马氏链模型

马尔可夫链模型（Markov Chain Model）目录[隐藏]1 马尔可夫链模型概述2 马尔可夫链模型的性质3 离散状态空间中的马尔可夫链模型4 马尔可夫链模型的应用o 4.1 科学中的应用o 4.2 人力资源中的应用5 马尔可夫模型案例分析[1]o 5.1 马尔可夫模型的建立o 5.2 马尔可夫模型的应用6 参考文献[编辑]马尔可夫链模型概述马尔可夫链因安德烈·马尔可夫（Andrey Markov，1856－1922）得名，是数学中具有马尔可夫性质的离散时间随机过程。

该过程中，在给定当前知识或信息的情况下，过去（即当期以前的历史状态）对于预测将来（即当期以后的未来状态）是无关的。

时间和状态都是离散的马尔可夫过程称为马尔可夫链, 简记为。

马尔可夫链是随机变量的一个数列。

这些变量的范围，即他们所有可能取值的集合，被称为“状态空间”，而Xn的值则是在时间n的状态。

如果Xn + 1对于过去状态的条件概率分布仅是Xn的一个函数，则这里x为过程中的某个状态。

上面这个恒等式可以被看作是马尔可夫性质。

马尔可夫在1906年首先做出了这类过程。

而将此一般化到可数无限状态空间是由柯尔莫果洛夫在1936年给出的。

马尔可夫链与布朗运动以及遍历假说这两个二十世纪初期物理学重要课题是相联系的，但马尔可夫寻求的似乎不仅于数学动机，名义上是对于纵属事件大数法则的扩张。

马尔可夫链是满足下面两个假设的一种随机过程：1、t+l时刻系统状态的概率分布只与t时刻的状态有关，与t时刻以前的状态无关；2、从t时刻到t+l时刻的状态转移与t的值无关。

一个马尔可夫链模型可表示为=(S，P，Q)，其中各元的含义如下：1）S是系统所有可能的状态所组成的非空的状态集，有时也称之为系统的状态空间，它可以是有限的、可列的集合或任意非空集。

本文中假定S是可数集(即有限或可列)。

用小写字母i,j(或S i,S j)等来表示状态。

2）是系统的状态转移概率矩阵，其中P ij表示系统在时刻t处于状态i，在下一时刻t+l处于状态i的概率，N是系统所有可能的状态的个数。

.建模过程马尔可夫链在股市分析的应用文献综述摘要：马尔可夫链是一个有着广泛应用的随机过程模型，它对一个系统由一种状态转移到另一 种状态的现状提出了定量分析。

马尔可夫链在社会、经济、金融市场、农业、生态、环境、 工业控制等领域的一些动态问题上都有广泛的应用。

在证券投资分析中，因为证券市场的运作随机性很大，股市常受到很多随机因素的影响，从而使股票的价格涨落呈现出不确定性。

运用马尔可夫链理论模拟股市运行规律， 并以此对我国股票市场的个股进行实证分析，结果是有效的。

关键词：马尔可夫链；股市分析；预测一.马尔可夫过程概述.若对任意的整数n € T 及任意的i0 , i1 , ? , in+ 1€ E, 条件概率满足P{X n J 九 1 IX 。

