四川省绵阳南山中学高三数学二诊热身考试试题 文

绵阳南山中学2020年高考仿真模拟考试(二)数学(理工类)第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上.1.已知集合{}230M x x x =-<，(){}2log 20N x x =-≤，则M N = ( )A. ()2,3B. (]2,3C. (]0,3D. ()0,32.复数32iz i-+=+的共轭复数是( ) A 2i + B. 2i -C. 1i -+D. 1i --3.已知α、β是两个不同的平面，m 、n 是两条不重合的直线，命题p ：“若m α⊥，m n ⊥，则//n α”；命题q ：“若αβ⊥，n αβ= ，m n ⊥，则m β⊥”，则下列命题为真命题的是( )A. p q ∧B. p q ∨C. ()p q ∨⌝D. ()p q ⌝∧4.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若28515a a a +=-；则9S 等于( ) A. 18B. 36C. 45D. 605.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A. 2π+B. 1π+C. 22π+D. 12π+6.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是( ) A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B. 某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多7.设1F ，2F 分别是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，过2F 的直线交椭圆于A ，B 两点，且120AF AF ⋅= ，222AF F B =，则椭圆E 的离心率为( )A.23B.34C.3D.48.函数()()π2sin 22f x x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭向左平移π3个单位后图象关于y 轴对称，则()f x 在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为( )A. 1-B. 1C. D.9.从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为 A. 4nmB.2n mC.4mnD.2mn10.()()()2111nx x x ++++++ 的展开式的各项系数和是( ) A. 12n + B. 121n ++C. 121n +-D. 122n +-11.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面1202ABC BAC AP AB ∠=︒==，，，M 是线段BC 上一动点，线段PM ，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积是( )A.92π B.C. 18πD. 40π12.已知函数ln ,0(),x x e f x ex ex ⎧<≤⎪=⎨>⎪⎩，若0a b c <<<且满足()()()f a f b f c ==，则()()()af b bf c cf a ++的取值范围是( )A. ()1+¥，B. (),e +∞C. 111e e ⎛⎫++ ⎪⎝⎭， D. (1,2e e e ⎫+⎪⎭第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,a λ= ，()11b =- ,，且a b - 与b共线，则λ=__________.14.若x ,y 满足约束条件10,{0,40,x x y x y -≥-≤+-≤则yx的最大值 ．15.已知()1122421x x xf x eex --+=-+-，则12320192020202020202020f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为__________.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，12F F ，分别是双曲线的左、右焦点，点()()00M a N b -，，，，点P 为线段MN 上的动点，当21PF ?PF取得最小值和最大值时，12PF F ∆的面积分别为12S S ，，则21S S =______．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：共60分17.已知ABC 中内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且cos cos 4cos b C c B A +=-，2a =. (1)求角A 的大小； (2)求2b c +的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为矩形，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PC中点，PD CD ==.(1)求证：ED BP ⊥；(2)若BD 与平面PBC 所成的角为30 ，求二面角C PB D --的大小.19.某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为(01)p p <<，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为()f p ,求()f p 的最大值点0p ；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的0p 作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(i)若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？20.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF 为正三角形. (1)求C 的方程；(2)若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ，求直线AE 所过定点坐标和ABE △的面积的最小值.21.已知函数()ln f x x =.(1)设函数()()()0g x af x a x +≠=的最小值不小于2a -，求a 的取值范围；(2)已知关于x 的不等式()()1110x f x bx +++->⎡⎤⎣⎦恒成立，记正整数b 的最大值为m ，记函数()()()1011x f x x xϕ'=+<<-的最小值为n ，试比较m 、n 的大小.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所作的第一题计分.选修4－4：坐标系与参数方程22.已知在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为222111t x t t y t ⎧+=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩(t 为参数).以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos(3πθ+)4=. (1)求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 交曲线C 于A ，B 两点，交x 轴于点P ，求11PA PB+的值.选修4－5：不等式选讲23.已知函数()3124f x x x =+--. (1)求不等式()3f x >的解集；(2)若对任意x ∈R ，不等式()228f x x t t --≤-恒成立，求t 的取值范围，。

秘密★启用前【考试时间：2024年5月30日15：00-17：00】绵阳南山2024年高三仿真考试（二）理科数学（答案在最后）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}*2N |2nA n n =∈≥，则集合A 的元素个数为（）A.1B.2C.3D.无穷多个【答案】C 【解析】【分析】利用指数与幂的运算性质可求解.【详解】由2*2(N )n n n ≥∈，可得1,2,4n =，所以集合A 的元素个数为3个.故选：C2.虚数1i(R)z b b =+∈满足()i 1z z z z -=-⋅，则b =（）A.0B.1C.2D.0或2【答案】C 【解析】【分析】求出z ，代入()i 1z z z z -=-⋅计算即可.【详解】由已知1i(R)z b b =-∈，0b ≠，所以()i 2z z b -=-，()22111z z b b-⋅=-+=-，所以22b b -=-，解得2b =.故选：C.3.已知双曲线C 的顶点为1A ，2A ，虚轴的一个端点为B ，且12BA A △是一个直角三角形，则双曲线C 的渐近线为（）A.2y x =±B.y x=± C.22y x =±D.y =【答案】B【解析】【分析】根据双曲线的对称性可得1212,BA BA BA BA ⊥=，求出ba即可得解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，虚轴长为2b ，由双曲线的对称性可得12BA A △是一个等腰直角三角形，且1212,BA BA BA BA ⊥=，则12OA OA OB ==，即a b =，所以双曲线C 的渐近线为y x =±.故选：B.4.近年来，我国大力发展新能源汽车工业，新能源汽车（含电动汽车）销量已跃居全球首位.某新能源汽车厂根据2021年新能源汽车销售额（单位：万元）和每月销售额占全年销售额的百分比绘制了如图所示双层饼图.根据双层饼图，下列说法错误的是（）A.2021年第四季度销售额最低B.2月销售额占全年销售额的8%.C.2021年全年销售总额约为1079万元D.7月的销售额约为46万元【答案】D 【解析】【分析】根据双层饼图，依次判断选项即可.【详解】解：由图知，第四季度销售额占全年销售额的百分比18%,第三季度为33%，第二季度为29%，第一季度为20%，故第四季度最低，A 正确；2月销售额占全年销售额的占比为20%5%7%8%--=，B 正确；全年销售总额为()31310%9%10%1079÷++≈（万元），C 正确；7月的销售额为107913%140⨯≈（万元），D 错误.故选：D.5.在平面直角坐标系xOy 中，角,αβ的始边均为Ox ，终边相互垂直，若35=cos α，则cos2β=（）A.925B.925-C.725D.725-【答案】C 【解析】【分析】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角的余弦公式计算即得.【详解】依题意，π2π,Z 2k k βα=++∈，则3sin cos 5βα==，或π2π,Z 2k k βα=-+∈，则3sin cos 5βα=-=-，所以27cos212sin 25ββ=-=.故选：C6.