，那么由题意可知1+x+x（1+x）=100，整理得，x2+2x﹣99=0，解得x=9或﹣11，x=﹣11不符合题意，舍去．那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人．故选B．15．已知抛物线y=ax2+bx和直线y=ax+b在同一坐标系内的图象如图，其中正确的是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【分析】本题可先由二次函数图象得到字母系数的正负，再与一次函数和反比例函数的图象相比较看是否一致．逐一排除．【解答】解：A、由二次函数的图象可知a＜0，此时直线y=ax+b应经过二、四象限，故A 可排除；B、由二次函数的图象可知a＜0，对称轴在y轴的右侧，可知a、b异号，b＞0，此时直线y=ax+b应经过一、二、四象限，故B可排除；C、由二次函数的图象可知a＞0，此时直线y=ax+b应经过一、三象限，故C可排除；正确的只有D．故选：D．二、解答题：（本大题满分75分，共9小题）16．解方程：x（2x+3）=4x+6．【考点】解一元二次方程-因式分解法．【分析】先移项；然后提取公因式（2x+3）分解因式，利用因式分解法解方程．【解答】解：x（2x+3）﹣2（2x+3）=0，∴（2x+3）（x﹣2）=0，∴2x+3=0或x﹣2=0，∴x1=﹣，x2=2．17．如图，已知△ABC的顶点A，B，C的坐标分别是A（﹣1，﹣1），B（﹣4，﹣3），C （﹣4，﹣1）．（1）作出△ABC关于原点O中心对称的图形；（2）将△ABC绕原点O按顺时针方向旋转90°后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1的坐标．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）将△ABC的三点与点O连线并延长相同长度找对应点，然后顺次连接得中心对称图形△A′B′C′；（2）将△ABC的三点与点O连线并绕原点O按顺时针方向旋转90°找对应点，然后顺次连接得△A1B1C1．【解答】解：（1）正确画出图形（2）正确画出图形A1（﹣1，1）．18．已知三角形的两条边a、b满足等式：a2+b2=25，且a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，求m的值．【考点】根与系数的关系；完全平方公式．【分析】根据根与系数的关系得出a+b和ab的值，再根据a2+b2=25，得出（2m﹣1）2=25+2×4（m﹣1），求出m的值，再把不合题意的值舍去即可．【解答】解∵a、b的长是方程x2﹣（2m﹣1）x+4（m﹣1）=0的两个根，∴a+b=2m﹣1，ab=4（m﹣1），a＞0，b＞0，∵a2+b2=25，∴（a+b）2=a2+b2+2ab，∴（2m﹣1）2=25+2×4（m﹣1），∴m1=4，m2=﹣1，∵当m=﹣1时，ab＜0，不合题意，舍去，∴m=4．19．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽为xcm，要求纸边的宽度不得少于1cm，同时不得超过2cm．（1）求出y关于x的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；（2）此时金色纸边的宽应为多少cm时，这幅挂图的面积最大？求出最大面积的值．【考点】二次函数的应用．【分析】（1）用含x的代数式表示出镶纸边后矩形的长和宽，根据矩形的面积公式即可得出y关于x的函数解析式，结合题意标明x的取值范围即可；（2）根据二次函数的性质确定在自变量的取值范围内函数的单调性，由此即可解决最值问题．【解答】解：（1）镶金色纸边后风景画的长为（80+2x）cm，宽为（50+2x）cm，∴y=（80+2x）•（50+2x）=4x2+260x+4000（1≤x≤2）．（2）∵二次函数y=4x2+260x+4000的对称轴为x=﹣=﹣，∴在1≤x≤2上，y随x的增大而增大，∴当x=2时，y取最大值，最大值为4536．答：金色纸边的宽为2cm时，这幅挂图的面积最大，最大面积的值为4536cm2．20．某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利过程．下面的二次函数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s和t之间的关系）．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？【考点】二次函数的应用．【分析】（1）本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题，应根据图象以及题目中所给的信息来列出S与t之间的函数关系式；（2）把S=30代入累计利润S=t2﹣2t的函数关系式里，求得月份；（3）分别t=7，t=8，代入函数解析S=t2﹣2t，再把总利润相减就可得出．【解答】解：（1）由图象可知其顶点坐标为（2，﹣2），故可设其函数关系式为：S=a（t﹣2）2﹣2．