变化率问题 导数的概念

1.1变化率与导数1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念1．通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点、难点)4．理解函数的平均变化率，瞬时变化率及导数的概念．(易混点)[基础·初探]教材整理1函数的平均变化率阅读教材P2～P4“思考”以上部分，完成下列问题．1．函数的平均变化率(1)对于函数y＝f(x)，给定自变量的两个值x1，x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子____________称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．(2)习惯上用Δx表示x2－x1，即Δx＝________，可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”，可用x1＋Δx代替x2；类似地，Δy＝________.于是，平均变化率可表示为________．2．平均变化率的几何意义设A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))是曲线y ＝f (x )上任意不同的两点，函数y ＝f (x )的平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)Δx 为割线AB 的______，如图1-1-1所示．图1-1-1【答案】 1.(1)f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1(2)x 2－x 1 f (x 2)－f (x 1) ΔyΔx 2.斜率判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)由Δx ＝x 2－x 1，知Δx 可以为0.( )(2)Δy ＝f (x 2)－f (x 1)是Δx ＝x 2－x 1相应的改变量，Δy 的值可正，可负，也可为零，因此平均变化率可正，可负，可为零．( )(3)对山坡的上、下两点A ，B 中，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可以近似刻画山坡的陡峭程度．( )【答案】 (1)× (2)√ (3)√ 教材整理2 瞬时速度、导数的概念阅读教材P 4～P 6“例1”以上部分，完成下列问题． 1．瞬时速度(1)物体在__________的速度称为瞬时速度．(2)一般地，设物体的运动规律是s ＝s (t )，则物体在t 0到t 0＋Δt 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .如果Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于某个常数v ，我们就说当Δt 趋向于0时，ΔsΔt 的________是v ，这时v 就是物体在时刻t ＝t 0时的瞬时速度，即瞬时速度v ＝lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt .2．导数的定义函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________________，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0_________.【答案】 1.(1)某一时刻(2)极限2．f′(x0)或y′|x＝x0f(x0＋Δx)－f(x0)Δx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数值与Δx值的正、负无关．()(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x1，x2]上变化快慢的物理量．()(3)在导数的定义中，Δx，Δy都不可能为零．()【解析】(1)由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关，故正确．(2)瞬时变化率是刻画某一时刻变化快慢的物理量，故错误．(3)在导数的定义中，Δy可以为零，故错误．【答案】(1)√(2)×(3)×2．函数f(x)＝x2在x＝1处的瞬时变化率是________．【解析】∵f(x)＝x2.∴在x＝1处的瞬时变化率是lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(1＋Δx)2－12Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2. 【答案】 2[小组合作型]求函数的平均变化率(1)已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )【导学号：62952001】A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x ，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．【精彩点拨】 (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2＋0.1)－f (2)可得． (2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx【自主解答】 (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x 在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤第一步，求自变量的增量Δx＝x2－x1.第二步，求函数值的增量Δy＝f(x2)－f(x1)．第三步，求平均变化率ΔyΔx ＝f(x2)－f(x1)x2－x1.2．求平均变化率的一个关注点求点x0附近的平均变化率，可用f(x0＋Δx)－f(x0)Δx的形式．[再练一题]1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是() A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2【解析】∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx，故选C.【答案】 C求瞬时速度(1)以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体，t秒时的高度为s(t)＝v0t－1 2gt2，则物体在t0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s＝2t3，则物体在第t＝1时的瞬时速度是_____．【精彩点拨】先求出ΔsΔt，再求limΔt→0ΔsΔt.【自主解答】(1)∵Δs＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v0t0－12gt20＝v0Δt－gt0Δt－12gΔt2，∴ΔsΔt＝v0－gt0－12gΔt，∴limΔt→0ΔsΔt＝v0－gt0，即t0时刻的瞬时速度为v0－gt0.