[精品]2019高中数学第三章3.3.2利用导数研究函数的极值预习导学案新人教B版选修1_92

3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]函数f (x )的极小值是( )图3­3­8A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝3，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝1【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3,令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．的图象有三个不同的交点，即方程1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图3­3­9所示，则函数f(x)( )图3­3­9A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：所以函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f (1)＝12，无极大值．。

3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值fx)满足：( 若函数xafxfa)；(( )(1)在≥＝附近其他点的函数值fa)＝0；(2) ′( xafxxafxay＝附近的右侧＝，则点附近的左侧′(′()<0，在叫做函数＝(3)在)>0fxfayfx)的极小值．)叫做函数(()的极小值点，＝(2．极大值点与极大值fx)满足：(若函数xbfxfb)；((1)在)＝≤附近其他点的函数值 (fb)＝0′(； (2)xbfxxbfxby＝′()>0，在叫做函数＝(3)在)<0＝附近的右侧附近的左侧′(，则点fxfbyfx)的极大值．的极大值点，＝( )叫做函数(()abab能作为极大值点或极小值点吗？ ](1)区间[的端点，，思考：fxabcfcxcfx)是函数，则内存在一点]的极，满足＝′(()(2)若函数＝()在区间[0，大值点或极小值点吗？[提示] (1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．cfxxc不是极大值点或极小值点，符号相同，则′(＝)(2)不一定，若在点的左右两侧cfxxcfx)的极大值点或极小值点．是函数的左右两侧′()的符号不同，则(＝若在点3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．yfx)的极值的方法＝ 4．求函数(fxfx)＝0时，)＝0，当解方程′(′(0xfxfxfx)是极大值)<0(1)如果在，那么附近的左侧′(. )>0，右侧(′(00xfxfxfx)是极小值．(′()>0，那么如果在(2) 附近的左侧′()<0，右侧00[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点． ( )(2)函数的极大值一定大于极小值． ( )x轴平行或重合．在可导函数的极值点处，切线与(3))(1xf)( 有极值．函数 ( )＝(4)x (4)× (3)√[答案] (1)×(2)×3xy)的极大值是．函数( ＝＋12 D．不存在 C．2 A．1 B．032xyyx] 上是增函数，不存在极大值．＋D [1′＝3在≥0，则函数R＝23bxxxaxfxx))＝的两个极值点则有＋(( ＋3．若＝－2与4＝是函数【导学号：97792153】baba24 ，，＝4 ．＝－＝－3A．B＝－2baba4＝3，．＝－＝2DC．＝1，22bxaxaxbxxfxx的两个根，2＝＋＝4′(是方程)＝33＋20＋＋，依题意有＝－2 B[和ba2ba24.]＝－＝－3＝－2＋4，＝－2×4，解得，所以有－33]难重究·攻合作探 [求函数的极值xf)32xbxcffxax所示，则)，其导函数 (1)已知函数的图象如图()＝′(＋3-3-8＋( ( )的极小值是函数图3-3-8abcabc＋4B＋．＋3 A．＋cab．DC．32＋求下列函数的极值：(2)123xfxxx 3－①3(；)＝－＋3x2xf2. (＝②)－2x1＋fxxfx)<0，<0时，] (1)由′()的图象知，当′([解析xfxxfx)<0 >2′(时，)>0，当′(当0<时，<2xfxfc，故选D. 有极小值，且(0)因此当0＝时，＝()[答案] D2xxfx3.－2－＝)′(，R①函数的定义域为(2)．fxxx＝－或1.＝′(3)＝0令，得xfxfx)的变化情况如下表：(变化时，′()，当14 fx ↗( )↘↗极小值－6极大值314xfxxfxfxfx)＝((＝3是)(＝∴)＝－1是(的极小值点，且)的极大值点，，极小值极大值3－6.②函数的定义域为R，xf.22xxxx＋＋－4－′(＝－)＝2222xx＋＋fxxx＝或，得1.令＝－′(1)＝0xfxfx)的变化情况如下表：，当变化时，′(()x f↘↘↗ 3极大值－(1)极小值－由表可以看出：－2xfxf(－1)＝－2＝－＝－1时，函数3(有极小值，且)；当22xfxf(1)＝－有极大值，且2当＝1时，函数＝－(1.) 2[跟踪训练]1．求下列函数的极值．8fxx＋；＝2(1) ()x3fxx.＋(2)＝(3ln )x8fxx＋， (1)因为(2)＝] [解xxxx≠0}，且R∈|{所以函数的定义域为8xf，)＝2′(－2xxxfx2.＝－2′(，)＝0，得＝令21xfxfx (变化时，的变化情况如下表：′())，当xxf 8；)＝－2时，有极大值－(因此，当xxf 8.有极小值(当)＝2时，3xxf ，＋∞)，的定义域为((0)＝＋(2)函数3ln xx －33xf ′(，)＝－＋＝22xxxxxf ＝01.′(，得)＝令xfxfx )的变化情况如下表：(′( )当，变化时，x (1，＋∞)1(0,1)fx ＋0) ′(－ fx ↗极小值3(↘) xfx )有极小值3时，，无极大值(因此，当.＝1已知函数的极值求参数范围(值)322bbxaxaxfxax .