已知点()00,P x y 为可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内任意一点，则000x y ->的概率为（）A.25B.49C.13D.310【答案】B 【解析】【分析】作出可行域，求得可行域内的整点个数，进而求得满足000x y ->的点个数，由古典概型概率公式求解即可.【详解】可行域*640,N x y x y x y +<⎧⎪->⎨⎪∈⎩内的点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共9个，其中满足000x y ->的有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)共4个，所以所求的概率49P =.故选：B.7.已知Q 为直线:210l x y ++=上的动点，点P 满足()1,3QP =-，记P 的轨迹为E ，则（）A.EB.E 是一条与l 相交的直线C.E 上的点到lD.E 是两条平行直线【答案】C 【解析】【分析】设(),P x y ，由()1,3QP =-可得Q 点坐标，由Q 在直线上，故可将点代入坐标，即可得P 轨迹E ，结合选项即可得出正确答案.【详解】设(),P x y ，由()1,3QP =-，则()1,3Q x y -+，由Q 在直线:210l x y ++=上，故()12310x y -+++=，化简得260x y ++=，即P 的轨迹为E 为直线且与直线l 平行，E 上的点到l的距离d ==A 、B 、D 错误，C 正确.故选：C .8.已知函数()()2sin 2f x x ϕ=+，2πϕ<，那么“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求得当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,进而判断6πϕ=时，函数的单调性，即可得出结果.【详解】当22222k x k πππϕπ-+≤+≤+，Z k ∈,()f x 单调递增.则当,4242k x k k Z πϕπϕππ--+≤≤-+∈时，()f x 是增函数,当6πϕ=时,()f x 在,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；当6πϕ=-时,()f x 在,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈单调递增，可得()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数；反之，当()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数时，由,,6644ππππ⎡⎤⎡⎤-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，可知，此时0,0k ϕ==，即6πϕ=不成立.所以“6πϕ=”是“()f x 在,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数”的充分而不必要条件.故选：A.9.已知函数()f x 满足()()311f x f x +=--，且函数()1f x +为偶函数，若()11f =，则()()()()1232024f f f f +++⋯+=（）A.0B.1012C.2024D.3036【答案】B 【解析】【分析】由题意得()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，函数的周期为4，进一步()()()()12342f f f f +++=，由此即可得解.【详解】由题意函数()1f x +为偶函数，所以()()11f x f x +=-+，()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()()()()()()3111111331f x f x f x f x f x f x +=--=-+=---=-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 的周期为4，在()()311f x f x +=--中，分别令0x =和1，得()()131f f +=，()()041f f +=，即()()241f f +=，所以()()()()12342f f f f +++=，所以()()()12202450621012f f f +++=⨯=L .故选：B.10.六氟化硫，化学式为6SF ，在常压下是一种无色、无臭、无毒、不燃的稳定气体，有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫结构为正八面体结构，如图所示，硫原子位于正八面体的中心，6个氟原子分别位于正八面体的6个顶点，若相邻两个氟原子之间的距离为m ，则下列错误的是（）A.该正八面体结构的外接球表面积为22πm B.该正八面体结构的内切球表面积为22π3mC.该正八面体结构的表面积为2D.3【答案】D 【解析】【分析】分析正八面体结构特征，计算其表面积，体积，外接球半径，内切球半径，验证各选项.【详解】对A ：底面中心S 到各顶点的距离相等，故S 为外接球球心，外接球半径22R PS m ==，故该正八面体结构的外接球表面积22π)2πS m '=⨯=，故A 正确；对D ：连接AS ，PS ，则22AS PS m ==，PS ⊥底面ABCD ，故该正八面体结构的体积231222323V m m =⨯⨯⨯=，故D 错误；对C ：由题知，各侧面均为边长为m 的正三角形，故该正八面体结构的表面积2284S m =⨯⨯=，故C 正确；对B ：底面中心S 到各面顶点的距离相等，故S 为内切球球心，设该正八面体结构的内切球半径r，则13V Sr =，所以33VrS==故内切球的表面积222π4π3mS⎛⎫''=⨯=，故B正确.故选：D.11.若函数()21ln22f x a x x x=+-有两个不同的极值点12,x x，且()()1221t f x x f x x-+<-恒成立，则实数t的取值范围为（）A.(),5-∞- B.(],5-∞- C.(),22ln2-∞- D.(],22ln2-∞-【答案】B【解析】【分析】首先对()f x求导，得()()22x x af x xx'-+=>，根据题意得到方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根，结合根与系数的关系求得a的取值范围，然后将不等式进行转化，结合根与系数的关系得到()()1212f x f x x x+--关于参数a的表达式，从而构造函数，利用导数知识进行求解．【详解】依题意得()()2220a x x af x x xx x-+=+-=>'，若函数()f x有两个不同的极值点12,x x，则方程220x x a-+=有两个不相等的正实数根12,x x，可得1212Δ44020ax xx x a=->⎧⎪+=>⎨⎪=>⎩，解得01a<<，因为()()1221t f x x f x x-+<-，可得()()2212121112221211ln 2ln 222t f x f x x x a x x x a x x x x x <+--=+-++---()()()()()()2221212121212121211ln 3ln 322a x x x x x x a x x x x x x x x =++-+=++--+21ln 232ln 42a a a a a a =+⨯--⨯=--．设()()ln 401h a a a a a =--<<，则()ln 0h a a ='<，则()h a 单调递减，()()15h a h >=-，可知5t ≤-．所以实数t 的取值范围是(],5-∞-.故选：B ．【点睛】关键点睛：1.利用导数与极值点之间的关系及一元二次方程有两个不相等的正实数根，求得a 的取值范围是解决问题的前提；2.利用韦达定理二元换一元，通过构造函数解决问题.12.记椭圆1C ：22221(0)x ya b a b+=>>与圆2C ：222x y a +=的公共点为M ，N ，其中M 在N 的左侧，A 是圆2C 上异于M ，N 的点，连接AM 交1C 于B ，若2tan 5tan ANM BNM ∠=∠，则1C 的离心率为（）A.35B.45C.5D.5【答案】D 【解析】【分析】根据题意可知(),0M a -，(),0N a ，结合图象和椭圆方程可知22tan tan b BMN BNM a ∠⋅∠=，由AMN 为直角三角形，可求得πtan tan 2tan tan BMN ANM BNM BNM⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭=∠∠，可得2225b a =，即可求得离心率.【详解】由题意可知点M ，N 分别为椭圆的左右顶点，所以(),0M a -，(),0N a ，设点A 在第一象限，设点(),B x y ，所以22222222221tan tan x b a y y y b BMN BNM a x a x a x a x a⎛⎫- ⎪⎝⎭∠⋅∠=⋅===+---，πtan tan 152tan tan tan tan 2BMN ANM BNM BNM BNM BMN ⎛⎫-∠ ⎪∠⎝⎭===∠∠∠⋅∠，所以2225b a =，5c e a ===.故选：D .二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.平面向量a 与b相互垂直，已知(6,8)a =- ，||5b = ，且b 与向量(1,0)的夹角是钝角，则b = ______.【答案】(4,3)--【解析】【分析】设(,)b x y = ，根据向量垂直和向量模的坐标表示得到方程组，再结合b与向量(1,0)的夹角为钝角得到0x <，最后解出方程组即可.【详解】设(,),b x y a b =⊥ ，0a b ∴⋅= ，680x y ∴-=，①，||5b == ，②，因为b与向量(1,0)夹角为钝角，∴0x <，③，由①②③解得43x y =-⎧⎨=-⎩，(4,3)b ∴=-- .故答案为：(4,3)--.14.已知函数()π2cos 3f x x ω⎛⎫=-⎪⎝⎭，其中ω为常数，且()0,6ω∈，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位所得的图象对应的函数()g x 在0x =取得极大值，则ω的值为_____________________.【答案】2【解析】【分析】先根据图象平移得到()g x 的解析式，然后根据()0g 为最大值得到关于ω的方程，结合ω的范围可知结果.【详解】由题意可知()ππππ2cos 2cos 6363g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()g x 在0x =取得极大值，所以()g x 在0x =取得最大值，所以ππ2π63k ω-=，Z k ∈，即212k ω=+，又因为()0,6ω∈，所以，当且仅当0k =时，2ω=满足条件，所以2ω=，故答案为：2.15.若随机变量X 服从二项分布115,4B ⎛⎫⎪⎝⎭，则使()P X k =取得最大值时，k =______．【答案】3或4【解析】【分析】先求得()P X k =的表达式，利用列不等式组的方法来求得使()P X k =取得最大值时k 的值.