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两角和与差的正弦、余弦、正切公式(公开课)PPT课件

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两角和与差的正弦余弦和正切公式市公开课一等奖省优质课获奖课件

两角和与差的正弦余弦和正切公式市公开课一等奖省优质课获奖课件
两角差余弦公式
新知导学
名称
简记符号
公式
使用条件
两角差的余弦
C(α－β)= cos αcos β ＋sin αsin β
任意角都成 cos(α－β)＝
立
温馨提示：公式的左边是差角的余弦，右边的式子是含有同名 函数之积的和式，可用口诀“余余正正号相反”记忆公式．
新知探究
题型探究
感悟提升
第2页
互动探究 探究点 当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cos α＋cos β成立．那么 当α、β∈R时，cos(α－β)＝cos α＋cos β恒成立吗？
55，sin
β＝3
10 10 .
∴cos (α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝255× 1100＋ 55×31010＝ 22.
新知探究
题型探究
感悟提升
第13页
又sin α<sin β， ∴0<α<β<π2， ∴－π2<α－β<0.故α－β＝－π4.
[规律方法] 解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理利 用公式并结合角范围，对所求解进行取舍，其关键步骤有两个： 一是求出所求角某种三角函数值，二是确定角范围，然后结合三 角函数图象就易求出角值．
cos
α2－β.然后利用两角差的余弦公式求cos
α＋β 2.
新知探究
题型探究
感悟提升
第8页
解 ∵α∈π2，π，β∈0，π2，
∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，
∴sinα－β2＝
1－cos2α－β2＝
1－811＝4
9
5 .
cos α2－β＝
1－sin2α2－β

第五节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式课件共36张PPT

第五节第1课时两角和与差的正弦余弦和正切公式课件共36张PPT

1 2
1．三角公式求值中变角的解题思路．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为
两个“已知角”的和或差的形式．
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求
角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把
“所求角”变成“已知角”．
2．常见的配角技巧．
2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝
sin 13°，b＝ 22(sin 56°－cos 56°)＝ 22sin 56°－ 22cos 56°＝
sin(56°－45°)＝sin
11°，c＝11－＋ttaann22
3399°°＝11－＋ccssioionnss2222
39° 3399°°＝cos2 39°
39°－sin2 39°＝cos 78°＝sin 12°.因为函数y＝sin x，x∈
1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(a±β)(1∓tan a
tanβ)；tan α·tan β＝1－ttaann（α＋α＋taβn）β＝ttaann（α－α－taβn）β－1.
2．降幂公式：sin2 α＝1－c2os 2α；cos2 α＝
1＋cos 2
2α；sin
αcos
α＝12sin
因为tan α＝43， 所以tan 2α＝1－2tatannα2 α＝－274. 所以tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝ 1t＋anta2nα－2αttaann（（αα＋＋ββ））＝－121.
三角函数名的变换技巧 明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角 关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切 化为正弦、余弦．
解析：由题意可知，a＝sin 28°，b＝tan 28°，c＝ sin 25°，所以c<a<b.

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)

两角和与差的正弦、余弦、正切公式：课件十三(230张PPT)
tan tan tan( ) 1 tan tan tan tan tan( ) 1 tan tan
( C(-) ) ( C(+) ) ( S(+) ) ( S(-) ) ( T(+) )
( T(-) )
小结
三角函数求值及证明问题中, 变角是一种常用的技巧,如 ( ) ; ( ) (( ) ( ) 等, ( 4 4 2 这样可充分利用已知条件中的三角函数值,通过三角运算 来求值、化简和证明.





