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典型例题
例1、求作等腰直角三角形，使它的斜边等于已知线段
已知：线段工
求作：二4-，使/ A= 90°,B = AC , BC 分析：由于等腰直角三角形比较特殊，内角依次为45°, 45°, 90°，故有如下几种作法:
作法一：1、作线段
2、分别过点B、C作BD、CE垂直于BC
3、分别作/ DBG / ECB的平分线，交于A点
—-r，- 即为所求
作法二：作线段BC =
2、作/ MBC= 45°
3、作/ NCB=Z MBC CN 与BM 交于A 点
—--即为所求
作法三：1、作线段BC ="
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2、作/ MBC= 45
3、过C作CE± BM于A
即为所求
作法四：1、作线段BC =-<
2、作BC的中垂线，交BC于0点
3、在0M上截取0A = 0B，连结AB , AC
说明：几种作法中都是以五种基本作图为基础,
不要求写岀基本作图的作法和证明。
例2、已知三角形的两边和其中一边上的中线长，求作这个三角形
已知：线段a、b为两边，m为边长b的中线
求作：，使BC=a，AC=b，且AM=MC，BM=m.
分析：先画草图，假定」上」为所求的三角形，则有BC=a ,AC=b，设M为AC边的中点，则MB=m,
二_ 0 I |L ,
而2，故丄二丄的三边为已知作岀，然后再作岀匚丄沐.
MC = -b
作法：(1)作’，使BC=a，亠，MB=m ;
(2 )延长线段CM至A，使MA=CM;
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小结：本题的突破口是找U与所求的二二匚的关系.由于的三边已知，故」出J 即可顺利作岀.
例3、如图，A、B、C三点表示三个村庄，为解决村民就近入学问题，计划新建一所小学，要使学校到这三个村庄的距离相等，请你在图中用尺规确定学校的位置P.
分析：分两步：先作到A、B两点距离相等的点的图形，再作到B、C两点等距离的点的图形，两图形的交点，这就是所求作的点.
作法：（1）连结AB，做线段AB的垂直平分线DE ;
（2）连结BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE与点P.
则点P为所求作的学校位置.
小结：由于不能直接确定到三点距离相等的点的位置，可以分解为先求到A，B相等的所有点，再求
作到B，C相等的所有点，交点即所求.
扩展资料
三大几何作图问题
三大几何作图问题是：倍立方、化圆为方和三等分任意角。由于限制了只能使用直尺和圆规，使问题
变得难以解决并富有理论魁力，刺激了许多学者投身研究。早期对化圆为方作出贡献的有安纳萨戈拉斯
（Anaxagoras，约500B.C. ~ 428B.C.），希波克拉底（Hippocrates of Chios ，前5 世纪下半叶）、安蒂
丰（Antiphon，约480B.C.〜411B.C.）和希比亚斯（Hippias of Elis，400B.C.左右）等人；从事倍立方问
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题研究的学者也很多，欧托基奥斯（Eutocius ,约480 ~?）曾记载了柏拉图、埃拉托塞尼（Eratosthenes , 约276B.C.〜195B.C.）、阿波罗尼奥斯（Apollonius ,约262B.C.〜190B.C.）和帕波斯（Pappus ,约300 〜350）等人共12种作图方法：尼科米迪斯（Nicomedes，约250B.C.左右）、帕波斯等人则给出了三等分角的方法。当然所有这些研究都无法严格遵守尺规作图的限制，但它们却引出了大量的新发现（如圆锥曲线、许多三、四次曲线和某些超越曲线等），对整个希腊几何产生巨大影响。三大作图问题自智人学派提