【详解】依题意015,N k k ≤≤∈，依题意()1515151515151********C 1C C 344444kkk k k kk k k P X k ----⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-=⋅⋅=⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()15150151141515151513130C 3,1C 354444P X P X ⎛⎫⎛⎫==⋅⋅===⋅⋅=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()151154P X ⎛⎫== ⎪⎝⎭，()()()1501P X P X P X =<=<=，所以()0P X =、()15P X =不是()P X k =的最大项，当114k ≤≤时，由1511615151515151141515151511C 3C 34411C 3C 344k k k kk k k k ----+-⎧⋅⋅≥⋅⋅⎪⎪⎨⎪⋅⋅≥⋅⋅⎪⎩，整理得1151511515C 3C 3C C k k k k -+⎧≥⎨≥⎩，即()()()()()()15!15!3!15!1!16!15!15!3!15!1!14!k k k k k k k k ⎧≥⨯⎪⨯--⨯-⎪⎨⎪⨯≥⎪⨯-+⨯-⎩，整理得131631151k kk k ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，163343315k k k k k -≥⎧⇒≤≤⎨+≥-⎩，所以当k 为3或4时，()P X k =取得最大值.故答案为：3或416.在钝角ABC 中，a ，b ，c 分别是ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，点G 是ABC 的重心，若AG BG ⊥，则cos C 的取值范围是______.【答案】,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】延长CG 交AB 于D ，由G 为ABC 的重心，可得3322CD AB c ==，根据πBDC ADC ∠+∠=，利用余弦定理可得222222525233c a c b c c--=-，进而可得C 为锐角，设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，进而计算可得03b a <<，利用余弦定理可得cos C 的取值范围.【详解】延长CG 交AB 于D，如下图所示：G 为ABC 的重心，∴D 为AB 中点且3CD DG =，AG BG ⊥ ，12DG AB ∴=，3322CD AB c ∴==；在ADC △中，2222222225522cos 3232c bAD CD AC c b ADC AD CD c c -+--∠===⋅；在BDC 中，2222222225522cos 3232c a BD CD BC c a BDC BD CD c c -+--∠===⋅； πBDC ADC ∠+∠=，cos cos BDC ADC ∴∠=-∠，即222222525233c a c b c c--=-，整理可得：22225a b c c +=>，∴C 为锐角；设A 为钝角，则222b c a +<，222a c b +>，a b >，2222222255a b a b a b b a ⎧+>+⎪⎪∴⎨+⎪<+⎪⎩，22221115511155b b a a b b a a ⎧⎛⎫⎛⎫++<⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∴⎨⎛⎫⎛⎫⎪<++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得：223b a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，0a b >>，03b a ∴<<，22222222cos 255533a b c a b a b C ab ab b a ⎛⎫+-+⎛⎫==⋅=+>⨯+= ⎪ ⎝⎭⎝，又C 为锐角，∴cos 13C <<，即cos C的取值范围为,13⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查余弦定理的综合应用，利用已知求得603b a <<是关键，考查运算求解能力，难度较大.三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 满足31720,56a a a =+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()41nn S b n =+，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和.设[]x 表示不超过x 的最大正整数，求使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值.【答案】（1）84n a n =-（2）64【解析】【分析】（1）根据题意列式求解1,a d ，进而可得结果；（2）由（1）可得,n n S b ，根据题意可得[]1n b n =-，根据等差数列的求和公式分析运算即可.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，由题意可得311712202656a a d a a a d =+=⎧⎨+=+=⎩，解得148a d =⎧⎨=⎩，所以数列{}n a 的通项公式()48184n a n n =+-=-.【小问2详解】由（1）可得84n a n =-，则()248442n n n n S +-==，所以()()2114111n n S n b n n n n ===-++++，因为*n ∈N ，则()1110,1,n n -∈∈+N ，所以[]1n b n =-，则[][]()111n n b b n n +-=--=，即数列[]{}n b 是以首项为0，公差为1的等差数列，则[][][][]()()123011202322n n n n n b b b b +--++++==<L ，即24046n n -<，又因为()2f n n n =-在[)1,+∞上单调递增，且()()6440324046,6541604046f f =<=>，所以使[][][][]1232023n b b b b ++++< 的最大正整数n 的值为64.18.为了解某一地区新能源电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量y （单位：万台）关于x （年份）的线性回归方程 4.79459.2y x =-，且销量y 的方差为22545y s =，年份x 的方差为22x s =.（1）求y 与x 的相关系数r ，并据此判断电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的强弱.（2）该机构还调查了该地区90位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：性别购买非电动汽车购买电动汽车总计男性39645女性301545总计692190依据小概率值0.05α=的独立性检验，能否认为购买电动汽车与车主性别有关？25=≈.②参考公式：线性回归方程为ˆˆy bx a =+，其中()()()121ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-；相关系数()()niix x y y r --=∑||0.9r >，则可判断y 与x 线性相关较强；22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.附表：()20P K k ≥0.100.050.0100.0010k 2.7063.8416.63510.828【答案】（1）0.93，电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强（2）有关【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线性回归方程，结合相关系数公式计算作答；（2）根据22⨯列联表，计算2K 的值，并与对应的小概率值比较即得.【小问1详解】由22xs =，得()2212ni x i x x ns n =-==∑，由22545ys =，得()2212545ni y i n y y ns =-==∑，因为线性回归方程 4.79459.2y x =-，则()()()1214.7ˆniii ni i x x y y bx x ==--==-∑∑，即()()()2114.7 4.729.4n ni i i i i x x y y x x n r ==--=-=⨯=∑∑，因此相关系数()() 4.7 4.7250.930.9127127n iix x y y r --⨯===≈≈>∑，所以电动汽车销量y 与年份x 的线性相关性的较强.【小问2详解】零假设0H ：购买电动汽车与车主性别无关，由表中数据得：2290(3915306) 5.031 3.84145456921K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，依据小概率值0.05α=的独立性检验，推断0H 不成立，即认为购买电动汽车与车主性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.05.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA 与1BB ，12AB AC A B ===，1AC BC ==．（1）证明：平面11A ABB ⊥平面ABC ；（2）若点N 在棱11A C 上，求直线AN 与平面11A B C 所成角的正弦值的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）7【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质作线线垂直，结合线段长度及勾股定理判定线线垂直，根据线面垂直的判定与性质证明即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面角结合基本不等式求最值即可.【小问1详解】取棱1A A 中点D ，连接BD ，因为1AB A B =，所以1BD AA ⊥因为三棱柱111ABC A B C -，所以11//AA BB ，所以1BD BB ⊥，所以BD =因为2AB =，所以1AD =，12AA =；因为2AC =，1A C =，所以22211AC AA AC +=，所以1AC AA ⊥，同理AC AB ⊥，因为1AA AB A = ，且1AA ，AB ⊂平面11A ABB ，所以AC ⊥平面11A ABB ，因为AC ⊂平面ABC ，所以平面11A ABB ⊥平面ABC ；【小问2详解】取AB 中点O ，连接1AO ，取BC 中点P ，连接OP ，则//OP AC ，由（1）知AC ⊥平面11A ABB ，所以OP ⊥平面11A ABB 因为1AO 平面11A ABB ，AB ⊂平面11A ABB ，所以1OP A O ⊥，OP AB ⊥，因为11AB A A A B ==，则1A O AB⊥以O 为坐标原点，OP ，OB ，1OA 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则(0,1,0)A -，1A，1(0,B ，(2,1,0)C -，可设点(N a =，()02a ≤≤，()110,2,0A B =，(12,1,A C =-，(AN a =，设面11A B C 的法向量为(,,)n x y z =，得1110202n A B yn A C x y ⎧⋅==⎪⎨⋅==--⎪⎩ ，取x =，则0y =，2z =，所以n =设直线AN 与平面11A B C 所成角为θ，则sin cos ,n AN n AN n AN θ⋅=<>==⋅=若0a =，则sin 7θ=，若0a ≠，则sin 7θ=≤，当且仅当4a a=，即2a =时，等号成立，所以直线AN 与平面11A B C所成角的正弦值的最大值7.20.