的值在，＝－ 已知函数1(处有极值)＝＋30＋，求＋ 【导学号：97792154】xfxx 另＝－1＝－1处有极值0有两方面的含义：[思路探究] 一方面(为极值点，)在ff 0.－1)1)＝0，＝(一方面极值为0，由此可得′(－2xxxfxaxbf ，3＝－＋61＋处有极值且函数0(在[解] ∵′())＝baf ，03－6＝－＝0，＋????即∴??2afba，＋0＝－1－＋3＝0，－????aa ，，＝21＝???? 或解得??bb 9.＝＝3????22abfxxxxfx )在此时函数R (63(＋3＝上为增函数，＋1)当＝1，＝3时，′(3)＝≥0，＋无极值，故舍去．2xxxxfabx ．＋3)312＋＝＋93(1)(＋＝92当＝，＝时，′()xfxfx 为增函数；)(，此时0＞)′(时，3)∈(－∞，－当．xfxfx )为减函数；，此时 ′(()＜0当1)∈(－3，－时，xfxfx )为增函数．，此时 ′(()＞当0∈(－1，＋∞)时，fxx ＝－1在故处取得极小值．( )ab ＝9.＝2∴，[跟踪训练]322bxaxxaxbxaf ) ， －的值为＋( 在时有极值＝2．(1)函数(1)＝10－，则baab 11 ＝－4A ．，＝3，＝＝－3或baab 11 ＝－4．，＝－4，＝2或＝B ba 11 ＝－4，C ．＝ ．以上都不对D 2bfxaxx )＝3由题意知－2.C [－′(afaba ，，，＝04＝－＝＝3－23－??????或解得???2bbfaab 11.＝－＝1－3－＝＋＝10，??????2abfxxab ＝11.]4，＋，1)＝－3时，≥0，不合题意，故′(＝－)＝3(当3＝132fxxxaxa 的取值范围． 1＋(2)函数有极值点，求(＝)－－ 322axxxaxfx Δ有两个不同的实数根，所以＋＝，由题意，方程0－[解] ′(2)＝2－＋aaa －∞，1)，解得<1.所以．的取值范围为＝4－4(>0函数极值的综合应用 [探究问题]23acxdfxaxbx 1．如何画三次函数＋(()＝＋≠0)的大致图象？＋ 根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象．提示：求出函数的极值点和极值，23xabxfxaxc ≠0)的图象和＋2．三次函数(()＝＋轴一定有三个交点吗？x 可能有一个轴交点的个数和函数极值的大小有关，提示：不一定，三次函数的图象和 也可能有两个或三个． 3axafxx3＋＝－ 已知为实数，函数()＋xf )草图(的极值，并画出其图象)(求函数(1)．afx )＝0((2)当恰好有两个实数根．为何值时，方程fx )的极值点和极值，求出函数结合函数在各个区间上的单调性画出([思路探究] (1)函数的图象． fx )＝0(恰好有两个实数根．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程xfx3,3axfxx＋)＝－，＋[解] (1)由3(2得3′(＋)＝－xxxf1. ，得＝＝－令1′(或)＝0xxf 1)时，)<0′(当；∈(－∞，－xxf 1,1)′(时，；当)>0∈(－xfx)<0.当′(∈(1，＋∞)时，affxfa2. (1)；极大值为的极小值为＝(－1)＝＋－所以函数(2)xf(的大致图象，如图所示，)由单调性、极值可画出函数xxaf轴恰有两个)(＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线与(2)结合图象，当极大值aafx时，有－2＝)0恰有两个实数根，所以＝＝－2交点，即方程满足条件；当极小值(0xfxxf所)与＝轴恰有两个交点，即方程0此时曲线极大值大于0，((恰好有两个实数根，)a＝2以满足条件．a＝±2时，方程恰有两个实数根．综上，当a<5＋42<2时，所以，当5－4yayfxfxa有三个不同的实根．＝(＝ ()直线)＝的图象有三个不同的交点，即方程与[当堂达标·固双基]x＝0处取得极值的是( 1．下列四个函数中，能在)x23yyxyxyx. 2－＝；②1＝；④＋1；③＝＝①cosB ．②③A．①②D．①③ C．③④][①④为单调函数，不存在极值．Bxxfffx)则函数(2．函数( )的定义域为R，导函数′()( )的图象如图3-3-9所示，图3-3-9A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点fxfxfxfx)有极大值，当的符号由负变正时，C[当′(′(()的符号由正变负时，())有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3xyx ________．的极小值是．函数__________＝－3＋48－；极大值是32xyxx，＋4)(－[－1311253(′＝－3＋48＝－4)xyxxy时，4,4)∈(－时，4′>0，∴＝－∵当∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，′<0；当yxy125.]取到极大值时，4＝，131取到极小值－32aaxaxfxx的取值范既有极大值又有极小值，＋2)(＝)则实数＋3＋＋3(14．已知函数围是________．2axaxfx＋3([，′(＋)＝3＋62)(－∞，－1)∪(2，＋∞)xf (∵函数既有极大值又有极小值，)xf′(有两个不相等的实根．)＝∴方程02aa0.＋2)＞∴Δ＝3636(－2aaaa1.] 或－2＞0，解之得＜－＞即2－12xbxaxfx.ln 1在＝＋5．已知函数处有极值(＝)2ba (1)求的值．，xf.(2)判断函数)(的单调区间，并求极值 97792155】【导学号：2xfxaxb＝ln 解[] (1)因为＋(，)baxfx. ＋)所以＝′(2x1xfx.又函数1()在处有极值＝2bfa，00，2＝＋＝??????即故11af，＝，＝????221ab＝－1.＝解得，212fxxx.－)＝(2)由(1)可知ln (2其定义域为(0，＋∞)．xx－1＋xfx.且′(－)＝＝xxfxxx＝1. )，则或＝－1(令′(舍去)＝0xfxfx)的变化情况如表：)当，变化时，′((fx)的单调递减区间是(0,1)(，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域所以函数1f(1)＝，无极大值．上只有极小值 2。

