时间序列分析4-差分方程

基于差分方程的时间序列预测方法及应用时间序列预测是指根据过去的观测值来预测未来的数值或趋势的一种分析方法。

差分方程是一种常用的时间序列预测方法，通过建立差分方程模型，可以对未来的数值进行预测。

本文将介绍基于差分方程的时间序列预测方法及其应用。

一、差分方程的基本概念差分方程是描述数列变化规律的一种方程。

对于一个时间序列{X_1, X_2, ..., X_t}，可以表示为如下的一阶差分方程：X_t = aX_{t-1} + bX_{t-2} + ... + kX_{t-n} + \epsilon_t其中，a、b、...、k为参数，\epsilon_t为误差项。

二、建立差分方程模型的步骤1. 数据预处理：对原始的时间序列数据进行平滑处理，包括去除季节性变化、平稳化处理等。

2. 建立差分方程模型：根据时间序列数据的特点和经验，选择适当的差分方程模型，确定参数的取值。

3. 参数估计：利用已知的观测值，采用最小二乘法等方法对模型中的参数进行估计。

4. 模型诊断：对估计得到的差分方程模型进行检验，检查其残差序列是否符合白噪声序列的特性。

5. 模型预测：利用已估计的差分方程模型，对未来的数值进行预测。

三、差分方程模型的应用差分方程模型在时间序列预测中有着广泛的应用，下面将介绍两个常见的应用场景。

1. 经济数据预测差分方程模型可以用于预测经济数据的发展趋势，例如国内生产总值（GDP）、消费者物价指数（CPI）等。

通过对过去若干期的经济数据进行分析，建立差分方程模型，可以预测未来的经济发展情况。

这对政府制定经济政策、企业制定销售策略等具有重要意义。

2. 股市走势预测差分方程模型也可以应用于股市走势的预测。

通过对过去一段时间内的股票价格进行分析，建立差分方程模型，可以预测未来的股票价格走势。

这对于投资者决策、风险管理等都有着重要的价值。

四、差分方程模型的优缺点差分方程模型作为一种时间序列预测方法，具有以下优点：1. 简单易懂：差分方程模型的基本概念和求解方法相对简单，易于理解和应用。

《时间序列分析》课程教学大纲课程编号：33330775课程名称：时间序列分析课程基本情况：1．学分：3 学时：51学时（课内学时：45 课内实验：6）2．课程性质：专业必修课3．适用专业：统计学适用对象：本科4.先修课程：概率论、数理统计、随机过程5．首选教材：王燕：《应用时间序列分析》，中国人民大学出版社，2008出版。

备选教材：王振龙等编著：《时间序列分析》，中国统计出版社，2000年。

6．考核形式：闭卷考试7．教学环境：多媒体教室及实验室一、教学目的与要求本课程是数理统计学的一个重要分支，先期需完成的课程有概率论、随机过程。

通过本课程的学习，使学生掌握时间序列数据的分析方法，包括时间序列简介、平稳时间序列分析、时间序列分解、非平稳序列的随机分析、多元时间序列分析。

利用Eviews软件进行本课程的实验教学。

二、教学内容及学时分配课程内容及学时分配表三、教学内容安排第一章时间序列分析简介【教学目的】1、了解时间序列的定义及常用分析方法；2、掌握时间序列的几个基本概念：随机过程、平稳随机过程、非平稳随机过程、自相关、记忆性。

【教学重点】时间序列的相关概念。

【教学难点】随机过程、系统自相关性。

【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节时间序列的定义第二节时间序列分析方法第三节时间序列分析软件EVIEWS简介第二章时间序列的预处理【教学目的】1、掌握平稳性检验的原理和方法；2、掌握纯随机性检验的原理和方法。

【教学重点】平稳时间序列的定义及统计性质。

【教学难点】时间序列的相关统计量。

【教学方法】课堂讲授【教学内容】第一节平稳性检验一、特征统计量二、平稳时间序列的定义三、平稳时间序列的统计性质四、平稳时间序列的意义五、平稳时间序列的检验第二节纯随机性检验一、纯随机序列的定义二、白噪声序列的定义三、纯随机性检验第三章平稳时间序列序列分析【教学目的】1、理解ARMA模型的定义及性质。