∵所求函数关系式的图象过（0，0），于是得：a（0﹣2）2﹣2=0，解得a=．∴所求函数关系式为：S=（t﹣2）2﹣2，即S=t2﹣2t．答：累积利润S与时间t之间的函数关系式为：S=t2﹣2t；（2）把S=30代入S=（t﹣2）2﹣2，得（t﹣2）2﹣2=30．解得t1=10，t2=﹣6（舍去）．答：截止到10月末公司累积利润可达30万元．（3）把t=7代入关系式，得S=×72﹣2×7=10.5，把t=8代入关系式，得S=×82﹣2×8=16，16﹣10.5=5.5，答：第8个月公司所获利是5.5万元．21．如图，在Rt△ABC的直角边AB，斜边AC上分别找点E，F，使AE=AF．将△AFE绕点A顺时针方向旋转，EF的中点O恰好落在AB的中点，延长AF交BC于D，连接BE．（1）四边形BDFE是什么特殊四边形，说明理由；（2）是否存在Rt△ABC，使得图中四边形BDFE为菱形？若不存在，说明理由；若存在，求出此时Rt△ABC的面积与△AFE面积的比．【考点】相似三角形的判定与性质；菱形的判定；旋转的性质．【分析】（1）由于AE=AF，且O是EF中点，根据等腰三角形三线合一的性质知：AO⊥EF，即FO∥BD，从而证得OF是△ABD的中位线，由此可得BD=2OF=EF，那么BD、EF平行且相等，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可判断出四边形BDFE的形状．（2）当四边形BDFE是菱形时，BD=FD，即AF=2BD，由此可得∠FAO=30°，∠BAC=∠EAF=60°；易证得△FOA∽△ABC，首先求出FO、OA即FO、AB的比例关系，即可得到△AFO、△ABC的面积比，进而可得到△AEF、△ABC的面积比．【解答】解：（1）四边形BDFE是平行四边形；理由如下：∵AE=AF，且O是EF中点，∴AO⊥EF，即EF∥BD；∵O是AB中点，∴OF是△ABD的中位线，即BD=2OF=EF，∴BD、EF平行且相等，∴四边形BDFE是平行四边形．（2）若四边形BDFE是菱形，则DF=BD，即AD=2BD，∴∠BAD=30°，∠BAC=∠EAF=60°；∵∠FAO=∠C=30°，∠FOA=∠ABC=90°，∴△FOA∽△ABC，在Rt△AOF中，∠FAO=30°，则AO=OF，即AB=2OF；∴S△ABC=（2）2S△FOC=12S△FOC，又∵S△FAE=2S△FOC，∴S△ABC=6S△FAE．∴S△ABC：S△FAE=6：1．22．宜兴科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，该产品各部分成本所占比例约为2：a：1．且该产品的技术成本、制造成本分别为400万元、1400万元．（1）确定a的值，并求产品总成本为多少万元；（2）为降低总成本，该公司及增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数m（m＜50%），制造成本在这两年里都比前一年减少一个相同的百分数2m；同时为了扩大销售量，的销售成本将在的基础上提高10%，经过以上变革，预计该产品总成本达到该产品总成本的，求m的值．【考点】一元二次方程的应用．【分析】（1）由2：a=400：1400得出方程求得a的数值，进一步求得总成本即可；（2）分别求得的技术成本、制造成本、销售成本，进一步利用预计该产品总成本达到该产品总成本的，建立方程解决问题．【解答】解：（1）由题意得2：a=400：1400，解得a=7．则销售成本为400÷2=200万元，产品总成本为400+1400+200=2000万元．（2）由题意可得400（1+m）2+1400（1﹣2m）2+200（1+10%）=2000×，整理得300m2﹣240m+21=0，解得m1=0.1，m2=0.7（m＜50%，不合题意舍去）．答：m的值是10%．23．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点E是边CD上任意一点（点E与点C、D不重合），过点A作AF⊥AE，交边CB的延长线于点F，连接EF，交边AB于点G．设DE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）如果AD=BF，求证：△AEF∽△DEA；（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能否成为等腰三角形？如果能，请直接写出线段DE的长；如果不能，请说明理由．【考点】等腰三角形的判定；根据实际问题列一次函数关系式；矩形的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）由矩形的性质推出∠BAD=∠D=∠ABC=90°，即得∠D=∠ABF，再由AF⊥AE 得出∠EAF=∠BAD=90°，然后由∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，得出∠DAE=∠BAF，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，得△DAE∽△BAF，再由三角形相似的性质得到y关于x的函数解析式y=，从而得出x的取值范围．