3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]函数f (x )的极小值是( )图3­3­8A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝3，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝1【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3,令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．的图象有三个不同的交点，即方程1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图3­3­9所示，则函数f(x)( )图3­3­9A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：上只有极小值f (1)＝12，无极大值．。

3.3.2利用导数研究函数的极值(一)1．函数极值的概念满足条件：函数y＝f(x)的定义域内一点x0，存在一个包含x0的开区间．(1)极大值点与极大值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)＜f(x0)．结论：f(x)在点x0处取得极大值，x0为函数f(x)的一个极大值点，记作：y极大值＝f(x0)．(2)极小值点与极小值条件：对于开区间内所有点x，都有f(x)＞f(x0)．结论：f(x)在点x0处取得极小值，x0为函数f(x)的一个极小值点，记作：y极小值＝f(x0)．思考1：极值点是不是一个点？[提示]极值点不是点，是函数f′(x)的变号零点，是函数取得极值的点的横坐标，是一个实数．2．函数的单调性与极值(1)x0是(a，b)上的极大值点：①f′(x0)＝0.②x∈(a，x0)时，f(x)是增加的．③x∈(x0，b)时，f(x)是减少的．(2)x0是(a，b)上的极小值点：①f′(x0)＝0.②x∈(a，x0)时，f(x)是减少的．③x∈(x0，b)时，f(x)是增加的．3．求可导函数y＝f(x)的极值的步骤(1)求导数f′(x)．(2)求方程f′(x)＝0的所有实数根．(3)对每个实数根进行检验，判断在每个根的左右侧，导函数f′(x)的符号如何变化．①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值．②如果f′(x)的符号由负变正，则f(x0)是极小值．③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧符号不变，则f(x0)不是极值．思考2：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？[提示]导数值为0的点不一定是函数的极值点，还要看在这一点附近导数的正负情况．1．设定义在(a，b)上的可导函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则f(x)的极值点的个数为()A．1 B．2C．3D．4C[在极值点两侧导数一正一负，观察图象可知极值点有3个．]2．已知函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则()A．函数f(x)有1个极大值点，1个极小值点B．函数f(x)有2个极大值点，2个极小值点C．函数f(x)有3个极大值点，1个极小值点D．函数f(x)有1个极大值点，3个极小值点A[由f′(x)的图象可知f(x)在(－∞，x2)内递增，在(x2，x3)内递减，在(x3，＋∞)递增，所以x2是f(x)的极大值点，x3是f(x)的极小值点．]3．函数y＝3x3－9x＋5的极大值为________．11[y′＝9x2－9，令y′＝0，得x＝±1.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：从上表可以看出，当x＝－1时，函数y有极大值3×(－1)3－9×(－1)＋5＝11.](1)f(x)＝3x＋3ln x；(2)f(x)＝x3－12x；(3)f(x)＝2xx2＋1－2.[思路探究]解答本题可先求使f′(x)＝0成立的点，再结合定义域研究这些点附近左右两侧函数的单调性，进而判断极值．[解](1)函数f(x)＝3x＋3ln x的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3(x－1)x2，令f′(x)＝0得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：(2)函数f(x)的定义域为R；f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．令f′(x)＝0，得x1＝－2或x2＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：∴由上表可知，当x＝－2时，f(x)有极大值16，当x＝2时，f(x)有极小值－16.(3)函数f(x)的定义域为R，f′(x)＝x2＋－4x2 x2＋2＝－x－x＋x2＋2.令f′(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1.当x变化时，f′(x)、f(x)的变化状态如下表：f(－1)＝－22－2＝－3，当x＝1时，函数有极大值f(1)＝22－2＝－1.求可导函数极值的步骤(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x).(2)求f(x)的拐点，即求方程f′(x)＝0的根.(3)利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.提醒：不要忽略函数的定义域.1．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；(2)f(x)＝ln x x.[解](1)函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的定义域为R，且f′(x)＝3x2－6x－9.解方程3x2－6x－9＝0，得x1＝－1，x2＝3.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：值点，极小值为f(3)＝－22.(2)函数f(x)＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化状态如下表：，没有极小值.因此，x＝e是函数的极大值点，极大值为f(e)＝1e1．可导函数f(x)在点x0处取极值的充要条件是什么？[提示](1)可导函数的极值点是导数为零的点，但是导数为零的点不一定是极值点，即“函数y＝f(x)在一点的导数值为零是函数y＝f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件．”(2)可导函数f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧和右侧f′(x)的符号不同．(3)如果在x0的两侧f′(x)的符号相同，则x0不是f(x)的极值点．2．函数在某个区间上有多个极值点，那么一定既有极大值也有极小值吗？[提示](1)函数f(x)在某区间内有极值，它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点．(2)当函数f(x)在某区间上连续且有有限个极值点时，函数f(x)在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的．【例2】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．[思路探究] 由函数f (x )在x ＝－1处有极值，可得f′(－1)＝0且f (－1)＝0，由此列出方程求a ，b 的值，但还要注意检验求出的a ，b 的值是否满足函数取得极值的条件．[解] 因为f (x )在x ＝－1时有极值0，且f′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， 所以f (x )在R 上是增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)．因为当x ∈(－3，－1)时，f (x )是减少的；当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )是增加的， 所以f (x )在x ＝－1时取得极小值，因此a ＝2，b ＝9.1．(变换条件，改变问法)本例的其他条件不变，如果直线y ＝k 与函数图象有三个交点，求k 的取值范围．[解] 由典例的解析可知f (x )＝x 3＋6x 2＋9x ＋4，f′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)，令f′(x )＝0，得x 1＝－3，x 2＝－1.根据x 1，x 2列表，分析f′(x )的符号，f (x )的单调性和极值点．函数图象大致如图所示：要使直线y ＝k 与函数图象有三个交点，则0＜k ＜4.2．(变换条件)本例的条件改为“x ＝－3，x ＝－1是f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2的两个极值点”，求常数a ，b 的值．[解] 因为f′(x )＝3x 2＋6ax ＋b ，由极值点的必要条件可知⎩⎪⎨⎪⎧3×(－3)2＋6a ×(－3)＋b ＝0，3×(－1)2＋6a ×(－1)＋b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ －18a ＋b ＋27＝0，－6a ＋b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9， 所以a ＝2，b ＝9.由函数的极值(点)求参数的步骤(1)列式：根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.(2)验证：因为“导数值等于零”不是“此点为极值点”的充要条件，所以利用待定系数法求解后，必须验证根的合理性.(1)求f(x)的极值；(2)是否存在实数a，使得方程f(x)＝0恰好有两个实数根？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．[思路探究](1)由求极值的步骤可得；(2)法一：使极大值或极小值为0，可使f(x)恰有两个实根；法二：将方程的根转化为两函数的图象问题，利用函数单调性及极值画出函数大致图象，判断即可．[解](1)f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.∵当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时f′(x)<0，∴f(x)的极小值为f(－1)＝a－2，极大值为f(1)＝a＋2.(2)法一：∵f(x)在(－∞，－1)上单调递减，且当x→－∞时，f(x)→＋∞，f(x)在(1，＋∞)上单调递减，且当x→＋∞时，f(x)→－∞，而a＋2>a－2，即函数的极大值大于极小值，∴当极大值等于0时，极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰好有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图①所示．∴a＋2＝0，a＝－2.①②当极小值等于0时，极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，如图②所示．∴a－2＝0，a＝2.综上所述，当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．法二：方程f(x)＝0恰好有两个实数根，等价于直线y＝a与函数y＝x3－3x的图象有两个交点．∵y＝x3－3x，∴y′＝3x2－3.令y′>0，解得x>1或x<－1；令y′<0，解得－1<x<1.∴y＝x3－3x在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)和(－∞，－1)上为增函数．∴当x＝－1时，y极大值＝2；当x＝1时，y极小值＝－2.∴y＝x3－3x的大致图象如图③.y＝a表示平行于x轴的一条直线．由图象知，当a＝2或a＝－2时，y＝a与y＝x3－3x有两个相异交点．故当a＝2或a＝－2时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．对于求方程f(x)＝a的根的个数问题，我们可转化为求函数y＝f(x)与函数y＝a 的图象的交点个数问题.在解决问题时，可遵循以下步骤：第一步：利用导数判断函数y＝f(x)的单调性、极值等情况，综合各种信息画出函数y＝f(x)的大致图象；第二步：研究函数y＝f(x)与y＝a的图象的交点个数；第三步：根据交点个数写出方程根的情况.提醒：若函数y＝f(x)在区间(a，b)内有极值，那么y＝f(x)在(a，b)内一定不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值.2．设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求函数f(x)的单调区间和极值；(2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．[解](1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0，解得x1＝－2，x2＝ 2.因为当x>2或x<－2时，f′(x)>0；当－2<x<2时，f′(x)<0.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)；单调递减区间为(－2，2)．当x＝－2时，f(x)有极大值5＋42；当x＝2时，f(x)有极小值5－4 2.(2)由(1)的分析知，y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示．所以，当5－42<a<5＋42时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程f(x)＝a有三个不同的实根.1．思考辨析(1)函数的极大值一定比极小值大．( ) (2)对可导函数f (x )，f′(x 0)＝0是x 0为极值点的充要条件．( )(3)若f (x )在某区间内有极值，那么f (x )在该区间内一定不是单调函数．( ) [提示] (1)× 函数的极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．(2)× 必要条件． (3)√2．若函数f (x )＝2x 3－3x 2＋a 的极大值为6，则a 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．5D ．6D [∵f (x )＝2x 3－3x 2＋a ，∴f′(x )＝6x 2－6x ＝6x (x －1)，令f′(x )＝0，得x ＝0或x ＝1，经判断易知极大值为f (0)＝a ＝6.]3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值D [由y ′＝－2x －3x 2＝0解得x ＝0或x ＝－23. 又x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，y ′＜0，y 为减函数；x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0时，y ′＞0，y 为增函数； x ∈(0，＋∞)时，y ′＜0，y 为减函数，所以当x ＝－23时，y 极小值＝5027，当x ＝0时，y 极大值＝2.]4．已知函数y ＝x 3＋ax 2＋bx ＋27在x ＝－1处取得极大值，在x ＝3处取得极小值，则a ＝________，b ＝________.－3 －9 [∵y ′＝3x 2＋2ax ＋b ，∴－1和3是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系可求得a ＝－3，b ＝－9，经检验符合．]5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的单调区间，并求极值． [解] (1)∵f′(x )＝2ax ＋b x ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(1)＝0，f (1)＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，∴a ＝12，b ＝－1. (2)由(1)得f′(x )＝x －1x ＝x 2－1x＝(x ＋1)(x －1)x ，x ∈(0，＋∞)．令f′(x )＝0，解得x ＝1.当x 变化时，f′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的单调递减区间为(0,1)，递增区间为(1，＋∞)． ∴f (x )极小值＝f (1)＝12.。

