出人意料的等式_数学论文

数学上的悖论谬论这篇关于数学上的悖论谬论的论证的文章是由北大中文系Matrix67所写，读来感觉很有意思，和大家一起分享，来一场头脑风暴。

1.1=2？史上最经典的“证明”设 a = b ，则a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有a·b - b^2 = a^2 - b^2 。

注意，这个等式的左边可以提出一个 b ，右边是一个平方差，于是有b·(a - b) = (a + b)(a - b) 。

约掉 (a - b) 有 b = a + b 。

然而 a = b ，因此 b = b + b ，也即 b = 2b 。

约掉 b ，得 1 = 2 。

这可能是有史以来最经典的谬证了。

注：这个证明的问题所在想必大家都已经很清楚了：等号两边是不能同时除以 a - b 的，因为我们假设了 a = b ，也就是说 a - b 是等于 0 的。

2.无穷级数的力量 (1)小学时，这个问题困扰了我很久：下面这个式子等于多少？1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …= [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + [1 + (-1)] + …= 0 + 0 + 0 + …= 0另一方面：1 + (-1) + 1 + (-1) + 1 + (-1) + …= 1 + [(-1) + 1] + [(-1) + 1] + [(-1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1这岂不是说明 0 = 1 吗？后来我又知道了，这个式子还可以等于 1/2 。

不妨设 S = 1 + (-1) + 1 + (-1) + … ，于是有 S = 1 - S ，解得 S = 1/2 。

学习了微积分之后，我终于明白了，这个无穷级数是发散的，它没有一个所谓的“和”。

无穷个数相加的结果是多少，这个是需要定义的。

古代方程趣味题赏析我国古代历史悠久，特别是数学成就更是十分辉煌，在民间流传着许多趣味数学题，一般都是以朗朗上口的诗歌形式表达出来，以下几例供大家欣赏。

（一）周瑜的年龄大江东去浪淘尽，千古风流数人物。

而立之年督东吴，早逝英年两位数。

十比个位正小三，个位六倍与寿符。

哪位学子算得快，多少年华属周瑜？解析：依题意得周瑜的年龄是两位数，且个位数字比十位数字大3，若设十位数字为X，则个位数字为（X+3），由“个位6倍与寿符”可列方程得：6(x+3)=10x+(x+3),解得x=3,所以周瑜的年龄为36岁。

（二）壶中原有多少酒李白街上走，提壶去买酒。

遇店加一倍，见花喝一斗。

三遇店和花，喝光壶中酒。

试问酒壶中，原有多少酒？解析：李白的壶中原有x斗酒，第一次遇到店加了x斗酒后变为2x斗酒，第一次赏花喝去1斗酒，此时还剩下（2x—1）斗酒，第二次遇到店时，壶中酒变为2（2x—1）斗酒，第二次赏花又喝去1斗酒，此时壶中还剩下【2（2x—1）—1】斗酒，第三次遇店时，壶中酒变为2【2（2x—1）—1】斗酒，第三次赏花时又喝去1斗酒，这是正好壶中的酒喝完。

因此可得到下面的方程：2【2（2x—1）—1】—1=0，解得x=7/8,所以壶中原有7/8斗酒。

（三）寺内多少僧人巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧。

三百六十四只碗，看看用尽不差争。

三人共食一碗菜，四人共吃一碗羹。

请问先生名算者，算来寺内几多僧？解析：设寺内有僧人x个，三人共食一碗菜，则吃菜用碗x/3个，四人共吃一碗羹，则喝羹用碗x/4个，正好用完364个碗，得x/3+x/4=364，解得x=624，所以寺内有624个僧人。

怎么样，同学们，这些古代方程有趣吧，解决此类问题的关键是对古诗文的正确理解，找出关键词和句，准确列出方程求解，不妨试试下面的《鸡兔同笼》：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？。

