相似三角形与位似图形一、单选题1．（2022·浙江衢州）如图，在ABC 中，,36AB AC B =∠=︒．分别以点A C ，为圆心，大于12AC 的长为半径画弧，两弧相交于点D E ，，作直线DE 分别交AC ，BC 于点F G ，．以G 为圆心，GC 长为半径画弧，交BC 于点H ，连结,AG AH ．则下列说法错误．．的是（ ）A ．AG CG =B ．2B HAB ∠=∠C ．CAH BAG ≅D ．2BG CG CB =⋅ 【答案】C 【分析】根据线段垂直平分线的判定与性质即可判断选项A ；先根据等腰三角形的性质可得36C CAG ∠=∠=︒，从而可得72AGB ∠=︒，再根据等腰三角形的性质可得54AHG GAH ∠=∠=︒，然后根据三角形的外角性质可得18HAB ∠=︒，由此即可判断选项B ；先假设CAH BAG ≅可得CAH BAG ∠=∠，再根据角的和差可得90,72CAH BAG ∠=︒∠=︒，从而可得CAH BAG ∠≠∠，由此即可判断选项C ；先根据等腰三角形的判定可得BG AB AC ==，再根据相似三角形的判定可得ABCGAC ，然后根据相似三角形的性质可得2AC CG CB =⋅，最后根据等量代换即可判断选项D ．【详解】解：由题意可知，DE 垂直平分AC ，CG HG =， AG CG ∴=，则选项A 正确；,36AB AC B =∠=︒，36C B ∴∠=∠=︒，AG CG =，CG HG =，36C CAG ∠∴=∠=︒，AG HG =，72CA A B G G C ∠+∴∠=∠=︒，180542AGB AHG GAH ︒-∠∠=∠==︒， 18HAB AHG B ∴∠=∠-∠=︒，2B HAB ∴∠=∠，则选项B 正确； 假设CAH BAG ≅，CAH BAG ∴∠=∠，又365490CAH CAG GAH ∠=∠+∠=︒+︒=︒，185472BAG HAB GAH ∠=∠+∠=︒+︒=︒，CAH BAG ∴∠≠∠，与CAH BAG ∠=∠矛盾，则假设不成立，选项C 错误；72BAG AGB ∠=︒=∠，AB AC =，BG AB AC ∴==，在ABC 和GAC △中，36B CAG C C∠=∠=︒⎧⎨∠=∠⎩， ABCGAC ∴， AC CB CG AC∴=，即2AC CG CB =⋅， 2BG CG CB ∴=⋅，则选项D 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的性质、相似三角形的判定与性质，综合性较强，熟练掌握判定定理与性质是解题关键．2．（2022·浙江衢州）西周数学家商高总结了用“矩”（如图1）测量物高的方法：把矩的两边放置成如图2的位置，从矩的一端A （人眼）望点E ，使视线通过点C ，记人站立的位置为点B ，量出BG 长，即可算得物高EG ．令BG=x （m ）， EG=y （m ），若a =30cm ，b =60cm ，AB =1.6m ，则y 关于x 的函数表达式为（ ）A ．12y x =B ．1 1.62y x =+C ．2 1.6y x =+D ．1800 1.6y x=+ 【答案】B【分析】先根据矩形的判定与性质可得m, 1.6m AF BG x FG AB ====，从而可得()1.6m EF y =-，再根据相似三角形的判定证出AEF ACD △△，然后根据相似三角形的性质即可得出结论．【详解】解：由题意可知，四边形ABGF 是矩形，m, 1.6m AF BG x FG AB ∴====，m EG y =，()1.6m EF EG FG y ∴=-=-，又,CD AF EF AF ⊥⊥，CD EF ∴，AEFACD ∴， EF AF CD AD∴=， 30cm 0.3m,60cm 0.6m CD a AD b ======，1.60.30.6y x -∴=， 整理得：1 1.62y x =+， 故选：B ． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一次函数的几何应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．3．（2022·浙江湖州）如图，已知BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边AD ，BC 上，连结BE ，DF ．将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，若翻折后，点A ，C 分别落在对角线BD 上的点G ，H 处，连结GF ．则下列结论不正确．．．的是（ ）A ．BD ＝10B ．HG ＝2C ．EG FH ∥D ．GF △BC【答案】D 【分析】根据矩形的性质以及勾股定理即可判断A ，根据折叠的性质即可求得,HD BG ，进而判断B ，根据折叠的性质可得90EGB FHD ∠=∠=︒，进而判断C 选项，根据勾股定理求得CF 的长，根据平行线线段成比例，可判断D 选项【详解】BD 是矩形ABCD 的对角线，AB ＝6，BC ＝8，8,6BC AD AB CD ∴====2210BD BC CD ∴=+=故A 选项正确，将△ABE 沿BE 翻折，将△DCF 沿DF 翻折，6BG AB ∴==，6DH CD ==4DG ∴=,4BH BD HD =-=1010442HG BH DG ∴=--=--=故B 选项正确，,EG BD HF DB ⊥⊥,△EG △HF ，故C 正确设AE a =，则EG a =，8ED AD AE a ∴=-=-，EDG ADB ∠=∠tan tan EDG ADB ∴∠=∠即6384EG AB DG AD === 344a ∴= 3AE ∴=，同理可得3CF =若FG CD ∥则CF BF =GD BG342,563CF GD BF BG ===， ∴CF BF ≠GD BG， FG ∴不平行CD ，即GF 不垂直BC ，故D 不正确．故选D【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，掌握以上知识是解题的关键．4．