2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)

2020年高考模拟试卷高考数学模拟试卷（理科）（二）一、选择题1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．20B．﹣20C．﹣15D．155．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A．B．C．D．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．集合A＝{x||x﹣1|＜2}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，2）C．（1，3）D．（﹣1，3）【分析】通过绝对值不等式求解集合A，指数不等式的求解求出集合B，然后求解交集．解：因为集合A＝{x||x﹣1|＜2}＝{x|﹣1＜x＜3}，＝{x|﹣1＜x＜2}，A∩B＝{x|﹣1＜x＜3}∩{x|﹣1＜x＜2}＝{x|﹣1＜x＜2}．故选：B．2．设S n是公差为d（d≠0）的无穷等差数列{a n}的前n项和，则“d＜0”是“数列{S n}有最大项”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用等差数列的求和公式表示出S n，整理后，得到等差数列的S n为关于n的二次函数，利用配方法，即可确定数列的最大项．根据d小于0，可得此函数图象为开口向下的抛物线，函数有最大值，从而利用二次函数求最值的方法即可得出S n的最大值，即为{S n}中的最大项；反之也然．解：由等差数列的求和公式得：S n＝na1+d，整理得：S n＝0.5dn2+（a1﹣d）n，当d＜0，∴等差数列的S n为二次函数，依题意是开口向下的抛物线，∴S n有最大值；反之，当数列{S n}有最大项时，则S n为二次函数，且图象是开口向下的抛物线，从而d ＜0．故选：A．3．△ABC中，＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），若•＝，则角C为（）A．B．C．D．【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．解：∵＝（cos A，sin A），＝（cos B，﹣sin B），∴＝cos A cos B﹣sin A sin B＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cos C，∴，得cos C＝﹣．∵0＜C＜π．∴．故选：B．4．已知a＝dx，则（x﹣）6展开式中的常数项为（）A．20B．﹣20C．﹣15D．15【分析】利用定积分的定义求得a的值，求得展开式中的通项公式，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：∵已知＝（lnx）＝1，∴＝，它的展开式的通项公式为T r+1＝•x6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r••x6﹣2r．令6﹣2r＝0，可得r＝3，∴开式中的常数项为﹣＝﹣20，故选：B．5．正三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱长都为2，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】通过建立空间直角坐标系，利用两条异面直线的方向向量的夹角即可得出异面直线所成的角．解：如图所示，分别取BC、B1C1的中点O、O1，由正三棱柱的性质可得AO、BO、OO1令两垂直，建立空间直角坐标系．∵所有棱长都为2，∴A，B（0，1，0），B1（0，1，2），C1（0，﹣1，2）．∴，∴＝＝＝．∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．故选：B．6．已知函数，其图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，则（）A．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递增函数B．f（x）的最小正周期为2π，且在（0，π）上为单调递减函数C．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递增函数D．f（x）的最小正周期为π，且在上为单调递减函数【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式为f（x）＝2sin（ωx﹣），由题意可得＝，解得ω的值，即可确定函数的解析式为f（x）＝2sin（2x﹣），由此求得周期，由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，求得x的范围，即可得到函数的增区间，从而得出结论．解：∵函数＝2[sin（ωx﹣cosωx]＝2sin（ωx ﹣），∴函数的周期为．再由函数图象相邻的两条对称轴方程为x＝0与，可得＝，解得ω＝2，故f（x）＝2sin（2x﹣）．故f（x）＝2sin（2x﹣）的周期为＝π．由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，故函数的增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z，故函数在上为单调递增函数，故选：C．7．2019年10月1日在庆祝中华人民共和国成立70周年大阅兵的徒步方队中，被誉为“最强大脑”的院校科研方队队员分别由军事科学院、国防大学、国防科技大学三所院校联合抽组，已知军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为（）A．B．C．D．【分析】利用对立事件概率计算公式直接求解．解：军事科学学院的甲、乙、丙三名同学被选上的概率分别为，，，∴这三名同学中至少有一名同学被选上的概率为：P＝1﹣（1﹣）（1﹣）（1﹣）＝．故选：C．8．过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，直线l与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线的准线上的射影为C，若，，则抛物线的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝3x C．y2＝12x D．【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，F为线段AB的中点，进而可知|AF|和|AB|，推断出AF|＝|AB|，求得∠ABC，进而根据，求得p，则抛物线方程可得．解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，依题意，F为线段AB的中点，故|AF|＝|AC|＝2|FD|＝2p，|AB|＝2|AF|＝2|AC|＝4p，∴∠ABC＝30°，||＝2p，＝4p×2p cos30°＝36，解得p＝，∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：D．9．在平行四边形ABCD中，，，连接CE、DF相交于点M，若，则实数λ与μ的乘积为（）A．B．C．D．【分析】由题意可得＝2（λ﹣μ）+μ，由E、M、C三点共线，可得2λ﹣μ＝1，①同理可得＝，由D、M、F三点共线，可得λ+μ＝1，②，综合①②可得数值，作乘积即可．解：由题意可知：E为AB的中点，F为BC的三等分点（靠近B）故＝＝＝（λ﹣μ）+μ＝2（λ﹣μ）+μ，因为E、M、C三点共线，故有2（λ﹣μ）+μ＝1，即2λ﹣μ＝1，①同理可得＝＝＝，因为D、M、F三点共线，故有λ+（μ）＝1，即λ+μ＝1，②综合①②可解得λ＝，，故实数λ与μ的乘积＝故选：B．10．《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为20%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为800元和640元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，则“衰分比”与丁所获得的奖金分别为（）A．20%，14580元B．10%，14580元C．20%，10800元D．10%，10800元【分析】根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，由等比数列的通项公式可得，进而计算可得m与a4的值，即可得答案．解：根据题意，设甲、乙、丙、丁获得的奖金组成等比数列{a n}，设“衰分比”为m，则数列的公比为1﹣m，则有，则有a2+a4＝32580，则有1﹣m＝0.9，则m＝0.1＝10%，则有+a4＝32580，解可得a4＝14580，即“衰分比”为10%，丁所获得的奖金14580，故选：B．11．已知函数y＝+（m+n）x+1的两个极值点分别为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），记分别以m，n为横、纵坐标的点P（m，n）表示的平面区域为D，若函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值范围为（）A．（1，3]B．（1，3）C．（3，+∞）D．[3，+∞）【分析】依题意，可得m，n满足的约束条件，进而作出图形，利用图象即可得解．解：y′＝x2+mx+m+n，依题意，y′＝0的两个根为x1，x2且x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），∴，平面区域D表示的图形如下图所示，注意到直线m+n＝0与直线2m+n+1＝0的交点P（﹣1，1），当函数y＝log a（x+4）过点P时，即log a3＝1，解得a＝3，要使函数y＝log a（x+4）（a＞1）的图象上存在区域D内的点，由图可知，a＜3，又a ＞1，故实数a的取值范围为（1，3）．故选：B．12．设点P在曲线y＝e x上，点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（）A．B．C．D．【分析】求两个曲线上不同两点的距离的最小值，显然没法利用两点间的距离公式计算，可结合函数y＝e x上的点关于y＝x的对称点在其反函数的图象上把问题转化为求曲线y ＝lnx上的点与上的点到直线y＝x的距离之和最小问题，而与y＝x平行的直线同时与曲线y＝lnx和切于同一点（1，0），所以PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍．解：如图，因为y＝e x的反函数是y＝lnx，两个函数的图象关于直线y＝x对称，所以曲线y＝e x上的点P到直线y＝x的距离等于在曲线y＝lnx上的对称点P′到直线y ＝x的距离．设函数f（x）＝lnx﹣1+，＝，当0＜x＜1时，f′（x）＜0，所以函数f（x）在（0，+∞）上有最小值f（1）＝0，则当x＞0时，除（1，0）点外函数y＝lnx的图象恒在y＝1﹣的上方，在（1，0）处两曲线相切．求曲线y＝e x上的点P与曲线y＝1﹣上的点Q的距离的最小值，可看作是求曲线y＝lnx 上的点P′与Q点到直线y＝x的距离的最小值的和，而函数y＝lnx与y＝1﹣在x＝1时的导数都是1，说明与直线y＝x平行的直线与两曲线切于同一点（1，0）则PQ的距离的最小值为（1，0）点到直线y＝x距离的2倍，所以|PQ|的最小值为．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上. 13．若复数z＝1+i，则＝﹣1．【分析】利用共轭复数和复数的运算法则即可得出．解：∵复数z＝1+i，∴，∴＝＝﹣1．故答案为﹣1．14．已知双曲线（a＞0，b＞0），其右焦点为F，过点F作双曲线渐近线的垂线，垂足为Q，线段PQ的中点恰好在双曲线上，则双曲线的离心率为．【分析】根据题意可表示出渐近线方程，进而可知PF的斜率，设出P的坐标代入渐近线方程求得x的表达式，则P的坐标可知，进而求得中点的表达式，代入双曲线方程整理求得a和c的关系式，进而求得离心率．解：由题意设F（c，0）相应的渐近线：y＝x，则根据直线PF的斜率为﹣，设P（x，x），代入双曲线渐近线方程求出x＝，则P（，），则PF的中点（），把中点坐标代入双曲线方程＝1中，整理求得＝，即离心率为故答案为：．15．已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2cos C+c＝2b，则△ABC的周长的取值范围是（2，3]．【分析】由余弦定理求得cos C，代入已知等式可得（b+c）2﹣1＝3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cos C＝，∵a＝1，2cos C+c＝2b，∴+c＝2b，化简可得（b+c）2﹣1＝3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b＝c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a＝1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为：（2，3]．16．已知平面区域Ω＝，直线l：y＝mx+2m和曲线C：有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），若，则实数m的取值范围是[0，1]．【分析】画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），结合概率范围可知直线与圆的关系，直线以（﹣2，0）点为中心顺时针旋转至与x轴重合，从而确定直线的斜率范围．解：画出图形，不难发现直线恒过定点（﹣2，0），圆是上半圆，直线过（﹣2，0），（0，2）时，它们围成的平面区域为M，向区域Ω上随机投一点A，点A落在区域M内的概率为P（M），此时P（M）＝，当直线与x轴重合时，P（M）＝1；直线的斜率范围是[0，1]．故答案为：[0，1]．三、解答题：本题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（一）必考题：共60分.17．已知正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）利用数列的前n项和与第n项的关系，转化求解数列的通项公式即可．（2）化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可．解：（1）正项数列{a n}满足4S n＝（a n+1）2…①4S n﹣1＝（a n﹣1+1）2…②两式相减①﹣②可得4a n＝a n2+2a n﹣a n﹣12﹣2a n﹣1，整理得a n﹣a n﹣1＝2…又a1＝1，得a n＝2n﹣1…（2）∵a n＝2n﹣1，∴b n＝＝＝（﹣）．…∴数列{b n}的前n项和T n＝（1﹣+…+﹣）＝…18．从某学校高三年级共1000名男生中随机抽取50人测量身高．据测量，被测学生身高全部介于155cm到195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组，第一组[155，160），第二组[160，165），…，第八组[190，195]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分、其中第六组、第七组、第八组人数依次构成等差数列．（1）求第六组、第七组的频率，并估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数；（2）学校决定让这50人在运动会上组成一个高旗队，在这50人中要选身高在180cm 以上（含180cm）的三人作为队长，记X为身高在[180，185）的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由频率分布直方图分析可得后三组的频率，再根据公式：频率＝频数÷数据总和，计算可得答案．（2）列出X的分布列，根据分布列利用随机变量的期望公式求出X的数学期望．解：（1）由频率分布直方图知，前五组频率为（0.008+0.016+0.04+0.04+0.06）×5＝0.82，后三组频率为1﹣0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9人，这所学校高三男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为1000×0.18＝180人由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2人，设第六组人数为m，则第七组人数为9﹣2﹣m＝7﹣m，又m+2＝2（7﹣m），所以m＝4，即第六组人数为4人，第七组人数为3人，频率分别为0.08，0.06．估算高三年级全体男生身高在180cm以上（含180cm）的人数为180．（2）X可能的取值为0，1，2，3，P（x＝0）＝，P（x＝1）＝，P（x＝0）＝，P（x＝0）＝，所以X的分布列X0123P…EX＝…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥AD，AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，E，F分别为PC，CD的中点，DE＝EC．（1）求证：平面ABE⊥平面BEF；（2）设PA＝a，若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，求a的取值范围．【分析】（1）由题目给出的条件，可得四边形ABFD为矩形，说明AB⊥BF，再证明AB⊥EF，由线面垂直的判定可得AB⊥面BEF，再根据面面垂直的判定得到平面ABE ⊥平面BEF；（2）以A点为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间坐标系，利用平面法向量所成交与二面角的关系求出二面角的余弦值，根据给出的二面角的范围得其余弦值的范围，最后求解不等式可得a的取值范围．【解答】证明：如图，（1）∵AB∥CD，CD⊥AD，AD＝CD＝2AB＝2，F为CD的中点，∴ABFD为矩形，AB⊥BF．∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又AB∥CD，∴AB⊥EF∵BF∩EF＝F，∴AB⊥面BEF，又AE⊂面ABE，∴平面ABE⊥平面BEF．（2）解：∵DE＝EC，∴DC⊥EF，又PD∥EF，AB∥CD，∴AB⊥PD又AB⊥PD，所以AB⊥面PAD，AB⊥PA．以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空间坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，0），P（0，0，a），C（2，2，0），E（1，1，）平面BCD的法向量，设平面EBD的法向量为，由⇒，即，取y＝1，得x＝2，z＝则．所以．因为平面EBD与平面ABCD所成锐二面角，所以cosθ∈，即．由得：由得：或．所以a的取值范围是．20．已知函数f（x）＝ax2+x﹣xlnx（a＞0）．（1）若函数满足f（1）＝2，且在定义域内f（x）≥bx2+2x恒成立，求实数b的取值范围；（2）若函数f（x）在定义域上是单调函数，求实数a的取值范围．【分析】（1）由已知，求得f（x）＝x2+x﹣xlnx．将不等式f（x）≥bx2+2x转化为≥b．构造函数g（x）＝，只需b≤g（x）min即可．因此又需求g（x）min．（2）函数f（x）在定义域上是单调函数，需f′（x）在定义域上恒非负或恒非正．考查f′（x）的取值情况，进行解答．解：（1）∵f（1）＝2，∴a＝1，f（x）＝x2+x﹣xlnx．由f（x）≥bx2+2x⇔≥b．令g（x）＝，可得g（x）在（0，1]上单调递减，在[1，+∞）上单调递增，所以g（x）min＝g（1）＝0，即b≤0．（2）f′（x）＝2ax﹣lnx（x＞0）．令f′（x）＞0，得2a≥，令h（x）＝，当x＝e时，h（x）max＝∴当时，f′（x）＞0（x＞0）恒成立，此时．函数f（x）在定义域上单调递增．若，g（x）＝2ax﹣lnx，（x＞0），g′（x）＝2a﹣由g′（x）＝0，得出x＝，，g′（x）＜0，，g′（x）＞0，∴x＝时，g（x）取得极小值也是最小值．而当时，g（）＝1﹣ln＜0，f′（x）＝0必有根．f（x）必有极值，在定义域上不单调．综上所述，．21．已知动圆P与圆F1：（x+3）2+y2＝81相切，且与圆F2：（x﹣3）2+y2＝1相内切，记圆心P的轨迹为曲线C；设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交曲线C于M，N两个不同的点．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数；若不能，请说明理由；（Ⅲ）记△QF2M的面积为S1，△OF2N的面积为S2，令S＝S1+S2，求S的最大值．【分析】（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R，由已知条件推导出|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6，从而圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，由此能求出圆心P的轨迹C 的方程．（II）设直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3，由，能求出|OQ|2，由，能求出|MN|，由此能求出|MN|和|OQ|2的比值为常数．（III）由△QF2M的面积＝△OF2M的面积，能求出S＝S1+S2的最大值．【解答】（本小题满分13分）解：（I）设圆心P的坐标为（x，y），半径为R由于动圆P与圆相切，且与圆相内切，所以动圆P与圆只能内切∴，∴|PF1|+|PF2|＝8＞|F1F2|＝6…∴圆心P的轨迹为以F1，F2为焦点的椭圆，其中2a＝8，2c＝6，∴a＝4，c＝3，b2＝a2﹣c2＝7故圆心P的轨迹C：．…（II）设M（x1，y1），N（x2，y2），Q（x3，y3），直线OQ：x＝my，则直线MN：x＝my+3由，得：，∴，∴…由，得：（7m2+16）y2+42my﹣49＝0，∴，∴＝＝＝…∴，∴|MN|和|OQ|2的比值为一个常数，这个常数为…（III）∵MN∥OQ，∴△QF2M的面积＝△OF2M的面积，∴S＝S1+S2＝S△OMN∵O到直线MN：x＝my+3的距离，∴…令，则m2＝t2﹣1（t≥1），∵（当且仅当，即，亦即时取等号）∴当时，S取最大值…[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，已知直线l的极坐标方程为，圆C的圆心是，半径为．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长．【分析】（Ⅰ）求出圆心坐标，和圆的标准方程，即可求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）分别求出直线的标准方程，利用直线和圆的位置关系即可求直线l被圆C所截得的弦长．解：（Ⅰ）∵圆C的圆心是，∴x＝ρcosθ＝＝1，y＝ρsinθ＝＝1，即圆心坐标为（1，1），则圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，x2﹣2x+y2﹣2y＝0圆C的极坐标方程为：；（Ⅱ）∵直线l的极坐标方程为，∴ρsinθ+ρcosθ＝1+，即，圆心到直线距离为，圆半径为．故弦长为．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（1）解不等式f（x）＞0；（2）已知关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）通过分类讨论，去掉绝对值函数中的绝对值符号，转化为分段函数，即可求得不等式f（x）＞0的解集；（2）构造函数g（x）＝f（x）﹣3，关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立⇔a＜f（x）﹣3恒成立⇔a＜g（x）min，先求得f（x）min，再求g（x）min即可．解：（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝，∵f（x）＞0，∴①当x＜﹣时，﹣x﹣4＞0，∴x＜﹣4；②当﹣≤x≤3时，3x﹣2＞0，∴＜x≤3；③当x＞3时，x+4＞0，∴x＞3．综上所述，不等式f（x）＞0的解集为：（﹣∞，﹣4）∪（，+∞）…（2）由（1）知，f（x）＝，∴当x≤﹣时，﹣x﹣4≥﹣；当﹣＜x＜3时，﹣＜3x﹣2＜7；当x≥3时，x+4≥7，综上所述，f（x）≥﹣．∵关于x的不等式a+3＜f（x）恒成立，∴a＜f（x）﹣3恒成立，令g（x）＝f（x）﹣3，则g（x）≥﹣．∴g（x）min＝﹣．∴a＜g（x）min＝﹣。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学模拟试卷(理科)(一)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i为虚数单位，在复平面内复数2i对应点的坐标为()1+iA. (1,1)B. (−1,1)C. (2,2)D. (−2,2)2.已知集合M={x|x2+x−6≤0}，N={x|x>0}，则M∩N=()A. (0,2]B. [−3,2]C. (0,3]D. [−3,+∞)3.某饮用水器具的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A. 6πB. 8πC. 7πD. 11π4.下列说法正确的是()A. f(x)=ax2+bx+c(a,b，c∈R)，则f(x)≥0的充分条件是b2−4ac≤0B. 若m，k，n∈R，则mk2>nk2的充要条件是m>nC. 对任意x∈R，x2≥0的否定是存在x0∈R，x02≥0D. m是一条直线，α，β是两个不同的平面，若m⊥α，m⊥β，则α//β5.欧拉公式e ix=cos x+isin x(e是自然对数的底数，i是虚数单位)是数学里令人着迷的公式之一，根据欧拉公式可知，2ie− π 6i=()A. √3−iB. 1−√3iC. √3+iD. 1+√3i6.某大学党支部中有2名女教师和4名男教师，现从中任选3名教师去参加精准扶贫工作，至少有1名女教师要参加这项工作的选择方法种数为()A. 10B. 12C. 16D. 207.阅读下面的程序框图，若输入a,b,c的值分别是2，1，7，则输出的值是()A. 3B. 6C. 8D. 98. 若0<α<π2，cos(π3+α)=13，则cosα=( )A. 2√2+√36B. 2√6−16C. 2√6+16D. 2√2−√369. 已知数列{a n }是公差为12的等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和.若a 2,a 6,a 14成等比数列，则S 5=( )A. 252B. 35C. 352D. 2510. 若函数f(x)=log a (x 2+32x)(a >0,a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为( )A. (0,+∞)B. (2,+∞)C. (1,+∞)D. (12,+∞)11. 