菱形性质

菱形得性质及判定中考要求知识点睛1、菱形得定义:有一组邻边相等得平行四边形叫做菱形.2.菱形得性质菱形就是特殊得平行四边形,它具有平行四边形得所有性质,•还具有自己独特得性质:①边得性质:对边平行且四边相等.②角得性质:邻角互补,对角相等、③对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角.④对称性:菱形就是中心对称图形,也就是轴对称图形.菱形得面积等于底乘以高,等于对角线乘积得一半。

点评:其实只要四边形得对角线互相垂直,其面积就等于对角线乘积得一半、3。

菱形得判定判定①:一组邻边相等得平行四边形就是菱形、判定②:对角线互相垂直得平行四边形就是菱形。

判定③:四边相等得四边形就是菱形。

重、难点重点就是菱形得性质与判定定理。

菱形就是在平行四边形得前提下定义得,首先她就是平行四边形,但它就是特殊得平行四边形,特殊之处就就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊得性质与不同于平行四边形得判定方法。

菱形得这些性质与判定定理即就是平行四边形性质与判定得延续,又就是以后要学习得正方形得基础、难点就是菱形性质得灵活应用。

由于菱形就是特殊得平行四边形,所以它不但具有平行四边形得性质,同时还具有自己独特得性质。

如果得到一个平行四边形就是菱形,就可以得到许多关于边、角、对角线得条件,在实际解题中,应该应用哪些条件,怎样应用这些条件,常常让许多学生手足无措,教师在教学过程中应给予足够重视。

例题精讲板块一、菱形得性质【例1】☆⑴菱形得两条对角线将菱形分成全等三角形得对数为⑵在平面上,一个菱形绕它得中心旋转,使它与原来得菱形重合,那么旋转得角度至少就是【例2】⑴如图2,一活动菱形衣架中,菱形得边长均为若墙上钉子间得距离,则度.⑵如图,在菱形中,,、分别就是、得中点,若,则菱形 得边长就是______.【例3】 如图,就是菱形得边得中点,于,交得延长线于,交于,证明:与互相平分.【例4】 ☆ 如图1所示,菱形中,对角线、相交于点,为边中点,菱形得周长为,则得长等于 。