（2022·浙江绍兴）将一张以AB 为边的矩形纸片，先沿一条直线剪掉一个直角三角形，在剩下的纸片中，再沿一条直线剪掉一个直角三角形（剪掉的两个直角三角形相似），剩下的是如图所示的四边形纸片ABCD ，其中90A ∠=︒，9AB =，7BC =，6CD =，2AD =，则剪掉的两个直角三角形的斜边长不可能．．．是（ ）A ．252B ．454C ．10D ．354【答案】A【分析】根据题意，画出相应的图形，然后利用相似三角形的性质和分类讨论的方法，求出剪掉的两个直角三角形的斜边长，然后即可判断哪个选项符合题意．【详解】解：当△DFE △△ECB 时，如图，△DF FE DE EC CB EB==， 设DF =x ，CE =y ，△9672x y y x +==+，解得：274214x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， △2145644DE CD CE =+=+=，故B 选项不符合题意； △2735244EB DF AD =+=+=，故选项D 不符合题意； 如图，当△DCF △△FEB 时，△DC CF DF FE EB FB==， 设FC =m ，FD =n ，△6927m n n m ==++，解得：810m n =⎧⎨=⎩， △FD =10，故选项C 不符合题意；8614BF FC BC =+=+=，故选项A 符合题意；故选：A【点睛】本题考查相似三角形的性质、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用分类讨论的方法解答．5．（2022·浙江舟山）如图，在Rt ABC 和Rt BDE 中，90ABC BDE ∠=∠=︒，点A 在边DE 的中点上，若AB BC =，2DB DE ==，连结CE ，则CE 的长为（ ）A 14B 15C ．4D 17【答案】D 【分析】过点E 作EF △BC ，交CB 延长线于点F ，过点A 作AG △BE 于点G ，根据等腰直角三角形的性质可得22BE =，△BED =45°，进而得到5AB BC ==，2222EG AG AE ===，322BG =，再证得△BEF △△ABG，可得2565,55BF EF ==，然后根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：如图，过点E 作EF △BC ，交CB 延长线于点F ，过点A 作AG △BE 于点G ，在Rt BDE 中，△BDE =90°，2DB DE ==，△2222BE BD DE =+=，△BED =45°，△点A 在边DE 的中点上，△AD =AE =1，△225AB AD BD =+=，△5AB BC ==，△△BED =45°，△△AEG 是等腰直角三角形，△2222EG AG AE ===， △322BG =， △△ABC =△F =90°，△EF △AB ，△△BEF =△ABG ，△△BEF △△ABG ，△BE BF EF AB AG BG==，即22523222BF EF ==，解得：2565,55BF EF ==， △755CF =， △2217CE EF CF =+=．故选：D【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关键．6．（2022·浙江丽水）如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A ，B ，C 都在横线上．若线段3AB =，则线段BC 的长是（ ）A ．23B ．1C ．32D ．2 【答案】C 【分析】过点A 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D 、E ，根据题意得2AD DE =，然后利用平行线分线段成比例定理即可求解．【详解】解：过点A 作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于D 、E ，根据题意得2AD DE =，△BD CE ∥，△2AB AD BC DE==， 又△3AB =，△1322BC AB ==故选：C【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的应用，作出适当的辅助线是解题的关键．7．（2021·浙江绍兴）如图，Rt ABC 中，90BAC ∠=︒，1cos 4B =，点D 是边BC 的中点，以AD 为底边在其右侧作等腰三角形ADE ，使ADE B ∠=∠，连结CE ，则CE AD的值为（ ）A ．32B 3C 15D ．2 【答案】D 【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12AD BD CD BC ===，在结合题意可得BAD B ADE ∠=∠=∠，即证明//AB DE ，从而得出BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，即易证()ADE CDE SAS ≅，得出AE CE =．再由等腰三角形的性质可知AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，即证明ABD ADE ∼，从而可间接推出CE BD AD AB =．最后由1cos 4AB B BC ==，即可求出BD AB的值，即CE AD 的值． 【详解】△在Rt ABC 中，点D 是边BC 的中点，△12AD BD CD BC ===， △BAD B ADE ∠=∠=∠，△//AB DE ．△BAD B ADE CDE ∠=∠=∠=∠，△在ADE 和CDE △中，AD CD ADE CDE DE DE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△()ADE CDE SAS ≅，△AE CE =，△ADE 为等腰三角形，△AE CE DE ==，BAD B ADE DAE ∠=∠=∠=∠，△ABD ADE ∼，△DE AD BD AB =，即CE BD AD AB=． △1cos 4AB B BC ==， △12AB BD =， △2CE BD AD AB==． 故选D ．【点睛】本题考查直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形．熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键． 8．（2021·浙江绍兴）如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知路灯高5m PO =，树影3m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离 4.5m AP =，则树的高度AB 长是（ ）A ．2mB ．3mC ．3m 2D ．10m 3【答案】A 【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例，列出等式后求解即可．【详解】解：由题可知，CAB CPO ∽，△AB AC OP CP =, △353 4.5AB =+， △()2AB m =，故选A ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用，解决本题的关键是能读懂题意，建立相似关系，得到对应边成比例，完成求解即可，本题较基础，考查了学生对相似的理解与应用等．9．（2020·浙江绍兴）如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（）A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm【答案】A【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解.【详解】解：设投影三角尺的对应边长为xcm,△三角尺与投影三角尺相似,△8：x＝2：5,解得x＝20.故选:A.【点睛】本题主要考查了位似变换的应用.10．（2020·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为13的位似图形△OCD，则点C坐标（）A．（﹣1，﹣1）B．（﹣43，﹣1）C．（﹣1，﹣43）D．（﹣2，﹣1）【答案】B【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以13即可．【详解】解：△以点O为位似中心，位似比为13，而A（4，3），△A 点的对应点C 的坐标为（43-，﹣1）．故选：B ．【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或-k ．11．（2020·浙江温州）如图，在Rt △ABC 中，△ACB ＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C 作CR △FG 于点R ，再过点C 作PQ △CR 分别交边DE ，BH 于点P ，Q ．若QH ＝2PE ，PQ ＝15，则CR 的长为（ ）A ．14B ．15C ．83D ．5【答案】A【分析】方法一：连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ，先证得△ECP △△HCQ ，可得12PC CE EP CQ CH HQ ===，进而可求得CQ ＝10，AC :BC ＝1:2，由此可设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC∥BQ ，CQ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝10，再根据勾股定理求得25AC =，45BC =，利用等积法求得4CJ =，进而可求得CR 的长．方法二：设AB 交CR 于点M ，先证得DCPBCQ ∆∆，可得DP CD PC DE BQ CB CQ BH ===、12PE PC QH CQ ==，进而可求得PC ＝5，CQ ＝10，设AC ＝a ，则BC ＝2a ，利用AC∥BQ ，CQ∥AB ，可证得四边形ABQC 为平行四边形，由此可得AB ＝CQ ＝10，再根据勾股定理求得25AC =，45BC =，利用等积法求得4CJ =，进而可求得CR 的长． 【详解】方法一：解：如图，连接EC ，CH ，设AB 交CR 于点J ， △四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形， △△ACE ＝△BCH ＝45°，△△ACB ＝90°，△BCI ＝90°，△△ACE ＋△ACB ＋△BCH ＝180°，△ACB ＋△BCI ＝180°， △点E 、C 、H 在同一直线上，点A 、C 、I 在同一直线上， △DE∥AI∥BH ， △△CEP ＝△CHQ ， △△ECP ＝△QCH ， △△ECP △△HCQ ， △12PC CE EP CQ CH HQ ===， △PQ ＝15， △PC ＝5，CQ ＝10， △EC :CH ＝1:2， △AC :BC ＝1:2， 设AC ＝a ，则BC ＝2a ， △PQ △CR ，CR △AB ， △CQ∥AB ，△AC∥BQ ，CQ∥AB ，△四边形ABQC 为平行四边形， △AB ＝CQ ＝10， △222AC BC AB +=， △25100a =， △25a =（舍负） △25AC =，45BC =， △1122AC BC AB CJ ⋅⋅=⋅⋅， △2545410CJ ⨯==， △JR ＝AF ＝AB ＝10， △CR ＝CJ ＋JR ＝14， 故选：A ．方法二：△四边形ACDE ，四边形BCIH 都是正方形 90,,D CBQ DC DE BC BH ∴∠=∠=︒== DCP BCQ ∠=∠ DCPBCQ ∴∆∆DP CD PC DEBQ CB CQ BH∴=== PE PCQH CQ ∴= 2QH PE =12PC CQ ∴= △PQ ＝15， △PC ＝5，CQ ＝10设CD DE AC a ===，则2BC BH a == 在Rt △ABC 中，△ACB ＝90° 由勾股定理得 5AB a = 由等面积法得 255AC BC CJ a AB == 设CR 与AB 交于点J △四边形ABGF 是正方形 PQ △CR ，CR △AB ，△ACB ＝90°△CQ ∥AB ，AC ∥BQ ，四边形AMRF 是矩形 △四边形ABQC 为平行四边形，5JR AF AB a === △5CQ AB a ==25a ∴= 255145CR CJ JR a a ∴=+=+= 故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质、勾股定理的应用及等面积法，作出正确的辅助线并灵活运用相关图形的性质与判定是解决本题的关键． 