对数函数及反函数的概念

对数函数及反函数的概念

教学目标：掌握对数函数的定义，了解指数函数与对数函数互为反函数。了解反函数的定义及求反函数的方法。

教学重点：对数函数与指数函数的关系。

教学过程：

一、 引例

某种细胞分裂,由1个分裂成2个,2个分裂成4个……一直分裂下去,所得到的细胞个数y 与分裂次数x 的函数关系为x y 2=（指数函数）.

分析：由此关系,已知分裂次数可求出所得细胞个数,反之,若已知所得细胞个数,能求出细胞的分裂次数吗？

如32=y ,则5=x .

由指数和对数的关系可知x y 2=⇔y x 2log =.

利用此关系式可求出细胞的次数.

当我们把y 看成自变量时,得x 是y 的函数.

二、 对数函数的定义

u x y lg =为常用函数.以无理数e 为底的对数函数x y ln =为自然对数函数.

1、 同底的指数函数与对数函数的关系

对同底的指数函数x a y =和对数函数y x a log =.

它们刻画的是同一对变量x ,y 之间的关系,不同的是：在x a y =中,x 是自变量,y 是x 的函数,它的定义域是R ,值域是),0(+∞;在y x a log =中,y 是自变量,x 是y 的函数,它的定义域是),0(+∞,值域是R .

2、 反函数定义

从某个函数)(x f y =中解出x （用y 表示）,定义域和值域互换得到的函数称为它的反函数,显然它们是互为反函数.

上面表明：同底的指数函数与对数函数是互为反函数.

例1：写出下列函数的反函数：

（1）x y 3

1log =;（2）)2lg(x y =;（3）125+=x y ;（4）3)32(-=-x y . 例2：求出下列函数的反函数：

（1）222++-=x x y )1(≤x .（2）112++=x y )0(

总结出求函数的方法步骤：一求二解三互换.即先求出原函数的值域（即反

函数的定义域）,然后反解出)(y x ϕ=,最后将x ,y 对调即得到反函数)(1x f y -=,但必须注明反函数的定义域;

3、 互为反函数的主要性质：

（1） 定义域,值域互换.（2）对应法则互逆：x x f

f =-)]([1,x x f f =-)]([1. （3）)()(1b f a a f b -=⇔=,即若点),(b a 在原函数的图像上,则),(a b 在其反函数的图像上.（4）互为反函数的函数单调性相同.（5）图像关于x y =对称.

例3：已知b x y +=

5

1与3+=ax y 互为反函数,求常数a ,b 的值. 解得：5=a ,53-=b . 练习：91P ：、

，，，4 3 2 1 作业：97P ：2 1 ， （A 组）