2、掌握平稳序列建模方法。

3、掌握平稳时间序列的预测【教学重点】平稳时间序列建模【教学难点】模型识别，参数估计，序列预测【教学方法】课堂讲授与上机实验【教学内容】第一节方法性工具一、差分运算二、延迟算子三、线性差分方程第二节 ARMA模型的性质一、AR模型二、MA模型三、ARMA模型第三节平稳序列建模一、建模步骤二、样本自相关系数与偏相关系数三、模型识别四、参数估计五、模型检验六、模型优化第四节序列预测一、线性预测函数二、预测方差最小原则三、线性最小方差预测的性质四、修正预测第四章非平稳序列的确定性分析【教学目的】1、理解时间序列的分解原理。

时间序列分析---汉密尔顿（1994）第一章 差分方程1.1一阶差分方程-1t =+w t t y y φ （1.1.1）例子：戈德费尔德（1973）估计的美国货币需求函数：t ct :I ::r :t m bt 公众持有真实货币的对数总真实收入的对数银行账户利率的对数商业票据利率的对数r-1t bt ct =0.27+0.72+0.19I -0.045r -0.019r t t m m （1.1.2） 这相当于：t =,=0.72,=0.27+0.19-0.045-0.019t t t bt ct y m w I r r φ且有在第1和第2章的讨论中，输入变量{}12,,......w w 将简单的视为一个确定性数值的序列。

递归替代法解差分方程0 0-10=+w y y φ （1.1.3） 1 101=+w y y φ （1.1.4） 2 212=+w y y φ （1.1.5） 。

t t-1t =+w t y y φ （1.1.6）因此有：2101-101-101=+w =(+w )+w =+w +w y y y y φφφφφ232212-1012-1012=+w =(+w +w )+w =+w +w +w y y y y φφφφφφφ。

+1t t-1t-2-1012t-1t =+w +w +w +......+w +w t t y y φφφφφ （1.1.7）另一个解的形式为：t-1t-2t-30123t-1t =+w +w +w +......+w +w tt y y φφφφφ这个过程被称作用递归替代法解差分方程动态乘子0/=t t y w φ∂∂ (1.1.8)如果动态模拟从t 期开始，则有：+1j j-1j-2+t-1t t+1t+2t+j-1t+j =+w +w +w +......+w +w j t j y y φφφφφ （1.1.9） 因此有： /=j t j t y w φ+∂∂在戈德费尔德（1973）估计的美国货币需求函数的例子中：2222/=(/)(/)(/)(0.72)(0.19)0.098t t t t t t t t m I m w w I w I φ++∂∂∂∂∂∂=⨯∂∂== 总结：（1）如果01φ<<，方程稳定（2）如果1φ>，方程不稳定（3）如果1φ=，则有+t-1t t+1t+2t+j-1t+j =+w +w +w +......+w +w t j y y （1.1.11）在金融和财务中的一个应用：我们可能对于w 对未来y 的值流的现值感兴趣。

差分方程知识点总结一、差分方程的概念差分方程是指用差分运算符号（Δ）表示的方程。

差分运算符Δ表示的是某一变量在两个连续时间点的变化量。

差分方程通常用于描述离散时间下的变化规律，比如时间序列、离散动力系统等。

二、常见的差分方程1. 一阶线性差分方程一阶线性差分方程的一般形式为：y(t+1) - y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