二、填空题12．（2022·浙江衢州）如图，在ABC 中，边AB 在x 轴上，边AC 交y 轴于点E ．反比例函数()0ky x x=>的图象恰好经过点C ，与边BC 交于点D ．若AE CE =，2CD BD =，6ABCS=，则k =____．【答案】125【分析】过点C 作CF x ⊥轴于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，设点C 的坐标为(),m n ，则,,OF m CF n mn k ===，先根据相似三角形的判定可得AOEAFC ，根据相似三角形的性质可得AO OF m ==，又根据相似三角形的判定证出BDGBCF ，根据相似三角形的性质可得13DG n =，13BG BF =，再根据反比例函数的解析式可得3OG m =，从而可得3,5BF m AB m ==，然后根据6ABCS=即可得出答案．【详解】解：如图，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，过点D 作DG x ⊥轴于点G ，设点C 的坐标为(),m n ，则,,OF m CF n mn k ===，AE CE =，2CD BD =，12AE AC ∴=，13BD BC =，OE x ⊥轴，CF x ⊥轴，OE CF ∴，AOEAFC ∴，12AO AE AF AC ∴==，即12AO AF =， AO OF m ∴==，又CF x ⊥轴，DG x ⊥轴， CF DG ∴，BDGBCF ∴，BG DG BD BF CF BC ∴==，即13BG DG BF n ==， 解得13DG n =，13BG BF =，将13x n =代入反比例函数k y x=得：313k y mn ==， 13,,33D m n OG m ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，2FG OG OG m ∴=-=，由13BG BF =得：332BF FG m ==，35AB AO OF BF m m m m ∴=++=++=，6ABCS=，115622AB CF mn ∴⋅=⨯=， 解得125mn =， 即125k =， 故答案为：125． 【点睛】本题考查了反比例函数的几何应用、相似三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．13．（2022·浙江杭州）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆AB 的高度，把标杆DE 直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ．已知B ，C ，E ，F 在同一直线上，AB △BC ，DE △EF ，DE =2.47m ，则AB =_________m ．【答案】9.88【分析】根据平行投影得AC △DE ，可得△ACB =△DFE ，证明Rt △ABC △△Rt △DEF ，然后利用相似三角形的性质即可求解．【详解】解：△同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是BC =8.72m ，EF =2.18m ． △AC △DE ， △△ACB =△DFE ， △AB △BC ，DE △EF ， △△ABC =△DEF =90°， △Rt △ABC △△Rt △DEF ， △AB BCDE EF =，即8.722.47 2.18AB =， 解得AB =9.88， △旗杆的高度为9.88m ． 故答案为：9.88．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行投影：由平行光线形成的投影是平行投影，如物体在太阳光的照射下形成的影子就是平行投影．证明Rt △ABC △△Rt △DEF 是解题的关键． 14．（2022·浙江湖州）如图，已知在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，DE BC ∥，13AD AB =．若DE ＝2，则BC 的长是______．【答案】6【分析】根据相似三角形的性质可得13DE AD BC AB ==，再根据DE =2，进而得到BC 长．【详解】解：根据题意， △DE BC ∥， △△ADE △△ABC ， △13DE AD BC AB ==， △DE ＝2， △213BC =， △6BC =； 故答案为：6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的性质进行计算． 15．（2022·浙江温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地面上的点M 在旋转中心O 的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片,OA OB ，此时各叶片影子在点M 右侧成线段CD ，测得8.5m,13m MC CD ==，垂直于地面的木棒EF 与影子FG 的比为2△3，则点O ，M 之间的距离等于___________米．转动时，叶片外端离地面的最大高度等于___________米．【答案】 10 ()1013+【分析】过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI △OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ，求出CH 的长度，根据23EF OM FG MH ==，求出OM 的长度，证明BIO JIB ∽，得出23BI IJ =，49OI IJ =，求出IJ 、BI 、OI 的长度，用勾股定理求出OB 的长，即可算出所求长度．