不会飞的蝴蝶——蝴蝶定理在中学平面几何中，有这样一个著名的命题：过一圆的弦AB的中点M引任意两弦CD和EF，连结CF和ED交AB于Q、P。

求证：PM=MQ。

由于题目的图形象一只蝴蝶，因此后人给它取名为“蝴蝶定理”。

这个题最早出现在公元1815年西欧的一本通俗杂志《男士日记》上，登出来是为了征求证明。

登出的当年，英国一个自学成才的中学数学教师霍纳就给出了第一个证明。

不过，霍纳的证明比较繁，使用的知识也比较深。

158年以后的1973年，又一位中学教师斯特温利用三角形面积关系，给出了一个漂亮而简捷的证明。

从这以后，这个定理限于初等数学，甚至只限于初中数学的证明象雨后春笋般脱颖而出，证法多得不枚胜举。

下面仅举四例与读者共同欣赏。

证法一：（斯特温法）如图，设AM=MB=a，MQ=x，PM=y。

又设△EPM、△CMQ、△FMQ、△DMP的面积分别为S1、S2、S3、S4。

因为∠E =∠C ，∠D =∠F ，∠CMQ =∠PMD ，∠FMQ =∠PME ，所以有14433221S S S S S S S S ⋅⋅⋅=1， 即 PMEPM AE FMQ MF MQ F FQ MF D DP DM PMD MD MP CMQ MQ MC C CQ MC E EM PE sin sin sin sin sin sin sin sin ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =22)()(PM FQ CQ MQ DP PE ⋅⋅⋅⋅=1。

就是 PE ·DP ·(MQ )2=CQ ·FQ ·(MP )2。

由相交弦定理有CQ ·FQ =BQ ·QA=(a -x )(a+x )=a 2-x 2，PE ·DP =AP ·PB=(a -y )(a+y )=a 2-y 2，所以有 (a 2-y 2)x 2=(a 2-x 2)y 2，即 a 2y 2=a 2x 2，∵ x 、y 都是正数，∴ x=y ，即 PM =MQ 。

数学猜想论文(2)数学猜想论文篇二课程改革要求要重视培养学生的创新思维、学习兴趣，数学猜想作为一种途径和方法越来越受到重视，无论是教材课程标准的要求，教材的编写，还是一线教师的教法改革都为数学猜想注入了生机。

然而谈到数学猜想，人们的理解大多还是像哥德巴赫猜想，庞加莱猜想，四色定理等比较高深、新奇的数学猜想，这不免让人觉得数学猜想非常神秘，高深莫测，非常人所能做。

之所以有这样的理解归咎于对数学猜想缺乏真正的理解和深入的思考，本文旨在讨论一下数学猜想的普遍性。

一、数学猜想的含义许多专家学者认为严格意义上的数学猜想是指数学新知识发现过程中形成的猜想;广义的数学猜想是在数学学习或解决问题时展开的尝试和探索，是关于解题的主导思想、方法以及答案的形式、范围、数值等的猜测。

包括对问题结论整体的猜想，也包括对某一局部情形或环节的猜想。

中小学阶段学生的数学猜想，即学生依据已有的数学知识，已掌握的数学思维方法，对数学问题各个部分的合情推理，如对解题的主导思想、方法，问题结论以及结论成因的合情推断，并对所做的推断进行科学的检验。

二、数学猜想的特点数学猜想不是凭空胡乱的猜，而是根据已有的科学事实和知识运用掌握的数学思想和方法所作出的，具有科学性;数学猜想具有多样性，数学猜想包括对解题思路，解题方法的猜想，对结论、条件的猜想;数学学科严谨性的特点要求所有的猜想必须经过严格的验证才是正确的;解法的多样性，多个结论的得出都体现了思维的灵活性，发散性，对错误猜想的质疑、批判都反映着创新的特征。