一阶线性差分方程常常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律。

2. 二阶线性差分方程二阶线性差分方程的一般形式为：y(t+2) - 2*y(t+1) + y(t) = a*y(t) + b，其中a和b为常数。

二阶线性差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的二阶线性变化规律。

3. 线性非齐次差分方程线性非齐次差分方程的一般形式为：y(t+1) - a*y(t) = b，其中a和b为常数。

线性非齐次差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的线性变化规律，并且受到外部条件的影响。

4. 滞后差分方程滞后差分方程的一般形式为：y(t+1) = f(y(t))，其中f为某一函数。

滞后差分方程通常用于描述某一变量在不同时间点之间的非线性变化规律。

5. 差分方程组差分方程组是指由多个差分方程组成的方程组。

差分方程组通常用于描述多个变量之间的变化规律，比如混合动力系统、多变量时间序列等。

三、差分方程的解法1. 特征根法特征根法是解一阶或二阶线性差分方程的一种常用方法。

通过求解特征方程，可以求得差分方程的通解。

2. 递推法递推法是解一阶或二阶非齐次差分方程的一种常用方法。

通过递推关系，可以求得差分方程的特解。

3. Z变换法Z变换法是解一阶或二阶差分方程的一种常用方法。

通过对差分方程进行Z变换，可以将其转换为等价的代数方程，然后求解其解。

4. 数值解法对于复杂的差分方程，通常采用数值解法求解。

数值解法包括Euler法、Runge-Kutta法、递推法等，通过迭代计算逼近差分方程的解。

第一章 差分方程差分方程是连续时间情形下微分方程的特例。

差分方程及其求解是时间序列方法的基础，也是分析时间序列动态属性的基本方法。

经济时间序列或者金融时间序列方法主要处理具有随机项的差分方程的求解问题，因此，确定性差分方程理论是我们首先需要了解的重要内容。

§1.1 一阶差分方程假设利用变量t y 表示随着时间变量t 变化的某种事件的属性或者结构，则t y 便是在时间t 可以观测到的数据。

假设t y 受到前期取值1-t y 和其他外生变量t w 的影响，并满足下述方程：tt t w y y ++=-110φφ (1.1)在上述方程当中，由于t y 仅线性地依赖前一个时间间隔自身的取值1-t y ，因此称具有这种结构的方程为一阶线性差分方程。

如果变量t w 是确定性变量，则此方程是确定性差分方程；如果变量t w 是随机变量，则此方程是随机差分方程。

在下面的分析中，我们假设t w 是确定性变量。

例1.1 货币需求函数 假设实际货币余额、实际收入、银行储蓄利率和商业票据利率的对数变量分别表示为t m 、t I 、bt r 和ct r ，则可以估计出美国货币需求函数为：上述方程便是关于t m 的一阶线性差分方程。

可以通过此方程的求解和结构分析，判断其他外生变量变化对货币需求的动态影响。

1.1.1 差分方程求解：递归替代法差分方程求解就是将方程变量表示为外生变量及其初值的函数形式，可以通过以前的数据计算出方程变量的当前值。

由于方程结构对于每一个时间点都是成立的，因此可以将(1.1)表示为多个方程：0=t ：01100w y y ++=-φφ 1=t ：10101w y y ++=φφ t t =：t t t w y y ++=-110φφ 依次进行叠代可以得到：iti i t ti i t w y y ∑∑=-=++=011110φφφφ(1.2)上述表达式(1.2)便是差分方程(1.1)的解，可以通过代入方程进行验证。

《时间序列分析——基于R》王燕，读书笔记笔记：⼀、检验：1、平稳性检验：图检验⽅法：时序图检验：该序列有明显的趋势性或周期性，则不是平稳序列⾃相关图检验：（acf函数）平稳序列具有短期相关性，即随着延迟期数k的增加，平稳序列的⾃相关系数ρ会很快地衰减向0（指数级指数级衰减），反之⾮平稳序列衰减速度会⽐较慢衰减构造检验统计量进⾏假设检验：单位根检验adfTest()——fUnitRoots包2、纯随机性检验、⽩噪声检验（Box.test（data，type，lag=n）——lag表⽰输出滞后n阶的⽩噪声检验统计量，默认为滞后1阶的检验统计量结果）1、Q统计量：type=“Box-Pierce”2、LB统计量：type=“Ljung-Box”⼆、模型1、ARMA平稳序列模型1.1平稳性检验1.2ARMA的p、q定阶——acf（），pacf（），auto.arima（）⾃动定阶1.3建模arima()1.4模型显著性检验：残差的⽩噪声检验Box.test（）；参数显著性检验t分布2、⾮平稳确定性分析2.1趋势拟合：直线、曲线（⼀般是多项式，还有其它函数）2.2平滑法移动平均法：SMA()——TTR包指数平滑法：HoltWinters()3、⾮平稳随机性分析3.1ARIMA1平稳性检验，差分运算2拟合ARMA3⽩噪声检验3.2疏系数模型arima（p,d,f）3.3季节模型可以叠加的模型4、残差⾃回归模型：4.1建⽴线性模型4.2对滞后的因变量间拟合线性模型，对模型做残差⾃相关DW检验。

dwtest()——lmtest包，增加选项order.by指定延迟因变量4.3对残差建⽴ARIMA模型5、条件异⽅差模型：异⽅差检验：LM检验ArchTest（）——FinTS包，⽤ARCH、GARCH模型建模第⼀章简介统计时序分析⽅法：1、频域分析⽅法2、时域分析⽅法步骤：1、观察序列特征2、根据序列特征选择模型3、确定模型的⼝径4、检验模型，优化模型5、推断序列其它统计性质或预测序列将来的发展时域分析研究的发展⽅向：1、AR，MA，ARMA，ARIMA（Box-Jenkins模型）2、异⽅差场合：ARCH，GARCH等（计量经济学）3、多变量场合：“变量是平稳”不再是必需条件，协整理论3、⾮线性场合：门限⾃回归模型，马尔科夫转移模型第⼆章时间序列的预处理预处理内容：对它的平稳性和纯随机性进⾏检验，最好是平稳⾮⽩噪声的序列1、特征统计量1.1概率分布分布函数或密度函数能够完整地描述⼀个随机变量的统计特征，同样⼀个随机变量族{Xt}的统计特性也完全由它们的联合分布函数或联合密度函数决定。

