第2 章轴对称图形：厘清概念掌握重点

苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习轴对称与轴对称图形--知识讲解（基础）【学习目标】1．通过具体实例了解两个图形成轴对称的概念，能找出对称轴和对称点．2．了解两个图形关于某直线成轴对称和轴对称图形的联系与区别，理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．3．欣赏现实生活中的轴对称图形，体会轴对称在现实生活中的应用和文化价值.4. 理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线，能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．5．通过学习，体验数学的对称美，激发学习数学的兴趣．【要点梳理】要点一、轴对称与轴对称图形1.轴对称的定义把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形的定义把一个图形沿着某直线折叠，如果直线两旁的部分能互相重合，那么这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.3.轴对称与轴对称图形的区别与联系轴对称与轴对称图形的区别主要是：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形；轴对称图形和轴对称的关系非常密切，若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称.要点二、轴对称的性质轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.要点三、线段的垂直平分线定义：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．【典型例题】类型一、判断轴对称图形1、（2016•邵阳）下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【思路点拨】我们将图中的图形分别沿着某条直线对折，看看图形的两边能否重合，若重合则是轴对称图形，否则就不是.【答案】D；【解析】轴对称图形即能找到对称轴，使对称轴两边的图形重合.【总结升华】找对称轴要注意从不同的角度去观察，做到不重复、不遗漏.举一反三：【变式】下列图形中，对称轴最少的对称图形是 ( )【答案】A；提示：A一条对称轴，B四条对称轴，C五条对称轴，D三条对称轴.类型二、轴对称的应用2、将一个正方形纸片依次按图,a b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图中的（）【答案】D；【解析】【总结升华】只需要根据对称轴补全图形就找能到答案.举一反三：【变式】将一等腰直角三角形纸片对折后再对折，得到如图所示的图形，然后将阴影部分剪掉，把剩余部分展开后的平面图形是（）【答案】A；3、（2015春·启东市校级月考）如图，点P在∠AOB内，M、N分别是点P关于AO、BO 的对称点，MN分别交AO，BO于点E、F，若△PEF的周长等于20cm，求MN的长．【思路点拨】根据轴对称的性质可得ME=PE，NF=PF，然后求出MN=△PEF的周长．【答案与解析】解：∵M、N分别是点P关于AO、BO的对称点，∴ME=PE，NF=PF，∴MN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=△PEF的周长，∵△PEF的周长等于20cm，∴MN=20cm．【总结升华】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．举一反三：【变式1】如图，△ABC中，AB＝BC，△ABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BD A'的度数．【答案】100°；∵AB ＝BC ，∴∠A ＝∠C ＝70°，∠B ＝40°又∵ΔABC 沿DE 折叠后，点A 落在BC 边上的A '处，点D 为AB 边的中点， ∴BD ＝D A '，∠B ＝∠D A 'B ＝40°，∴∠BD A '＝180°－40°－40°＝100°.【变式2】将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形. 若'CED ∠＝56°,则∠AED 的大小是_______.【答案】62°；类型三、轴对称的作图4、如图，△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.（1）画出直线EF ；（2）直线MN 与EF 相交于点O ，试探究∠''BOB 与直线MN 、EF 所夹锐角α之间的数量关系.【答案与解析】（1）如图；（2）∠''BOB ＝2α；（2）∵△ABC 和△'''A B C 关于直线MN 对称，△'''A B C 和△''''''A B C 关于直线EF 对称.∴∠BOM ＝∠'B OM ，∠'B OE ＝∠''B OE ，∵∠'B OM ＋∠'B OE ＝α∴∠''BOB ＝2α【总结升华】在轴对称图形和成轴对称的两个图形中，对应线段、对应角相等.成轴对称的两个图形，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在对称轴上. 举一反三：【变式】(2015· 聊城)在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC 的顶点均在格点上，点A 的坐标是（﹣3，﹣1）．（1）将△ABC 沿y 轴正方向平移3个单位得到△A 1B 1C 1，画出△A 1B 1C 1，并写出点B 1坐标；（2）画出△A 1B 1C 1关于y 轴对称的△A 2B 2C 2，并写出点C 2的坐标．【答案】解：（1）如图所示：△A 1B 1C 1，即为所求；点B 1坐标为：（﹣2，﹣1）；（2）如图所示：△A 2B 2C 2，即为所求，点C 2的坐标为：（1，1）．。