点S ，A ，B ，C 是球O 的球面上的四个点，S ，O 在平面ABC 的同侧，∠ABC =120°，AB =BC =2，平面SAC ⊥平面ABC ，若三棱锥S −ABC 的体积为√3，则该球的表面积为( )A. 18πB. 16πC. 20πD. 25π12. 设f(x)=e x +b x +c ，若方程f(x)=x 无实根，则( )A. b >1，c <1B. b >1，c >−1C. b ≤1，c <1D. b ≤1，c >−1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知|a ⃗ |=9，|b ⃗ |=4，夹角为120°，a ⃗ ⋅b⃗ = ______ ． 14. 已知实数x ，y 满足约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2，则2x −y 的最大值为______．15. 设A 是抛物线C 1：y 2=2px(p >0)与双曲线C 2：x 2a2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的交点．若点A 到抛物线C 1的准线距离等于32p ，则双曲线C 2的离心率等于______．16. 有三家分别位于△ABC 顶点处的工厂，已知AB =AC =5，BC =6，为了处理污水，现要在△ABC的三条边上选择一点P 建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道则AP ，BP ，CP ，则AP +BP +CP 的最小值为______ ．三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）17.已知在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=1，b=√2，∠B=∠A+π．2(1)求sin A的值；(2)求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1(侧棱垂直于底面)中，BC⊥AB，且AA1=AB=2．(1)求证：AB1⊥平面A1BC．(2)当BC=2时，求直线AC与平面A1BC所成的角．19.槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，在亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，在南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解A，B两个少数民族班学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名同学进行调查，将他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字)．(1)从A班的样本数据中随机抽取一个不超过19的数据记为a，从B班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b，求a≥b的概率；(2)从所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中随机抽取3人，求被抽到B班同学人数的分布列和数学期望．20.椭圆C： x2a2+y2b2=1的右焦点为F(1,0)，离心率为12．(1)求椭圆C的方程；(2)过F且斜率为1的直线交椭圆于M，N两点，P是直线x=4上任意一点．求证：直线PM，PF，PN的斜率成等差数列．21. 求证：1+122+132…+1n 2<2−1n (n ∈N ∗,n ≥2)22. 已知平面直角坐标系xOy ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ(φ为参数).点A ，B 是曲线C 上两点，点A ，B 的极坐标分别为(ρ1,π6)，(ρ2,23π)． (1)写出曲线C 的普通方程和极坐标方程； (2)求|AB|的值．23. 已知函数f(x)=|x −1|．(Ⅰ)解不等式：f(x)+f(x −1)≤2；(Ⅱ)当a >0时，不等式2a −3≥f(ax)−af(x)恒成立，求实数a 的取值范围．【答案与解析】1.答案：A解析：根据复数的几何意义，即可得到结论．本题主要考查复数的几何意义，比较基础．解：2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=2i−2i22=1+i，则对应的点的坐标为(1,1)，故选：A．2.答案：A解析：本题考查了一元二次不等式的解法和集合的交集运算.先解不等式，再求交集．解：因为M={x|x2+x−6≤0}={x|−3≤x≤2}，N={x|x>0}，所以M∩N=(0,2]，故选A．3.答案：C解析：解根据三视图可知几何体是：底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，∴该几何体的表面积S=2π×1×2+12×2π×1×2+π×12=7π，故选：C．由三视图知该几何体底面半径为1、高为4的圆柱的上半部分被截去一部分后得到的几何体，由条件和圆柱的表面积公式求出该几何体的表面积．本题考查由三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．4.答案：D解析：解：对于A，当a<0时，由b2−4ac≤0不能得到f(x)≥0，则“ax2+bx+c≥0”的充分条件是“b2−4ac≤0”错误．对于B，若m，k，n∈R，由mk2>nk2的一定能推出m>n，但是，当k=0时，由m>n不能推出mk2>nk2，故B错误，对于C，命题“对任意x∈R，有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，有x02<0”，故C错误，对于D，因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确，故选：D由充分必要条件的判定方法判断A，B，直接写出全程命题的否定判断C，根据垂直于同一直线的两个平面互相平行，可以判断D本题考查命题的真假判断与应用，考查了全程命题的否定、命题的逆否命题的真假判断，考查充分必要条件的判定方法，空间直线与平面位置关系的判断，属于中档题．5.答案：D解析：本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题．结合复数的四则运算和欧拉公式即可求解．解：2ie− π 6i=2i(√32−12i)=1+√3i，故选D．6.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，注意用间接法分析，属于基础题．根据题意，用间接法分析：先计算从2名女教师和4名男教师中任选3人的选法数目，再分析其中没有女生，即全部为男生的选法数目，分析可得答案．解析：解：根据题意，从2名女教师和4名男教师中任选3人，有C63=20种选法，其中没有女生，即全部为男生的选法有C43=4种，则少有1名女教师要参加这项工作的选法有20−4=16种；故选C．7.答案：C解析：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．根据模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得a=2，b=1，c=7，不满足a<b，所以执行m=b+c=8;故选C．8.答案：C解析：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于一般题．由已知角的范围可求π3+α的范围，利用同角三角函数基本关系式可求sin(π3+α)的值，由于α=(π3+α)−π3，利用两角差的余弦函数公式即可计算求值得解．解：∵0<α<π2，∴π3<π3+α<5π6，∴sin(π3+α)=√1−cos2(π3+α)=2√23，∴cosα=cos[(π+α)−π]=cos(π+α)cosπ+sin(π+α)sinπ=13×12+2√23×√32=1+2√66．故选C．9.答案：A解析：本题主要考查了等差数列的求和与等比数列的性质，属于基础题．根据等比数列的性质求得等差数列的首项，然后求解其前n项和即可．解：∵a 2,a 6,a 14成等比数列，∴a 62=a 2a 14，即(a 1+5×12)2=(a 1+12)(a 1+13×12)， 解得a 1=32， ∴S 5=5a 1+5×42d =152+5=252，故选A ．10.答案：A解析：本题考查了复合函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题． 解：x ∈(12,+∞)时，x 2+32x =(x +34)2−916>1，函数f (x )=log a (x 2+3x2)(a >0且a ≠1)在区间(12,+∞)内恒有f(x)>0， 所以a >1，∴函数f(x)的定义域为x 2+32x >0， 解得x <−32或x >0，由复合函数的单调性可知f(x)的单调递增区间(0,+∞)， 故选A ．11.答案：D解析：解：三棱锥O −ABC ，A 、B 、C 三点均在球心O 的表面上，且AB =BC =2，∠ABC =120°， ∴BC =2√3，∴∴△ABC 外接圆半径2r =2√3sin120°=4，即r =2∴S △ABC =12×2×2×sin120°=√3， ∵三棱锥S −ABC 的体积为√3，∴S到底面ABC的距离ℎ=3，由平面SAC⊥平面ABC，可将已知中的三棱锥S−ABC补成一个同底等高的棱柱，则圆心O到平面ABC的距离d=32．球的半径为：R2=d2+r2=254球的表面积：4πR2=25π．故选：D求出底面三角形的面积，利用三棱锥的体积求出O到底面的距离，求出底面三角形的所在平面圆的半径，通过勾股定理求出球的半径，即可求解球的表面积．本题考查球的表面积的求法，球的内含体与三棱锥的关系，考查空间想象能力以及计算能力．12.答案：D解析： f(x)>x恒成立是解题关键，本题考查函数零点与方程的根的关系，属基础题．解：由题意，若方程f(x)=x无实根，可得 f(x)>x恒成立，e x>(1−b)x−c对任意x恒成立．∴1−b>0, −c<1 或b=1,−c≤0，故选D．13.答案：−18)=−18．解析：解：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos120°=9×4×cos120°=9×4×(−12故答案为：−18．利用数量积定义即可得出．本题考查了数量积定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．14.答案：4解析：解：先根据约束条件{y ≤xx +y ≥2x ≤2画出可行域，由{x =2x +y =2得A(2,0)， 当直线z =2x −y 过点A(2,0)时， z 最大是4， 故答案为：4．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z =2x −y 表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y 轴上的截距最大值即可．本题考查线性规划问题，考查数形结合思想，解答的步骤是有两种方法：一种是：画出可行域画法，标明函数几何意义，得出最优解．另一种方法是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解．15.答案：√3解析：解：不妨设A(x 0,y 0)，y 0>0，由题意可得x 0+p2=32p ，∴x 0=p ， 又A 在抛物线C 1：y 2=2px(p >0)上，所以y 0=√2p ，从而，ba =√2， 可得c 2−a 2a 2=2，所以e =ca =√3．故答案为：√3．设出A 的坐标，再利用点A 到抛物线的准线的距离为32p ，得到A 的横坐标，利用A 在抛物线上，求出a ，b 关系，然后求解离心率即可．熟练掌握抛物线及双曲线的标准方程及其性质、渐近线方程和离心率计算公式是解题的关键．16.答案：495解析：解：由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245， ∵4+6>5+245，∴AP +BP +CP 的最小值为495． 故答案为：495．由题意，AB =AC =5，BC =6，所以BC 上的高为4，AB ，AC 上的高都为245，即可求出AP +BP +CP 的最小值．本题考查AP +BP +CP 的最小值，考查学生的计算能力，比较基础．17.答案：解：(1)∵a =1，b =√2，B =A +π2．∴A 为锐角，∴由正弦定理可得：sinA =asinB b=1×sin(A+π2)√2=√2，两边平方整理可得：sin 2A =1−sin 2A2，解得：sinA 2=13，有sinA =√33．(2)∵C =π−A −B =π2−2A ，∴由正弦定理可得：c =asinC sinA=1×sin(π2−2A)sinA =cos2A sinA=2cos 2A−1sinA=1−2sin 2A sinA=1−2×(√33)2√33=√33， ∴S △ABC =12bcsinA =12×√2×√33×√33=√26．解析：(1)由已知可得A 为锐角，由正弦定理可得sinA =asinB b=cosA √2，两边平方整理可解得sin A 的值．(2)利用三角形内角和定理可求C ，由正弦定理可得c ，根据三角形面积公式即可得解． 本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角形面积公式的综合应用，属于基础题． 18.答案：解：(1)证明：∵在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1(侧棱垂直于底面)中，BC ⊥AB ，且AA 1=AB =2 ∴A 1A ⊥面ABC ，BC ⊂面ABC∴A 1A ⊥BC又∵BC ⊥AB ，AB ∩AA 1=A∴BC ⊥平面AA 1B 1 B ，平面AB 1⊂平面ABB 1A ∴BC ⊥AB 1∵四边形A 1ABB 1是正方形∴A 1B ⊥AB 1又∵BC ∩A 1B =B∴AB 1⊥平面A 1BC(2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ∵BC ⊥平面A 1ABB 1∴∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ∵BC =2∵AO =12AB 1=√2，sin∠ACO =sinθ=AOAC∴AC═2√2,AO =√2在Rt △AOC 中，sinθ=12∴θ=π6∴BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6 解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ， 则B(0,0，0)，A(0,2，0)，C(2,0，0)A 1(0，2，2) 由(1)知AB 1⊥平面A 1BC B 1(0,0，2)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−2,2) ∵直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ∴sinθ=|cos <AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|AC ⋅⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12即BC 的长为2时，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为π6解析：(1)证明BC ⊥AB 1，A 1B ⊥AB 1，利用直线与平面垂直的判定定理证明AB 1⊥平面A 1BC ． (2)解法一：设AB 1∩A 1B =O ，连结CO ，说明∠ACO 就是直线AC 与平面A 1BC 所成的角θ，在Rt △AOC 中，求解直线AC 与平面A 1BC 所成的角．解法二：由(1)知以B 为原点建立如图所示坐标系B −xyz ，求出B ，A ，C ，A 1，求出AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0)，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，直线AC 与平面A 1BC 所成的角为θ，利用向量的数量积求解即可．本题考查直线与平面垂直的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查计算能力以及逻辑推理能力．19.答案：(1)A 班的样本数据中不超过19的数据a 有3个，B 班的样本数据中不超过21的数据b 也有3个，从A 班和B 班的样本数据中各随机抽取一个共有3×3=9种不同情况． 其中a ≥b 的情况由(11,11)，(14,11)，(14,12)三种，故a ≥b 的概率P =39=13．(2)因为所有咀嚼槟榔颗数在20颗以上(包含20颗)的同学中，A 班有2人，B 班有3人，共有5人，设抽到B 班同学的人数为X ， ∴X 的可能取值为1，2，3． P(X =1)=C 31C 22C 53=310，P(X =2)=C 32C 21C 53=35，P(X =3)=C 33C 20C 53=110．∴X 的分布列为：数学期望为E(X)=1×310+2×35+3×110=95．解析：本题考查茎叶图和古典概型及离散型随机变量分布列和期望问题，属于一般题． (1)根据茎叶图解决概率问题；(2)离散型随机变量的分布列和数学期望问题．20.答案：解：(1)由题意可得c =1，e =c a =12，解得a =2，b =√a 2−c 2=√3， 则椭圆C 的方程为x 24+y 23=1；(2)证明：设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)， 由题意可得直线MN 的方程为y =x −1， 代入椭圆方程x 24+y 23=1，可得7x 2−8x −8=0， x 1+x 2=87，x 1x 2=−87，k PM +k PN =y 0−y 14−x 1+y 0−y 24−x 2=(y 0−x 1+1)(4−x 2)+(y 0−x 2+1)(4−x 1)(4−x 1)(4−x 2)=8y 0+8+2x 1x 2−(y 0+5)(x 1+x 2)16+x 1x 2−4(x 1+x 2)=8y 0+8−167−87(y 0+5)16−87−327=2y 03，又k PF =y 03，则k PM +k PN =2k PF ，则直线PM ，PF ，PN 的斜率成等差数列．解析：本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的性质：离心率，考查直线的斜率成等差数列，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和点满足直线方程，考查化简整理的运算能力，属于中档题．(1)由焦点坐标可得c =1，运用椭圆的离心率公式，可得a =2，再由a ，b ，c 的关系求得b ，进而得到所求椭圆方程；(2)设M(x 1,y 1)，N(x 2,y 2)，P(4,y 0)，求得直线MN 的方程，代入椭圆方程，消去y ，可得x 的方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，结合等差数列的中项的性质，即可得证．21.答案：证明：∵1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，∴1+122+132+⋯+1n 2<1+1−12+12−13+⋯+1n−1−1n =2−1n ．解析：利用1n 2<1n(n−1)=1n−1−1n (n ∈N ∗,n ≥2)，即可证明结论． 本题考查不等式的证明，考查放缩法，正确放缩是关键．22.答案：解：(1)∵曲线C 的参数方程为{x =3cosφy =3+3sinφ，(φ为参数)，消去参数φ，化为普通方程是x 2+(y −3)2=9； 由{x =ρcosθy =ρsinθ,(θ为参数)． ∴曲线C 的普通方程可化为极坐标ρ=6sinθ，(θ为参数)． (2)方法1：由A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)是圆C 上的两点， 且知，∴ |AB|为直径，∴|AB |=6．方法2：由两点A(ρ1,π6)，B(ρ2,23π)化为直角坐标中点的坐标是A(3√32,32)，B(−3√32,92)， ∴ A 、B 两点间的距离为|AB |=6．解析：本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，解题时应熟练地应用参数方程、极坐标与普通方程的互化公式，是基础题．(1)消去参数φ，把曲线C 的参数方程化为普通方程；由公式{x =ρcosθy =ρsinθ，把曲线C 的普通方程化为极坐标方程；2)方法1：由A 、B 两点的极坐标，得出，判定AB 为直径，求出|AB|；方法2：把A 、B 化为直角坐标的点的坐标，求出A 、B 两点间距离|AB|．23.答案：解：(Ⅰ)原不等式等价于：当x ≤1时，−2x +3≤2，即12≤x ≤1．当1<x ≤2时，1≤2，即1<x ≤2． 当x >2时，2x −3≤2，即2<x ≤52． 综上所述，原不等式的解集为{x|12≤x ≤52}.(Ⅱ)当a >0时，f(ax)−af(x)=|ax −1|−|ax −a|=|ax −1|−|a −ax|≤|ax −1+a −ax|=|a −1|，所以，2a −3≥|a −1|，解得a ≥2．解析：(Ⅰ)分当x ≤1时、当1<x ≤2时、当x >2时三种情况，分别求得原不等式的解集，再取并集，即得所求．(Ⅱ)当a >0时，利用绝对值三角不等式可得f(ax)−af(x)≤|a −1|，结合题意可得2a −3≥|a −1|，由此解得a 的范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了等价转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．。

高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U=，集合A={-2，-1，0，1，2}，B={x|x2≥4}，则如图中阴影部分所表示的集合为（）A. {-2，-1，0，1}B. {0}C. {-1，0}D. {-1，0，1}2.若复数z=，则|z|=（）A. 8B. 2C. 2D.3.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（）A.B.C. 2D.4.已知a=，b=，c=，则（）A. b＜a＜cB. a＜b＜cC. b＜c＜aD. c＜a＜b5.已知数列{a n}的前n项和S n＝2+λa n，且a1＝1，则S5＝（）A. 27B.C.D. 316.设随机变量ξ～B（2，p），η～B（4，p），若，则P（η≥2）的值为（）A. B. C. D.7.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的右焦点F2到渐近线的距离为4，且在双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为（）A. 2B. 4C. 6D. 88.甲、乙等5人排一排照相，要求甲、乙2人相邻但不排在两端，那么不同的排法共有（）A. 36种B. 24种C. 18种D. 12种9.阅读如图所示的程序框图，若运行相应的程序输出的结果为0，则判断框中的条件不可能是（）A. n≤2014B. n≤2015C. n≤2016D. n≤201810.若的展开式中含有常数项，且n的最小值为a，则=（）A. 36πB.C.D. 25π11.已知x2+y2＝4，在这两个实数x，y之间插入三个实数，使这五个数构成等差数列，那么这个等差数列后三项和的最大值为（）A. B. C. D.12.函数，方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0有4个不相等实根，则m的取值范围是（）A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量，，则向量与夹角的余弦值为________．14.设x，y满足约束条件，则的最大值是______．15.学校艺术节对同一类的A，B，C，D四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“A作品获得一等奖”；乙说：“C作品获得一等奖”丙说：“B，D两项作品未获得一等奖”；丁说：“是A或D作品获得一等奖”若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是______．16.在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，则四面体ABCD外接球的半径为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC，，BC=2．（1）若AC=3，求AB的长；（2）若点D在边AB上，AD=DC，DE⊥AC，E为垂足，，求角A的值．18.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记为该居民用户1月份的用电费用，求的分布列和数学期望．19.如图所示，在四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥底面ABCD，四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，AB＝AA1＝2A1B1＝2.(1)若M为CD中点，求证：AM⊥平面AA1B1B；(2)求直线DD1与平面A1BD所成角的正弦值．20.在平面直角坐标系xOy中，与点M（-2，3）关于直线2x-y+2=0对称的点N位于抛物线C：x2=2py（p＞0）上．（1）求抛物线C的方程；（2）过点N作两条倾斜角互补的直线交抛物线C于A，B两点（非N点），若AB 过焦点F，求的值．21.已知函数f（x）=（x2+x）ln x+2x3+（1-a）x2-（a+1）x+b（a，b∈R）．（1）当a=0，b=0时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）若f（x）≥0恒成立，求b-2a的最小值22.已知曲线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位．（1）把曲线C1、C2的方程化为极坐标方程（2）设C1与x轴、y轴交于M，N两点，且线段MN的中点为P．若射线OP与C1、C2交于P、Q两点，求P，Q两点间的距离．23.设a，b，c＞0，且ab+bc+ca=1，求证：（1）a+b+c≥；（2）++≥（++）答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查集合的基本运算，利用图象先确定集合关系是解决本题的关键，比较基础．由图象可知阴影部分对应的集合为A∩（U B），然后根据集合的基本运算求解即可. 【解答】解：由Venn图可知阴影部分对应的集合为A∩（U B），∵B={x|x2≥4}={x|x≥2或x≤-2}，A={-2，-1，0，1，2}，∴U B={x|-2＜x＜2}，即A∩（U B）={-1，0，1}，故选：D．2.【答案】D【解析】解：复数z=，则|z|===．故选：D．直接利用复数的模的运算法则化简求解即可．本题考查复数的模的求法，复数的基本运算，是基础题．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了棱锥的结构特征与三视图，体积计算，属于中档题．根据三视图判断三棱锥的底面形状和高，代入体积公式计算即可．