已知抛物线E ：24y x =，过点(1,1)P 作斜率互为相反数的直线,m n ，分别交抛物线E 于,A B 及,C D 两点．（1）若3PA BP =，求直线AB 的方程；（2）求证：CAP BDP ∠=∠．【答案】（1）y x =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由3PA BP = ，得12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩，又2114y x =，2224y x =，解得,A B两点的坐标，进而可得答案．（2）设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，联立直线AB 与抛物线的方程，结合韦达定理由弦长公式计算AP BP ⋅，同理可得CP DP ⋅，进而可得APC BPD ∽△△，即可得出答案．【小问1详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，∵(1,1)P ，∴22(1,1)BP x y =-- ，11(1,1)PA x y =--，∵3PA BP =，∴21213(1)13(1)1x x y y -=-⎧⎨-=-⎩，12124343x x y y =-⎧⎨=-⎩．又∵2114y x =，∴222(43)4(43)y x -=-，即2222384y y x -=-，又∵2224y x =，∴222480y y -=，20y =或22y =，当20y =时，20x =，∴14x =，14y =；当22y =时，21x =，∴11x =，12y =-，此时直线AB 的斜率不存在，舍去，∴(4,4)A ，(0,0)B ，∴直线AB 的方程为：y x =．【小问2详解】设直线AB ：(1)1y k x =-+，则直线CD ：(1)1y k x =--+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y，由2(1)14y k x y x =-+⎧⎨=⎩，即21(1)14x y ky x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，则24440y y k k -+-=，所以124y y k +=，1244y y k =-，又∵1||1|AP y =-，2||1|BP y =-，∴12121222211144||||1(1)(1)1()1141AP BP y y y y y y k k k kk ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+--=+-++=+--+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2131k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，同理可证：2211||||3131()CP DP k k ⎡⎤⎛⎫⋅=+=+ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦，∴||||||||AP BP CP DP ⋅=⋅，∴||||||||AP CP DP BP =，又∵CPA BPD ∠=∠，∴APC BPD ∽△△，∴CAP BDP ∠=∠．【点睛】方法点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与抛物线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．21.已知0a >，函数()()1ln 1f x a x x x =+-+.（1）若()f x 是增函数，求a 的取值范围；（2）证明：当102a <<，且1e a ≠时，存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【答案】（1）1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先利用导数判断导函数的单调性，再结合函数的单调性，即可求解；（2）首先求曲线ln y x =的切线方程，再与曲线1y a x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的方程联立，再根据判别式构造函数，()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，利用导数判断函数的单调性，并结合零点存在性定理判断函数有3个零点.【小问1详解】()f x 的定义域为()()10,,ln 1,x f x a x x ∞+⎛⎫+=- ⎪⎝⎭'+令()()()221111ln 1,a x x F x a x F x a x x x x -+⎛⎫⎛⎫'=+-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0F x '<，得01x <<；令()0F x '>，得1x >，故()f x '在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，从而()min 1()1210,2f x f a a ==-≥≥''，故a 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【小问2详解】设曲线ln y x =的切点为()1,ln ,(ln )t t x x'=，则曲线ln y x =在点(),ln t t 处的切线方程为()1ln y t x t t-=-.联立()1ln 1y t x t t y a x x ⎧-=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪=- ⎪⎪⎝⎭⎩，得()21ln 10a x t x a t ⎛⎫-+-+= ⎪⎝⎭，必有()2101Δln 140a t t a a t ⎧-≠⎪⎪⎨⎛⎫⎪=---= ⎪⎪⎝⎭⎩，记函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，由题2111,ln 10e a g a a ⎛⎫⎛⎫≠∴=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故当()0g t =时，11,0t a a t≠-≠.()()()222ln 12ln 144t t t a a g t tt t --+=+='记()()()()2ln 14,2ln 122ln h t t t a h t t t '=-+=-+=，令()0h t '<，得01t <<；令()0h t '>，得1t >，故()h t 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增.当102a <<，且1ea ≠时，(1)420,(e)40h a h a =-<=>，当0t →时，()4h t a →，故存在1201e t t <<<<，使得()()120h t h t ==，当10t t <<，或2t t >时，()()0,0h t g t >>'；当12t t t <<时，()()0,0h t g t <<'，故()g t 在()()120,,,t t +∞上单调递增，在()12,t t 上单调递减.由()10h t =，得()111ln 2t t a -=，代入()()21111ln 14g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭并整理得：()()()222111111ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦同理()()()222222221ln 11ln 12g t t t t t ⎡⎤=-+-+⎢⎥⎣⎦，记()()11ln 12x x x x ϕ=+-+，由（1）知()x ϕ为增函数，1201e t t <<<< ，()()2212(1)0,(1)0,t t ϕϕϕϕ∴<=>=，()()()()()()22111222ln 10,ln 10g t t t g t t t ϕϕ∴=->=-<又()2222142e 14110e e e a g a a ⎛⎫=-->->-> ⎪⎝⎭ ，当0t →时，()g t →-∞，()g t ∴有三个零点，∴存在三条直线123,,l l l 是曲线ln y x =的切线，也是曲线1y a x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的切线.【点睛】关键点睛：本题考查根据函数的导数判断函数的单调性，以及切线，零点，函数性质的综合应用问题，推理难度较大，第二问的关键是根据判别式来设函数()21(ln 1)4g t t a a t ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，转化为函数有3个零点问题.（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4]坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数）,以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，A 为曲线C 上一点.（1）求A 到直线l 距离的最大值；（2）若B 为直线l 与曲线C 第一象限的交点，且7π12AOB ∠=，求AOB 的面积.【答案】（1）4+（2）4+【解析】【分析】（1）由条件得出直线的普通方程和圆的参数方程，设(4cos ,44sin )A θθ+，利用点到直线的距离公式得到π)14d θ=+-，从而求出结果；（2）由条件求出点B 的坐标，设出,A B 的极坐标方程，再利用面积公式即可求出结果.【小问1详解】由44x y ⎧=⎪⎨=+⎪⎩，消t 得到80x y +-=，所以直线l 的普通方程为80x y +-=，因为曲线C 的极坐标方程为8sin ρθ=，所以28sin ρρθ=，又cos ,sin x y ρθθ==，所以曲线C 的普通方程为228x y y +=，即()22416x y +-=，所以曲线C 的参数方程为4cos 44sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（θ为参数），因为A 在圆C 上，设(4cos ,44sin )A θθ+，则A 到l 距离为πsin 1)14d θθ==+-=+-，所以当πsin(14θ+=-时，A 到l 距离最大，为4+.