菱形的性质菱形是一种具有特殊性质的几何图形，在数学中被广泛研究和应用。

它的定义是一个具有四条边且四个顶点均位于同一平面内的凸四边形，其特点是四条边长度相等且相互垂直，对角线相等并且相互垂直。

本文将从菱形的角度、边角关系、对称性和应用等方面详细探讨菱形的性质。

1.菱形的角度菱形的角度特点非常明显，它的四个顶点内角均为90度。

由于垂直的性质，菱形的对边之间也是垂直的，因此其内角可以分为两组：两个锐角和两个钝角，且两两互补。

2.菱形的边角关系菱形的边角关系是菱形性质研究中的一个重要内容。

我们知道，菱形的四条边长度相等，这意味着菱形的内角也必然相等。

同时，菱形的对角线也相等，从而推断出菱形的四个内锐角和四个内钝角都相等，且每个角都为90度。

此外，由于菱形的两对角线相互垂直，就意味着菱形的两个内锐角和两个内钝角互为补角。

3.菱形的对称性菱形具有很强的对称性，这是菱形性质中的又一个重要方面。

菱形的两条对角线相交于一点，这个点被称为菱形的中心。

菱形的中心是菱形具有对称性的重要标志，它将菱形分成了四个互相对称的部分。

菱形的任意两个对角线可以分别作为对称轴，通过中心点，将菱形分成两个完全相等的部分。

这种对称性使得菱形在艺术、装饰和设计等领域得到了广泛应用。

4.菱形的应用菱形的性质使得它在各个领域得到了广泛的应用。

在数学中，菱形作为一种特殊的四边形，是几何学的基础，研究菱形性质有助于理解和解决更复杂的几何问题。

在艺术和设计中，菱形的对称性和美观性使它成为一种常用的图形元素，经常被用来装饰图案、绘画和雕塑作品。

菱形图案也常常出现在建筑物和城市规划中，如建筑立面、道路划线等。

总结：菱形是具有特殊性质的几何图形，它的四个角均为90度，每条边和对角线长度相等。

菱形具有边角对称性，在艺术、设计和建筑等领域有广泛应用。

研究菱形性质有助于理解几何学的基础知识，同时也为解决相关问题提供了思路和方法。

菱形作为一种简单而美观的图形元素，不仅在数学中具有意义，也在人们的日常生活中起着重要的作用。

BCADO菱形的判定和性质一、基础知识一菱形的概念一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.. 二菱形的性质：1、 具有平行四边形的一切性质；2、 菱形四条边都相等；3、 菱形的对角线互相垂直平分;每条对角线平分一组对角；4、 菱形是轴对称图形；边 角 对角线 对称性 菱形对边平行； 四边相等对角相等； 邻角互补互相垂直平分且平分对角轴对称三菱形的判定：1、 一组邻边相等的平行四边形是菱形；2、 对角线互相垂直的平行四边形是菱形；3、 四条边都相等的四边形是菱形； 四菱形的面积1、可以用平行四边形的面积算S=21底×高 2、用对角线计算面积的两对角线的积的一半 S=21ab二、例题讲解BCDE（A ） 一组对边相等;另一组对边平行的四边形一定是平行四边形 （B ） 对角线相等的四边形一定是矩形 （C ） 两条对角线互相垂直的四边形一定是菱形（D ） 两条对角线相等且互相垂直平分的四边形一定是正方形 练习1：菱形的对角线具有 A ．互相平分且不垂直 B ．互相平分且相等 C ．互相平分且垂直 D ．互相平分、垂直且相等练习2：如图;菱形ABCD 中;对角线AC 、BD 相交于点O;M 、N 分别是边AB 、AD 的中点;连接OM 、ON 、MN;则下列叙述正确的是A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形B ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形C ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形练习3：如图;在三角形ABC 中;AB ＞AC ;D 、E 分别是AB 、AC 上的点;△ADE 沿线段DE 翻折;使点A 落在边BC 上;记为A '．若四边形ADA E '是菱形;则下列说法正确的是A ．DE 是△ABC 的中位线B ．AA '是BC 边上的中线 C ．AA '是BC 边上的高D ．AA '是△ABC 的角平分线ABDEA '练习4：如图;下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为 ①AC BD ⊥ ②90BAD ∠= ③AB BC = ④AC BD = A ．①③B ．②③C ．③④D ．①②③DBA NM O例2 ：已知AD 是△ABC 的平分线;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．变化：若D 是等腰三角形底边BC 的中点;DE ∥AC 交AB 于E;DF ∥AB 交AC 于F;则四边形AEDF 是什么四边形 请说明理由．练习1：如图;AD 是Rt △ABC 斜边上的高;BE 平分∠B 交AD 于G;交AC 于E;过E 作EF ⊥BC 于F;试说明四边形AEFG 是菱形．练习2：如图;E 是菱形ABCD 边AD 的中点;EF ⊥AC 于点H;交CB 延长线于点F;交AB 于点G;求证：AB 与EF 互相平分.. ABCDA H GEDA B练习3：如图;在Rt △ABC 中;∠ACB ＝90°;∠BAC ＝60°;DE 垂直平分BC;垂足为D;交AB 于点E;又点F 在DE 的延长线上;且AF ＝CE;求证：四边形ACEF 是菱形..考点二：菱形的性质例1：如图;四边形ABCD 中;∠ADC ＝90°;AC ＝CB;E 、F 分别是AC 、AB 的中点;且∠DEA ＝∠ACB ＝45°;BG ⊥AE 于G;求证：1四边形AFGD 是菱形； 2若AC ＝BC ＝10;求菱形的面积..