八年级上册数学证明全等三角形的方法
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全等三角形(一)SSS【知识要点】1.全等图形定义:两个能够重合的图形称为全等图形. 2.全等图形的性质:(1)全等图形的形状和大小都相同,对应边相等,对应角相等 (2)全等图形的面积相等3.全等三角形:两个能够完全重合的三角形称为全等三角形(1)表示方法:两个三角形全等用符号“≌”来表示,读作“全等于” 如DEF ABC ∆∆与全等,记作ABC ∆≌DEF ∆ (2)符号“≌”的含义:“∽”表示形状相同,“=”表示大小相等,合起来就是形状相同,大小也相等,这就是全等.(3)两个全等三角形重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角.(4)证两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.4.全等三角形的判定(一):三边对应相等的两个三角形全等,简与成“边边边”或“SSS ”. 【典型例题】例1.如图,ABC ∆≌ADC ∆,点B 与点D 是对应点,︒=∠26BAC ,且︒=∠20B ,1=∆ABC S ,求ACD D CAD ∠∠∠,,的度数及ACD ∆的面积.例2.如图,ABC ∆≌DEF ∆,cm CE cm BC A 5,9,50==︒=∠,求EDF ∠的度数及CF 的长. 例3.如图,已知:AB=AD ,AC=AE ,BC=DE ,求证:CAD BAE ∠=∠例4.如图AB=DE ,BC=EF ,AD=CF ,求证:(1)ABC ∆≌DEF ∆(2)AB//DE ,BC//EF例5.如图,在,90︒=∠∆C ABC 中D 、E 分别为AC 、AB 上的点,且BE=BC ,DE=DC ,求证:(1)AB DE ⊥;(2)BD 平分ABC ∠【巩固练习】1.下面给出四个结论:①若两个图形是全等图形,则它们形状一定相同;②若两个图形的形状相同,则它们一定是全等图形;③若两个图形的面积相等,则它们一定是全等图形;④若两个图形是全等图形,则它们的大小一定相同,其中正确的是( ) A 、①④ B 、①② C 、②③ D 、③④2.如图,ABD ∆≌CDB ∆,且AB 和CD 是对应边,下面四个结论中 不正确的是( )A 、CDB ABD ∆∆和的面积相等 B 、CDB ABD ∆∆和的周长相等C 、CBD C ABD A ∠+∠=∠+∠ D 、AD//BC 且AD=BC3.如图,ABC ∆≌BAD ∆,A 和B 以及C 和D 分别是对应点,如果︒=∠︒=∠35,60ABD C ,则BAD ∠的度数为( )A 、︒85B 、︒35C 、︒60D 、︒804.如图,ABC ∆≌DEF ∆,AD=8,BE=2,则AE 等于( ) A 、6 B 、5 C 、4 D 、35.如图,要使ACD ∆≌BCE ∆,则下列条件能满足的是( ) A 、AC=BC,AD=CE ,BD=BE B 、AD=BD ,AC=CE ,BE=BD C 、DC=EC ,AC=BC ,BE=AD D 、AD=BE ,AC=DC ,BC=EC6.如图,ABE ∆≌DCF ∆,点A 和点D 、点E 和点F 分别是对应点,则AB= ,=∠A ,AE= ,CE= ,AB// ,若BC AE ⊥,则D第3题图第4题图第5题图B第6题图DF 与BC 的关系是.7.如图,ABC ∆≌AED ∆,若=∠︒=∠︒=∠︒=∠BAC C EAB B 则,45,30,40 ,=∠D ,=∠DAC .8.如图,若AB=AC ,BE=CD ,AE=AD ,则ABE ∆ ACD ∆,所以=∠AEB ,=∠BAE ,=∠BAD .9.如图,ABC ∆≌DEF ∆,︒=∠90C ,则下列说法错误的是( ) A 、互余与F C ∠∠ B 、互补与F C ∠∠C 、互余与E A ∠∠D 互余与D B ∠∠10.如图,ACF ∆≌DBE ∆,cm CD cm AD ACF E 5.2,9,110,30==︒=∠︒=∠,求D ∠的度数及BC 的长.11.如图,在ABD ABC ∆∆与中,AC=BD ,AD=BC ,求证:ABC ∆≌ABD ∆全等三角形(一)作业1.如图,ABC ∆≌CDA ∆,AC=7cm ,AB=5cm.,则AD 的长是( ) A 、7cm B 、5cm C 、8cm D 、无法确定2.如图,ABC ∆≌DCE ∆,︒=∠︒=∠62,48E A ,点B 、C 、E 在同一直线上,则ACD ∠的度数为( )A 、︒48B 、︒38C 、︒110D 、︒62BA CD E 第7题图第8题图ABC DBC第9题题图AEAD C3.如图,ABC ∆≌DEF ∆,AF=2cm,CF=5cm ,则AD= . 4.如图,ABE ∆≌ACD ∆,︒=∠︒=∠25,100B A ,求BDC ∠的度数.5.如图,已知,AB=DE ,BC=EF ,AF=CD ,求证:AB//CD 6.如图,已知AB=EF ,BC=DE ,AD=CF , 求证:①ABC ∆≌FED ∆②AB//EF7.如图,已知AB=AD ,AC=AE ,BC=DE ,求证:CAE BAD ∠=∠AB DEFED全等三角形(二)【知识要点】定义:SAS两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简写成“边角边”或“SAS ”,几何表示如图,在ABC ∆和DEF ∆中,ABC EF BC E B DEAB ∆∴⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=≌)(SAS DEF ∆【典型例题】【例1】 已知:如图,AB=AC ,AD=AE ,求证:BE=CD.【例2】 如图,已知:点D 、E 在BC 上,且BD=CE ,AD=AE ,∠1=∠2,由此你能得出哪些结论?给出证明.【例3】 如图已知:AE=AF ,AB=AC ,∠A=60°,∠B=24°,求∠BOE 的度数.C AD B EC【例4】如图,B,C,D在同一条直线上,△ABC,△ADE是等边三角形,求证:①CE=AC+DC;②∠ECD=60°.【例5】如图,已知△ABC、△BDE均为等边三角形。