【小问2详解】由22808x y x y y+-=⎧⎨+=⎩，消y 得到240x x -=，解得0x =或4x =，又因为B 在第一象限，所以()4,4B ，点A ，B 在曲线C 上，由题可设17,412A ππρ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，2,4B πρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入曲线C 的极坐标方程得17π5π8sin 8sin 44126OA πρ⎛⎫==+== ⎪⎝⎭，2π8sin 4OB ρ===，又因为7πππππππsin sin sin sin cos cos sin 124343434AOB ⎛⎫∠==+=+= ⎪⎝⎭，故AOB 的面积为14424S =⨯⨯=+.[选修4-5]不等式选讲23.已知a ，b 均不为零，且满足221a b +=．证明：（1）a b +≤（2）331a b b a+≥．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据完全平方式有222||||(||||)2||||1a b a b a b +=+-⋅=，再利用基本不等式即可证明；（2）根据条件将原式化简为332||a b a b ab b a b a+=+-，再利用基本不等式即可证明.【小问1详解】221a b +=，22||||1a b ∴+=，222||||(||||)2||||1a b a b a b ∴+=+-⋅=.根据基本不等式得22(||||)(||||)12||||2a b a b a b ++-=⋅≤,当且仅当||||2a b ==时,等号成立.整理得2(||||)2a b +≤,a b ∴+≤【小问2详解】()()33222211a b a b a b a b b a b a b a b a +=⋅+⋅=⋅-+⋅-||||2||a b a b ab ab ab b a b a=-+-=+-，由基本不等式和不等式的性质,得2a b b a +≥=，222||1ab a b ≤+=，故2||211a b ab b a+-≥-=，当且仅当||||2a b ==时,等号成立,331.a b b a∴+≥。

南山实验2024届补习年级文科数学二诊模拟四（答案在最后）一、单选题1.已知集合{}Z 33U x x =∈-<<，{}2,1A =-，{}2,2B =-，则()UB A ⋃=ð（）A.{}2,1,2-B.{}2,0,2-C.{}2,1,0,2-- D.{}2,1,2--【答案】C 【解析】【分析】先化简U ，再求出U A ð，进而求出()U A B ð即可.【详解】解：因为{}{}Z 332,1,0,1,2U x x =∈-<<=--，{}2,1A =-，所以{}1,0,2U A =-ð，所以(){}2102U A B ,,,=-- ð.故选：C2.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，则渐近线方程是（）A.12y x =±B.2y x=± C.y = D.3y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据条件得出ba=.【详解】由双曲线方程22221x y a b-=，知渐近线方程为b y x a =±，又因为2c e a ==，222c a b =+，所以222224c a b a a+==，得到b a =所以双曲线渐近线方程为y =，故选：C.3.“sin tan αα<”是“α为第一象限角”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】判断sin tan αα<，即判断()sin tan tan cos 10αααα-=-<，根据cos 10α-<在象限中恒成立即可判断出α所在象限，最后根据充分条件和必要条件定义即可得出答案.【详解】()sin tan tan cos 1αααα-=-，若α为第一象限角或第三象限角，则()tan cos 10αα-<，即sin tan αα<；若α为第二象限角或第四象限角，则()tan cos 10αα->，即sin tan αα>.故“sin tan αα<”是“α为第一象限角”的必要不充分条件.故选：B.4.已知0,0x y >>，且211x y+=，若222x y m m +>-恒成立，则实数m 的取值范围是（）A.(2,4)B.(1,2)C.(2,1)- D.(2,4)-【答案】D 【解析】【分析】先把2x y +转化为()212x y x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式即可求2x y +的最小值，然后根据222x y m m +>-恒成立，求得22m m -小于2x y +的最小值，解不等式即可.【详解】因为211x y+=，所以()()2444412248y x x y x y x y x y ⎛⎫==++≥+=+= ⎪⎝++⎭+，当且仅当4,2x y ==等号成立若222x y m m +>-恒成立，则()2min 228m m x y -<+=，解得：24m -<<，故选：D【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题.5.在ABC 中，3,0BQ QC AP BP =+=，则（）A.1344PQ AC AB=+ B.2133PQ AB AC=+C.3144PQ AC AB=- D.1344PQ AC AB=- 【答案】C 【解析】【分析】根据3,0BQ QC AP BP =+=，利用平面向量的线性运算求解.【详解】因为3BQ QC =，所以34BQ BC = ，所以()31334444AQ AB BQ AB BC AB AC AB AB AC +=+-++===,因为0AP BP +=，所以P 为AB 的中点，12AP AB= 则3131244441PQ AQ AP AB AC AB AC AB ---+=== ，所以3144PQ AC AB =- ，故选：C6.下列命题中，真命题的是（）A.若回归方程ˆ04506yx =-+..，则变量y 与x 正相关B.线性回归分析中相关指数2R 用来刻画回归的效果，若2R 值越小，则模型的拟合效果越好C.若样本数据1210,,,x x x 的方差为2，则数据121021,21,,21x x x --- 的标准差为4D.一个人连续射击三次，若事件“至少击中两次”的概率为0.7，则事件“至多击中一次”的概率为0.3【答案】D 【解析】【分析】利用正负相关的意义判断A ；利用相关指数的意义判断B ；求出标准差判断C ；利用对立事件求出概率判断D.【详解】对于A ，回归方程ˆ04506yx =-+..，由0.450-<，得变量y 与x 负相关，A 错误；对于B ，2R 值越接近于1，模型的拟合效果越好，越接近于0，模型的拟合效果越差，B 错误；对于C ，数据121021,21,,21x x x --- 的方差为2228⨯=，标准差为，C 错误；对于D ，“至多击中一次”的事件是“至少击中两次”的事件的对立事件，则事件“至多击中一次”的概率为0.3，D 正确.故选：D7.已知函数()12x f x -=，若1a b <<，且2a c +>，则（）A.()()()f a f b f c <<B.()()()f c f b f a <<C.()()()f b f a f c <<D.()()()f a f c f b <<【答案】C 【解析】【分析】函数()f x 是关于直线x =1对称的，在1x >和1x ≤是单调性是相反的，利用以上特点，不难判断.【详解】由题可知()112,12,1x x x f x x --⎧≤=⎨>⎩，当1x ≤时是减函数，当1x >时是增函数；由于()()211222x x f x f x ----===，直线x =1是()f x 的对称轴；1a b << ，()()f a f b ∴>，由2a c +>可知，21c a >->，由对称性可知()()()2f c f a f a >-=，()()()f c f a f b ∴>>；故选：C.8.在各项均为正数的数列{}n a 中,12a =,2211230n n n n a a a a ++--=,n S 为{}n a 的前n 项和,若242n S =,则n =（）A.5B.6C.7D.8【答案】A 【解析】【分析】由2211230n n n n a a a a ++--=,化简可得()()1130n n n n a a a a ++-+=,得13n n a a +=或1n n a a +=-,因为各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列,根据等比数列前n 项和公式即可求得答案.【详解】 2211230n n n n a a a a ++--=,得()()1130n n n n a a a a ++-+=，∴13n n a a +=或1n n a a +=-，又 各项均为正数,故13n n a a +=符合题意,1n n a a +=-不符题意舍去.12a =,13n n a a +=,所以数列{}n a 为首项为2,公比为3的等比数列则()21324213n n S -==-，解得5n =，故选:A.【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的前n 项和公式的应用.解题关键是掌握等比数列前n 项和公式,考查了计算能力,属于中档题9.在直角坐标平面内，点()1,1A -到直线l 的距离为3，点()4,3B 到直线l 的距离为2，则满足条件的直线l 的条数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】将问题转化为求以点(1,1)A -为圆心，以3为半径的圆和以点()4,3B 为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，【详解】到点(1,1)A -距离为3的直线可看作以A 为圆心3为半径的圆的切线，同理到点()4,3B 距离为2的直线可看作以B 为圆心2为半径的圆的切线，故所求直线为两圆的公切线，又||523AB ===+，故两圆外切，所以公切线有3条，故选：C10.在某病毒疫苗的研发过程中，需要利用基因编辑小鼠进行动物实验．现随机抽取100只基因编辑小鼠对该病毒疫苗进行实验，得到如下2×2列联表（部分数据缺失）：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗1050未注射疫苗3050合计30100计算可知，根据小概率值α＝________的独立性检验，分析“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”（）附：()()()()()22n ad bca b c d a c b dχ-=++++，n＝a＋b＋c＋d.α0.10.050.010.0050.001xα 2.706 3.841 6.6357.87910.828A.0.001B.0.05C.0.01D.0.005【答案】B【解析】【分析】计算卡方，再根据独立性检验的概念判断即可.