3.3.2 函数的极值与导数学习目标：1.了解极值的概念、理解极值与导数的关系．(难点)2.掌握利用导数求函数极值的步骤，能熟练地求函数的极值．(重点)3.会根据函数的极值求参数的值．(难点)[自主预习·探新知]1．极小值点与极小值若函数f(x)满足：(1)在x＝a附近其他点的函数值f(x)≥f(a)；(2)f′(a)＝0；(3)在x＝a附近的左侧f′(x)<0，在x＝a附近的右侧f′(x)>0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．2．极大值点与极大值若函数f(x)满足：(1)在x＝b附近其他点的函数值f(x)≤f(b)；(2)f′(b)＝0；(3)在x＝b附近的左侧f′(x)>0，在x＝b附近的右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．思考：(1)区间[a，b]的端点a，b能作为极大值点或极小值点吗？(2)若函数f(x)在区间[a，b]内存在一点c，满足f′(c)＝0，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点吗？[提示](1)不能，极大值点和极小值点只能是区间内部的点．(2)不一定，若在点c的左右两侧f′(x)符号相同，则x＝c不是极大值点或极小值点，若在点c的左右两侧f′(x)的符号不同，则x＝c是函数f(x)的极大值点或极小值点．3．极值的定义(1)极小值点、极大值点统称为极值点．(2)极大值与极小值统称为极值．4．求函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时，(1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值.(2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．[基础自测]1．思考辨析(1)导数值为0的点一定是函数的极值点．()(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．( )(4)函数f (x )＝1x有极值．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 2．函数y ＝x 3＋1的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在D [y ′＝3x 2≥0，则函数y ＝x 3＋1在R 上是增函数，不存在极大值．] 3．若x ＝－2与x ＝4是函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx 的两个极值点则有( )【导学号：97792153】A ．a ＝－2，b ＝4B ．a ＝－3，b ＝－24C ．a ＝1，b ＝3D ．a ＝2，b ＝－4B [f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意有x ＝－2和x ＝4是方程3x 2＋2ax ＋b ＝0的两个根，所以有－2a 3＝－2＋4，b3＝－2×4，解得a ＝－3，b ＝－24.][合 作 探 究·攻 重 难]函数f (x )的极小值是( )图3­3­8A ．a ＋b ＋cB ．3a ＋4b ＋cC ．3a ＋2bD ．c(2)求下列函数的极值： ①f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；②f (x )＝2xx 2＋1－2. [解析] (1)由f ′(x )的图象知，当x <0时，f ′(x )<0， 当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2时，f ′(x )<0 因此当x ＝0时，f (x )有极小值，且f (0)＝c ，故选D. [答案] D(2)①函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x ＝3或x ＝－1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↗↘↗∴x ＝－1是f (x )的极大值点，x ＝3是f (x )的极小值点，且f (x )极大值＝3，f (x )极小值＝－6.②函数的定义域为R ，f ′(x )＝x 2＋－4x 2x 2＋2＝－x －x ＋x 2＋2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：↘↗↘当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3；当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.1．求下列函数的极值． (1)f (x )＝2x ＋8x；(2)f (x )＝3x＋3ln x .[解] (1)因为f (x )＝2x ＋8x，所以函数的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，f ′(x )＝2－8x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x ＝2时，f (x )有极小值8.(2)函数f (x )＝3x＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x＝x －x 2，令f ′(x )＝0，得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此，当x ＝1【导学号：97792154】[思路探究] f (x )在x ＝－1处有极值0有两方面的含义：一方面x ＝－1为极值点，另一方面极值为0，由此可得f ′(－1)＝0，f (－1)＝0.[解] ∵f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b 且函数f (x )在x ＝－1处有极值0，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －＝0，f －＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝9.当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0，此时函数f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去．当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x ∈(－∞，－3)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数；当x ∈(－3，－1)时，f ′(x )＜0，此时f (x )为减函数； 当x ∈(－1，＋∞)时，f ′(x )＞0，此时f (x )为增函数． 故f (x )在x ＝－1处取得极小值． ∴a ＝2，b ＝9.2．(1)函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1时有极值10，则a ，b 的值为( ) A ．a ＝3，b ＝－3或a ＝－4，b ＝11 B ．a ＝－4，b ＝2或a ＝－4，b ＝11 C ．a ＝－4，b ＝11 D ．以上都不对C [f ′(x )＝3x 2－2ax －b .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f ＝3－2a －b ＝0，f＝1－a －b ＋a 2＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.当a ＝3，b ＝－3时，f ′(x )＝3(x ＋1)2≥0，不合题意，故a ＝－4，b ＝11.] (2)函数f (x )＝13x 3－x 2＋ax －1有极值点，求a 的取值范围．[解] f ′(x )＝x 2－2x ＋a ，由题意，方程x 2－2x ＋a ＝0有两个不同的实数根，所以Δ＝4－4a >0，解得a <1.所以a 的取值范围为(－∞，1)．1．如何画三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)的大致图象？提示：求出函数的极值点和极值，根据在极值点左右两侧的单调性画出函数的大致图象． 2．三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋c (a ≠0)的图象和x 轴一定有三个交点吗？提示：不一定，三次函数的图象和x 轴交点的个数和函数极值的大小有关，可能有一个也可能有两个或三个．已知a 为实数，函数f (x )＝－x 3＋3x ＋a (1)求函数f (x )的极值，并画出其图象(草图)(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[思路探究] (1)求出函数f(x)的极值点和极值，结合函数在各个区间上的单调性画出函数的图象．(2)当极大值或极小值恰好有一个为0时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根．[解] (1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3,令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x∈(－∞，－1)时，f′(x)<0；当x∈(－1,1)时，f′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0.所以函数f(x)的极小值为f(－1)＝a－2；极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．的图象有三个不同的交点，即方程1．下列四个函数中，能在x＝0处取得极值的是( )①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝cos x－1；④y＝2x.A．①②B．②③C．③④ D．①③B[①④为单调函数，不存在极值．]2．函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图3­3­9所示，则函数f(x)( )图3­3­9A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点C[当f′(x)的符号由正变负时，f(x)有极大值，当f′(x)的符号由负变正时，f(x)有极小值．由函数图象易知，函数有两个极大值点，两个极小值点．]3．函数y＝－3＋48x－x3的极小值是__________；极大值是________．－131 125[y′＝－3x2＋48＝－3(x＋4)(x－4)，∵当x∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，y′<0；当x∈(－4,4)时，y′>0，∴x＝－4时，y取到极小值－131，x＝4时，y取到极大值125.]4．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪(2，＋∞) [f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)， ∵函数f (x )既有极大值又有极小值， ∴方程f ′(x )＝0有两个不相等的实根． ∴Δ＝36a 2－36(a ＋2)＞0.即a 2－a －2＞0，解之得a ＞2或a ＜－1.] 5．已知函数f (x )＝ax 2＋b ln x 在x ＝1处有极值12.(1)求a ，b 的值．(2)判断函数f (x )的单调区间，并求极值.【导学号：97792155】[解] (1)因为f (x )＝ax 2＋b ln x ， 所以f ′(x )＝2ax ＋b x. 又函数f (x )在x ＝1处有极值12.故⎩⎪⎨⎪⎧f ＝0，f ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝0，a ＝12，解得a ＝12，b ＝－1.(2)由(1)可知f (x )＝12x 2－ln x .其定义域为(0，＋∞)． 且f ′(x )＝x －1x＝x ＋x －x.令f ′(x )＝0，则x ＝－1(舍去)或x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如表：所以函数f (x )的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(1，＋∞)，且函数在定义域上只有极小值f (1)＝12，无极大值．。

