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偏导数的定义及其计算法

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9-2偏导数

9-2偏导数

(与求导顺序无关时 应选择方便的求导顺序 与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序) 与求导顺序无关时
练习
y ∂ 2z ∂ 2z （1）设z = arctan ,求 2 , x ∂x ∂x ∂y
（2）设z = xf ( x 2 − y 2 ),
(3) 已知 u = f ( r )，r =
∂u ∂r x = f ′( r ) ⋅ = f ′( r )， ∂x ∂x r
∂z ∂ f , , zy , ∂y ∂y
′ f y ( x, y) , f y ( x, y)
y= y0
显然有
fx (x0, y0 ) = fx( x, y) x=x0 ，
fy ( x0, y0 ) = f y ( x, y) x=x0 .
y= y0
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数
如 三 元函 数 u = f ( x , y , z ) 的 偏导 数为
这两个二阶混合偏导数相等． 这两个二阶混合偏导数相等． 相等
即
∂2z ∂2z ( x, y)∈D. = ∂x∂y ∂y∂x
即二阶混合偏导数在连续的条件下, 即二阶混合偏导数在连续的条件下,求导与次序无关
此定理可以推广． 此定理可以推广． 推广
例8
1 ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u 证明函数u = 满足方程 2 + 2 + 2 = 0, r ∂x ∂y ∂z 其中r = x 2 + y 2 + z 2 ，
注意 思考
∂ 2z ∂ 2z 此时 有 = ∂ x ∂ y ∂ y∂ x
混合偏导数都相等吗？ 混合偏导数都相等吗？
(不一定 不一定) 不一定
问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？ 问题： 具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？

偏导数

偏导数

但函数在该点处并不连续. 偏导数存在
连续.
二、高阶偏导数
函 数 z f ( x, y)的 二 阶 偏 导 数 为
z z z z f xx ( x , y ), f yy ( x , y ) 2 2 x x x y y y
x x0 y y0
，z y
x x0 y y0
或 f y ( x0 , y0 ).
如果函数 z f ( x , y ) 在区域 D 内任一点 ( x , y ) 处对 x 的偏导数都存在，那么这个偏导数 就是 x 、 y 的函数，它就称为函数 z f ( x , y ) 对 自变量 x 的偏导数， 记作
2 2
,
2u yy x y2 2,2 2

u x
2 2

(x y ) x 2x
2
(x y )
2 2 2 2
2

y x
2 2
(x y )
2
,
u y u
2 2

(x y ) y 2y (x y )
2 2 2 2

x y
2 2
2 2
(x y )
y )
2
2
,
y (x
2
2
x
2
2 2
y )
；
5、 ( 二 、 1、 z x
x y
) (
z
1 y

x y
).
y ( 1 xy )
2
y1
xy , ( 1 xy ) ln( 1 xy ) y 1 xy
y
z

第二节 偏导数

第二节 偏导数

2 2
(x y )
2

x y
2 2
2 2
(x y )
2
0.
z
2
z
2
yx
例 7
xy
在区域 D 内连续，那末在该区域内这
两个二阶混合偏导数必相等．
验证函数 u( x , y ) ln
x y 满足拉普拉
2 2
斯方程
解 ln
u x
2
x y
2 2
1 2
ln( x y ),
2 2

x x y
2
2
u
2
,
2
y

y x y
例 4
已知理想气体的状态方程 pV RT
p V T 1 . （ R 为常数） ，求证： V T p
证
p
RT V

p V
V T T p

RT V
2
;
V
RT p

V
R p ;
;
T
p V V T
pV R
T p

RT pV
偏 导 数
我们已经知道一元函数的导数是一个很重 要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该 点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函 数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数 的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它 自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自 变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数 的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如 下定义。
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设 函 数 z f ( x , y ) 在 点( x0 , y0 ) 的 某 一 邻 域 内 有 定 义 ， 当 y 固 定 在 y0 而 x 在 x 0 处 有 增 量