【解答】解：由主视图和侧视图可知棱锥的高h=2，结合侧视图和俯视图可知三棱锥的底面ABC为直角三角形，BC=1，AB=2，AB⊥BC，∴三棱锥的体积V==，故选A．4.【答案】A【解析】解：由a==b==根据指数函数的单调性，∴a＞b．a==，c=，∴a＜c，可得：b＜a＜c．故选：A．利用指数函数的单调性即可比较大小．本题考查了指数函数的单调性的运用和化简能力．属于基础题．5.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．由S n=2+λa n，且a1=1，可得1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1，n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，利用等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：S n=2+λa n，且a1=1，∴1=a1=S1=2+λ，解得λ=-1，∴n≥2时，S n=2-a n=2-（S n-S n-1），化为：S n-2=（S n-1-2），S1-2=-1，{S n-2}为等比数列，首项为-1，公比为，∴S n-2=-，即S n=2-，则S5=2-=，故选：C．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查二项分布及独立重复试验的模型，本题解题的关键是首先根据条件求出题目中要用的P的值，在根据二项分布的概率公式得到结果．根据随机变量ξ～B（2，p），，写出概率的表示式，求出其中P的值，把求得的P的值代入η～B（4，p），求出概率．【解答】解：∵随机变量ξ～B（2，p），，∴1-p0•（1-p）2=，∴P=，∴η～B（4，），∴P（η≥2）=++=，故选：B．7.【答案】D【解析】解：设渐近线为，∵右焦点F2到渐近线的距离为4，∴，即b=4．∵双曲线C上到F2的距离为2的点有且仅有1个，这个点是右顶点，∴c-a=2．∴（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），∴c+a=（c-a）3=8．则这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，故选：D．设渐近线为，可得，即b=4．又c-a=2．即（c-a）2=4=b，⇒（c-a）4=b2=（c-a）（c+a），c+a=（c-a）3=8．即可得到这个点到双曲线C的左焦点F1的距离为c+a=8，本题考查了双曲线的性质，转化思想，属于中档题．8.【答案】B【解析】解：由题意，甲、乙捆绑，安排中间位置，共有=4种排法，其余3人排其它3个位置，共有=6种排法利用乘法原理，可得不同的排法有4×6=24种排法故选：B．先甲、乙捆绑，安排中间位置，再将其余3人排其它3个位置，利用乘法原理，即可得到结论．本题考查排列、组合知识，考查乘法原理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：模拟执行程序，可得前6步的执行结果如下：s=0，n=1；满足条件，执行循环体，s=，n=2；满足条件，执行循环体，s=0，n=3；满足条件，执行循环体，s=0，n=4；满足条件，执行循环体，s=，n=5；满足条件，执行循环体，s=0，n=6…观察可知，s的值以3为周期循环出现，当n的值除以3余1时，可得对应的s的值为，由于：2014=671×3+1所以：判断条件为n≤2014？时，s=符合题意．故选：A．模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，n的值，观察可知，s的值以3为周期循环出现，可得判断条件为n≤2014？时，s=符号题意．本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的s，n的值是解题的关键，属于基础题．10.【答案】C【解析】解：的展开式的通项为，因为展开式中含有常数项，所以，即为整数，故n的最小值为5．∴a=5．所以=dx==．故选：C．利用二项式定理的通项公式可得n的最小值，再利用微积分基本定理及其定积分几何意义即可得出．本题考查了二项式定理的通项公式、微积分基本定理及其定积分几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查等差数列的后三项的最大值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用，为中档题.根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，由等差数列的性质可得b、c的值，分析可得这个等差数列后三项和为b+c+y=3b=，进而设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα），利用三角函数性质能求出这个等差数列后三项和的最大值．【解答】解：根据题意，设插入的三个数为a、b、c，即构成等差数列的五个数分别为x，a，b，c，y，则有x+y=a+c=2b，则b=，c===，则这个等差数列后三项和为b+c+y=，又由x2+y2=4，设x=2cosα，y=2sinα，则b+c+y=（x+3y）=（cosα+3sinα）=sin（α+φ）≤，其中tanφ=.即这个等差数列后三项和的最大值为；故选D.12.【答案】C【解析】【分析】利用函数的导数，求出函数的极值，利用函数的图象以及极值，判断m的范围即可．求得f（x）的导数，可得单调区间和极值，作出f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0，解得t，再由图象可得m的不等式，解不等式即可得到所求范围．本题考查方程的根的个数问题解法，考查数形结合思想方法，以及导数的运用：求单调区间和极值，考查运算能力，属于中档题．【解答】解：函数是连续函数，x=0时，y=0．x＞0时，函数的导数为f′（x）=，当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，f（x）∈（0，]x＜0时，f′（x）=-＜0，函数是减函数，作出y=f（x）的图象，设t=f（x），关于x的方程[f（x）]2-（m+1）f（x）+1-m=0即为t2-（m+1）t+1-m=0，有1个大于实根，一个根在（0，）；由题意可得：解得m∈．故选：C．13.【答案】【解析】【分析】本题考查向量的夹角的计算，涉及向量数量积的计算，关键是掌握向量数量积的坐标计算公式，属于基础题.根据题意，设向量与夹角为θ，由向量的坐标计算公式可得||、||以及•的值，由向量数量积的坐标计算公式cosθ=，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设向量与夹角为θ，向量，，则||=2，||=5，且•=2×（-3）+（-4）×（-4）=10，cosθ===，故答案为：．14.【答案】2【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=x-y得y=x-z，平移直线y=x-z，由图象直线当直线y=x-z经过B（2，0）时，直线y=x-z的截距最小，此时z最大为z=2-0=2，即z=x-y的最大值是2，故答案为：2．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合是解决本题的关键．15.【答案】C【解析】【分析】根据题意，依次假设参赛的作品为A、B、C、D，判断甲、乙、丙、丁的说法的正确性，即可判断．本题考查了合情推理的问题和验证法的应用，注意“这四位同学中有两位说的话是对的”的这一条件．【解答】解：根据题意，A，B，C，D作品进行评奖，只评一项一等奖，假设参赛的作品A为一等奖，则甲、丙，丁的说法都正确，乙错误，不符合题意；假设参赛的作品B为一等奖，则甲、乙、丙、丁的说法都错误，不符合题意；假设参赛的作品C为一等奖，则乙，丙的说法正确，甲、丁的说法错误，符合题意；假设参赛的作品D为一等奖，则甲、乙，丙的说法都错误，丁的说法正确，不符合题意；故获得参赛的作品C为一等奖；故答案为：C．16.【答案】【解析】【分析】本题考查球的内接体，二面角的平面角的应用，球与平面相交的性质的应用，考查空间想象能力以及计算能力．利用已知条件画出图形，判断球心的位置，转化求解球的半径即可．【解答】解：在四面体ABCD中，AB=AD=2，∠BAD=60°，∠BCD=90°，二面角A-BD-C的大小为150°，四面体ABCD外接球，如图：则△BCD在求出一个小圆上，BD的中点为圆心N，△ABD是正三角形，也在球的一个小圆上，圆心为M，作OM⊥平面ABD，ON⊥平面BCD，O为球心，二面角A-BD-C的大小为150°，作NP⊥BD，则∠ANP=150°，可得∠ONM=60°，MN=，则ON=，BN=1，外接球的半径为：=．故答案为：．17.【答案】解：（1）设AB=x，则由余弦定理有：AC2=AB2+BC2-2AB•BC cosB，即32=22+x2-2x•2cos60°，解得：，所以；（2）因为，所以．在△BCD中，由正弦定理可得：，因为∠BDC=2∠A，所以．所以，所以．【解析】（1）设AB=x，通过AC2=AB2+BC2-2AB•BC cosB，求解即可．（2）在△BCD中，由正弦定理可得：，转化求解A即可．本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，三角形的解法，考查计算能力．18.【答案】解：（1）当0≤x≤200时，y=0.5x；当200＜x≤400时，y=0.5×200+0.8×（x-200）=0.8x-60，当x＞400时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x-400）=x-140，所以y与x之间的函数解析式为：y=．（2）由（1）可知：当y=260时，x=400，则P（x≤400）=0.80，结合频率分布直方图可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，∴a=0.0015，b=0.0020．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．当x=50时，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，当x=150时，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，当x=250时，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，当x=350时，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，当x=450时，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，当x=550时，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．故Y的分布列为：EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．【解析】（1）利用分段函数的性质即可得出．（2）利用（1），结合频率分布直方图的性质即可得出．（3）由题意可知X可取50，150，250，350，450，550．结合频率分布直方图的性质即可得出．本题考查了分段函数的性质、频率分布直方图的性质、随机变量的分布列及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】证明：（Ⅰ）∵四边形为菱形，∠BAD=120°，连接AC，∴△ACD为等边三角形，又∵M为CD中点，∴AM⊥CD，由CD∥AB得，∴AM⊥AB，∵AA1⊥底面ABCD，AM⊂底面ABCD，∴AM⊥AA1，又∵AB∩AA1=A，∴AM⊥平面AA1B1B解：（Ⅱ）∵四边形ABCD为菱形，∠BAD=120°，AB=AA1=2A1B1=2，∴DM=1，，∠AMD=∠BAM=90°，又∵AA1⊥底面ABCD，设M为CD中点，分别以AB，AM，AA1为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A1（0，0，2）、B（2，0，0）、、，∴，，，设平面A1BD的一个法向量，则有，令x=1，则，∴直线DD1与平面A1BD所成角θ的正弦值：．【解析】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．20.【答案】解：（1）设N（m，n），则，解之得N（2，1），代入x2=2py得p=2，所以抛物线C的方程为x2=4y．（2）显然直线NA的斜率是存在的，设直线NA的方程y-1=k（x-2），设直线NB的方程y-1=-k（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消元，得x2-4kx+8k-4=0，所以2+x1=4k，∴x1=4k-2，所以y1=4k（k-1）+1，故A（4k-2，4k（k-1）+1），同理，B（-4k-2，4k（k+1）+1），所以k AB==-1若＜1，因为cos45°=，所以==3-2，若＞1，同理可求==3+2【解析】（1）设N（m，n），则，解之得N（2，1），即可得到；（2）设显然直线NA的斜率是存在的，设直线NA的方程y-1=k（x-2），设直线NB的方程y-1=-k（x-2），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程消元，得x2-4kx+8k-4=0，运用韦达定理，求出A，B的坐标，再根据直线的斜率，再由两点的距离公式，化简整理，即可求出本题考查椭圆的方程和性质，同时考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，以及斜率公式运用，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题21.【答案】解：（1）f（x）=（x2+x）ln x+2x3+x2-x的导数为f′（x）=（2x+1）ln x+（x2+x）•+6x2+2x-1=（2x+1）（ln x+3x），可得切线的斜率为9，切点为（1，2），则切线方程为y-2=9（x-1），即y=9x-7；（2）f′（x）=（2x+1）ln x+（x2+x）•+6x2+2（1-a）x-a-1=（2x+1）（ln x+3x-a），令h（x）=ln x+3x-a，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，又x→0时，h（x）→-∞，当x→+∞时，h（x）→+∞，∴存在唯一一个x0∈（0，+∞），使得h（x0）=0，即a=3x0+ln x0．当0＜x＜x0时，f′（x）＜0，当x＞x0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增．∴f min（x）=f（x0）=（x02+x0）ln x0+2x03+（1-a）x02-（a+1）x0+b=（x02+x0）ln x0+2x03+（1-3x0-ln x0）x02-（3x0+ln x0+1）x0+b=-x03-2x02-x0+b．∵f（x）≥0恒成立，∴-x03-2x02-x0+b≥0，即b≥x03+2x02+x0．∴b-2a≥x03+2x02+x0-2a=x03+2x02+x0-6x0-2ln x0=x03+2x02-5x0-2ln x0，设φ（x）=x3+2x2-5x-2ln x，x∈（0，+∞），则φ′（x）=3x2+4x-5-=3x（x-1）+=，∴当0＜x＜1时，φ′（x）＜0，当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴φ（x）≥φ（1）=-2．∴当x0=1时，即a=3x0+ln x0=3，b=x03+2x02+x0=4时，b-2a取得最小值-2．【解析】（1）求得f（x）的解析式，以及导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线方程；（2）f′（x）=（2x+1）（ln x+3x-a），设x0为h（x）=ln x+3x-a的零点，得出a，b关于x0的表达式及f（x）的单调性，从而得出b-2a关于x0的函数，根据x0的范围再计算函数的最小值．本题考查运用导数球曲线切线方程和函数单调性，函数最值的计算，属于难题．22.【答案】解：（1）线C1：x+y=和C2：（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，因为x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以C1：，即，所以；C2的普通方程为，所以其极坐标方程为，即．（2）由题意M（，0），N（0，1），所以P（），所以射线OP的极坐标方程为：，把代入C1得到ρ1=1，P（1，）；把代入C2得到ρ2=2，Q（2，），所以|PQ|=|ρ2-ρ1|=1，即P，Q两点间的距离为1．【解析】（1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，将普通方程化为极坐标方程即可；（2）求出M，N，P的坐标，得到射线的极坐标方程，分别代入C1、C2得到，P，Q的极坐标，求距离即可．本题考查了普通方程、极坐标方程以及参数方程之间的互化，理解自变量的关系是关键．23.【答案】证明：（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，即证（a+b+c）2≥3，由a，b，c均为正实数，且ab+bc+ca=1，即有a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）≥3，即为a2+b2+c2≥1，①由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加可得a2+b2+c2≥zb+bc+ca=1，则①成立．综上可得，原不等式成立．（2）∵++=，而由（1）a+b+c≥，∴≥（++），故只需≥++，即a+b+c≤1，即：a+b+c≤ab+bc+ac，而a=•≤，b≤，c≤，∴a+b+c≤ab+bc+ac=1成立，（当且仅当a=b=c=时）．【解析】（1）运用分析法证明．要证a+b+c≥，结合条件，两边平方，可得a2+b2+c2≥1，运用重要不等式，累加即可得证．（2）问题转化为证明a+b+c≤1，根据基本不等式的性质证明即可．本题考查了基本不等式的证明，考查转化思想，是一道中档题．。

哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟．（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整, 字迹清楚；（3）请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效；（4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．第I 卷 （选择题, 共60分）一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1. 某学校有男学生400名，女学生600名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查,则这种抽样方法是 A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法2. 已知,m n R ∈，集合{}72,log A m =，集合{},B m n =，若{}0A B ⋂=，则m n += A ．1 B ．2 C ．4 D ．83. 若)2,1(=a ϖ，(),1b m =r ，若a r P b r ，则=mA ．21-B ．21C ．2 D. 2-4. 已知P (B |A )= 103, P (A ) =51, 则P (AB ) =A ．B ．C ．D ．5． 已知数列{}n b 是等比数列，9b 是1和3的等差中项，则216b b =A ．16B ．8C ．2D ．46. 一个锥体的正视图和左视图如下图，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是122332503A ．B ．C ．D. 7. 如果函数)2sin(2ϕ-=x y 的图像关于点43π⎛⎫⎪⎝⎭，0中心对称，那么||ϕ的最小值为 A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π8. 设点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，1F ，2F 分别是左右焦点，I 是21F PF ∆的内心，若2121,,F IF IPF IPF ∆∆∆的面积1S ，2S ，3S 满足321)(2S S S =-，则双曲线的离心率为A. 2B. 3C. 4D. 29. 已知21,x x （21x x <）是函数11ln )(--=x x x f 的两个零点，若)1,(1x a ∈， ),1(2x b ∈，则A ．0)(<a f ，0)(<b fB ．0)(>a f ，0)(>b fC ．0)(>a f ，0)(<b fD ．0)(<a f ，0)(>b f 10. 已知函数⎩⎨⎧≤->+=0,320,log 3)(22x x x x x x f ，则不等式5)(≤x f 的解集为 A. []1,1- B. (]()1,01,⋃-∞- C. []4,1- D. (][]4,01,⋃-∞-11. 直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ， 2k 满足3221=k k ，则l 一定过点 A. )0,3(- B. )0,3(C. )3,1(-D. )0,2(-12. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，在正方体表面上与点A 距离是2的点形成一 条封闭的曲线，这条曲线的长度是A ．πB ．32πC ．3π D. 52π哈尔滨市第三中学第一次高考模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅱ卷 （非选择题, 共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡相应的位置上．）13. 如图,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有380粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为 ．14．8)12(xx -的二项展开式中，各项系数和为 .15. 下列命题：①已知,m n 表示两条不同的直线，,αβ表示两个不同的平面，并且,m n αβ⊥⊂，则“αβ⊥”是“m //n ”的必要不充分条件； ②不存在(0,1)x ∈，使不等式成立23log log x x <； ③“若22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；④R θ∀∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数. 正确的命题序号是 ．16. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，M 为AB 边上一点，()λλ=∈u u u u r u u u r CM MP R 且cos cos =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u u r CA CBMP CA A CB B，又已知2=u u u u r c CM ，22+=a b ，则角=C ．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.（本小题满分12分）数列{}n a 满足11=a ，132+=+n n n a a ．(Ⅰ)求证数列{}n n a 2+是等比数列； (Ⅱ)证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<L ．18.（本小题满分12分）一个盒子里装有大小均匀的8个小球,, 其中有红色球4个, 编号分别为1, 2, 3, 4; 白色球4个, 编号分别为2, 3, 4,5. 从盒子中任取4个小球 (假设取到任何一个小球的可能性相同). (Ⅰ) 求取出的4个小球中, 含有编号为4的小球的概率.(Ⅱ) 在取出的4个小球中, 小球编号的最大值设为X , 求随机变量X 的分布列.19．（本小题满分12分）边长为4的菱形ABCD 中，满足60DCB ∠=︒，点E ，F 分别是边CD 和CB 的中点， AC 交BD 于点H ，AC 交EF 于点O ，沿EF 将CEF ∆翻折到PEF ∆的位置,使平面ABD PEF 平面⊥,连接PA ，PB ，PD ，得到如图所示的五棱锥P ABFED -. (Ⅰ) 求证：BD PA ⊥；(Ⅱ) 求二面角B AP O --的正切值．20.（本小题满分12分）已知椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的焦距为4，设右焦点为F ，过原点O 的直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，线段AF 的中点为M ，线段BF 的中点为N ，且41-=⋅.(Ⅰ) 求弦AB 的长；(Ⅱ) 若直线l 的斜率为k , 且26≥k , 求椭圆C 的长轴长的取值范围. HOFE DAPBC21.（本小题满分12分）已知函数=)(x f 212x ax e x---，R x ∈．（Ⅰ）若21=a ，求函数)(x f 的单调区间； （Ⅱ）若对任意0≥x 都有0)(≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围； （Ⅲ）设函数22)()()(x x f x f x F ++-+=，求证： 21)2()()2()1(nn e n F F F +>⋅⋅⋅+Λ（*∈N n ）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）如图, B A ,是⊙O 上的两点，P 为⊙O 外一点，连结PB PA ,分别交⊙O 于点D C ,，且AD AB =，连结BC 并延长至E ，使PAB PEB ∠∠=. (Ⅰ) 求证：PD PE =;(Ⅱ) 若1==EP AB ，且°120=BAD ∠，求AP .23.（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221222（t 为参数）．在极坐标系 （与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=．AB(Ⅰ) 求圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为)1,2(，求|PA |＋|PB |．24.（本小题满分10分）关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3 (m 为整数) . （Ⅰ）求整数m 的值;（Ⅱ）已知R c b a ∈,,,若m c b a =++444444, 求222c b a ++的最大值.一模理科数学答案选择题DABDD CCACC AD 填空题 13.501914 . 1 15. ① 16. 4π三．解答题17.