练习1：如图;在菱形ABCD 中;E 是AB 中点;且DE ⊥AB;AB ＝4; 求：1∠ABC 的度数； 2菱形ABCD 的面积.. FE DCBAED CBAGFED CBA例2 ：如图 5;ABCD 是菱形;对角线AC 与BD 相交于O ;306ACD BD ∠==°，． 1求证：△ABD 是正三角形； 2求 AC 的长结果可保留根号．练习1：若菱形的边长为1cm;其中一内角为60°;则它的面积为 A．2cm 2B2 C ．22cm D．2 练习2：若菱形的周长为16cm;两相邻角的度数之比是1：2;则菱形的面积是（A ） 4错误!cm B8错误!cm C16错误!cm D20错误!cm练习3：已知菱形的周长为96㎝;两个邻角的比是1︰2;这个菱形的较短对角线的长是A ．21㎝B ．22㎝C ．23㎝D ．24㎝例3： 如图;将一个长为10cm;宽为8cm 的矩形纸片对折两次后;沿所得矩形两邻边中点的连线虚线剪下;再打开;得到的菱形的面积为A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cmA BCDO DB A练习1：菱形的两条对角线分别是12cm 、16cm;则菱形的周长是 A ．24cm B ．32cm C ．40 cm D ．60cm练习2：若菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC 于E;AE ＝1cm;则BC 的长是 A1cm B2cm C3cm D4cm练习3:若菱形周长为52cm;一条对角线长为10cm;则其面积为A ．240 cm 2B ．120 cm 2C ．60 cm 2D ．30 cm 2例4:如图;菱形ABCD;E;F 分别是BC;CD 上的点;∠B ＝∠EAF ＝60°;∠BAE ＝18°求∠CEF 的度数..练习1:如图;菱形ABCD 中;∠B ＝60°;AB ＝2;E 、F 分别是B C ．CD 的中点;连接AE 、EF 、AF ;则△AEF 的周长为A ． 32B ． 33C ． 34D ． 3AD F CEBF D CB A EBCADO练习2：如图;在菱形ABCD 中;60A ∠=°;E 、F 分别是AB 、AD 的中点;若2EF =;则菱形ABCD 的边长是_____________．练习3：如图所示;已知菱形ABCD 中;E 、F 分别在BC 和CD 上;且∠B=∠EAF=60°;∠BAE=15°; 求∠CEF 的度数..例5：如图;菱形ABCD 是边长为13cm;其中对角线AC=10cm; 求1菱形ABCD 的面积；2作BC 边上的高AH;求出AH 的长度BCADO练习1：如图;在菱形ABCD 中;∠ABC 与∠BAD 的度数比为1：2;周长是48cm ． 求：1两条对角线的长度； 2菱形的面积．例6： 已知：如图;在菱形ABCD 中;E 、F 分别是BC 、CD 上的点;且CE=CF..过点C 作CG ∥EA 交AF 于H;交AD 于G;若∠BAE=25°;∠BCD=130°;求∠AHC 的度数..练习1： 如图所示;已知菱形ABCD 中E 在BC 上;且AB=AE;∠BAE=21∠EAD;AE 交BD 于M;试说明BE=AM..HGF EDC B A练习2：如图;菱形ABCD 的边长为2;BD ＝2;E 、F 分别是边AD ;CD 上的两个动点;且满足AE ＋CF ＝2． (1) 求证：△BDE ≌△BCF ；(2) 判断△BEF 的形状;并说明理由； (3) 设△BEF 的面积为S ;求S 的取值范围．考点三：综合例1：如图;菱形111AB C D 的边长为1;160B ∠=；作211AD B C ⊥于点2D ;以2AD 为一边;做第二个菱形222AB C D ;使260B ∠=；作322AD B C ⊥于点3D ;以3AD 为一边做第三个菱形333AB C D ;使360B ∠=；依此类推;这样做的第n 个菱形n n n AB C D 的边n AD 的长是 ．例2：菱形ABCD 的对角线交于O;AO=1;且∠ABC ∶∠BAD=1∶2;∠ABO=300则下列结论：①．∠ABC=600；②．AC=2；③．BD=4；④．SABCD=23；⑤菱形ABCD 的周长是8;其中正确的有 A ．①②③④⑤ B ．①②④⑤ C ．②③④⑤ D ．①②③ 1D B 3A C 2B 2C 3D 3 B 1D 2C 1 ABCDO例3：如图所示;在Rt ABC △中;90ABC =︒∠．将Rt ABC △绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC △，点E 在AC 上;再将Rt ABC △沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF △．连接AD ． 1求证：四边形AFCD 是菱形；2连接BE 并延长交AD 于G ，连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形 为什么课后练习:1、若菱形的边长是它的高的2倍;则它的一个较小内角的度数是 ..2、如图1;在菱形ABCD 中;AB = 5;∠BCD = 120°;则对 角线AC 等于 A ．20 B ．15 C ．10D ．53、菱形ABCD 中;AE 垂直平分BC ;垂足为E ;AB ＝4cm ．那么;菱形ABCD 的面积是 ;对角线BD 的长是 ．ADFCEGBBACD114、如图;在菱形ABCD 中;∠A =110°;E ;F 分别是边AB 和BC 的中点;EP ⊥CD 于点P ;则∠FPC = A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°5、已知：如图;四边形ABCD 是菱形;过AB 的中点E 作AC 的垂线EF;交AD 于点M;交CD 的延长线于点F. 1求证：AM=DM ；2若DF =2;求菱形ABCD 的周长．第21题图ABC D E F MBADEP CB F。