=i 0,X^i 1,,,X^i n ^ P{X n i =i n i | X^i n } , (1)则称｛ X n , n € T ｝为马尔可夫链，简称马氏链.(1)式称为过程的马尔可夫性(或称无后效性). 它表示若已知系统现在的状态，则系统未来所处状态与过去所处的状态无关 定义2称条件概率pij ( m ,1) = P ｛ Xm+ 1 = j | Xm = i ｝ ( i , j € E) (2)为马氏链｛ X n , n € T ｝在时刻m 的一步转移概率，简称为转移概率.若对任意的i, j € E,马 尔可夫链｛ X n , n € T ｝的转移概率p ij ( m ,1)与m 无关,则称马氏链是齐次的，记p ij ( m ,1)为 p ij . 同时定义：系统在时刻m 从状态i 出发，经过n 步后处于状态j 的概率pij ( n , m) = P ｛ Xm+n = j | Xm = i ｝ ( i , j € E, m > 0 , n 》1) (3)为齐次马尔可夫链｛ Xn , n € T ｝的n 步转移概率.由齐次性知其与m 无关，故简记为pij (n). 定义3 齐次马尔可夫链的所有一步转移概率 pij 组成的矩阵P1 =( pij )称为它在时刻m 的 一步转移概率矩阵(i , j € E).所有n 步转移概率p ij ( n)组成的矩阵Pn = ( pij ( n))为马 尔可夫链的n 步转移概率矩阵，其中：0 w pij ( n) < 1 ,艺j € E p ij ( n) = 1.设｛ Xn , n € T ｝为齐次马尔可夫链，则=P 1P 1(nX) =P ；(n -1)且若它的状态空间E 是有限的 对一切i , j € 常数n( j),使得li m pdn)=恵(j),,则称此马氏链具有遍历性，且n ( j)是方程组n —二(j)八・=j)p iji满足条件n ( j) > 0, 二(j) =1的唯一解，即经历一段时间之后，系统达到平稳状态J定义1设有随机过程｛ X , n € T ｝, 其时间集合T = { 0 ,1 ,2 , ? }，状态空间E = { 0 ,1 ,2 , ? ｝,亦即Xn 是时间离散状态离散的 E 存在不依赖于i 的马尔可夫链的马氏性是指在现在的条件的下， 将来与过去是无关的，这样决定了我们可以利用马尔可夫做预测，国内各行业的科技工作者都在运用马氏链理论结合实际情况进行与 预测分析。

马尔科夫链（Markov Chain ）在传染病刚爆发阶段，我们可以认为患者、潜伏期患者每天接触到的都是正常人，每个患者的有效感染人数与时期无关，在这样的假设下，我们应用马氏链对疫情的前期状况进行模拟。

我们先粗略的将所有人分为患者（I ）、潜伏期患者（E ）、正常人（S ）、治愈者（R ）、死亡者（D ），以每一天为单位，将第n 天的状态向量表示为：(n)(I(n)(n)(n)(n)(n))T X E S R D =下面建立第n+1天与第n 天之间的状态转移方程：321213311(n 1)(n)(1)(n)1(n 1)(n)(1)(n)fr (n)pr (n 1)(n)(n)f r (n)pr 1(n 1)(n)(n)1(n 1)(n)(n)(1)I I E a E E I E S S I E R R I a D D I a τλλτλλμμ⎧+=-+⎪⎪⎪+=-++⎪⎪⎪+=--⎨⎪⎪+=+⎪⎪⎪+=+-⎪⎩表示成矩阵形式：321(n 1)(n)2133111000(n 1)(n)11000(n 1)(n)100(n 1)(n)(n 1)(n)0010(n 1)(n)10001a I I fr pr E E fr pr X AX S S R R a D D a τλλτλλμμ+⎛⎫- ⎪ ⎪+⎛⎫⎛⎫ ⎪+- ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪===+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭其中A 为相应的随机矩阵。

通过该状态转移方程，我们可以求出当n 较小时的任意时刻的各个状态的具体人数，计算公式为：(n)(n 1)2(n 2)(0)...n X AX A X A X --====(0)X 为初始时刻的各个状态的人数所组成的列向量，f 表示没进医院的患者占所有患者的比率，1λ、2λ分别表示患者、潜伏期患者接触到正常人时使别人患病的概率，μ为医院的治愈率。

随着疫情的加重，病人和潜伏期病人会接触到越来越多已经感染病毒的人群，但是患病者不再对他们进行感染，所以患者的有效感染人数会越来越小。

马尔可夫链模型在考察随机因素影响的动态系统时，常常碰到这样的情况，系统在每个时期所处的状态是随机的，从这个时期到下个时期的状态按照一定的概率进行转移，并且下个时期的状态只取决于这个时期的状态和转移概率，与以前各时期的状态无关。