练习
求下列各式的值
4cos74 sin 14 sin 74 cos14 ; 3 原式＝sin 14 74 sin 60 2 5sin 34 sin 26 cos34 cos26 ; 1 原式＝ cos 34 cos 26 sin 34 sin 26 cos34 26 2 6sin 20 cos110 cos160 sin 70. 原式＝sin 20 cos110 cos 20 sin 110 sin 20 110 1
分析 : ( ) , 则 cos cos[( ) ] cos( ) cos sin( ) sin
练习
1 cos 2
小结 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
cos(-)= coscos+sinsin cos(+)= coscos-sinsin sin(+)= sincos+cossin sin(-)= sincos-cossin




两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

即 tan(α－β)＝________，这就是两角差的正切公式．
练习 5：1t＋an4ta5n°4－5°ttaann1155°°＝________________.
tan α－tan β 1＋tan αtan β
练习：5.
3 3
思考应用
3．两角和与差的正切公式的适用范围及公式的特 征有哪些？
解析：(1) 适用范围：限制条件：α、β、α＋β 均不为 kπ＋π2(k∈Z)；可以是数、字母和代数式．从公式推导过程进 行说理：cos(α＋β)≠0，则 α＋β≠kπ＋π2；同除 cos α、cos β， 得 cos α≠0，cos β≠0，则 α≠kπ＋π2，cos β≠kπ＋π2.cos x≠0， 保证了 tan x 有意义．
∵cos(α－β)＝1134，∴sin(α－β)＝3143， 由 β＝α－(α－β)，得
cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝17×1134＋4 7 3×3143＝7×4914＝12， ∵0<β<π2，所以 β＝π3.
点评： 解答此类问题分三步：第一步，求角的某 一个三角函数值；第二步，确定角所在的范围；第三 步，根据角的范围写出所求的角．特别注意选取角的 某一个三角函数值，是取正弦？还是取余弦？应先缩 小所求角的取值范围，最好把角的范围缩小在某一三 角函数值的一个单调区间内．
sin αcos β＋cos αsin β
以－β 代替公式 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β
中的 β，得到 sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋
cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β，

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

高中数学两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

Thanks.
小结：
1.掌握C ( ) , C( ) 公式的推导,小心
它们的差别与联系;
2.注意角的拆分与组合,如:
( ) , 2 ( ) ,
2 ( ) ( ),
2 ( ) ( ),
( − ) = − .
公式五

( − ) = ，


( − ) = .

公式六

( + ) = ，
2

( + ) = − .
2
3.两点间的距离公式
平面上任取两点A(x 1 , y1 ), B(x 2 , y 2 )
2
2
sin cos cos sin
两角差的正弦公式
两角和的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
两角差的正弦公式：sin( ) sin cos cos sin
法一：
sin( )
sin[ ( )]
A(x 1 , y 1 )
y
| y1 y 2 |
B(x 2 , y 2 )
| x1 x 2 |
0
x
2
2
AB (x1 x2 ) (y 1 y 2 )
02
两角和与差的余弦公式
终边
两角差的余弦公式
y
P1 (cos , sin )
终边
A1 (cos , sin )源自,
2
2
2
3.注意整体代换思想的应用.


2
;

1
④ cos

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3

3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件人教新课标3
你能利用cos (α－β)的公式继续探究α±β 的其它三角函数公式吗？如
2024/11/4
21
2024/11/4
22
A α β B
α
B β
O
x
O2- x
A
于是，对于任意角α，β都有
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
称202为4/11/差4 角的余弦公式。简记为C(α-β)
11
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
视察：公式有何特征？如何记忆？
１.公式的结构特征:
左边是差角α－β 的余弦,右边单角α、β 的余弦积与正弦积的和,即同名三角函数积的和.
2024/11/4
17
巩固练习:
解：
2024/11/4
18
变式2：已知cosα= 1 ，cos（α－β）= 4，
3
5
0< β < α <
,求cosβ的值。
2
思考? 若将cos（α－β）改为cos（α+β）呢?
( )
变式3:以知
cos cos 3 sin sin 4 ,求cos - 的值.
问题2:你认为cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立吗?
猜想：
2024/11/4
5
探究过程：
在第一章三角函数的学习当中我们知道，在设角 的终边与单
cos 位标圆，的也交可点以为用角P1
，
等于角 与单位圆交点的横坐
的余弦线来表示．
大家思考：怎样构造角 和 角？（注意：要与
2024/11/4
2 3 21 6 2
2 2 22
4