一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结

一偏导数定义及其计算法二高阶偏导数三小结
思考题解答
不能. 例如, f ( x, y) x2 y2 , 在(0, 0)处连续, 但 f x (0, 0) f y (0, 0) 不存在.
，
f y
，
z
y
或
f y(x, y).
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
例如，u f ( x, y,z), 在 ( x, y,z) 处，
f
x
(
x
,
y,
z
)
lim
x0
f
( x x, y,z) x
f
(x, y,z) ,
f
y
(
x,
y,z
)
lim
y0
f
( x, yy,z) y
f
(x, y,z)
,
f
z
(
x,
y,z)
y( y2 x2) ( x2 y2 )2
,
考虑点 (0, 0) 对 x 的偏导数，
lim
x0
f (0 x, 0) x
f (0, 0)
lim
x0
00 x
0.
于是，
f
x
(
x
,
y
)
y( (x
y
2
2 x2) y2 )2
,
0,
x2 y2 0, x2 y2 0.
(2) 求 f y ( x, y). 当 x2 y2 0 时， 即 x 0 且 y 0时，
如图
z f ( x0, y)
M0 Tx
z f ( x, y0 )
Ty
几何意义:
偏导数 f x ( x0, y0 )就是曲面被平面 y y0 所截得的 曲线在点 M0处的切线 M0Tx对 x轴的斜率.

偏导数原理及相关计算

偏导数原理及相关计算

f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
2 z e x2y 2 x 2 2 z z x2y 4 e x2y 2e 2 y x y 3 2 z z ( ) 2 e x2y y x 2 x y x
3 z 的二阶偏导数及 . 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
x0 x
x0
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x 或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
称其为甲商品关于自身价格 p2的边际需求；
Q2 p1
Q2 Q1 Q1 的边际解释可与 的边际解释类似. p2 p1 p2
三、高阶偏导数 设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )


所以，曲线在1,1, 3 处的切线与 y 轴正向所成的倾角为 3 tanபைடு நூலகம் . 3 6

3、偏导数

3、偏导数

z z 2 x cos xy xy sin xy, 2 x 2 sin xy yx y
2 2
2 z 2 2 例3：函数z=f(x +y )求 x y
z 2 xf ( x 2 y 2 ) x z 2 2 2 2 x f ( x y ) 2 xf ( x 2 y 2 ) 2 y y xy
2
2
练习：P208 1(1)(6)
2,3
二、高阶偏导数
1、定义：设函数z=f(x,y)在区域D内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y), f y ( x, y) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的 二阶偏导数。 其中2.3.叫混合偏导数
按照求导顺序不同，有下列四个二阶偏导数：
z x
x x0 y y0
f , x
x x0 y y0
, zx
x x0 y y0
或 fx=fx(x0,y0) f1( x0 , y0 )
类似地，函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处对y的偏导数。
定义为： lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 ) y 0
dy (2)对一元函数，导数 可看作函数dy与自变量的微 dx 分dx 的商，但偏导数的记号 y 是一个整体。 x
(3)函数某点的偏导数都存在,不能保证函数在该点连续
例1：求z=x2+3xy+y2在点(1,2)处的偏导数
z z 2x 3y x x 8
x 1 y 2
z z 3x 2 y 7 y y (1,2)
z 2 z 4. 2 f yy ( x, y) y y y