3.3.2 极大值与极小值学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(难点) 2.掌握函数极值的判定及求法．(重点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数极值的定义2.求函数y 解方程f ′(x )＝0，当f ′(x 0)＝0时：(1)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0，那么f (x 0)是极大值； (2)如果在x 0附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0，那么f (x 0)是极小值．[基础自测]1．判断正误：(1)函数f (x )＝1x有极值．( )(2)函数的极大值一定大于极小值．( )(3)若f ′(x 0)＝0，则x 0一定是函数f (x )的极值点．( )【解析】 (1)×.f (x )＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，故无极值．(2)×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值．(3)×.反例，f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，且f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点． 【答案】 (1)× (2)× (3)× 2．函数y ＝x ＋1x的极大值为________．【解析】 y ′＝1－1x2，令y ′＝0得x 2＝1，x ＝±1.当x ∈(－∞，－1)时，y ′>0.当x ∈(－1,0)时，y ′<0. ∴y ＝x ＋1x在x ＝－1处取得极大值y ＝－2.【答案】 －2[合 作 探 究·攻 重 难]求下列函数的极值：(1)y ＝2x 3＋6x 2－18x ＋3；(2)y ＝2x ＋8x.【导学号：95902226】[思路探究] f ′(x 0)＝0只是可导函数f (x )在x 0处有极值的必要条件，只有再加上x 0左右导数的符号相反，才能判定函数在x 0处取得极值．【自主解答】 (1)函数的定义域为R .y ′＝6x 2＋12x －18＝6(x ＋3)(x －1)， 令y ′＝0，得x ＝－3或x ＝1.当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极大值当x ＝1时，函数取得极小值，且y 极小值＝－7.(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，y ′＝2－8x2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－4x 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x ，令y ′＝0，得x ＝－2或x ＝2.当x ＜－2时，y ′＞0；当－2＜x ＜0时，y ′＜0. 即x ＝－2时，y 取得极大值，且极大值为－8. 当0＜x ＜2时，y ′＜0；当x ＞2时，y ′＞0. 即x ＝2时，y 取得极小值，且极小值为8. [规律方法] 求函数极值的方法求f x ＝0在函数定义域内的所有根；用方程f x ＝0的根将定义域分成若干个小区间、列表； 由f x 在各小区间内的符号，判断fx ＝0的根处的极值情况.[跟踪训练]1．求函数y ＝x 4－4x 3＋5的极值． 【解】 y ′＝4x 3－12x 2＝4x 2(x －3)． 令y ′＝4x 2(x －3)＝0，得x 1＝0，x 2＝3. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：极小值 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (f (1)＝－1. (1)求常数a ，b ，c 的值； (2)求函数的极大值和极小值．[思路探究] 可导函数的极值点一定是使导函数值为零的点，因此f ′(1)＝0，f ′(－1)＝0，再由f (1)＝－1，得到三个关于a ，b ，c 的方程，联立可求得a ，b ，c 的值．【自主解答】 (1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，由x ＝±1是极值点，得⎩⎪⎨⎪⎧3a －2b ＋c ＝0，①3a ＋2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，所以a ＋b ＋c ＝－1.③联立①②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝0，c ＝－32，经验证a ，b ，c 的值符合题意．(2)由(1)得f (x )＝12x 3－32x ，所以f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)，当x ＜－1或x ＞1时，f ′(x )＞0；当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0.所以，当x ＝－1时，f (x )有极大值f (－1)＝1；当x ＝1时，f (x )有极小值f (1)＝－1. [规律方法] 已知函数极值，求参数的值时，应注意两点：常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解.因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. [跟踪训练]2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处取得极值10，求常数a 、b 的值.【导学号：95902227】【解】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧f＝10，f ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ＋b ＋a 2＝10，3＋2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3，但由于当a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3≥0，故f (x )在R 上单调递增，不可能在x ＝1处取得极值，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3不符合题意，舍去；而当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11时，经检验知符合题意，故a ，b 的值分别为4，－11.[探究问题]1．已知三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ≠0)，若f ′(x )＝0的两个根是x 1，x 2，且x 1＜x 2，分别写出当a ＞0和a ＜0时函数f (x )的单调区间．【提示】 由题意可知f ′(x )＝a (x －x 1)(x －x 2)，当a ＞0时，令f ′(x )＞0可得x ＜x 1或x ＞x 2，令f ′(x )＜0可得x 1＜x ＜x 2，所以当a ＞0时，函数f (x )的单增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)，单调减区间是(x 1，x 2)．同理当a ＜0时，函数f (x )的单增区间是(x 1，x 2)，单减区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)．2．当a ＞0时，分别判断当x →＋∞和x →－∞时探究1中的三次函数f (x )的变化趋势是怎样的？当a ＜0时呢？ 【提示】 当a ＞0时，若x →＋∞，则f (x )→＋∞，若x →－∞，则f (x )→－∞； 当a ＜0时，若x →＋∞，则f (x )→－∞，若x →－∞， 则f (x )→＋∞.3．设a ＞0，讨论探究1中的三次函数f (x )的图象和x 轴交点的个数？【提示】 因为a ＞0，所以函数f (x )的单调增区间是(－∞，x 1)，(x 2，＋∞)，单减区间是(x 1，x 2)． 所以f (x )的极大值为f (x 1)，极小值为f (x 2)，显然f (x 1)＞f (x 2)，所以当f (x 2)＞0或f (x 1)＜0时，函数f (x )的图象和x 轴只有1个交点；当f (x 1)＝0或f (x 2)＝0时，函数f (x )的图象和x 轴有2个交点； 当f (x 1)＞0且f (x 2)＜0时，函数f (x )的图象和x 轴有3个交点．已知函数f (x )＝x 3－3ax －1，a ≠0. (1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．[思路探究] 解(1)需要对参数a 分类讨论．解决(2)可根据在x ＝－1处取得极值的条件，解出a 的值，进而求m 的取值范围．【自主解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x 2－a )，当a ＜0时，对x ∈R ，有f ′(x )＞0，所以当a ＜0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，＋∞)； 当a ＞0时，由f ′(x )＞0，解得x ＜－a 或x ＞a ， 由f ′(x )＜0，解得－a ＜x ＜a ，所以当a ＞0时，f (x )的单调递增区间为(－∞，－a ]，[a ，＋∞)，f (x )的单调递减区间为(－a ，a )．(2)因为f (x )在x ＝－1处取得极值，所以f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0.所以a ＝1. 所以f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3.由f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝1.由(1)知f (x )的单调性，可知f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1 ，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.因为直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，又f (－3)＝－19＜－3，f (3)＝17＞1，结合f (x )的单调性和极值情况，它的图象大致如图所示，结合图象，可知m 的取值范围是( －3,1)．[规律方法] 应用导数求函数的极值，来确定函数图象的交点个数或方程的根的个数，是一种很有效的方法，它通过函数的变化情况，运用数形结合思想来确定函数图象与x 轴的交点个数，从而判断方程根的个数.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.试分析方程a ＝f (x )的根的个数．【解】 ∵f (x )＝13x 3－4x ＋4，∴f ′(x )＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝2或x ＝－2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：∴当x ＝－2时，函数取得极大值f (－2)＝283.当x ＝2时，函数取得极小值f (2)＝－43.且f (x )在(－∞，－2)上递增，在(－2,2)上递减，在(2，＋∞)上递增． 根据函数单调性、极值情况，它的图象大致如图所示．结合图象：①当a ＞283或a ＜－43时，方程a ＝f (x )有一个根．②当－43＜a ＜283时，方程a ＝f (x )有三个根．③当a ＝283或a ＝－43时，方程a ＝f (x )有两个根．[构建·体系][当堂达标·固双基]1．下列四个函数中：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝x2；④y＝2x能在x＝0处取得极值的函数是________(填序号)．【解析】①④均为单调函数，不存在极值，②③在x＝0处取得极值．【答案】②③2．下列结论：①导数为零的点一定是极值点；②如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值；③如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极小值；④如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极大值．其中正确的是________.【导学号：95902228】【解析】根据函数极值的概念，依次判断各选项知，选项①，③，④均错，选项②正确．【答案】②3．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．【解析】f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，当x∈(0,2)时，f′(x)＜0，f(x)递减，当x∈(－∞，0)或(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)递增，∴在x＝2处函数取得极小值．【答案】 24．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图3­3­6所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有________个极小值点．图3­3­6【解析】由题图可知，在区间(a，x1)，(x2,0)，(0，x3)内f′(x)＞0；在区间(x1，x2)，(x3，b)内f′(x)＜0，即f(x)在(a，x1)内单调递增，在(x1，x2)内单调递减，在(x2，x3)内单调递增，在(x3，b)内单调递减．所以，函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极小值点，极小值点为x＝x2.故填1.【答案】 15．求函数f (x )＝x 2＋x －ln x ＋2的极值.【导学号：95902229】【解】 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2x ＋1－1x＝x －x ＋x，∴当0＜x ＜12时f ′(x )＜0，当x ＞12时f ′(x )＞0，∴函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12单调减，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞单调递增，∴当x ＝12时，函数f (x )取得极小值为114＋ln 2，无极大值．。