第二章《轴对称图形》1教案教学目标1．在生活实例中认识轴对称图．2．分析轴对称图形，理解轴对称的概念．教学重点：轴对称图形的概念．教学难点：能够识别轴对称图形并找出它的对称轴．教学过程Ⅰ．创设情境，引入新课我们生活在一个充满对称的世界中，许多建筑物都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，自然界的许多动植物也按对称形生长，中国的方块字中些也具有对称性……对称给我们带来多少美的感受！初步掌握对称的奥秒，不仅可以帮助我们发现一些图形的特征，还可以使我们感受到自然界的美与和谐．轴对称是对称中重要的一种，从这节课开始，我们来学习第十二章：轴对称．今天我们来研究第一节，认识什么是轴对称图形，什么是对称轴．Ⅱ．导入新课出示课本的图片，观察它们都有些什么共同特征．这些图形都是对称的．这些图形从中间分开后，左右两部分能够完全重合．小结：对称现象无处不在，从自然景观到分子结构，从建筑物到艺术作品，•甚至日常生活用品，人们都可以找到对称的例子．现在同学们就从我们生活周围的事物中来找一些具有对称特征的例子．结论：如果一个图形沿一直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）•对称．了解了轴对称图形及其对称轴的概念后，我们来做一做．取一张质地较硬的纸，将纸对折，并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案，•将纸打开后铺平，你得到两个成轴对称的图案了吗？与同伴进行交流．结论：位于折痕两侧的图案是对称的，它们可以互相重合．由此可以得到轴对称图形的特征：一个图形沿一条直线折叠后，折痕两侧的图形完全重合．接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题．有些轴对称图形的对称轴只有一条，但有的轴对称图形的对称轴却不止一条，有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条。

下列各图，你能找出它们的对称轴吗？结果：图（1）有四条对称轴；图（2）有四条对称轴；图（3）有无数条对称轴；图（4）有两条对称轴；图（5）有七条对称轴．(1) (2) (3) (4) (5)展示挂图，大家想一想，你发现了什么？像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．Ⅲ．随堂练习：课本P30练习和 P31练习Ⅳ．课时小结这节课我们主要认识了轴对称图形，了解了轴对称图形及有关概念，进一步探讨了轴对称的特点，区分了轴对称图形和两个图形成轴对称．Ⅴ．作业：课本P36习题12．1第1、2、6、7、8题．板书设计中国书法艺术说课教案今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。

数学轴对称的性质知识点总结和重难点精析一、知识梳理1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2.轴对称的性质(1)关于某条直线对称的两个图形是全等形;(2)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线;(3)两个关于某直线对称的图形在对应线段或延长线上相交时，交点在对称轴上;(4)对应线段平行(或或在同一直线上)且相等。

3.轴对称的应用：(1)解决与轴对称相关的问题，关键是找到对称轴，然后根据轴对称的性质，找到对称点或对称线段。

(2)确定两个点关于某直线对称的问题，可以以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点即可。

二、重难点精析1.轴对称的性质是难点，需要灵活运用。

在学习的过程中，可以通过做大量的例题来加深对轴对称性质的理解。

2.解决与轴对称相关的问题时，找到对称轴是关键。

可以通过画图的方式，来找到对称轴，然后根据对称轴的性质解决问题。

3.对于两个点关于某直线对称的问题，可以通过以其中一点为对称点，连接对称轴，再找到另一个点的对应点来解决。

三、例题解析例1：已知A、B两点关于直线m对称，A、B两点间的距离为5cm，AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

求：(1)B点在A 点的什么位置?(2)B点到直线m的距离为多少?解：(1)因为A、B两点关于直线m对称，所以B点在A点的对称位置，且AB与直线m的交点为C，AC的长度为2.5cm。

