工程矩阵理论试卷样卷10b
一、已知22
C
⨯的子空间
1,x x V x y C y
y ⎧⎫⎛⎫
=∈⎨⎬
⎪⎝⎭⎩⎭，2,x y V x y C x y ⎧⎫-⎛⎫=∈⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎩⎭
，分别求121212,,,V V V V V V +I 的一组基及它们的维数。
解：1V 的基为：11000011,⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，2维。 2V 的基为：10011001,-⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
，2维。
设12V V η∈I ，比较12,V V ，则y x =-，x x x x η⎛⎫=
⎪--⎝⎭，所以基为1111η⎛⎫
= ⎪--⎝⎭
，1维。
12V V +为由12,V V 生成的空间，121100100100111001(,,,)V V L -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，其极大线性无关组为：110010001110,,⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，即为12V V +的基，3维。
二、设22
C
⨯上的线性变换f 定义为：
()t
t f X t t ⎛⎫=
⎪⎝⎭，22
a b X C c d ⨯⎛⎫∀=∈ ⎪⎝⎭
，其中，t 表示矩阵X 的迹()tr X a d =+。 1、求f 在V 的基11E ，12E ，21E ，22E 下的矩阵A ； 2、求f 的值域()R f 及核子空间()K f 的基及它们的维数； 3、问：()()R f K f +是否为直和？为什么？ 解：1、11221()()tr E tr E == 12120()()tr E tr E ==
11221111()()f E f E ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 1221
0000()()f E f E ⎛⎫
== ⎪⎝⎭
111221221112212210011
00110011
001()()f E E E E E E E E ⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪
⎪⎝⎭，1
0011
00110011001A ⎛⎫
⎪
⎪
= ⎪
⎪
⎝⎭
2、f 的值域()R f ：
X Q 的基为11E ，12E ，21E ，22E ，故11122122()((),(),(),())R f L f E f E f E f E = 故()R f 的基即为11122122(),(),(),()f E f E f E f E 的极大线性无关组：1111⎛⎫
⎪⎝⎭
，()R f 为1维。 核子空间()K f ：AX O =，X 的基础解系：001100
010001,,-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，()K f 为3维。
3、观察得：()R f 的基与()K f 线性无关，维数的和为4，故()()R f K f +是直和。
三、已知矩阵A 的特征多项式()A C λ及最小多项式()A m λ相等，均等于2
1()λλ-，矩阵110001000B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
。
分别求A 和B 的jordan 标准形；问：A 与B 是否相似？为什么？
解：由矩阵A 的特征多项式()A C λ及最小多项式()A m λ相等，均等于2
1()λλ-，得100001000A J ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
2
11001100()I B λλλλλλ--⎛⎫ ⎪-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，100001000B J ⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
。A 与B 相似，因为它们有相同的jordan
标准形。
四、已知矩阵34500001110101A ⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的广义逆矩阵A +
解：对A 进行满秩分解：500010000111010101010010A ⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
=→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
3()A r ∴=，A 应该分解为343334
500100001101010100010A B C ⨯⨯⨯⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⋅=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∴
111143
1000100010005005005000101010101010110110110010001000100100100100()()()()H H H H
H
H
H
H
A C CC
B B B +----⨯=⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
五、已知矩阵A O M O B ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
，
其中，矩阵A ，B 的F 范数及算子2范数分别是5F A =，4F
B =，23A =，
22B =，试求F
M
和2
M
。
解：F
范数定义为F
⋅
=
F
M
==算子2
范数定义为2
⋅
=，23A =表示A 中特征值最大为3，22B =表示B 中特征值
最大为2，M 的特征值即为A 、B 全部特征值，故2
M 为A 、B 中特征值的最大值，2
3M
=。
六、设V 是一n 维欧氏空间，V ω∈是一单位向量，,a b 是一参数，V 上的线性变换f 定义为：
(),,f a b V ηηηωωη=-<>∀∈，问：当,a b 取何值时，f 是正交变换？
解：扩充ω为V 的一组标准正交基1,,,n ωωω⋅⋅⋅⋅⋅⋅，则：
(),()f a b a b a b ωωωωωωωω=-<>=-=- 1111(),f a b a ωωωωωω=-<>=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
(),n n n n f a b a ωωωωωω=-<>=