【详解】完善2×2列联表如下：被某病毒感染未被某病毒感染合计注射疫苗104050未注射疫苗203050合计3070100零假设为H0：“给基因编辑小鼠注射该种疫苗不能起到预防该病毒感染的效果”．因为χ2＝()2100103020402 4.762,3.841 4.762 6.63530705050χ⨯-⨯=≈<<⨯⨯⨯，所以根据小概率值0.05α=的独立性检验，推断H0不成立，即认为“给基因编辑小鼠注射该种疫苗能起到预防该病毒感染的效果”．故选：B.11.已知函数π()4sin()0,||2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，(0)(4)2f f ==-，函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极大值但没有极小值，则ω的最小值为（）A.π6B.π3 C.5π6D.4π3【答案】B 【解析】【分析】先由(0)2f =-求出ϕ，再由题意知2x =时，函数()f x 取得最大值，从而求出ω，得到答案.【详解】∵4sin 2(0)f ϕ==-，∴1sin 2ϕ=-．又||2ϕπ<，∴π6ϕ=-，所以π()4sin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为(0)(4)f f =，且函数()f x 在(0,4)上有且仅有一个极大值但没有极小值，所以当0422x +==时，函数()f x 取到最大值（也是极大值），此时π122ππ62k ω-=+，k ∈Z ．解得ππ3k ω=+，k ∈Z ．所以当0k =时，π3ω=,此时()ππ4sin 36f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令ππ3π2π,362x m m -=+∈Z ，则65x m =+，所以函数图象在y 轴右侧的第一个最小值点的横坐标为5，因45<，故π3ω=符合题设,故选：B .12.已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2xg x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x =的最大值为3x ，则A.123x x x >> B.213x x x >> C.312x x x >> D.321x x x >>【答案】A 【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系.【详解】()1xf x e x x'=+-在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110xe x x +-= 函数()2x gx e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭又()()11111211112220xg x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭且()g x 单调递增12x x ∴>由()21ln 2x h x x -'=可得：()()max12h x h e e ==，即31124x e =<123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.二、填空题13.若复数i 1iaz =++为实数，则实数=a _________.【答案】2【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，即可根据复数的分类求解.【详解】()()()()1i 1i i=i=i=1i 1i 1i 1i 222a a a a a z --⎛⎫=++++- ⎪++-⎝⎭，由于i 1ia z =++为实数，则102a-=，得2a =，故答案为：214.已知函数()22,12,1x x f x x x x +≤-⎧=⎨-+>-⎩，则不等式()3f x >-的解集是______.【答案】()5,3-【解析】【分析】分1x ≤-、1x >-两种情况解不等式()3f x >-，综合可得出原不等式的解集.【详解】当1x ≤-时，由()3f x >-得23x +>-，解得5x >-，此时，51x -<≤-；当1x >-时，由()3f x >-得223x x -+>-，即2230x x --<，解得13x -<<，此时，13x -<<.综上所述，不等式()3f x >-的解集是()5,3-.故答案为：()5,3-.15.在圆224x y +=内随机地取一点(),P x y ，则该点坐标满足()()2210y x x y -++≤的概率为________．【答案】12##0.5【解析】【分析】根据条件得到20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩，结合224x y +=画出符合要求的可行域，根据圆的性质及直线20y x -=，210x y ++=的位置关系确定可行域与圆面积的比例，即可求得概率.【详解】要满足()()2210y x x y -++≤，则20210y x x y -≤⎧⎨++≤⎩①或20210y x x y -≥⎧⎨++≥⎩②，在平面直角坐标系中分别作出不等式组①、②和圆224x y +=，则满足要求的可行域如下图阴影部分所示：由图知：在圆224x y +=内随机取(),P x y 在阴影部分，而直线20y x -=过圆心()0,0，且直线20y x -=与直线210x y ++=相互垂直，所以图中阴影部分的面积为圆面积的12，故点(),P x y 满足()()2210y x x y -++≤的概率为12，故答案为：12.16.抛物线有一条重要性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.过抛物线C ：24x y =上的点P （不为原点）作C 的切线l ，过坐标原点O 作OQ l ⊥，垂足为Q ，直线PF （F 为抛物线的焦点）与直线OQ 交于点T ，点(2,0)A ，则TA 的取值范围是______.【答案】1⎤-+⎦【解析】【分析】设点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，切线l 的方程为()24t y k x t -=-，可求得切线的斜率，由OQ l ⊥可求得OQ 的方程，与直线PF 联立可求得点T 的坐标，消参可求得点T 的轨迹方程，结合图形可求得TA 的范围.【详解】因为点P 为抛物线C ：24x y =上的点（不为原点），所以可设点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，且()0,1F ，当切线l 的斜率不存在时，不合题意；当切线l 的斜率存在时，可设为()24t y k x t -=-，联立()2244t y k x t x y ⎧-=-⎪⎨⎪=⎩，消去y 可得()224x t k x t -=-，化简可得22440x kx kt t -+-=，令Δ0=，可得()2216440k kt t --=，化简可得()220k t -=，即2t k =，又OQ l ⊥，所以OQ 的斜率2OQ k t=-，所以OQ 的方程2y tx =-，因为点()2,04t P t t ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭，()0,1F ，所以PF 的斜率为2214404PF t t k t t--==-，则PF 的方程为2414t y x t-=+，联立22414y x t t y x t ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，解得224484t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2248,44t T t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，由224484t x t y t ⎧=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩两式相除可得2x t y =-，即2x t y =-，由0t ≠，可得0x ≠，再代入284x t =+，可得22844y x y=+，化简可得2220x y y +-=，可得()2211x y +-=()0x ≠，可知点T 轨迹为半径为1的圆，圆心为()0,1F，结合图形可知AF r TA AF r -≤≤+，又1r =，AF ==，则1TA ⎤∈⎦.故答案为：1⎤-⎦.【点睛】关键点睛：本题难点在于如何求出T 点的轨迹方程，可借助参数得出两直线的方程，联立后用参数表示该交点坐标，借助交点坐标消去参数，即可求得该点的轨迹方程.三、解答题17.“双十二”是继“双十一”之后的又一个网购狂欢节，为了刺激“双十二”的消费，某电子商务公司决定对“双十一”的网购者发放电子优惠券．为此，公司从“双十一”的网购消费者中用随机抽样的方法抽取了100人，将其购物金额（单位：万元）按照[)0.1,0.2，[)0.2,0.3，....，[]0.9,1分组，得到如下频率分布直方图根据调查，该电子商务公司制定了发放电子优惠券的办法如下：购物金额（单位：万元）分组[)0.3,0.6[)0.6,0.8[]0.8,1发放金额（单位：万元）50100200（1）求购物者获得电子优惠券金额的平均数；（2）从这100名购物金额不少于0.8万元的人中任取2人，求这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率．【答案】（1）64万元（2）1021【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得平均数.（2）利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案.【小问1详解】购物金额在[)0.3,0.6的频率为()1.52 2.50.10.6++⨯=，购物金额在[)0.6,0.8的频率为()1.50.50.10.2+⨯=，购物金额在[]0.8,1的频率为()0.50.20.10.07+⨯=，所以购物者获得电子优惠券金额的平均数为：500.61000.22000.0730201464⨯+⨯+⨯=++=万元.【小问2详解】购物金额在[)0.8,0.9的频率为0.50.10.05⨯=，购物金额在[]0.9,1的频率为0.20.10.02⨯=，所以购物金额在[)0.8,0.9的有5人，记为1,2,3,4,5，购物金额在[]0.9,1的有2人，记为6,7，从中任取2人，基本事件有{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,1,7，{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,2,6,2,7，{}{}{}{}3,4,3,5,3,6,3,7，{}{}{}{}{}{}4,5,4,6,4,7,5,6,5,7,6,7，共21种，其中两人都在[)0.8,0.9的有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}1,2,1,3,1,4,1,5,2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，所以这两人的购物金额在0.8～0.9万元的概率为1021.18.