(1)由132+=+n n n a a 有, )2(3211n n n n a a +=+++,又321=+a , 所以{}nn a 2+是以3位首相,3为公比的等比数列…………………..5分(2)由(1)知nn n a 23-=, ……………………………………..6分又)2(223≥>-n nn n , ……………………………………9分 故232123212121123123111111322221<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<-++-+=+++nn n n n a a a ΛΛΛ……………………………….12分 18.（1）1411…………………………….4分 （2）X 的可取值为3,4,5 ……………………..5分705)3(48234812=+==C C C C X P ……………………………………………………..7分7030)4(485222483512=+==C C C C C C X P ………………………………………………...9分7035)5(4837===C C X P ……………………………………………….11分X 的分布列为…………………12分19.(1) 因为平面ABD PEF 平面⊥,平面ABD PO PEF PO EF ABD PEF ⊥∴⊂=⋂,,平面则BD PO ⊥,又APO BD APO PO APO AO O PO AO BD AO ⊥∴⊂⊂=⋂⊥,,,,PA BD APO AP ⊥∴⊂,Θ ………………………………….6分（2）以O 为原点,轴，为轴，为轴，为z OP y OF x OA 建立坐标系,则)0,2,3(),3,0,0(),0,0,33(),0,0,0(B P A O , ……………………………8分 设的一个法向量，为平面OAP z y x n ),,(=ρ则)0,1,0(=n ρ,的一个法向量，为平面ABP z y x m ),,(=ρ则)3,3,1(=m ρ …….10分330tan ,133cos =∴=⋅=θθn m n m ρρρρ …………………………..12分20.（1）设)2,22(),2,22(),,(),,(00000000y x N y x M y x B y x A --+--则 …………….2分 41)(4112020-=+-=⋅y x N O M O ρρ,则52020=+y x , …………………….4分 所以AB 的长为52 ……………………………5分（2）设l 方程为kx y =,和椭圆方程142222=-+a y a x 联立消元整理得,4)4(222222-+-=k a a a a x ,4)4(22222220-+-=k a a k a a y …………………7分 又5202=+y x ,则23)9()4)(5(,54)1)(4(22222222222≥---==-++-a a a a k k a a k a a ………….10分 则322,982<≤<≤a a ,长轴长范围是[]6,24 …………………….12分 21. (1) 解: 21)(--='x e x f x,令)()(x f x g '=,则1)(-='xe x g , 则当)0,(-∞∈x 时, ,0)(<'x g )(xf '单调递减,当),0(+∞∈x 时, ,0)(>'xg )(x f '单调递增.所以有021)0()(>='≥'f x f ,所以()上递增，－在∞+∞)(x f …………………4分 (2) 当0≥x 时,a x e x f x --=')(,令)()(x f x g '=,则01)(≥-='xe x g ,则)(xf '单调递增,a f x f -='≥'1)0()(当1≤a 即01)0()(≥-='≥'a f x f 时, ()上递增，在∞+0)(x f ,0)0()(=≥f x f 成立; 当1>a 时,存在),0(0+∞∈x ,使0)(0='x f ,则()上递，在00)(x x f 减,则当),0(a x ∈时,0)0()(=<f x f ,不合题意.综上1≤a ………………………….8分(3）xxe e x F -+=)(Θ，22)()(21212121212121)()(21+>++>+++=∴++-++--+-+x x x x x x x x x x x x x x e e e e e e e x F x F 2)()1(1+>∴+n e n F F ，2)1()2(1+>-+n e n F F……2)1()(1+>+n e F n F ．由此得，n n e F n F n F F n F F n F F F )2()]1()([)]1()2([)]()1([)]()2()1([12+>⋅⋅-⋅=+ΛΛ故21)2()()2()1(nn e n F F F +>⋅⋅⋅+Λ（*∈N n ）． ……………………….12分 22. （1）连结DC ，因为ADB ACB PCE ∠=∠=∠,ABD PCD ∠=∠, 又因为AD AB =,所以 ADB ABD ∠=∠,所以PCD PCE ∠=∠.·················3分 由已知PAB PEB ∠=∠, PAB PDC ∠=∠, 所以PDC PEC ∠=∠, 且PC PC =,所以PDC PEC ∆≅∆, 所以PD PE =.················5分 (2) 因为PBA ACB ∠=∠, PAB BAC ∠=∠ 所以ABC ∆∽APB ∆, 则)(2PC AP AP AC AP AB -=⋅=,所以)(22BD PD PD PB PD PC AP AB AP+=⋅=⋅=-又因为AB PD =, 1=AB , 所以3222=⋅=-BD AB AB AP ,················8分所以322+=AP.所以 262+=AP .················10分23. (1)求圆C 的直角坐标方程4)2(22=+-y x ……………….3分AB（2）设点A 、B 对应的参数分别为21,t t ,将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y tx 221222代入4)2(22=+-y x 整理得0322=-+t t ,则⎩⎨⎧-=-=+⋅322121t t t t , …………………..5分又|PA|＋|PB|=144)(212212121=-+=-=+t t t t t t t t ……………………..10分 24.（1）由12≤-m x 有2121+≤≤-m x m , ……………………….2分 关于x 的不等式12≤-m x 的整数解有且仅有一个值为3,则⎪⎩⎪⎨⎧<+≤≤-<42133212m m ,即75<<m ,又m 为整数,则6=m ……………………..5分（2）由6444444=++c b a 有23444=++c b a , 由柯西不等式有()()()29)()()(1112222222222222=++++≤++c b a cb a 当且仅当421===c b a 时,等号成立, ……………..8分 所以222c b a ++的最大值为223 …………………10分。

2020年哈三中高三学年第一次模拟考试 数学试卷（理工类）答案及评分标准一、选择题：二、填空题： 13. [0,23) 14. [80,120] 15.1e或1 16. 152,2三、解答题：17. (1) 由 c a A b =+23cos , 余弦定理bc a c b A 2cos 222−+= 有c a bc a c b b =+−+⋅232222, 即ac c a b 3222−+= 有232cos 222=−+=ac b c a B由π<<B 0, 则6π=B ……………………………………………………..……3分又因为2cossin sin 2AC B = 有2cos 1sin 21A C +=, 即2)65cos(1sin 21C C −+=π, 有C C C sin 21cos 231sin +−=, 即1cos 23sin 21=+C C , 则1)3sin(=+πC , 由π<<C 0, 即23ππ=+C , 则6π=C ……………………………….………6分(2)延长线段AM 至D, 满足BM=MD, 联结AD在ABD ∆中, ()65,,,3122ππ=−=∠==+==B BAD c AB a AD AM BD , 满足余弦定理())23(2314222−−+=+ac c a ……………………………..9分 因为ac c a 222≥+,所以()ac ac c a )32()23(2314222+≥−−+=+, 则()ac )32(3142+≥+, 即8≤ac , 当且仅当c a =时取”=” 那么2218212121sin 21=⨯⨯≤==∆ac B ac S ABC, 当且仅当4==c a 时取”=” 则ABC ∆面积的最大值为2…………………………………….………………..12分18. (1)在ACD ∆中3111120cos 222=++=⋅⋅−+=︒CD AD CD AD AC ,232cos 222=⋅−+=∠AC AD CD AC AD DAC , 则6π=∠DAC在ABC ∆中212cos 222=⋅−+=∠AC AB BC AC AB BAC , 则3π=∠BAC ,那么2π=∠BAD , 即⊥AB AD因为⊥PA 平面ABCD …………………………………………………………………1分 所以, 分别以直线AB AD AP 为z y x ,,轴如图建立空间直角坐标系有()0,0,0A , ()0,0,3B , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,23,23C , ()0,1,0D , ()3,0,0P , ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,43,43M ,设平面ACP 的法向量为()z y x m ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0,23,23AC 且()3,0,0=AP满足⎪⎩⎪⎨⎧==+0302323z y x , 令3=x , 有⎪⎩⎪⎨⎧=−==013z y x , 则()0,1,3−=m ………...…….3分 设平面BCP 的法向量为()z y x n ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=0,23,23BC 且()3,0,3−=BP 满足⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−03302323z x y x , 令3=x , 有⎪⎩⎪⎨⎧===313z y x , 则()3,1,3=n ……….……5分则7774013,cos =⨯+−>=<n m , 那么二面角B PC A −−的余弦值为77….…6分(2)设平面PCD 的法向量为()z y x a ,,=, 由于⎪⎪⎭⎫⎝⎛−=3,23,23PC 且()3,1,0−=PD满足⎪⎩⎪⎨⎧=−=−+03032323z y z y x , 令3=y , 有⎪⎩⎪⎨⎧==−=131z y x , 则()1,3,1−=a ……..…..8分 设()z y x N ,,且BP BN λ=,()10≤≤λ, 满足()()3,0,3,,3−=−λz y x有⎪⎩⎪⎨⎧==−=−λλ3033z y x , 则()λλ3,0,33−N , 则⎪⎭⎫⎝⎛−−=λλ3,43,3343MN则0=⋅a MN , 即033433433=+−−λλ, 有43=λ则⎪⎭⎫ ⎝⎛−=343,43,0MN ………………………………………………………………….10分 因为平面ACP 的法向量为()0,1,3−=m , 有4123243,cos =⨯>=<MN m那么直线MN 与平面PAC 所成角的正弦值为41………………………………………12分19. 解: (1) 由已知1)(0=B A P , 54)(4204191==C C B A P , 1912)(4204182==C C B A P …… 2分(2) X 可能的取值为2,1,0,· ……………………………… 3分所以9508771.02.07.0)0(420418420419=⨯+⨯+==C C C C X P ,950701.02.0)1(42031812420319=⨯+⨯==C C C C C X P , 95031.0)2(42021822=⨯==C C C X P . ………………………………… 6分 所以随机变量X 的分布列为4753895032950701=⨯+⨯=EX . ………………………………… 7分 (3) 由(1)知, =)(A P 950877)0(==X P , ………………………………… 8分按照设计方案购买的一箱粉笔中, 箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为()A B P 0877665)()()()()(000===A PB P B A P A P AB P , ……………………………11分 因为107.0100877665100<⨯−⨯, 所以该方案无效. ……………………… 12分20.解（1）x mx x x m x x f 2222)(2++=++=‘()+∞∈,0x …………1分对于方程0222=++mx x 162−=∆m当44-≤≤m 时，0162≤−=∆m ，0)(≥x f ‘此时)(x f 没有极值点. …………………2分 当4−<m 时，方程0222=++mx x 两根为21,x x ，不妨设21x x <，0221>−=+mx x ，121=⋅x x ，210x x << 当0)(021>><<x f x x x x ‘，时或，当0)(21<<x f x x ‘时.此时21,x x 是函数)(x f 的两个极值点. ………………3分 当4>m 时，方程0222=++mx x 两根为43,x x ，0243<−=+mx x ，143=⋅x x ，所以004,3<<x x ， ()+∞∈,0x 0)(>x f ‘，故)(x f 没有极值点.综上，当4−<m 时，函数)(x f 有两个极值点；当4−≥m 时，函数)(x f 没有极值点 …………. ………4分 （2）032ln 232-)(222≤−−++=−x e x mx x x e x f xx022ln 22≤−−+x e x mx x，x xe x x ln 222m 2−+≤x x e x x g x ln 222)(2−+=，22ln 11-)(x x e x x x g x +−+=）（‘……6分 ()1,0∈x ，0(<）‘x g ，）x g (单调递减；()+∞∈1,x ，0(>）‘x g ）x g (单调递增； 11(+=≥e g x g ）（），)1(2+≤e m ……8分（3）由（2）知当)1(2+=e m ，0ln )12≤−−++x e x x e x （恒成立，即 x x e x e x ln 1-2≥++）（ 欲证xx e x e x 1-11-2≥++）（ 只需证x x 1-1ln ≥，设x x x h 11ln )(+−=，21)(x x x h −=‘……10分 ()1,0∈x ，0('<）x h ，）x g (单调递减；()+∞∈1,x ，0(>）‘x h ）x g (单调递增；01(=≥）（）h x h ，所以xx 1-1ln ≥。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）=()1.已知i为虚数单位，则9+8i1+2iA. 5−2iB. 5+2iC. 6iD. 82.已知集合A={x|(x+1)(x−3)<0}，B={1,2，3}，则A∩B=()A. {x|−1<x<3}B. {x|1≤x≤2}C. {1,2，3}D. {1,2}3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.已知向量β⃗=(−2,1)，向量α⃗与β⃗的夹角为180°，且|α⃗|=2√5，则α⃗=()A. (−4,2)B. (4,−2)C. (−4,−2)D. (4,2)5.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。

若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数的图象大致为()A. B.C. D.7.如图所示的程序框图是为了求出满足21+22+⋯+2n>2018的最小整数n，则和两个空白框中，可以分别填入()A. S>2018?，输出n−1B. S>2018?，输出nC. S≤2018?，输出n−1D. S≤2018?，输出n8.数列{a n}的前n项和S n=3n2−5n，则a6的值为()A. 78B. 58C. 50D. 289.五人排成一排，甲与乙不相邻，且甲与丙也不相邻的不同排法有()A. 60种B. 48种C. 36种D. 24种10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，过焦点F的直线l交抛物线于M，N两点，MN的中点为P，若|MN|=5，则点P到y轴的距离为()A. 3B. 32C. 1 D. 1211.函数f(x)=−x2+5x−6的零点是()A. −2，3B. 2，3C. 2，−3D. −1，−312.已知数列{a n}中，a n=nn2+156(n∈N∗)，则数列{a n}的最大项是()A. a12B. a13C. a12或a13D. 不存在二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件{x−1≤02x−y−1≥0x−2y−2≤0，则z=x+3y的最大值为______ ．14.已知双曲线x2a2−y2b2=1(b>a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且斜率为1的直线l与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，若|AF1|=|AB|，则双曲线的离心率为______．15.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最大值为√3，其相邻两个零点之间的距离为π2，且f(x)的图象关于直线x=−π3对称，则当x∈[−π6,π6]时，函数f(x)的最小值为______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，在四边形ABCD中，AB=3，BC=7√3，CD=14，BD=7，∠BAD=120°．(1)求AD边的长；(2)求△ABC的面积．18.如图1，在直角梯形ABCD中，AB//CD，AD⊥CD，AD=AB=2，作BE⊥CD，E为垂足，将△CBE沿BE折到△PBE位置，如图2所示．(Ⅰ)证明：平面PBE⊥平面PDE；(Ⅱ)当PE⊥DE时，平面PBE与平面PAD所成角的余弦值为2√5时，求直线PB与平面PAD所5成角的正弦值．19.已知椭圆G：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，经过点B(0,1).设椭圆G的右顶点为A，过原点O的直线l与椭圆G交于P，Q两点(点Q在第一象限)，且与线段AB交于点M．(Ⅰ)求椭圆G的标准方程；(Ⅱ)是否存在直线l，使得△BOP的面积是△BMQ的面积的3倍？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．20.某学校高三年级有1000名学生，按分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生分析期末某学科的考试成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图．(Ⅰ)试计算男生、女生考试成绩的平均分；(Ⅱ)若由直方图可以认为，男生考试成绩服从正态分布N(μ,σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ为10，利用该正态分布，求：(ⅰ)P(62<Z<82)；(ⅰ)若全校所有男生考试成绩在区间(62,82)人数记为X，利用(ⅰ)的结果，求E(X)．(Ⅲ)若从50名学生中任意抽取两名考试优秀的(90分以上为优秀包括90分)学生参加该学科的竞赛，若两名男生参加可以获A奖励；若两名女生参加可以获B奖励；若一名男生和一名女生参加可以获C奖励，试判断三种奖励的哪种奖励的可能性大？参考数据：若Z～(μ,σ2)，则P(μ−σ<Z<μ+σ)=0.6826．21.已知函数f(x)=xe x−a(ln x+x)，a∈R。

2020届黑龙江省哈尔滨市第三中学高三综合题（一）数学（理）试题一、单选题1．设i 是虚数单位，则复数12ii-+在复平面内对应的点所在象限为（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【解析】利用复数的除法运算化简复数的形式，写出复数再复平面中对应的点坐标，进而写出所在象限. 【详解】1(1)(2)13132(2)(2)555i i i i z i i i i ----====-++- 对应的点坐标为13(,)55-，在第四象限. 故选:D 【点睛】本题考查了复数的除法运算和几何意义，考查了学生数学运算和数形结合的能力，属于基础题.2．已知集合{}2|4M x x =≤，{},N a a =-，若M N N =I ，则a 的取值范围是（ ）A ．[)2,+∞B ．(][),22,-∞-+∞UC ．[)(]2,00,2-UD ．[]22-,【答案】C【解析】解二次不等式得到集合M 的具体范围，转化M N N =I 为N M ⊆，比较a 与集合M 两个端点可得到结论. 【详解】集合{}|22M x x =-≤≤，又M N N =I 等价于N M ⊆， 因此： 当0a >时，20<22a a a ≤⎧∴≤⎨-≥-⎩；当0a <时，2202a a a -≤⎧∴-≤<⎨≥-⎩； 综上：[)(]2,00,2a ∈-U 故选：C 【点睛】本题考查了集合的交集运算的性质以及集合的包含关系，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算的能力，属于基础题.3．某几何体是圆锥的一部分，它的三视图如图所示，其中俯视图是个半圆，则该几何体的表面积为（ ）A ．32π B ．332π+C ．3π+D ．532π+【答案】B【解析】三视图复原可知几何体是圆锥的一半，根据三视图数据，求出几何体的表面积. 【详解】由题目所给的三视图可得，该几何体为圆锥的一半，那么该几何体的表面积为该圆锥表面积的一半与截面面积的和.又该半圆锥的侧面展开图为扇形，所以侧面积为112=2ππ⨯⨯⨯，底面积为12π. 观察三视图可知，轴截面为边长为2的正三角形，所以轴截面面积为1322=322⨯⨯⨯ 则该几何体的表面积为：332π+故选：B 【点睛】本题考查了几何体的三视图，表面积，考查了学生的空间想象力，数学运算能力，属于基础题.4．下列说法正确的是（ ）A ．在频率分布直方图中，众数左边和右边的直方图的面积相等；B ．为调查高三年级的240名学生完成作业所需的时间，由教务处对高三年级的学生进行編号，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为分层抽样；C ．“1x =”是“2320x x -+=”的必要不充分条件；D ．命题p ：“0x R ∃∈，使得200320x x -+<”的否定为：“x R ∀∈，均有2320x x -+≥”.【答案】D【解析】A .根据众数和中位数的性质进行判断； B .根据系统抽样的定义进行判断；C .根据充分条件和必要条件的定义进行判断；D .根据含有量词的命题的否定进行判断. 【详解】对于A ，在频率分步直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，故A 错误； 对于B ，从001到240抽取学号最后一位为3的学生进行调查，则这种抽样方法为系统抽样，故B 错误；对于C ，由2320x x -+=得1x =或2x =，故“1x =”是“2320x x -+=”的充分不必要条件，故C 错误； 对于D ，正确. 故选：D 【点睛】本题考查了众数和中位数、系统抽样、充分条件和必要条件、含有量词的命题的否定等知识点，考查了学生综合分析得能力，属于基础题.5．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由题意得2cos 2sin 2i e i =+，得到复数在复平面内对应的点(cos 2,sin 2)，即可作出解答. 【详解】由题意得，e 2i ＝cos 2＋isin 2，∴复数在复平面内对应的点为(cos 2，sin 2)． ∵2∈，∴cos 2∈(－1，0)，sin 2∈(0，1)，∴e 2i 表示的复数在复平面中对应的点位于第二象限， 故选B. 【点睛】本题主要考查了复数坐标的表示，属于基础题.6．工作需要，现从4名女教师，5名男教师中选3名教师组成一个援川团队，要求男、女教师都有，则不同的组队方案种数为 A ．140 B ．100 C ．80 D ．70【答案】D【解析】先分类确定男女人数，再利用两个原理计数. 【详解】2男1女：1245C C ;1男2女：2145C C ; 所以共有12214545+=40+30=70C C C C ，选D. 【点睛】本题考查排列组合简单应用，考查基本分析求解能力，属基础题.7．阅读下面的程序框图，如果输出的函数值()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，那么输入的实数x 的取值范围是（ ）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．(][),12,-∞+∞UD ．(](),12,-∞+∞U【答案】D【解析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值，根据函数解析式，结合输出的函数值在区间1,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦即可.【详解】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数()2,[2,2]=2,(,2)(2,)x x f x x ⎧∈-⎨∈-∞-⋃+∞⎩的函数值又因为()1,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故12,24x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦或(,2)(2,)x ∈-∞-⋃+∞(](),12,x ∴∈-∞+∞U故选：D 【点睛】本题考查了分支结构的程序框图，解答本题的关键是读懂给出的程序框图，属于基础题. 8．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于（ ）A ．3B ．3-C ．39D ．69-【答案】C【解析】利用同角三角函数的基本关系求出sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭与sin 42πβ⎛⎫-⎪⎝⎭，然后利用两角差的余弦公式求出cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦值． 【详解】02πα<<Q ，3444πππα∴<+<，则222sin 1cos 443ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 02πβ-<<Q ，则4422ππβπ<-<，所以，26sin 1cos 42423πβπβ⎛⎫⎛⎫-=--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 因此，cos cos 2442βππβαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1322653cos cos sin sin 44244233339ππβππβαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++-=⋅+=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故选C ． 