西华大学课程考核期中试题卷（A 卷）试卷编号： _________（2014至2015学年第 2学期）课程名称： ______ 时间序列分析 ______ 考试时间： 90 分钟 课程代码： _______ 7304619 __________ 试卷总分： 100 分考试形式：开卷 ______ 学生自带普通计算器 :允许一、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案）（本大题共5小题，每小题3分，总计15分）1.X t 的d 阶差分为 _________（a ） ' d X t =X t-X t 上 （b ） ' d x t= d」x t d」x t 上（c\ d x t= yx t d'X t 」（d ）\ d xt =、d 」xt-1d 」x t,2. 记B 是延迟算子，则下列错误的是 _________ （a ） B 0 =1（ b ） B c X t =c BX t =c X. （c ） B （X t 士Y ”2±仃 （d ）帝 d =X t —X t 』=（1—B ）d X t3.关于差分方程 X t=4X t 」-4X t,，其通解形式为 ______________ (a )c 12t- c 22t(b )c , - c 2t 2t(c )(c ) -t, E X t = J, E t -"0(b ) ARMA ( 1, 1) (d ) ARMA (2, 1)二、填空题(本大题共10小题，每题3分，总计30分):名姓:号学:号班学教4.F 列哪些不是MA 模型的统计性质(a ) E X t ]=二(b) Var X t = 1 刊2 L -~2••业专级年 5.上面左图为自相关系数，右图为偏自相关系数, (a ) MA ( 1) (c ) AR ( 2)由此给出初步的模型识别1、AR(p)模型为___________________________________ ，其中自回归参数为__________ _。

《时间序列分析》课程教学大纲一、课程名称（中英文）中文名称：时间序列分析英文名称：Time Series Analysis二、课程代码及性质学科（大类）基础课必修三、学时与学分总学时：48（理论学时：42学时；实践学时：6学时）学分：3四、先修课程先修课程：数学分析（一）~（三），线性代数，概率论与数理统计（三），计量经济学，高级计量经济学五、授课对象本课程面向统计、经实、经创专业学生开设六、课程教学目的（对学生知识、能力、素质培养的贡献和作用）掌握时间序列分析的最新进展，并能熟练应用时间序列分析方法并结合Eviews软件建模研究经济、金融方面的问题，为深入学习研究生阶段的计量经济学课程及开展研究工作打好基础。