已知数列{}n a 满足211233333n n n a a a a -++++=L ，数列{}n b 首项为2，且满足()11n n nb n b +=+.（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式（2）记集合()141,N n n n n M nb b b n a λ*+⎧⎫⎪⎪=≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，若集合M 的元素个数为2，求实数λ的取值范围.【答案】（1）13n n a =，*2,N n b n n =∈（2）2028(,99【解析】【分析】（1）根据题意，当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ，求得13n n a =，再由101n n b b n n +-=+，结合等差数列的定义，求得2n b n =，得到{}n b 的通项公式.（2）根据题意，转化为()()*121|,N 3n n n n M n n λ⎧⎫++=≤∈⎨⎬⎩⎭，记()()1213n n n n n P ++=，化简()()21112173n n n n n P P ++⎡⎤-+--⎣⎦-=，得出数列的单调性，结合题意，即可求解.【小问1详解】解：由211233333n n n a a a a -++++=L ，当2n ≥时，22123113333n n n a a a a ---++++= ，相减可得1113333n n n n a --=-=，故13n n a =，当1n =时，113a =也符合上式，所以*1,N 3n n a n =∈，又由()11n n nb n b +=+，可得101n n b b n n +-=+，所以数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为公差为0的等差数列，且首项为2，所以2n b n=，则*2,N n b n n =∈.【小问2详解】解：由*2,N n b n n =∈和()*141,n n n n M n b b b n a λ+⎧⎫⎪⎪=≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭N ，可得()()*121|,N 3nn n n M n n λ⎧⎫++=≤∈⎨⎬⎩⎭，记()()1213n n n n n P ++=，则()()()1112233n n n n n P +++++=，所以()()21112173n n n n n P P ++⎡⎤-+--⎣⎦-=，当1n =时，210P P ->，当2n ≥时，234P P P >>> ，此时{}n P 单调递减，而()()()()3028202,12,3,4999P P P P ====，由于集合M 的元素个数为2，所以{}2,3M =，所以202899λ<≤，即实数λ的取值范围为2028(,99.19.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，2b =，4c =.（1）若D 是边BC 的中点，且AD =cos B 的值；（2）若π3C B -=，求ABC 的面积.【答案】（1）78（2）【解析】【分析】（1）根据三角形的余弦定理结合已知条件即可；（2）利用三角形的正弦定理以及两角和的正弦公式和三角形面积公式即可.【小问1详解】如图所示：因为πADB ADC ∠+∠=，所以πADB ADC ∠=-∠，所以()cos cos πcos ADB ADC ADC ∠=-∠=-∠，所以cos cos 0ADB ADC ∠+∠=，在ABD △中，由余弦定理的推论得：222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅⋅，在ACD 中，由余弦定理的推论得：222cos 2AD CD AC ADC AD CD+-∠=⋅⋅，所以222222022AD BD AB AD CD AC AD BD AD CD+-+-+=⋅⋅⋅⋅因为D 是边BC 的中点，所以BD CD =，代入上式整理得：2222220AD BD AB AC +--=，因为4,2,A A AB c C b D =====，所以222222420BD +--=，解得：2BD =或2BD =-（舍去），所以24a BC BD ===，在ABC 中，由余弦定理的推论得：2222224427cos 22448a cb B ac +-+-===⨯⨯.【小问2详解】由π3C B -=，则π3C B =+，在ABC 中，由正弦定理得：sin sin b c B C=，因为2,4b c ==，所以24πsin sin 3B B =⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以πsin 2sin 3B B ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即13sin 2sin 22B B B +=，则cos B B =，若cos 0sin 0B B =⇒=，与22cos sin 1B B +=矛盾，所以cos 0B ≠，所以3tan 3B =，因为0πB <<且π2B ≠，所以π6B =，所以πππ632C =+=，所以ππ3A B C =--=，所以ABC 的面积为：11sin 24222ABC S bc A ==⨯⨯⨯=20.已知函数()ln f x ax x =-.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若存在0a >，使得()22a f xb ≥+对任意()0,x ∈+∞成立，求实数b 的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）求导后分类讨论即可（2）承接第一问用导数求最值【小问1详解】由题()1,0f x a x x'=->.当0a ≤时，()()0,f x f x '<在()0,∞+上单调递减；当0a >时，由()0f x '=解得1x a =.所以，当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>；所以，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；【小问2详解】由（1）知：当0a >时，min 1()1ln f x f a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭所以，存在0a >，使21ln 2a a b +≥+成立，即存在0a >，使21ln 2a ab +-≥成立令()21ln 2a g a a =+-，则()211a g a a a a-=-='所以，()g a 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()112g a g ≤=.所以b 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦21.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，过点()0,B b 且与直线2BF 垂直的直线交x 轴负半轴于D ，且12220F F F D += .（1）若过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x --=相切，求椭圆Γ的方程；（2）设2a =.过椭圆Γ右焦点2F 且不与坐标轴垂直的直线l 与椭圆Γ交于P 、Q 两点，点M 是点P 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得M 、Q 、N 三点共线？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】（1）2211612x y +=；（2）存在，(4,0)N .【解析】【分析】（1）设出焦点12,F F ，表示出点D ，再由垂直关系及切线方程求出,,a b c 即得.（2）由（1）中信息求出椭圆方程，设出直线l 的方程并与椭圆方程联立，求出直线MQ 的方程，结合韦达定理计算即得.【小问1详解】依题意，设12(,0),(,0)F c F c -，由12220F F F D += ，得1F 是线段2F D 的中点，则()3,0D c -，由直线BD 与2BF 垂直，得1212BF DF =，则1||2a BF c ===显然过B 、D 、2F 三点的圆的圆心为1(,0)F c -，半径为2r c =，由过B 、D 、2F 三点的圆恰好与直线:60l x -=相切，得2c =，解得2c =，有24a c ==，212b =，所以椭圆Γ的方程为2211612x y +=.【小问2详解】由（1）及2a =，得1,c b ==2(1,0)F ，椭圆Γ的方程为22143x y +=，设直线l 方程为1x ty =+，1122(,),(,)P x y Q x y ，则11(,)M x y -，由221431x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x 并整理得22(43)690t y ty ++-=，223636(43)0t t ∆=++>，12122269,4343t y y y y t t --+==++，直线MQ 的方程为211112()x x x x y y y y --=++，令0y =得211112()x x y x x y y -=++2111111212x y x y x y x y y y -++=+211212x y x y y y +=+211212(1)(1)ty y ty y y y +++=+1212121212221ty y y y ty y y y y y ++==+++2(9)146t t⨯-=+=-，所以在x 轴上存在一个定点(4,0)N ，使得M 、Q 、N 三点共线.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t y t⎧=⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为sin cos 203ρθρθ++=．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）过点)P 作直线l 的平行线交曲线C 于M ，N 两点（M 在x 轴上方），求11PM PN -的值．【答案】（1）24y x =，203++=x y ；（2）12【解析】【分析】（1）根据参数方程与普通方程的关系以及极坐标方程与直角坐标方程的互化关系求解；（2）利用直线参数方程的几何意义求解.【小问1详解】将22x t y t⎧=⎨=⎩中的参数t 消去，得曲线C 的普通方程为24y x =．将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入sin cos 203ρθρθ++=，得直线l 的直角坐标方程为3203++=x y ．