【点睛】本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解．9．设数列{}n a 是公差不为0的等差数列，其前n 项和为n S ，若7210S S =+，且1a ，3a ，6a 成等比数列，则前n 项和n S 等于（ ） A ．2788n n+B ．2744n n+C ．2324n n+D ．2n n +【答案】A【解析】将给出的条件：7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列用基本量1,a d 表示，求解1,a d ，进而得到前n 项和n S . 【详解】设等差数列的首项、公差分别为：1,a d ，且7210S S =+，1a ，3a ，6a 成等比数列211111721210(2)(5)a d a d a d a a d ∴+=+++=+，111,4a d ∴==前n 项和28(1)1=2847n n n n n nS -++⨯= 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的定义及性质，等差数列的通项公式、前n 项和公式，属于中档题.10．若函数()()()2log 20,1af x x x a a =+>≠在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内恒有()0f x >，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．1,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭ B ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．()0,+∞【答案】C【解析】试题分析：由题意得，因为，，函数()()()2log 20,1a f x x x a a =+>≠在区间内恒有()0f x >，所以，由复合函数的单调性可知的单调递减区间，对复合函数的形式进行判断，可得到函数的单调递增区间为，故选C ．考点:1.对数函数的图象与性质；2.复合函数的单调性；3.函数恒成立问题.【方法点睛】本题主要考查的是用复合函数的单调性求单调区间，函数恒成立问题，对数函数的图象与性质，属于中档题，本题要根据题设中所给的条件解出的底数的值，由，可得到内层函数的值域，再由()0f x >恒成立，可得到底数的取值范围，再利用复合函数的单调性求出其单调区间即可，因此本题中正确将题设中所给的条件进行正确转化得出底数的范围，是解决本题的关键.11．已知三棱锥O ABC -中，A ，B ，C 三点在以O 为球心的球面上，若2AB BC ==，120ABC ∠=︒，且三棱锥O ABC -3O 的表面积为（ ）A ．323πB ．16πC ．52πD ．64π【答案】C【解析】由题意2AB BC ==，120ABC ∠=︒，可求得ABC ∆的面积，进而通过O ABC -的体积得到三棱锥的高，即球心到平面ABC 的距离.通过外接圆的半径公式，求得截面圆的半径，得到球O 的半径，即得解. 【详解】由题意2AB BC ==，ABC 1120=||||sin 32ABC S AB BC ABC ∆∠=︒∠=，1333O ABC ABC V S h h -∆==∴=.又ABC ∆的外接圆的半径222sin 2sin 30oAB r C ===因此球O 的半径222313R =+球的表面积：2452S R ππ==. 故选：C 【点睛】本题考查了球和三棱锥以及球的截面圆的综合问题，考查了学生的综合分析，空间想象，数学运算能力，属于中档题.12．定义方程()()'f x f x =的实根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()21x g x e =+，()()ln 1h x x =+，()31x x ϕ=-的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>【答案】B【解析】可先求出'(),'(),'()g x h x x ϕ，由新驻点的定义可知对应的方程为：2232112,ln(1),131x x e e x x x x +=+=-=+， 从而构造函数2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+ 由零点存在性定理判断,,a b c 的范围即可. 【详解】由题意：221'()2,'(),'()31xg x e h x x x x ϕ===+，所以,,a b c 分别为2232112,ln(1),131xx ee x x x x +=+=-=+的根，即为函数 2321111()1,()ln(1),()131x g x e h x x x x x x ϕ=-=+-=--+的零点， 可解得：0a =；又因为：111(0)10,(1)ln 20,(0,1)2h h b =-<=->∈； 又因为：11(2)0,(4)150,(2,4)c ϕϕ<=>∈； 所以：c b a >> 故选：B 【点睛】本题是函数与导数综合的创新新定义题型，考查了导数、零点存在性定理等知识点，考查了学生综合分析，转化化归，数学运算的能力，属于难题.二、填空题13．已知向量a r ，b r 满足3a =r ，2b =r ，且a r 与b r的夹角为60︒，则2a b -=r r ______.【答案】7【解析】先计算a r 与b r的数量积，由向量模的计算公式，代入数据即可的答案.【详解】根据题意||||cos 603oa b a b ⋅=⋅=r r r r ，222|2|4||4||28a b a a b b -=-⋅+=r r r r r r ，|2|7a b ∴-=r r故答案为：27【点睛】本题考查了数量积的计算预计向量模的计算方法，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题.14．实数x ，y 满足条件402200,0x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，则41log 12x y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的最大值为______.【答案】1【解析】利用不等式性质，同向不等式的可加性，由已知条件中的不等式得到1+12x y +的取值范围，进而得解. 【详解】 由题意：4x y +≤---------(1)22x y -+≤---------(2)0,0x y ≥≥---------(3)14(1)(2):361832x y x y ⨯++≤∴+≤由（3）：102x y ≤+ 4111+140log (+1)122x y x y ∴≤+≤∴≤+≤ 故答案为：1 【点睛】本题考查了不等式的性质，同向不等式的可加性，考查了学生转化与化归，数学运算的能力，属于基础题.15．双曲线1C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，且抛物线2C ：()220y px p =>的焦点与双曲线1C 的焦点重合，若双曲线1C 与抛物线2C 的交点P满足212PF F F ⊥，则双曲线1C 的离心率e =______. 【答案】12【解析】根据题意可得p 与a ,c 的关系，把抛物线的方程与双曲线的方程联立可得答案. 【详解】 由题意可知：22pc p c =∴= 在由双曲线1C 与抛物线2C 的交点P 满足212PF F F ⊥，知交点P 的横坐标为c , 把抛物线与双曲线联立得：22241x cxa b-=，把x c =代入整理得：42610e e -+= 解得：12e =+ 故答案为：12+ 【点睛】本题考查了双曲线与抛物线综合问题，考查了学生综合分析，数学运算得能力，属于中档题.16．已知南北回归线的纬度为2326'︒，设地球表面某地正午太阳高度角为θ，δ为此时太阳直射纬度，ϕ为该地的纬度值，那么这三个量之间的关系是90θϕδ=︒--.当地夏半年δ取正值，冬半年δ取负值，如果在北半球某地（纬度为0ϕ）的一幢高为0h 的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离应不小于______（结果用含有0h 和0ϕ的式子表示）. 【答案】()00tan 2326'h ϕ︒+【解析】根据题意，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义，以及题设条件，解三角形，即得解. 【详解】 如图：设点A ，B ，C 分别为太阳直射北回归线，赤道，南回归线时楼顶在地面上得投射点，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，应取太阳直射南回归线时的情况考虑，此时的太阳直射纬度为2326'-︒，依题意两楼的间距不小于MC ，根据太阳高度角的定义得：90|(2326')|90(2326')o o o o o o C ϕϕ∠=---=-+0|MC|=tan(2326')tan tan(90(2326'))o o oo o oo h h h C ϕϕ∴==+-+ 故答案为：()00tan 2326'h ϕ︒+ 【点睛】本题考查了解三角形在实际问题中的应用，考查了学生综合分析，数学建模，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，274sin cos 222A B C +-=. （1）求角C ； （2）若332ABC S ∆=，7c =a ，b 的值. 【答案】（1）3C π=；（2）23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩【解析】（1）使用三角形的内角和公式和二倍角公式化简式子，得出cosC 的方程； （2）根据面积公式和余弦定理构造关于a ,b 的等量关系，即得解. 【详解】（1）由已知得，()()()2721cos 2cos 12A B C -+--=， 所以()22cos 10C -=， 所以1cos 2C =，3C π=. （2）133sin 22ABC S ab C ∆==6ab =.（1） 又由()()2221cos c a b ab C =+-+得，5a b +=.（2）（1）与（2）联立得：23a b =⎧⎨=⎩或32a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了解三角形的综合问题，涉及正弦定理、余弦定理、面积公式等知识点，考查了学生的综合分析能力，数学运算能力，属于中档题.18．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，90BAC ∠=︒，11AB AC AA ===，E 、F 分别是棱1C C 、BC 的中点.（1）求证：1B F⊥平面AEF；（2）求直线1B F与平面1AB E所成的角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2）6【解析】（1）根据题设中的长度关系，得到1B F EF⊥，再结合1AF B F⊥即得证；（2）如图建立平面直角坐标系，根据线面角的向量公式，即得解.【详解】（1）因为AF BC⊥，1AF BB⊥.所以AF⊥平面11BCC B，所以1AF B F⊥.11AB AC AA===，则2132B F=，234EF=，2194B E=，所以22211B EFF B E+=，所以1B F EF⊥，所以1B F⊥平面AEF；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A，()11,0,1B，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E，11,,022F⎛⎫⎪⎝⎭，111,,122B F⎛⎫=--⎪⎝⎭u u u u r，平面1AB E的法向量为()2,1,2u=-r，设直线1B F与平面1AB E所成的角为α，则1116sin cos,6||||B F uB F uB F uα⋅===⋅u u u u r ru u u u r ru u u u r r.【点睛】本题考查了空间中直线与平面的垂直判定，线面角的计算，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于中档题.19．某班有甲乙两个物理科代表，从若干次物理考试中，随机抽取八次成绩的茎叶图（其中茎为成绩十位数字，叶为成绩的个位数字）如下：（1）分别求甲、乙两个科代表成绩的中位数；（2）分别求甲、乙两个科代表成绩的平均数，并说明哪个科代表的成绩更稳定；（3）将频率视为概率，对乙科代表今后三次考试的成绩进行预测，记这三次成绩中不低于90分的次数为ξ，求ξ的分布列及均值.【答案】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，甲科代表的成绩更稳定；（3）分布列见解析，98Eξ=【解析】（1）根据茎叶图中的数据以及中位数的定义，可得解；（2）根据茎叶图中的数据，平均数、方差的定义，得解；（3）根据题意ξ服从二项分布，分别求出随机变量的概率然后求概率的分布列和均值. 【详解】（1）甲的中位数是83.5，乙的中位数是83；（2）甲乙的平均数都是85，227S=甲，231839.758S==乙，因为22S S<甲乙，所以甲科代表的成绩更稳定；（3）3~3,8Bξ⎛⎫⎪⎝⎭，ξ的分布列是：ξ0 1 2 3P125512 225512 135512 2751298E ξ=. 【点睛】本题为统计和概率的综合题，考查了茎叶图、中位数、平均数、方差，二项分布，随机变量的分布列和期望等概念，考查了学生综合分析，数学运算的能力，属于中档题.20．已知过圆1C ：221x y +=上一点13,22E ⎛ ⎝⎭的切线，交坐标轴于A 、B 两点，且A 、B 恰好分别为椭圆2C ：()222210x y a b a b+=>>的上顶点和右顶点.（1）求椭圆2C 的方程；（2）已知P 为椭圆的左顶点，过点P 作直线PM 、PN 分别交椭圆于M 、N 两点，若直线MN 过定点()1,0Q -，求证：PM PN ⊥.【答案】（1）221443x y +=；（2）见解析 【解析】（1）根据题设条件，可得上顶点和右顶点的坐标，进而可得椭圆方程； （2）根据题意设出直线MN 的方程与椭圆联立，得到221212226341313k k x x x x k k-+=-=++，， 转化PM PN ⊥为证明0PM PN ⋅=u u u u r u u u r ，利用韦达定理即得证. 【详解】（1）直线OE l 的方程为3y x =，则直线AB l 的斜率33AB k =-. 所以AB l ：3333y x =-+，即23A ⎛ ⎝⎭，()2,0B ， 椭圆方程为：221443x y +=；（2）①当MN k 不存在时，()1,1M -，()1,1N --，因为()()1,11,10PM PN ⋅=-⋅--=u u u u r u u u r ，所以PM PN ⊥u u u u r u u u r .②当MN k 存在时，设()11,M x y ，()22,N x y ，MN l ：()1y k x =+，联立()2211443y k x x y ⎧=+⎪⎪⎨+=⎪⎪⎩得：()2222136340k x k x k +++-=. 所以2122613k x x k +=-+，21223413k x x k-=+， 又已知左顶点P 为()2,0-，()()()11221212122,2,24x y x y x x x x y y PM PN +⋅+=+++⋅=+u u u u r u u u r，又()()()212121212111y y k x k x k x x x x =++=+++22313k k-=+， 所以222222341234131313k k k PM PN k k k --⋅=-+++++u u u u r u u u r 2222234124123013k k k k k--++-==+， 所以PM PN ⊥u u u u r u u u r.综上PM PN ⊥得证. 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合问题，考查了学生综合分析，转化、数学运算的能力，属于较难题. 21．已知111123S n =++⋅⋅⋅+，211121S n =++⋅⋅⋅+-，直线1x =，x n =，0y =与曲线1y x=所围成的曲边梯形的面积为S .其中n N ∈，且2n ≥. （1）当0x >时，()ln 11axx ax x <+<+恒成立，求实数a 的值； （2）请指出1S ，S ，2S 的大小，并且证明；（3）求证：131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【答案】（1）1；（2）12S S S <<，证明见解析；（3）见解析【解析】（1）构造函数()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()ln 1n x ax x x =-+借助导数分析函数单调性，研究a 的范围，即得解. （2）借助第（1）问的结论进行放缩，即得证； （3）借助第（1）问的结论进行放缩和叠加，即得证； 【详解】（1）由已知得0a ≤时，不合题意，所以0a >.()ln 11axx x <++恒成立，即()()()1ln 10ax x x x <++>恒成立. 令()()()1ln 1m x x x ax =++-，()()'ln 11m x x a =++-. 当1a ≤时，()m x 在()0,∞+上为增函数，此时()0m x >成立. 当1a >时，()m x 在()10,1a e--上为减函数，不合题意，所以1a ≤.令()()ln 1n x ax x x =-+，()1'1n x a x =-+，当1a ≥时，()n x 在()0,∞+上为增函数，此时()0n x >，()ln 1x ax +<恒成立.当01a <<时，()n x 在10,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上为减函数，不合题意，所以1a ≥.综上得1a =. （2）由（1）知()()ln 101x x x x x <+<>+.令1x i =，得111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭， 从而11111111ln 112321n i n i n -=⎛⎫+++<+<+++ ⎪-⎝⎭∑L L ， 又因为11ln nS dx n x==⎰，则12S S S <<. （3）由已知111232313ni i i i =⎛⎫+-⎪--⎝⎭∑ 1111111123323n n ⎛⎫⎛⎫+++⋅⋅⋅+-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭L 111123n n n =++⋅⋅⋅+++，因为111ln 11i i i⎛⎫<+< ⎪+⎝⎭，所以 111111ln 1ln 1ln 1123123n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>++++++ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L 31ln1n n +=+，111123ln ln ln 123131n n n n n n n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ln3=.从而131112lnln 3132313n i n n i i i =+⎛⎫<+-< ⎪+--⎝⎭∑. 【点睛】本题考查了定积分的几何意义、不等式的恒成立问题、对数的运算等，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算，属于难题.22．已知曲线C 的极坐标方程是1ρ=，以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程222222x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程； （2）设曲线C 经过伸缩变换'2'x yy y=⎧⎨=⎩得到曲线'C ，设曲线'C 上任一点为()','M x y ，求点M 到直线l 距离的最大值.【答案】（1）40x y --=，221x y +=；（2）10422【解析】（1）利用参数方程和一般方程，极坐标和直角坐标系下方程的转化公式，代入即得解；（2）求出'C 方程，再由参数方程设()2cos ,sin M ϕϕ，由点到直线距离公式，运用两角和的正弦公式化简，即得解. 【详解】（1）直线l 的普通方程：40x y --=，曲线C 的直角坐标方程：221x y +=；（2）曲线C ：22''14x y +=，设()2cos ,sin M ϕϕ，()5sin 42cos sin 422d ϕθϕϕ+---==，其中θ为辅助角，当()sin 1ϕθ+=-时，d 1042+. 【点睛】本题考查了参数方程、极坐标方程与一般方程的互化，点到直线的距离公式等知识点，考查了学生转化划归、数学运算的能力，属于中档题. 23．已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<. （1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）37,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】（1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式.（2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-< 当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>- 当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立 当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭（2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+< 即25255a a -<-+< 解得()0,2a ∈ 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（一）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x-1＞0}，B={x|y=1og2（2-x）}，则A∩B=（）A. （1，2）B. （1，+∞）C. （1，2]D. （2，+∞）2.已知向量=（2m-1，m），=（3，1），若∥，则m=（）A. 1B. ±1C. -1D. -23.已知α是第二象限角，若sin（-α）=-，则sinα=（）A. B. C. D.4.等差数列{a n}中，a3与a8的等差中项为10，则a1+a10=（）A. 40B. 30C. 20D. 105.已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m⊂α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，m∥β，则α∥β；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．其中真命题的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 36.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A. 5B. 7C. 9D. 117.已知命题p：函数f（x）=是定义在实数集上的奇函数；命题q：直线x=0是g（x）=x的切线，则下列命题是真命题的是（）A. p∧qB. ￢qC. （￢p）∧qD. ￢p8.已知圆C：x2+y2=4和直线l：y=x，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为（）9.我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个c1键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音c的频率正好是中音c1的2倍．已知标准音a1的频率为440Hz，那么频率为220Hz的音名是（）A. dB. fC. eD.10.函数f（x）=（x2-4x+1）•e x的大致图象是（）A. B.C. D.11.已知椭圆=1（a＞b＞0）与双曲线=1（m＞0，n＞0）有共同的焦点，且b=n，若椭圆的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（）A. y=±xB. y=±xC. y=±D. y=±x12.已知函数f（x）=，方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A. （-1，1）B. （0，1）C. （-1，0）D. （1，e）二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足=-3i，其中i是虚数单位，则复数z的模是______．14.已知实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），则下列关系式正确的为______．①x2+1＞y2② |1-x|＞|y-1|③sin x＞sin y④x3＞y315.已知变量x，y满足约束条件，则z=3x+y的最大值是______．16.已知点P为直线l：x=-2上任意一点，过点P作抛物线y2=2px（p＞0）的两条切线，切点分别为A（x1，y1）、B（x2，y2），则x1•x2为定值，此定值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x．（1）求函数y=f（x）的单调增区间；（2）△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知f（A）=0，a=1，求b+c的取值范围．18.如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC=2，AC=CC1=2，其中P为棱CC1上的任意一点，设平面PAB与平面A1B1C的交线为QR．（1）求证：AB∥QR；（2）若P为棱CC1上的中点，求几何体QR-ABC的体积．19.某校学业水平考试中，某两个班共100名学生，物理成绩的优秀率为20%，数学成绩的频率分布直方图如图所示，数学成绩大于90分的为优秀．（1）利用频率分布直方图估计数学成绩的众数和中位数（中位数保留小数点后两位）；（2）如果数学、物理都优秀的有12人，补全下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关？物理优秀物理非优秀总计数学优秀12数学非优秀总计附：K2=，其中n=a+b+c+d．k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828P（K2≥k0）0.150.100.050.0250.0100.0050.00120.