（2）由AB∥CD，得出==1．即得FG=EG，再由∠EAF=90°，得AG=FG，∠FAG=∠AFG，∴∠AFE=∠DAE，再由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形，此时可以推断出三种情况，一一推断即可．【解答】解：（1）在矩形ABCD中，∠BAD=∠D=∠ABC=90°，AD=BC=3．即得∠D=∠ABF．∵AF⊥AE，∴∠EAF=∠BAD=90°．又∵∠EAF=∠BAF+∠BAE，∠BAD=∠DAE+∠BAE，∴∠DAE=∠BAF．于是，由∠D=∠ABF，∠DAE=∠BAF，得△DAE∽△BAF．∴=．由DE=x，BF=y，得=，即得y=x．∴y关于x的函数解析式是y=x，0＜x＜4．（2）∵AD=BF，AD=BC，∴BF=BC．在矩形ABCD中，AB∥CD，∴==1．即得FG=EG．于是，由∠EAF=90°，得AG=FG．∴∠FAG=∠AFG．∴∠AFE=∠DAE．于是，由∠EAF=∠D，∠AFE=∠DAE，得△AEF∽△DEA．（3）当点E在边CD上移动时，△AEG能成为等腰三角形．此时，①当AG=EG时，那么EG=FG=AG，即G为EF中点，即AG为中线此时FB=BC=3当y=3代入y=x．得x=；即DE=；②当AE=GE时，过点G向DC作垂线有GH⊥DC，由AAS易得△ADE≌△GHE，即EH=DE=x，GB=HC=4﹣2x，GH=3∵△FBG∽△FCE，∴=，即=，解得x=，即DE=；③当AG=AE时，∵AE2=AD2+DE2=9+x2∴AG=∴GB=4﹣∵△FBG∽△FCE，∴∴=解得x=，即DE=24．抛物线y=ax2和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（﹣2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．（1）根据题意可求出a=，点E的坐标是（2，1）．（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）【考点】二次函数综合题．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征知，点A的坐标满足抛物线的解析式，所以把点A的坐标代入抛物线的解析式，即可求得a的值；由抛物线y=ax2的对称性知，点A、点E关于y轴对称；（2）根据抛物线与直线的解析式求得点B的坐标为（4，4），则t的最小值是点E的横坐标，t的最大值是点B的横坐标；由于点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴，所以D（t，t2），C（，t2）；最后由两点间的距离公式求得r=|（t ﹣1）2﹣|（2≤t≤4），所以根据二次函数最值的求法来求当r取最大值时t的值；（3）①设D（t，t2）．由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标为（t2﹣，t2）．然后根据两点间的距离公式知r=﹣（t﹣2k）2+k+，易知当t=2k时，r取最大值．②根据一次函数y=kx+b中的k的几何意义知k==，即m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，显然，当t=2k时，m取最大值．【解答】解：（1）根据题意知，点A（﹣2，1）在抛物线y=ax2上，∴1=（﹣2）2a，解得，a=．∵抛物线y=ax2关于y轴对称，AE∥x轴，∴点A、E关于y轴对称，∴E（2，1）．故答案是：，（2，1）．（2）∵点A（﹣2，1）在直线y=kx+b（k为正常数）上，k=0.5，∴1=﹣2×0.5+b，解得，b=2，即直线AB的解析式为y=x+2．∵由（1）知，抛物线的解析式y=x2，抛物线y=x2和直线y=x+2（k为正常数）交于点A和点B，∴，解得，或，∴它们的交点坐标是（﹣2，1），（4，4），即B（4，4）．当点D与点E重合时，t=2．当点D与点B重合时，t=4，∴t的取值范围是：2≤t≤4．∵点C在直线y=x+2上，点D在抛物线y=x2上，CD∥x轴，∴D（t，t2），C（，t2），∴r=t﹣=﹣（t﹣1）2+（2≤t≤4）．∵在2≤t≤4范围内，r随t的增大而减小，=4．即当t=2时，r取最大值．∴当t=2时，r最大（3）∵点A、B是直线与抛物线的交点，∴kx+b=x2，即x2﹣4kx﹣4b=0，∴x A+x B=4k．∵x A=﹣2，∴x B=4k+2．又∵点D不与B、E重合，∴2＜t＜4k+2．设D（t，t2），则点C的纵坐标为t2，将其代入y=kx+b中，得x=t2﹣，∴点C的坐标为（t2﹣，t2），∴r=CD=t﹣（t2﹣）=﹣（t﹣2k）2+k+，当t=2k时，r取最大值．∴2＜2k＜4k+2，解得，k＞1．又∵k==，∴m=kr=﹣（t﹣2k）2+k2+b，∴当t=2k时，m的值也最大．综上所述，当r为最大值时m的值也是最大．8月28日21 / 21。