因为A、B 两点间的距离为5cm，所以BC的长度也为2.5cm，因此B点在A点的正上方或正下方2.5cm处。

(2)因为B、A两点关于直线m对称，所以BC的长度等于AC的长度，即2.5cm。

因此B点到直线m的距离为2.5cm。

例2：在三角形ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm。

求三角形ABC 的面积。

解：过A点作AD垂直于BC于D点，因为AB=AC=10cm，所以BD=CD=4cm。

苏教版八年级上册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《轴对称图形》全章复习与巩固—知识讲解（提高）【学习目标】1. 认识轴对称、轴对称图形，理解轴对称的基本性质及它们的简单应用；2. 了解线段、角的轴对称性，并掌握与其相关的性质；3. 了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．3.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.4.用坐标表示轴对称点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为（x,－y）；点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为（－x,y）；点（x,y）关于原点对称的点的坐标为（－x,－y）.要点二、线段、角的轴对称性1.线段的轴对称性（1）线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.（2）线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；（3）线段垂直平分线的性质定理的逆定理：到线段两个端距离相等的点在线段的垂直平分线2.角的轴对称性（1）角是轴对称图形，角的平分线所在的直线是它的对称轴.（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.3.直角三角形的性质定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（2016秋•苏州期中）如图，由四个小正方形组成的田字格中，△ABC的顶点都是小正方形的顶点．在田字格上能画出与△ABC成轴对称，且顶点都在小正方形顶点上的三角形的个数共有个.【思路点拨】因为顶点都在小正方形上，故可以分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴进行寻找.【答案与解析】分别以大正方形的两条对角线AB、EF及MN、CH为对称轴图形，则△ABM、△ANB、△EHF、△EFC都是符合题意的三角形，故答案为：4.【总结升华】本题考查了轴对称的性质；确定对称轴然后找出成轴对称的三角形是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C；解：连接AP，BP，CP，∵D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点∴∠ADB＝∠APB，∠BEC＝∠BPC，∠CFA＝∠APC，∴∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝∠APB＋∠BPC＋∠APC＝360°．2、茅坪民族中学八（2）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条（如图中的AO，BO），AO 桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C处，请你在下图帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？【思路点拨】本题意思是在OA上找一点D，在OB上找一点E，使△CDE的周长最小．如果设点C关于OA的对称点是M，关于OB的对称点是N，当点D、E在MN上时，△CDE的周长为CD+DE+EC=MN，此时周长最小．【答案与解析】解：①分别作点C关于OA、OB的对称点是M、N，②连接MN，分别交OA于D，OB于E．则C→D→E→C为所求的行走路线．【总结升华】灵活运用对称性解决生活中的最短距离问题．举一反三：【变式】如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝120°，∠B ＝∠E ＝90°，AB ＝BC ，AE ＝DE ，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为（ ）．A ．100°B ．110°C ． 120°D ． 130°【答案】C ；提示：找A 点关于BC 的对称点1A ，关于ED 的对称点2A ，连接12A A ，交BC 于M 点，ED 于N 点，此时△AMN 周长最小. ∠AMN ＋∠ANM ＝180°－∠MAN ，而2∠BAM ＝ ∠AMN ，2∠EAN ＝∠ANM ，∠BAM ＋∠EAN ＋∠MAN ＝120°,所以∠AMN ＋∠ANM ＝120°.3、如图，△ABC 关于平行于x 轴的一条直线对称，已知A 点坐标是（1，2），C 点坐标是（1，－4），则这条平行于x 轴的直线是（ ）A.直线x ＝－1B.直线x ＝－3C.直线y ＝－1D.直线y ＝－3【思路点拨】根据题意，可得A 、C 的连线与该条直线垂直，且两点到此直线的距离相等，从而可以解出该直线．【答案】C ；【解析】解：由题意可知，该条直线垂直平分线段AC又A点坐标是（1，2），C点坐标是（1，－4）∴AC＝6∴点A，C到该直线的距离都为3即可得直线为y＝－1【总结升华】本题考查了坐标与图形的变化一一对称的性质与运用，解决此类题应认真观察图形，由A与C的纵坐标求得对称轴．举一反三：''【变式1】如图，若直线m经过第二、四象限，且平分坐标轴的夹角，Rt△AOB与Rt△A OB 关于直线m对称，已知A（1，2），则点'A的坐标为（）A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－1，－2）D.