从数学猜想的含义和特点来看，数学猜想本身不是神秘的，它是发生在一定的数学知识的基础之上的，由于数学知识储备量的差异也就造成了所作出数学猜想的层次不同。

数学猜想可以是数学家研究型的猜想，也可以是中小学生学习型的猜想，甚至也可以是四五岁的孩子做出的。

比如：一个已经会写1到10的数字的幼儿园孩子，示范11，12，13的写法，再引导其观察这三个数的结构特征，这个孩子可以自己写出14到19的数学的。

数学小论文有关数学小论文篇一法国数学家韦达创，制造了方程，并给世界带来了特殊多的便利，让世界变得先进。

方程还是万题中的法宝，方程也是有未知数的等式。

把一个未知数设为字母好像未知数已是一个数，再用移项（从难到简的简便方法）把位知数和数字分开各归一边，假如等式两边交换了位子符号也得变。

加变减，减变加，乘变除，除变乘。

假如有两个未知数确定要设一倍量，再用倍数等关系用一倍量设出另一个未知数，这样会特殊简洁。

但假如连倍数关系或没有一倍量都没有，那就得用到方程组。

方程组并不难，只要有一个算式有两个未知数可推出另一个算式，变的只有一个未知数。

更可帮你解，如x-y=3也可以推出为3+y=x。

有时方程组中有两个一样的未知数，如3x+3y=15,3x+2y=13，就可把两个等式相减，3x抵消，3y-2y=y=15-3也就是把等式与等式相减，得出两个等式中差得数，得到一个未知数后代入等式求出其他的未知数。

还要可以把整个等式乘几，等式里全部都得乘几，所以结果也得乘同样倍数，更简洁相减出未知数，但要有两个等式中有两个未知数要有倍数关系。

才能抵消掉一个未知数。

如3x+4y=15,3x+2y=9这时2y 与4y就有倍数关系，可把3x+2y=9扩大二倍得6x+4y=18（9乘2）。

在两个等式一同相减，得3x=18-15 x=3除以3。

虽然我只讲了一部分，但方程还有更多内容，更多简便方法，但不是一言可以难尽的。

得自己去查找更多的数学神奇。

有关数学小论文篇二“照相啦！照相啦！”熊爸爸扯开嗓门叫了起来。

听到爸爸的叫声小熊们立马听见飞奔过来。

小熊们排好队伍预备照相，有5只小熊排成一排，分别是：熊大、熊二、熊三、熊四和熊五。

但是熊大不愿站两边，熊三也不想站中间，这时熊爸爸提了个问题，请小熊们想想有多少种排法。

小熊们都陷入了深思……熊二很认真地开头考虑爸爸的提问，它想先考虑熊大不站两边的状况，应当有：（4×3×2×1）×3=72种，再考虑熊三不站中间的状况，这下熊二纳闷了，熊三在考虑熊大时排列过了，分不清熊三还有多少种排法，只好重新考虑。

【六年级】在名人的等式中去拓展
名人的等式是指将名人的名字与某个等式或式子联系起来产生的有趣的数学谜题或数学问题。

通过拓展这些名人的等式，我们可以进行更深入的思考和探索，提高数学思维和解决问题的能力。

下面让我们来拓展一些著名的名人的等式吧！
我们来拓展著名数学家欧拉的等式：e^iπ + 1 = 0。

这个等式被称为欧拉等式，它结合了自然对数的底e，虚数单位i，圆周率π和1的关系。

我们可以通过拓展这个等式来探索更多的数学知识。

我们可以将自然对数的底e替换为一个变量x，得到等式x^iπ + 1 = 0。

这样的话，我们可以通过求解这个方程来探索变量x的取值范围和特性。

接下来，我们来拓展科学家爱因斯坦的等式：E = mc^2。

这个等式描述了质能转化的关系，其中E代表能量，m代表物体的质量，c代表光速。

我们可以通过拓展这个等式来研究物体质量与能量之间其他的关系。

我们可以将等式改写为E/m = c^2，这样的话，我们可以通过测量物体的能量和质量来求解光速的值。

除了数学和物理的等式，我们还可以拓展其他领域的名人的等式。

我们来拓展音乐家贝多芬的等式：音符 + 才华 + 努力 = 杰作。

这个等式表达了贝多芬认为音乐杰作的创
作条件。

我们可以通过拓展这个等式来思考其他领域的创作条件或规律。

我们可以将等式改写为素材 + 才华 + 创意 = 作品，这样的话，我们可以通过调整素材的选择，发挥自
己的创意来创作出更多优秀的作品。

数学公式蕴含的人生哲理，每一条都令人深思爱因斯坦曾说：数学之所以比一切其它科学受到尊重，是因为他的命题是绝对可靠和无可争辩的。

绝对可靠、无可争辩的数学公式，其所揭示的定理与我们的人生其实有奇妙的相呼应之处，甚至可以为我们指引方向。

以下五道数学公式背后所揭示的人生哲理，哪一条打动了你，令你有所思、有所悟呢？①欧拉恒等式，这条公式有“上帝创造的公式”之美称，赌王之子何猷君在综艺节目《一站到底》上曾说到：这是一条令数学家心跳加速的公式，也代表了我们所追求的理想的人生。