这种性质称为无后效性或马尔可夫性。

通俗的说就是已知现在，将来与历史无关。

具有马氏性的，时间、状态无为离散的随机转移过程通常用马氏链(Markov Chain)模型描述。

马氏链模型在经济、社会、生态、遗传等许多领域中有着广泛的应用。

值得提出的是，虽然它是解决随机转移过程的工具，但是一些确定性系统的状态转移问题也能用马氏链模型处理。

马氏链简介：马氏链及其基本方程：按照系统的发展，时间离散化为0,1,2,n =，对每个n ，系统的状态用随机变量nX 表示，设nX 可以取k 个离散值1,2,,nX k= ，且nXi=的概率记作()ian ，称为状态概率，从nXi=到1n Xj+=的概率记作ijp ，称为转移概率。

如果1n X+的取值只取决于nX 的取值及转移概率，而与12,,n n XX --的取值无关，那么这种离散状态按照离散时间的随机转移过程称为马氏链。

由状态转移的无后效性和全概率公式可以写出马氏链的基本方程为1(1)()1,2,,ki jijj a n an p i k=+==∑并且()ian 和ijp 应满足11()10,1,2,;0;11,2,,kkjij ij j j an n p p i k====≥==∑∑引入状态概率向量和转移概率矩阵12()((),(),,()){}k ij ka n a n a n a n P p ==则基本方程可以表为1(1)()(0)n a n a n Pa P++==例1：某商店每月考察一次经营情况，其结果用经营状况好与孬表示。

若本月经营状况好，则下月保持好的概率为0.5，若本月经营状况不好，则下月保持好的概率为0.4，试分析该商店若干时间后的经营状况。

马 氏 链 模 型 简 介1、随机过程的概念。

定义：设集合{}T t t ∈:ξ是一族随机变量，T 是一个实数集合，如果对于任意T t ∈，t ξ是一个随机变量，则称{}T t t ∈:ξ是一个随机过程。

其中：（1）t 为参数可以认为是时间，T 为参数集合。

（2）随机变量t ξ的每一个可能值，称为随机过程的一个状态。

其全体可能值构成的集合，称为随机过程的状态空间，用E 表示。

（3）当参数集合T 为非负整数集时，随机过程又称为随机序列。

随机序列可用{} ,3,2,1:=n n ξ表示。

当T 为时间时，该随机序列就是一个时间序列。

如：（1）用t ξ表示“t 时刻，某商店的库存量”，则{}),0[:+∞∈t t ξ就是一个随机过程。

（2）用t ξ表示“在一天中t 时刻，某地区的天气状况”，则{}]24,0[:∈t t ξ是一个随机过程。

（3）用t ξ表示“在一天中t 时刻（整数），某城市的出租汽车的分布状况”，则{}24,,2,1,0: =t t ξ是一个随机时间序列。

马氏链，也称为马尔可夫链，就是一个特殊的随机时间序列，也为随机序列。

2、（离散时间）马尔可夫链——马氏链。

定义：设{} ,3,2,1:=n n ξ是一个随机序列，状态空间E 为有限或可列集。

若对于任意正整数m 、n 。

如果E i ∈、E j ∈、E i k ∈ （1,,2,1-=n k ）满足)(),,,(1111i j P i i i j P n m n n n n m n =======+--+ξξξξξξ 成立，则称随机序列{} ,3,2,1:=n n ξ为一个马尔可夫链，简称为马氏链。

（时间、状态均为离散的随机转移过程） 从该定义可知：（1）如果将随机变量n ξ的下角标n ，理解为步数。

则随机变量n ξ就是从起始点经过n 步，到达的随机变量。

（2）随机变量)(i n =ξ，是指第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 。

（3）条件概率)(i j P n m n ==+ξξ是指，第n 步时的随机变量n ξ所处的状态i 发生的条件下，第m n +步时的随机变量m n +ξ所处的状态j ，发生的条件概率。

马尔可夫链在自然界与社会现象中，许多随机现象遵循下列演变规律，已知某个系统(或过程)在时刻0t t =所处的状态，与该系统(或过程)在时刻0t t >所处的状态与时刻0t t <所处的状态无关。