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT

《两角和与差的正弦、余弦、正切公式》三角函数PPT
何选择公式,选择哪一个公式会更好.需要说明的是,(4)运用到了切
化弦,将特殊值 化为tan 60°等,为此可以熟记一些常见的特殊角
的函数值,如1=sin 90°=cos 0°=tan 45°, =tan
3 60°等.
2.公式的推广:本例第(5)小题所得结论可以推广到一般情形:若
π
A+B= ,则(1+tan A)(1+tan B)=2;若(1+tan A)(1+tan B)=2,则
(4)sin 15°+cos 15°= 2 sin 60°.(
)
答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√
)
课前篇
自主预习
一
二
三
四
三、两角和与差的正切公式
1.(1)求tan 15°的值.
提示:(1)∵sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin
6- 2
2sin50°cos10°+2sin10°cos50°
×
cos10°
cos10°
2cos 10°
=2 2(sin 50°cos 10°+sin 10°cos 50°)
=
=2 2sin(50°+10°)=2 2 × 3 = 6.
2
1
(2)原式=sin(α+β)cos α-2[sin(α+α+β)-sin(α+β-α)]=sin(α+β)cos
(2)sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
课前篇
自主预习
一
二
三
四
3.判断正误
(1)sin(α-β)=sin αcos α-cos βsin β.(

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

2 2.
(2)(tan 10°－
Hale Waihona Puke cos 3) sin5100°°＝(tan
10°－tan
cos 60°) sin
10° 50°
＝csoins
1100°°－csoins
60°cos 60° sin
5100°°＝cossin10－°c5o0s°60°·csoins
10° 50°
＝－cos160°＝－2.
例 3 已知 sin(2α＋β)＝3sin β，求证：tan(α＋β)＝2tan α.
证明 sin(2α＋β)＝3sin β ⇒sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] ⇒sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α ⇒2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α ⇒tan(α＋β)＝2tan α. 小结 证明三角恒等式一般采用“由繁到简”、“等价转化”、 “往中间凑”等办法，注意等式两边角的差异、函数名称的差异、 结构形式的差异．
解 原式＝sinπ4－3xcos3π－3x－sinπ3－3xcos4π－3x
＝sinπ4－3x－3π－3x＝sinπ4－π3＝sin
π 4cos
π3－cos
π 4sin
π 3
＝ 22×12－ 22× 23＝
2－ 4
6 .
【典型例题】
例 1 化简求值： (1)sin(x＋27°)cos(18°－x)－sin(63°－x)sin(x－18°)；
探究点一 由公式 C(α－β)推导公式 C(α＋β) 由于公式 C(α－β)对于任意 α，β 都成立，那么把其中的＋β 换成 －β 后，也一定成立．请你根据这种联系，从两角差的余弦公 式出发，推导出用任意角 α，β 的正弦、余弦值表示 cos(α＋β) 的公式．试一试写出推导过程． 答 ∵α＋β＝α－(－β)，cos(－β)＝cos β，sin(－β)＝－sin β，

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 (共24张PPT) 人教A版(2019)必修第一册

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 课件 (共24张PPT) 人教A版(2019)必修第一册

O
x
例1.利用公式C(α-β)证明:
诱导公式反映的是圆的特殊
对称性
y
（2） cos( ) cos .
证明：

(−, )
O
发现上述诱导公式与差角的余弦公式间的联系.
x
探究点二 利用两角差的余弦公式解决给值求值问题
4

5
例2.已知 sin , ( , ), cos , 是第三象限角，
1 1
y
单位圆与x轴非负半轴交于A(1,0)

∠ =∠=α－β


α-β
α-β
O
问题4:你能证明这个式子为何成立吗？

x
新课内容
(cosα,sinα)
(cosβ,sinβ)
(cos(α-β),sin(α-β)) (1,0)
y

α-β
根据两点间距离公式


α-β
3.常见误区:(1)求角时忽视角的范围;(2)公式的逆用及符号问题.
5
2
13
求cos( - ).
4

4
3
解：由 sin , ( , ), 得 cos 1 sin 2 1 ( ) 2 ，
5
2
5
5
5
又由 cos , 是第三象限角，得
13
5 2
12
sin 1 cos 1 ( ) ，
s ）cos +sin（ ）sin =
3 ） 3 co（
3
3
3
3
26
观察已知角与未知角之间的关系