菱形的性质和计算菱形是一种特殊的四边形，具有一些独特的性质和计算方法。

在本文中，我们将探讨菱形的性质以及如何计算菱形的一些参数。

一、菱形的性质1. 边长相等：菱形的四条边都相等，即AB = BC = CD = DA。

2. 对角线相等：菱形的两条对角线相等，即AC = BD。

3. 对角线互相垂直：菱形的两条对角线相互垂直，即∠CAD = 90°，∠CBD = 90°。

4. 四个角相等：菱形的四个角都相等，即∠BAD = ∠ABC =∠BCD = ∠CDA。

5. 内角和为360°：菱形的内角和为360°，即∠BAD + ∠ABC +∠BCD + ∠CDA = 360°。

二、计算菱形的一些参数1. 周长：菱形的周长可以通过边长计算。

因为菱形的四条边相等，所以周长等于4倍边长，即周长 = 4 ×边长。

2. 面积：菱形的面积可以通过对角线长度计算。

我们可以利用以下公式计算菱形的面积：面积 = (对角线1 ×对角线2) / 2其中，对角线1和对角线2是菱形的两条对角线的长度。

3. 对角线长度：如果我们已知菱形的边长，可以通过以下公式计算对角线的长度：对角线长度= √(边长^2 + 边长^2)也可以通过已知菱形的某个角度和一条边长来计算对角线的长度。

具体计算方法可以根据已知条件灵活运用三角函数来求解。

4. 中线长度：菱形的两条对角线交叉点所形成的线段称为中线。

中线可以通过以下公式计算：中线长度= (1/2) × √(对角线1^2 + 对角线2^2)其中，对角线1和对角线2是菱形的两条对角线的长度。

5. 高度：菱形没有明确的高度定义。

因为菱形的对角线互相垂直，可以通过对角线长度计算高度。

从对角线的交叉点到菱形的任意一条边的垂直距离即可视为菱形的高度。

总结：菱形是一种特殊的四边形，具有边长相等、对角线相等、对角线互相垂直、四个角相等、内角和为360°等性质。

菱形的性质及判定知识点 A 要求B 要求Ｃ要求菱形会识别菱形 掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和判定解决简单问题会用菱形的知识解决有关问题1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．2．菱形的性质菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且四边相等． ② 角的性质：邻角互补，对角相等．③ 对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角． ④ 对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半． 3．菱形的判定判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形． 判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 判定③：四边相等的四边形是菱形．重点是菱形的性质和判定定理。

菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法。

菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方形重、难点知识点睛中考要求的基础。

难点是菱形性质的灵活应用。

由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，同时还具有自己独特的性质。

如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程 中应给予足够重视。

板块一、菱形的性质【例1】 ☆ ⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是【例2】 ⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm 若墙上钉子间的距离16cm AB BC ==，则1∠= 度．图21CBA⑵如图，在菱形ABCD 中，60A ∠=︒，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若2EF =，则菱形ABCD 的边长是______．【例3】 如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分．P HFE DCBA【例4】 ☆ 如图1所示，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为AD 边中点，菱形ABCD 的周长为24，则OH 的长等于 ．E F DBC A例题精讲图1HO DC BA【巩固】 ☆如图，已知菱形ABCD 的对角线8cm 4cm AC BD DE BC ==⊥，，于点E ，则DE 的长为【例5】 ☆ 菱形的周长为20cm ，两邻角度数之比为2:1，则菱形较短的对角线的长度为【巩固】 如图2，在菱形ABCD 中，6AC =，8BD =，则菱形的边长为（ ）A ．5B ．10C ．6D ．8图2DCBA【巩固】 如图3，在菱形ABCD 中，110A ∠=︒，E 、F 分别是边AB 和BC 的中点，EP CD ⊥于点P ，则FPC ∠=（ ）A ．35︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒图3E DP CF BA【例6】 ☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒ D．30︒或60︒【巩固】 菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，且AE BC ⊥，AF CD ⊥，那么EAF ∠等于 ．【巩固】 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm图1DCBA【例7】 ☆已知菱形ABCD 的两条对角线AC BD ，的乘积等于菱形的一条边长的平方，则菱形的一个钝角的大小是【例8】 如图，菱形花坛ABCD 的周长为20m ，60ABC ∠=︒，•沿着菱形的对角线修建了两条小路AC 和BD ，求两条小路的长和花坛的面积．图2【例9】 已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，若AE AF EF AB ===，求C ∠的度数．FEDCBA板块二、菱形的判定【例10】 如图，如果要使平行四边形ABCD 成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 ．DCAB【例11】 ☆如图，在ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BD 的中垂线交AB 于点E ，交BC 于点F ，求证：四边形BEDF 是菱形FEDCBA【巩固】 已知：如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别相交于E 、F .求证：四边形AFCE 是菱形.ODEFCAB【例12】 如图，在梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，AD CD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点C 落在AD 上的点C 处，折痕DE 交BC 于点E ，连结C E '.求证：四边形CDC E '是菱形．C'DCB A E【例13】 ☆如图，E 是菱形ABCD 的边AD 的中点，EF AC ⊥于H ，交CB 的延长线于F ，交AB 于P ，证明：AB 与EF 互相平分AB CDEF P PF EDC B A【巩固】 ☆已知：如图，在平行四边形ABCD 中，AE 是BC 边上的高，将ABE ∆沿BC 方向平移，使点E与点C 重合，得GFC ∆．若60B ∠=︒，当AB 与BC 满足什么数量关系时，四边形ABFG 是菱形？证明你的结论．GF E DCBA【例14】 如图，在ABC ∆中，AB AC =，M 是BC 的中点．分别作MD AB ⊥于D ，ME AC ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，EG AB ⊥于G ．DF EG 、相交于点P ．求证：四边形DMEP 是菱形．PMF E DG CBA【例15】 如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线，交BC 于D ，CH 是AB 边上的高，交AD于F ，DE AB ⊥于E ，求证：四边形CDEF 是菱形．HF DECBA【巩固】 ☆如图，M 是矩形ABCD 内的任意一点，将MAB ∆沿AD 方向平移，使AB 与DC 重合，点M 移动到点'M 的位置⑴画出平移后的三角形； ⑵连结'MD MC MM ，，，试说明四边形'MDM C 的对角线互相垂直，且长度分别等于AB AD ，的长；⑶当M 在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDM C 是菱形？为什么？M'MDC BA三、与菱形相关的几何综合题【例16】 已知等腰ABC △中，AB AC =，AD 平分BAC ∠交BC 于D 点，在线段AD 上任取一点P （A 点除外），过P 点作EF AB ∥，分别交AC 、BC 于E 、F 点，作PM AC ∥，交AB 于M 点，连结ME .⑴求证四边形AEPM 为菱形⑵当P 点在何处时，菱形AEPM 的面积为四边形EFBM 面积的一半？MPFABCDE1. 菱形周长为52cm ，一条对角线长为10cm ，则其面积为 ．2.如图，在菱形ABCD 中，4AB a E =，在BC 上，2120BE a BAD P =∠=︒，，点在BD 上，则PE PC +的最小值为PDCBA3. 已知菱形的一个内角为60︒，一条对角线的长为23，则另一条对角线的长为________．4.已知，菱形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且60B EAF ∠=∠=︒，18BAE ∠=︒．求：CEF ∠的度数．课后练习FEDCBA5.如图，在ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点，连结AD ，在AD 的延长线上取一点E ，连结BE ，CE ．当AE 与AD 满足什么数量关系时，四边形ABEC 是菱形？并说明理由．EDCB A6.如图，ACD ∆、ABE ∆、BCF ∆均为直线BC 同侧的等边三角形．已知AB AC =．⑴ 顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应的条件．⑵ 当BAC ∠为 度时，四边形ADFE 为正方形．FEDCB A7.如图，已知BE 、CF 分别为ABC ∆中B ∠、C ∠的平分线，AM BE ⊥于M ，AN CF ⊥于N ，求证：MN BC ∥．NMEFCBA。