例如，微分方程的初值问题描述的物理系统属于这类随机性现象。

随机现象具有的这种特性称为无后效性(随机过程的无后效性)，无后效性的直观含义：已知“现在”，“将来”和“过去”无关。

在贝努利过程(){},1X n n ≥中，设()X n 表示第n 次掷一颗骰子时出现的点数，易见，今后出现的点数与过去出现的点数无关。

在维纳过程(){},0X t t ≥中，设()X t 表示花粉在水面上作布朗运动时所处的位置，易见，已知花粉目前所处的位置，花粉将来的位置与过去的位置无关。

在泊松过程(){,0}N t t ≥中，设()N t 表示时间段[0,]t 内进入某商店的顾客数。

易见，已知时间段0[0,]t 内进入商店的顾客数()0N t ，在时间段()0[0,]t t t >内进入商店的顾客数()N t 等于()0N t 加上在时间段0(,]t t 内进入商店的顾客数()()0N t N t -，而与时刻0t 前进入商店的顾客无关。

一、马尔可夫过程定义：给定随机过程(){},X t t T ∈。

如果对任意正整数3n ≥，任意的12,,1,,n i t t t t T i n <<<∈=，任意的11,,,n x x S -∈S 是()X t 的状态空间，总有()()()1111|,n n n n P X x X t x X t x --≤==()()11|,n n n n n P X x X t x x R --=≤=∈ 则称(){},X t t T ∈为马尔可夫过程。

在这个定义中，如果把时刻1n t -看作“现在”，时刻n t 是“将来”，时刻12,,n t t -是“过去”。

马尔可夫过程要求：已知现在的状态()11n n X t x --=，过程将来的状态()n X t 与过程过去的状态()()1122,,n n X t x X t x --==无关。

不可约马氏链极限定理理论说明以及概述1. 引言1.1 概述不可约马氏链极限定理是概率论中重要的一部分，它涉及到马尔可夫过程以及极限定理的概念。

马尔可夫过程是一个具有马氏性质的随机过程，它具有时序上的依赖关系，即下一个状态只与当前状态有关，而与之前的状态无关。

不可约性与遍历性质是马尔可夫过程中的两个重要概念。

不可约性指的是任意两个状态之间都存在一条转移路径，这样的马尔可夫链被称为不可约链；而遍历性质表示在不可约马氏链中，从任意一个状态出发可以到达所有其他状态。

极限定理是概率论中研究随机变量序列极限行为的重要工具。

切比雪夫不等式和中心极限定理是两个基本原理。

切比雪夫不等式给出了随机变量集合上个体与均值之间差异的界限；而中心极限定理则揭示了当随机变量满足一些条件时，其样本均值会收敛于正态分布。

文章旨在介绍不可约马氏链极限定理的基本理论原理，并给出其证明和解读。

本文将首先介绍马尔可夫过程的概念及其马氏性质和平稳分布，然后详细讲解不可约性与遍历性质的定义和特点。

接着，我们将阐述切比雪夫不等式及其在极限定理中的应用，以及中心极限定理及其推广形式。

最后，我们将进行不可约马氏链极限定理的证明，并对其结果进行解读。

通过本文的介绍和讲解，读者将对不可约马氏链极限定理有更深入的了解，并能够应用相关原理解决实际问题。

1.2 文章结构本文共分为五个部分：引言、不可约马氏链相关概念、极限定理的基本原理、不可约马氏链极限定理的证明和解读、总结与展望。

接下来我们将依次介绍这些部分内容。

1.3 目的本文旨在提供一个全面而清晰的关于不可约马氏链极限定理的讲解和说明，使读者能够了解该定理在概率论中的重要性以及它背后所涉及的马尔可夫过程和极限定理的基本原理。

同时，通过详细的证明和解读，读者将能够更好地理解不可约马氏链极限定理，并掌握其应用方法。

最后，文章还会对该定理的研究前景进行展望，为读者提供进一步深入探索的方向。

2. 不可约马氏链相关概念:2.1 马尔可夫过程介绍:马尔可夫过程是一种随机过程，具有马尔可夫性质。

非齐次马氏链和树指标马氏链的若干极限定理马氏链是一种重要的随机过程，主要应用于随机模型和概率模型领域。

马氏链把一个相关过程中的分布转化为另一个分布，也就是应用条件分布来推断出总体分布，它可以用来模拟一个复杂的不断变化的蒙特卡罗过程，从而减少随机过程的复杂性，并在统计推断中提供有用的信息。

