非线性有限元
博士研究生专业课课程报告
目录
第一章绪言 (1)
1.1 非固体力学非线性问题的分类[1] (1)
1.2 非线性问题的分析过程[1] (2)
1.3 非线性有限元分析的基本原理 (2)
1.4 钢筋混凝土非线性分析的特点、现状及趋势 (3)
第二章非线性方程组的数值解法 (4)
2.1逐步增量法[3,4,5] (4)
2.2迭代法[3,4,5] (6)
2.3收敛标准 (8)
2.3.1.位移收敛准则 (8)
2.3.2.不平衡力收敛准则 (8)
2.3.3.能量收敛准则 (9)
2.4结构负刚度的处理[4,5] (9)
第三章材料的本构关系 (13)
3.1 钢筋的本构关系 (13)
3.1.1 单向加载下的应力应变关系 (13)
3.1.2 反复加载下的应力应变关系 (14)
3.2 混凝土的本构关系 (14)
3.2.1 单向加载下的应力应变关系 (14)
3.2.2 重复加载下的应力应变关系 (14)
3.2.3 反复加载下的应力应变关系 (14)
3.3 恢复力模型的分类 (14)
3.4 恢复力的获得方法 (15)
第四章非线性有限元在结构倒塌反应中的应用 (17)
4.1 钢筋混凝土结构倒塌反应研究现状 (17)
4.2 钢筋混凝土的有限元模型 (17)
4.2.1分离式模型 (18)
4.2.2组合式模型 (19)
4.2.3整体式模型 (20)
4.3 倒塌反应中RC结构有限元分析方法的选择 (20)
4.3.1隐式有限单元法 (21)
4.3.2显式有限单元法 (22)
4.4 钢筋混凝土框架结构的倒塌反应分析 (22)
4.4.1基于隐式有限单元法的倒塌分析 (22)
4.4.2 基于显式有限单元法的倒塌分析 (23)
4.5显式有限法在倒塌反应分析中的问题 (24)
第一章绪言
1.1 非固体力学非线性问题的分类[1]
从本质上讲，所有固体力学问题都是非线性的，很少有解析解，线性弹性力学问题只是实际问题的一种简化假定。在有限元分析中，线性化假设通常包含以下内容：第一，节点位移为微小量；第二，材料是线性弹性的：第三，物体运动或变形过程中，边界条件的性质保持不变。上述三个假设中的任何一个不满足，都属于非线性问题。
有鉴于此，我们通常把固体力学非线性问题分成三大类，即材料非线性、几何非线性和边界条件非线性。
一、材料非线性
材料非线性是指材料的物理定律是非线性的，简单地说，就是材料的应力应变关系是非线性的。通常，位移分量仍假设为无限小量，即应变位移间满足线性关系。材料非线性问题一般分成两大类，第一类是非线性弹性问题，橡皮、塑料、岩石等材料的应力应变关系在很小的应变下就表现出明显的非线性性质。非线性弹性问题的一个重要特点是所有变形卸载后都是可以恢复的。另一类是具有不可逆的塑性变形的材料非线性问题，如弹塑性问题、粘弹塑性问题等，岩土工程中的软粘土和屈服以后的钢材都属于这类材料。
二、几何非线性
几何非线性问题一般指的是大位移问题，或者结构内部的应变较大，或者结构经历了较大的刚体位移(如平动或转动)但应变分量仍假设为微小，此时假定应力—应变关系仍然是线性的。大多数的大位移问题都属于后者，只有在材料出现塑性变形时，以及类似橡皮这样的材料才会遇到大的应变。一般的，几何非线性问题的应变和位移间不再满足线性关系。
几何非线性问题的另一个表现是，平衡方程必须相对于预先未知的变形后的几何位置给出。实际上，所有问题的平衡都是在变形后的位置上达到的，因此必须用己变形的位置写出它的平衡方程。在弹性力学中，由于假设位移很小，且假定问题的基本特征不因变形而改变，因此不需要严格区分平衡方程是基于变形前还是变形后的位置写出的。必须理解，位移的大小并不是区分几何线性和非线性的惟一标准。压杆失稳后的变形研究、板壳大挠度问题等均属于几何非线性问题。
三、边界非线性
边界非线性问题的非线性效应是由于边界条件随物体的运动发生变化所引起的。其中最典型的例子是接触问题和随动荷载问题。实际上，几乎所有力学问题都或多或少地存在边界非线性，特别是在支座连接处。只是大部分情况下，由于这种非线性对结构的内力和变形影响很小而被忽略了。而机械加工过程中的边界非线性效应往往是不可忽略的。
关于非线性问题的分类，有两点是必须注意的：第一，不可能存在一个明确、不变的定量标准可以作为材料、几何或边界非线性的判断依据。分析人员必须依据实际的工程问题进行判断。第二，实际的非线性问题很难简单地归纳为某一类非线性，一般的情况是，物体的位移和应变都不是无限小量，本构关系也是非线
性的，同时边界条件也可能随变形的发展而改变，这就大大地增加了问题分析的困难。为简化分析，抓住主要的非线性影响因素，必须将一些对物体运动和变形影响不大的非线性因素线性简化。
1.2 非线性问题的分析过程[1]
应用有限元法分析线性问题和非线性问题，其基本步骤大体相同，但由于非线性的引入，具体分析过程中会有所不同：
1. 单元分析。与线性问题相比，非线性问题在单元刚度形成时有很大差别：当仅为材料非线性问题时，应使用材料的非线性本构关系；而当仅为几何非线性问题时，在计算应变—位移矩阵[B]时，应计及位移的高阶导数项的影响。同时，对于所有的积分，应考虑单元体积的变化。在兼有几何非线性和材料非线性的两种非线性问题，即是大位移、大应变的情况，而应力—应变关系也是非线性的，则应考虑这两种非线性的耦合效应。
2. 整体分析。整体分析中单元刚度矩阵的组集和边界条件的处理，大体上也同于线性问题，只是对整体的刚度方程通常是写成增量形式。
3. 方程组求解。非线性有限元分析最终归结为求解非线性方程组，与线性方程组的求解有很大差别。
长期以来，人们做了大量的研究工作归结出两类结构非线性分析方法。一类是极限分析方法，这一方法假设材料为刚塑性，忽略材料的弹性变形和强化效应。按这种理论求解结构的极限荷载、应力分布区及结构的满足塑性流动法则和机动条件的破坏机构，方法简单明了，但它不能得到结构从加载到破坏全过程的应力应变状态及其发展规律，也不能反映裂缝的分布与发展。另外这种方法无法进行极限状态变形及极限状态后的大变形计算，不能满足抗震工程发展的需要。现在最流行的非线性分析方法是有限元分析，这种方法以弹塑性变形理论为基础，能够给出结构内力和变形发展的全过程，能描述裂缝的形成和扩展，以及结构的破坏过程及形态。
1.3 非线性有限元分析的基本原理
有限元分析是以变分原理和加权余量法为理论基础，以下以材料非线性为基础简单的介绍下非线性有限元的基本原理。如果把结构离散成有限个单元的集合体，并取出任意单元e ，则单元e 上任意点的位移函数为：
()e f N δδ= （1.1）
式中，N 为单元形函数矩阵，e δ为单元结点的位移
如果把结构分为M 个计算单元，则每一个单元的总势能泛函[2]可表示为：
{}[]{}{}{}{}1()2T T p e e e e e e e
V k V V f f ∏=-+ (1.2)