【详解】如图，过点O 作AC 、BD 的平行线，交CD 于H ，过点O 作水平线OJ 交BD 于点J ，过点B 作BI △OJ ，垂足为I ，延长MO ，使得OK ＝OB ， 由题意可知，点O 是AB 的中点， △OHACBD ，△点H 是CD 的中点，△13m CD =，△16.5m 2CH HD CD ===，△8.5 6.515m MH MC CH =+=+=， 又△由题意可知：23EF OM FG MH ==， △2153OM =，解得10m =OM ， △点O 、M 之间的距离等于10m ， △BI △OJ ，△90BIO BIJ ∠=∠=︒，△由题意可知：90OBJ OBI JBI ∠=∠+∠=︒， 又△90BOI OBI ∠+∠=︒， △BOI JBI ∠=∠， △BIO JIB ∽， △23BI OI IJ BI ==， △23BI IJ =，49OI IJ =，△,OJCD OHDJ ，△四边形IHDJ 是平行四边形， △ 6.5m OJ HD ==， △46.5m 9OJ OI IJ IJ IJ =+=+=， △ 4.5m IJ =，3m BI =，2m OI =，△在Rt OBI △中，由勾股定理得：222OB OI BI =+， △22222313m OB OI BI =+=+=， △13m OB OK ==，△()1013m MK MO OK =+=+，△叶片外端离地面的最大高度等于()1013m +， 故答案为：10，1013+．【点睛】本题主要考查了投影和相似的应用，及勾股定理和平行四边形的判定与性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．16．（2021·浙江衢州）图1是某折叠式靠背椅实物图，图2是椅子打开时的侧面示意图，椅面CE 与地面平行，支撑杆AD ，BC 可绕连接点O 转动，且OA OB =，椅面底部有一根可以绕点H 转动的连杆HD ，点H 是CD 的中点，F A ，EB 均与地面垂直，测得54cm FA =，45cm EB =，48cm AB =． （1）椅面CE 的长度为_________cm ．（2）如图3，椅子折叠时，连杆HD 绕着支点H 带动支撑杆AD ，BC 转动合拢，椅面和连杆夹角CHD ∠的度数达到最小值30时，A ，B 两点间的距离为________cm （结果精确到0.1cm ）．（参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈，tan150.27︒≈）【答案】 40 12.5【分析】（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，MFC AFB ∆∽，列比例求出CM 长度，则CE =AB -CM ；（2）根据图2可得OCD OBA ∽，对应袋图3中求出CD 长度，列比例求AB 即可． 【详解】解：（1）过点C 作CM 垂直AF ，垂足为M ，△椅面CE 与地面平行，△MFC AFB ∆∽，△54454854CM FM FA EB CM AB FA FA --==⇔=， 解得：CM =8cm ，△CE =AB -CM =48-8=40cm ；故答案为：40；（2）在图2中，△OA OB =，椅面CE 与地面平行，△BCE ADM ∠=∠，△90AM BE AMD BEC =∠=∠=︒，，△AMD BEC ≌，△DM CE =，△8MC ED cm ==，△488832CD cm =--=，△H 是CD 的中点，△1162CH HD CD ===， △椅面CE 与地面平行，△COD BOA ∽，△322483CO CD BO AB ===， 图3中，过H 点作CD 的垂线，垂足为N ，因为1162CH HD CD === ，=30CHD ∠︒， △15CHN DHN ∠=∠=︒，△2sin15=8.32CD CH cm =︒，△28.323CO CD OB AB AB=⇔=， 解得：12.4812.5AB cm =≈，故答案为：12.5．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解决本题的关键．17．（2021·浙江台州）如图，点E ， F ，G 分别在正方形ABCD 的边AB ，BC ，AD 上，AF △EG ．若AB ＝5，AE ＝DG ＝1，则BF ＝_____．【答案】54 【分析】先证明ABF GAE ∽，得到AB BF GA AE=，进而即可求解． 【详解】△在正方形ABCD 中，AF △EG ，△△AGE +△GAM =90°，△F AB +△GAM =90°，△△F AB =△AGE ，又△△ABF =△GAE =90°，△ABF GAE ∽，△AB BF GA AE =，即：5511BF =-， △BF =54． 故答案是：54． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，相似三角形的判定和性质，证明ABF GAE ∽，是解题的关键．18．（2021·浙江嘉兴）如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ,AB AC ⊥，AH BD ⊥于点H ，若AB =2，3BC =AH 的长为__________________．【答案】233【分析】根据勾股定理求得AC 的长，结合平行四边形的性质求得AO 的长，然后利用相似三角形的判定和性质求解．【详解】解：△AB AC ⊥，23BC =，AB =2△在Rt △ABC 中，AC =2222BC AB -=△在ABCD 中，AO =122AC = 在Rt △ABO 中，BO =226AO AB +=△AB AC ⊥，AH BD ⊥△90AHB OAB ∠=∠=︒又△ABO HBA ∠=∠△ABO HBA △∽△△AH AB AO BO=，226AH = 解得：AH =233故答案为：233． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质以及勾股定理解直角三角形，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．19．