七、教学重点与难点：课程重点：掌握平稳时间序列分析（ARMA）的建模与分析方法，掌握各类ARMA过程的性质、预测原理、估计方法，了解谱分析，掌握各类收敛性质及大样本理论，了解趋势平稳过程以及非平稳时间序列分析的基本思想课程难点：各类ARMA过程的识别，各种收敛性质的关系，中心极限定理及其适用情形，非平稳时间序列分析，运用时间序列分析的基本原理进行实证分析八、教学方法与手段：教学方法：以课堂讲授为主，安排4学时习题课，2学时复习课教学手段：课堂讲授、文献阅读、习题讲解九、教学内容与学时安排（一）差分方程（教师课堂教学学时（2小时）+ 学生课后学习学时（1小时））教学内容：掌握求解1阶差分方程的步骤，了解高阶差分方程的解法（二）滞后算子（教师课堂教学学时（2小时）+ 学生课后学习学时（1小时））教学内容：理解滞后算子的概念，会利用滞后算子表示差分方程并了解求解步骤，了解初值问题课后文献阅读：Thomas Sargent, Macroeconomic Theory, 2d ed. Boston: Academic Press, 1987.（三）平稳ARMA过程（教师课堂教学学时（12小时）+ 学生课后学习学时（3小时）教学内容：理解平稳性和遍历性的概念，掌握ARMA类模型的表述与识别方法（期望、方差、自相关函数、偏自相关函数等），掌握ARMA类模型的可逆性与平稳性的判别方法课后作业和讨论：教材第三章练习3.1-3.8（四）预测原理（教师课堂教学学时（8小时）+ 学生课后学习学时（3小时）教学内容：理解预测的基本原理与基本思想，掌握基于无穷个样本观测值的预测方法，会利用预测公式写出AR（1）、MA（1）、ARMA（1,1）的预测方程，了解高阶过程的预测方程，了解基于有限样本观测值的预测方法，了解校正线性投影，掌握识别各类ARMA 过程的和过程，理解Wold表述定理和B-J建模思想课后文献阅读：Richard Ashley. 1988, On the relative worth of recent macroeconomics forecasts, International Journal of Forecasting.课后作业和讨论：教材第四章练习4.1-4.6（五）极大似然估计（教师课堂教学学时（4小时）+ 学生课后学习学时（2小时）教学内容：理解运用极大似然方法求解ARMA类过程的基本思想，理解极大似然估计量的有限样本性质，了解利用数值方法求解极大似然估计的基本原理课后文献阅读：Halbert White.1982, Maximum likelihood estimation of misspecified models, Econometrica.课后作业和讨论：教材第五章练习5.1-5.3（六）谱分析（教师课堂教学学时（2小时）+ 学生课后学习学时（1小时）教学内容：了解谱分析的基本原理，会求ARMA类过程的总体谱函数和样本谱函数课后作业和讨论：教材第六章练习6.1-6.2（七）渐进理论（教师课堂教学学时（4小时）+ 学生课后学习学时（2小时）教学内容：理解各种收敛的定义及其关系，理解大数定律和中心极限定理，了解平稳随机过程的中心极限定理，了解鞅差分序列的基本概念课后文献阅读：Ted W. Anderson. The Statistical Analysis of Time Series, New York: Willey, 1971.课后作业和讨论：教材第七章练习7.1-7.7（八）趋势平稳过程与非平稳时间序列分析（教师课堂教学学时（8小时）+ 学生课后学习学时（3小时）教学内容：掌握线性时间趋势平稳过程的统计特征和系数估计量的性质，掌握单位根过程的统计特征及系数估计量的性质，掌握线性时间趋势平稳过程与单位根过程的识别方法，掌握单位根检验的基本思想，了解高次趋势平稳过程，了解ARCH类模型的建模思想、估计方法和检验，了解协整和Granger表述定理课后文献阅读：1. Michio Hatanaka, Time-Seriess-Based Econometrics: Unit Roots and Cointegration, New York: Oxford University Press, 1996.2. Peter C. B. Phillips. 1987, Time series regression with a unit root, Econometrica.3. Peter C. B. Phillips and Pierre Perron. 1988, Testing for a unit root in time series regression, Biometrika.4. Pierre Perron. 1989, The great crash, the oil price shock and the unit root hypothesis, Econometrica.5. Robert F. Engle. 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, Econometrica.6. Robert F. Engle and Clive W.J. Granger. 1987,Co-integration and error correction: representation, estimation and testing, Econometrica.7. Tim Bollerslev. 1986, Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, Journal of Econometrics.十、教学参考书及文献教学参考书：1、James D. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton University Press, 1994;课外文献阅读：1、James D. Stock, Mark W. Watson, New Approaches and Forecasting Records, Cambridge University Press, 1991.2、Thomas Sargent, Macroeconomic Theory, 2d ed. Boston: Academic Press, 1987.3、Ted W. Anderson. The Statistical Analysis of Time Series, New York: Willey, 1971.4、Michio Hatanaka, Time-Seriess-Based Econometrics: Unit Roots and Cointegration, New York: Oxford University Press, 1996.5、Peter C. B. Phillips. 1987, Time series regression with a unit root, Econometrica.6、Peter C. B. Phillips and Pierre Perron. 1988, Testing for a unit root in time series regression, Biometrika.7、Pierre Perron. 1989, The great crash, the oil price shock and the unitroot hypothesis, Econometrica.8、Robert F. Engle. 1982, Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of United Kingdom Inflation, Econometrica.9、Robert F. Engle and Clive W.J. Granger. 1987, Co-integration and error correction: representation, estimation and testing, Econometrica.10、Tim Bollerslev. 1986, Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, Journal of Econometrics.十一、课程成绩评定与记载课程成绩构成：课程成绩=课后作业（20%）+课后文献阅读（10%）+终结性考试（70%）终结性考试形式：闭卷大纲制定：《时间序列分析》课程组审核：。