初中数学试卷全等三角形知识导引1、全等三角形的性质:(1)全等三角形的对应角相等,对应边相等;(2)全等三角形的对应角的角平分线相等,对应边上的中线、高线分别相等;2、全等三角形的判定方法:(1)定义:能够重合的两个三角形叫做全等三角形;(2)边角边(SAS):有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等;(3)角边角(ASA):有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等;(4)角角边(AAS):有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等;(5)边边边(SSS):有三边对应相等的两个三角形全等。
3、会用三角形全等的判定定理来证明有关问题,并会进行有关计算。
4、全等三角形知识是平面几何内容的基础,这是因为全等三角形是研究特殊三角形、四边形等图形性质的有力工具,是解决与线段、角相关问题的一个出发点,运用全等三角形,可以证明线段相等、线段的和差倍分关系、角相等、两直线的位置关系等常见的几何问题。
利用全等三角形证明问题时,关键在于从复杂的图形中找到一对基础的三角形,这对基础的三角形从实质上来说,是由三角形全等判定定理中的一对三角形变位而来,也可能是由几对三角形组成,其间的关系互相传递,应熟悉涉及有公共边、公共角的以下几类基本图形:典例精析例1:如图,已知△ABC的六个元素,则下列甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC全等的图形是()A、甲、乙B、甲、丙C、乙、丙D、乙例2:如图,点D,E分别在线段AB,AC上,BE,CD相交于点O,AE=AD,要使△ABE≌△ACD,需要添加的一个条件是(写出一个条件即可)。
例2—1:如图,∠E=∠F=90°,∠B=∠C,AC=AB,,给出下列结论:①∠1=∠2;②BE=CF;③△ACN≌△ABM;④CD=DN。
其中正确的结论是(把你认为所有正确结论的序号都填上)。
例3:众所周知,只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等,你能想办法安排这三个条件,是这两个三角形全等吗?请同学们参照下面的方案(1)、(2)、(3),导出方案(4)。
八年级上册数学证明全等三角形的方法
数学中证明全等三角形的方法有很多种,下面将介绍其中几种常
用的方法。
1. SSS法(边边边法):
SSS法是全等三角形的最基本的证明方法之一,它要求两个三角形的三条边分别相等。
证明的步骤如下:
(1)先列出已知条件,如∆ABC≌∆PQR。
(2)分别列出两个三角形的三条边,如AB=QR,BC=RP,AC=PQ。
(3)根据已知条件和三角形的定义,逐步推导出结论,要点在于
运用已知条件和性质进行推理。
(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律
(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。
2. SAS法(边角边法):
SAS法也是常用的证明全等三角形的方法之一,它要求两个三角形中一个角相等,且两个角的夹边相等。
证明的步骤如下:
(1)先列出已知条件,如∠BAC=∠QPR,AC=PQ。
(2)分别列出两个三角形的两个角和夹边,如∠ACB=∠PQR,
AB=QR。
(3)根据已知条件和三角形的定义,逐步推导出结论,要点在于
运用已知条件和性质进行推理。
(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律
(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。
3. ASA法(角边角法):
ASA法也是常用的证明全等三角形的方法之一,它要求两个三角形中一边相等,且两边夹角相等。
证明的步骤如下:
(1)先列出已知条件,如∠A=∠P,∠B=∠Q。
(2)分别列出两个三角形的两个角和一边,如∠C=∠R,以及
AC=PR。
(3)根据已知条件和三角形的定义,逐步推导出结论,要点在于
运用已知条件和性质进行推理。
(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律
(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。
4. HL法(斜边直角边法):
HL法是用来证明两个直角三角形全等的方法,它要求两个直角三
角形的斜边和一个直角边相等。
证明的步骤如下:
(1)先列出已知条件,如∆ABC≌∆PQR,其中∠B=∠Q=90°和
BC=QR。
(2)分别列出两个直角三角形的斜边和一个直角边,如AB=PQ和AC=PR。
(3)根据已知条件和直角三角形的定义,逐步推导出结论,要点
在于运用已知条件和性质进行推理。
(4)最后,利用这些推理出的结论反复使用恒等命题的反向律
(即反推法),从而把要证明对象的等式转化为已知条件之一的等式。
值得注意的是,每一种证明方法都需要严谨的推理和逻辑思维,不能有遗漏和错误的推导。
另外,证明全等三角形时,还可以根据全等三角形的性质,比如边对边全等、角对角全等、对顶角全等等性质进行推理和证明。
最后,证明的过程中,可以借助各种几何工具,如直尺、量角器、分度器等,来辅助推理和绘图。