（2021·浙江嘉兴）如图，在直角坐标系中，ABC ∆与ODE ∆是位似图形，则位似中心的坐标为__________________．4,2【答案】()【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心．【详解】解：连接DB，OA并延长，交于点M，点M即为位似中心4,2△M点坐标为()4,2．故答案为：()【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质，掌握如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心是解题的关键．20．（2020·浙江温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE△l，BF△l，点N，A，B在同一直线上．在F点观测A点后，沿FN方向走到M点，观测C点发现△1＝△2．测得EF＝15米，FM＝2米，MN＝8米，△ANE＝45°，则场地的边AB为_______米，BC为_______米．【答案】152202【分析】过点C作CP△EF于点P，过点B作直线GH△EF交AE于点G，交CP于点H，如图，则△ABG、△BCH都是等腰直角三角形，四边形BGEF、BHPF是矩形，于是可根据等腰直角三角形的性质和勾股定理依次求出AG、BG、AB的长，设FP=BH=CH=x，则MP=x－2，CP=x+10，易证△AEF△△CPM，然后根据相似三角形的性质即可得到关于x的方程，解方程即可求出x，再根据勾股定理即可求出BC的长．【详解】解：过点C作CP△EF于点P，过点B作直线GH△EF交AE于点G，交CP于点H，如图，则GH△AE，GH△CP，△四边形BGEF、BHPF是矩形，△△ANE＝45°，△△NAE＝45°，△AE=EN=EF+FM+MN=15+2+8=25，△△ABG＝45°，△△GAB＝45°，△AG=BG=EF=15，△22152AB AG BG=+=，GE=BF=PH=10，△△ABG＝45°，△ABC＝90°，△△CBH＝45°，△△BCH=45°，△BH=CH，设FP=BH=CH=x，则MP=x－2，CP=x+10，△△1=△2，△AEF=△CPM=90°，△△AEF△△CPM，△AE CPEF PM=，即2510152xx+=-，解得：x=20，即BH=CH=20，△22202BC BH CH=+=．△152AB=米，202BC=米．故答案为：152，202．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、勾股定理以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确作出辅助线、熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题21．（2022·浙江衢州）如图，在菱形ABCD中，AB=5，BD为对角线.点E是边AB延长线上的任意一点，连结DE交BC于点F，BG平分CBE∠交DE于点G．(1)求证：90∠=︒DBG .(2)若62BD DG GE ==，．△求菱形ABCD 的面积.△求tan ∠BDE 的值.(3)若BE AB =，当DAB ∠的大小发生变化时（0180DAB ︒∠︒＜＜），在AE 上找一点T ，使GT 为定值，说明理由并求出ET 的值． 【答案】(1)见解析(2)△24，△49(3)ET ＝103，理由见解析 【分析】（1）由菱形的性质可证得△CBD ＝△ABD ＝12△ABC ，由BG 平分CBE ∠交DE 于点G ，得到△CBG ＝△EBG ＝12△CBE ，进一步即可得到答案；（2）△连接AC 交BD 于点O ,Rt △DOC 中，OC ＝2222=534CD OD --=，求得AC ＝8，由菱形的面积公式可得答案；△由BG AC ，得到12DH DO DG BD ==，DH ＝HG ，DG ＝2DH ，又由DG ＝2GE ，得到EG ＝DH ＝HG ，则12DH EH =，再证明△CDH △△AEH ，CH ＝13AC ＝83，OH ＝OC －CH ＝4－83＝43，利用正切的定义得到答案；（3）过点G 作GT BC ，交AE 于点T ，△BGE △△AHE ，得AB ＝BE ＝5，则EG ＝GH ，再证△DOH △△DBG ，得DH ＝GH ＝EG ，由△EGT △△EDA 得13GT ET AD EA ==，GT ＝53，为定值，即可得到ET 的值． （1）证明：△四边形ABCD 是菱形，△BC ＝DC ，AB CD ，△△BDC ＝△CBD ，△BDC ＝△ABD ，△△CBD ＝△ABD ＝12△ABC ，△BG平分CBE∠交DE于点G，△△CBG＝△EBG＝12△CBE，△△CBD＋△CBG＝12（△ABC＋△CBE）＝12×180°＝90°，△△DBG＝90°；（2）解：△如图1，连接AC交BD于点O，△四边形ABCD是菱形，BD＝6，△OD＝12BD＝3，AC△BD，△△DOC＝90°，在Rt△DOC中，OC＝2222=534CD OD--=，△AC＝2OC＝8，△11862422ABCDS AC BD=⨯=⨯⨯=菱形，即菱形ABCD的面积是24．△如图2，连接AC，分别交BD、DE于点O、H，△四边形ABCD是菱形，△AC△BD，△△DBG＝90°△BG△BD，△BG AC，△12 DH DODG BD==，△DH＝HG，DG＝2DH，△DG＝2GE，△EG＝DH＝HG，△12 DHEH=，△AB CD，△△DCH＝EAH，△CDH＝△AEH，△△CDH△△AEH，△12 CH DHAH EH==，△CH＝13AC＝83，△OH＝OC－CH＝4－83＝43，△tan△BDE＝49 OHOD=；（3）如图3，过点G作GT BC交AE于点T，此时ET＝103．理由如下：由题（1）可知，当△DAB的大小发生变化时，始终有BG AC，△△BGE△△AHE，△EG BE GH AB=，△AB＝BE＝5，△EG＝GH，同理可得，△DOH△△DBG，△DH DO GH BO=，△BO＝DO，△DH＝GH＝EG，△GT BC，△GT AD ，△△EGT △△EDA ，△13GT EG ET AD ED EA ===， △AD ＝AB ＝5，△GT ＝53，为定值， 此时ET ＝13AE ＝13（AB ＋BE ）＝103． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定和性质、菱形的性质、勾股定理、锐角三角函数等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（2022·浙江杭州）在正方形ABCD 中，点M 是边AB 的中点，点E 在线段AM 上（不与点A 重合），点F 在边BC 上，且2AE BF =，连接EF ，以EF 为边在正方形ABCD 内作正方形EFGH ．(1)如图1，若4AB =，当点E 与点M 重合时，求正方形EFGH 的面积，(2)如图2，已知直线HG 分别与边AD ，BC 交于点I ，J ，射线EH 与射线AD 交于点K ．△求证：2EK EH =；△设AEK α∠=，FGJ 和四边形AEHI 的面积分别为1S ，2S ．求证：2214sin 1S S α=-． 【答案】(1)5(2)△见解析；△见解析【分析】（1）由中点定义可得2AE BE ==，从而可求1BF =，然后根据勾股定理和正方形的面积公式可求正方形EFGH 的面积； （2）△根据余角的性质可证KEA EFB ∠=∠，进而可证KEA EFB ∽△△，然后利用相似三角形的性质和等量代换可证结论成立；△先证明KHI FGJ ≌△△，再证明KHI KAE ∽△△，利用相似三角形的性质和锐角三角函数的定义整理可得结论．（1）解：△4AB =，点M 是边AB 的中点，△2AE BE ==，△2AE BF =，△1BF =，由勾股定理，得2225EF BE BF =+=，△正方形EFGH 的面积为5．（2）解：△由题意知90KAE B ∠=∠=︒，△90EFB FEB ∠+∠=︒，△四边形EFGH 是正方形，△90HEF ∠=︒，△90KEA FEB ∠+∠=︒，△KEA EFB ∠=∠，△KEA EFB ∽△△，△2KE AE EF BF==． △22EK EF EH ==．△由△得HK HE GF ==，又△90KHI FGJ ∠=∠=︒，KIH FJG ∠=∠，△KHI FGJ ≌△△，设KHI △的面积为1S ．△△K =△K ， △KHI =△A =90°，△KHI KAE ∽△△，△2222122244sin 12S S KA KA KA S KH KE KE α⎛⎫ ⎪+⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， △2214sin 1S S α=-． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．23．（2022·浙江湖州）已知在Rt△ABC中，△ACB＝90°，a，b分别表示△A，△B的对边，a b>．记△ABC 的面积为S．(1)如图1，分别以AC，CB为边向形外作正方形ACDE和正方形BGF C．记正方形ACDE的面积为1S，正方形BGFC的面积为2S．△若19S=，216S=，求S的值；△延长EA交GB的延长线于点N，连结FN，交BC于点M，交AB于点H．若FH△AB（如图2所示），求证：212S S S-=．(2)如图3，分别以AC，CB为边向形外作等边三角形ACD和等边三角形CBE，记等边三角形ACD的面积为1S，等边三角形CBE的面积为2S．以AB为边向上作等边三角形ABF（点C在△ABF内），连结EF，CF．若EF△CF，试探索21S S-与S之间的等量关系，并说明理由．【答案】(1)△6；△见解析(2)2114S S S -=，理由见解析【分析】（1）△将面积用a ，b 的代数式表示出来，计算，即可△利用AN 公共边，发现△F AN △△AN B ，利用FA AN AN NB =，得到a ，b 的关系式，化简，变形，即可得结论 （2）等边ABF 与等边CBE △共顶点B ，形成手拉手模型，△ABC △△FBE ，利用全等的对应边，对应角，得到：AC ＝FE ＝b ，△FEB ＝△ACB ＝90°，从而得到△FEC ＝30°，再利用Rt CFE △，3cos302FE b CE a ︒===，得到a 与b 的关系，从而得到结论(1)△19S =，216S =△b ＝3，a ＝4△△ACB ＝90° △11S ab 34622==⨯⨯= △由题意得：△F AN ＝△ANB ＝90°，△FH △AB△△AFN ＝90°－△F AH ＝△NAB△△F AN △△AN B△FA AN AN NB = △a b a a b+=， 得：22ab b a +=△122S S S +=．即212S S S -=(2)2114S S S -=，理由如下： △△ABF 和△BEC 都是等边三角形△AB ＝FB ，△ABC ＝60°－△FBC ＝△FBE ，CB ＝EB△△ABC △△FBE （S A S ）△AC ＝FE ＝b△FEB ＝△ACB ＝90°△△FEC ＝30°△EF △CF ，CE ＝BC ＝a △3cos302b FE a CE ==︒= △32b a =△21324S ab a == 由题意得：2134S b =，2234S a = △222213334416S S a b a -=-= △2114S S S -= 【点睛】本题考查勾股定理，相似，手拉手模型，代数运算，本题难点是图二中的相似和图三中的手拉手全等24．（2022·浙江杭州）如图，在ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，连接DE ，EF ，已知四边形BFED 是平行四边形，DE 1BC 4=．(1)若8AB =，求线段AD 的长．(2)若ADE 的面积为1，求平行四边形BFED 的面积．