【小问2详解】易知直线l的参数方程为212x y m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（m 为参数），代入24y x =，得20m +-，设M 对应的参数为1m ，N 对应的参数为2m ，则12m m +=-，12m m =-10m >，20m <，所以1212121211111112m m PM PN m m m m m m +-=-=+==．23.设函数()4f x x x a =+-，其中R a ∈.（1）当6a =时，求曲线()y f x =与直线480x y -+=围成的三角形的面积；（2）若a<0，且不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-，求a 的值.【答案】（1）64（2）17-【解析】【分析】（1）由题知()56,636,6x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩，进而分别求解相应的交点，计算距离，再计算面积即可；（2）分x a ≥和x a <两种情况求解得()2f x <的解集为2{|}5a x x +<，进而结合题意求解即可.【小问1详解】解：根据题意，当6a =时，()56,64636,6x x f x x x x x -≥⎧=+-=⎨+<⎩，所以，()624f =，设(6,24)C ；直线480x y -+=与36y x =+交于点(2,0)A -，与直线56y x =-交于点(14,64)B ，且AB =点(6,24)C 到直线480x y -+=的距离d =，所以，要求图形的面积1642S AB d =⨯⨯=；【小问2详解】解：当x a ≥时，()5f x x a =-，()2f x <，即52x a -<，解可得25a x +<，此时有25a a x +≤<，当x a <时，()3f x x a =+，()2f x <，即32x a +<，解可得23a x -<，又由a<0，则23a a ->，此时有x a <，综合可得：不等式的解集为2{|}5a x x +<，因为不等式()2f x <的解集是(,3)-∞-所以，235a +=-，解可得17a =-；。

2020届四川省绵阳南山中学高三二诊热身考试数学（文）试题一、单选题 1．设全集，集合，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】D【解析】利用补集概念及运算即可得到结果. 【详解】 ∵全集，集合，∴，故选：D 【点睛】本题考查补集的概念及运算，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数11iz =+的共轭复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】化简复数z ，根据共轭复数的定义求出共轭复数，结合复数的几何意义进行判断即可． 【详解】∵111i z i=+=-， ∴1z i =+∴共轭复数z 在复平面内对应的点()1,1， ∴共轭复数z 在复平面内对应的点位于第一象限， 故选A 【点睛】本题主要考查复数的几何意义，复数的除法运算，根据共轭复数的定义求出共轭复数是解决本题的关键． 3．双曲线的一条渐近线方程为，则该双曲线的离心率为（ ）A．B．C．D．2【答案】C【解析】利用双曲线的渐近线方程，转化求出双曲线的离心率即可．【详解】解：双曲线的一条渐近线方程为，可得，即，解得e2，e．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，涉及双曲线的渐近线方程，离心率等知识，考查计算能力．4．福利彩票“双色球”中红色球的号码由编号为01，02，…，33的33个个体组成，某彩民利用下面的随机数表选取6组数作为6个红色球的编号，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个红色球的编号为（）A．23 B．09 C．02 D．17【答案】C【解析】根据随机数表的使用规则逐个选出，即可得解.【详解】从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的6个红色球的编号依次为21，32，09，16，17，02，故选出的第6个红色球的编号为02. 故选：C.【点睛】本题考查了随机数表的用法，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A ．s ≤34?B ．s ≤56?C ．s ≤1112?D ．s ≤2524?【答案】C【解析】试题分析：模拟执行程序框图，k 的值依次为0,2,4,8,，因此1111124612s =++=（此时6k =），因此可填1112s ≤，故选C. 【考点】程序框图及循环结构.6．刘徽是我国魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，就是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆的面积并以此求取圆周率的方法.如图所示，正十二边形的中心为圆心，圆的半径为2.现随机向圆内投放粒豆子，其中有粒豆子落在正十二边形内（，），则圆周率的近似值是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：，所以，即π，得解【详解】解：由几何概型中的面积型可得：，所以，即π，故选：B ． 【点睛】本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，考查计算能力，属中档题 7．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭在[3,0)(0,3]-U 上的图象大致是 A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】化简函数的解析式可得()()f x f x -=-，得到函数的图象关于原点对称，再由(1)0f >，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数1()cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()()1()cos f x x x f x x ⎛⎫-=-+-=- ⎪-⎝⎭，函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除C ，D ， 又由1(1)1cos 110f ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，排除B ， 故选A ．. 【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟记函数的奇偶性的定义和判定方法，以及余弦函数的性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．在平面直角坐标系内，过定点P的直线l：ax＋y－1＝0与过定点Q的直线m：x－ay＋3＝0相交于点M，则|MP|2＋|MQ|2＝（）A．10B．10C．5 D．10【答案】D【解析】先计算P（0，1），Q（－3，0），再根据垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2计算得到答案.【详解】由题意知P（0，1），Q（－3，0）∵过定点P的直线ax＋y－1＝0与过定点Q的直线x－ay＋3＝0垂直，∴MP⊥MQ，∴|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2＝9＋1＝10.故选：D【点睛】本题考查了直线过定点问题，抓住垂直关系得到|MP|2＋|MQ|2＝|PQ|2是解题的关键. 9．某城市有连接8个小区A、B、C、D、E、F、G、H和市中心O的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A前往小区C，则他不经过市中心O的概率是（）A．13B．23C．14D．34【答案】A【解析】列出所有从小区A前往H的最短路径,找出符合不经过市中心的情况计算即可. 【详解】此人从小区A前往H的所有最短路径为：A B C E H→→→→，A B O E H→→→→，A B O G H→→→→，A D O E H→→→→，A D O G H→→→→，A D F G H→→→→，共6条，记“此人不经过市中心O”为事件M，则M包含的基本事件为：A B C E H→→→→，A D F G H→→→→，共2条，∴()2163P M ==，即他经过市中心的概率为13. 故选：A. 【点睛】本题考查了古典概型概率的计算，属于基础题.10．已知过抛物线y 2＝6x 焦点的弦长为12，则该弦所在直线的倾斜角是( )A ．6π或56π B ．4π或34πC ．3π或23πD ．2π【答案】B【解析】根据抛物线方程，求得焦点坐标为F （32，0），从而设所求直线方程为y=k （x ﹣32）．再将所得方程与抛物线y 2=6x 消去y ，得k 2x 2﹣（3k 2+6）x+94k 2=0，利用一元二次根与系数的关系，得x 1+x 2=2236k k +，最后结合直线过抛物线y 2=6x 焦点截得弦长为12，得到x 1+x 2+3=12，所以2236k k+=9，解之得k 2=1，得到直线的倾斜角． 【详解】∵抛物线y 2＝6x ，∴2p ＝6.∴322p = ， 即焦点坐标F 3,02⎛⎫⎪⎝⎭. 设所求直线方程为y ＝k 32x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与抛物线y 2＝6x 消去y ， 得k 2x 2－(3k 2＋6)x ＋94k 2＝0. 设直线交抛物线于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2236k k+ . ∵直线过抛物线y 2＝6x 焦点，弦长为12，∴x 1＋x 2＋3＝12.∴x 1＋x 2＝9，即2236k k +＝9，解得k 2＝1，k ＝tan α＝±1. ∵α∈[0，π)，∴α＝4π或34π. 故选B【点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P 的坐标．2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得02pPF x =+；若过焦点的弦AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．11．设m ，n ∈R ，若直线(1)(1)20m x n y +++-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则m n +的取值范围是（ ）． A ．[13,13]-+ B ．(),1313,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣UC ．[222,222]-+D ．(),222222,⎤⎡-∞-++∞⎦⎣U【答案】D【解析】试题分析：因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)+(y 1)=1x --相切,所以()()22+1++1-2=1+1++1m n m n ，即=++1mn m n ，所以()2+=++14m n mn m n ≤，所以+m n 的取值范围是(,222][2+22,+)-∞-⋃∞。