出之时起，历经二千余年，最终被证明不可能只用直尺、圆规求解（1837年旺策尔「P.L.Wantze1」首先
证明了倍立方和三等分任意角不可能只用尺规作图；1882年林德曼］C.L.F.Lindemann ］证明了n的超越
性，从而确立了尺规化圆为方的不可能）。
关于三大几何作图问题的起源和古代探讨，在智人学派之后一些希腊学者的著述中留有记载，这些分
散片断的记载，成为了解早期希腊数学的珍贵资料。以下选录部分内容，各节作者与岀处将随文注明。
倍立方
A。赛翁论倍立方问题的可能起源0埃拉托塞尼在其题为《柏拉图》的著作中写道：当先知得到神的
谕示向提洛岛的人们宣布，为了止息瘟疫，他们必须建造一个祭坛，体积是现有那个祭坛的两倍时，工匠们试图弄清怎样才能造成一个立体，使其体积为另一个立体的两倍，为此他们陷入深深的困惑之中，于是他们就这个问题去请教柏拉图。柏拉图告诉他们，先知发布这个谕示，并不是因为他想得到一个体积加倍的祭坛，而是因为他希望通过派给他们这项工作，来责罚希腊人对于数学的忽视和对几何学的轻视。
B。普罗克洛斯论希波克拉底对这一问题的筒化。0“简化”是将一个问题或定理转化成另一个已知的或已构造岀的问题或定理，使得原命题清晰明了。例如，为解决倍立方问题，几何学家们转而探究另一问题，
即依赖于找到两个比例中项。从那以后，他们致力于如何找到两条已知线段间连比例中的两个中项的探索。据说最先有效地简化这些困难作图的是希俄斯的希波克拉底民他还化月牙形为方，并作出许多几何学上的
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其他发现。说到作图，如果曾经有过这方面的天才的话，这个人就是希波克拉底。历史上传说，古代的一位悲剧诗人描述了弥诺斯为格劳科斯修坟，当弥诺斯发现坟墓的每一边都是一百尺时，他说：“你们设计显
然这是一个错误。因为如果边长加倍，表面积变成原来的四倍，体积变成八倍。当今的几何学家们也在探索将已知立方体的体积加倍而不改变其形状的途径。这个问题以二倍立方体著称，即已知一个立方体，他们想办法将其力”倍。当长期以来所有的探索都徒劳无功时，希俄斯的希波克拉底最先发现，如果能找到一个方法，作岀已知的两条线段间连比例中的两个比例中项，其中长线段是短线段的两倍，立体就被，。倍。这样他的难点被分解成另一个不太复杂的问题。
“后来传说，某些提洛岛的人为遵循先知的谕示，想办法将一个祭坛加倍，他们陷入了同样的困境。于
是他们派代表去请求学园中柏拉图学派的几何学家帮他们找到解法。这些几何学家们积极地着手解决这个问题，求两条已知线段间顺个比例中项。据说塔林敦的阿尔希塔斯应用半圆柱体得到一种解法，而欧多克索斯用了所谓的“曲线”所有解决这一问题的人在寻找演绎的证明方面是成功的，但除门奈赫莫斯①（尽管他只是很勉强地做到），他们都不能用行之有效的方法证明这个作图小现在我发现了一种简单方法，通过应用一种器具，不仅能得到两线段问的两个比例中项，而且能得到所需要的许多比例中项。应用这一发现,
我们能够将任何表面是平行四边形的已知立体化成立方体，或者将其从一种形状变成另一种形状，而且也可以作出一个与已知立体形状相同，但体积大一些的立体，也就是保持相似性。.............................
化圆为方
A。安蒂丰化圆为方安蒂丰画了一个圆，并作一个能够内接于它的多边形。我们假设这个内接图形
是正方形。然后他将正方形的每边分成两部分，从分点向圆周作垂线，显然这些垂线平分圆周上的相应弧段。接着他从垂线与圆周的交点向正方形边的端点连线，于是得到四个以线段（即正方形的边）为底的三角形，整个内接的图形现在成为八边形。他以同样的方法重复这一过程，得到的内接图形为十六边形。他一再地重复这一过程，随着圆面积的逐渐穷竭，一个多边形将内接于圆，由于其边极微小，将与圆重合。
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