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式课件

3．两角和与差的正切公式
名称
公式
两角和的正切
tan(α＋β) ＝
tan α＋tan β 1－tan αtan β
两角差的正切
tan(α－β) ＝
tan α－tan β 1＋tan αtan β
简记符号
使用条件
T(α＋β)
α，β，α＋β≠kπ＋π2 (k∈Z)
T(α－β)
α，β，α－β≠kπ＋π2 (k∈Z)
∴cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin αsin β
＝2 5 5·3 1010－
55·1100＝
2 2.
由 0<α<2π，0<β<2π得 0<α＋β<π，
又 cos(α＋β)>0，∴α＋β 为锐角，∴α＋β＝4π.
规律方法 此类题是给值求角问题，步骤如下：①求所求角的 某一个三角函数值，②确定所求角的范围，此类题常犯的错误 是对角的范围不加讨论，或范围讨论的程度过大或过小，这样 就会使求出的角不合题意或者漏解，同时要根据角的范围确定 取该角的哪一种三角函数值．
规律方法 化简三角函数式是为了更清楚地显示式中所含量之 间的关系，以便于应用，对于三角函数式的化简要求应熟练掌 握：(1)能求出值的应求出值．(2)使三角函数种数尽量少．(3) 使三角函数式中的项数尽量少．(4)尽量使分母不含有三角函 数．(5)尽量使被开方数不含三角函数．
题型二 给角求值问题
【例 2】 求下列各式的值：
两角和与差的正弦、余弦、正切公式
自学导引
1．两角和与差的余弦公式
C(α＋β)：cos(α＋β)＝ cos αcos β－sin αsin β
；
C(α－β)：cos(α－β)＝ cos αcos β＋sin αsin β.来自2．两角和与差的正弦公式

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

• 二、两角和与差的正弦公式
名称 简记符号
公式
两角和 的正弦
S(α＋β)
sin(α＋β)＝ sin αcos β＋cos αsin β
两角差 的正弦
S(α－β)
sin(α－β)＝ sin αcos β－cos αsin β
使用条件 α，β∈R α，β∈R
• 2．怎样利用诱导公式推出sin(α±β)? 提示：sin(α＋β)＝cosπ2－α＋β＝cosπ2－α－β ＝cosπ2－αcos β＋sinπ2－αsin β ＝sin αcos β＋cos αsin β， 用－β 代 β 得 sin(α－β)＝sin[α＋(－β)]＝sin αcos(－β)＋ cos αsin(－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
(4)若角的范围是－π2，π2，则选择正弦函数比余弦函数 更好；
(5)若角的范围是(0，π)，则选择余弦函数比正弦函数更 好．总之，尽量选择在区间上单调的函数．
• 三、两角和与差的正切公式
名称
公式
简记符号
使用条件
两角和 的正切
tan(α＋β)＝ tan α＋tan β 1－tan αtan β
T(α＋β)
α，β，α＋β≠ kπ＋π2(k∈Z)
tan(α－β)＝
两角差 的正切
tan α－tan β 1＋tan αtan β
T(α－β)
α，β，
α－β≠ π
kπ＋ 2(k∈Z)
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)， α＝(2α－β)－(α－β)，2α＝(α＋β)＋(α－β) α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，α＝12[(β＋α)－(β－α)]等．
• S(α±β)的正向应用是把α±β的形式转化为单角α、β的三角函 数值计算．

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)

两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (共38张PPT)
tan(

4
) 2求
1 2 sin cos cos 2 的值。
(二)小题查验
1．判断正误
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α，β 是任意的 ( √ )
(2)存在实数 α，β，使等式 sin(α＋β)＝sin α＋sin β 成立 ( √ )
(3)在锐角△ABC 中，sin Asin B 和 cos Acos B 大小不确定( × ) tan α＋tan β (4) 公式 tan(α ＋ β) ＝ 可以变形为 tan α ＋ tan β ＝ 1－tan αtan β
为锐角，由
所以 原式
tan