第二节：偏导数


2 f 2z z = , 或 zx y , 或 fx y ( x, y). ,或 xy xy y x
.
x z z 例 3 设z = arcsin 2 ,求 , . 2 x y x +y
解
z = y
1 x2 1 2 x + y2
′ x x2 + y2 y
x2 + y2 (xy) = | y| ( x2 + y2 )3
x 2 , y>0 2 x +y = x 2 , y<0 2 x +y
理 以 义 数 同 可 定 函 z = f ( x, y)对 变 y 的 导 , 自 量 偏 数
z f 记作 , , z y 或 f y ( x, y). y y
上述关于二元函数偏导数的定义, 上述关于二元函数偏导数的定义,可推广到 n 元函数的情形. 元函数的情形. 例如: 例如:u = f ( x , y , z )
第二节 偏导数
一,偏导数的定义及其计算法 二,高阶偏导数 三,小结
一元函数导数概念的回顾 定义: 的某个邻域内有定义, 定义:设 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( x0 + x仍在该邻域内) 相应的函数也取得增量 y = f ( x0 + x) f ( x0 )
y= y0
y= y0
如果函数 z = f ( x, y)在区域 D内任一点( x, y)处对
x的偏导数都存在,那么这个偏导数还是 x, y的函数, 的偏导数都存在, 的函数, 的偏导函数, 它就称为函数 z = f ( x, y)对自变量 x的偏导函数,
简称为偏导数. 简称为偏导数. z f , zx或 fx ( x, y) 记为 , x x

一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结

一偏导数的定义及其计算法二高阶偏导数三小结一、偏导数的定义及其计算法偏导数是多元函数在其中一点上关于其中一个自变量的导数，偏导数描述了函数在其中一点上沿着不同自变量方向的变化率。

对于二元函数（两个自变量的函数），偏导数可以分为两种类型：偏导数∂f/∂x表示函数关于x的偏导数；偏导数∂f/∂y表示函数关于y的偏导数。

在计算中，偏导数可以使用极限的定义进行求取，也可以通过求取对应变量的偏导数公式进行计算。

1.偏导数的计算法（1）使用极限的定义对于函数f(x,y)，若要求取关于x的偏导数，可以将y固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂x = lim(h→0) (f(x + h, y) - f(x, y)) / h对于函数f(x,y)，若要求关于y的偏导数，可以将x固定为常数，然后使用极限的定义计算：∂f/∂y = lim(h→0) (f(x, y + h) - f(x, y)) / h（2）使用偏导数公式对于特定类型的函数，可以通过使用相应的偏导数公式来计算偏导数。

以下列举了几种常见的偏导数公式：a.对于幂函数f(x,y)=x^n，其中n为常数，偏导数公式为：∂f/∂x=n*x^(n-1)b.对于指数函数f(x,y)=e^x，其偏导数公式为：∂f/∂x=e^xc. 对于对数函数f(x, y) = log(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x=1/xd. 对于三角函数f(x, y) = sin(x)，其偏导数公式为：∂f/∂x = cos(x)e.对于常数乘积规则，偏导数的计算法为：∂(c*f)/∂x=c*(∂f/∂x)二、高阶偏导数高阶偏导数是指对于多元函数的不同自变量求取多次偏导数的过程。

高阶偏导数描述了函数在其中一点上的更高阶导数信息，它可以对函数的多个变量进行多次的偏导运算。

1.二阶偏导数二阶偏导数是指对于二元函数，对其中一个变量求取一次偏导数后，再对另一个变量求取一次偏导数。

二阶偏导数可以通过求取一次偏导数的偏导数来计算，也可以通过直接求取函数的二阶导数来计算。

3.2 偏导数


第二节 偏导数
4. 二元函数偏导数的几何意义
f x (x0
,
y0 )
的几何意义是空间曲线
z

y
= =
f (x , y0
y) ,
在点(x0 , y0 , z0)处的切线斜率.
z
在右图中，曲线方程为 y
z = x2 sin( y) , y = −π / 2 ,
切点为(1 , -π / 2 , -1).
xy
y)
=

x2
+
y2
,
x2
+
y2
≠0,
0 ,
x2 + y2 = 0 ,
在点(0 , 0)对 x 的偏导数为
z
x
lim fx (0 , 0) =
∆x→0
f (0 + ∆x , 0) − f (0 , 0) = 0 ; ∆x
在点(0 , 0)对 y 的偏导数为
lim f y (0 , 0) =
自变量 y = 1，得到一元函数 z = x2+1，然后求此一元函
数的导数．这种解决问题的方法，在其他地方也会碰到,
因此，需要进行研究，于是产生了偏导数.
第二节 偏导数
2. 偏导数的定义
定义 设函数 z = f (x , y)在点(x0 , y0)的某一邻域内有
定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增量 ∆x 时，相应的
∆y→0
∆y
记作
∂z ∂f
∂y
x= x0
, ∂y
x= x0
, zy
x= x0 y= y0
,
f y (x0
,
y0 ) .