（－2，－1）【答案】D；''关于直线m对称，所以通过作图可知，A'的提示：因为Rt△AOB与Rt△A OB坐标是（－2，－1）．【变式2】如图，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．【答案】解：满足条件的点D的坐标有3个（4，－1）；（－1，－1）；（－1，3）.类型二、等腰三角形的综合应用4、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.【答案】7；4或10；【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC •PF+12AB•CH， 又∵AB=AC，∴PE=P F+CH ；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．∵ABC S △=12AB•CH，AB=AC ， ∴12×2CH•CH=49， ∴CH=7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①．∵PE+PF=CH，∴PE=CH -PF=7-3=4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②．∵PE=PF+CH，∴PE=3+7=10．故答案为7；4或10．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．举一反三：【变式】如图，△AB C 是等腰三角形，D ，E 分别是腰AB 及AC 延长线上的一点，且BD=CE ，连接DE 交底BC 于G ．求证GD=GE ．【答案】证明：过E 作EF∥AB 交BC 延长线于F ．∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵EF∥AB，∴∠F=∠B，∵∠ACB=∠FCE，∴∠F=∠FCE，∴CE=EF，∵BD=CE，∴BD=EF，在△DBG 与△GEF 中，，∴△DGB≌△EGF（AAS ），∴GD=GE．类型三、等边三角形的综合应用5、已知，如图，∠1＝12°，∠2＝36°，∠3＝48°，∠4＝24°. 求ADB ∠的度数．【答案与解析】解：将ABD △沿AB 翻折，得到ABE △，连结CE ，则ABD ABE △≌△，∴,,BD BE ADB AEB =∠=∠∠1＝∠5＝12°.∴125EBC ∠=∠+∠+∠=60°∵3ABC ∠=∠=48°∴AB AC =．又∵∠2＝36°，34BCD ∠=∠+∠=72°，∴,BDC BCD BD BC ∠=∠=∴BE ＝BC∴BCE △为等边三角形.∴.BE CE =又,AB AC AE =∴垂直平分BC ．∴AE 平分BEC ∠． ∴12AEB BEC ∠=∠=30° ∴∠ADB ＝30°【总结升华】直接求ADB 很难，那就想想能不能通过翻折或旋转构造一个与ABD △全等的三角形，从而使其换个位置，看看会不会容易求．举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝80°，D 为形内一点，且∠DAB ＝∠DBA ＝10°，求∠ACD 的度数.【答案】解：作D 关于BC 中垂线的对称点E ，连结AE ，EC ，DE∴△ABD ≌△ACE∴AD ＝AE, ∠DAB ＝∠EAC ＝10°∵∠BAC=80°，∴∠DAE ＝60°，△ADE 为等边三角形∴∠AED ＝60°∵∠DAB ＝∠DBA ＝10°∴AD ＝BD ＝DE ＝EC∴∠AEC ＝160°，∴∠DEC ＝140°∴∠DCE ＝20°∴∠ACD ＝30°6、如图所示，已知等边三角形ABC 中，点D ，E ，F 分别为边AB ，AC ，BC 的中点，M 为直线BC 上一动点，△DMN 为等边三角形．(1)如图(1)所示，当点M 在点B 左侧时，请你判断EN 与MF 有怎样的数量关系？点F 是否在直线NE 上？(2)如图(2)所示，当点M 在BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中EN 与MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用图(2)证明；若不成立，请说明理由．【答案与解析】解：(1)EN ＝MF ，点F 在直线NE 上．证明：连接DF ，DE ，∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB ＝AC ＝BC ．又∵ D ，E ，F 是△ABC 三边的中点，∴ DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴ DE ＝DF ＝EF ，∠FDE ＝60°．又∠MDN ＋∠NDF ＝∠MDF ，∠NDF ＋∠FDE ＝∠NDE ，∵△DMN 为等边三角形，DM ＝DN ，∠MDN ＝60°∴ ∠MDF ＝∠NDE ．在△DMF 和△DNE 中，DF DE MDF NDE DM DN =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ △DMF ≌△DNE ，∴ MF ＝NE ，∠DMF ＝∠DNE.∵∠DMF ＋60°＝∠DNE ＋∠MFN∴∠MFN ＝60°∴FN ∥AB ，又∵EF ∥AB ，∴E 、F 、N 在同一直线上.(2)成立．证明：连结DE ，DF ，EF ，∵ △ABC 是等边三角形，∴ AB ＝AC ＝BC ．又∵ D ，E ，F 是△ABC 三边的中点，∴ DE ，DF ，EF 为三角形的中位线．∴ DE ＝DF ＝EF ，∠FDE ＝60°．又∠MDF ＋∠FDN ＝60°，∠NDE ＋∠FDN ＝60°，∴ ∠MDF ＝∠NDE ．在△DMF和△DNE中，DF DEMDF NDE DM DN=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMF≌△DNE，∴ MF＝NE．【总结升华】此题综合应用了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定.全等是证明线段相等的重要方法.（2）题的证明可以沿用（1）题的思路.。