(2)∵当t＝1时，Δs＝2(1＋Δt)3－2×13＝2[1＋(Δt)3＋3Δt＋3(Δt)2]－2＝2＋2(Δt)3＋6Δt＋6(Δt)2－2＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6Δt，∴ΔsΔt＝2(Δt)3＋6(Δt)2＋6ΔtΔt＝2(Δt)2＋6Δt＋6，∴limΔt→0ΔsΔt＝6，则物体在第t＝1时的瞬时速度是6.【答案】(1)v0－gt0(2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)．(2)求平均速度v＝Δs Δt.(3)求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，ΔsΔt无限趋近于常数v，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx(当Δx无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx无限趋近于0就是令Δx＝0，求出结果即可．[再练一题]2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s).【导学号：62952002】(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 【解】 (1)初速度v 0＝lim Δt →0 s (Δt )－s (0)Δt＝lim Δt →0 3Δt －(Δt )2Δt ＝lim Δt →0 (3－Δt )＝3，即物体的初速度为3 m/s. (2)v 瞬＝lim Δt →0s (2＋Δt )－s (2)Δt＝lim Δt →0 3(2＋Δt )－(2＋Δt )2－(3×2－4)Δt＝lim Δt →0－(Δt )2－ΔtΔt＝lim Δt →0(－Δt －1)＝－1，即物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反． (3)v ＝s (2)－s (0)2－0＝6－4－02＝1，即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.[探究共研型]求函数在某点处的导数探究1 试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度．【提示】 Δs Δt ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt .探究2 当Δt 趋近于0时探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？【提示】 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．(1)求函数f(x)＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y＝3x2在x＝1处的导数．【精彩点拨】求函数f(x)在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f′(x0)．【自主解答】(1)∵Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)＋2＝3Δx－(Δx)2，∴ΔyΔx＝3Δx－(Δx)2Δx＝3－Δx，∴f′(－1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(3－Δx)＝3.(2)∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝3(1＋Δx)2－3＝6Δx＋3(Δx)2，∴ΔyΔx＝6＋3Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0(6＋3Δx)＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy与Δx 的比值，感受和认识在Δx逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A这一现象．2．用定义求函数在x＝x0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；(2)求平均变化率Δy Δx；(3)求极限，得导数为f′(x0)＝limΔx→0Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．[再练一题]3．求函数f(x)＝x－1x在x＝1处的导数．【解】∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx ＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝2.1．函数f(x)＝x3在区间(－1,3)上的平均变化率为() A．6.5 B．7C．14 D．13【解析】ΔyΔx＝f(3)－f(－1)3－(－1)＝27－(－1)4＝7.【答案】 B2．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在3 s末的瞬时速度是()A．7 m/s B．6 m/sC．5 m/s D．8 m/s【解析】∵ΔsΔt＝1－(3＋Δt)＋(3＋Δt)2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt，∴limΔt→0ΔsΔt＝limΔt→0(5＋Δt)＝5(m/s)．【答案】 C3．质点运动规律s＝12gt2，则在时间区间(3,3＋Δt)内的平均速度等于____．(g＝10 m/s2)【解析】Δs＝12g×(3＋Δt)2－12g×32＝12×10×[6Δt＋(Δt)2]＝30Δt＋5(Δt)2，v＝ΔsΔt＝30＋5Δt.【答案】30＋5Δt4．一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)．若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝________.【解析】因为Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a·22－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以ΔsΔt ＝4a＋aΔt，故当t＝2时，瞬时速度为limΔt→0ΔsΔt＝4a，所以4a＝8，所以a＝2.【答案】 25．在曲线y＝f(x)＝x2＋3上取一点P(1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy)，求：(1)ΔyΔx；(2)f′(1)．【解】(1)ΔyΔx＝f(1＋Δx)－f(1)Δx＝(1＋Δx)2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx.(2)f′(1)＝limΔx→0f(1＋Δx)－f(1)Δx＝limΔx→0(2＋Δx)＝2.。