5 4
1 2 得 cos , 2 5
(二)小题查验
1．判断正误
θ 2θ (1)cos θ＝2cos －1＝1－2sin 2 2
2
( √ )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角 ( × )
(3)存在角 α，使得 sin 2α＝2sin α 成立 ( √ )
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 2tan α tan 2α＝ 2 . 1－tan α
[题组练透]
π 3 1．已知 sin α＝ ，α∈2 ，π，则 5
cos 2α
7 3 25 2． (人教 A 版教材习题改编)已知 sin(α－π)＝ ， 则 cos 2α＝________.
5
2－ 3 tan 7.5° 2 3．计算： ＝________. 2
1－tan 7.5°
考点一
三角函数公式的基本应用 (基础送分型考点——自主练透)

两角和与差的正弦余弦正切公式-市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件

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67
tan(45
)
x
30 60
x
能否用sin 把 tan(45 )
表达出来呢？
45 67
A
C 30
3.1-1
B
一般地说，对于任意角 ， ，能不能 用 ， 旳三角函数值把 或者
旳三角函数值表达出来呢？
下面我们来研究怎样用任意角 ，
旳正弦、余弦值来表达 cos 旳问
题。
二、新课讲解
作用：知 cos ，cos ，sin ，sin 旳值可
求cos( )
例1 利用差角余弦公式求 cos15旳值。
想一想： 有几种拆 分措施？
解法一：
cos15 cos(45 30 ) cos 45 cos 30 sin 45 sin 30 2 3 21 2 2 22
6 2 4
解法二：
则 pox
过点P作PM垂直于x轴，垂
足为M，那么OM是角
y
p1
Ap
C
O BM x
旳余弦线。
思索：怎样用角 ， 旳正弦线、余
弦线来表达OM？
过点P作PA垂直于O p1 ，垂足为A，过点A作AB垂
直于x轴，垂足为B，过点P作PC垂直于AB，垂足为
C。则OA= cos ，AP= sin 而且pac p1ox
当 是任意角时，由诱导公式，
总能够找到一种角 0,2 ，使
cos cos( ) 则
当 0, 时，则OAOB cos cos( )
当 ,2 时，则 2 0, 且
OAOB cos(2 ) cos cos( )
（一）两角差旳余弦公式
对于任意角 ， 都有
c cos( ) cos cos sin sin （ ( )）

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

两角和与差的正弦、余弦、正切公式 课件

1．求解该类问题常犯的错误是对角的范围讨论程度过 大(小)，导致求出的角不合题意或者漏解．
2．求角的大小，要解决两点：(1)确定所求角的范围， (2)求角的某一三角函数值，特别是要根据角的范围确定取该 角的哪一种三角函数值．
若把本例题的条件改为“α∈(0，2π)，β∈(－π2，0)，且 cos(α－β)＝35，sin β＝－102”，试求角 α 的大小．
化简求值： (1)sin1π2－ 3cos1π2；
sin 15°－cos 15° (2)cos 15°＋sin 15°.
【思路探究】 解答本题中的(1)可先考虑如何去变换系 数，才能与学习的公式相联系，可以考虑 1＝2×12， 3＝ 2× 23，引入特殊角的三角函数；(2)可先分子分母同除以 cos 15°得出t1a＋n 1ta5n°－151°，然后再把该式向公式 tan(α±β)转化．
＝ 22sin(x＋51π2)．
1．对于形如 sin α±cos α， 3sin α±cos α 的三角函数式均 可利用特殊值与特殊角的关系，运用和差角正、余弦公式化 简为含有一个三角函数的形式．
2．在解法上充分体现了角的变换和整体思想，在三角 函数求值化简的变换过程中，一定要本着先整体后局部的基 本原则．
【自主解答】
(1)法一
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(sinπ6sin1π2－cosπ6cos1π2)
＝－2cos(π6＋1π2)＝－2cosπ4
＝－ 2.
法二
原式＝2(12sin1π2－
3π 2 cos12)
＝2(cosπ3sin1π2－sinπ3cos1π2)
＝－2sin(π3－1π2)
将本例中条件“已知 α、β 是锐角”改为“α、β 都是钝 角”．仍求 sin β 的值．