精 品 试 卷 精品推荐 3.3.2 极大值与极小值

学习目标：1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用．(难点) 2.掌握函数极值的判定及求法．(重点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．函数极值的定义

函数的极值

极大值 设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要大，则称f(x0)是函数f(x)的一个极大值．

极小值 设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0值附近所有各点的函数值都要小，则称f(x0)是函数f(x)的一个极小值. 2.求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是极小值． [基础自测] 1．判断正误：

(1)函数f(x)＝1x有极值．( ) (2)函数的极大值一定大于极小值．( ) (3)若f′(x0)＝0，则x0一定是函数f(x)的极值点．( )

【解析】 (1)×.f(x)＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上是减函数，故无极值． (2)×.反例，如图所示的函数的极大值小于其极小值．

(3)×.反例，f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，且f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 【答案】 (1)× (2)× (3)×

2．函数y＝x＋1x的极大值为________．

【解析】 y′＝1－1x2，令y′＝0得x2＝1，x＝±1. 当x∈(－∞，－1)时，y′>0.当x∈(－1,0)时，y′<0. ∴y＝x＋1x在x＝－1处取得极大值y＝－2. 精 品 试 卷 精品推荐 【答案】 －2

[合 作 探 究·攻 重 难]

求函数的极值 求下列函数的极值：

(1)y＝2x3＋6x2－18x＋3；(2)y＝2x＋8x. 【导学号：95902226】 [思路探究] f ′(x0)＝0只是可导函数f(x)在x0处有极值的必要条件，只有再加上x0左右导数的符号相反，才能判定函数在x0处取得极值． 【自主解答】 (1)函数的定义域为R.y′＝6x2＋12x－18＝6(x＋3)(x－1)， 令y′＝0，得x＝－3或x＝1. 当x变化时，y′，y的变化情况如下表： x (－∞，－3) －3 (－3,1) 1 (1，＋∞)