椭圆C：=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1（-，0）、F2（，0），点A（，）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+m与椭圆交于E、F两点，以EF为直径的圆过坐标原点O，求证：坐标原点O到直线l距离为定值．21.某财团欲投资一新型产品的批量生产，预计该产品的每日生产总成本价格y（单位：万元）是每日产量x（单位：吨）的函数：y=ln x（x＞1）．（1）求当日产量为3吨时的边际成本（即生产过程中一段时间的总成本对该段时间产量的导数）；（2）记每日生产平均成本为m，求证：m＜16；（3）若财团每日注入资金可按数列a n=（单位：亿元）递减，连续注入60天，求证：这60天的总投入资金大于41n11亿元．22.曲线C1：（其中t为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C2：ρ=2a cosθ（a＞0）关于C1对称．（1）求曲线C1的普通方程，曲线C2直角坐标方程；（2）将C2向左平移2个单位长度，按照变换得到C3，点P为C3上任意一点，求点P到曲线C1距离的最大值．23.已知f（x）=2|x|+|x-1|．（1）解关于x的不等式f（x）＞4；（2）对于任意正数m、n，求使得不等式f（x）≤+2nm恒成立的x的取值集合M．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：A={x|x-1＞0}={x|x＞1}，B={x|y=1og2（2-x）}={x|2-x＞0}={x|x＜2}，则A∩B={x|1＜x＜2}故选：A．求出集合A，B的等价条件，结合集合交集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.答案：C解析：解：∵向量=（2m-1，m），=（3，1），∥，∴=，解得m=-1．故选：C．利用向量与向量平行的性质直接求解．本题考查实数值的求法，考查向量与向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：D解析：【分析】本题考查三角函数化简求值，同角三角函数基本关系式以及诱导公式的应用，属于基础题.直接利用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系式转化求解即可．【解答】解：由sin（-α）=-，可得cosα=-，∵α是第二象限角，∴sinα==．故选：D．4.答案：C解析：解：a1+a10=a3+a8=20，故选：C．由下标定理可得结果本题考查了等差数列的性质，属基础题．5.答案：B解析：解：①若m⊂α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确故选：B．要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．定理公理综合运用能力的考查，属中档题6.答案：B解析：解：模拟程序的运行，可得n=1，S=0不满足条件S≥，执行循环体，S=，n=3不满足条件S≥，执行循环体，S=+，n=5不满足条件S≥，执行循环体，S=++=，n=7此时，满足条件S≥，退出循环，输出n的值为7．故选：B．先要通读程序框图，看到程序中有循环结构，然后代入初值，看是否进入循环体，是就执行循环体，写清每次循环的结果；不是就退出循环，看清要输出的是何值．本题考查程序框图．要掌握常见的当型、直到型循环结构；以及会判断条件结构，并得到条件结构的结果；在已知框图的条件下，可以得到框图的结果．7.答案：A解析：解：f（-x）===-=-f（x），即f（x）是奇函数，故命题p是真命题，函数的导数g′（x）==，当x=0时，g′（x）不存在，此时切线为y轴，即x=0，故命题q是真命题，则p∧q是真命题，其余为假命题，故选：A．分别判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．本题主要考查复合命题真假关系的应用，求出命题p，q的真假是解决本题的关键．8.答案：B解析：解：如图，设与直线y=x平行的直线方程为x-y+c=0，由O到直线x-y+c=0的距离为，即OD=，且OB=2，得∠BOD=30°，则∠AOB=60°，∴则圆C上任取一点A到直线l的距离小于的概率为P=．由题意画出图形，求出满足条件的A点所占弧长所对的圆心角的大小，由测度比是角度比得答案．本题考查几何概型概率的求法，考查直线与圆位置关系的应用，是中档题．9.答案：D解析：【分析】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与指数幂的计算能力，属于中档题．220Hz的音比a1的频率低，故可将a1的频率记为第一项，220Hz的音设为第n项，则这个数列是以440Hz为第一项，以q=为公比的等比数列，代入等比数列的通项公式可得．【解答】解：从第二个单音起，每一个单音的频率与它的左边一个单音的频率的比．故从#g 起，每一个单音的频率与它右边的一个单音的比为q=由220=440×，解得n=7，频率为220Hz的音名是（#d），故选：D．10.答案：A解析：解：当x＜0时，x2-4x+1＞0，e x＞0，所以f（x）＞0，故可排除B，C；当x=2时，f（2）=-3e2＜0，故可排除D．故选：A．用x＜0排除B，C；用x=2排除D．故选A．本题考查了函数图象与图象的变换，属基础题．11.答案：C解析：解：椭圆的半焦距为c，则以题意可得：又n=b，所以，所以，双曲线的方程为：，双曲线的渐近线方程为：y=．故选：C．利用椭圆的简单性质以及双曲线的简单性质，列出方程，转化求解双曲线方程，即可得到渐近线方程．本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．12.答案：C解析：解：当x＞0时，f（x）=，所以f′（x）=，易得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）所以f（x）max=f（1）=1，设t=f（x），则方程f2（x）+mf（x）=0可变为t2+mt=0，解得：t=0或t=-m则方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由图可知：0＜-m＜1，即-1＜m＜0，故选：C．由导数的应用得：y=f（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，所以f（x）=f（1）=1，max由方程的解的个数与函数图象的交点个数的关系得：方程f2（x）+mf（x）=0（m∈R）有五个不相等的实数根等价于函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的交点个数为5个，由函数t=f（x）的图象与直线t=0，t=-m的位置关系可得：-1＜m＜0，得解本题考查了利用导数研究函数的单调性，图象，方程的解的个数与函数图象的交点个数，属中档题13.答案：解析：解：由=-3i，得z=-3i（1+i）=3-3i．则复数z的模是．故答案为：．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．14.答案：①②解析：解：∵实数x，y满足a x＞a y＞1（0＜a＜1），∴x＜y＜0，∴x2+1＞y2，故①正确；∴-x＞-y＞0，1-x＞1-y＞1，∴|1-x|＞|y-1|，故②正确；不一定有sin x＞sin y，故③不一定正确；∴x3＜y3 ，∴④不正确，故答案为：①②．由题意利用指数函数的单调性，判断x＜y＜0，从而得出结论．本题主要考查指数函数的单调性，判断x＜y＜0，是解题的关键，属于基础题．15.答案：3解析：【分析】本题主要考查了线性规划的思想、方法、技巧，二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属基础题．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，数形结合即可得目标函数的最值．【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分，由，解得A（1，0）目标函数z=3x+y可看作斜率为-3的动直线，其纵截距越大，z越大，由数形结合可得当动直线过点A时，z最大=3×1+0=3．故答案为：3．16.答案：4解析：解：不妨设P（-2，0），过P的切线方程设为y=k（x+2），代入抛物线方程y2=2px（p＞0）得k2x2+（4k2-2p）x+4k2=0，又k≠0，故x1x2=4．故答案为4．取P的特殊位置，设出切线方程并与抛物线方程联立，再根据一元二次方程根与系数的关系求解．本题考查直线与抛物线的位置关系，注意利用特殊化思想处理客观题，可以大大提高解题的效率．17.答案：解：（1）函数f（x）=cos（2x-）-2cos2x=cos2x+sin2x-cos2x-1=sin（2x-）-1，由2kπ-≤2x-≤2kπ+，可得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的单调递增区间是（kπ-，kπ+），k∈Z．（2）△ABC中，已知f（A）=sin（2A-）-1=0，∴2A-=，∴A=．∵a=1，由正弦定理可得===，∴b+c=（sin B+sin C）=[sin B+sin（-B）]=（sin B+cos B+sin B）=sin B+cos B=2sin（B+）．∵B∈（0，），∴B+∈（，），∴2sin（B+）∈（1，2]．所以b+c的范围是（1，2]．解析：（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论．（2）先由题意求得A，再利用正弦定理求得b+c的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得b+c的取值范围．属于中档题．18.答案：证明：（1）在直线三棱柱ABC-A1B1C1中，∵AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂平面A1B1C，∴AB∥平面A1B1C，∵平面PAB与平面A1B1C的交线为QR，且AB⊂平面PAB，∴AB∥QR．解：（2）在侧面BCC1B1中，∵BC=2，CC1=2，P为棱CC1上的中点，∴tan∠BB1C===，tan=，∴∠BB1C=∠PBC，∴PB⊥B1C，∴CR⊥PB，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥AB，∵AB=BC=2，AC=2，∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，又BB1∩BC=B，∴AB⊥平面BCC1B1，∴QR⊥平面BCC1B1，∵BC=2，PC=，∴CR===，∵△PRC∽△PCB，∴PR===，∵AB∥QR，∴，∴QR===，∴几何体QR-ABC的体积：V A-PBC-V Q-PBC=-=．解析：（1）由AB∥A1B1，得AB∥平面A1B1C，由此能证明AB∥QR．（2）推导出tan∠BB1C===，tan=，从而∠BB1C=∠PBC，PB⊥B1C，CR⊥PB，由BB1⊥平面ABC，得BB1⊥AB，推导出AB⊥BC，从而AB⊥平面BCC1B1，QR⊥平面BCC1B1，几何体QR-ABC的体积V A-PBC-V Q-PBC．本题考查线线平行的证明，考查几何体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：（1）有频率分布直方图可知众数为85，∵0.02×10+0.026×10=0.46＜0.5，所以中位数位于区间（80，90），设为x，则0.46+（x-80）×0.03=0.5，解得x=，所以中位数为81.33．（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，物理优秀物理非优秀合计数学优秀12 1224数学非优秀8 6876合计 20 80100K2=≈17.76＞10.828，故有99.9%以上的把握认为数学优秀与物理优秀有关．解析：（1）众数在最高的矩形中，取其中点值即可，中位数是使概率为0.5的数学成绩，根据0.46+（x-80）×0.03=0.5解得即可；（2）两个班100名学生中物理优秀的有100×20%=20人，物理非优秀的有80人，数学成绩优秀的有100×0.024×10=24人，数学成绩非优秀的有76人，所以数学，物理非优秀的有24-12=12人，由此可得列联表，计算出K2，结合临界值可得．本题考查了独立性检验，属中档题．20.答案：解：（1）由椭圆定义可知，2a=|AF1|+|AF2|=+=4，所以a=2，因为c=，所以b=1，椭圆C的方程为：+y2=1；（2）证明：由可得（4k2+1）x2+8kmx+4（m2-1）=0，△=64k2m2-16（4k2+1）（m2-1）＞0，即4k2+1＞m2，设E（x1，y1），F（x2，y2），又x1+x2=-，x1•x2=，∴•=x1x2+y1y2=（1+m2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+m2）+km（-）+m2=0，∴4k2+4=5m2，∵d===，所以坐标原点O到直线l距离为定值．解析：（1）由椭圆定义可知，2a=|4，求出a，再求出b，即可得到椭圆方程；（2）联立方程组消y，由此利用根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能证明原点O到直线l的距离为定值．本题考查椭圆方程，考查原点到直线的距离为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、点到直线距离公式的合理运用．21.答案：解：（1）y=ln x的导数为y′=-ln x，当x=3时，y′|=-ln3=12-3ln3，当日产量为3吨时的边际成本为12-3ln3万元；（2）证明：=ln x，x＞1，要证m＜16，即证2x lnx＜x2-1，即为2ln x＜x-，即为2ln x-x+＜0，设h（x）=2ln x-x+，x＞1，h′（x）=-1-==-＜0，可得h（x）在x＞1递减，可得h（x）＜h（1）=0，则m＜16成立；（3）证明：由（2）可得x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，则a1+a2+…+a60＞2ln3+2ln+…+2ln=2ln（3•…）=2ln121=4ln11．即为这60天的总投入资金大于41n11亿元．解析：（1）求得函数y的导数，令x=3代入角色可得所求值；（2）运用分析法证明，结合构造函数法，运用导数，判断单调性可得证明；（3）由x≥1时，2ln x≤x-，且当x=1时，取得等号，可得a n=＞2ln，运用累加法和对数的运算性质，即可得证．本题考查函数在实际问题中的运用，考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查不等式的证明，运算能力和推理能力，属于中档题．22.答案：解：（1）由消去t得x-y-2=0，由ρ=2a cosθ得ρ2=2aρcosθ，得x2+y2-2ax=0，依题意C2的圆心C2（a，0）在C1：x-y-2=0上，所以a-0-2=0，解得a=2，故曲线C1的普通方程为x-y-2=0，曲线C2的直角坐标方程为x2+y2-4x=0．即（x-2）2+y2=4．（2）C2向左平移2各单位长度后得x2+y2=4，再按照变换得到C3：x2+=1，设P点坐标为（cosθ，），P点到C1的距离为d==，当θ=时，点P到C1的距离最大，最大值为2．解析：（1）消去参数t可得C1的普通方程，两边同乘以ρ后可得C2的直角坐标方程，利用直线过圆心可得a=2；（2）利用图象变换先得C3，再C2上设P点，由点到直线的距离求出距离d再根据三角函数求最大值．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.答案：解：（1）函数f（x）=2|x|+|x-1|，当x≤0时，不等式f（x）＞4化为-2x-（x-1）＞4，解得x＜-1；当0＜x＜1时，不等式f（x）＞4化为2x-（x-1）＞4，解得x＞3，所以x∈∅；当x≥1时，不等式f（x）＞4化为2x+（x-1）＞4，解得x＞；综上，不等式f（x）＞4的解集为{x|x＜-1或x＞}；…（5分）（2）对于任意正数m、n，+2nm≥2•+2nm≥4，当且仅当m=n=1时“=”成立，所以不等式f（x）≤+2nm恒成立，等价于2|x|+|x-1|≤4，由（1）知，该不等式的解集为{x|-1≤x≤}，所以x的取值集合是M=[-1，]．…（10分）解析：（1）利用分段讨论法去掉绝对值，求出不等式f（x）＞4的解集；（2）利用基本不等式求出+2nm的最小值为4，把不等式f（x）≤+2nm恒成立化为2|x|+|x-1|≤4，求出解集即可．本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了不等式恒成立问题，是中档题．。

2020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 .1．（5 分）已知i为虚数单位，则 1i(i)A ．0B ． 1C ． 1 iD ．12．（5 分）设 A ｛1，2，3｝， B{ x | x 2 x 1 0} ，则 A I B ()A ．{1，2} B ．｛1， 2， 3} C ．{2 ，3}D ．{1}3．（ 5分）某校为了研究 a ，b 两个班的化学成绩， 各选了 10人的成绩，绘制了如右茎叶图， 则根据茎叶图可知， a 班 10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是 （ ）A ． 83 ， aB ． 82.5， bC ． 82.5， aD ． 82，b4．（ 5 分）已知向量 a r(1, 3) ， b r （x,1）且a r 与 b r 的夹角为60 ，则 | b r | () A ． 2 3B ．1C ． 3D ． 233335．（5分）2019年10月1日 1上午，庆祝中华人民共和国成立 70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月 异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼， 他们就是院校科研方阵． 他们是由军事科学院、国防大 学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、 硕士、博士学位．现知道： ①甲不是军事科学院的； ② 来自军事科学院的不是博士； ③乙不 是军事科学院的； ④ 乙不是博士学位； ⑤ 国防科技大学的是研究生． 则丙是来自哪个院校的， 学位是什么 （ ）A ．国防大学，研究生B ．国防大学，博士C ．军事科学院，学士D ．国防科技大学，研究生xx6．（ 5分）函数 f （x ） e 2e ，在 [ 3， 3]的图象大致为 （ ）ln （ x 1）A ．3 2 3 2分)为计算 S 1 23 32 43 527．（5 1)2C ． i, 99 和 N N (i 2 8．（5 分）已知数列 { a n } 满足 a n 22a n a n 1ga n D ．992B ． D ． a n 1则 S 6 ( ) A ． 12B ．126B 3 1003设计了如图所示的程序框图，则在2 99 和 N N (i 1)23 101 和 N N (i 1)3a n 1 ，S n 为其前 n 项和，若 a 1 1 ，a 23，124D ．1209．( 5分)现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不 相邻的站法种数为 ( )数 m 的取值范围是 ( )A ．(5 6， 1)B ．(5 6，3 2 2)C ．( 1 ，3 2 2)D ．( 1 ， 1)2 6 2 20 20 612．( 5 分 ) 已 知 等 差 数 列 {a n } 的 公 差 为 2020， 若 函 数 f(x) x cosx ， 且 f(a 1) f (a 2) f (a 2020 ) 1010 ，记 S n 为{a n } 的前 n 项和，则 S 2020的值为 ( )2021 4041A ． 1010B ．C ． 2020D ．22二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20分.x y 1, 013．(5 分)已知 x 、 y 满足约束条件 x y, 0 ，则 z x 2y 的最大值为 ．x ⋯02214．( 5分)已知双曲线 C: x 2 y2 1(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2作一条 ab 直线 l 与其两条渐近线交于 A ，B 两点．若 AOB 为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为 e ，则 e 2．15．(5 分)己知函数 f(x) 2sin( x )( 0，| | )过点 (0,1) ，若 f(x)在[0，1]上恰2好有两个最值且在 [ 1， 1] 上单调递增，则 ．4416．(5 分)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、 N 、 E 分别为棱 AA 1、AB 、AD 的中点，以 A 为圆心， 1为半径，分别在面 ABB 1 A 1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE ，B 两点(点 A 在 x 轴上方)，点 P(1,2)，连接 AP 交y 轴于 M ，过M 作MD //PF 交 AB 于D ， 若 FA 5DA ，则 AB 斜率为 ()4 ．31A ．BC ．D ．23．42(x 1)2 1 x211．( 5分)已知函数 f (x)1，若函数 Ff (x) mx 有 4 个零点， 则实f ( x 2) x ⋯24x ，F 为其焦点， 过 F 的直线与抛物线 C 交于 A 、2A ． 36B ．24C ．22D ．202 10．(5 分)已知抛物线 C 的方程为 y 2并将两弧各五等分，分点依次为M 、P1、P2、P3、P4、N以及N、Q1、Q2、Q3 、Q4、E．只蚂蚁欲从点P1出发，沿正方体的表面爬行至Q4 ，则其爬行的最短距离为．参考数据：cos9 0.9877 ；cos18 0.9511 ；cos27 0.8910)三、解答题：共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤每个试题考生都必须作答.第22、23 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12 分）在平面四边形ABCD 中，E为AB上一点，连接CE，DE，已知AE 4BE，2 AE 4，CE 7，若 A B CED ．3（1）求BCE 的面积；（2）求CD 的长．18．（12分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1 中，CA CB，侧面ABB1 A1是边长为 2 的正方形，点E 、F 分别是线段AA1 ，A1 B1的中点，且CE EF ．（1）证明：平面ABB1 A1 平面ABC ；（2）若CE CB ，求直线AC1 与平面CEF 所成角的正弦值．.第17～21 题为必考题，3 3 x 2y219．（12分）设直线AC:y 3x与直线BD:y 3 x分别与椭圆E: x y1（m 0）交6 6 4m m于点A，B，C，D，且四边形ABCD 的面积为 2 3．（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点P（0,2）的动直线1与椭圆E相交于M ，N 两点，是否存在经过原点，且以MN 为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由．20．（12分）材料一：2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度．所有省级行政区域均突破文理界限，由学生跨文理选科，均设置“ 3 3” 的考试科目．前一个“ 3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外，绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统一命题；后一个“ 3”为高中学业水平考试（简称“学考”）选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二：2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8 省市发布高考综合改革实施方案，方案决定从2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、数学、外语3个科日成绩和考生选择的 3 科普通高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为750 分．即通常所说的“ 3 1 2 ”模式，所谓“3 1 2”，即“3”是三门主科，分别是语文、数学、外语，这三门科目是必选的．“1” 指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩．“ 2”指考生要在生物、化学、思想政治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩，而是等级赋分．等级赋分指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为A、B、C、 D 、E五个等级，五个等级分别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“ 3 1 2 ”模式选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学” 的概率．（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，满分450 分，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450 分：①考生甲得知他的成绩为270 分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171 分，351 分以上共有57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201 分，351分以上共有57 人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪．附：P(,X) 0.6828 ；P(2,X2)0.9544 ；P(3X3)0.9974．21．( 12 分) 已知函数xf ( x ) 2e x ax(a 0)(1)讨论函数 f (x) 的零点个数：(2)若a e m e n( m ，n为给定的常数，且m n，记f (x)在区间(m, n)上的最小值为g(m,n) ，求证：g(m，n) (1 m ln 2)e m (1 n ln2) e n．二、选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分．[选修 4 一4：极坐标与参数方程]x 2 cos22．(10 分)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C1 的参数方程为( 为参数)，y 2sin以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C2的极坐标方程为4sin ，设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为1．