六、（15分）分别写出求解下列方程组的雅可比、高斯-赛德尔以及超松弛迭代
格式，并说明是否收敛。
⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=++=++.
3922,1282,7227321
321321x x x x x x x x x
九、（10分）设)(x f 在],[b a 上导数连续。将],[b a n 等分，分点为
b
x x x a n =<<<= 10，步长n
a b h -=
（1）证明右矩形公式)()(1
i x x x hf dx x f i i ≈⎰
-的误差为2
)(2
1h
f R i ξ'-
=
（2）写出求⎰b a
dx x f )(的复化右矩形公式。 （3）导出复化右矩形公式的误差。
三、（10分）已知数据
设2
)1()(-+=x b ax x f ，求常数a ,b , 使得 ∑==-3
2min ])([i i i y x f
四、（15分）设方程x
e
x -=.
(1)估计含根区间;
(2)分析迭代格式,5.00=x n
x n e
x -+=1, ,2,1,0=n .的收敛性;
(3)写出解此方程的牛顿迭代格式,并问0x 取何值时,迭代收敛.
九、（10分）设求积公式
∑⎰
=≈
n
k k k
b
a
x f A
dx x f 1
)()(为高斯型求积公式，
)())(()(21n n x x x x x x x ---= ω
（1） 问给定的求积公式的代数精度是多少次？
（2） 证明: 对任意次数小于等于1-n 的多项式)(x q ，必有⎰=b
a n dx x x q 0)()(ω；
（3） 证明：n k A k ,,2,1,
0 =>
五、（10分）设常数0≠a ，分别写出求解方程组 ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛212
1
1
1b b x x a a 的Jacobi 迭代格式及Gauss-Seidel 迭代格式并给出用Gauss-Seidel 迭代格式求解此方程组时，对任意初值都收敛的充分必要条件。
十、（10分）证明求积公式
∑⎰
=≈
n
k k k
b
a
x f dx x f 0
)()(λ
的代数精度大于等于n 的充分必要条
件是),2,1,0(,)( ==
⎰
k dx x l b
a
k k λ。其中b x x x a n ≤<<<≤ 10，)(x l k 是以n
x x ,0为插值节点的拉格朗日插值基多项式。 七、（10分）已知数据
设b x
ax x f +=6
sin
)(π，求常数a,b ,使得 ∑==-2
2min ])([i i
i y x f
5、（12分）已知数据
求形如 6
sin 2
x
b ax y += 的拟合曲线。
8、 （12分）设b x x x a n =<<<= 10，求积公式
∑⎰=≈
n
i i i
b
a x f A
dx x f 0
)()( ………………………… （*）
为插值型求积公式, (1) 推导出系数 i A 的公式; (2) 证明公式(*)的代数精度n ≥;
(3) 证明公式(*)的代数精度不可能大于12+n .
六、Jacobi ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎣
⎡------=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++3/18/1109
/29/28/208
/27/27/20)(3)(2)
(1)1(3)1(2
)1(1k k k k k k x x x x x x
高斯-赛德尔类似，略。
松弛法：⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎨⎧---+=----+=---+=++++++]9223[9]2821[8]2277[7)(3)1(2)1(1)(3)1(3)
(3)(2)1(1)(2)1(2)
(3)(2)(1)(1)1(1k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x ωωω
因为A 对角严格占优，所以Jacob 及G-S 收敛。又因为A 正定，所以松弛法收敛。
九、（1）))(()()(i i i x x f x f x f -'+=ξ
)()(1
i x x x hf dx x f i i =⎰
-2
)(2
1h f i ξ'-
(2) ∑⎰=≈n
i i b
a
x f h dx x f 1
)()(
(3) 余项R=-)]()([2
1
12n f f h ξξ'+'
=)(21
2
ηf n h '-
=)(2
ηf h a b '--
三、2
10)1()(,
)(-==x x x x ϕϕ
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=41
1
3210T
A
， ⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=b a C ， ⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=7423y y A AC A T
T =，⎥⎦⎤⎢
⎣⎡1814
1414⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡3531b a 1,2143.1==b a 四、（1）含根区间[0，1] （2）x
e
x -=)(ϕ，1316.0)5.0(<='ϕ，所以收敛
（3）设x
e x x
f --=)(，在[0，1]内，0)(,0)(<''>'x f x f ，取*0x x <，直接取00=x
九、（1）为2n-1次