【答案】(1)2(2)6【分析】（1）利用平行四边形对边平行证明ADE ABC △△∽，得到DE AD BC AB=即可求出； （2）利用平行条件证明ADE EFC ∽，分别求出ADE EFC 与、ADE ABC 与的相似比，通过相似三角形的面积比等于相似比的平方分别求出EFC S、ABC S ，最后通过BFED ABC EFC ADE S S S S =--求出． （1）△四边形BFED 是平行四边形，△∥DE BC ，△ADE ABC △△∽，△DE AD BC AB =， △DE 1BC 4=， △AD 1AB 4=， △118244AD AB ==⨯=；（2）△四边形BFED 是平行四边形，△∥DE BC ，EF AB ∥，DE =BF ，△,AED ECF EAD CEF ∠=∠∠=∠，△ADE EFC ∽△2ADEEFC S DE S FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭， △DE 1BC 4=，DE =BF ， △43FC BC DE DE DE DE =-=-=，△133DE DE FC DE ==， △221139ADEEFC S DE S FC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， △ADE ABC △△∽，DE 1BC 4=， △2211416ADEABC S DE S BC ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， △1ADE S =△，△9,16EFC ABC SS ==， △16916BFED ABC EFC ADE S S S S =--=--=．【点睛】本题考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方、灵活运用平行条件证明三角形相似并求出相似比是解题关键．25．（2022·浙江宁波）如图1，O 为锐角三角形ABC 的外接圆，点D 在BC 上，AD 交BC 于点E ，点F在AE 上，满足,∠-∠=∠∥AFB BFD ACB FG AC 交BC 于点G ，BE FG =，连结BD ，DG ．设ACB α∠=．(1)用含α的代数式表示BFD ∠．(2)求证：△≌△BDE FDG ．(3)如图2，AD 为O 的直径．△当AB 的长为2时，求AC 的长．△当:4:11=OF OE 时，求cos α的值． 【答案】(1)902︒∠=-BFD α (2)见解析(3)△3；△5cos 8α=【分析】（1）根据∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，180∠+∠=︒AFB BFD 即可求解；（2）由（1）的结论，FG AC 、BE FG =证()BDE FDG SAS △≌△即可； （3）△通过角的转换得32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α，即可求AC 的长；△连结BO ，证△∽△BDG BOF ，设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，，由相似的性质即可求解；（1）△∠-∠=∠=AFB BFD ACB α，△又△180∠+∠=︒AFB BFD ，△△-△，得2180∠=︒-BFD α，△902︒∠=-BFD α．（2）由（1）得902︒∠=-BFD α，△∠=∠=ADB ACB α， △180902∠=︒-∠-︒-∠=FBD ADB BFD α，△DB DF =．△FG AC ， △∠=∠CAD DFG ．△CAD DBE ∠=∠，△∠=∠DFG DBE ．△BE FG =，△()BDE FDG SAS △≌△．（3）△△△≌△BDE FDG ，△∠=∠=FDG BDE α，△2∠=∠+∠=BDG BDF EDG α．△DE DG =，△()11809022∠=︒-∠=︒-DGE FDG α， △在BDG 中，3180902∠=︒-∠-∠=︒-DBG BDG DGE α， △AD 为O 的直径，△90ABD ∠=︒．△32∠=∠-∠=ABC ABD DBG α． △AC 与AB 的度数之比为3△2．△AC 与AB 的的长度之比为3△2，△2AB =，△3=AC ．△如图，连结BO ．△OB OD =，△∠=∠=OBD ODB α，△2∠=∠+∠=BOF OBD ODB α．△2∠=BDG α，△∠=∠BOF BDG ．△902∠=∠=︒-BGD BFO α， △△∽△BDG BOF ，设BDG 与BOF 的相似比为k ，△==DG BD k OF BO ． △411=OF OE ， △设4OF x =，则114OE x DE DG kx ===，，△114==+=+OB OD OE DE x kx ，154==+BD DF x kx ，△154154114114++==++BD x kx k BO x kx k ， 由154114+=+k k k，得247150+-=k k ， 解得154k =，23k =-（舍）， △11416=+=OD x kx x ，15420=+=BD x kx x ，△232==AD OD x ，在Rt ABD △中，205cos 328∠===BD x ADB AD x ， △5cos 8α=． 【点睛】本题主要考查圆的性质、三角函数、三角形的全等、三角形的相似，掌握相关知识并灵活应用是解题的关键．26．（2022·浙江宁波）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC的值． (3)如图3，在ABCD 中，45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长． 【答案】(1)证明见详解 (2)13(3)553+【分析】（1）利用∥DE BC ，证明,ADG ABF AEG ACF △△△△，利用相似比即可证明此问；（2）由（1）得DG EG =，CG DE ⊥，得出DCE 是等腰三角形，利用三角形相似即可求出 DE BC 的值； （3）遵循第（1）、（2）小问的思路，延长GE 交AB 于点M ，连接FM ，作MN BC ⊥，垂足为N ．构造出等腰三角形、含30°、45°角的特殊直角三角形，求出BN 、FN 的值，即可得出BF 的长．（1）解：△DE BC ∥，△,ADG ABF AEG ACF △△△△，△,==DG AG EG AG BF AF CF AF ， △DG EG BF CF=． △BF CF =，△DG EG =．（2）。