(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若以坐标原点为中心，直线l 顺时针方向旋转后与圆C1 、圆C2 分别在第一象限交于6A、B两点，求|AB|．[选修 4 一5：不等式选讲]1123．已知函数f(x) |x | ，且对任意的x，f(x) f( x )⋯m．(1)求m 的取值范围；( 2)若m N ，证明： f (sin 2 ) f (cos2 a 1), m ．所以 a 班化学成绩更稳定些． 故选： C ．4．（ 5分）已知向量 a r （1, 3） ，b （x,1）且a r 与 b 的夹角为 602020 年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的 .1．（5 分）已知 i 1i为虚数单位，则 1 i i()A ．0B ． 1C ． 1iD ．1【解答】 解： 1ii (1 i )i 2i(i 1) 1 i ．故选： C ．2．（5 分）设A{1，2， 3}， B {x | x 2x1 0}，则 A I B ()A ．{1， 2}B ． {1，2， 3}C ． {2 ， 3}D ．{1}解答】 解：QA {1，2，3}， B {x| 1 5 x 1 5} ，22A IB {1} ．故选： D ．3．（ 5分）某校为了研究 a ，b 两个班的化学成绩， 各选了 10 人的成绩，绘制了如右茎叶图，则根据茎叶图可知， a 班 10人化学成绩的中位数和化学成绩更稳定的班级分别是()C ． 82.5， aD ． 82， b 解答】 解：根据茎叶图可知， a 班 10 人化学成绩的中位数是1 (82 83) 82.5 ；2a 班成绩分布在 71~ 93 之间， 集中在 80~ 88内；b 班成绩分布在 62 ~ 95 之间，更分散些； B ．82.5， b A ． 83 ， aa rgb x 3 2 x211，解得x3，235．(5分)2019年10月1日1上午，庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵仪式在天安门场隆重举行．这次阅兵不仅展示了我国的科技军事力量，更是让世界感受到了中国的日新月异．今年的阅兵方阵有一个很抢眼，他们就是院校科研方阵．他们是由军事科学院、国防大学、国防科技大学联合组建．若己知甲、乙、丙三人来自上述三所学校，学历分别有学士、硕士、博士学位．现知道：①甲不是军事科学院的；② 来自军事科学院的不是博士；③乙不是军事科学院的；④ 乙不是博士学位；⑤ 国防科技大学的是研究生．则丙是来自哪个院校的，学位是什么( )A ．国防大学，研究生B．国防大学，博士C．军事科学院，学士D．国防科技大学，研究生【解答】解：由① 甲不是军事科学院的，得到甲来自于国防大学或国防科技大学；由③乙不是军事科学院的，得到乙来自于国防大学、国防科技大学；由①③ 得到丙来来自于军事科学院；由② 来自军事科学院的不是博士和④乙不是博士学位，得到甲是博士；由⑤国防科技大学的是研究生，得到乙来自于国防科技大学，且乙是研究生，由此得到甲来自于国防大学，且甲是博士，从而得到丙是来自军事科学院，学位是学士．故选： C ．6．( 5分)函数 f (x) xxee ln( x21) ，在[ 3，3] 的图象大致为(B．13C． 33D．(x,1) ，且a r与b r的夹角为603A． 2 3rr解：根据题意，解答】 f (x)xeeln(x21)x)xxee2ln( x2 1)f(x ) ，即函数当x 1时，f（1）ln21 elne当x 3时，f（3）31 e3eln10e313 e lne3故选：C．7．（ 5 分）为计算S 1 23D．f （ x）为奇函数，11 2 ，排除，e2 3 23453]，排除 B 、D，1313(e3113 ) 5 ，排除A ， e239921003设计了如图所示的程序框图，则在两个空白框中分别可以填入（为 101 ，判断框处应为 i 101 ，又知偶数列加的是立方和， 所以应填 N N (i 1)3 ， 故选： D ．28．(5分)已知数列 {a n } 满足 a n 2 2a n a n 1ga n 1 a n 1 a n 1 ，S n 为其前 n 项和，若 a 1 1，a 2 则 S 6 ( ) A ．128B ．126C ． 124D ． 120【解答】 解：Q a n 2 2a n a n 1ga n 1 a n 1 a n 1， a 1 1， a 2 3 ，2 a22a 2 a 1ga 3 a 1 a 3 ，即 9 62a 3 1 ，解得： a 37；同理， 由 2a 3 2a 3 a 2 ga 4 a 2 a 4 ，即 49 14 4a 4 3 ，解得： a 415；同理解得： a 5 31； a 6 63，S 6 1 3 7 15 31 63 120 ，故选： D ．9．( 5分)现有 5 名学生，甲、乙、丙、丁、戊排成一队照相，则甲与乙相邻，且甲与丁不 相邻的站法种数为 ( )1)2B ．99 和 N N 2(i 1)2C ． i, 99 和 N N(iD ．101 和 N N(i 1)3解答】 解：程序框图为计算 S 1 23 32435223992 1003 ， 则终止程序运行的i 值3，A ．36 B．24 C．22 D．2011【解答】解：根据题意，按甲的站法分 2 种情况讨论：①、若甲站在两端，甲有 2 种情况，乙必须与甲相邻，也有 1 种情况，剩余 3 人全排列，安排的剩余的 3 个位置，有A33 6 种情况，则此时有 2 1 6 12 种站法；②、若甲不站在两端，甲可以站在中间的3个位置，有 3 种情况，乙必须与甲相邻，也有2种情况，甲与丁不能相邻，丁有 2 个位置可选，有 2 种情况，剩余 2 人全排列，安排的剩余的 2 个位置，有A22 2 种站法，则此时有 3 2 2 2 24 种站法；则一共有24 12 36 种站法；故选： A ．210．(5分)已知抛物线 C 的方程为y2 4x，F 为其焦点，过F 的直线与抛物线 C 交于A、B两点(点A在x轴上方)，点P( 1,2)，连接AP交y轴于M，过M 作MD //PF交AB于D，若FA 5DA，则AB 斜率为( )4 3 1A ．B．C．D． 23 4 2【解答】解：由抛物线的方程可得：焦点 F (1,0)，准线方程为x 1，作AA 垂直于准线交于 A ，因为MD / / PF ，所以AF AP AA，即xA 15 ，AD AM x A x A解得x A1，41，即A(14，1)，所以yA4所以k AB k AF( x 1)2 1 x 21 ，若函数 F ( x) f (x) mx 有 4 个零点， 则实 f ( x 2) x ⋯22数 m 的取值范围是 (取得最大值时对应的点为 A(3, 1 ) ；2取得最大值时对应的点为 B(5, 1) ；4作函数图象如下：11．( 5分)已知函数 f (x) 51A ．(2 6，6)解答】 解：依题当 x [2 ， 4) 时， x 1 16)1(20，2 2) C ． ( 1 ，3 2 2) D ．20(52 6 ，函数 y f (x) 的图象与直线 y mx 有 4 个交点，B ． 2 [0 ， 2) ，2) (x3)2 1，故此时 f (x)1 12(x3)1，2当 x [4 ，6) 时，x 2 [2 ，4) ，则f ( x 2)112(x5)2112，故此时 f (x)114(x5)21，411由图象可知，满足条件的实数 m 的取值范围为 (5 6, 3 2 2) ．2故选： B ．解答】 解：设 { a n } 的公差为 d ， 由 f ( x) x cosx ，且 f ( a 1 ) f (a 2 )点，且 1 20；又过点 (0,0)作函数在 [2， 4)上的切线切于点 C ，作函数在 [4 ， 6) 上的切线切于点 D ，则12 ．( 5 分 ) 已知等差数列{a n } 的公差为 2020， 若函数 f(x) x cosx ，f (a 1 ) f (a 2 ) f (a 2020 ) 1010 ，记S n 为{a n }的前n 项和，则 S 2020的值为 ( )A ． 1010B ． 2021C ． 2020D ．4041 2f ( a 2020 ) 1010 ，6f ( x) 有两个交k OB即1010( a 1 a 2020 ) (cos a 1 cosa 2 cosa 2020 ) 1010 ， ①又对1剟i 1010． i Z可得 (a 1 a 2a 2020 ) (cos a 1 cosa 2cosa 2020 ) 1010cos a i cos a 2021 i2a i (2021 2i )d cos[2(2021 22i)d ]2a i (2021 2i) d cos[ 2(2021 22i)d ]2cos 2a i (2021 2i)d cos (2021 2i)d2cos cos222cosa ia 2021 i cos (2021 2i)d 222cos a 1 a 2020 cos(2021 2i)d22所以 g(x)在 R 上递增，且 g( ) 02故选： A ．由 z x 2y 得： y 1 x z，221平移直线 y1x ，结合图象直线过 A(0,1)时， 2z 最大， z 的最大值是 2，故答案为： 2．a 1a 2020m22020m [(cos a 1 cos a 2020 ) (cos a 2 cos a 2019 )(cos a 1010 即 2020m 2cosmg[cos 2019d cos2019d设g(x) 2020x 2cos xg[cos2019d 可得g (x ) 2020 2sin xg[cos2 d cos 2]dcos ] 2①即为cosa 1011 )] 1010 ，②，1010 ，由 d 2020 ， 2020 2020 0 ，又由 ②可得 g(m) 0 ，所以 m ，2a 1 a 20202所以 S2020 2020(a 1 a 020 )1010二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分 .x y 1, 013．(5分)已知 x 、 y 满足约束条件 x y, 0 ，则 z xx ⋯02y 的最大值为 21010 cos2 2017d cos22 x14．(5 分)已知双曲线 C: 2a2 y21(a 0,b 0)的左、右焦点分别为 F 1， F 2，过 F 2作一条 b直线 l 与其两条渐近线交于 A ， B 两点．若 AOB 为等腰直角三角形，记双曲线的离心率为 e ，则 e e 22 或 4 2 2 解答】 解：因为 AOB 为等腰直角三角形， i) 当 AOB 90 ，由渐近线的对称性可得 AOF 2 b 2 c 245 ，即 b 1 ，所以离心率 e 2 2 a a 2a 2a2b 2 2， a ii)当 OAB 或 OBA 90 时，离心率是相等的， 因为直线 OA 的方程为bx ，直线 OB 的 a方程为： b x ，a 当 OAB 90 时，所以过 F 2 的直线 AB 的方程为： ay b (x c) ，联立方程 bx a ab(x 可得 c) x A 2 a ， y Ac ab 2即A( a ， cab )； c 联立方程 bx a ab(x 可得 c) x B a 2c b 2 y B abc2b 2B(a 2c，a 2b 2 ，abc) ， 2 2 ) ，a 2b 2因为 AOB 为等腰直角三角形，所以 OB 2OA ， 所以 ( 2a 22 a c )2 b 2)( abc ) 2 ( 2 2 )ab2 2[( a )2 c(ab )2]，b 2 c 2a ，整理可得： 4 2 28a 48a 2c 20 ，即 e428e28 0 ，解得 e综上所述： 2或 4 2 2 ，)( 2e 0，| | 2)过点(0,1) ，若 f(x)在［0，1］上恰4 324 337 6 2 则：5 3624 346 46216．(5 分)如图，棱长为 2 的正方体 ABCD 一 A 1B 1C 1D 1 中，点 M 、 N 、 E 分别为棱 AA 1、只蚂蚁欲从点 P 1出发，沿正方体的表面爬行至 Q 4 ，则其爬行的最短距离为 1.782 ．参考 数据： cos9 0.9877 ； cos18 0.9511 ； cos27 0.8910)好有两个最值且在 [ 1， 1] 上单调递增，则44解答】 解：函数 f(x) 2sin( x )( 0， | | 2)过点 (0,1)，所以6故答案为： 43AB 、AD 的中点，以 A 为圆心， 1为半径，分别在面 ABB 1 A 1和面 ABCD 内作弧 MN 和 NE ，并将两弧各五等分，分点依次为 M 、P 1、P 2、P 3、P 4、N 以及 N 、Q 1、Q 2、Q 3 、Q 4、E ．由于函数 f (x) 在[0 ， 1]上恰好有两个最值且在 [ 1， 1]上单调递增， 44又由在 [0 ， 1]上恰有两个最值，所以所以，解得 0整理得 4390由余弦定理可得解答】 解：将平面 ABCD 绕 AB 旋转至与平面 ABB 1 A 1 共面，则 P 1AQ 4| P 1Q 4 | 2sin 72 ．ABB 1 A 1分别绕 AD 、 AA 1旋转至与平面 ADD 1 A 1共面，| P 1Q 4 | 2sin 63 ．最短距离为 2sin63 2 0.8910 1.782 ．故答案为： 1.782 ．三、解答题：共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .第 17～ 21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答 .第 22、 23 题为选考题，考生根据要求作答 .（一）必考题：共 60 分.分）在平面四边形 ABCD 中， E 为 AB 上一点，连接 CE ， DE ，已知 AE 4BE ，2）求 CD 的长．则 P 1AQ 4902590 126 ．解答】 解（1） BCE 中，由余弦定理可得， 所以 7 2 BC 2 1 BC ，解可得 BCS BCE1BC gBEgsin B 21 2， 332 2）因为 BCE CEB AEDCEB1，3所以 BCE AED ， 又因为 B A ，所以 DE AE4 2CEBC2 所以DE 2CE2 7 ， 在CDE中所以 BCE∽ADE，8 144将平面 ABCD 、平面 又由 sin63 sin72 17．（12 AE 4 ， CE 7 ，若 A B CED1）求 BCE 的面积；CD 2 DE 2 CE 2 2 DE gCE gcos120 28 7 2 2 7 7 ( 1) 49 ．2所以 CD 718．(12分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 中，CA CB ，侧面 ABB 1 A 1是边长为 2 的正方形，AC 1 与平面 CEF 所成角的正弦值．Q CACB ， OC AB ，分别为 AB ，AA 1， A 1B 1 的中点， 在正方体 ABB 1 A 1中，QO ， E ，F EF OE ，又 EF CE，且 OE I CE E ， EF平面 OCE ，Q OC平面OCE ， EF OC ，Q EF ， AB 相交， OC 平面 ABB 1 A 1 ，Q OC 平面 ABC ， 平面 A BB 1 A 1 平面 ABC ．（2） 解： Q AA 1 AB ，平面 ABC平面 ABB 1 A 1 AB ，平面 ABC 平面 ABB 1 A 1AA 1 平面 ABC ， AA 1BC ，Q BC CE ， CE IAA 1 E ， BC平面 AA 1C 1C ， BC AC ， OC 1，Q AA 1 平面 ABC ，AA 1 / / OF ，OF 平面 ABC ，OF OC ， OF OA ， OC OAAB 的中点 O ，连结 解答】 解：（ 1）证明：取 OE ， OC ，以 O 为坐标原点，OA 为 y 轴， OF 为 z 轴，建立空间直角坐标系，OC 为 x 轴， 点 E 、 F 分别是线段 AA 1 ， A 1 B 1的中点，且 CE EF ．1）证明：平面 ABB 1 A 1平面 ABC ；2）若 CE CB ，求直线则O （0 ，0， 0） ， C （1，0，0) ， A （0 ，1， 0)， E(0 ，1，1）， F （0 ，0， 2） ， C 1（1，0， 2），uuur uuurCE ( 1，1，1)， CFuuuur(1，0，2），AC 1 (1 ， 1， 2） ，设平面 CEF 的法向量 n r (x ， y ， z) ，r uuur则ngCE x y z 0 ， 则r uuur ，取 x 2 ，得 n r(2， 1，1)，n gCF x 2 z 0设直线 AC 1与平面 CEF 所成角为 ， 则直线 AC 1与平面 CEF 所成角的正弦值为：uuuur r | AC 1gn | 3 1sin uuuur r ．| AC 1 |g| n r | 6g 6 2于点 A ，B ，C ，D ，且四边形 ABCD 的面积为 2 3．（1）求椭圆 E 的方程；（2）设过点 P （0,2） 的动直线 1与椭圆 E 相交于 M ，N 两点，是否存在经过原点， 且以MN为直径的圆？若有，请求出圆的方程，若没有，请说明理由． 【解答】 解：（1）由题可知直线 AC 与直线 BD 关于坐标轴对称， 所以四边形 ABCD 为矩形，3y6 x 22 xy 4m m ，解得 | x A | 3m ， | y A | m ， 12所以S 四边形 ABCD 4 x A y A 2 3m 2 3 ，2所以 m 1，椭圆 E 的方程为： xy 2 1．42)设点 M(x 1， y 1)，N(x 2， y 2)3 3x 与直线 BD : y 6 3x 分别与椭圆 E : x 6 4m2y1(m 0) 交 m19．（ 12分）设直线 AC: y显然直线 MN 的斜率存在，不妨设直线 MN 的方程为 y kx 2 ，221，可得 (4k 2 1)x 2 16kx 12 0 ，20．（12分）材料一： 2018年，全国逾半省份将从秋季入学的高一年级开始实行新的学业水平考试和高考制度． 所有省级行政区域均突破文理界限， 由学生跨文理选科， 均设置“ 3 3 的考试科目．前一个“ 3”为必考科目，为统一高考科目语文、数学、外语．除个别省级行 政区域仍执行教育部委托的分省命题任务外， 绝大部分省级行政区域均由教育部考试中心统 一命题；后一个“ 3”为高中学业水平考试（简称“学考” ） 选考科目，由各省级行政区域自主命题．材料二： 2019 年 4 月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等 8 省市发布 高考综合改革实施方案，方案决定从 2018 年秋季入学的高中一年级学生开始实施高考综合 改革．考生总成绩由全国统一高考的语文、 数学、外语 3个科日成绩和考生选择的 3 科普通 高中学业水平选择性考试科目成绩组成，满分为 750 分．即通常所说的“ 3 1 2 ”模式， 所谓“3 1 2”，即“3”是三门主科， 分别是语文、 数学、外语，这三门科目是必选的． “1” 指的是要在物理、历史里选一门，按原始分计入成绩． “ 2”指考生要在生物、化学、思想政 治、地理 4 门中选择 2 门．但是这几门科目不以原始分计入成绩， 而是等级赋分． 等级赋分 指的是把考生的原始成绩根据人数的比例分为 A 、 B 、C 、 D 、 E 五个等级，五个等级分 别对应着相应的分数区间，然后再用公式换算，转换得出分数．（1）若按照“ 3 1 2 ”模式选科， 求选出的六科中含有 “语文，数学，外语，物理，化学” 的概率．2 代入x42 y 2x 1 x 216k 所以4k 2 1， 12，x 1x 24k 2 1uuuur uuur则 OM gON x 1x 2 y 1 y 2 x 1x 2 (kx 1 2)(kx 2 2) (k 2 1)x 1x 22k(x 1 x 2) 4 ，2 12(k 2 1) 2 32k 24k 2 12 4 0 ，解得 k 4k 2 1 2 ，经验证△ 0， 设线段 MN 的中点为 G （x 0 ， y 0)， 则 x0 x1 x28k16 24k2117y 0y 1 y 22k(x 1 x 2 ) 4 22 24k 2 1 17所以 OG 2 x 02 y 02 260289 所以存在满足条件的圆，其方程为：16 2 (x 1167)2 (y 2 )2 17260 289（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩与选科之间的关系，现从当地不同层次的学 校中抽取高一学生 2500名参加语数外的网络测试，满分 450 分，并给前 400名颁发荣誉证 书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为 450 分：①考生甲得知他的成绩为 270 分，考试后不久了解到如下情况： “此次测试平均成绩为 171 分，351 分以上共有 57人”，问甲能否获得荣誉证书，请说明理由；②考生内得知他的实际成绩为 430分，而考生乙告诉考生丙： “这次测试平均成绩为 201 分， 分以上共有 57 人”，请结合统计学知识帮助内同学辨别乙同学信息的真伪．而 270 261 ， 甲同学能获得荣誉证书．21．（12 分）已知函数 f （x ） 2e x ax （a 0） ．（1）讨论函数 f （x ） 的零点个数：351 附： P( , X ) 0.6828 ； P( 2,X ) 0.9544 ； P(3,X) 0.9974 ．解答】 解： 1）选出的六科中含有“语文，数学， 外语，物理，化学”为事件A ，则 P （A ）e 3 1痧21g 42 42）设该次网络测试成绩记为 X ，则 X ~ N ( , 22) ． ① 由 171， Q5725000.0228 ．且1 P(2 剟X2)0.954420.0228 ．351 171 902 4000.16 2500P( X ⋯ ) 1 P(剟X 20.6828 20.1587 0.16 ．前 400 名的成绩的最低分低于261分．②假设乙同学说的为真．则201．P( X ⋯ 2 )1 P(2 剟X221 0.95440.02285725000.0228 ，351 20175 ，从而 3 201 75 426 430 ．而P( X⋯ 31 P( 3 剟X321 0.99740.0013 20.005 ．事件“ X ⋯ 3 ”为小概率事件，即“丙同学的成绩为 430 分”是小概率事件，可以认为不可能发生， 却发生了．乙同学说的为假．2)若 a e m e n( m ，n为给定的常数，且m n，记f (x)在区间(m, n)上的最小值为g(m,n) ，求证：g( m ，n) (1 mln 2)e m(1 nln2)e n．解答】(1)解： f (x) 2e x a，由f (x) 0得，x ln a2；由f (x) 0得，ln a2，af(x)在( ,ln a2)上单调递减，a(ln2，) 上单调递增，f ( x) min f (ln a2)lna2e2aa aln a(1 ln ) ，22由于当x时，f(x)，当x 时， f (x)①当ln a21 ，即0a 2e时，f (x)无零点，②当ln a21 ，即a2e时，f ( x) 有一个零点，③当ln a 1 ，即a2e时，f ( x) 有两个零点；2(2)证明：Q a e mn e，m lne m ln a ln mn eelne n n22由( 1) 可知， f (x) 在(m,n)上的最小值g(m ，n) f (ln a)2 a(1 ln 2a) (e m e n)(1mneeln e e )，2原不等式(e m e n)(1 lnmne m2e n) (1 m ln2)e m(1 nln2)e( m ln 2mn e emln )e m( n2 ln2mneeln2)0m4e mme m gln m n ee 4nln e e n m1n n ee glnmn eenm m eglnen m10，令t e n m，则t 1，于是原不等式4 ln t ttlnt10，4 令h(t) ln t41tln t t1(t 1)，则h (t) 11t ln t 1t11tln t t1 ln1 0，h(t)在(1, ) 上单调递减，h(t) h(1) ln2 ln 1 0，2原不等式成立得证．、选考题：共10分.请考生在第22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一计分． [选修 4 一 4：极坐标与参数方程 ]x 2 cos22．（10 分）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C 1 的参数方程为（ 为参数），y 2sin以坐标原点为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系， 圆C 2 的极坐标方程为 4sin ，设圆 C 1与圆 C 2的公共弦所在直线为 1．1）求直线 l 的极坐标方程；（2）若以坐标原点为中心，直线 l 顺时针方向旋转 后与圆 C 1、圆 C 2分别在第一象限交于6A 、B 两点，求 |AB|．x 2 cos【解答】 解：（ 1）已知圆 C 1的参数方程为（ 为参数），整理为直角坐标方程为y 2sin22（x 2）2 y 2 4 ．圆 C 2 的极坐标方程为 4sin ，转换为直角坐标方程为 x 2 （ y 2） 2 4 ．两圆相减得： x y 0 ． 转换为极坐标方程为 ．4（2）直线 l 顺时针方向旋转 后得到： ，6 4 6 12由于圆 C 1 的极坐标方程为4cos ，所以：设A （ 1, ）B （ 2, ） ，由于与圆 C 1、圆 C 2分别在第一象限交于 A 、 B 两点，所以| AB | | 1 2 | | 4cos 4sin | 4 2 cos2 2 ．1 212 12 3[选修 4 一 5：不等式选讲 ] 1123．已知函数 f(x) |x| ，且对任意的 x ， f(x) f( x )⋯m ． 22(1)求 m 的取值范围；22f (sin 2 ) f (cos 2 a 1), m ．1 1 1 f ( x )| x || x |⋯ |x222解答】 解：（1） f（x ）( x)| 12 ， 2）若 m N ，证明：当且仅当 （ x 1）x, 0时等号成立，21m 的取值范围为 （ , 1 ] ．2当 1剟sin221时，2f (sin 2) f (cos21) 2sin 2, 0 ；当 0, sin 21，2f (sin 2)f (cos 21) 1，2综上， f（sin22)2f (cos1), 0 ， 原命题成立．2 2 2CE 2BC 2 BE 2 2BCgBEgcos120 ，Q f ( x) 对任意的 x ， f ( x) f ( x12)⋯m ，m,1，22）由（ 1）知， m, 1 ，又 m2要证 f (sin 2 ) f (cos2Q f (sin 2 )f (cos 21) N ， m即证 f (sin 212| | cos2f (cos 1), 0 ， 12|21 2 | sin 2 | cos 222sin 21,0,sin 212, 1剟sin 2 2 1 21), m ， )|sin 2。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集，集合，那么集合A. B.C. D.2.i为虚数单位，满足的复数z的虚部是A. 1B. iC.D.3.的展开式中的常数项为A. B. C. D. 94.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，若棱锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为A. B. 1 C. D.5.某商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元具有相关关系，且回归方程为已知该商场平均每天的食品销售额为8万元，估计该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为A. B. C. D.6.