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-高一数学课件

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式-高一数学课件
“差角”的形式，进而推导两角和的余弦公式？
两角差的余弦公式：cos(α-β) = cosα cosβ + sinα sinβ
cos(α+β)= cos[α-(-β)]
= cosα cos(-β) + sinα sin(-β)
= cosα cosβ - sinα sinβ
PART 1 两角和与差的余弦公式
tanα + tanβ
= ——————
1 - tanα tanβ
tanα - tanβ
同理可证，tan(α - β)= ——————
1 + tanα tanβ
分子分母同时
除以cosα cosβ
PART 3 两角和与差的正切公式


对于任意角α，β (α，β≠ + ， ∈ )有
tanα
+
tanβ
弦、余弦表示sin(α+β)，sin(α-β)的公式吗？

提示：诱导公式五：sin(
2
−

)=cos，cos(
2
− )=sin
= sinα cosβ + cosα sinβ
同理可证，sin(α - β)= sinα cosβ - cosα sinβ
PART 2 两角和与差的正弦公式
对于任意角α，β有
tan(α+β)= ——————
1 - tanα tanβ
T(α+β)
tanα - tanβ
tan(α - β)= ——————
1 + tanα tanβ
T(α-β)
记忆要点：上同下异
例题探究


例1 已知sin = − ，是第四象限角，求sin(

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件(人教版)