等式里面包含了五个数学最基本的元素，而当你将它转换为图案，画出来的圆形会回到之前的原点。

我们所追求的理想生活不就像这条公式一样吗？历经千帆，归来仍少年。

回到原点，初心不变。

②积跬步以致千里，积怠惰以致深渊。

这条等式明明白白告诉我们这样一个道理：哪怕每天多做的这一份努力毫不起眼，只要你坚持不懈，定能得到千分收获；不进则退，你只多一分怠惰，千分成就都会亏空。

只比你努力一点的人，其实已经甩你太远。

我们由此也懂得：无论是在学习或工作生活中，功利地根据能否快速获得效益而选择努力与否，这个做法并不可取。

所有的成功绝不仅靠偶然，我们应调整好心态，任何时候将每一步的努力踏踏实实做好，未来厚积薄发，所有成功是必然。

③这条数学公式来源于《拖延心理学》，字母分别代表：U-效率，E-你对任务获得成功的信心，V-你对整个任务感到愉快的程度，I-你有多容易分心，D-你多久会获得回报。

现代人许多通病，拖延症一定位列有名。

我们总是能给自己一种“时间还有很多”的错误的心理暗示，永远能让自己“不拖拉到最后一刻绝不完成任务”。

这条公式能够帮助我们评估量化每个值，通过分析分子分母大小来对自己进行调整，努力把拖延降到最低，从而提高效率。

④两数和的绝对值小于等于两数绝对值的和。

由正负数的概念我们知道这条公式定理的成立并不难证明，而它也特别贴切实际地反映出团队合作中减少“内耗”的重要性。

10个令人惊异的数学结论作者，Sean Li 。

翻译，伯努利数，哆嗒数学网翻译组成员。

数学中有许多非常枯燥的事情。

例如谁会关心(半径为r的)圆的面积是πr²，或者“负负得正”呢？为什么？也许我们可以在最出乎意料的结果上找到答案，反直觉的事实有时候甚至骗过了最好的数学家。

1、生日悖论生日悖论是说如果一个房间里有23个人，那么有两个人生日是同一天的概率将大于50%。

这事实看起来很违反直觉，我们都知道在任何一个特定的日子里某人过生日的概率是1/365。

这种差异源于我们只要求两个人彼此拥有同一天生日即可。

不然，若我们考虑的是在某人在某个特定的日子过生日，例如3月14日，那么23个人中，出现这种事的概率是6.12%。

换句话说，如果一个房间有23个人，而你又选择了某人X，并问他：“有人和你是同一天生日吗？”，答案很可能是否定的。

但如果对其他22个人重复同样的行为，每问一次，你会更有机会得到肯定答复，最终我们会看到，这个概率将会超过50%（准确的说是50.7%）2、曼德勃罗集德勃罗集是一个复数集，考虑函数f(z)=z² c，c为复常数，在这为参数。

若从z=0开始不断的利用f(z)进行迭代，则凡是使得迭代结果不会跑向无穷大的c组成的集合被称为曼德勃罗集。

规则不复杂，但你可能没预料到会得到这么复杂的图像。

当你放大曼德勃罗集时，你会又发现无限个小的曼德勃罗集，其中每个又亦是如此...（这种性质是分形所特有的）这真的很契合那句俗话“大中有大，小中有小”，下面有一个关于放大他的视频，我想这绝对令人兴奋不已。

