1-1求极限方法小结

求极限方法小结求极限方法大概归结为：一 利用单调有界数列有极限先证明极限的存在性，再利用题中条件求出极限。

二 转化为已知极限。

记住以下极限是有好处的。

（一）()l i m 01n n a a →∞=<；()10n a =>；1n =；1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭，1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭（1∞型）；0sin lim 1x x x →=（00型） （二） 有界乘无穷小、（三） 连续函数极限值等于函数值 这里通常利用如下手段进行转化。

（一）恒等等变形： 1如分解因式 2有理化3换元等（依据求极限复合法则）。

4 泰勒公式5将求数列极限有的可转化为求函数极限、 （二）夹逼定理 （三）四则运算法则、 （四）等价无穷小替换 （五）洛必达法则及中值定理 （六）Stolze 公式：1设lim lim 0n n a b ==，且{}n b 严格减。

若11limn n n n a a a b b ++⎧-⎪=+∞⎨-⎪-∞⎩，则lim n n aa b ⎧⎪=+∞⎨⎪-∞⎩ 2{}n b 严格增，且lim n b =+∞，若11lim n n n n a a a b b ++⎧-⎪=+∞⎨-⎪-∞⎩，则lim n n aa b ⎧⎪=+∞⎨⎪-∞⎩ 及其推论若limn n a a →∞=,则12lim nn a a a a n→∞+++=；n a =三 转化为定积分。

四 利用级数的性质：若1n n a ∞=∑收敛，则lim0n n a →∞= 另外对分段函数在分段点的极限可能要考察左右极限。

一 利用单调有界数列定理求极限例 1 13x =，1n x +=lim n n x →∞练习1 1x，1n x +=lim n n x →∞2 112x =，()1112n n x x +=+，求lim n n x →∞例 2 已知10x π<<，1sin n n x x +=，求lim n n x →∞练习lim sin sin sin n n →∞例3已知方程11(2)n n x x x n -+++=≥ 在()0,1内有唯一正根记为n x ，证明lim n n x →∞存在并求lim n n x →∞。

二 转化为已知极限（一）夹逼定理例1 !lim n n n n→∞，例2 lim n →∞⎛⎫++练习 1 222111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭ 2：n 3：n例3 (1)01lim x x x +→⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)1lim (123).x xx →+∞++（二）初等变形例1 （1）()2223332113lim()n n n n n →∞-+++练习1：112lim(1)(1)(1)36(1)n n n →∞---+ 2：222111lim(1)(1)(1)23n n →∞--- （2）34132lim 43x x x x x →-+-+ 练习 1：3113lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭，2：231lim 1n x x x x x n x →++++-- 3：x → （3）221limx x x→∞+ 练习 1：2lim 2x x x x x e e e e --→+∞-+，2：2lim 2x x x x x e e e e --→-∞-+ 3:ln(12)lim ln(13)x x x →+∞++ 例2（有理化）n →∞练习 1：1x →2：0x →例3 （换元）1lim(1)tan 2x x x π→-例4（有界乘无穷小）sin lim x xx→∞ 练习 1：arctan lim x x x→∞ 2：()201sin sinlim 1cos ln(1)x x x x x x →+++ 例5（将求数列极限转化为求函数极限）1tan1lim11sinn n n n n→∞--练习 1：21lim cos n n n →∞⎛⎫ ⎪⎝⎭2：11lim cos nn n n →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 例6（两个重要极限的应用）（1）limsin n x n n→∞练习 1：()sin limsin nmx x x → 2：sin sin limx ax ax a→-- （2）2lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪+⎝⎭练习 1：1lim 1kxx x →∞⎛⎫- ⎪⎝⎭2：()()1ln 10lim cos x x x +→ 例7（泰勒公式）224cos limx x exx-→- 练习 1：40sin 2(1cos )lim x x x x x →--2：30sin tan lim x x xx →- （三）等价无穷小替换0x →时，sin x x ，tan x x ，arcsin x x ，arctan x x ，211cos 2x x -ln(1)x x + ；1x e x - ；()11x x αα+- 例1 30tan sin limsin x x xx→-练习 1：()211cos lim1x xx π→+- 2：x →例2 ()2ln limx x x e x x→++练习 1：11lim ln x x → 2：1035lim 2xx x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭3:01sin cos lim 1sin cos x x x px px →+-+- 例3 2sin 21limarcsin xx e x→- 练习 cos 20lim tan x x e ex→-例40ln 1x x →+练习 1：01x e →-2：)321sin 1x x →+-（四）洛必达法则例1（00，∞∞型）（1）0sin lim cos x x x x x x →--（2）0ln cos lim ln cos x axbx → 练习1：limx ax aa x x a →-- 2：612sin lim cos3x xx π→- 3：10(1)lim xx x e x →+- 4：()ln lim0nx xn x →+∞> 5：()lim0,nxx x n e λλ→+∞>为自然数例2（∞-∞型）2011lim()tan x x x x→- 练习1：111lim()ln 1x x x →-- 2：011lim()1x x x e →-- 3：21lim(ln(1))x x x x→∞-+ 例3（0⋅∞型）()lim tan 2x xx ππ→- 练习1：0limarcsin cot x x x → 2：1lim ln ln(1)x x x +→- 例4（0∞0∞1∞型）（1）1lim xx x →∞（2）()cos21lim 1xx x π-→-（3）111lim xx x -→例5（微分中值定理）（1）330tan tan sin limsin 2sin x x x x x →--（2）0sec tan secsin lim cos tan cossin x x xx x →--练习1：2lim arctan xx x π→+∞⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2：()110lim 0,02xx xx a b a b →⎛⎫+ ⎪>> ⎪ ⎪⎝⎭ （五）公式：lim n n a a →∞=,则12lim nn a a a a n→∞+++= ；n a = 例（六）转化为级数三 转化为定积分例 11lim n n i n →∞=练习1：lim n →∞2：()11lim0p p p n n p n +→∞++>四 考察左右极限例 1102sin lim 1x x xe x x e →⎡⎤+⎢⎥+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦五 关于含参极限及已知极限确定参数例1（含参极限）233(1)1:lim x a x a x a x a →-++-22222()(1)(1)limlim()()()1030x a x a x a x x x a x ax a x ax a a a a a →→---==-++++-⎧≠⎪=⎨⎪∞=⎩练习 01lim sin x x xα→2（已知极限确定参数）（1）05lim,4x a bx a b x →-=求出。

（2）lim )0,x x αβαβ→+∞-=求lim )0)x x x a αβ→+∞->并求（由lim )0x x αβ→+∞-=有0limx x xαβ→+∞-=lim )x x x αβα→+∞+=-=得αlim )x β→+∞==limx =求lim )x x x αβ→+∞-lim x x →+∞=-limx →+∞=2()4limx b c xa b →+∞-=22b c -==练习22221(1)(1)(1)lim 0,,.(1)x x a b x c x a b c x →+-----=-求。