高考数学数列不等式证明题放缩法十种方法技巧汇总
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1. 均值不等式法
例1 设.)1(3221+++⋅+⋅=n n S n Λ求证
.2
)1(2)1(2
+<<+n S n n n 例2 已知函数
bx
a x f 211
)(⋅+=
，若5
4)1(=
f ，且)(x f 在[0，1]上的最小值为21，求证：
.2
1
21)()2()1(1
-+
>++++n n n f f f Λ 例3 求证),1(22
1321
N n n n C C C C n n n
n
n
n
∈>⋅>++++-Λ.
例
4 已知222121n a a a +++=L ，222
121n x x x +++=L ，求证：
n n x a x a x a +++Λ2211≤1.
2．利用有用结论
例5 求证.12)1
21
1()511)(311)(11(+>-+++
+n n Λ 例6 已知函数
.2,,10,)1(321lg )(≥∈≤<⋅+-++++=*n N n a n
n a n x f x
x x x 给定Λ
求证：
)0)((2)2(≠>x x f x f 对任意*∈N n 且2≥n 恒成立。 例7 已知1
1211
1,(1).2n n
n
a a a n n +==+
++ )(I 用数学归纳法证明2(2)n a n ≥≥；
)(II 对ln(1)x x +<对0x >都成立，证明2n a e <（无理数 2.71828e ≈L
）
例8 已知不等式
21111
[log ],,2232
n n N n n *+++>∈>L 。2[log ]n 表示不超过n 2log 的最大整数。设正数数列}{n a 满足：.2,),0(111≥+≤
>=--n a n na a b b a n n n 求证.3,]
[log 222≥+a n
再如：设函数
()x f x e x =-。
（Ⅰ）求函数()f x 最小值；
（Ⅱ）求证：对于任意n N *
∈，有
1
()
.1
n
n
k k
e
n e =<
-∑ 例9 设n n n
a )1
1(+=，求证：数列}{n a 单调递增且.43. 部分放缩
例10 设++
=a n a 2
1111,23a a
a n ++≥L ,求证：.2{}n a 满足()++∈+-=N n na a a n n n 121，当31≥a 时证明对所有,1≥n 有：
2)(+≥n a i n ； 2
1
111111)(21≤+++++
+n a a a ii Λ.
4 . 添减项放缩
例12 设N n n ∈>,1，求证)
2)(1(8
)32(++a 满足).,2,1(1
,211Λ=+
==+n a a a a n
n n 证明12+>n a n 对一切正整数n 成立；
5 利用单调性放缩: 构造函数
例14 已知函数2
2
3)(x ax x f -=的最大值不大于61，又当]21,41[∈x 时
.81)(≥x f （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设*+∈=<
1
011，证明.11+<
n a n 例15 数列
{}n x 由下列条件确定：01>=a x ，,211⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+
=+n n n x a x x N n ∈． （I ） 证明：对2≥n 总有a x n
≥；(II) 证明：对2≥n 总有1+≥n n x x
6 . 换元放缩
例16 求证).2,(1
2
11≥∈-+
<<
*n N n n n n
例17 设1>a ，N n n ∈≥,2，求证4
)1(2
2->
a n a n
.
7 转化为加强命题放缩
例18 设10<n +=
+=+1
,111，求证：对一切正整数n 有.1>n a 例19 数列{}n x 满足.,21
2211n
x x x x n n n +==+证明.10012001例20 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
3
2
，且a n
＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－
（1）求数列｛a n ｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n 有a 1•a 2•……a n <2•n ！
8. 分项讨论
例21 已知数列}{n a 的前
n
项和
n S 满足.1,)1(2≥-+=n a S n n n
（Ⅰ）写出数列
}{n a 的前3项321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；