3.3.2 利用导数研究函数的极值(二)1．函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的最值(1)取得最值的条件：在闭区间[a ，b ]上函数y ＝f (x )的图象是一条连续不断的曲线．(2)结论：函数y ＝f (x )必有最大值和最小值，若函数在(a ，b )上是可导的，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．2．求可导函数y ＝f (x )在[a，b ]上的最值的步骤 (1)求f (x )在开区间(a ，b )内所有极值点．(2)计算函数f (x )在极值点和端点的函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．思考：函数在闭区间上的极大值就是最大值吗？极小值就是最小值吗？ [提示] 不一定．函数在闭区间上的极大值不一定是最大值，还要与端点处的函数值比较，最大的即是最大值，同理，闭区间上的极小值也不一定是最小值．1．如图所示，函数f (x )的导函数的图象是一条直线，则( )A ．函数f (x )没有最大值也没有最小值B ．函数f (x )有最大值，没有最小值C ．函数f (x )没有最大值，有最小值D ．函数f (x )有最大值也有最小值C [由函数图象可知，函数f (x )只有一个极小值点，且函数在此处取得最小值，没有最大值．]2．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( )A ．π－1B ．π2－1 C ．π D ．π＋1C [在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上y ′＝1－cos x ≥0，∴y ＝x －sin x 为增函数，∴当x ＝π时，y max ＝π.]3．函数y ＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( ) A ．293 B ．29 2 C ．49 2D ．38A [y ′＝1－3x 2＝0，∴x ＝±33.当0＜x ＜33时，y ′＞0；当33＜x ＜1时，y ′＜0.所以当x ＝33时，y 极大值＝293；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0.所以当x ＝33时，y max ＝29 3.]4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，则a ＝________. －12 [y ′＝－2x －2，令y ′＝0，得x ＝－1， 所以函数在(－∞，－1)上单调递增， 在(－1，＋∞)上单调递减． 若a >－1，则最大为f (a )＝－a 2－2a ＋3＝154， 解得a ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝－32舍去.若a ≤－1，则最大为f (－1)＝－1＋2＋3＝4≠154.](1)f (x )＝2x 3－12x ，x ∈[－1,3]；(2)f (x )＝12x ＋sin x ，x ∈[0,2π]．[思路探究] 求f ′(x )→令f ′(x )＝0得到相应的x 的值→列表→确定极值点→求极值与端点值并比较大小→确定最值 [解] (1)f (x )＝2x 3－12x ， f′(x )＝6x 2－12＝6(x 2－2)，令f′(x )＝0，∴x 2－2＝0，∴x 1＝－2，x 2＝ 2. 当x 变化时，f′(x )与f (x )的变化状态如下表：(2)82所以当x ＝2时，f (x )取得最小值－82； 当x ＝3时，f (x )取得最大值18.(2)f′(x )＝12＋cos x ，令f′(x )＝0，又x ∈[0,2π]， 解得x ＝2π3或x ＝4π3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：∴当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π.求函数在闭区间上的最值，在熟练掌握求解步骤的基础上，还须注意以下几点：(1)对函数进行准确求导；(2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值；(3)比较极值与端点函数值大小时，有时需要利用作差或作商，甚至要分类讨论.1．求下列各函数的最值：(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；(2)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]．[解](1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表∴当x＝4时，f(x)取最大值35.当x＝－2时，f(x)取最小值－37.(2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3，∵f′(x)在[－1,1]内恒大于0，∴f(x)在[－1,1]上为增函数．故x＝－1时，f(x)最小值＝－12；x＝1时，f(x)最大值＝2.即f(x)的最小值为－12，最大值为2.1．在闭区间上函数的图象连续不断是函数有最值的充要条件吗？[提示]闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有惟一的极值，则此极值必是函数的最值．2．函数最值与极值有何区别与联系？[提示](1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．【例2】已知函数f(x)＝e x－ax2－bx－1，其中a，b∈R，e＝2.718 28…为自然对数的底数．设g(x)是函数f(x)的导函数，求函数g(x)在区间[0,1]上的最小值．[思路探究]先求导，再求极值，最后分类讨论来确定最值．[解]因为f(x)＝e x－ax2－bx－1，所以g (x )＝f′(x )＝e x －2ax －b ， 又g ′(x )＝e x －2a ，因为x ∈[0,1]，所以：1≤e x ≤e ， (1)若a ≤12， 则2a ≤1，g ′(x )＝e x －2a ≥0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1－b . (2)若12<a <e 2，则1<2a <e ， 于是当0<x <ln(2a )时， g ′(x )＝e x －2a ＜0， 当ln(2a )＜x ＜1时， g ′(x )＝e x －2a ＞0，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减， 在区间[ln(2a )，1]上单调递增， g (x )min ＝g (ln(2a )) ＝2a －2a ln(2a )－b .(3)若a ≥e2，则2a ≥e ，g ′(x )＝e x －2a ≤0，所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递减，g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b . 综上所述，当a ≤12时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为 g (x )min ＝g (0)＝1－b ；当12＜a ＜e 2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (x )min ＝g (ln(2a ))＝2a －2a ln(2a )－b ；当a ≥e2时，g (x )在区间[0,1]上的最小值为g (x )min ＝g (1)＝e －2a －b .1．(变换条件)若a ＝1，b ＝－2，求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值． [解] 因为a ＝1，b ＝－2， g (x )＝f′(x )＝e x －2x ＋2，又g ′(x )＝e x －2，令g ′(x )＝0， 因为x ∈[0,1]，解得x ＝ln 2，已知当x ＝ln 2时，函数取极小值，也是最小值，故g (x )min ＝g (ln 2)＝2－2ln 2＋2＝4－2ln 2.2．