cos( ) cos cos sin sin
sin( ) sin cos cos sin
sin( ) sin cos cos sin
tan( ) tan tan 1 tan tan
tan( ) tan tan 1 tan tan
2 二倍角的正弦、余弦、正切公式
2
3 . 5
又由 cos
5 13
，
是第三象限角，得 sin
1 cos2
1
5 13
2
12 13
.
所以 cos( ) cos cos
sin sin
3 5
5 13
4 5
12 13
13 65
.
例3
已知 sin
3 ， 5
是第四象限角，求
sin
4
，
cos
4
2
2
2
0cos 1sin sin .
（2） cos( ) cos cos sin sin
(1)cos 0sin cos .
例2
已知 sin
4 5
，
2
,
，
cos
5 ， 13
是第三象限角，
求 cos 的值.
解：由 sin
4 5
，
2
,
，得 cos
1sin2
1
4 5
，
tan
4
的值.
解：因为 sin 3 ， 是第四象限角，得cos 5
1 sin2
1
3 2 5
4 5
，
tan
sin cos
3 5 4
3 4
，
5
于是有
sin
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• 课后思考探究：例1中，sin4()co4s()
sc tao in s 4 ( (n 4 () 4 ))s cio 4 1stn c a4 nc ta o o ns sc ttas anio n n 4 4 s 4 4ssii n n 1 tan2t22a2 n 5 415421222(34((5 353)34)1) 77110022 ;;7
记
T (
-
)
-
8
两角和与差的正切公式
tan(α +β )=1t -at na α nα +tt aa nn β β记：T(+ ) tan(α -β )=1t +a t n a α nα -t t a a n n β β记:T( - )
T 注思这意考个：公:已1式知必吗t须?an在定义=2域,求范围tan内(2 使 用) 的上值述能公用式。( )
3、s若 in5,(0,)c, o s 1,0(,0)
52
10 2
(1)求 cos()2()求 cos()
-
2
二、自主学习，合作探究
问题探究一
已知Байду номын сангаас
？ cos()co cso s is nin
cos() = co cso ssin sin 未知
co s()
co[s ( )]
如何推导
c co o c c ss o o s )s is( s nii s n ni n ) (
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
记：T(
+
)
-
7
tan(α +β )= tanα +tanβ 1-tanα tanβ
ta n()?
tan[()]1t antan ttaann(( ))
= tanα-tanβ 1+tanαtanβ
∴ tan(α -β )=tanα -tanβ 1+tanα tanβ
-
11
例2、（公式的逆用）利用和（差）角公式化简计算 下列各式的值：
( 1 ) s7 i n c 2 4 o 2 s s4 i n c 2 7 o s2 s in 7(242)si3n01
2
(2)co 2s 0 co 7s 0 si2 n0 si7 n0 c2 o s 0 7 ( ) 0 c9 o 0 s 0 (3)co 7s 4 si1 n4 si7 n4 co 1 s4 si1n4 (74 )si n6(0 )23 ( 4 ) s3 i n s 4 2 i n 6 c3 o c 4 s2 o 6 s co 3s4 (2)6co 6s0 1
试一试s： in1求 5,sin75(独立完成，组案 内 )
-
5
知识形成
口诀
余弦：同名积，符号反 正弦：异名积，符号同
两角和与差的余弦公式
C（ ）：cos()co cso s is nin
C（ ）：cos()co cso s is nin
两角和与差的正弦公式
S（ ）：sin()s in co sco ssin
2掌握公式的结构，尤其是符号.
试一试： ta求 n75(独立完成，组内案核 ) 对
-
9
问题探究四
为方便起见，公式 称为和角 C(),S(),T() 公式，公式C(),S(),T()称为差角公式. 怎样理解这6个公式的逻辑联系？
S(α-β)
C 诱导
公式 (α＋ β)
弦切关系
T(α-β)
C 换元
诱导
(α-β) 公式
2
( 5 ) s2 i c n 0 1 o 1 s c1 0 o s 6 s 7 i 0 n 0 si2n0co7s0co2s0si7n0
或 si1n6c0o1s10co1s6s0i1n10si2 n0 (70)si9n01
si1 n6 (011) 0si2n701
(6)1tan15 1tan15
试一试： co求 7s 5(独立完成，组内案核 ) 对
-
3
问题探究二
sin()?
sin()?
-
4
sin cos2
c coo ss2 co ssi n sin
sin s2 ic no s c o 2ssi n
sin()si n[()]用代
s in ( )s i s ni cn o sc )o (s co sc io n s () s in
对比
1 符号 2 函数名称
S（ ）：sin()s in co sco ssin
-
6
问题探究三
思考：
tan()s i?n ( α +β )
cos(α+β )
sinαcosβ +cosαsinβ
cosαcosβ -sinαsinβ
当 coscos0时 ， 分 子 分 母 同 时 除 以 c o s c o s
（4）tan 12 tan 33 1 tan 12 tan 33
-
13
反思归纳
这节课你有何收获和感受？
1 知识上：推导并理解了两角和与差的正弦、
余弦、正切公式
2 方法上：领略到公式的正用、逆用
3 思想上：感受了转化与化归的数学思想
-
14
评价巩固
• 作业本：教材P137页：7、9、13(5)(7)(9)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
阳谷一中 蒋莉莉
-
1
一、复习及导入：
1、诱导公式三 sin()_s_i_n___
cos()_c_o__s__
tan()__ta_n__
诱导公式五
sin(
)
c__o___s_
2
cos( ) s_i_n____
2、两角差的余弦公式 2
cos()co cso ssin sin
1tatn4an540 50ttaan1n15500
ta4 n 05 ( 10 ) 5 ta 6n 00 3
-
12
四、课堂达标检测
实力展现
1、教材131页2、3、4 2、化简求值 （1）s in 72 cos 18 cos 72 s in 12 （2）cos 72 cos 12 s in 72 s in 12 （3）cos 43 cos 77 s in 43 cos 167
S(α+β)
弦切关系
T(α+β)
-
10
三、理论迁移
例1、已知 sin 3 , 是第四象限角，求
sin( ), co5s( ), tan( )的值。
解 ： 由 s i n = - 43 5,是 第 四 象 限 4的 角 ， 得
4
cos1sin21(5 3)25 4, 所 以tancsoins34