函数的奇偶性的典型例题
函数的奇偶性的判断
判断函数的奇偶性大致有下列两种方法：
第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，判断步骤如下：
①、定义域是否关于原点对称；
②、数量关系)()(x f x f ±=-哪个成立；
例1：判断下列各函数是否具有奇偶性
⑴、x x x f 2)(3+= ⑵、2
432)(x x x f += ⑶、1
)(2
3--=x x x x f ⑷、2)(x x f = []2,1-∈x ⑸、x x x f -+-=22)( ⑹、2211)(x x x f -+-=
解：⑴为奇函数 ⑵为偶函数 ⑶为非奇非偶函数
⑷为非奇非偶函数 ⑸为非奇非偶函数 ⑹既是奇函数也是偶函数
注：教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了。
例2：判断函数⎩⎨⎧<≥-=)
0()0()(22x x x x x f 的奇偶性。 .)(),()()
()()()(,0,0)
()()(,0,0)
(0)0(:22222为奇函数故总有有时即当有时即当解x f x f x f x f x x x f x x x f x x x f x x x f f =-∴-=--=-=->-<-=-=--=-<->-==
第二种方法：利用一些已知函数的奇偶性及下列准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和是奇函数；两个偶函数的和是偶函数；奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积为偶函数；两个偶函数的积为偶函数；奇函数与偶函数的积是奇函数。
四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。
命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分
条件。
此命题正确。如果函数的定义域不关于原点对称，那么函数一定是非奇非偶函数，这一点可以由奇偶性定义直接得出。
命题2 两个奇函数的和或差仍是奇函数；两个偶函数的和或差仍是偶函数。 此命题错误。一方面，如果这两个函数的定义域的交集是空集，那么它们的和或差没有定义；另一方面，两个奇函数的差或两个偶函数的差可能既是奇函数又是偶函数，如f(x)=x(x ∈〔-1,1〕),g(x)=x(x ∈〔-2,2〕)，可以看出函数f(x)与g(x)都是定义域上的函数，它们的差只在区间〔-1，1〕上有定义且f(x)-g(x)=0，而在此区间上函数f(x)-g(x)既是奇函数又是偶函数。
命题3 f(x)是任意函数，那么|f(x)|与f(|x|)都是偶函数。
此命题错误。一方面，对于函数|f(x)|=⎩
⎨⎧<-≥),0)((),(0)((),(x f x f x f x f 不能保证f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，对于一个任意函数f(x)而言，不能保证它的定义域关于原点对称。如果所给函数的定义域关于原点对称，那么函数f(|x|)是偶函数。
命题4 如果函数f(x)满足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函数f(x)是奇函数或偶
函数。
此命题错误。如函数f(x)=⎩
⎨⎧∈+=∈=),12(,),2(,2N n n x x N n n x x 从图像上看，f(x)的图像既不关于原点对称，也不关于y 轴对称，故此函数非奇非偶。
命题5 函数f(x)+f(-x)是偶函数，函数f(x)-f(-x)是奇函数。
此命题正确。由函数奇偶性易证。
命题6 已知函数f(x)是奇函数，且f(0)有定义，则f(0)=0。
此命题正确。由奇函数的定义易证。
命题7 已知f(x)是奇函数或偶函数，方程f(x)=0有实根，那么方程f(x)=0的所有实根之和为零；若f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0有奇数个实根。
此命题正确。方程f(x)=0的实数根即为函数f(x)与x 轴的交点的横坐标，由奇偶性的定义可知：若f(x 0)=0，则f(-x 0)=0。对于定义在实数集上的奇函数来说，必有f(0)=0。故原命题成立。
五、关于函数按奇偶性的分类
全体实函数可按奇偶性分为四类：①奇偶数、②偶函数、③既是奇函数也是偶函数、④非奇非偶函数。
六、关于奇偶函数的图像特征
例1：已知偶函数)(x f y =在y 轴右则时的图像如图（一）试画出函数y 轴右则的图像。
七、关于函数奇偶性的简单应用
1、利用奇偶性求函数值
例1：已知8)(3
5-++=bx ax x x f 且10)2(=-f ，那么=)2(f
2、利用奇偶性比较大小
例2：已知偶函数)(x f 在()0,∞-上为减函数，比较)5(-f ，)1(f ，)3(f 的大小。
3.利用奇偶性求解析式
例3：已知)(x f 为偶函数时当时当01,1)(,10<≤--=≤≤x x x f x ，求)(x f 的解析式？
4、利用奇偶性讨论函数的单调性
例4：若3)3()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，讨论函数)(x f 的单调区间？
5、利用奇偶性判断函数的奇偶性
例5：已知函数)0()(23≠++=a cx bx ax x f 是偶函数，判断cx bx ax x g ++=23)(的奇偶
性。
6、利用奇偶性求参数的值
例6：定义在R 上的偶函数)(x f 在)0,(-∞是单调递减，若)123()12(22+-<++a a f a a f ，则a 的取值范围是如何？
7、利用图像解题 图（二）
图（一）
例7（2004.上海理）设奇函数f(x)的定义域为[-5,5].若当x ∈[0,5]时, f(x)的图象如右图,则不等式()08.利用定义解题
例8.已知函数1().21x f x a =-
+，若()f x 为奇函数，则a =________。