(改变条件和问法)当b ＝0时，若函数g (x )在区间[0,1]上的最小值为0，求a 的值．[解] 当b ＝0时，因为f (x )＝e x －ax 2－1， 所以g (x )＝f′(x )＝e x －2ax ， 又g ′(x )＝e x －2a ，因为x ∈[0,1]，所以1≤e x ≤e ，(1)若a ≤12，则2a ≤1，g ′(x )＝e x－2a ≥0， 所以函数g (x )在区间[0,1]上单调递增，g (x )min ＝g (0)＝1，不符合题意； (2)若12<a <e 2，则1<2a <e ， 于是当0<x <ln(2a )时， g ′(x )＝e x －2a ＜0， 当ln(2a )<x <1时， g ′(x )＝e x －2a ＞0，所以函数g (x )在区间[0，ln(2a )]上单调递减，在区间[ln(2a )，1]上单调递增，g(x)min＝g(ln(2a))＝2a－2a ln(2a)＝0，解得a＝e2不符合题意，舍去；(3)若a≥e 2，则2a≥e，g′(x)＝e x－2a≤0，所以函数g(x)在区间[0,1]上单调递减，g(x)min＝g(1)＝e－2a＝0，解得a＝e2.综上所述，a＝e2.对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0，等于0，小于0三种情况.若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值.提醒：由f′(x)＝0得到根x0，是否在[a，b]内不明确时要分类讨论.(1)若函数g(x)＝f(x)＋ax在区间[e2，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x∈(0，＋∞)，f(x)≥－x2＋mx－32恒成立，求实数m的最大值．[解](1)由题意得g′(x)＝f′(x)＋a＝ln x＋a＋1，∵函数g(x)在区间[e2，＋∞)上为增函数，∴当x∈[e2，＋∞)时，g′(x)≥0，即ln x＋a＋1≥0在[e2，＋∞)上恒成立，∴a≥－1－ln x，令h(x)＝－ln x－1，当x∈[e2，＋∞)时，ln x∈[2，＋∞)，∴h(x)∈(－∞，－3]，∴a的取值范围是[－3，＋∞)．(2)∵2f(x)≥－x2＋mx－3，即mx≤2x ln x＋x2＋3，又x＞0，∴m≤2x ln x＋x2＋3x，令t(x)＝2x ln x＋x2＋3x＝2ln x＋x＋3x，∴t′(x)＝2x＋1－3x2＝x2＋2x－3x2＝(x＋3)(x－1)x2，令t′(x)＝0得x＝1或－3(舍)．当x∈(0,1)时，t′(x)<0，t(x)在(0,1)上单调递减，当x∈(1，＋∞)时，t′(x)>0，t(x)在(1，＋∞)上单调递增．t(x)min＝t(1)＝4，∴m≤t(x)min＝4，即m的最大值为4.(1)“恒成立”问题向最值问题转化是一种常用的解决“恒成立”问题的方法.一般地，可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即可.(2)此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况，以此来确定参数的范围能否取得“＝”.2．设f(x)＝ln x，g(x)＝f(x)＋f′(x)．(1)求g(x)的单调区间和最小值；(2)求a的取值范围，使得g(a)－g(x)<1a对任意x>0成立．[解](1)由题设知f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x，所以g(x)＝ln x＋1x，所以g′(x)＝x－1 x2.令g′(x)＝0，得x＝1，当x∈(0,1)时，g′(x)<0，故(0,1)是g(x)的单调递减区间；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，故(1，＋∞)是g(x)的单调递增区间．因此x＝1是g(x)在(0，＋∞)上的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为g(1)＝1.(2)因为g(a)－g(x)<1a对任意x>0成立，即ln a<g(x)对任意x>0成立．由(1)知，g(x)的最小值为1，所以ln a<1，解得0<a<e，即a的取值范围为(0，e)．1．思考辨析(1)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．()(2)函数f(x)只有一个极小值点，则函数f(x)的极小值也是最小值．()(3)函数F(x)＝f(x)－g(x)的最小值大于0，则f(x)＞g(x)．() [提示](1)√(2)× 不一定．最小值也有可能在区间端点处取得．(3)√2．若函数f (x )＝x 3－3x －a 在区间[0,3]上的最大值、最小值分别为M ，N ，则M －N 的值为 ( )A ．2B ．4C ．18D ．20D [f′(x )＝3x 2－3，令f′(x )＝0得x ＝±1.当0≤x <1时，f′(x )<0；当1<x ≤3时，f′(x )>0.则f (1)最小，又f (0)＝－a ，f (3)＝18－a ，又f (3)>f (0)，∴最大值为f (3)，即M ＝f (3)，N ＝f (1)⇒M －N ＝f (3)－f (1)＝(18－a )－(－2－a )＝20.]3．函数y ＝x e x 在[0,2]上的最大值为________．1e [y ′＝e x ·x ′－(e x)′x (e x )2＝1－x e x . 令y ′＝0，得x ＝1∈[0,2]．f (1)＝1e ，f (0)＝0，f (2)＝2e 2，∴f (x )max ＝f (1)＝1e .]4．函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，对任意x ∈[1,2]都有f (x )＞m ，则实数m 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，72 [由题意知只要f (x )min ＞m 即可， 由f′(x )＝3x 2－x －2＝0，得x ＝－23(舍去)或x ＝1，易知f (x )min ＝f (1)＝72，所以m ＜72.]5．(2019·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2sin x －x cos x －x ，f ′(x )为f (x )的导数．(1)证明：f ′(x )在区间(0，π)存在唯一零点；(2)若x ∈[0，π]时，f (x )≥ax ，求a 的取值范围．[解] (1)设g (x )＝f ′(x )，则g (x )＝cos x ＋x sin x －1，g ′(x )＝x cos x .当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，g ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，g ′(x )＜0，所以g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减． 又g (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞0，g (π)＝－2，故g (x )在(0，π)存在唯一零点． 所以f ′(x )在(0，π)存在唯一零点．(2)由题设知f (π)≥a π，f (π)＝0，可得a ≤0.由(1)知，f ′(x )在(0，π)只有一个零点，设为x 0，且当x ∈(0，x 0)时，f ′(x )＞0； 当x ∈(x 0，π)时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(0，x 0)单调递增，在(x 0，π)单调递减． 又f (0)＝0，f (π)＝0，所以，当x ∈[0，π]时，f (x )≥0.又当a ≤0，x ∈[0，π]时，ax ≤0，故f (x )≥ax .因此，a 的取值范围是(－∞，0]．。