如果你看了这些视频后仍然不觉得这些纯数学令人感到惊讶，那我也不知说什么好了。

3、巴拿赫-塔尔斯基悖论巴拿赫-塔尔斯基悖论是说，你可以将一个图形拆分后拼成两个各自和原先大小完全相同的图形。

更特别的，它声称，对于一个3维实心球，可以将其分成有限份，而后拼成各自与原先的实心球大小完全相同的实心球。

很明显，这可是高度反直觉的。

4个让⼈匪夷所思的数学真理——关于数学、真理和极限⼤多数在数学上正确的科学是反直觉的。

事实上，在数学中，我们经常会遇到这样的情况，即我们会推导出我们不完全理解的东西。

欧拉恒等式这就是众所周知的欧拉恒等式。

如果你问任何⼀个稍微熟悉数学研究的⼈，他们都会认出它。

对我来说，数学最有趣的地⽅在于发现我们并不完全理解的东西。

超越数就是其中之⼀。

我们发现它经常出现在我们经常使⽤的地⽅。

要么是半衰期，要么是计算房屋利率，要么是计算圆周长与直径之⽐。

有了0和1，以及- 1的平⽅根的定义，加上唯⼀性的⼀般公理，我们就可以构建整个数字系统。

我们所有的知识都在这个等式中。

但我们不知道为什么。

这有点像万有引⼒，因为⽜顿知道有⼀个⼒作⽤在从树上掉下来的苹果上。

但是，直到今天，我们仍然对它到底是什么有争议。

斯坦福⼤学教授基思·德夫林谈到欧拉恒等式：就像莎⼠⽐亚的⼗四⾏诗抓住了爱的本质，或者⼀幅画展现了⼈类形态的美，⽽不仅仅是肤浅的，欧拉⽅程深⼊到存在的最深处。

哲学家、数学家、哈佛⼤学教授本杰明·⽪尔斯也说过：这“绝对是⾃相⽭盾的，我们不能理解它，我们不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它⼀定是真理。

这就是欧拉恒等式的核⼼。

事实上，它是很多数学的核⼼。

但是即使抛弃了整个逻辑思维和精确性，它也没有达到真正的真实含义。

我们知道，他们以我们所知的⾼度精确的程度来解释现实。

他们模拟了我们遇到的⼏乎所有东西。

它们改善了社会绝⼤多数⼈的⽣活，⽽社会却不承认它。

它们是世界上看不见的真理。

你不需要了解他们就能从他们给我们的东西中受益。

但是，如果有⼈问我，“为什么？”是欧拉恒等式，我不能告诉你。

这就是有趣的地⽅。

你有⼀个如此强⼤的⽅程，将数学中如此多的元素联系在⼀起——⽽且如此优雅——但我们并没有真正理解它。

还记得我们在欧拉恒等式中看到的e吗？它与很多事物都有联系，但让我们先从它的发现开始，然后再进⼊它的奇怪之处。

让你吃惊的算式作者：孙维梓来源：《第二课堂(中学版)》2009年第04期在所有的算式中，加法竖式可算是最简单不过的。

然而你想过没有，事物往往会在平凡中冒出神奇，在神奇中显出怪异。

本文将给大家讲述一些极其富有数学美的加法竖式，或许会让你吃惊不已。

不妨设想一下：如果随便把某个一位数加上两位数、三位数、四位数直至九位数，再接着加上某个九位数、八位数、七位数直至一位数为止，会出现什么结果呢？不言而喻，它们的总和很可能会达到十位数。

然而我们却要求这个答数正好等于1234567890！这有可能吗？不少同学会硬着头皮说：“那也不难，让我想办法凑一下就行了。

”但是我们还要求这十八个加数是有规律的，不准胡乱拼凑，你还认为这是一件轻而易举的事情吗？下面请大家来欣赏一下加法竖式1：乍看之下，它似乎就是把1+23+456+…成堆地凑起来的，每次不过是在123456789123…里面按照每次取一位、二位、三位的规律一直取到最大的九位数，接下去再按照每次取九位、八位的规律一直取到一位数为止。

但是各个数字原来是从左到右排列的，现在却要改为从右到左来排列。

这十八个加数自小而大，再自大而小，很有点“横看成岭侧成峰”的味道。

如果把这些加数旋转90度，就能形成一座雄伟的大山。

数字的排列颇像是上下山坡的盘旋的弯道，挺有意思。

然而当你拿着计算器把它们一一相加以后，你会发现答数竟然就是1234567890！真是“天造地设”，真是“无巧不成书”啊！千万别以为这只是凑巧，是一次偶然事件，不，天上不会掉馅饼，这只是貌似偶然其实是必然的结果罢了。

如果你仔细观察，你会发现一位数1与9的和等于10；二位数加数23与87的和等于110；三位数加数456与654的和等于1110；如此下去，最大的加数123456789与987654321的和必然等于1111111110！所以当你把10+110+1110+…+1111111110相加后，自然等于1234567890。