第九章 第2节 偏导数

的斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty 对 y 轴
的斜率.
20
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
f (x,
y)
2 xy
f x (1,1) f x ( x, y) x1 2 x y x1 2 7
y 1
y 1
(2) 实际求偏导数不需新的方法，因为这里只有
一个自变量在动，另一个自变量可以看做固 定的，所以仍旧是一元函数的微分法问题， 比如：
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
d f y (x0 , y0 ) dy ( f (x0 , y ) ) yy0 .
求函数的偏导函数也是类似
8
(3)偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
连续不一定偏导数存在, 偏导数存在也不一定连续
18
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
19
几何意义:
d fx (x0 , y0 ) dx ( f (x, y0 ) ) xx0 ,
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线 M0Tx 对 x 轴
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偏导数的定义及其计算法
偏导数是多元函数的导数概念的推广，它用于计算多元函数在其中一点处对一些自变量的变化率。

一元函数的导数表示函数在其中一点附近的局部变化率，而多元函数的导数则表示函数在其中一点附近关于一些自变量的变化率。

设函数 f(x₁, x₂, …, xn) 是一个 n 变量函数，其中 x₁, x₂, …, xn 分别表示自变量。

若函数在其中一点处各个自变量的偏移量分别是
Δx₁, Δx₂, …, Δxn，则函数在该点处的偏导数表示函数在该点处关于一些自变量的变化率。

偏导数用∂f/∂x 表示，其中∂表示该函数是多元函数的导数。

对于二元函数f(x,y)，其偏导数分为两种：对x的偏导数(∂f/∂x)，对y的偏导数(∂f/∂y)。

偏导数计算公式如下：
∂f/∂x = lim(Δx→0) [f(x + Δx, y) - f(x, y)]/Δx
∂f/∂y = lim(Δy→0) [f(x, y + Δy) - f(x, y)]/Δy
其中，lim 表示极限。

对于 n 元函数 f(x₁, x₂, …, xn)，可以按照相同的原理通过对各个自变量的偏移量进行极限计算，得到相应的偏导数。

在实际计算中，依次计算各个自变量的偏导数来获得该函数在其中一点处的各个偏导数值。

如果函数可微分，就可以通过偏导数找到该点处的切线方程，从而研究函数在该点的性质。

偏导数的计算需要使用导数的各种运算法则，例如线性性质、乘法法则、除法法则和复合函数法则等。

线性性质：若 f(x) 和 g(x) 是可导函数，c 是常数，则有∂/∂x
[cf(x) ± g(x)] = c(∂f/∂x) ± (∂g/∂x)。

乘法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有
∂/∂x[f(x)g(x)]=g(x)(∂f/∂x)+f(x)(∂g/∂x)。

除法法则：若f(x)和g(x)是可导函数，且g(x)≠0，则有
∂/∂x[f(x)/g(x)]=[g(x)(∂f/∂x)-f(x)(∂g/∂x)]/[g(x)]²。

复合函数法则：若 f(x, y) 为可导函数，而 g(t) 和 h(t) 分别是
关于 t 的可导函数，则有∂/∂x [f(g(t), h(t))] = (∂f/∂x)(dg/dt) + (∂f/∂y)(dh/dt)。

需要注意的是，偏导数只是多元函数在其中一点的局部变化率，并不
能给出函数在全局上的变化趋势。

因此，在实际中，通常需要结合偏导数
来进行全局性质的分析。

综上所述，偏导数是多元函数在其中一点处关于一些自变量的变化率。

通过计算偏导数，可以研究函数在该点处的性质，并为计算高维函数的最值、测量误差传播、优化问题等提供有力工具。