一般而言，马氏链可以分为齐次马氏链和非齐次马氏链两类。

齐次马氏链和非齐次马氏链的最大区别是，在非齐次马氏链中，随机变量的转移可能是不确定的，此时转移概率是联合概率分布；而在齐次马氏链中，随机变量的转移只取决于其上一时刻的状态，此时转移概率是一个确定的概率分布。

在非齐次马氏链中，另一个重要的概念是“树指标马氏链”，它指的是针对特定的参数空间，能够把分布放在任意的一类拓扑空间中，并且随机变量的转移只依赖于其距离最近的邻居。

此外，在满足一定条件的情况下，我们可以使用树指标马氏链来估计总体概率分布。

在树指标马氏链和非齐次马氏链领域，Schwartz（1961年）和Meyer（1965年）提出了若干极限定理，其中包括Schwartz弱极限定理、Schwartz强极限定理、Meyer弱极限定理和Meyer强极限定理。

首先，Schwartz弱极限定理指出，在树指标马氏链中，随着拓扑距离的增加，得到的估计结果与总体分布的偏差会趋向于零。

Schwartz强极限定理表明，在非齐次马氏链中，当拓扑距离趋近于无穷大时，随机变量的估计结果可以近似推断出总体分布。

Meyer弱极限定理说明，在非齐次马氏链中，当拓扑距离趋近于无穷大时，每一时刻的分布估计和总体分布的偏差可以收敛为零，并且分布的估计值可以接近总体分布。

Meyer强极限定理表明，在非齐次马氏链中，当拓扑距离趋近于无穷大时，随机变量的估计结果可以推断出总体分布。

以上四个极限定理对于理解和研究非齐次马氏链和树指标马氏链具有重要的意义。

虽然这四个定理提出已久，但在它们的推断方法和应用研究方面仍有空间，例如更加全面地探讨不同情况下定理的有效性，提出更好的估计方法等。

马氏规则原理马氏规则原理马氏规则是一种概率统计学中的理论，它描述了在已知过去事件的情况下，预测未来事件发生的概率。

该原理由俄罗斯数学家安德烈·马尔可夫在20世纪初提出，并因此而得名。

一、马氏链要理解马氏规则，首先需要了解“马氏链”这个概念。

所谓“马氏链”，指的是一个随机过程，在该过程中，当前状态只与前一状态有关，与更早的状态无关。

这种特殊的随机过程被称为“马氏过程”。

二、条件概率为了理解马氏规则，还需要了解“条件概率”的概念。

所谓“条件概率”，指的是在已知某个事件发生时，另一个事件发生的概率。

用符号表示为P(A|B)，表示在事件B已经发生的情况下，事件A发生的概率。

三、转移矩阵在马氏链中，每个状态之间都有一个转移概率。

这些转移概率可以用一个矩阵来表示，称为“转移矩阵”。

假设有n个状态，则转移矩阵为n×n的矩阵。

四、稳态分布在马氏链中，如果状态之间的转移概率是固定的，那么该链将会趋于一个稳态分布。

所谓“稳态分布”，指的是当时间趋近于无穷大时，各个状态出现的概率趋于一个固定值。

这个固定值就是该马氏链的稳态分布。

五、马氏规则了解了以上概念后，我们就可以来理解“马氏规则”了。

所谓“马氏规则”，指的是在已知某个状态下，预测未来状态发生的概率。

具体来说，假设当前处于状态i，想要预测下一步会进入状态j的概率，则可以通过以下公式计算：P(i→j) = P(j|i) × P(i)其中，P(j|i)表示从状态i转移到状态j的概率；P(i)表示当前处于状态i 的概率。

六、应用马氏规则在实际应用中有很多用途。

例如，在自然语言处理中，可以利用马氏模型来进行文本分类和词性标注；在金融领域中，可以利用马氏模型来预测股票价格等。

总之，马氏规则是一种非常有用且广泛应用的概率统计学理论。

了解马氏规则的原理和应用，可以帮助我们更好地理解和应用这个理论。