已知为等比数列的前n项和，且是与的等差中项，则数列的公比为A. B. C. D. 或17.某地区有10000名高三学生参加了网上模拟考试，其中数学分数服从正态分布，成绩在之外的人数估计有附：若X服从，则，A. 1814人B. 3173人C. 5228人D. 5907人8.以为焦点的椭圆与直线有公共点，则满足条件的椭圆中长轴最短的为A. B. C. D.9.已知某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则A. B. C. D.10.已知函数和函数的图象分别为曲线，，直线与，分别交于M，N两点，P为曲线上的点．如果为正三角形，则实数k的值为A. B. C. D.11.将一枚骰子抛掷3次，则最大点数与最小点数之差为3的概率是A. B. C. D.12.已知函数，若方程有7个不同的实数解，则的取值范围A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数在上有两个不同的零点，则实数m的取值范围是______．14.已知点P为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围______．15.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______．16.已知双曲线的焦距为2c，，是实轴顶点，以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，则双曲线离心率e的取值范围是______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若，求C的大小；若AC边上的中线BM的长为，求面积的最大值．18.如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，点M是AC与BD的交点．求二面角的余弦值；若点N在线段PB上且平面PDC，求直线MN与平面PAC所成角的正弦值．19.哈三中总务处的老师要购买学校教学用的粉笔，并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”和“非优质产品”的方法．某品牌的粉笔整箱出售，每箱共有20盒，根据以往的经验，其中会有某些盒的粉笔为非优质产品，其余的都为优质产品．并且每箱含有0，1，2盒非优质产品粉笔的概率为，和为了购买该品牌的粉笔，校总务主任设计了一种购买的方案：欲买一箱粉笔，随机查看该箱的4盒粉笔，如果没有非优质产品，则购买，否则不购买．设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A，“箱中有i件非优质产品”为事件1，．求，，；随机查看该品牌粉笔某一箱中的四盒，设X为非优质产品的盒数，求X的分布列及期望；若购买100箱该品牌粉笔，如果按照主任所设计方案购买的粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10，则所设计的方案有效．讨论该方案是否有效．20.已知函数．讨论在定义域内的极值点的个数；若对，恒成立，求实数m的取值范围；证明：若，不等式成立．21.过x轴正半轴上一点做直线与抛物线E：交于，，两点，且满足，过定点与点A做直线AC与抛物线交于另一点C，过点与点B做直线BD与抛物线交于另一点设三角形AMN的面积为，三角形DMN的面积为．求正实数m的取值范围；连接C，D两点，设直线CD的斜率为；当时，直线AB在y轴的纵截距范围为，则求的取值范围；当实数m在取到的范围内取值时，求的取值范围．22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的参数方程为，为参数．写出曲线C的极坐标方程以及直线l的普通方程；f若点，直线l与曲线C交于P，Q两点，弦P，Q的中点为M，求的值．23.设函数．求的解集；若，使恒成立的m的最大值为正数a，b满足，求的最小值．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：因为集合或，，则，那么集合，故选：B．首先解不等式求出集合A，B，由补集的运算求出，再由交集的运算求出．本题考查了解不等式和集合交、补集的混合运算，属于基础题．2.答案：C解析：解：由，得，复数z的虚部是．故选：C．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：C解析：解：的展开式中的通项公式为，令，求得，可得常数项为，故选：C．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．4.答案：D解析：解：现有同高的圆锥和棱锥满足祖咂原理的条件，棱锥的体积为，圆锥的体积为，圆锥的侧面展开图是半圆，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则得到，，圆锥的高，圆锥的体积．解得，则圆锥的母线长为．故选：D．推导出圆锥的体积为，设圆锥的侧面展开图这个半圆的半径是R，即圆锥的母线长是R，半圆的弧长是，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，设圆锥的底面半径是r，则，圆锥的高，由此能求出圆锥的母线长．本题考查圆锥的母线长的求法、考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．5.答案：A解析：解：商场每天的食品销售额万元与该商场的总销售额万元的线性回归方程为，当商场平均每天的食品销售额为8万元时，该商场平均每天的总销售额为，该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值为：，故选：A．根据线性回归方程得到该商场平均每天的总销售额，从而求出该商场平均每天的食品销售额与平均每天的总销售额的比值．本题主要考查了函数的实际应用，以及线性回归方程的应用，是基础题．6.答案：A解析：解：是与的等差中项，即为，若公比，则，即有，即，显然不成立，故，则，化为，即，解得或舍去，故选：A．由等差数列的中项性质和等比数列的求和公式，解方程可得所求公比，注意公比为1的情况．本题考查等比数列的求和公式和等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．7.答案：A解析：解：由数学分数服从正态分布，得，．则．则成绩在之内的人数估计有8183，成绩在之外的人数估计有1817，与1814最接近．故选：A．由已知可得，，则，求出概率，乘以10000可得成绩在之内人数的近似值，再由10000减去该近似值得答案．本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量和的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．8.答案：C解析：解：以为焦点的椭圆，设椭圆方程为，由得，由题意，a有解，，，或舍，，此时椭圆方程是：．故选：C．先设椭圆方程，然后与直线方程联立方程组，再根据该方程组有解即可求出a的最小值，则问题解决．本题主要考查由代数方法解决直线与椭圆交点问题，是中档题．9.答案：C解析：解：某同学每次射箭射中的概率为p，且每次射箭是否射中相互独立，该同学射箭3次射中多于1次的概率为，则，解得．故选：C．利用n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式能求出结果．本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生一次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.答案：B解析：解：由已知可设，，则P点横坐标为，又因为点P在函数的图象上，所以，因为为正三角形，则，故直线PM的斜率等于，，即，，即，，故选：B．由已知条件设出M，N，P的坐标，利用直线PM的倾角是，即斜率为，利用斜率的坐标公式列出关于K的方程，解指对数方程即可本题主要考查对数函数的图象和性质应用，体现了数形结合和转化的数学思想，属于中档题．11.答案：D解析：解：将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，则最大点数与最小点数之差为3的概率是：．故选：D．将一枚骰子抛掷3次，基本事件总数，最大点数与最小点数之差为3包含三种情况：取最小点为1，最大点为4，另外1个点数可能为1，2，3，4，包含的基本事件个数为，取点最小点为2，最大点为5，另外1个点数可能为2，3，4，5，包含的基本事件个数为，取点最小点为3，最大点为6，另外1个点数可能为3，4，5，6，包含的基本事件个数为，由此能求出最大点数与最小点数之差为3的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.答案：C解析：解：当时，，令，解得，故在上单调递增，在上单调递减，且，时，，作出函数的图象如下图所示，令，则有两个不同的实数根，，要使方程有7个不同的实数解，则，，，即，作出上述不等式组表示的可行域如下图所示，由可行域可知，当取点时，最小，且最小值为2；当取点时，最大，且最大值为12．故的取值范围为．故选：C．利用导数研究函数的性质，可作出的草图，观察图象，结合题设条件可得方程有两个不同的实数根，，且，，利用二次函数根的分布，可以得到m，n满足的约束条件，由此作出可行域，再根据的几何意义，求得取值范围．本题考查分段函数的综合运用，涉及了利用导数研究函数的性质，“套套”函数，二次函数根的分布，简单的线性规划等知识点，考查换元思想，数形结合思想，函数与方程思想等数学思想，考查逻辑推理能力，运算求解能力，直观想象等数学能力，属于较难题目．13.答案：解析：解：依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，，又，，，函数的图象如下，由图可知，．故答案为：．依题意，函数，上的图象与直线有两个不同的交点，化简，作出函数在上的图象，观察图象即可得到m的取值范围．本题主要考查函数零点与方程根的关系，考查三角恒等变换以及三角函数的图象及性质，考查数形结合思想及化简求解能力，属于中档题．14.答案：解析：解：如图，椭圆的焦点，，设，则，，则，的取值范围是．故答案为：．由椭圆方程求出焦点坐标，设，得到与的坐标，写出数量积，再由三角函数求最值可得的取值范围．本题考查圆与椭圆综合，考查平面向量的数量积运算，训练了利用三角函数求最值，是中档题．15.答案：1或解析：解：设与和的切点分别为、；由导数的几何意义可得，曲线在处的切线方程为，即，曲线在点处的切线方程为，即，则，，解得，或．当时，切线方程为，即，当时，切线方程为，即，或．故答案为：1或．分别设出直线与两曲线的切点坐标，求出导数值，得到两切线方程，由两切线重合得答斜率和截距相等，从而求得切线方程得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查计算能力，是中档题．16.答案：解析：解：由题意如图，要使以为直径的圆与直线在第一象限有两个不同公共点，可得直线在x，y轴的交点分别为：，，则O到直线的距离小于半径，且，即，，整理可得：，即，解得，故答案为：由题意可得O到直线的距离小于半径，且，可得a，c的关系，进而求出离心率的范围．本题考查双曲线的性质及点到直线的距离公式，属于中档题．17.答案：解：．由正弦定理可得，，由，可得，由，可得，由题意，，，，，，，由可得，由向量的中点表示可得，两边平方可得：，可得：，可得：，，解得，当且仅当时取等号，的面积，当且仅当时取等号，即面积的最大值是．解析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式可得，结合，可得，结合范围，可得，进而利用二倍角公式，两角差的余弦函数公式化简已知等式可得，结合范围C，，可得，即可得解．由已知运用向量的中点表示可得，利用向量的模的平方即为向量的平方以及基本不等式即可得到ac的最大值，进而根据三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，二倍角公式，两角差的余弦函数公式，基本不等式，三角形的面积公式以及平面向量的运算，考查了转化思想，属于中档题．18.答案：解：在中，，，则．在中，，则，在中，，则，，，平面ABCD，分别以直线AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，0，，，0，，0，，0，，，0，，，，，设平面ACP的法向量y，，则，取，则，设平面BCP的法向量b，，则，取，得，则，二面角的余弦值为．设平面PCD的法向量n，，，1，，则，取，得，设y，，且，，满足，则0，，，点N在线段PB上且平面PDC，，解得．，平面ACP的法向量，．直线MN与平面PAC所成角的正弦值为．解析：分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系，求出平面APC的法向量、平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角的正切值．先根据条件求出点N的具体位置，再利用向量法能求出直线MN与平面PAC所成角的正弦值．本题考查线面角的正弦值、二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.答案：解：由已知，，．的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列为：X 0 1 2P．由知，按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为：，，该方案无效．解析：利用古典概型概率计算公式能求出，，的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．由，得到按照设计方案购买的一箱粉笔中，箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为，由，得到该方案无效．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查方案是否有效的判断与求法，考查古典概型、条件概率等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：，对于方程，，当时，，，此时没有极值点；当时，方程的两根为，，不妨设，则，当或时，，当时，，此时，是函数的两个极值点；当时，方程的两根为，，且，故，，当时，，故没有极值点；综上，当时，函数有两个极值点；当时，函数没有极值点；，即，则，设，当时，，单调递减，当时，，单调递增，则，故；证明：由知当时，恒成立，即，欲证，只需证，设，当时，，单调递减，当，，单调递增，，故，对，不等式成立．解析：函数的定义域为，求导后研究方程，分类讨论得出函数的单调性情况，进而得出极值点情况；问题等价于，设，利用导数求函数的最小值即可；由知，恒成立，则问题转化为证明，设，利用导数证明恒成立即可．本题考查利用导数研究函数的极值，以及不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想以及推理论证能力，属于较难题目．21.答案：解：设直线AB方程为，联立直线AB与抛物线方程得，解得，则且，又，，解得，正实数m的取值范围为；设，设过点的直线为，过点的直线为，由，联立解得，由，联立解得，，，直线AB在y轴上的纵截距取值范围为，，，即；，由和可知，，．解析：设直线AB方程为，与抛物线方程联立，由韦达定理可得，再结合已知条件，即可求得正实数m的取值范围；设，设过点的直线为，过点的直线为，与抛物线方程联立后，可得，进而求得，由题意可知，，进而得到；易知，结合中m的范围即得解．本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查逻辑推理能力及运算求解能力，对计算能力要求较高，属于中档题．22.答案：解：曲线C的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．直线l的参数方程为，为参数转换为直角坐标方程为．把直线的参数方程，为参数，代入，得到，所以，，所以，即，，所以．解析：直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用一元二次方程根和系数关系式的应用和二次函数性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；若，使恒成立，即为，由，当时，取得等号，则的最小值为4，可得，则，即，由，，可得，当且仅当，即时取得等号，则的最小值为1．解析：由零点分区间法，结合绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得，运用绝对值的性质可得其最小值，进而得到m的最大值，再由乘1法和基本不等式，可得所求最小值，注意运用的变形．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和绝对值不等式的性质，考查基本不等式的运用：求最值，化简整理的运算能力，属于中档题．。

2020年黑龙江省哈尔滨三中高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，则1+2i2i−i3=()A. 1+12i B. 1−12i C. 12−i D. 12+i2.已知集合A={x|−4<−x≤3}，B={x|(x−2)(x+5)<0}，则A∩B=()A. (−5,4)B. (−3,2)C. (2,4)D. [−3,2)3.甲、乙两人数学成绩的茎叶图，如图所示，则两人的成绩中位数为()A. 87，98B. 98，87C. 88，88D. 81，834.平面向量a⃗与b⃗ 的夹角为30°，a⃗=(1,0)，|b⃗ |=√3，则|a⃗−b⃗ |=()A. 2√3B. 1C. √5D. √225.已知甲、乙、丙三人中，一人是学霸，一人是班长(显然不是学霸)，一人是diao丝。

若纯从“颜值”分来看，乙比diao丝大；丙和学霸不同；学霸比甲小，则下列判断正确的是()A. 班长最漂亮B. 甲是diao丝C. 丙最漂亮D. 学霸最丑6.函数f(x)=x2(e x−e−x)的大致图象为()A. B.C. D.7. 如图是为了求出满足21+22+23+⋯+2n >2018的最小整数n ，在◇和□两个空白框中，可以分别填入( )A. S >2018?，输出nB. S >2018?，输出n −1C. S ≤2018?，输出nD. S ≤2018?，输出n −18. 若数列{a n }满足a n+1+a n =2n +3，则a 10+a 7=( )A. 17B. 24C. 19D. 349. 现有5人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有( )A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种10. 设抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为k(k >0)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，过点P 作x 轴的垂线与抛物线交于点M ，若|MF |=3，则直线l 的方程为( )A. y =2√2x +1B. y =√3x +1C. y =√2x +1D. y =2√3x +211. 已知函数f(x)={ax 2+2x +1(x ≤0),ax −3(x >0)有3个零点，则实数a 的取值范围是( )A. a <1B. a >0C. a ≥1D. 0<a <112. 设数列{a n }满足a 1=13，a n+1=e a n −1(n ∈N ∗)(其中e 为自然对数的底数)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A. S 2019>S 2018，a 2019>a 2018B. S 2019<S 2018，a 2019>a 2018C. S 2019>S 2018，a 2019<a 2018D. S 2019<S 2018，a 2019<a 2018二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. x ，y 满足约束条件：{y ≤xx +y ≤1y ≥−1，则z =2x +y 的最大值为______．14. 已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作双曲线一条渐近线的垂线，垂足为A ，线段AF 2交双曲线于点B ，若B 是线段AF 2的中点，则此双曲线的离心率为______．15.已知f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)，f(π6)=f(π3)，且f(x)在区间(π6,π3)有最小值，无最大值，则ω=______．16.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，点M是BC1的中点，P是棱BB1上的动点，则AP+MP的最小值为．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，AB=2，BC=√5，cosA=23．(1)求AC的长；(2)若AB//CD，AD=CD，求四边形ABCD的面积．18.如图，在底面ABCD为矩形的四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD=2AB=2PA=4，E，F分别是PB，PC的中点．(1)求证：平面ABP⊥平面AEFD(2)求直线AF与平面ABP所成角的正切值的大小．19.已知点A(0,−2)，椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为2，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两M、N，且|MN|=8√27，求k的值．20.已知某厂生产的电子产品的使用寿命X(单位：小时)服从正态分布N(1000,σ2)，且P(X<800)=0.1，P(X≥1300)=0.02．(1)现从该厂随机抽取一件产品，求其使用寿命在[1200,1300)的概率；(2)现从该厂随机抽取三件产品，记抽到的三件产品使用寿命在[800,1200)的件数为Y，求Y的分布列和数学期望E(Y)．21.函数g(x)=(x−2)e x−ax+2，其中常数a∈R．(1)求f(x)=g(x)+e x+ax−2的最小值；(2)若a<0，讨论g(x)的零点的个数.22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程是{x=14+12cosα,y=√34+12sinα(α是参数)，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C的极坐标方程；(2)在曲线C上取一点M，直线OM绕原点O逆时针旋转π3，交曲线C于点N，求|OM|·|ON|的最大值．23.已知函数f(x)=|x+1|+|ax−1|．(Ⅰ)当a=1时，求不等式f(x)⩽4的解集；(Ⅱ)当x≥1时，不等式f(x)⩽3x+b成立，证明：a+b≥0．【答案与解析】1.答案：A解析：解：1+2i2i −i3=(1+2i)(−i)−2i2+i=2−i2+i=1+12i．故选：A．直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．2.答案：D解析：解：A={x|−3≤x<4}，B={x|−5<x<2}；∴A∩B={x|−3≤x<2}=[−3,2)．故选：D．先求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．考查描述法表示集合的概念，一元二次不等式的解法，以及交集及其运算．3.答案：A解析：解，根据茎叶图得，甲的数据是12个，中位数是12(86+88)=87，乙的数据也是12个，中位数是12(98+98)=98．故选A．由茎叶图得出甲、乙的数据是什么，从而求出中位数．本题考查了茎叶图的应用问题，解题时应根据茎叶图中的数据，进行解答，是容易题．4.答案：B解析：本题考查向量的模，平面向量的数量积运算，属于基础题．依次计算|a⃗|，a⃗⋅b⃗ ，(a⃗−b⃗ )2，将(a⃗−b⃗ )2开方即可．解：|a⃗|=1，∴a⃗⋅b⃗ =1×√3×cos30°=3．2∴(a⃗−b⃗ )2=a⃗2−2a⃗⋅b⃗ +b⃗ 2=1．∴|a⃗−b⃗ |=√(a⃗−b⃗ )2=1．故选：B．5.答案：A解析：本题考查简单推理的应用，考查合情推理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．推导出乙是学霸，且乙比甲小，比diao丝大，得到甲不是diao丝，从而甲是班长，乙是学霸，丙是diao丝．解：由乙比diao丝大，得乙不是diao丝；由丙学霸不同，得到丙不是学霸；由学霸比甲小，得到甲不是学霸．从而得到乙是学霸，由乙比甲小，比diao丝大，得到甲不是diao丝，从而甲是班长，乙是学霸，丙是diao丝．故选A．6.答案：A解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，属于基础题．判断函数的奇偶性，利用函数的单调性和函数值的变化趋势判断即可．解：∵f(x)=x2(e x−e−x)，∴f(−x)=(−x)2(e−x−e x)=−x2(e x−e−x)=−f(x)，∴f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，当x→+∞时，f(x)→+∞，故排除C故选：A．7.答案：B解析：本题考查了程序框图的应用问题，是基础题.通过要求21+22+⋯+2n>2018时输出且框图中在“是”时输出确定“”内应填内容；再通过循环体确定输出框的内容．解：因为要求21+22+⋯+2n>2018时输出，且框图中在“是”时输出，所以“”内输入“S>2018？”，又要求n为最小整数，所以“”中可以填入输出n−1，故选B．8.答案：C解析：本题主要考查数列的递推公式，属于基础题．对题干中的a10+a7变形可得a10+a7=(a10+a9)−(a9+a8)+(a8+a7)即可得解．解：a10+a7=a10+a9−a9+a8−a8+a7=(a10+a9)−(a9+a8)+(a8+a7)=(2×9+3)−(2×8+3)+(2×7+3)=19．9.答案：B解析：本题主要考查了排列组合中相邻问题和不相邻问题，相邻用捆绑，不相邻用插空，属于基础题．甲、乙相邻，先甲乙捆绑在一起看做一个元素，丙、丁不相邻，用抽空，插入到复合元素(甲乙捆绑)和另一人形成的3个空中，问题得以解决．解：先把甲乙捆绑在一起看做一个元素，再和另一人全排，形成3个空，然后插入丙、丁，故排法有A 22⋅A 22⋅A 32=24种，故选B ．10.答案：C解析：本题考查抛物线的方程与性质，直线与抛物线位置关系的运用，考查韦达定理，属于中档题． 由题意，抛物线的准线方程为y =−1，M(2√2,2)，P 的横坐标为2√2，设直线方程为y =kx +1，与抛物线x 2=4y 联立，可得x 2−4kx −4=0，利用韦达定理，求出k ，即可得出结论． 解：由题意，抛物线的准线方程为y =−1，|MF |=3， 则M(2√2,2)，P 的横坐标为2√2，设直线方程为y =kx +1，与抛物线x 2=4y 联立，可得x 2−4kx −4=0， ∴4√2=4k ，∴k =√2， ∴直线l 的方程为y =√2x +1． 故选C ．11.答案：D解析：本题考查分段函数的零点个数的确定．由简图得，，若函数f(x)有3个零点，则必须满足{a >0,−22a <0,Δ=4−4a >0,即{a >0,a >0,a <1,即0<a <1． 故选D ．。